Ejercicio 1

EJERCICIO 1 1. Un filtro analógico se encuentra representado por la siguiente función de transferencia: 100 s H ( s )= 2 s +100 s+100 Determine: a) La ganancia pico del filtro en dB b) La frecuencia en la cual se presenta la ganancia pico c) El ancho de Banda d) La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo. e) La respuesta en estado estable para una entrada x 1 ( t )=10 cos ( 0.01 t ) f) La respuesta en estado estable para una entrada x 2 ( t )=10 cos ( 10 t ) g) La respuesta en estado estable para una entrada x 3 ( t )=10 cos ( 1000 t ) La función de transferencia puede ser expresada, por medio de fracciones parciales, como: H ( s )=

100 s ( s+ 98.99 ) ( s+1.01 )

Para facilitar el cálculo, esto se puede aproximar como: H (s )≈

100 s ( s +100 )( s+1 )

Pasamos al dominio s= jω H ( jω )=

jω jω (1+ jω1 )( 1+ 100 )

a) La ganancia pico del filtro es 0 dB b) La frecuencia a la cual comienza la ganancia pico es en ω=1 rad /s , es decir: f 1=

ω 2π

f 1 =0.1592 Hz c) El ancho de banda (BW) es la diferencia entre las dos frecuencias de los polos, ya tenemos f1 ahora hallamos f2 y las restamos. f 2=15.92 Hz BW =f 2−f 1

BW =15.9 Hz Se utiliza el siguiente script para la simulación del ejercicio

d) La respuesta al impulso en el dominio del tiempo la podemos hallar al pasar el impulso al dominio S, y después de hacer la operación devolviéndonos al dominio del tiempo. H ( s )=

Y (s) X (s )

Y ( s )=H ( s ) X ( s ) Sabemos que

x ( t )=δ ( t ) , entonces

X ( s )=1 Y ( s )=

100 s ( s+ 100 )( s+1 )

Por fracciones parciales obtenemos que:

100 s A B = + ( s+100 )( s+1 ) s +100 s+1 100 s= A ( s +1 ) + B ( s+100 )

si s=−1 −100=99 B=¿ B ≈−1 si s=−100 −10000= A (−99 )=¿ A ≈ 100 Y (s )≈

100 1 − s +100 s+ 1

En el dominio del tiempo tenemos que: y (t )=( 100 e−100 t−e−t ) u ( t ) Para los siguientes puntos se usará la misma técnica usada en este ítem. e)

x=10 cos ( 0.01 t ) =¿ X ( s )=

10 s s + 0.0001 2

. De tal manera:

1000 s2 2 (s +100)(s +1)(s + 0.0001) Por fracciones parciales observamos que: Y ( s )=H ( s ) X ( s ) =

0.001 s−0.001 10.1 10.1 − + 2 s+ 100 s +1 s +0.0001 La transformada inversa es: Y (s)≈

y (t )=( 0.001 cos ( 0.01t ) +0.1 sin(0.01 t)−10 .1 e−100t +10.1 e−t ) u(t )

f)

x=10 cos ( 10 t ) =¿ X ( s )=

Y ( s )=H ( s ) X ( s ) =

10 s s + 100 2

. De tal manera:

1000 s2 (s +100)(s +1)(s 2+100)

Por fracciones parciales observamos que: Y (s)≈

10 s 10 0.1 − + s + 100 s+100 s +1 2

La transformada inversa es: y (t )=( 10 cos(10 t )−10 e−100 t +0.1 e−t ) u(t)

g)

x=10 cos ( 1000 t ) =¿ X ( s )=

10 s s + 1000000 2

. De tal manera:

2

Y ( s )=H ( s ) X ( s ) =

1000 s 2 (s +100)(s +1)(s +1000000)

Por fracciones parciales observamos que: 0.1 s +990 0.1 0.000001 − + 2 s +1 s + 1000000 s+100 La transformada inversa es: Y (s)≈

y (t )=( 0.1 cos ( 1000t ) +sin ⁡( 1000 t)−0.1 e−100t + 0.000001e−t ) u(t )