Ejerc Bayes

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

133 problemas originales acerca de la regla de Bayes 617 . En la competencia olímpica de marcha o caminata, se supone que el atleta no debe flotar; es

decir, debe mantener siempre contacto con el piso. Sin embargo, los vídeos muestran de manera inequívoca que aproximadamente el 80% de los marchistas flotan en algún momento de la competencia. Por otra parte, los jueces que tienen la función de amonestar a aquellos marchistas que flotan suelen equivocarse a veces, de tal manera que el 10% de las veces amonestan a los que no flotan, mientras que el 30% de las veces pasan desapercibidas las flotaciones de los marchistas. Si el ganador de una competencia no recibió ninguna amonestación, ¿cuál es la probabilidad de que realmente no haya flotado? 618 . Se tienen dos tarjetas, una de ellas es negra por ambas caras y la otra tiene una cara negra y la

otra blanca. Se meten en una bolsa y se extrae una de las dos tarjetas al azar, la cual se coloca sobre la mesa. Si la cara que muestra hacia arriba es negra, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que también la cara de abajo sea negra? 619 . Se tienen dos cajas: la caja I contiene 4 esferas blancas y 3 negras; la caja II contiene 3 esferas

 blancas y 5 negras. negras. Se elige una de las dos cajas al azar, de la cual se extrae una esfera que que resulta resulta ser blanca. Calcular la probabilidad de que provenga precisamente de la caja I. 620 . Un ratón de laboratorio se introduce en un laberinto en forma de T. Del lado izquierdo hay un  pedazo  pedazo de comida protegido protegido para para que el ratón no pueda pueda olerlo de lejos; ejos; y del lado derecho derecho hay una  pequeña  pequeña descarga descarga eléctrica que sería desagradabl desagradablee para el ratón, mas no mortal. mortal. Supóngase Supóngase que la  primera  primera vez que se introduce introduce el ratón hay una probabilidad probabilidad de 0.5 de que vire a cualquiera cualquiera de los dos lados. Si en el primer intento viró a la izquierda, entonces hay una probabilidad de 0.6 de que vuelva a virar a la izquierda en el segundo intento; sin embargo, si en el primer intento viró a la derecha y recibió la pequeña descarga eléctrica, entonces hay una probabilidad de 0.75 de que virará a la izquierda en el segundo intento. Si se observa que el ratón efectivamente viró a la izquierda en el segundo intento, ¿cuál es la probabilidad de que haya virado también a la izquierda en el primer intento? 621 . Durante la época de exámenes en cierto colegio, sólo el 25% de los profesores advierten por

escrito a sus alumnos que no se está permitido levantarse a hacer preguntas durante la prueba. No obstante, se ha observado que a pesar de esa advertencia, el 20% de los alumnos se levantan a hacer  preguntas  preguntas durante durante la prueba. prueba. Para los profesores profesores que no establecen establecen dicha advertencia advertencia,, la cifra correspondiente es de 70%. Si durante un examen a cargo del Prof. X, de pronto irrumpe un inspector al salón y observa que hay alumnos que se levantan a preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que ese profesor no les haya advertido por escrito a sus alumnos que se prohibe hacer preguntas en los exámenes? 622 . Una compañía fabrica empaques de hule para tuberías en tres sitios distintos de una ciudad, llamémoslos S1, S2 y S3 ; los cuales producen respectivamente, el 45%, 30% y 25 % del total de la  produc  producción ción de esa compañ compañía. ía. Se estima estima que el 8% de los empaqu empaques es fabrica fabricados dos en S 1  son defectuosos, mientras que para S2 y S3   las cifras correspondientes son 6% y3%. Los empaques fabricados por los tres sitios se concentran luego en una bodega en la ciudad. Si un inspector de

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

control de calidad toma un empaque al azar de la bodega y lo encuentra defectuoso, ¿qué  probab  probabilid ilidad ad hay hay de que que prove provenga nga del del sitio sitio S 1 ? 623 . El siguiente cuadro muestra la proporción de pacientes que ingresan a la clínica de

especialidades “Aranda de la Parra” de León, Gto., y las probabilidades aproximadas de curación completa: especialidad médica: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

traumatología y ortopedia enfermedades cardiacas y circulatorias enfermedades gastro−intestinales ginecología ginecología y obstetricia obstetricia oftalmología y otorrinolaringología cancerología dermatolo dermatología gía neumología neumología SIDA

% del total que ingresan 19% 19% 12% 12% 28% 14% 14% 5% 6% 6% 7% 3%

 probab  probabilid ilidad ad de curación completa 0.55 0.40 0.80 0.96 0.50 0.10 0.85 0.80 0

Si un enfermo de esta clínica fue dado de alta sano, calcular la probabilidad de que: a) haya sufrido algún padecimiento cardiaco o circulatorio; b) que haya sufrido algún golpe o lesión física. fís ica. 624 . En cierto país subdesarrollado aquejado por una fuerte inflación, los economistas esbozan tres

teorías, a saber: teoría I: que la inflación desaparecerá antes del cambio de gobierno; teoría II: que ocurrirá una depresión; y teoría III que ocurrirá una recesión. Ellos estiman que las probabilidades de que se lleguen a materializar las teorías I, II y II son respectivamente 0.40, 0.35 y 0.25. Por otra  parte,  parte, los expertos expertos consideran consideran que las probabilid probabilidades ades de que ese país salga del subdesarrollo subdesarrollo,, si ocurren realmente los eventos I, II y III, son de 0.90, 0.60 y 0.20, respectivamente. Supongamos que el país de todos modos no logra salir del subdesarrollo. ¿Cuál es la probabilidad de que la inflación haya desaparecido antes del cambio de gobierno? 625 . El número de camiones que pasan por una carretera donde hay una estación surtidora de

gasolina, con respecto al número de otros automóviles, guarda una relación de 3 a 2. La  probabilidad  probabilidad de que se abastezca abastezca un camión camión es igual a 0.1 y para el automóvil esta esta probabilidad probabilidad es igual a 0.2. El surtidor está casi dormido y por las luces alcanza a ver que se acerca a lo lejos un vehículo para abastecerse de gasolina. Hallar la probabilidad de que sea un camión. 626 . El  Hotel  y  D, encargadas de lavar y secar unas  Hotel Royale Royale  de París tiene 4 trabajadoras  A,  B, C  y

vajillas y copas muy finas que se usan en las convenciones y banquetes. La carga de trabajo (en  porcenta  porcentaje) je) de estas personas personas es de 20%, 60%, 60%, 15% y 5%, respectiva respectivament mente. e. Las probabilida probabilidades des de que estas empleadas rompan una pieza de la vajilla o una copa al lavarlos son de 0.05, 0.10, 0.10 y 0.05, respectivamente. Si el supervisor encuentra que una taza muy fina fue rota al ser lavada, calcular la probabilidad de que la culpable haya sido la empleada  A. 627 . La probabilidad de que una madre que da a luz por primera vez tenga un bebé que nace con

algún síndrome o defecto congénito depende de muchos factores, entre otros de la edad de la madre

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

misma. La revista “ Medical  Medical Newsletter  Newsletter ” (julio de 1999) publicó el siguiente cuadro con estadísticas de madres que daban a luz por primera vez: edad de la madre A1 A2 A3 A4 A5 A6

15 o menos 16 a 22 23 a 29 30 a 36 37 a 43 más de 43

 porcentaj  porcentajee de madres 3% 23% 55% 12% 6% 1%

 probabil  probabilidad idad de de que el bebé nazca con algún defecto congénito 0.05 0.007 0.001 0.04 0.17 0.23

De acuerdo con estos datos, si el primer bebé de una mujer nació con algún defecto congénito, ¿cuál es la probabilidad de que la edad de la señora oscile entre los 37 y los 43 años? 628 . El ingeniero Alfonso Ferríz fabrica piezas de ajedrez de plástico. Las piezas acabadas se van

metiendo en tres grandes y pesadas cajas antes de sacarlas para pegarles fieltro en la base. En la caja 1 hay 100% de piezas de color blanco; en la caja 2 hay 50% de cada color; y en la caja 3 hay 100% de color negro. El Ing. Ferríz encarga a su empleado que baje la caja de piezas blancas para pegarles fieltro en la base, pero como las tres cajas le quedan muy altas, el empleado no alcanza a ver su contenido, contenido , así que saca una pieza de una caja al azar, y resulta ser de color blanco. ¿Cuál es la  probabi  probabilida lidadd de que que esa sea sea la caja caja que busca busca?? 629 . En el salón I hay 7 alumnos, de los cuales 4 estudian ingeniería y 3 actuaría; en el salón II hay

8 alumnos, de los cuales 3 estudian ingeniería y 5 actuaría. Un alumno al azar del salón II se pasa al salón I y luego se elige un alumno al azar del salón I. Determinar la probabilidad de que sea estudiante de ingeniería. 630 . La caja I contiene 4 canicas blancas y 3 negras; la caja II contiene 3 canicas blancas y 5

negras; y la caja III contiene contiene 6 canicas blancas y 3 negras. negras. De la caja I se extrae al azar una canica canica y se deposita en la caja II. Luego, de la caja II se extrae al azar una canica y se traspasa a la caja III. Finalmente se saca una canica al azar de la caja III. Determinar la probabilidad de que sea blanca. 631 . La urna I contiene 2 esferas blancas y 2 negras; la urna II contiene 2 blancas y 3 negras. Se

selecciona una urna al azar y se extraen dos esferas juntas de manera aleatoria. ¿Cuál es la  probab  probabilid ilidad ad de que que sean del del mismo mismo color? color? 632 . Un niño usa calcetines de sólo dos colores: azul y negro. Sin embargo, no los tiene ordenados  por parejas, parejas, sino los tiene sueltos sueltos en dos cajones cajones de su ropero. ropero. En el cajón de arriba arriba tiene tiene 6 calcetines negros y 2 azules; y en el cajón de abajo tiene 3 calcetines negros y 5 azules. No puede  prender  prender la luz para ver, porque porque despertaría despertaría a su hermano hermano menor; menor; así que toma un calcetín de cada cajón, se los pone en la oscuridad, se viste y se va a la escuela. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya puesto calcetines del mismo color? 633 . En una academia de tiro se encuentran 10 fusiles de práctica para tiro al blanco, 4 de los cuales

están equipados con mira telescópica. Un tirador experto sabe por experiencia que tiene una

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

 probabil  probabilidad idad de 0.95 de darle darle al blanco blanco si usa fusil con mira telescópica, telescópica, pero sólo 0.8 si usa fusil normal. Supóngase que un observador distante nota que el tirador llegó, cogió un fusil, disparó e hizo blanco. ¿Qué es más probable, que haya escogido uno con mira telescópica o uno normal? 634 . Un señor tiene 2 autos: uno de 4 cilindros y uno de 8 cilindros. Él utiliza el vehículo de 4

cilindros para trasladarse a su oficina el 75 % del tiempo y el 25% usa el de 8 cilindros. Cuando usa el de 4 cilindros llega a su casa a las 6:00 P.M. el 80% de las veces, y si usa el de 8 llega a la misma hora el 50% de las veces. Si llegó a su casa después de las 6:00 P.M., ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el carro de 4 cilindros?

635 . La compañía  Lear Co . usa 4 empresas de transporte A, B, C, D, se sabe que el 20% de los

embarques se asignan a la empresa A, el 25% a la B, el 40% a la C y el 15% a la D. En los embarques llegan retrasados a nuestros clientes en un 7% si los entrega A, 8% si es B, 5% si es C y 9% si es D. Si sabemos que el embarque de hoy fue entregado después de su hora, ¿cuál es la  probab  probabilid ilidad ad de que que haya haya sido de de la empresa empresa A? A? 636 . En un equipo de fútbol se va a tirar un penal, hay 2 jugadores (Juan / Pedro ) que desean tirar

el penal y el entrenador debe elegir. La probabilidad de que elijan a Juan es 0.7 y la probabilidad de que elijan a Pedro es 0.3. Si tira Pedro, la probabilidad de fallar el tiro es 0.6 y Juan ha fallado 2 de los últimos 7 penales. Suponga que se tiró el penal y fue fallado, ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya tirado tirado Juan? 637 . Don Gato tiene tres candidatos (Demóstenes, Cucho y Benito Bodoque) para una misión que

consiste en vender boletos de una rifa inexistente a unos turistas ingenuos. Sólo uno de los tres tiene que hacerlo. Estima que Demóstenes tiene un 35% de oportunidades de ser el elegido, Cucho un 45% y Benito 20%. Existe una probabilidad de 0.09 que los atrape el sargento Matute si va Demóstenes; de 0.11 si va Cucho; y de 0.07 0.07 si va Benito. Si resulta que Matute los atrapó, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido elegido Benito Bodoque el encargado de vender los boletos?

638 . Julián tiene 2 teléfonos celulares: un telcel  y otro de iusacel . Normalmente el 65% de las veces usa el telcel  y  y el 35% el de iusacel . El teléfono telcel  falla  falla un 15% de las veces y el iusacel  un 20%. Supóngase que a Julián le falló el teléfono al hacer una llamada, ¿cuál es la probabilidad de haber usado el de telcel ? 639 . La bella y joven Silvia tiene dos pretendientes: Ernesto y Luis. Silvia está decidida a ser novia

de alguno de los dos. Ernesto tiene una probabilidad de 0.7 de ser el elegido y Luis de 0.3. Si Ernesto es novio de Silvia, hay una probabilidad de 0.40 de terminen en matrimonio; y si es Luis de 0.30. Si Silvia finalmente se casó con alguno alguno de ellos, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que haya sido con Luis? 640 . Una persona de la Ciudad de México desea comprar un auto y las probabilidades de que escoja

un automóvil de fabricación fabricación japonesa, americana, americ ana, alemana u otra son de 0.40, 0.35, 0.20 y 0.05, respectivamente. Por otra parte, las estadísticas muestran la probabilidad de que un auto de fabricación japonesa sea robado en la Ciudad de México es 0.24; y para los autos americanos, alemanes y de otra procedencia, las cifras respectivas son 0.38, 0.36 y 0.02. Si esta persona se compró el auto y al poco tiempo se lo robaron, ¿cuál es la probabilidad de que se haya comprado un auto de fabricación japonesa?

