Ejemplos Soluciones Graficas PL

 

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA COORDINACIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ASIGNATURA: ASIGNA TURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I DOCENTE: Ing. M.Sc. ABRAHAM VIAMONTE Ejercicios 1) La WYNDOR GLASS, Co, produce artculos de vidrios de ala calidad, enre ellos venanas y pueras de vidrio. Tiene res planas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la plana 1, los de madera en la plana 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los producos. Debido a una reducción de las ganancias, la Ala Adminisración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se desconnuaran varios producos no renables y se dejara libre una pare de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos producos nuevos que enen venas poenciales grandes.

Producto 1: Una puera de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. Producto 2: Una venana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6. El produco 1 requiere pare de la capacidad de producción en la plana 1 y 3 y nada en la plana 2. El produco 2 solo necesia rabajo en las planas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender odos vender odos los producos producos que se puedan puedan fabricar fabricar en las planas. planas. Sin embargo, embargo, como ambos producos producos comperán por las mismas capacidades capacidades de producción en la plana plana 3, no esá claro que mezcla de producos sería más renable. Por lo ano, se ha formado un equipo de Invesgación de Operaciones para esudiar ese problema. El gru grupo po co comen menzó zó por realiz realizar ar reunio reuniones nes con la Al Ala a Direcci Dirección ón para para iden idenca carr los objev objevos os del es esud udio io y desarrollaron la siguiene denición del problema: “Dee Deermina rminarr que tasas de producción deben ener los produc producos os con el n de maxim maximizar izar las ulida ulidades des oales, sujeas a las resricciones impuesas por las capacidades de producción limiadas en las res planas. (Cada produco se fabricará en loes de 20 unidades, de manera que la asa de producción esá denida como el número de loes que se producen a la semana). Se permie cualquier combinación de asas de producción que sasfaga esas resricciones, incluso no fabricar uno de los producos y elaborar odo lo posible del oro”.

El equipo de Invesgación de Operaciones idencó los daos que necesiaba reunir: 1. Número de horas de producción disponibl disponibles es por semana  en cada plana para esos nuevos producos (casi odo od o el empo empo de esas esas plan planas as es esá á com compro prome medo do con los produc producos os acual acuales, es, lo que limi limia a la capacidad de manufacur manufacurar ar nuevos producos). 2. Número de horas de fabricación que emplea cada lote producido de cada artculo nuevo en cada una de las planas. 3. La ganancia por lote  de cada produco nuevo. (se escogió la ganancia por loe producido como una medida adecuada una vez que el equipo llego a la conclusión de que la ganancia incremenal de cada loe adicional producido, sería en esencia consane, sin imporar el número oal de loes producidos). Ing. Msc. Abraham Viamonte

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Debido a que no se incurren en cosos susanciales para iniciar la producción y la comercialización de esoss nuevos eso nuevos produc producos, os, la ganancia ganancia oal de cada uno es aproximad aproximadamen amene e la ganancia ganancia por loe mulplicada por el número de loes. La obención de esmaciones razonables de esas candades requirió el apoyo de personal clave en varias unidades unid ades de la compañía. compañía. El personal de la división división de manufacur manufacura a proporci proporcionó onó los daos daos de la primera primera caegorí ca egoría a mencionada. mencionada. El desarroll desarrollo o de esmacion esmaciones es par para a la segunda segunda ca caegorí egoría a requirió requirió un análisis análisis de los Ingenieros de Manufacura involucrados en el diseño de los procesos de producción para los nuevos producos. Al analizar los daos de cosos obenidos por esos ingenieros, juno con la decisión de los precios de la división de mercadoecnia, el deparameno de conabilidad calculo la ercera caegoría. La abla siguiene resume los daos obenidos:

Tabla 1. Daos del problema de la WYNDOR GLASS, Co.

Tiempo de Producción Por Lotes (Horas) Planta

Produco 1

Produco 2

Tiempo de Producción Disponibles

1

1

0

4

2 3

0 3

2 2

12 18

Ganancia por Loes

$3000

$5000

De inmedi inmedia ao, o, el equipo equipo de Inves Invesga gació ción n de Opera Operacio ciones nes recono reconoció ció que se r ra aaba aba de un pr probl oblema ema de Programación Lineal del po clásico de Mezcla de Producos y procedió a la formulación del modelo maemáco correspondiene. Como pare del equipo de Invesgación Invesgación de Operaciones se les pide lo siguiene: a) Formule el modelo de programación lineal para deerminar la mezcla de producos que maximiza la ulidad oal. b) Resuelva ulizando el méodo de puno vérce. c) inerpree los resulados que indican la mezcla de producos recomendada.

