Ejemplos Sistema PU (3)

Sistema por Unidad – PU Ejemplos 1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los valores base del sistema.

Los datos son los siguientes:  Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %  Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %  Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %  Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %  Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %  Línea de Transmisión: 80 Ω /fase Solución: Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV De acuerdo a lo anterior tenemos que kV base 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. Zona 2:  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 1  kVbase zona 2  ó

 V pri no min al 

kVbase zona 2  kVbase zona 1 



 Vsec no min al 

 115   kVbase zona 2  13.8    120.23 kV  13.2  Zona 3:  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3  kVbase zona 2  

12.5

kVbase zona 3  120.23 



  12.958 kV 3  67  referido a través de T2 Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades 3 , debido a la del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de conexión en delta en ese punto. 

Cálculo de las impedancias en p.u.: Generador No.1: X g1  0.15

(No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema)

Motor No.1: 2

X M1

X M1

 kVbase 1   MVAbase 2    X actual  kVbase 2   MVAbase 1   



12.5  0.2   12.95

   

2

  30      0.2795   20 

Motor No. 2: 2

XM2

XM2

 kVbase 1   MVAbase 2    X actual  kVbase 2   MVAbase 1   



12.5  0.2   12.95

   

2

  30      0.5590   10 

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue: Transformador T1

2

X T1

 kVbase 1   MVAbase 2    X pu actual  kVbase 2   MVAbase 1   



12.5  0.1   12.95

X pu 2

   

2

  30      0.0784   35 

Transformador T2 2

XT2

XT 2

 kVbase 1   MVAbase 2    X pu actual  kVbase 2   MVAbase 1   



12.5  0.1   12.95

2

  30      0.0932   30 

Para la línea de Tx: (kVbase 2 ) 2 Z base 2  MVAbase 1 Z base 2 

X Tx 

X Tx 

(120.23) 2  481.82  30

X pu octual X pu base 80  0.1660 481.82

Diagrama de impedancias:









2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad. Lí nea de transmisión Z = j0.8403 pu @ 120 kV y 50 MVA

Generador 100 MVA 22 kV X=90%

T ransformador 100 MVA 22:110 kV X=10%

T ransformador 100 MVA 120:24 kV X=12.6%

Lí nea de transmisión Z = j60.5 ohms

Generador 80 MVA 22 kV X=1.48 pu

Lí nea de transmisión X = 60.5 ohms

Carga datos de operación: V=110 kV S=10 MVA fp = 1

Solución Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos: 1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales normalmente son definidas por los transformadores. 2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema, la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la impedancia en p. u. 3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u. Para este caso, se ve claramente tres zonas: 1. La zona del lado del generador 1. 2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas. 3. La zona del lado del generador 2. Sbase = 100 MVA Vbase = 110 kV

22:110 kV

120:24 kV

Cálculo de Voltaje Base Zona 2: Referencia del sistema S base = 100 MVA V base = 110 kV Zona 1: Lado del generador 1 S base = 100 MVA V base = ?  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 1  kVbase zona 2 



22   22 kV 110 

kVbase zona 1  110  

Zona 3: Lado del generador 2 S base = 100 MVA V base = ?  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3  kVbase zona 2 



kVbase zona 3  110  

24   22 kV 120 

Cálculo de impedancias y reactancias Zona 1: Lado del generador 1 Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque: • la base del generador corresponde a la base del sistema • la base del transformador corresponde a la base del sistema Generador

 X pu  placa * Z base  generador 

X g1  

Z base  sistema  

( 22 kV ) 2   100 MVA   ( 22 kV ) 2  100 MVA 

 0.9 pu  placa *

X g1      Transformador

 



Z generador   Z base  sistema

 0.9 pu sistema

 X pu  placa * Z base  transf   Z base  sistema  

X t1  



( 22 kV ) 2   100 MVA   ( 22 kV ) 2  100 MVA 

 0.1 pu  placa *

X t1     



Z transf   Z base  sistema

 0.1 pu sistema

Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas Línea superior  Z pu  placa * Z base  línea   Z base  sistema  

ZL  j X L  

 

ZL  j X L     



(120 kV ) 2  Z pu  placa *  50 MVA   (110 kV ) 2  100 MVA 

Z línea   Z base  sistema



Líneas inferiores ZL  j X L 

ZL  j X L 

Z línea   Z base  sistema

j 60.5  (110 kV ) 2 100 MVA

 j 0.5 pu sistema

Línea de la carga ZL  j X L 

ZL  j X L 

Z c arg a   Z base  sistema  (110 kV ) 2     0  10 MVA    (110 kV ) 2 100 MVA

 10  0 pu sistema

j 242  2

(110 kV ) 100 MVA

 j 2 pu sistema

Zona 3: Lado del generador 2 Generador

 X pu  placa * Z base  generador   Z base  sistema  

X g2    

X g2     

( 22 kV ) 2  1.48 pu  placa *  80 MVA   ( 22 kV ) 2  100 MVA 

Z generador  



Z base  sistema

 1.85 pu sistema

Transformador

 X pu  placa * Z base  transf 

X t2   



Z base  sistema



 0.126 pu  placa *

X t2   



( 24 kV ) 2   100 MVA 

 

Z transf   Z base  sistema

 0.15 pu sistema 

( 22 kV ) 2 100 MVA



 

Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común: z13=j2 p.u. zg1=j0.9

zt1=j0.1

4 + V1= 1 p.u. -

zt2=j0.15

1 z12=j0.5 p.u.