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

641 . El Banco Mundial (BM) y el Fondo Monetario Internacional (FMI) planean una reunión.

Pueden escoger la sede entre cuatro ciudades con idénticas oportunidades. Si realizan la reunión en Ginebra, no hay probabilidad de que ocurra una manifestación. Si la hacen en Praga hay una  probab  probabilid ilidad ad de 0.95 0.95 de que se realice realice una manifesta manifestació ción; n; en México de un 0.35 y en Nue Nueva va York del 0.80. ¿Cuál es la probabilidad de que la hayan hecho en Praga, si tuvo lugar una manifestación? 642 . El departamento de contabilidad de una empresa está compuesto por 70% de personas personas

tituladas y 30% pasantes. Si se sabe que el 40% de las personas tituladas elaboran pólizas de nóminas y el 60% de los pasantes hacen pólizas de nóminas, ¿cuál es la probabilidad de que un empleado del departamento de contabilidad que realiza pólizas de de nóminas sea titulado?

643 . El examen de reclutamiento reclutamiento que debe contestar un candidato candidato ofrece cuatro soluciones soluciones posibles

en el esquema de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el candidato sepa la respuesta a una pregunta cualquiera es de 0.8. Para las preguntas cuya respuesta no conoce, él señala al azar una de las cuatro opciones, esperando atinar a la respuesta correcta en algunas  preguntas  preguntas.. Si el candidato candidato contesta contesta correctam correctamente ente una pregunta, pregunta, ¿cuál ¿cuál es la probabili probabilidad dad de que realmente haya sabido la respuesta?

644 . En la larga experiencia de un head hunter  (reclutador de personal), él afirma que del total de

 personas  personas que lo visitan visitan,, 70% son licenc licenciados iados en en administra administración; ción; 20% 20% son contado contadores, res, y 10% 10% son de alguna otra profesión. De los licenciados en administración, el 40% hablan inglés más o menos  bien;  bien; de los contador contadores es el 15%; 15%; y de los otros profesion profesionistas istas el 85% . a) Si un cliente que lo visita habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un contador? b) Si un cliente no  habla inglés, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que sea un licenciado en administración? 645 . En una empresa trabajan 75 hombres hombres y 25 mujeres. La probabilidad probabilidad de que una mujer trabaje

en el almacén es 0.20; y la probabilidad de que un hombre trabaje en el almacén es 0.12. Si se elige al azar un nombre de la lista de empleados del almacén, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

646 . Un profesor de estadística de una universidad imparte clases a un grupo de 36 alumnos que

consiste de 10 estudiantes de contabilidad; 14 de administración; 9 de tecnología de alimentos y 3 de mercadotecnia. Por experiencia sabe que la probabilidad de que un estudiante de contabilidad copie las soluciones de la tarea a un compañero en lugar de resolverla él mismo es 0.9; y para los estudiantes de administración, tecnología de alimentos y mercadotecnia, las cifras correspondientes son 0.7, 0.4 y 0.8, respectivamente. Si al calificar una tarea de uno de sus alumnos descubre que las soluciones han sido evidentemente copiadas de otra tarea, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un alumno de contabilidad?

647 . Un adulto mayor de 50 años se selecciona al azar de una comunidad en la cual el 9% de las

 personas  personas mayores mayores de 50 años sufren de diabetes diabetes y se le somete a una prueba simple de nivel de glucosa para detectar la posible presencia del padecimiento. Sin embargo, la prueba no es totalmente confiable, pues al 3% de las personas que no tienen diabetes les señala como "positivo", mientras que al 15% de las personas que sí tienen diabetes la prueba sale "negativa". a)¿Cuál es la  probabili  probabilidad dad de de que esa esa persona persona tenga tenga realm realmente ente diabet diabetes, es, dado dado que que el resultad resultadoo de su prueba prueba marca marca "positivo"? b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que no tenga diabetes si la prueba marca "negativo"?

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

648 . Las estadísticas muestran que los viernes después de las 7 de la noche, aproximadamente 30%

de los automovilistas de la Ciudad de México conducen en estado de ebriedad. Suponga, además, que en la Ciudad de México el 85% de los conductores ebrios hacen caso omiso de los señalamientos de tránsito, mientras que sólo el 60% de los conductores sobrios respetan los señalamientos de tránsito. a) Si alguien observa un viernes por la noche que un automovilista hace caso omiso de los señalamientos, ¿cuál es la probabilidad de que esté borracho? b) Si se observa que un conductor respeta los señalamientos de tránsito, ¿cuál es la probabilidad de que esté sobrio? 649 . En cierto lugar, 30% de las personas son fumadores y 70% no fumadores. Además, se estima

que el 60% de los fumadores adquieren hipertensión; mientras que sólo el 20% de los no fumadores adquieren hipertensión. De los fumadores hipertensos, el 90% llegan a tener problemas cardíacos; y de los fumadores no hipertensos, sólo el 15% llegan a manifestar problemas cardíacos. En cambio, de los no fumadores hipertensos, el 65% llega a sufrir malestares cardíacos. Por último, de los no fumadores no hipertensos, sólo el 5% llegan a padecer malestares cardíacos. Si a un individuo se le diagnostica un malestar cardíaco, ¿cuál es la probabilidad de que sea no fumador hipertenso?

650 . Un diplomado en econometría se realizó en julio y agosto de 2000 en el ITESM Campus León,

el cual estaba formado por 9 licenciados en administración, 11 ingenieros ingenieros y 5 contadores. Al final del curso hubo 7 notas sobresalientes, de las cuales 2 correspondieron a licenciados en administración, 4 a ingenieros y 1 a un contador. Si se escoge al azar un estudiante del diplomado y se observa que obtuvo nota sobresaliente, ¿cuál es la probabilidad que sea licenciado en administración? 651 . En un despacho de consultoría, el 60% del trabajo lo realiza el grupo de administración y el

restante 40% lo realiza el equipo de software. El equipo administrativo tiene un 3% de errores y el equipo de software un 5% de errores. Si se detecta un error en un trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del equipo de software?

652 . Las ventas de vasos con café caliente de la sucursal “ El Cafecito” se reparten en las siguientes  proporcion  proporciones: es: café americano americano 45%, 45%, café capuc capuchino hino 35%, 35%, café express 20%. La probabilidad de que

una persona solicite azúcar para cada uno de ellos es de 0.2 para americano, 0.4 para capuchino y 0.1 para express. Alguien ha solicitado un sobre de azúcar, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a dar a un café capuchino? 653 . La cartera de clientes de una empresa que desean pasar vacaciones en Europa se divide en 4

agencias de viaje, en las siguientes proporciones: agencia I: 25%; agencia II: 15%; agencia III: 10%, y agencia IV: 50%. Cada C ada agencia vende en diferentes proporciones proporciones viajes a todo el mundo; en  particula  particular, r, los paquete paquetess a Europa Europa son vendido vendidoss por la agencia agencia I en un 30%, 30%, por por la II en un 15%, 15%, por la III en un 8%, y por la IV en un 35%. Si un empleado acaba de comprar su paquete a Europa, Europa, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya comprado en la Agencia No. II? 654 . Se preparan dos equipos para un partido de fútbol, como se ha hecho tarde para comenzar el

 juego,  juego, únicamen únicamente te se seleccion seleccionará ará un alumno alumno para verificar verificar que cumpla cumpla con el peso. peso. La  prob  probaa bilidad de de que un miembro miembro del del equipo I no no cumpla con con el peso es de de 0.03 y del del equipo dos dos es 0.025. Si el alumno seleccionado cumplió con el peso, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al equipo número II?

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

655 . En una fábrica se tienen 2 máquinas de helado que producen 50% y 50% de la producción

total, respectivamente. La máquina A produce 5% de helado de baja calidad y la máquina B  produce  produce 6%. 6%. Encontr Encontrar ar la proba probabilid bilidad ad de un un helado helado de baja baja calida calidadd proven provenga ga de la máqui máquina na A. 656 . Se realiza una auditoría con dos auditores A y B, que hacen el 30% y 70% de la revisión total.

De la revisión, el auditor A comete el 5% de errores y el B comete el 2% de errores. Encontrar la  probabi  probabilida lidadd de que que dado dado un error, error, prove provenga nga del del auditor auditor B. 657 . De los cursos impartidos diariamente por el área de capacitación, 30% de los participantes  provienen  provienen del área área de sistemas sistemas y el 70% restante restante de contabili contabilidad. dad. El porcentaj porcentajee de inasistencias inasistencias del área de sistemas es de 5% y del área de contabilidad es de 8%. Si se elige un partic ipante al azar de los cursos impartidos diariamente, calcular la probabilidad de que no sea un participante que haya faltado a los cursos. 658 . Un editor envía propaganda de de un libro de contabilidad al 80% de de aquellos profesores que

están a cargo c argo de un curso curso de dicha materia. El 30% de aquellos que que recibieron la propaganda propaganda decidieron emplear dicho libro, como así lo hicieron el 10% de los profesores que no la recibieron. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que utiliza el libro haya recibido dicha propaganda? propagan da?

659 . En un concurso de perros existen 75 del criadero Wlatar , y 25 del  Romber . Del criadero  el 12% de los perros no tiene  pedigree , y del Romber , el 20%. Si el perro que gana no tiene Wlatar  el  pedigree  pedigree , ¿cuál es la probabilidad de que sea del criadero  Rombe  Romber  r ? 660 . La urna I contiene seis bolas blancas y cinco negras. La urna II contiene cuatro bolas blancas y

cinco negras. Se elige una urna aleatoriamente y se extrae una bola de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra?

661 . La urna I contiene tres bolas blancas y cuatro negras. La urna II contiene cuatro bolas blancas

y cinco negras. Se elige una urna aleatoriamente y se extraen dos bolas de ella. ¿Cuál es la  probabili  probabilidad dad de que que las bolas bolas son de de colores colores diferen diferentes? tes?

662 . La urna I contiene cuatro bolas blancas y tres negras. La urna II contiene tres bolas blancas y

cinco negras. Se lanza un dado. Si sale 1 entonces sacamos dos bolas de la urna I, en caso contrario de la urna II. Calcular la probabilidad de obtener : a) las bolas de colores diferentes; b) un 1 en el tiro de dado, si se sabe que se obtuvo las bolas de colores diferentes. 663 . En un salón, hay cuatro máquinas tragamonedas . La probabilidad de ganar en una máquina es

de 23  y en las tres restantes es de ganar.

3 7

. Si se escoge la máquina al azar, calcular la probabilidad de

664 . El 70% de las mujeres con uñas largas se ponen esmalte en las uñas. Se ha observado que el

esmalte protege las uñas, de tal manera que una mujer con uñas largas tiene una probabilidad de 0.30 de quebrárselas si usa esmalte, mientras que para las mujeres con uñas largas que no acostumbran usar esmalte, la probabilidad probabilidad de quebrarse quebrarse las uñas es 0.75. 0.75. Si a una mujer mujer se le quebraron las uñas largas que tenía, ¿cuál es la probabilidad de que no usara esmalte?

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

665 . Una empresa purifica y filtra agua para luego embotellarla en garrafones de 20 litros. La empresa tiene tres plantas en una ciudad:  P 1 ,  P 2  y  P 3, las cuales purifican respectivamente el 45%,

30% y 25% del agua que embotella la empresa. Una vez purificada el agua, ésta se transporta a una  planta central, central, desde donde se distribuye distribuye a toda la ciudad. ciudad. Un estudio demostró que el 8% de los garrafones de agua purificada en  P 1  no cumplen con las normas óptimas en lo que se refiere a  pureza  pureza y contenido contenido de sales mineral minerales, es, mientras mientras que que para  P 2  y P 3  las cifras correspondientes son 6% y 3%. Si se analiza el contenido de un garrafón de agua de la planta central y se comprueba que no cumple con las normas óptimas, hallar la probabilidad de que haya sido embotellado en la planta  P 1 . 666 . Tres compañías publicitarias  A, B y C  quieren  quieren obtener una cuenta lucrativa de un fabricante de aparatos electrodomésticos. En la compañía  A estiman que sus posibilidades de obtener la cuenta son iguales las de la compañía  B  y dos veces mejores que las de la compañía C . Hallar la  probabil  probabilidad idad de de que A, B o C  obtengan   obtengan la cuenta. 667 . En el departamento de matemáticas de una prestigiosa universidad se ofrece una atractiva

 plaza  plaza de investiga investigador dor de tiempo completo completo para matemático matemáticoss con doctorado doctorado.. El director director estima que el 80% de los aspirantes a la plaza son realmente competentes para el trabajo de investigador y 20% tal vez no lo son. Se establece un concurso de oposición consistente en un trabajo escrito y una exposición ante varios sinodales, con objeto de facilitar a la selección. La probabilidad de que un aspirante competente para la investigación pase esta prueba es de 0.90, mientras que para uno que no sea realmente competente la probabilidad es de 0.25. Encontrar la probabilidad de que un aspirante sea realmente competente para la investigación dado que a) pasó la prueba; b) no pasó la  prueba. 668 . En un programa familiar de televisión, el anfitrión le da al concursante la opción a escoger entre dos cajas C 1  y C 2 de idéntica apariencia que supuestamente contienen contienen dinero en billetes de

 banco.  banco. El con concur cursant santee tiene tiene que selecciona seleccionarr una caja, meter meter la mano mano y extraer extraer al azar un billete. billete. Sólo el anfitrión sabe que en la caja C 1   hay 6 billetes de 200 pesos y 2 billetes de 500 pesos, mientras que en la caja C 2  hay 5 billetes de 200 pesos y 3 de 500 pesos. En el momento en que el concursante saca el billete de una de las cajas el maestro de ceremonias estaba distraído saludando a alguien del público; y en ese momento el concursante le muestra el billete, el cual es de 500 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya sacado de la caja C 2? 669 . Los distribuidores de calzado “Tres Hermanos ” de León, Guanajuato se surten de zapatos fabricados por tres firmas: 50% proceden de la firma  A , 30% de la firma  B y el resto de la firma C . El gerente de la empresa distribuidora sabe por experiencia que 2% de los pares enviados por  A están defectuosos, y las cifras correspondientes para  B y C  son   son 3% y 1% respectivamente. Si se

toma un par de zapatos zapatos al azar de la empresa referida, encontrar encontrar la probabilidad probabilidad de que: a) esté defectuoso; b) no esté defectuoso; c ) haya sido enviado por la firma  A si es defectuoso; d) provenga de B si es defectuoso.

