Ejemplo Propagación de un virus

MODELO MATEMÁTICO Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema de fenómenos de la vida real y se construye por ciertos objetivos. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:  Identificando las variables que ocasionan el cambio del sistema, puede que en el desarrollo del modelo surjan nuevas variables, las cuales también se tomarán en cuenta.  Se crea un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis acerca del sistema en el que estamos trabajando (propagación de virus). Un modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un conjunto de ecuaciones diferenciales, dependiendo del problema que vayamos a resolver. En general el modelo matemático sigue ciertos pasos para su modelado:  Hipótesis  Expresar la hipótesis en término de ecuaciones diferenciales  Formulación matemática  Resolver las ecuaciones diferenciales  Obtener soluciones Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variable tiempo (t). PROPAGACIÓN DE VIRUS Este modelo lo podemos utilizar, por ejemplo, para saber la propagación de un virus o una enfermedad contagiosa a través de personas o pc´s, en un determinado tiempo.

x(t) las personas que han contraído la enfermedad. y(t) el número de personas que aun no han sido expuestas al contagio. dx/dt es igual a la velocidad de propagación. K es una constante usual de proporcionalidad.

“y” se sustituye por “n-x” ya que “n” es el número de personas (población) menos la persona infectada (x)

EJERCICIO Un virus informático se propaga por internet de modo proporcional tanto al número de ordenadores ya infectados como al número de ordenadores no infectados, si el número total de ordenadores conectados a la red es de 100 000 000, y haya inicialmente un ordenador con el virus, y al cabo de 4 días se observa que hay 5 000 ordenadores infectados. ¿Cuántos habrá infectados pasados 5 días?

Ecuación del modelo

Por fracciones parciales

1= A(100 000 000-x) + Bx

Para x=100 000 000 1= A(100 000 000- 100 000 000) + B (100 000 000) 1= 100 000 000 B

Para x=0 1= A(100 000 000- 0) + B (0) 1=100 000 000 A

∫[

]

[∫ ln

∫

]

ln ln [

] [

]

Solución general

Para x (0)=1

Para x (4)= 5 000

ln

x Solución en un instante cualquiera

Para x (5)=?

EL TOTAL DE ORDENADORES INFECTADOS PASADOS 5 DIAS