Ejemplos Resueltos de Ic para Diferencia Medias Varianzas Desconocidas PDF

ESTADÍSTICA II EJEMPLOS: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS 1. En un estudio sobre los prestamos realizados por dos entidades financieras, toman una muestra aleatoria a sus clientes de 6 préstamos de la primera entidad observando que el importe medio es de s/9972 y una desviación típica de s/ 7470 y de la segunda entidad toman una muestra aleatoria a sus clientes de 9 préstamos observando que el importe medio es de s/2098 y una desviación típica de s/ 10834. Admitiendo que las dos distribuciones poblacionales de préstamos son normales con la misma varianza, obtener un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de sus medias poblacionales. SOLUCIÓN Debemos trabajar con el caso A. (𝝈𝟐𝟏 = 𝝈𝟐𝟐 ) 𝑛1 = 6, 𝑋̅1 = 9972, 𝑠1 = 7470 𝑛2 = 9, 𝑋̅2 = 2098, 𝑠2 = 10834 (𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 (6 − 1) × 74702 + (9 − 1) × 108342 = = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 6+9−2 5 × 55800900 + 8 × 117375556 1218008948 𝑠𝑝2 = = = 93692996 13 13 𝑠𝑝 = √93692996 =9679.514 𝑠𝑝2 =

𝑠𝑝 =9679.514 𝑡(𝑛

𝛼

1 +𝑛2 −2,1− 2 )

=𝑡

0.05 (6+9−2,1− ) 2

A = (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − 𝑡1−𝛼 × 𝑠𝑝 √ 2

1 𝑛1

+

15 54

A = 7874 - 2.16 × 9679.514√ 2

15

B = 7874 + 2.16 × 9679.514√

54

1 𝑛2

1 6

1 9

1 6

1 9

= (9972 − 2098) − 2.16 × 9679.514√ +

= 7874 − 11019.352 = −3145.352

1 B = (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) + 𝑡1−𝛼 × 𝑠𝑝 √ + 𝑛1

= 𝑡(13; 0.975) = 2.160

1 𝑛2

= (9972 − 2098) + 2.16 × 9679.514√ +

= 7874 + 11019.352 = 18893.352

𝑝(−3145.352 < 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 18893.352) = 95% El verdadero valor de la diferencia de importes medios de las dos entidades está comprendido entre −3145.352 𝑦 18893.352 soles, con un nivel de confianza del 95%. Como el valor de cero está dentro de los límites del intervalo, podemos decir que no existe diferencia entre los importes medios de las dos entidades.

2. FedEx y United Parcel Service (UPS) son las dos empresas de transporte de paquetería más importantes del mundo en cuanto a volumen e ingresos (The Wall Street Journal, 27 de enero de 2004). De acuerdo con el Consejo Internacional de Aeropuertos, el aeropuerto internacional de Memphis (FedEx) y el aeropuerto internacional de Louisville (UPS) son dos de los 10 mayores aeropuertos de carga del mundo. Las muestras aleatorias siguientes muestran las toneladas de carga por día que pasan por estos aeropuertos. Los datos están dados en miles de toneladas.

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ESTADÍSTICA II Memphis 9,1 15,1 8,8 10 7,5 10,5 8,3 9,1 6 5,8 12,1 9,3

Louisville 4,7 5 4,2 3,3 5,5 2,2 4,1 2,6 3,4 7

SOLUCIÓN a) Calcule la media muestral y la desviación estándar muestral para cada uno de los aeropuertos.

b) Dé la estimación puntual de la diferencia entre las dos medias poblacionales. Interprete este valor en términos del aeropuerto de mayor volumen y de la diferencia de volúmenes entre los dos aeropuertos. 𝝁𝟏 = 𝑋̅1 = 9.3 toneladas 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = 𝑋̅1 − 𝑋̅2 = 9.3 − 4.2 = 5.1 toneladas El aeropuerto de mayor volumen (9.3) es mayor con respecto a la diferencia de volúmenes entre los dos aeropuertos (5.1) en 4.2 toneladas. c) Proporcione un intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre las medias poblacionales diarias de los dos aeropuertos. Primero debemos determinar los límites del intervalo de la razón de varianzas

Como el valor de uno se encuentra dentro de los límites del intervalo de la razón de varianzas, podemos asumir que las varianzas son iguales. Entonces calcularemos los límites del intervalo para la diferencia de las medias utilizando el caso A. (𝝈𝟐𝟏 = 𝝈𝟐𝟐 )

𝑝(3.21 < 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 6.99) = 95% This study source was downloaded by 100000763083034 from CourseHero.com on 12-01-2022 01:46:51 GMT -06:00