670 . Una empresa importante de televisión tiene propuestas para patrocinar uno de los siguientes  progra  programas: mas: V : una serie de vaqueros al estilo del viejo oeste con Clint Eastwood;  M : una serie de  program  programas as musicales; musicales; y C : una telenovela colombiana. Se estima que las probabilidades probabilidades de que el  presidente  presidente de la empresa empresa televisiva televisiva se decida por por V , M  o  o C  son  son 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente. respectivamente. Por otra parte, el gerente de producción considera que las probabilidades de que el rating  (o  popularida  popularidad) d) de la empresa se increment incrementee de manera manera import importante ante si escogen escogen V , M  o  o C  son  son 0.50, 0.40

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

y 0.30, respectivamente. Determine: a) la probabilidad de que la popularidad de la empresa no se incremente con ninguno de los tres programas; b) la probabilidad de que se haya transmitido la serie musical, si la popularidad de la empresa no aumentó para nada; c) la probabilidad de que se haya transmitido la telenovela colombiana, dado que se registró un incremento en el rating   de la empresa. 671 . El equipo de fútbol Necaxa contempla una millonaria inversión para contratar a un delantero

sudamericano estrella. Tienen en la mira al consagrado astro brasileño Rivaldo, al goleador chileno Iván Zamorano y al prometedor joven argentino Luciano Galleti. Se estima que las probabilidades son de 0.40, 0.35 y 0.25, respectivamente, de que la directiva del club llegue a un arreglo para contratar a uno de ellos (dependiendo de factores económicos). Por otra parte, el director técnico considera que su s u equipo tiene probabilidades probabilidade s (respectivamente) (respecti vamente) 0.90, 0.60 y 0.20 de ganar el campeonato si se logra la contratación. Si al final, el equipo Necaxa gana el campeonato de fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que Rivaldo haya sido contratado? 672 . Un pescador tiene tres lugares para pescar y visita estos lugares con la misma frecuencia. Las

 probabilidades  probabilidades de de pesca en cada uno de estos lugares lugares son 12 , 34 , 23 . ¿Cuál es la probabilidad de que el pescador pesque, si escogió el lugar para pescar al azar? 673 . Supongamos que el 5% de los hombres y dos mujeres en una población de 1000 individuos

son daltónicos. Una persona elegida al azar en esa población resulta ser daltónica. ¿Cuál es la  probabilid  probabilidad ad de que esta esta persona persona sea un hombre hombre si se sabe que que la proporció proporciónn de mujeres mujeres a hombres hombres en esa población es 3:7? 674 . La primera urna contiene dos bolas blancas y ocho negras, la segunda ocho blancas y tres

negras. Se escoge una urna al azar y de ésta se saca una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se saque una bola blanca? b) Si se obtuvo una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola  provenga  provenga de la primera primera urna? urna? 675 . Una nueva prueba fue desarrollada para la detección de la “enfermedad gamma”, que se cree

afecta al 5% de la población. Resultados de pruebas extensivas indican que el 98% de las personas que tienen esta enfermedad tendrán una reacción positiva a la prueba, mientras que el 6% de quienes no la padecen también tendrán una reacción positiva. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente y haya tenido una reacción positiva realmente tenga la “enfermedad gamma”? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar con una reacción negativa , realmente tenga la “enfermedad gamma”?

676 . Una representante de ventas pasa la noche en un hotel y tiene una cita el día siguiente a la hora

del desayuno con un cliente importante. Ella pide al servicio de habitaciones que le hagan una llamada a la 7:00 AM., para despertarla a fin de estar lista a tiempo para la cita. La probabilidad de que el servicio de habitaciones haga la llamada es de 0.9. Si la llamada es hecha, la probabilidad de que ella esté a tiempo es de 0.9, pero si la llamada no es hecha, la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.8. Si ella está puntual a la cita, ¿cuál es la probabilidad de que la llamada haya sido hecha?

677 . Cierta semana a los empleados de una gran compañía se les pidió que hicieran ejercicio un

mínimo de tres veces en esa semana durante al menos 20 minutos por sesión. El propósito fue

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

generar "millas de ejercicio". Todos los participantes que completaron el requerimiento recibieron un certificado de reconocimiento por su contribución. Las actividades reportadas fueron caminata, ciclismo y carrera. De todos los que participaron, 12   reportó caminata, 14  ciclismo y 14  carrera. Suponga que la probabilidad de que un participante que camina completara el requerimiento es 109 , y para ciclismo y carrera es 45 , 23  respectivamente.  res pectivamente. ¿Qué ¿Qué porcentaje de personas que completaron el requerimiento esperaría que reportaran caminata? (Suponga que cada participante realizó su ejercicio en una sola actividad). 678 . En una encuesta de satisfacción del cliente,

 de los sujetos sometidos a la encuesta tenían un automóvil japonés, 101 un carro europeo y 103  un automóvil americano. Del primer grupo, el 85% dijo que compraría la misma marca de automóvil otra vez, y para los otros dos grupos los  porcentaj  porcentajes es correspo correspondien ndientes tes son 50% 50% y 40%. ¿Cuál ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de de que una person personaa que dijo dijo compraría de la misma marca otra vez, tuviera un automóvil japonés? 3 5

679 . En un examen de matemáticas sólo el 75% de una clase respondió todas las preguntas. De

aquellos que lo hicieron, el 80% aprobó, pero de los que no respondieron todo, sólo aprobaron el 50%. Si un estudiante aprobó el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya respondido todas las  preguntas? 680 . Una conocida pareja, muy influyente de críticos de películas, tiene un popular programa de

televisión en el cual se revisan las películas de estreno y los vídeos recién presentados. En los últimos 10 años, dieron "excelente" al 80% de las películas que fueron éxito en taquilla, "malo" al 90% de las películas que no fueron exitosas. Una película nueva, cuyo estreno es inminente, es considerada favorablemente por otros en la industria que han visto la presentación a los críticos, ellos le dan una probabilidad a priori  para  para ser éxito éxito de 107 . Encontrar la probabilidad de que sea un éxito dado que la pareja de críticos en televisión le dio "excelente" después de verla.

681 . En el departamento de préstamos del banco BITAL, la experiencia indica que el 15% de los

 préstamos  préstamos solicitados tados son consider considerados ados por los examinad examinadores ores del banco banco y caen en la clase "subestándar" , por lo que no deben ser aprobados. Sin embargo, el revisor de préstamos, Sr. Pérez, en ocasiones es descuidado y concluye que una petición no es de clase subestándar cuando lo es, y viceversa. Suponga que el 20% de los solicitudes que realmente son subestándar no son consideradas por Sr. Pérez, y que el 10% de las solicitudes que no son subestándar son consideradas como tales por el Sr. Pérez, y no son aprobadas. a) Encontrar la probabilidad de que una solicitud sea considerada como subestándar por el Sr. Pérez. b) Encuentre la probabilidad de que una solicitud sea subestándar, dado que es considerada así por el Sr. Pérez. c ) Encuentre la probabilidad de que el Sr. Pérez cometa un error en una solicitud. (Un error ocurre cuando la solicitud no es subestándar pero es considerada así, o cuando siendo subestándar es considerada no subestándar). 682 . Un fabricante produce artículos en dos turnos. En el primer turno produce 300 unidades por

día y el segundo turno produce 200. Por experiencia, se cree que de la producción de los dos turnos, el 1% y 2% , respectivamente, está defectuosa. Al final del día, de la producción total fue seleccionada al azar una unidad.

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

probabilidad de que esté defectuosa. a) Encuentre la probabilidad b) Si la unidad está defectuosa, encuentre la probabilidad de que provenga del segundo turno. 683 . En el pasado una compañía contrataba sólo personal con experiencia para su departamento de

 procesamiento  procesamiento de textos. A causa de un déficit déficit en este campo, ha decidido contratar contratar personas sin experiencia y proporcionarles un entrenamiento en el trabajo. Ha facilitado a una agencia de empleos una prueba de aptitud que ha sido diseñada para los aspirantes al entrenamiento. De aquellos que recientemente hicieron la prueba, el 35% pasó. Para medir la efectividad de la prueba, todos los que la hicieron fueron puestos en el programa de entrenamiento. De quienes pasaron, el 80% se desempeñó satisfactoriamente, mientras que de los que fallaron, sólo el 30% se desempeñó satisfactoriamente. Si es seleccionado al azar uno de los aprendices y se encuentra que su desempeño es satisfactorio, ¿cuál es la probabilidad de que haya pasado el examen? 684 . Se realizó un estudio en el área metropolitana para determinar los ingresos anuales de las

 parejas  parejas casadas casadas en que sólo los maridos maridos proveían proveían de dinero dinero y aquellos aquellos en que ambos ambos cóny cónyuges uges estaban empleados. empleados. La tabla proporciona los resultados de este estudio.  Ingresos  familiar  % de  parejas  parej as % de  grupo de ingreso con anual ($) ($) 75000  y más

50000 − 74999 35000 − 49999 25000 − 34999 15000 − 24999 menos de 15000

casadas

ambos cónyuges trabajando

4 10 21 24 30 11

65 73 68 63 43 28

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja elegida al azar en esta área tenga dos ingresos? b) Si una pareja elegida al azar tiene dos ingresos, ¿cuál es la probabilidad de que el ingreso anual

de esta pareja sea mayor de $75000? c ) Si una pareja elegida al azar tiene dos ingresos, ¿cuál es la probabilidad de que su ingreso anual sea mayor de $24999? 685 . Los datos recopilados por el departamento de justicia acerca del número de personas

arrestadas por diversos crímenes en 1998 revelaron que el 89% eran hombres y 11% mujeres. De los hombres, 30% tenían menos de 18 años, mientras que el 27% de las mujeres arrestadas tenían menos de 18 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona arrestada por un crimen tuviera menos de 18 años? b) Si una persona arrestada por un crimen tenía menos de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? 686 . El departamento de ventas de la compañía farmacéutica publicó los siguientes datos relativos a

las ventas de cierto analgésico fabricado por la compañía.

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

 Analg ésico % de ventas

% del  grupo vendido

Cápsulas

57 

en dosis  fuerte  fuert e 38

Tabletas

43

31

Si un cliente adquirió la dosis fuerte de este medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que lo comprara en forma de cápsulas? 687 . Con base en los datos obtenidos por el Instituto Nacional de Investigación Dental, se ha

determinado que el 42% de los jóvenes de 12 años nunca han tenido caries, 34% de los jóvenes de 13 años tampoco ni el 28% de los jóvenes de 14 años. Si se elige un joven al azar de un grupo de 24 estudiantes de primaria y secundaria, entre los cuales están 6 de 12 años, 8 de 13 y 10 de 14, y este  joven  joven no ha ha tenido tenido caries, caries, ¿cuál ¿cuál es es la probab probabilidad ilidad de que que tenga tenga 14 años? años? 688 . Una compañía de seguros ha recopilado los siguientes datos relativos a la edad de los

conductores y la tasa de accidentes para los conductores dentro de cada grupo. Grupo de edad  menos de 25

25 − 44 45 − 64 65 o más

% de conductore s

Tasa de

asegurados

accidentes

0.16 0.40 0.30 0.14

0.05 0555 0.02 0255 0.02 0.04

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor asegurado esté involucrado en un accidente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor asegurado que esté involucrado en un accidente

tenga menos de 25 años?

689 . Se realizó un estudio entre cierto grupo de trabajadores sindicalizados cuyas pólizas de seguro

requieren una segunda opción antes de pasar a cirugía. Entre los trabajadores cuyos médicos recomendaron la intervención, un segundo doctor dijo a 20% que no era necesaria la operación. De éstos, 70% aceptaron la segunda opción y no entraron al quirófano. De los trabajadores cuyos dos doctores recomendaron la cirugía, 95% se sometieron a la operación. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador sindicalizado que entró a cirugía haya recibido tal indicación por parte de un segundo doctor? 690 . Una empresa de consultoría se ha presentado a un concurso para un gran proyecto de

investigación. Inicialmente, la dirección de la empresa pensó que tenía una oportunidad de 50% de obtener el contrato. Sin embargo, la dependencia a la que fue presentada la propuesta ha solicitado más información. Por la experiencia se sabe que la dependencia solicitó información adicional en el 75% de las propuestas aceptadas y en el 40% de las propuestas rechazadas. probabilidad previa de tener éxito (esto es, antes de solicitar información adicional)? adicional)? a) ¿Cuál es la probabilidad b) ¿Cuál es la probabilidad condicional de tener una solicitud de informas adicionales, dado que al final la oferta será seleccionada?

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

c)

Calcular la probabilidad de que la oferta tenga éxito, dado que se ha recibido información adicional. 691 . La urna I contiene tarjetas en las que están escritas, respectivamente, los números :

log log 1 4 , log log 5 1 , cos 53π ; y la urna II : log log 4 23 , log log 3 19 , sen 23π , tan 76π . Se lanza un dado y si sale 2 9 un número divisible entre 3 se saca una tarjeta de la urna I, en caso contrario de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una tarjeta con número positivo? sen se n x  y la urna II : 692 . La urna I contiene tarjetas con números : log 3 27 , sen 76π , log 4 23 , lím 2  x  x→0 9 2n 2 − 1 log 9 tan π6 , log 1 2 2 , lím . Se lanza un dado y si sale un número menor o igual a 4 n→∞ n − n 2 2

se saca una tarjeta de la urna I, en caso contrario, de la urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una tarjeta con un número que cumpla desigualdad  x 2 ≤ 1 ?

693 . En la Cámara de Diputados de México, el 45% de los legisladores son del  PRI , el 30% son del  PAN y el 25% restante son del  PRD. Se ha observado que aproximadamente el 20% de los diputados del  PRI se duermen durante una sesión ordinaria. Para los diputados del  PAN   y del  PRD  PAN  y  PRD ,

las cifras correspondientes son 15% y 30%. Además, se ha comprobado que aproximadamente el 60% de los diputados del  PRI  que   que se quedan dormidos empiezan a roncar. Para los diputados del  PAN y del  PRD que se quedan dormidos, los porcentajes respectivos son 40% y 50%. Determine la  probabili  probabilidad dad de que durante durante una sesión sesión ordinaria ordinaria en la Cámara Cámara de Diputados Diputados un legislador legislador  pertenezca  pertenezca al  PRI , dado que a) está dormido; b) está roncando; c) está dormido, pero no está roncando. d) Determine el porcentaje de diputados que se encuentran despiertos durante una sesión ordinaria ordinaria de trabajo. 694 . El Club de fútbol América de México contrató a un nuevo director técnico uruguayo y se

enfrenta en un partido clave contra las “chivas rayadas” del Guadalajara, partido que que en caso de terminar empatado se iría a la decisión en tiros de penal. Los expertos y críticos estiman que hay un 30% de probabilidades de que el nuevo técnico no funcione, y de ser así, habría un 90 % de  probabilid  probabilidades ades de que el América perdiera ese partido clave. En cambio, si llegara llegara a darse que el técnico funciona y es eficaz, habría un 80% de probabilidades de que el América ganara ese partido. Supongamos que llegó el día del partido y resultó que perdió el América. ¿Qué porcentaje de la responsabilidad responsabilidad de esa derrota debe atribuirse al nuevo director técnico? 695 . En la caja  A  hay nueve canicas rojas y una blanca; en la caja  B hay diez canicas rojas. Se toman 9 canicas al azar de la caja  A y se traspasan a la caja  B. Luego se toman 9 canicas al azar de la caja B y se regresan a la caja  A. Hallar la probabilidad de que la única canica blanca siga estando todavía en la caja  A. 696 . Un niño tiene dos roperos en su recámara, en los cuales guarda sus camisetas limpias. El  primer  primer ropero ropero tiene tres cajones, cajones, cada cada uno de los cuales cuales contiene contiene 5 camiseta camisetass blancas blancas y 2 de color; color; mientras que el segundo ropero tiene sólo dos cajones, cada uno de los cuales contiene una camiseta  blanca  blanca y 4 de color. La sirvienta sirvienta entró a esa recámara y sacó una camiseta de color para el niño. Encontrar la probabilidad de que provenga del primer ropero.

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

697 .? Un profesor de probabilidad y estadística imparte sus clases usando marcadores de tinta

 para pizarrón pizarrón blanco. blanco. Tiene Tie ne un pequ pequeño eño estuche con 4 de esos marcadore marcadores, s, todos de color negro,  pero no no recuerda recuerda si alguno algunoss están en en buen estado estado o son inservib inservibles. les. Al empezar empezar su su cátedra, cátedra, saca saca dos marcadores del estuche para anotar unas fórmulas en el pizarrón, pero ninguno de los dos escribe. Entonces el profesor dice alguna broma mientras distraídamente los vuelve a meter en el mismo estuche junto con los otros dos, y mejor pasa lista de asistencia. a) Si vuelve a tomar un marcador al azar de su estuche, hallar la probabilidad de que esta vez sí escriba bien; b) Si vuelve a tomar un marcador del estuche y resulta que esta vez sí escribe bien, hallar la probabilidad de que sea el único de los cuatro marcadores que sirve; c ) Si vuelve a tomar uno de los marcadores del estuche y resulta que otra vez no sirvió, hallar la probabilidad de que ninguno de los 4 sirva y por tanto se suspenda la clase. 698 .? Con referencia al problema anterior, suponga que además se tiene la información de que los

4 marcadores del estuche provienen de una caja que el profesor tenía en su casa, en la cual había en total 4 marcadores inservibles y 6 en buen estado. ¿Cómo modifica este dato las soluciones de los tres incisos?

699 . Tres de los empleados de una mansión campestre son el mayordomo  M , la sirvienta S  y   y el cocinero C . Supóngase que las probabilidades probabilidades de que ellos digan la verdad cuando se les hace una  pregunta  pregunta son son  p1 ,  p 2 y p 3 , respectivamente. Cierto día ocurrió un crimen en esa mansión y los tres

empleados fueron testigos independientes. Al ser interrogados (de manera independiente), los tres concuerdan en una cierta aseveración. Determinar la probabilidad de que esa aseveración sea verdadera.

700 .? Una señora abrió una gran bolsa con numerosos dulces de muchos sabores; metió cuatro de

ellos al azar en una taza y la colocó arriba de la alacena para que su pequeño hijo no se los comiera antes de la merienda. Sin embargo, el pequeño logró subirse en una silla y después de mucho trabajo pudo meter la mano y sacar un dulce de la taza, pero vio que era de menta y él odia la menta. a) Calcular la probabilidad de que los cuatro dulces de la taza hayan sido de menta; b) Supongamos, además, que la hermana del niño le ha informado previamente que esos dulces  provenían  provenían de una gran bolsa de 200 dulces, de los cuales cua les sólo el 40% eran de menta. menta. Calcular la  probabilid  probabilidad ad de que los 4 dulces dulces de la taza hayan sido sido de menta, dado dado que el niño metió metió la mano y sacó un dulce que era de menta. 701 . En el cajón de un ropero hay seis camisetas de colores desconocidos. Un joven saca 3

camisetas al azar y observa que las tres son negras. Hallar la probabilidad de que no haya quedado ninguna camiseta camiseta negra en el cajón. 702 . Un acaudalado empresario fue hallado muerto en forma misteriosa, y en sus ropas se encontró

el sobre de una carta anónima que presuntamente había sido enviada a él por el culpable. La indagatoria sacó a relucir que 50% de la correspondencia del interfecto provenía de Zacatecas, 30% de Toluca y 20% de Cuernavaca, así que esas fueron las probabilidades a priori que se formaron los detectives  Dupi  Dupin n  y  Holmes acerca de la ubicación del remitente. Más tarde, el examen minucioso del sobre mostró que se alcanzaban a percibir tenuemente las letras CA en el matasellos. El detective  Dupin  Dupin   dijo que esta nueva evidencia de nada servía para ubicar al remitente, ya que efectivamente las tres ciudades contienen las letras consecutivas CA. Sin embargo, el detective  Holmes consideró que esa nueva evidencia sí ayudaba bastante a modificar las sospechas previas. ¿Quién de los dos tenía razón? [ Ayuda  Ayuda para la solución : Si la carta viene de Zacatecas, entonces

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

hay 8 pares de letras consecutivas, dos de las cuales son “CA”. Si viene desde Toluca, hay 5 pares de letras consecutivas, de los cuales sólo uno es “CA”; si viene de Cuernavaca hay 9 pares de letras consecutivas, uno de las cuales es “CA”. Sea  E : {la palabra dice CA en dos letras seguidas};  F :{la :{la  palabra  palabra no dice CA en dos letras seguidas}. Denótese por  Z , T  y  y C , respectivamente, al suceso que la carta provenga de Zacatecas, Toluca o Cuernavaca. Por tanto, P( E  Z ) = 2 ⁄ 8 = ¼, etc. Dibuje un diagrama de árbol si es necesario y por último, aplique el teorema de Bayes]. 703 .? Se prepara un torneo torneo triangular de ajedrez ajedrez entre los tres mejores ajedrecistas ajedrecistas del orbe: los

grandes maestros Kaspárov, Anand y Krámnik, todos contra todos a cuádruple vuelta. Los expertos de la revista “Chess Life” estiman que las probabilidades que ellos tienen de ganar el primer lugar son proporcionales a 5, 3 y 2, respectivamente. Sin embargo, durante la competencia salió a relucir que Kaspárov estaba enfermo y fuera de forma, lo que redujo su probabilidad a un tercio. ¿Cuáles son ahora las probabilidades probabilidades respectivas para Anand y Krámnik? 704 . Una caja tiene  n  esferas de colores desconocidos. Se saca una esfera al azar y resulta ser de

color blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea la única esfera de color blanco en la caja? n

705 . Una lista de 2  equipos de baloncesto se divide aleatoriamente en dos listas con igual número

de equipos. Cada equipo de la lista I se eliminará con algún equipo de la lista II (escogido al azar) y los perdedores quedan fuera. Con los equipos ganadores se forma otra lista y se repite el  procedimien  procedimiento, to, eliminando eliminando así cada vez vez a la mitad de los equipos, equipos, hasta que sólo permane permanezcan zcan dos equipos, los cuales jugarán la final para determinar al equipo triunfador. En la lista original de los 2 n equipos hay, sin embargo, dos equipos fortísimos (el equipo “del sueño” y el de “la pesadilla”), los cuales con toda certeza derrotarán a cualquier otro equipo que tengan enfrente. Determinar la  probab  probabilid ilidad ad de que que justame justamente nte estos estos dos dos equipos equipos jueg jueguen uen la la final. final. 706 . Una caja tiene cinco esferas de color desconocido. Dos veces se repite el experimento de sacar

una esfera al azar y regresarla a la caja, y en cada caso resultó ser una esfera azul. Si ahora se sacan dos esferas simultáneamente, calcular la probabilidad de que ambas sean azules.

707 . Un dado ordinario se lanza tres veces consecutivas y la suma de los tres números obtenidos

fue 15. Encontrar la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido el 4.

708 . Una señora tiene dos niños pequeños: Luis y Toño. La señora sabe que cuando hacen una

travesura y son reprendidos, Luis dice la verdad 3 de cada 4 veces, y Toño 5 de cada 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos niños se contradigan entre sí al establecer el mismo hecho? 709 . De una caja que contiene n esferas, cada una de las cuales es blanca o negra y se desconoce en

qué proporción, se extrae al azar una esfera y resulta ser blanca. Dicha esfera se regresa a la caja y luego se saca otra esfera, la cual también resulta ser blanca. Si esta segunda esfera también se regresa a la caja, calcular la probabilidad de que en la siguiente extracción por fin salga una esfera negra. 710 . Un maestro de matemáticas se mudó de casa y guardó sus libros al azar en m grandes cajas, que selló luego con cinta canela. Dentro de cada una de las cajas había n  libros distintos. Al llegar a

su nuevo departamento se percató que necesitaba dos libros específicos para preparar sus clases del día siguiente. a) Hallar la probabilidad de que los dos libros que necesita se encuentren en la misma

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

caja; b) Determinar la probabilidad de que ambos libros estén en la misma caja, dado que ya ha examinado r  cajas  cajas (r  <  < m) y comprobó que no contienen los libros que busca. 711 . Juan dice la verdad dos de cada tres veces, y Pedro dice la verdad 4 de cada 5 veces. Ambos

están de acuerdo en asegurar que de una caja que contenía 6 canicas de distintos colores se sacó una canica roja. Determinar la probabilidad de que esa aseveración sea verdadera.

712 . Unos amigos iban a jugar a los naipes, pero al contar las cartas se percataron de que había 51

cartas solamente. Entonces se sacan al azar dos cartas y se comprueba que ambas son espadas ( ♠). Calcular la probabilidad de que la carta perdida también sea una espada.

713 .? Supóngase que en cierto cierto lugar llueve aproximadamente aproximadamente el 40% de los los días y hay cielo

despejado el 60% de los días. Supóngase además que la gente de ese lugar puede más o menos  predecir  predecir si lloverá lloverá o no, consul consultando tando el baróme barómetro; tro; aunque aunque ese instrum instrumento ento no es del del todo confiab confiable le ya que en días lluviosos erróneamente pronostica “claro” 10% de las veces, y en días claros en forma incorrecta predice “lluvia” el 20% de las veces. veces. Supóngase Supóngase que en un día cualquiera cualquiera se consulta el barómetro y se comprueba que este instrumento pronostica que lloverá. Dada esa evidencia, ¿cuál es la probabilidad de que llueva? 714 . Dado el siguiente árbol de probabilidades a priori, hallar el árbol correspondiente de

 probabil  probabilidad idades es a posterior posteriori: i:

715 . En una fábrica de piezas de poliuretano, hay dos máquinas automáticas ( M   M 1 y  M 2 ) que

 producen  producen piezas idénticas idénticas de ese material, material, las cuales son tiradas a un transportador transportador común y empacadas manualmente por los obreros. La máquina  M 1  tiene un rendimiento dos veces mayor que  M 2 ; sin embargo,  M 1   es una máquina más antigua y produce sólo 60% de piezas de calidad excelente, mientras que  M 2   produce 84% de piezas excelentes. Una pieza tomada al azar del transportador resultó ser de calidad excelente. Calcular la probabilidad de que haya sido producida  por la máquin máquinaa M 1.

716 . Cierto acontecimiento  A puede ocurrir como consecuencia de tres posibles causas mutuamente excluyentes:  B1,  B2  y  B3 , las cuales forman un conjunto completo de eventos (es decir, la suma de sus probabilidades es igual a 1). Después de que efectivamente ocurrió el acontecimiento  A , se estimaron las probabilidades posteriores de las causas, hallándose que P( B1 A) = 0.6 y que P( B  B2  A) = 0.3. Calcular la probabilidad condicional P( B3 A).