Ing. Msc. Abraham Viamonte

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2) ¿Cuál de las siguienes siguienes relaciones relaciones maemácas maemácas se puede enconrar enconrar en un modelo de Programación Programación Lineal? Indique la razón de las relaciones que no se pueden acepar en PL.

a. b. c. d. e.

3) Pa Para ra cada una de las siguien siguienes es resri resricci ccione ones, s, dibuje dibuje una gr grác áca a ind indivi ividua duall para para mosr mosrar ar las las sol soluci ucione oness no negavas que las sasfacen: a. X1  + 3X2≤ 6 b. 4X1  + 3X2 ≤ 12 c.

4X1 + X2 ≤ 8

d. Aho Ahora ra combine combine esas esas resri resricci ccione oness en una una sol sola a gr grác áca a par para a mosr mosrar ar la Región Región Facb Facble le del conjun conjuno o compleo de resricciones funcionales más la no negavidad.

4) Considere Considere la siguien siguiene e función función objevo objevo de un modelo modelo de program programación ación Lineal: Lineal: Maximizar Z = 2X1  + 3X2 a. Dibuje Dibuje en una gráca gráca las recas recas corresp correspondie ondiene ness a la función objev objevo o de Z = 6; Z = 12 y Z = 18. b. Enc Encuen uenr re e la fo forma rma Orde Ordenad nada-P a-Pend endien iene e de la ecu ecuaci ación ón de esas esas r res es recas recas de la función función obj objev evo. o. Compare las pendienes y las inercepciones con el eje X 2. 5) Una empresa empresa fabrica fabrica dos produc producos, os, cada uno de lo loss cuales se debe debe procesar procesar en los deparamen deparamenos os A y B. La abla abla sig siguie uien ne e mues muesra ra los requer requerimi imien enos os de horas horas lab labor orabl ables es por unidad unidad para para cada cada pr produ oduco co en cada cada depar dep aramen ameno o.. También ambién se presen presenan an las cap capaci acidad dades es de horas horas semana semanales les en cada cada dep depar arame amen no o y los respecvos márgenes de ulidad para los dos producos. El problema es deerminar el número de unidades que se producirán de cada produco con el n de maximizar la conribución oal al coso jo y a la ulidad.

TABLA 1 PRODUCTO 1

PRODUCTO 2

Capacidad de trabajo Semanal

Departamento A

3 hora/unidad

2 hora/unidad

120 horas

Departamento B

4 hora/unidad

6 hora/unidad

260 horas

5$/unidad

6$/unidad

Margen de Ulidad Ing. Msc. Abraham Viamonte

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6) Graque la región de soluciones soluciones facbles facbles (si exise exise alguna) alguna) y resuelva resuelva por el méodo del del Puno Puno Vérce. Vérce. Maximice Sujeo a

7) Graque la región de soluciones soluciones facbles facbles (si exise exise alguna) alguna) y resuelva resuelva por el méodo del del Puno Puno Vérce. Vérce. Maximice Sujeo a

;

8) Graque la región de soluciones soluciones facbles facbles (si exise exise alguna) alguna) y resuelva resuelva por el méodo del del Puno Puno Vérce. Vérce. Maximice Sujeo a

9) Graque la región de soluciones soluciones facbles facbles (si exise exise alguna) alguna) y resuelva resuelva por el méodo del del Puno Puno Vérce. Vérce.

Maximice Sujeo a

;

Ing. Msc. Abraham Viamonte

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10) Una empresa fabrica fabrica dos produco producos. s. Cada produco produco se debe procesar procesar en dos deparamen deparamenos. os. El produco produco A requiere dos horas por unidad en el deparameno 1 y cuaro horas por unidad en el deparameno 2. El produco B requiere 3 horas por unidad en el deparameno 1 y dos horas por unidad en el deparameno 2. Los deparamenos 1 y 2, enen, respecvamene, 60 y 80 horas disp disponibles onibles cada semana. Los márgenes márgenes de ulidad de cada cada produco son, respecvamene, $3 y $4 por unidad. Si