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ESTADÍSTICA II El verdadero valor de la diferencia de la carga promedio por día de los dos aeropuertos está comprendida entre 3.21 𝑦 6.99 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 95% El verdadero valor de la diferencia de la carga promedio por día de los dos aeropuertos está comprendida entre 3210 𝑦 6990 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 95% Como el valor de cero no está dentro de los límites del intervalo de la diferencia, podemos decir que existe diferencia entre la carga promedio por día de los dos aeropuertos. 3. En un estudio que se lleva a cabo en Virginia Tech sobre el desarrollo de micorriza, una relación simbiótica entre las raíces de árboles y un hongo, en la cual se transfieren minerales del hongo a los árboles y azúcares de los árboles a los hongos, se cultivaron en un invernadero 20 robles rojos que fueron expuestos al hongo Pisolithus tinctorus. Todos los árboles se plantaron en el mismo tipo de suelo y recibieron la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad no recibió nitrógeno en el momento de plantarlos y sirvió como control, y la otra mitad recibió 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO Después de 140 días se registraron los siguientes pesos de los tallos, en gramos: Sin nitrógeno 0,32 0,53 0,28 0,37 0,47 0,43 0,36 0,42 0,38 0,43

Con nitrógeno 0,26 0,43 0,47 0,49 0,52 0,75 0,79 0,86 0,62 0,46

Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre los pesos medios de los tallos que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368 ppm de nitrógeno. Suponga que las poblaciones están distribuidas normalmente y que tienen varianzas iguales. SOLUCIÓN Primero verificaremos si efectivamente las varianzas son iguales, de acuerdo al enunciado del problema.

Según los resultados del intervalo de la razón de las varianzas, podemos decir que el uno no está dentro de los límites del intervalo, por lo tanto, las varianzas son diferentes. Por lo tanto, desarrollamos I.C para la diferencia de medias con varianzas diferentes, el caso B (𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐 )

2

𝑠2 𝑠2 ( 1 ⁄𝑛1 + 2⁄𝑛2 )

0.0402 2 ) 10 𝑔. 𝑙 = = = 2 2 2 2 (0.00053)2 (0.00349)2 𝑠2 𝑠2 (0.0053⁄10) + (0.0349⁄10) ( 1 ⁄𝑛1 ) ( 2 ⁄𝑛2 ) 9 9 + + 9 9 𝑛1 − 1 𝑛2 − 1 (0.0053⁄10 + 0.0349⁄10)

2

(

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ESTADÍSTICA II 0.0402 2 ) (0.00402)2 0.0000161604 10 𝑔. 𝑙 = = = = 11.67 = 12 2 2 0,000012461 (0.00053) (0.00349) 0.000001385 + 9 9 9 (

𝑡(12,0.975) = 2.179 A =(𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) − 𝑡1−𝛼 × √

𝑠12

A = (−0.166) − 2.179 ×

0.0402 √ 10

2

𝑛1

B = (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) + 𝑡1−𝛼 × √ 2

𝑠12 𝑛1

B = (−0.166) + 2.179 × √

+

+

𝑠22

0.0053

𝑛2

𝑠22 𝑛2

0.0402 10

= (0.399 − 0.565) − 2.179 × √

10

+

0.0349

+

0.0349 10

10

= −0.166 − 0.138 = −0.304 0.0053 10

= (0.399 − 0.565) + 2.179 × √ = −0.166 + 0.138 = −0.028

𝑝(−0.304 < 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < −0.028) = 95% El verdadero valor de la diferencia de los pesos medios de los tallos con y sin nitrógeno está comprendida entre −0.304 𝑦 − 0.028 𝑔𝑟. 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 95%. Como el valor de cero no está dentro de los límites del intervalo de la diferencia, podemos decir que existe diferencia entre los pesos medios de los tallos con y sin nitrógeno.

4. Una empresa de taxis trata de decidir si comprará neumáticos de la marca A o de la marca B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas realiza un experimento utilizando 12 neumáticos de cada marca, los cuales utiliza hasta que se desgastan. Los resultados son: Marca A: 𝑋̅1 = 36300 kilómetros, 𝑠1 = 5000 kilómetros. Marca B: 𝑋̅2 = 38100 kilómetros, 𝑠2 = 6100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza del 95% para 𝝁𝑨 – 𝝁𝑩 , suponiendo que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales. SOLUCIÓN

𝑝(−6535 < 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 2935) = 95%

El verdadero valor de la diferencia del promedio de uso de los neumáticos para cada marca está comprendido entre − 6535 𝑦 2935 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 95% Como el valor de cero está dentro de los límites del intervalo de la diferencia, podemos decir que no existe diferencia entre el promedio de uso de los neumáticos para cada marca. This study source was downloaded by 100000763083034 from CourseHero.com on 12-01-2022 01:46:51 GMT -06:00

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