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

717 . Tres deportistas practican tiro al blanco con fusil. Los 3 hicieron sus disparos simultáneamente

y hallaron que dos balas habían dado en el blanco. Si las probabilidades de acertar al blanco para los tres tiradores son, respectivamente, 0.6, 0.2 y 0.4, calcular la probabilidad de que el tercer tirador haya dado en el blanco. 718 .?   Un motor V8 de automóvil tiene tres soportes independientes, cuyas probabilidades de

romperse en un lapso de 8 años son, respectivamente 0.2, 0.4 y 0.3. Si el conductor del auto percibe el ruido característico de dos soportes rotos, hallar la probabilidad de que se hayan roto los soportes  primero  primero y segund segundo. o. 719 . Un dispositivo de un submarino tiene cuatro válvulas que funcionan de manera independiente,

y cuyas probabilidades de fallar son, respectivamente, respectivamente, iguales a 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4. 0.4. Si se determina que exactamente dos de las cuatro válvulas del aparato han fallado, calcular la probabilidad de que hayan sido las válvulas primera y segunda.

720 . Suponga que  A y  B son dos eventos tales que P( A B) = P( Ac Bc) = 0.95. Si además se sabe que P( B  B) = 0.005, usar la regla de Bayes para evaluar la probabilidad condicional P( B A). 721 . En un grupo de 100 personas hay 40 hombres. Se sabe que el 50% de hombres fuman y 30%

de las mujeres lo hacen. De este grupo de escoge al azar una persona. Calcular la probabilidad de que esta persona a) sea mujer, b) fume, c ) sea mujer, dado que fuma, d) fume, dado que es mujer. 722 . Una joven estudiante de una universidad toma clase de probabilidad y estadística a las 7 de la

mañana, y necesita despertarse a las 6:00 A.M. para llegar justo a tiempo. Su despertador ya no funciona del todo bien, y sólo suena a la hora programada el 70% de las veces. Si el despertador suena, entonces la despertará con probabilidad de 0.8; pero si s i no suena, hay una probabilidad de 0.3 de que ella despierte sola para llegar apenas a tiempo a su primera clase. Se requiere a) hallar la  probab  probabilid ilidad ad de que que la joven joven tome su primera clase. b) Si ella se queda dormida dormida hasta tarde, hallar la  probabi  probabilida lidadd de que que el despert despertado adorr no haya haya sonado. sonado. 723 . La caja I contiene a 1 canicas azules y b 1 canicas blancas; la caja II contiene a 2 canicas azules y b 2  canicas blancas. Se escoge al azar una canica de la caja I y se traspasa, sin verla, a la caja II.

Después se toma al azar una canica de la caja II. Hallar la probabilidad de que sea azul.

724 . Con relación a las cajas del problema 723, suponga suponga que de la caja I se saca una canica canic a al azar azar y

se traspasa a la caja II, luego se extrae una canica al azar de la caja II y se regresa, igualmente sin verla, a la caja I. Por último se saca al azar una canica de la caja I. Calcular la probabilidad de que sea una canica azul.

725 . Un biólogo fue a una zona de Veracruz a tratar de atrapar una iguana viva para estudiarla. Al llegar a la zona ha averiguado que la probabilidad de que hallar una iguana en un radio menor a r 1 kilómetros es de 0.1; de hallar uno de estos animales en un radio que oscile entre r 1  y r 2 (con r 2  > r 1) es de 0.3, y en un radio mayor a r 2  es de 0.2. Si aparece una iguana en un radio menor a r 1, el

científico y sus ayudantes serán capaces de atraparla con una probabilidad de 0.7; si aparece en un radio que oscile entre r 1  y r 2 , podrán atraparla con una probabilidad de 0.5, y si aparece en un radio mayor a r 2 , podrán atraparla con probabilidad de 0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el biólogo y sus ayudantes logren atrapar una iguana? b) Si finalmente el científico y sus ayudantes lograron

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

atrapar una iguana, determine la probabilidad de que este animal haya sido capturado en un radio mayor a r 2. 726 . Un señor y su familia planeaban pasar las vacaciones haciendo un recorrido en su auto, ya sea

 por  por el la costa costa del Go Golfo lfo de México, México, por la zon zonaa del Bajío o por Baja Californ California. ia. Según el reporte reporte meteorológico, la probabilidad de lluvia en la zona del Golfo era de 2, en el Bajío era de 3 y en Baja California de 5. Finalmente, la decisión la dejaron al azar. Cuando regresaron, su auto traía mucho lodo en las llantas y en otras partes, señal inequívoca de que les había tocado lluvia. Determinar la  probabi  probabilida lidadd de que hayan hayan pasea paseado do por Baja Baja Califor California. nia. 727 . Un mueble tiene tres cajones y dentro de cada uno de ellos hay dos cajas cerradas. En un

cajón, cada una de las dos cajas contiene una moneda de oro; en otro cajón, cada caja contiene una moneda de plata, y en el restante cajón, una caja contiene una moneda de oro y la otra una moneda de plata. Se escoge un cajón del mueble al azar, se abre una de las cajas al azar y se encuentra una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda de la otra caja en ese mismo cajón sea de  plata?  plata? [Joseph [Joseph Bertrand Bertrand1 : Calcul des Probabilités . París, 1899] 728 . Un señor miope le cuenta a su pequeño nieto que él era buen jugador de baloncesto en sus

años mozos y, para demostrárselo, lo lleva a un gimnasio en donde hay aros para practicar ese deporte. Aunque sus facultades se han mermado algo con los años, el señor aún es capaz de anotar aproximadamente seis de cada diez tiros libres que lanza a la canasta, pero su miopía le impide ver si anotó canasta o no, por lo que el nieto tiene que decirle en cada caso si anotó. Sin embargo, el niño está distraído con un juguete y sólo el 80% de las veces que el señor anota le dice que ha encestado; en cambio, 20% de las veces que el señor no encestó, reporta el tiro como anotación. Suponga que el niño reporta un tiro encestado, ¿cuál es la probabilidad de que el abuelo haya anotado? 729 . Se estima que aproximadamente 75% de los conductores de automóvil de la Ciudad de

México poseen licencia (permiso) para conducir. Además, el 40% de los conductores que tienen licencia están familiarizados con el reglamento de tránsito, mientras que sólo el 10% de los conductores que no tienen licencia lo están. a) ¿Qué porcentaje de los conductores de auto de la Ciudad de México desconocen el reglamento de tránsito?; b) Si alguien encuentra un conductor de automóvil que desconoce el reglamento de tránsito, calcular la probabilidad de que posea permiso  para condu conducir. cir. 730 . Aproximadamente el 10% de los levantadores de pesas de un equipo olímpico se dopan con

sustancias prohibidas por la Federación Internacional de Halterofilia. Cuando se sospecha que un levantador de pesas podría haberse dopado, se le somete a dos pruebas independientes. Cada prueba resulta en un diagnóstico correcto el 90% de las veces. Se requiere hallar la probabilidad de que un levantador de pesas se haya dopado, si a) resultó positivo en ambas pruebas; b) resultó positivo sólo en una de las dos pruebas. 731 . Suponga que 6 jugadores  A1 ,  A2 , . . .,  A6  se sientan alrededor de una mesa a lanzar un dado normal, por turnos y en ese orden. El primero que saque el 6 gana una botella de  Bordeaux genuino,  Joseph Louis François Bertrand (1822−1900) fue uno de los grandes exponentes e impulsores de la teoría de las probabilidades en el siglo XIX. Su extensa monografía sobre la materia, publicada un año antes de su muerte, contiene varias paradojas sorprendentes. 1

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

y ahí acab ac abaa el juego. En teoría, el juego puede durar indefinidamente, pero ello es inverosímil. Se requiere determinar la probabilidad de que la botella a) sea ganada por el jugador  A1 , b) acabe finalmente en el conjunto { A5 , A6 }. 732 . En un laboratorio se ha fabricado fabricado una moneda de diez pesos falsa, de apariencia idéntica a una

normal, pero en ella se han alterado la distribución de su masa y el centro de gravedad. Ello provoca que al ser lanzada caiga águila con cierta probabilidad desconocida, pero constante,  p ≠ 1. Suponga que n  jugadores  A1 , A2, . . .,  An  se sientan alrededor de una mesa a lanzar la moneda por turnos y en ese orden, con la condición de que el primero que obtenga águila gana y el juego se termina. Encuentre la probabilidad de que el juego sea ganado por el jugador  Ak (k  = 1, 2, . . . , n ). [T. Cacoullos:  Exercise  Exercisess in Probab Probability ility . Springer Verlag, N.Y./Berlín, 1989]. 733 .?  Suponga que los dos mejores ajedrecistas del mundo: Vishy Anand y Garry Kaspárov son

igualmente fuertes para el ajedrez, de tal forma que en una partida entre ambos hay una  probabi  probabilida lidadd de 0.2 de que la partida partida tenga tenga vencedor vencedor,, y de 0.8 de que hagan tablas tablas (empate) (empate).. Si  juegan  juegan una serie de partidas partidas (o match ), a) averiguar si para cualquiera de ellos es más probable ganar 3 de 6 partidas decisivas (es decir, sin tomar en cuenta las tablas) o bien 4 de 8 partidas decisivas; b) ¿Cambiaría la respuesta si estos grandes maestros no fuesen igualmente fuertes? 734 .? Una moneda se llama legal  (o  (o también honrada ), si la probabilidad de que caiga águila en un lanzamiento es ½. Suponga que una moneda legal (llamémosla m5) se deposita en una caja junto con otras 8 monedas de apariencia idéntica, pero que han sido alteradas (llamémoslas m1 , . . . , m4 , y m6 , . . . , m9 ). Suponga que para cada moneda mi ( i = 1, . . . , 9), la probabilidad de que caiga águila

en un lanzamiento es precisamente 10i . Se saca una moneda al azar de la caja, misma que se lanza 100 veces al aire, con el resultado de 55 águilas y 45 soles. Hallar la probabilidad de que esa moneda sea a) la moneda m5   (la única moneda legal); b) la moneda m6  (la moneda cuya  probabili  probabilidad dad de águila águila es 0.6). 0.6).  Indicación  Indicación: Para evitarle al lector operaciones muy engorrosas, le  proporci  proporcionam onamos os los siguie siguientes ntes valore valoress numérico numéricoss que hemo hemoss calcula calculado do con con ayud ayudaa del  Excel   =  Exce l : sea C  =  100   , entonces con ayuda de los siguientes datos numéricos y una calculadora de bolsillo, resulta   55   fácil llegar a la solución de los dos incisos, aplicando el teorema de Bayes: i  pi

1 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0. 5

qi

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 5

C ⋅  pi55 ⋅ q i45

5.36320018 ×10−29 9.64295763×10 −15 1.14707521×10 −7 8.29119010×10 −4 4.84742966×10 −2

i

 pi

6 7 8 9

0.6 0.7 0.8 0.9

qi

0.4 0.3 0.2 0.1  suma total  total :

C ⋅  pi55 ⋅ q i45

4.78111801×10−2 5.48731316×10−4 1.01113739×10−8 1.87003227×10−19 9.76634519×10−2

A decir verdad, ni siquiera hacía falta multiplicar los productos  pi55 q i45  por C  (¿por  (¿por qué?). 735 .?  (Análogo al 734, pero con un interesante cambio). Suponga que en una caja hay 55 monedas de apariencia idéntica, pero en realidad son las siguientes: 10 monedas del tipo m1, 9 monedas de tipo m2, 8 monedas del tipo m3 , etc . . . , 2 monedas del tipo m9 y adicionalmente una moneda que

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

tiene águila en ambas caras (llamémosla moneda del tipo m10 ). Son 10 + 9 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 = 55 monedas en total. Se saca una moneda al azar y se lanza 2 veces al aire, con el resultado de 2 águilas. Determinar la probabilidad de que a) se trate de una de las seis monedas legales que hay en la caja (del tipo m5 ); b) se trate de una de las 5 monedas del tipo m6  que hay en la caja (caen águila con  probabi  probabilida lidadd 0.6); c ) se trate de la única moneda que tiene águila en ambas caras (la moneda tipo m10 ). 736 . Cada mes, la compañía editorial  Patria  manda empastar sus libros impresos a tres talleres: T 1 , T 2  y T 3 , ubicados en distintas partes de una ciudad. De 1000 ejemplares empastados mensualmente en T 1 , el 20% no son cosidos del lomo, sino pegados con cola, lo que provoca que pronto se deshojen con el uso. En el taller T 2 , de 2000 libros empastados cada mes, el 10% no son cosidos, y en el taller T 3 , de 3000 empastados cada mes, el 5% no son cosidos. Se requiere determinar la  probabili  probabilidad dad de que un libro editado editado por dicha compañía: compañía: a) haya sido empastado en el taller T 1 , dado que no fue empastado en el taller T 3; b) no esté cosido del lomo, dado que no fue empastado en el taller T 2 ; c) no esté cosido del lomo; d) haya sido empastado en el taller T 1, dado que un lector

reporta que se deshojó a los pocos días de haberlo comprado.