equivale al número de unidades unidades producidas

del produco j: a) Formule el modelo de programación lineal para deerminar la mezcla de producos que maximiza la ulidad oal; b) Resuelva ulizando el méodo de puno vérce; c) inerpree los resulados que indican la mezcla de producos recomendada. ¿Qué porcenaje de la capacidad diaria se ulizará en cada deparameno? 11) Una empresa fabrica dos producos, producos, los cuales se deben procesar en un deparameno deerminado. deerminado. El produco 1 requiere cuaro horas por unidad y el produco 2 requiere dos horas por unidad. El empo de producción oal disponible para la semana enrane es de 60 horas. Por consiguiene, una resricción en la planeación de la producción es que el oal de horas usadas en la fabricación de los dos producos no puede exceder de 60. Consruya el modelo de Programación Lineal a n de calcular la candad de producos que han de fabricarse. 12) Una empresa fabrica dos producos, producos, los cuales se deben procesar en un deparameno deerminado. deerminado. El produco 1 requiere cuaro horas por unidad y el produco 2 requiere dos horas por unidad. El empo de producción oal disponible para la semana enrane es de 60 horas. Por consiguiene, una resricción en la planeación de la producción es que el oal de horas usadas en la fabricación de los dos producos no puede exceder de 60. Deermine el conjuno de soluciones facbles para la siuación planeada. 13) Suponga que los producos producos del ejemplo anerior anerior ambién se enen que procesar en or oro o deparameno, adem además ás del deparameno señalado. Suponga que en ese segundo deparameno el produco 1 necesia res horas por unidad y que el produco 2 requiere 5 horas por unidad. Si el segundo deparameno ene 75 horas disponibles cada semana. Enconrar la región de soluciones facbles para e ell problema planeado. 14) Encuenre grácamene grácamene el conjuno solución para las siguienes siguienes desigualdades de forma individual individual:: 1. 2.

3. 4. 5. 15) Deermine grácamene grácamene el conjuno de soluciones para el siguiene siguiene sisema.

Ing. Msc. Abraham Viamonte

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16) La empresa Whi Window Window ene solo res empleados que hacen dos pos de vena venanas nas a mano: con marco marco de madera y marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada venana con marco de madera y de $30 por cada una de marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede erminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y cora el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrado por día. Cada venana con marco de madera emplea 6 pies cuadrado y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea deerminar cuanas venanas de cada po debe producir al día para maximizar la ganancia oal. a. Consruy Consruya a la abla de de daos para para idencar idencar las las acvidades acvidades y recursos recursos del del problema. problema. b. Formule Formule un modelo modelo de Program Programación ación Lineal Lineal para para ese ese prob problema. lema. c.

Use el méodo méodo g grá ráco co par para a resolv resolver er el mo model delo. o.

d. Un nuevo compedo compedorr ambién produce produce venana venanass con marco de madera. madera. Esa circuns circunsancia ancia puede puede forzar forzar a la compañía a reducir el precio y por ende la ganancia debida a e ese se po de venanas. ¿Cómo cambiara la solución opma si la ganancia por venana de madera disminuye de $60 a $40$? ¿Y de $60 a $20? e. Doug Doug piensa piensa reduci reducirr sus horas horas de raba rabajo jo,, lo cual reduci reduciría ría el númer número o de venan venanas as de mader madera a que produce por día. ¿Cómo cambiaría la solución opma si hace solo 5 marcos diarios?

17) La compañía WorldLigh WorldLigh produce dos disposivos par para a lámparas (producos 1 y 2) que requieren pares de meal y componenes elécricos. La Adminisración Adminisración desea deerminar cuánas unidades de cada produco fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del produco 1 se requieren 1 unidad de pares de meal y 2 unidades de componenes elécricos. Por cada unidad del produco 2 se necesian 3 unidades de pares de meal y 2 unidades de componenes elécricos. La compañía ene 200 unidades de pares de meal y 300 de componenes elécricos. Cada unidad del produco 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del produco 2, hasa 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del produco 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa candad esá fuera de consideración. a. Formul Formule e un modelo modelo de de progr programa amació ción n lineal lineal.. b. Ulice el méodo méodo gráco gráco para resolv resolver er ese modelo. modelo. ¿Cuál es la ganancia ganancia oal oal que resula? resula?

18) Hoy es su día de suere. Acaba de ganar ganar un premio de $10,000. Dedicará $4,000 a impuesos impuesos y divers diversiones, iones, pero ha decidido inverr los oros $6,000. Al oír esa nocia, dos amigos le han ofrecido una oporunidad de converrse en socio en dos empresas disnas, cada una planeada por uno de ellos. e llos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar pare de su empo el siguiene verano y dinero en efecvo. Para ser un socio pleno en el caso del primer amigo debe inverr $5,000 y 400 horas, y su ganancia esmada (sin omar en cuena el valor del dinero Ing. Msc. Abraham Viamonte

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en el empo) sería de $4,500. Las cifras correspondienes para el segundo caso son $4,000 y 500 horas, con una ganancia esmada de $4,500. Sin embargo, ambos amigos son exibles y le permirían parcipar con cualquier  fracción de parcipación que quiera.

