Ejemplo Método de Ritz

64.14/84.09 Método de los Elementos Finitos

MÉTODO DE RITZ Ejemplo práctico Obtener las funciones desplazamiento real y de momento flector del sistema de la figura para los casos definidos a continuación y determinar cuál de las dos funciones desplazamiento real es la que mejor aproxima la solución. Casos: 1. Función desplazamiento desplazamiento real propuesta: w1 (x) =  c 1 Lx 1 −

x L

    sen

2. Función desplazamiento desplazamiento real propuesta: w2 (x) =  c 2



πx L

Obtención de las funciones desplazamiento reales Caso 1

Vamos plantear el   Teorema Teorema de los Desplazamie Desplazamiento ntoss Virtuales Virtuales.. Para un sistema sometido a flexión, la variación de la energía interna está dada por: δ  U  =

−

 

M (x) δw  (x) dx,

(1)

L

donde  M (x)  es la función  Momento flector  y  δ w(x)  es la   variación de la función desplazamiento. Sabemos que para flexión se cumple esta relación entre el momento flector y la curvatura: M (x) =

−E I w



(x).

(2)

Reemplacemos la (2) en la (1). Así nos queda: δ  U  =

 





E I w (x) δw (x) dx.

(3)

L

Ahora tomemos la función propuesta en el caso 1. Hallemos la primera y segunda derivadas: d w1 (x) 1 x =  c 1 1−2 dx L L 2 d w1 (x) 2 . = −c1 dx2 L2



Ejemplo



(4) (5) 1

64.14/84.09 Método de los Elementos Finitos

El Método de Ritz postula que la variación de la función tiene la misma forma que la función, por lo tanto, las derivadas son análogas: x d δw 1 (x) 1 =  δc1 1−2 dx L L 2 d δw1 (x) 2 = . −δc 1 dx2 L2





(6) (7)

Ahora reemplacemos (5) y (7) en (3): δ  U  =

   E I 

−c1

L

2 L2



−δc 1

2 L2



dx.

(8)

Para el sistema de la figura, la variación del trabajo de las fuerzas exteriores es: δW  =

 

q (x) δw 1 (x) dx  =  q 

L

x x qL 1− dx  = δc 1 δc 1 . 6 L L

 



L



(9)

Igualemos (8) y (9): δ  U  =  δW 

⇒

   E I 

−c1

L

2 2

L



−δc 1

2 L

2



 d x =

qL

6

 

δc 1 .

(10)

Al integrar el término de la izquierda, la ecuación (10) queda: E I c1

4 L3

δc 1  =

qL

6

δc1

⇒

E I c1

4 L3

=

qL

6

 

.

(11)

Si despejamos c1  de (11) obtenemos: c1  =

q L4  , 24 E I 

 

(12)

que al ser reemplazado en la función propuesta nos da la función desplazamiento: q L3 x w1 (x) =  x 1 − . 24 E I  L





 

(13)

Con la función desplazamiento hallada, obtengamos la función Momento flector a partir de la relación M (x) = −E I w (x): 

M 1 (x) =

q L2

12

.

 

(14)

Vemos que el momento flector resulta ser una función constante con lo cual no se cumplen las condiciones de borde estáticas, M 1 (0) =  M 1 (L) = 0.

2

Ejemplo

64.14/84.09 Método de los Elementos Finitos

Caso 2

Ahora debemos tomar como función desplazamiento real la función w2 (x) =  c 2 sen Al igual que en el caso anterior, hallemos las derivadas primera y segunda de la misma: d w2 (x) π πx =  c 2 cos dx L L 2 2 d w2(x) π πx =  sen . −c2 dx2 L2 L

   

 

πx L

 . (15)

 

(16)

De la misma forma obtenemos las derivadas de δw2 (x): d δw 2 (x) π πx =  δc2 cos L L dx 2 2 d δw2(x) π πx . =  sen −δc 2 dx2 L2 L

   

 

(17)  

(18)

Reemplacemos (16) y (18) en la (3): π2 E I  −c2 2  sen δ  U  = L L

  

π4 = E I c 2 4 L

π2  sen −δc 2 L2

       sen  d πx L

L

πx L

x

(19)

π4 x δc 2  = E I c 2  δ c2 . 2 L3

πx L

2

  d

Calculemos la variación del trabajo de las fuerzas exteriores: δW  =

 

q (x) δw 2 (x) dx  =  q 

L

 

L

  2  sen d  = πx L

δc 2

x

qL δc 2 . π

 

(20)

Finalmente, igualemos (19) y (20): δ  U  =  δW 

⇒

2qL π4 E I c 2 3 δc 2  = δc 2 2L π

⇒

2qL π4 E I c2 3 = . 2L π

 

(21)

De (21) podemos despejar c2 : 4 q L4 c2  = 5  , π E I  que reemplazada en la función propuesta nos da:

 

(22)

πx 4 q L4 w2 (x) = 5 . sen π E I  L

 

 

(23)

Análogamente a lo hecho en el caso 1, obtengamos la función del momento flector: M 2 (x) =

4 q L2 π

3

πx . L

  sen

 

(24)

En este caso, la función momento ya no es constante y cumple con las condiciones de borde estáticas, pues M 2 (0) = M 2(L) = 0. Podría decirse que en este caso la aproximación es mejor que en el caso anterior. Además, cuando x = L2   tenemos: M 

 L

2

 =

4 q L2 π3

valor que aproxima muy bien el momento «exacto» M  Ejemplo

 

, L

q L2

2

8

  =

(25)

. 3

64.14/84.09 Método de los Elementos Finitos

Determinación de la función desplazamiento que mejor aproxima la solución del sistema Para poder determinar cuál de las dos de las funciones resulta la mejor aproximación, debemos aplicar el   Principio de la Mínima Energía Potencial Total. Para un sistema sometido a una carga uniformemente distribuida la expresión de la  Energía Potencial Total  es: 2

  1  d

ΠP  =

2

L

E I 

w (x) dx2

2



dx −

 

q (x) w(x) dx.

 

(26)

L

Calculemos la energía potencial total para la función desplazamiento w1 (x): ΠP  = 1

L

1 q 2 L4 = 2 144 E I  2

=



dx −

dx −

q 2 L3 24 E I 

L 2

288 E I  2

1

 

5

q  L

ΠP  = −

2

q L2 E I  2 12 E I 

  1  −

5

q L3 q  x I  L

−

x L

x

x L

  1  d   24 E  1  d x

−

L

x

(27)

q  L

144 E I 

5

q  L

 .

288 E I 

Hagamos lo mismo con el caso 2: ΠP 

2

q L2 I  π 3 I 

L

q 2 L4 2 π6 E I 

ΠP 

2

2

q L4 q  I  L π

  1  4      4   = E sen  d sen  d 2 E  E         18 = sen d sen  d 2

L

2

πx L

πx L

x−

x−

q 2 L4 π 5 E I 

πx L

L

πx L

x

x

4 q 2 L5  8 q 2 L5 = 6 − π E I  π 6 E I  4 q 2 L5 =− 6 . π E I 

(28)

Ahora comparemos las dos energías potenciales totales. Como la diferencia entre ambas 1 energías son los coeficientes numéricos, los calculamos. Para ΠP   tenemos que − 288 ≈ −0,0035, 4 en tanto que para  Π P   tenemos que − π ≈ −0,0042. Entonces queda: 1

2

6

ΠP 

1

ΠP 

2

q 2 L5 , = −0,0035 E I  q 2 L5 = −0,0042 , E I 

 

(29)

 

(30)

por lo tanto, la segunda aproximación, es decir w2 (x) es la mejor.

4

Ejemplo