737 .?  (Eventos   atrayentes y repelentes) Se dice que un evento no vacío  E  es atraído  por otro evento no vacío  F , si ocurre que P( E  ). Por otra parte, un evento  E  es  es repelido por otro  E  F ) > P( E   E ). evento F  (ambos  (ambos eventos ≠ ∅ ), si ocurre que P( E  F ) < P( E  ). En el caso de que P( E  ), es  E ).  E  F ) = P( E   E ), decir, cuando  E  y  y F  son  son eventos independientes, se dice que el evento  E  es  es indiferente al evento  F . a) Demuestre que las relaciones así definidas (atracción, repulsión e indiferencia) son recíprocas o simétricas; en otras palabras, si  E  es  es atraído por  F , entonces  F  es  es atraído por  E ; si  E  es  es repelido por  es repelido por  E ; y finalmente, si  E  es  es indiferente a  F , entonces  F  es  es indiferente a E .  F , entonces  F  es Podemos usar las notaciones  A ¯ B , A - B, y  A ‡ B  para simbolizar, respectivamente, eventos que se atraen, que se repelen, y que son indiferentes (o independientes). b) Demuestre que si  E  y  y F  se  se atraen, entonces E c y F  se  se repelen. 738 .? A una señora se le cayó un botón original de su abrigo y lo guardó en uno de los n cajones

llenos de baratijas y cachivaches que hay en los muchos muebles de su hogar, pero no recuerda en cuál de todos. Etiquetemos todos los cajones con los números del 1 al n . Sea E  j el evento {el botón  buscado  buscado está en el el cajón  j}, y sea  F k k el evento {en una búsqueda superficial del cajón k  no se halló el botón referido}. a) Demuestre que  E  j y  F k k son eventos mutuamente repelentes si  j = k , pero son   mutuamente atrayentes si  j ≠ k ; b) ¿Qué interpretación útil y práctica se puede dar al resultado del inciso a)? 739 . Suponga que la torre de control del aeropuerto internacional perdió contacto con el vuelo 713

con destino a las Bermudas y se teme lo peor. Los expertos estudian un mapa de la zona donde se tuvo por última vez contacto con la aeronave, y deciden enviar helicópteros y un barco a cada una de tres regiones específicas, denotémoslas por  R1 , R2  y R3 . Tras analizar las situación, ellos estiman que cualquiera de las 3 regiones es igualmente probable y existe la certeza de que el avión cayó en alguna de ellas. Empero, y debido a las condiciones climáticas y geográficas, la probabilidad de  poder  poder localizar localizar el avión en  R1   dado que efectivamente está ahí, es de 0.7. Para  R2 y  R3 , las  probabili  probabilidade dadess respectiv respectivas as son 0.6 0.6 y 0.5. Si Si los helicópt helicópteros eros que que escudri escudriñan ñan la regió regiónn  R1  reportan no haber visto nada, hallar la probabilidad de que el avión sea finalmente localizado a) en la región  R2 , b) en la región R3 , y c ) en la región  R1 .

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

740 .? Para evitar que individuos individuos potencialmente potencialmente peligrosos peligrosos puedan ser policías en México, se ha establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito  sine qua non

 para ser contratados contratados.. El defecto defecto de esa prueba, prueba, sin embargo, embargo, es que el 8% de los individuos individuos aptos  para desempeñar desempeñar esa labor quedan erróneamente erróneamente descalificados descalificados por haber reprobado ese examen, mientras que el 12% de los aspirantes que no son aptos para tal labor aprueban el examen y son contratados por equivocación. Suponga que todos los aspirantes a policía que aprueban el examen son automáticamente contratados. Si la experiencia muestra que sólo el 85% de los policías son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que son aptos. 741 . Dos terceras partes de los conductores de automóvil que salen a carretera revisan su auto antes

de emprender el viaje. De los que revisan su auto, el 97% llegan a su destino sin contratiempos. Si se sabe que la probabilidad ( a posteriori) de que un conductor no haya revisado su automóvil, dado que tuvo un contratiempo es de K, hallar la probabilidad condicional de que un automovilista que sale a carretera tenga un contratiempo, dado que no revisó su automóvil antes de salir. 742 . La compañía de seguros  Acme  Acme  clasifica a sus clientes en dos tipos: los que incurren en riesgos innecesarios innecesarios de manera voluntaria y cotidiana cotidiana (clientes tipo tipo  A), y por otra parte, los que no incurren en riesgos de ningún tipo en forma voluntaria (clientes tipo  B). Las estadísticas que ellos mismos manejan muestran que los asegurados del tipo  A  tienen una probabilidad de 0.4 de enfermarse o tener algún accidente durante un período de dos años, mientras que para los clientes tipo  B, dicha

 probabilida  probabilidadd es de sólo 0.2. Debido a la coyuntura actual de inseguridad inseguridad y falta de previsión, previsión, los especialistas estiman que el 30% de la población es proclive a enfermarse o tener algún accidente en un período de 2 años. Si el señor Juan José Gómez Gutiérrez adquirió una póliza de seguros afirmando que él era cliente tipo  B y al poco tiempo tuvo un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya mentido a los de la compañía aseguradora?

743 . Para ingresar a la Universidad Nacional Nacional Autónoma de México, México, los aspirantes deben presentar un examen de opción múltiple. Sea p la probabilidad probabilidad de que un estudiante sepa la respuesta correcta a una pregunta cualquiera de dicho examen, y sea 1 − p  la probabilidad de que no la sepa y responda al azar, tratando de adivinar la respuesta. Cada pregunta tiene n  alternativas (u opciones), de las

cuales sólo una es la correcta. Se requiere determinar la probabilidad condicional de que que un estudiante en verdad haya sabido la respuesta correcta a una pregunta, dado que la respondió de manera correcta. 744 . En el handicap de las Américas , cierto caballo tiene una determinada probabilidad a priori de

saltar limpiamente un obstáculo específico. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que el caballo salte el mismo obstáculo limpiamente en el primer intento de una nueva competencia, dado que en los siete intentos anteriores lo logró hacer en cuatro ocasiones?

745 . Un señor lanza tres dados ordinarios. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que haya salido

al menos un seis, dado que en los tres dados salieron números distintos?

746 . En un pueblo lejano llueve la mitad de los días del año y el pronóstico del tiempo que

anuncian resulta correcto con probabilidad B   . Un caballero de ese pueblo siempre sale con su  paraguas  paraguas cuando se pronost pronostica ica lluvia, lluvia, y cuando cuando no se pronosti pronostica ca lluvia lluvia sale con su paraguas paraguas con  probabi  probabilida lidadd 2. Se requiere hallar la probabilidad de que a) lo sorprenda la lluvia sin su paraguas; b) salga con su paraguas y no llueva ese día.

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

747 . Considere una calle amplia y despejada, de un solo sentido y con 4 carriles:  A , B, C  y  y D, como se indica en la figura. Los carriles  A y D son exteriores, y los carriles  B y C  son  son interiores.

Suponga que cierto automóvil se cambia aleatoriamente a cualquiera de los carriles contiguos cada 15 segundos exactamente. Si ese auto se acaba de pasar al carril  A, determine la probabilidad de que a) se encuentre otra vez en ese mismo carril después de un minuto y medio, pero antes de un minuto con 45 segundos; b) se encuentre en alguno de los carriles  B o D , justo después de dos horas, pero antes de cumplirse dos horas con 15 segundos. c ) Si el automóvil inició su recorrido en los carriles probabilidad exacta de que se  A o C , siendo este último tres veces más probable que aquél, hallar la probabilidad encuentre en el carril  A   justo cuando se acaban de cumplir dos horas desde su inicio; d) Si el automóvil inició su recorrido en los carriles  A o C  , , siendo este último dos veces más probable que aquél, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre en el carril C  a  a los 25 minutos exactos después de haber iniciado?, ¿a las 25 horas? [ Sugerencia : Dibuje un árbol de eventos, con sus respectivas  probabili  probabilidades dades indicadas indicadas y descubra descubra la forma forma como como se van van relacion relacionando ando los número números]. s]. 748 . Las señales de un telegrama ( ·) y (

) se enviaron en la proporción 3: 4. Sin embargo, y debido a fallas en la transmisión, la señal ( ·) se configuró como ( ) con probabilidad 2 . Si el receptor acaba de recibir una señal ( ·), determine la probabilidad de que haya sido transmitida correctamente. 0

0

749 . En un juego de lotería hay 90 esferas numeradas en una urna y se extraen cinco sin reposición,

que son las que ganan el premio. Si ese mismo juego se realiza durante 85 días consecutivos, ¿cuál es la probabilidad de que todas las 90 esferas hayan salido por lo menos una vez? [Laplace2 : Théorie analytique des probabilités, París, 1812].

  Pierre Simon Laplace (1749− 1827) se considera el padre de la teoría moderna de las probabilidades. Su Théorie analytique marcó un estándar de rigor a seguir en esta ciencia. Laplace rescató el teorema de Bayes de la oscuridad y además a él le debemos casi todo lo que se sabe acerca de la distribución normal. También introdujo el concepto de función generatriz. En 1814 publicó un trabajo menos técnico bajo el título de  Essai  philosophi  philo sophi que sur le s probabil ités. 2

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

Respuestas correctas a los 133 problemas y ejercicios sobre la regla de Bayes . 617 . 618 . 619 . 620 . 621 . 622 . 623 . 624 . 625 . 626 . 627 . 628 . 629 . 630 . 631 . 632 . 633 . 634 . 635 . 636 . 637 . 638 . 639 . 640 . 641 . 642 . 643 . 644 .

/7 ≈ 0.4286. /3 ≈ 0.6667. 32 /53 ≈ 0.6038. 0.4444 0.9130 0.5853. a) 0.07397; b) 0.16104. 2 /19 ≈ 0.1053. 3 /7 ≈ 0.4286. 0.11428 0.48664 2 /3 ≈ 0.6667. 35 /64 ≈ 0.54687 403 /693 ≈ 0.5815 11 /30 ≈ 0.3667 7 /16  = 0.4375 Es más probable que haya elegido un fusil normal (probabilidad = 0.827 0.296 0.52 14 /95 ≈ 0.1474 0.528 9 /37 ≈ 0.2432 48 /15 1511 ≈ 0.3179 0.45238 14 /23 ≈ 0.6087 16 /17 ≈  0.94118 a) 0.07595; b) 0.69421

645.

9

646 . 647 . 648 . 649 . 650 . 651 . 652 . 653 . 654 . 655 . 656 . 657 .

/12 1244 ≈ 0.3629 255 /34 6 ≈ 0.7370; b) 0.9849. a) 51 28 a) /107 ≈ 0.4766; b) /31 ≈ 0.9032 91 /299 ≈ 0.3043 18 /67 ≈ 0.26866 0.0526 14 /25 = 0.5600 0.0802 0.5012 0.455 0.482 0.929

3 2

/14

≈

0.6429

45

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

24

/43 ≈ 0.5581)

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

658 . 0.923 659 . 0.3571 660 . 50  . 661 .

99 71 126

662 . a)

91  , b) 168

16 . 91

663 . 41 . 84

664 . 665 . 666 . 667 . 668 . 669 . 670 . 671 .

0.51724 0.58537 P( A  A) = 0.40; P( B  B) = 0.40; P(C ) = 0.20. 72 a) /77 ≈ 0.9351; b) 8 /23 ≈ 0.3478 3 /5 = 0.6000 1 49 2 2 a) /50 ; b) /50; c ) /5 ; d) /20 . 117 14 15 a) /200  = 0.5850; b) /39 ≈ 0.359; c) /83 ≈ 0.1807 18 /31 ≈ 0.5806

672 . 23 673 .

36 75 82

674 . a) 675 . a)

51 110 49 106

, b) , b)

11 51 1 894

676 . 81 89

677 .

27 49

678 . 51 679 . 680 .

68 24 29 56 59

41 , b) 24 , c) 23 41 200 200 682 . a) 0.014, b) 0.57

681 . a) 683 . 684 . 685 . 686 . 687 . 688 . 689 . 691 . 692 .

0.5894 a) 0.5528, b) 0.047, c) 0.711 a) 0.30, b) 0.10 0.62 0.35 a) 0.03, b) 0.29 0.93 11  ⁄ 1188. 4  ⁄ 9.

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

693 . a) 0.42857; b) 0.49315; c) 0.35821; d) 79%. 694 . 65.85% 695 . 10/19 ≈ 0.5263. 696 . 15/43 ≈ 0.3488. 697 . De acuerdo con esa esa información, información, hay tres hipótesis posibles, posibles, a saber:  H 1: {los 4 marcadores son inservibles};  H 2 : {exactamente 3 marcadores son inservibles}; y  H 3 :{exactamente 2 marcadores son inservibles}. Podemos suponer s uponer a priori  que esas tres hipótesis son igualmente probables, ya que no sabemos nada acerca del origen ni del estado de esos marcadores. Denotemos por S  al   al evento {un marcador sacado al azar del estuche sí sirve}, y por  N  al  al evento {un marcador sacado al azar del

estuche no sirve}. Entonces podemos dibujar un árbol de sucesos más o menos de la siguiente manera:

Es claro que el inciso a) queda resuelto si se calcula la probabilidad total del suceso S , es decir, la  probabili  probabilidad dad de de que un un marcador marcador cualquiera cualquiera del estuche estuche sí sí sirva. sirva. Por tanto: tanto: P (S ) = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 3 = 1 . 3 3 4 3 2 12 4 Los incisos b) y c) se calculan por la regla de Bayes, ya que se trata de probabilidades posterior posteriores. es. Tenemos: b): P( H   H 2S ) =

⋅

1 1 3 4 1 4

=

1 ; c) 3

P( H 1  N ) =

⋅

1 3

1 1 3 1 3 3 4

⋅1 + ⋅ + ⋅

1 1 3 2

= 94 .

698 . A la luz de esta nueva información, información, las probabilidades a priori de las tres hipótesis: hipótesis:  H 1 (los 4 son inservibles),  H 2 (sólo uno de los 4 sirve) y  H 3   (2 sirven y 2 no), se ven modificadas. Los 6

marcadores que quedaron en la casa del profesor, más los 2 marcadores del estuche que aún no han sido probados forman un total de 8 marcadores, de los cuales 6 sirven y 2 no (excluimos del espacio muestral a los dos marcadores que ya se sabe que no sirven). Los dos marcadores del estuche que

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

no han sido probados son un subconjunto de este conjunto de 8 marcadores. Por lo tanto, las  probabilid  probabilidades ades a priori priori de H 1 , H 2  y H 3  son, respectivamente, las siguientes: si guientes:

  2   ⋅   6    2 0 P( H 1 ) =         = 1  ; P( H   H 2 ) =  8   28     2  

  2   ⋅   6     1   1   = 3 ; P( H   H 3) =  8   7     2  

  2   ⋅   6     0    2   = 15  8   28     2  

Entonces, el árbol de eventos queda como sigue:

1 ⋅0 + 3⋅ 1 + Tenemos: a) P(S ) = 28 7 4 2  H 1  N ) = /35 ≈ 0.05714. c ) P( H 

699 .