Si elige una parcipación parcial, odas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de dinero y empo, y la ganancia) se pueden mulplicar por esa fracción. Como de odas formas used busca un rabajo de verano ineresane (máximo 600 horas), ha decidido parcipar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia oal esmada. Used debe resolver el problema de enconrar la mejor combinación. a. Consruy Consruya a una abla de daos daos para manejar manejar ese problem problema, a, e idenque idenque las acvidades acvidades y los recursos. recursos. b. Formul Formule e un modelo modelo de de progr programa amació ción n lineal lineal.. c.

Use el méodo méodo gráco gráco para para resolv resolver er el modelo. modelo. ¿Cuál ¿Cuál es su g gananc anancia ia oal oal esmada? esmada?

19) Use el méodo gráco para para enconrar odas las soluciones ópmas del sigui siguiene ene modelo: Maximizar Z = 500x 1 + 300 x2 Sujea a 15x1 + 5x2  ≤ 300 10x1 + 6x2  ≤ 240 8x1 + 12x2 ≤ 450 x1 

≥0 x2 ≥ 0

20) Suponga que se proporcionaron proporcionaron las si siguienes guienes resricciones de un m modelo odelo de programación lineal. lineal. -x1 + 3x2 ≤ 30 -3x1 + x2 ≤ 30 x1 

≥0

x2 ≥ 0 a. Demues Demuesre re que que la región región fac facble ble es no no acoad acoada. a. b. Si el objevo objevo es maximiz maximizar ar Z = -x1 + x2 ¿ene el modelo modelo un una a solución solución ópma? ópma? Si es así, encuénr encuénrela. ela. Si no, explique las razones de ello. c.

Repia Repia el inciso inciso b) cuand cuando o el objev objevo o es maximiz maximizar ar Z = x1 − x2. x2.

Ing. Msc. Abraham Viamonte

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d. En las funciones funciones objev objevo o con las que el modelo modelo no ene solución solución ópma, ópma, ¿signica ¿signica eso eso que no exisen exisen buenas soluciones según el modelo? Explique. ¿Qué es probable que esé mal en la formulación del modelo?

21) Un fabricane fabricane de maquinarias quiere maximizar la ulidad de fabricar dos producos, producos, produco A y produco B. Los res insumos principales para cada produco son acero, elecricidad y horas laborables. En la abla siguiene se resumen los requerimienos por unidad de cada produco, recursos disponibles y margen de ulidad por unidad. El número de unidades del produco A no debe ser mayor de 80% del número del produco B. Formule el modelo de Programación lineal y encuenre la solución ópma aplicando el Méodo Puno Vérce. Inerpree esos resulados.

PRODUCTO A

B

100 Kw

200Kw

Acero.

60 lb

80 lb

10.000,0 lb

Trabajo

2,5 horas

2 horas

400 horas

$30

$40

Energía.

Ulidad por unidad

Disponibilidad Toal Mensual 20.000,0 Kwh

22) En ciera área área hay dos almacenes que suren víver víveres es a cinco Supermercados. Supermercados. En lla a abla siguiene siguiene se resume el coso de enrega por carga de camión de cada almacén a cada supermercado, el número requerido de cargas de camión por supermercado por semana y el número máximo de cargas de camión disponible por semana por almacén. Formule un modelo de Programación Lineal que deermine el número de enregas de cada almacén a cada supermercado que minimice el coso de enrega e nrega oal.

SUPERMERCADOS Máximo camión

de

1

2

3

4

5

Almacén A.

$40

$30

$45

$25

$50

100

Almacén B.

$50

$35

$40

$20

$40

250

80

50

75

45

80

Numerro reque Nume equeri rido do cargas de camión

cargas

de

de

23) Una pequeña plana puede operar uno de dos procesos para produ producir cir dos producos, uido para marcha y uido para encendedores. La rma esá raando de decidir cuanas horas correrá cada proceso. Por una hora del proceso 1 se consumen 3 gal de keroseno y 9 gal de benceno para producir 15 gal de uido para marcha y 6 de uido para encendedor. Por una hora del proceso 2 se consumen 12 gal de keroseno y 6 de benceno para producir 9 gal de uido para marcha y 24 de encendedor. La máxima candad de keroseno y de benceno disponible es de 300 y de 450 gal respecvamene. Los compromisos de venas requieren que se produzcan al menos 600 gal de uido para marcha y 225 gal de uido para encendedor. encendedor. Las ulidades por hora que rediúan al proceso 1 son de 90 $/hr y del proceso 2 de 70 $/hr $/hr.. Formule un modelo de P.L. P.L. para maximiz maximizar ar las ulidades. Exprese la solución ópma a parr del méodo gráco. Indique cuanos galones de uido para marcha se producen y cuanos galones de keroseno se consumen en la solución ópma. Ing. Msc. Abraham Viamonte

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