EJEMPLOS DISTRIBUCIONES MUESTRALES

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Profesor: Álvaro Toledo

1. para cierta prueba de actitudes sabe con base en la experiencia que el número medio de aciertos es 1000 con una desviación estándar de 125. Si se aplica la prueba a 100 personas seleccionadas al azar aproximar las siguientes probabilidades que involucran a la media muestral: a. P(985 < X < 1015)

c. P( X ≥ 1025)

b. P(960 < X < 1040)

d. P( X < 965)

2. Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en estas. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gr. con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona al azar 36 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas condiciones a. ¿Qué tan probable es tener un peso promedio de 748 gr. o menos? Solución: Sea 𝑋: 𝑝𝑒𝑠𝑜  𝑑𝑒  𝑢𝑛𝑎  𝑐𝑎𝑗𝑎  (𝑔𝑟) De acuerdo al enunciado: 𝑋~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇 = 750, 𝜎 ! = 25) Luego, 𝑃 𝑋 < 748 = 𝑃 𝑍 <

748 − 750 5 6

= 𝑃 𝑍 < −2,4 = 0,0082

b. Determine el máximo valor del contenido promedio de las cajas, tal que la probabilidad de que al extraer una m.a. de tamaño 36 este valor sea al menos 0,8485. Solución: En el ejercicio se pide: 𝑃 𝑋 ≤ 𝐴 = 0,8485 Estandarizando: 𝑃 𝑍<

𝐴 − 750 5 6

= 0,8485

De la tabla Z se observa que: 𝑃 𝑍 < 1,3 = 0,8485. Igualando: 𝐴 − 750 = 1,3 → 𝐴 = 751,08 5 6 El peso promedio de las 36 cajas seleccionadas al azar debe ser 751,08 (gr).

3. En la fabricación de cojinetes para motores, se sabe que el diámetro promedio es de 5 cm. Con una desviación estándar de 0,005. El proceso es vigilado en forma periódica mediante la selección aleatoria de 64 cojinetes midiendo sus correspondientes diámetros. El proceso no se detiene mientras que la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos límites especificado sea de 0.95 (Central). determinar el valor de estos límites. 4. Sea

X 1 , X 2 ,..., X n

una

muestra

aleatoria,

tales

que

Xi

distribuye

N (µ = 132, σ 2 = 81) para todo i = 1,2,..., n . a. ¿Qué valor debe tener n para que la probabilidad valga 0,05 de que la media muestral se igual o mayor a 134. b. Usando el valor de n calculado en la pregunta a, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre 125 y 133. c. Suponga ahora que se extrae una muestra aleatoria de tamaño 25. ¿Cuál es la probabilidad de la Varianza de tal muestra sea a lo más de 75?. Solución: Del enunciado se tiene que la muestra proviene de una distribución Normal por lo que se cumple este supuesto. Luego, 𝑃 𝑆 ! ≤ 75 = 1 − 𝑃 𝑆 ! > 75 = 1 − 𝑃 𝑋 ! >

25 − 1 ∗ 75 81

= 1 − 𝑃(𝑋 ! > 22,22) Considerando los 24 grados de libertad, de la tabla Chi-cuadrado se tiene: = 1 − 𝑃 𝑋 ! > 22,22 ≈ 1 − 𝑃 𝑋 ! > 23,337 = 1 − 0,5 = 0,5

d. Para una muestra aleatoria de tamaño 10 ¿Qué valor debería tener al menos la varianza para que su probabilidad fuera de 0,975? Solución: 𝑃 𝑆 ! > 𝐴 = 0,975 con 9 grados de libertad. Luego, 𝑃 𝑋! >

(10 − 1)𝐴 = 0,975 81

De la tabla Chi-cuadrado se tiene que: 𝑃 𝑋 ! > 2,7 = 0,975. Igualando: (10 − 1)𝐴 = 2,7 → 𝐴 = 24,3 81 La Varianza debería ser 24,3.

5. En el empacado de cierto tipo de cereal, se sabe que el peso promedio es de 2.000 gramos con una desviación estándar de 2,5 gramos. El departamento de control de calidad vigila el proceso mediante la selección aleatoria de 64 paquetes de este cereal. El proceso no se detiene mientras la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos límites especificados sea de 0.90: a. Determine los valores de estos límites. b. Calcule la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 1.990 gr. y 2.001 gr. 6. Siendo X 1 , X 2 ,..., X n n v.a independientes y normales N ( µ = 40, σ 2 = 100) , ¿Qué valor debe tener n para que la probabilidad valga 0,95 de que la media muestral se igual o menor a 41.

x (0 ≤ x ≤ 2) y sean X 1 , X 2 ,..., X 30 treinta v.a 2 independientes con la misma f.d.p supuestamente: Calcular la probabilidad de que la media muestral este entre 7/6 y 13/9.

7. Sea X una v.a con f.d.p f ( x) =

8. Para un determinado nivel de ingresos, el departamento de hacienda sabe que las cantidades declaradas por concepto de deducciones médicas ( X 1), contribuciones caritativas ( X 2 ) y gastos varios ( X 3 ), son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias 400, 800, 100 y desviaciones estándar 100, 250, 40, respectivamente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad total declarada por concepto de estas tres deducciones, no sea mayor a 1600? b. Si una persona con este nivel de ingresos declara por concepto de estas deducciones un total de 2.100, ¿que tan probable es tener una cantidad igual o mayor a este monto bajo condiciones dadas?. 9. Sean X 1 , X 2 , …, X n variables aleatorias independientes Poisson con parámetros λ1 , λ 2 , … , λ n respectivamente. Demostrar que la suma de estas variables también es una v.a Poisson con parámetro λ1 + λ 2 + … + λ n .