⋅ =

15 1 28 2

3 8

= 0.3750; P( N   N ) =

5 8

2 ; b) P( H   H 2 S ) = /7 ≈ 0.2857;

 p1 p 2 p3  p1 p2 p 3 + (1 −  p1 )(1 −  p 2 )(1 −  p 3 )

700 . a) Como no se sabe cuántos sabores existen ni en qué proporciones, entonces establecemos 4  posibles  posibles hipótesi hipótesiss que a priori deben deben considerar considerarse se igualmente igualmente probabl probables, es, a saber: saber:  H 1: {los 4 son de menta};  H 2 : {sólo 3 son de menta};  H 3 : {sólo 2 son de menta}; y  H 4 : {sólo el dulce que sacó es de menta}. Entonces, P( H   H i) = ¼ (i = 1, . . . , 4). Sea  A el evento: {un dulce sacado al azar de la taza es de menta} y sea  B: {un dulce sacado al azar de la taza no es de menta}. Entonces:

P( H 1 A) =

P( H 1 ) ⋅ P( A) 4

P( H  ) ⋅ P( A ∑ i=1 i

H i )

=

¼⋅1 =2 ¼ ⋅1 + ¼ ⋅ ¾ + ¼ ⋅½ + ¼ ⋅¼ 5

b) Con la información proporcionada por la hermana acerca de la gran bolsa de dulces, los 3 dulces

desconocidos de la taza son una muestra sin reposición sacada de un conjunto de 199 dulces, de los cuales 79 son de menta. Sean  H 1 , H 2 , H 3  y H 4 los sucesos en que la señora puso, respectivamente, 4, 3, 2 o 1 dulce de menta en la taza. Luego:

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

  79   ⋅  120   3 0 P( H   H 1 ) =        ; P ( H   H 2) =  199       3  

  79   ⋅  120     2     1  ; P ( H   H 3 ) =  199        3  

  79   ⋅  120     79   ⋅  120   0 3   1     2  ; P( H   H 4 ) =        .  199   199    3            3  

Obtenemos así: P( H   H 1) ≈ 0.061126; P( H   H 2 ) ≈ 0.285785; P( H   H 3 ) ≈ 0.436006; P( H   H 4 ) ≈ 0.217083. P ( H   H 1 A) = 701 . 1 /35

0.061126 × 1 ≈ 0.111597 0 .061126 × 1 + 0.285785 × 0.75 + 0.436006 × 0.5 + 0.217083 × 0.25

≈ 0.02857

702 . El detective  Holmes tenía razón. De acuerdo al principio del Reverendo Bayes, las sospechas

 previas  previas son modificad modificadas as a la luz de la evidenci evidenciaa empírica empírica,, por irrelevan irrelevante te que ésta parezca. parezca. De hecho, las probabilidades a priori y a posteriori acerca de la ubicación del remitente son las siguientes:  probab  probable le lugar lugar desde desde donde donde se envió envió la la carta: carta : Zacatecas  probabilid  probabilidad ad a priori priori 0.50000 0.50000  probabi  probabilida lidadd a posterio posteriori ri (dada (dada la eviden evidencia) cia) 0.60322 0.60322

Toluca 0.30000 0.30000 0.28954 0.28954

Cuernav Cuernavaca aca 0.20000 0.10724

703 . Hay dos maneras en que Kaspárov puede no  ganar el torneo: ganando Anand o ganando

2 Krámnik. Las probabilidades de estos sucesos son 3 ⁄ 1100 y  ⁄  1100, respectivamente. Por tanto, la  probabi  probabilida lidadd a priori  de que Kaspárov no ganara el torneo era 5 ⁄ 1100 (o sea ½); pero después de la evidencia empírica (se mostró enfermo y bajo de forma) su probabilidad de perder se convirtió en 2  ⁄ 3 , esto es: su probabilidad de perder aumentó en la razón 4 a 3. Por consiguiente, también las  probabilid  probabilidades ades a posteriori  de ganar para Anand y Krámnik Krámnik aumentaron en la mism mismaa proporción. Por lo tanto, las probabilidades (posteriores) que tienen Anand y Krámnik, respectivamente, para ganar el certamen son: P (Anand gane  Kaspárov  Kaspárov está enfermo) = 103 × 43 = 25 = 0.4000

P (Krámnik gane  Kaspárov está enfermo) = 102 × 43 = 154 ≈  0.2667. Lo que indica que, no obstante estar enfermo y bajo de forma, Kaspárov probablemente terminará en segundo lugar, detrás de Anand. 2 704 . . n(n + 1) 2 n −1 705 . n . 2 −1 7 ≈ 0. 68545. 706 . 37 55 0 707 . 1 ⁄ 5 = 0.2000. 708 . 1 ⁄ 3 ≈ 0.3333. 709 .

n −1 . 2(2n + 1)

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

710 . a)

n −1 mn − 1

; b)

711 . 40 ⁄ 4411 ≈ 0.9756. 712 . 11 ⁄ 5500 = 0.2200 713 . Denotemos por

n −1 mn − rn − 1

.

θ1 y θ2, respectivamente, a los eventos “llueve” y “no llueve”. Sean

 X 1  y  X 2 ,

respectivamente, los eventos: “el barómetro pronostica lluvia” y “el barómetro pronostica día seco”. Según esto, la probabilidad de que llueva y el barómetro pronostique “lluvia” es: P (θ1 ∩ X 1) = P(θ1 ) ⋅ P( X   X 1 θ1 ) = 0.40 × 0.90 = 0.36. Análogamente, la probabilidad de tiempo despejado y predicción “lluvia” es: P (θ2 ∩ X 1) = P(θ2 ) ⋅ P( X   X 1 θ2 ) = 0.60 × 0.20 = 0.12.

La probabilidad de que el barómetro pronostique “lluvia” será entonces (probabilidad total):  P(  P ( X   X 1 ) = 0.36 + 0.12 = 0.48. Si en efecto, ocurre que el barómetro predice “lluvia”, entonces la  probabi  probabilida lidadd a posteriori de que llueva es: P(θ1  X 1 ) =

P(θ1 ∩ X 1 ) 0.36 = = 0.75 . P( X 1 ) 0.48

714 . Por medio de la regla de Bayes se halla el siguiente árbol a posteriori:

715 . 10 ⁄ 1177 ≈ 0.5882. 1 716 .  ⁄  1100  . 10 717 .  ⁄ 1199 ≈ 0.5263. 718 . Denotemos por p i a la probabilidad de que se haya roto el soporte i , y por q i a la probabilidad de que no se haya roto ( i = 1, 2, 3). Sea  A el evento: {se rompieron dos soportes}. Definimos ahora los siguientes 6 eventos:  B1 :{se rompieron los soportes primero y segundo, pero el tercero no},  B2 :{se rompieron los soportes primero y tercero, pero el segundo no},  B3 :{se rompieron los soportes segundo y tercero, pero el primero no},  B4 :{se rompió sólo un soporte},  B5 :{se rompieron los 3 soportes},  B6 :{no se rompió ningún soporte}. Entonces, como los soportes trabajan de manera independiente, tenemos P( B (0.2)(0.3)(0.6)  B1 ) = p 1 p 2 q 3 = (0.2)(0.4)(0.7) = 0.0560; P( B  B2 ) =  p 1 p3 q2  = (0.2)(0.3)(0.6) = 0.0360; P( B  B3 ) = p 2 p 3 q1  = (0.4)(0.3)(0.8) = 0.0960. Dada la evidencia empírica (certeza) de que se rompieron exactamente dos soportes, entonces P( A Bi) = 0, para i = 4, 5, 6. Por lo mismo, se tiene

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

P ( A  A Bi ) = 1, para i = 1, 2, 3. Entonces, la probabilidad total de que se hayan roto exactamente dos soportes es: P( A  A) =

6

∑= P ( B )P( A B ) = 0.0560 + 0.0360 + 0.0960 + 0 + 0 + 0 = 0.1880. i

i

i 1

Por último, aplicando el teorema de Bayes, hallamos que P ( B  B1  A) = 719 . 720 .

 ⁄ 536 536 ≈ 0.039179.  ⁄ 218 218 ≈ 0.087156.

P( B1 ) ⋅ P( A B1 ) (0. 0560)(1) = P( A) 0.1880

21 19

721 . a) 0.6, b) 0.38, c)

, d) 722 . a) 13 = 0.6500; b) 3 = 0.6000. 20 5 723 .

724 .

9 19

3 10

a1a 2 + b1 a2 + a1 . ( a1 + b1 )( a 2 + b2 + 1) a12 ( a 2

725 . a) 726 .

≈ 0.29787.

+ 1) + (a1 − 1)(a1b2 + a2 b2 ) + a1b1 (b2 + 1) . ( a1 + b1 ) 2 (a 2 + b2 + 1)

⋅ + 103 ⋅ 12 + 15 ⋅ 15 + 25 ⋅ 0 = 13 = 0.2600; b) 50

1 7 10 10

2 13

≈ 0.1538.

2 9

. 727 . 2. 728 . 67 ≈  0.8571. 729 . a) 67.5%; b) 23 . 730 . a)

9 ; b) 1 10 10

.

7776 ≈ 0.25059; b) 6875 ≈ 0.22155. 731 . a) 31031 31031 k −1  p (1 −  p) 732 . .

1 − (1 − p ) n 733 . En cualquier caso es más probable para cualquiera de ellos ganar 3 de 6 que 4 de 8; no importa si la respectiva fuerza de ambos es la misma o si es desigual, y tampoco importa si un juego puede tener dos resultados posibl posi bles es (ganar o perder) o tres resultados (ganar, perder o empatar). Veamos: a) Considérese primero el caso de un juego en el que no existe el empate y cada uno de los contendientes tiene una probabilidad de ½ de ganar una partida. La probabilidad de ganar tres de seis juegos sería    63    ⋅ (½) 3 ⋅ (½) 3 ≈ 0.3125, y la probabilidad de ganar 4 de 8 sería    84    ⋅ (½) 4 ⋅ (½) 4 ≈ 0.2734. Suponga ahora que ambos adversarios son igualmente fuertes y que existe la posibilidad de empate, de tal suerte que cada uno de ellos ( A y K ) gana con probabilidad de 0.1 (por ejemplo) y el  juego  juego es tablas tablas con con probab probabilida ilidadd de 0.8. 0.8. Esto Esto signific significaa que cualqu cualquiera iera de de ellos ellos gana gana con proba probabilid bilidad ad 0.1 y no gana  con probabilidad 0.9. En tal caso, la probabilidad de ganar 3 de 6 (para cualquiera de los dos) es    63    ⋅(0.1) 3⋅(0.9) 3   = 0.01458, y la probabilidad de ganar 4 de 8 es    84    ⋅(0.1)4⋅(0.9)4 ≈ 0.00459. b) Supóngase ahora que los jugadores tuviesen fuerzas desiguales, de tal manera que uno de ellos gana con probabilidad  p  y no gana (es decir, pierde o empata) con probabilidad q (donde,

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

naturalmente,  p + q  = 1). La probabilidad de ganar 3 de 6 es 20  p 3 q 3  = a , y la probabilidad de ganar 4 de 8 es 70  p4 q 4  = b ; así, sólo hace falta comparar las cantidades a  y b. Dividiendo la primera 2 . Es claro entonces que a > b ⇔  2 > 7 p (1− p ). El igualdad entre la segunda, obtenemos ab = 7 pq valor máximo de 7 p  p(1− p) lo obtenemos rápidamente igualando la derivada a cero, y hallamos entonces que ocurre para  p = ½, siendo el valor máximo  1.75 < 2. Esto significa que siempre ocurre que a > b, es decir, en cualquier caso es más probable ganar 3 de 6 juegos que ganar 4 de 8, y casualmente hemos hallado también que mientras más desiguales son las fuerzas de ambos  jugadore  jugadores, s, tanto más probable probable es ganar ganar 3 de 6 juegos juegos que ganar ganar 4 de 8. Esto, por supuesto, supuesto, es además lógico: el equipo de fútbol de México ya no es tan malo como antes, y con algo de suerte  podría  podría ganar uno de dos partidos partidos a Brasil, Francia Francia o Italia; Italia; sin embargo, embargo, sería muy poco verosímil verosímil que lograran ganar cinco de diez partidos a cualquiera de estos países. 734 . Sea Ai el evento {se extrae de la caja la moneda mi} (i = 1, . . . , 9), y denótese por  B al evento

{en 100 lanzamientos de la moneda extraída ocurrieron 55 águilas y 45 soles}. Entonces aplicamos la regla de Bayes en ambos incisos: 1 ⋅  100  ⋅ (0. 5) 55 ⋅ (0.5) 45  55    P ( A5 ) ⋅ P( B A5 ) 9   (0.5)55 ⋅ (0.5) 45  ≈ 0.49634.  = 9  A5  B) = a) P( A = 9 9 1 ⋅  100  ⋅ p 55 ⋅ q 45 P ( Ai ) ⋅ P ( B Ai )  pi55 ⋅ qi45 i 9  55   i

∑=

i 1

∑=

∑     i=1 1 ⋅  100  ⋅ (0. 6)55 ⋅ (0. 4) 45  55    P( A6 ) ⋅ P( B A6 ) 9   (0.6 )55 ⋅ (0.4) 45 ≈ 0.48955.  = b) P( A6  B) = = 9 9 9 100 55 45     1 55 45 ∑ pi ⋅ q i ∑ P ( Ai ) ⋅ P ( B Ai ) ∑ 9 ⋅   55   ⋅ pi ⋅ qi =

i

i

i 1

1

=1

i

=1

Resulta curioso que, a pesar de que 55 es un punto intermedio entre 50 y 60, es más probable que se trate de la moneda cuya probabilidad de águila es 0.5 y no de la moneda cuya probabilidad de águila es 0.6. 735 . Sea  Ai el evento {la moneda extraída de la caja es del tipo mi}. De acuerdo con los datos, de cada tipo mi de moneda (i = 1, . . . , 10) hay en total 11 − i  unidades en la caja. Denótese por  B el

evento {en dos lanzamientos de la moneda extraída salieron dos águilas}. Entonces tenemos: P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) = P( A5 ) =

10 55 9 55 8 55 7 55 6 55

,

2 P ( B  B A1 ) = (0.1) = 0.01

,

2 P( B  B A2 ) = (0.2) = 0.04

,

P ( B  B A3 ) = (0.3)2 = 0.09

,

2 P( B  B A3 ) = (0.4) = 0.16

,

2 P ( B  B A5 ) = (0.5) = 0.25

5 , 55 4 , P ( A  A7 ) = 55 3 , P ( A  A8 ) = 55 2 , P ( A  A9 ) = 55 1 , P ( A  A10) = 55

P ( A  A6 ) =

La probabilidad total del evento  B está dada por P( B  B) =

2 P( B  B A6 ) = (0.6)  = 0.36 2 P( B  B A7 ) = (0.7)  = 0.49

P( B  B A8 ) = (0.8)2 = 0.64 2 P( B  B A9 ) = (0.9)  = 0.81 2 P( B  B A10 ) = 1  = 1.

10

∑= P( A ) ⋅ P ( B A ) = 1150 = 0.2200. k 

k 

k  1

3 15 110   0.124; b)  A5  B) = a) P( A 11 12 121 1 50 2 ; c ) 11 ; d) 4 . 736 . a) 2 ; b) 15 120 11



=

≈

P( A  A6  B) =

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

9 275 11 50

 A10 B) = = 18 ≈ 0.149; c) P( A 121

1 55 11 50

=

10 ≈ 0.083. 121

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

P( E  ∩  ∩ F ) > P( P  F   (F ) ⇒ P( E )  ∩ F ) < P( E  P( E  ∩ P( F   ; por otra parte,  E - F ⇒ P( E  F ) < P( E   F  E ) > P( F   F ) ⇒ F ¯ E  ;  E ) ⇒  E ) ⇒ P( F )  ∩ F ) < P( F  P( E  ∩  ‡ F ⇒  P( E   F ) ⇒  P( F   F  E ) < P( F   F ) ⇒ F - E . Por último, se tiene  E  ‡  E  F ) = P( E   E ) ⇒ P( E )  ∩ F ) = P( E   ∩ F ) = P( F  P( E  ∩ P( E  ∩  ‡ E .  E ) ⇒  F ) ⇒ P( F   F  E ) = P( F   F ) ⇒  F  ‡ P( F ) P( E )

737 . a) E ¯ F  ⇒ P E   (E  F ) > P( E   E )

⇒ ⇒ ⇒

⇒

P( E  ∩  ∩ F ) > P( P ( E   E ) P( F )

⇒

c

c

). En principio, tenemos P( F  E )⋅P ( E  b) Suponga que  E  ¯ F . Entonces  F  ¯ E , luego P( F   F  E ) > P( F   F ).  E  ) c = P(F ∩ E ) = P( F  P ( F  ), toda vez que  F − E ) = P( F   F ) − P( F   F ∩ E ) = P( F   F ) − P( F   F  E )⋅P ( E   E ) < P( F   F ) − P(  F )⋅P ( E   E ), c c c c c P ( F  ). De aquí que P( F  )[1 − P(  P ( E  )], es decir, P( F  )P( E   F  E ) > P( F   F ).  F  E  )⋅P ( E   E ) < P( F   F )[1  E )],  F  E  )⋅P ( E   E ) < P( F   F )P(  E  ). Si en esta última desigualdad dividimos ambos miembros entre P( E c) > 0, se obtiene finalmente que P ( F  ), lo que implica que  F - E c y por consiguiente  E c - F .  F  E c) < P( F   F ), 738 . a) Para k  =   = 1, . . . , n , sea φ k   la probabilidad de que se haya buscado el botón de manera superficial en el cajón k , sin haberlo visto, dado que en efecto el botón estaba ahí mismo; denótese  por ψ k k   la probabilidad de que el botón esté en el cajón k . Esto es: φ k  = P ( F   F k   E k  k  E k  k);   ψ k  k  = P( E  k ).

Además: 0 < φ k  <   < 1, 0 < ψ k k  <  < 1, ya que no se tiene certeza absoluta (a priori) de ninguno de estos dos eventos, como tampoco es imposible (a priori) que ocurran. En cambio, si i ≠ k , siempre ocurre que P( F   F k  k  E i) = 1, puesto que es seguro que el botón no se encontrará en un cajón si es que está en otro. Esto significa que la probabilidad total de que el botón no se vea en el cajón k , tras una  búsqueda  búsqueda super superficia ficiall de todos todos los cajone cajones, s, está dada dada por por P ( F   F k  k)  =

n

n

n

 E  ) = φ ψ  + 1 −ψ  . ∑= P ( F   E  ) ⋅ P( E  )  = φ ψ   + ∑= P( F   E  )P (E  ) = φ ψ   + ∑= P( E  ) −P ( E  k 

i

i

k  k  k 

i 1

k 

i

i

k  k  k 

≠

Entonces, por el teorema de Bayes, P( E k k  F k k)  = P ( E   E k   E k  k)  − P( E  k  F  k ) = ψ k  k 

−

φ k ψ k  φ k ψ k  + 1 − ψ k 

=

φ k ψ k  φ k ψ k  + 1 − ψ k 

k  k 

i

i

i 1 i k 

k  k  k 

k  k 

1

. Por último, obsérvese que

ψ k (φ k ψ k  + 1 − ψ k  ) − φ k ψ k  φ k ψ k  + 1 − ψ k 

− ψ k  )(1 − φ k  )  > 0, φ k ψ k  + (1 − ψ k )

= ψ k (1

toda vez que 1−ψ k k  > 0, y 1−φ k  > 0. de aquí que P( E   E k   E k  k  F k  k ) < P( E  k)  y por tanto  E k  k  - F k  k . Sólo nos resta demostrar que  E  j ¯ F k k , si j ≠ k . En efecto, supóngase que  j ≠ k ; entonces: P ( E   E  j F k  k)  − P( E   j) =

ψ  j ⋅ 1 φk ψ k  + 1 − ψ k 

−ψ  j =

b)

ψ  jψ k (1 − φ k ) φ k ψ k  + (1 −ψ k  )

> 0 ⇒ P( E  j) < P( E   E   j F k  k ) ⇒ E   j ¯ F k  k. 

Una interpretación práctica: Si la señora ha dado una búsqueda superficial en el cajón k  y no logró hallar su botón (ocurrencia del suceso  F k k ), entonces disminuye la probabilidad de que el referido botón se encuentre ahí, es decir, P( E k k  F k k ) < P( E   E k  k ), pero en cambio aumenta la probabilidad de que dicho botón se encuentre en cualquiera de los otros cajones, en comparación a lo que sería si no hubiese buscado infructuosamente en ese cajón, es decir, P( E  j F k k ) > P( E   E   j),  j ≠ k . En otras  palabras:  palabras: empeza empezarr a buscar buscar cierto cierto objeto objeto en un lugar lugar y no encontra encontrarlo rlo inmedia inmediatame tamente nte,, con convie vierte rte más atractiva la posibilidad de que dicho objeto se encuentre en otro lado, pero más repulsiva la  posibilidad  posibilidad de que se encuentre encuentre realmente ahí donde se está buscando. Esta idea la entiende entiende casi

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

cualquiera que tenga sentido común, y es muy interesante que pueda deducirse de los axiomas de la teoría de las probabilidades. 739 . a) y b) Ambas aumentaron de

1  a 10 3 23

≈ 0.4348. c) Disminuyó de 13  a

3 23

≈ 0.1304.

740 . Denotemos por  A  al evento {un aspirante a policía es apto} y por  N  al  al evento {un aspirante a  policía no es apto}. Sea a = P( A  A), entonces P( N   N ) = 1−a . Denotemos por  B al evento {aprobar el examen} y por  R al evento {reprobar el examen}. Entonces, de acuerdo con los datos, tenemos P ( R  R A) = 0.08 y P( B  B N ) = 0.12. Esto significa que P( B  B A) = 0.92 y P( R  R N ) = 0.88. Además, se  proporcio  proporciona na el dato de de que P( A  A B) = 0.85. Usando la regla de Bayes tenemos:

P ( A  A B) = 0.85 =

0. 92a 0.92 a  = . Se halla que a = P( A) = 0 .92 a + 0 .12(1 − a ) 0 .8a + 0.12

17 40

= 0.4250. Esto

implica que sólo el 42.5% de los aspirantes a policías son aptos para serlo. 741 . 742 .

6 25 6 13

 = 0.2400. ≈ 0.4615.

743 .

np 1 + (n − 1) p

744 .

4 7

.

≈ 0.5714.

 P  745 . 5 3 6 P 3

746 . a)

= 60 = 12 . 120

2 ; b) 5 . 9 9

2 + 2 2 + 2 4 11 = 32  = 0.34375; 26 b) Cero, porque si está en el carril  A al inicio, entonces para n = 0, 1, 2, 3, . . . , se hallará siempre en los carriles  A o C  justo   justo después de cumplirse los 30 n segundos, pero antes de cumplirse los 30 n + 15 segundos. Como 2 horas corresponde a n = 120, entonces en el intervalo de 15 segundos después de cumplirse las 2 horas se hallará en alguno de los carriles  A o C  con  con toda seguridad. c ) Se recomienda al lector tomar una hoja grande de papel y dibujar un árbol de acontecimientos desde el principio. Al hacerlo, podrá ir descubriendo cosas muy interesantes acerca de este  problem  problema, a, y le asegura aseguramos mos que pasará pasará un rato divertido, divertido, como lo hemos hemos hecho hecho nosotros nosotros.. Si hay  probabilidad  probabilidades es de  p  y 1− p, respectivamente, de que el automóvil inicie su recorrido en los carriles  A o C , entonces para k  = 0, 2, 4, 6, ... , 2n , . . . (pares), el automóvil se hallará en  A con probabilidad α k  y se hallará en C  con   con probabilidad 1−αk  , justo en el intervalo que va desde 15 k  hasta 15(k +1) +1) segundos a partir del inicio, donde 747 .a)

0 2 4 6 k − 4 k − 2 α k  =  p + 2 + 2 + 2 + 2k  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 2 ;

2

y en cambio, para  j = 1, 3, 5, . . . , 2n +1, . . . (impares), el automóvil se hallará en el carril  B con  probabi  probabilida lidadd β j y en el carril  D con probabilidad 1−β j, justo en el intervalo que va desde 15 j hasta 15( j j  +1) segundos, donde

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.

L as respuestas respuestas y/o sol uci ones de estos estos probl emas está están al f i nal .

0 2 4  j− 3  j −1 6 β j =  p + 2 + 2 + 2 + 2 j + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 2 .

2

Por consiguiente, si el automóvil inició en los carriles  A o C , con probabilidades iguales a 3 y H, respectivamente, la probabilidad de que esté en el carril  A cuando se acaban de cumplir dos horas 1 + 2 0 + 2 2 + 2 4 + 2 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 238 ≈ 2 (según el  Mathemati desde su inicio está dada por 4  Mathematica ca ). 2 240  No es evidente evidente,, ni mucho mucho menos, menos, que el resultad resultadoo de esa división división tenga tenga que que ser 2, y la intuición nos dice que ese cociente se puede y se debe simplificar más, con objeto de obtener respuestas concretas concretas más simples y que no requieran el uso de computadoras. Aquí es donde el álgebra elemental viene a nuestro rescate. Hagamos sk  = 1 + 22  + 24  + 26  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2k −2 , y wk  =  = 2 + 23 + 25  + 27  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2k −3. Es claro que podemos escribir wk  en términos de  sk  del siguiente modo: wk  = 2(1 + 22  + 24 + 26  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2k −4); sumamos y restamos 2 k −1  y queda: k − 1 k −1 2 4 6 k − 2 wk  = 2(1 + 2  + 2  + 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 ) − 2  = 2 sk −2 . k −2 2 k  − 1 Así: sk  + wk  = 2 r  = 2 k −1 − 1  = sk  + 2 sk −2k −1. Por tanto:  sk  = . 3 r = 0 En consecuencia, si al inicio del recorrido hay probabilidades  p y 1− p , respectivamente, de que el auto haya iniciado en los carriles  A o C , y si está cambiando cada 15 segundos a un carril adyacente en forma aleatoria, la probabilidad de que esté en el carril  A, transcurridos 15k  segundos y antes del 2 k  − 1  p + k  3 = 3 p + 2 − 1  = α k , y segundo número 15(k + 1), para k  = 0, 2, 4, 6, 8, ..., está dada por 2 k  3 × 2 k  la probabilidad de que esté en el carril C   en ese momento está dada por 1−α k , mientras que  probabilidad  probabilidad de que se encuentr encuentree en  B (o en  D) es cero. Por otra parte, transcurridos exactamente 15 j  segundos y antes del segundo número 15( j +1), para  j  = 1, 3, 5, 7, ..., la probabilidad probabilidad de que el auto se encuentre en el carril  B (habiendo iniciado su recorrido en  A con probabilidad  p ) está dada  por 2  j +1 − 1  p + 3 p + 2  j +1 − 1 3  = β j ; = 2 j 3 × 2 j y la probabilidad de que se encuentre en el carril  D es 1−β j. Incidentalmente, hemos hallado una 2 2n+2 − 1 fórmula curiosa: 1 + 2 2 + 24  + 26  + ⋅ ⋅ ⋅ + 22 n  = . d) Si el automóvil inició su recorrido en 3 los carriles  A o C  con   con probabilidades 2 y B, respectivamente, entonces se hallará en el carril C  con  con  probabi  probabilida lidadd B a los 30n  segundos de haber iniciado ( n  = 0, 1, 2, 3, . . . ) y durante un lapso de 15 segundos. Claramente, 25 minutos corresponde corresponde a n = 30, y 25 horas corresponde a n = 3000, así que en ambos casos el auto se deberá hallar en el carril C  con   con probabilidad B, aunque queda abierta la  pregunta  pregunta acerca de cómo podría podría resistir resistir el automóvil automóvil (o sus pasajeros) pasajeros) un viaje de 25 horas sin sin detenerse.

∑

748 .

43 84

≈ 0.5119.

749 . 1

Copyright ©2001. Gabriel Velasco Sotomayor.