3 2

z23=j0.5 p.u.

z2=10 p.u.

zg2=j1.85 5 + V3= -j1 p.u. -

3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:  Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω  Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω  Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω  Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%  Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%  Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase  Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso  Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso. En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω. Solución: Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:

E mpezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de transmisión. De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. Para las demás bases se tiene: Zona 1:  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 1  kVbase zona 2 

 11    11 kV  33  referido a través de T1

kVbase zona 1  33  Zona 3:

 Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3  kVbase zona 2  



6.8

kVbase zona 3  33  

20 

  6.48 kV

3 

referido a través de T2

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades 3 del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de , debido a la conexión en delta en ese punto. Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).

Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se muestra a continuación. Generador No.1:  X pu  placa * Z base  generador  X g1    Z base  sistema   

 0.44 pu  placa *

X g1   

(10.5 kV ) 2   30 MVA 

(11 kV ) 2 30 MVA  



Z generador   Z base  sistema

 0.40 pu   

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: X n1   X n1  Z base  sistema j 1.5 

X n1 

(11 kV ) 2 30 MVA

 j 0.37 pu

Generador No.2:  X pu  placa * Z base  generador  X g2    Z base  sistema    

X g2     

( 6.6 kV ) 2  0.41 pu  placa *  15 MVA   (6.48 kV ) 2  30 MVA 

Mientras que la reactancia de neutro es: X n2   X n2  Z base  sistema



Z generador   Z base  sistema

 0.85 pu

j 2.5 

X n2 

( 6.48 kV ) 2 30 MVA

 j 1.79 pu

Generador No.3:  X pu  placa * Z base  generador  X g3    Z base  sistema   

( 6.6 kV ) 2   25 MVA   (6.48 kV ) 2  30 MVA 

 0.32 pu  placa *

X g3     



Z generador   Z base  sistema

 0.40 pu

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: X n3   X n3  Z base  sistema

j 2 .5 

X n3 

( 6.48 kV ) 2 30 MVA

 j 1.79 pu sistema

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue: Transformador T1

 X pu  placa * Z base  transf Z base  sistema 

X t1  

 

X t1     

  

(11 kV ) 2  0.21 pu  placa *  15 MVA   (11 kV ) 2  30 MVA 



Z transf   Z base  sistema

 0.42 pu

Transformador T2  X pu  placa * Z base  transf   Z base  sistema  

X t2  



Z transf   Z base  sistema



 0.24 pu  placa *

X t 2  

( 20 

( 33 kV ) 30 MVA  

3 kV ) 2  

15 MVA 

 0.53 pu 

2

 

Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la 20  3 6 .8  33 6.48 relación de cualquier lado del transformador, dado que En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente X LT 

X LT 

Z c arg a   Z base  sistema 20.5  ( 33 kV ) 2 30 MVA

 0.56 pu

4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:  Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad  Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad  Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad  Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%  Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %  Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21% Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.

Solución Cálculo de Voltaje Base Zona del generador 1: S base = 50 MVA V base = 13.8 kV Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E S base = 50 MVA V base = ?  V no min al  kVbase zona1  kVbase zona 2  sec   V prim no min al  ó

 V prim no min al 

kVbase zona 2  kVbase zona 1 



 Vsec no min al 



kVbase zona 2  13.8  

220   220 kV 13.8 

Zona del generador 2 S base = 50 MVA V base = ?  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3  kVbase zona 2 

 Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3 ( generador 2 )  kVbase zona 2 (línea)  

18 

3 127 

kVbase zona 3 ( generador 2)  220 



  18 kV

Zona del generador 3 S base = 50 MVA V base = ?  Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3  kVbase zona 2 

 Vsec no min al    V prim no min al 

kVbase zona 3 ( generador 3)  kVbase zona 2 (línea) 

 22    22 kV  220 

kVbase zona 3 ( generador 3)  220 

Cálculo de impedancias y reactancias Lado del generador 1 Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV. 2

 kVbase 1 

X g1  X pu 

X g1





MVA 

base 2 ( del sistem a)

 

 kVbase 2   MVA base1 ( del generador)       50    0.50 por unidad  0.2   20 

Lado del generador 2 En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2. 2

 kVbase 1 

X g 2  X pu 





 kVbase 2    

MVA

X g 2  X pu 

 MVA 

 50  30

X g 2  0.2 

 

MVA 

 MVA 

base2 ( del sistem a)



base1 ( del generador)



 

 

base del sistem a



base del generador 

 0.33 por unidad 

Lado del generador 3 En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del generador 3 fue de 22 kV. 2

 kVbase 1 

X g 3  X pu 



 kVbase 2   

X g 3  X pu

 20    22  

2









MVA 

 MVA 

50 30 





base 2 ( del sistem a)



base 1 ( del generador)



 

 0.275 por unidad

Para el transformador T1 Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV.  kVbase 1 

2

 kVbase 1 

2

X T 1  X pu 



 



MVA

base 2 ( del sistem a)

MVA

base2 ( del sistem a)



base1 ( del generador)



  kVbase 2   MVA base1 ( del generador)       50    0.20 por unidad X T 1  0.01   25  Lado del transformador T2 En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2. X g 2  X pu 







 kVbase 2    

MVA

X g 2  X pu 

 MVA 

 50  30



X g 2  0.01 



 MVA 

 

 

base del sistem a



base del generador 

 0.167 por unidad 

Lado del transformador T3 En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del transformador 3 fue de 22 kV. 2

 kVbase 1 

X g 3  X pu 



X g3

Líneas de transmisión

Z base 

(kVbase ) 2 MVAbase

MVA 

 kVbase 2   

 20   0.01  2   22 



2

 MVA 







50 35 





base 2 ( del sistem a)



base 1 ( del generador)



 

 0.143 por unidad

Z base

( 220 ) 2   968  50

Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene: ZL  j X L 

Z línea   Z base  sistem a

80  0.0826 por unidad 968 Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene: ZL 

ZL  j X L  ZL 

100 968

Z línea   Z base  sistem a  0.1033 por unidad

Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente: