Ejemplo Marco Equivalente

Hormigón II

Dr. David Wong Diaz

HORMIGON II DISEÑO DE LOSA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGA ANALIZADA POR EL MÉTODO DEL MARCO EQUIVALENTE Usando el Método de Marco Equivalente, determine los momentos de diseño para el sistema de losa mostrada, para un piso intermedio. Altura del piso = 9 pies Dimensiones de la columna = 16 × 16 plg. Con muros de cortante y sin vigas de apoyo Peso distribuido distribuido = 20 lb/pies Carga viva de servicio = 40 lb/pies  f  c'  = 4,000 lb/plg (para las losas), concreto de peso normal  f  c'  = 6,000 lb/plg (para las columnas), concreto de peso normal  f   y  = 60,000 lb/plg

< 1

<

=18’

1

1

<

=18’

=18’

Franja de diseño 2

=14’

2

=14’

2

=14’

Figura 1.

1

Hormigón II

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 ACI 13.7.2.1 Debe considerase que la estructura esta constituida por marcos equivalentes sobre ejes de columnas longitudinal y transversalmente a través del edificio.  ACI 13.7.2.2 13. 7.2.2 Cada marco debe consistir en una hilera hi lera de columnas o apoyos y franjas de viga columna, limitada lateralmente por el eje central de del tablero a cada lado de del eje de las columnas o apoyos.

SOL UCI ÓN: Par te 1. D i señ señ o preli pr eli mi n ar del d el es espesor pesor (h ) de l a losa.

a. Control de deflexiones: l n (luz libre entre las columnas) = 18 pies × 12 –  16  16 plg = 200 plg.

De acuerdo con el código ACI en la sección 9.5.3.2, el espesor mínimo (h) para losas sin vigas debe estar de acuerdo con lo requerido según la tabla 9.5(c) que se muestra a continuación:

Resistencia a la fluencia  f   y , lb/pulg2

40,000 60,000 70,000 h

l n 30



200 30

Tabla 1. Peralte mínimo mínimo de losas sin vigas vigas interiores Sin ábaco Con ábacos Tableros Tableros exteriores Tableros exteriores interiores Sin vigas Con vigas de Sin vigas Con vigas de de borde borde de borde borde l n / 33 l n / 36 l n / 36 l n / 36 l n / 40 33 36 36 36 40 l n / 30 l n / 33 l n / 33 l n / 33 l n / 36 30 33 33 33 36 l n / 28 l n / 31 l n / 31 l n / 31 l n / 34 28 31 31 31 34

Tableros interiores l n / 40 40 l n / 36 36 l n / 34 34

 6.67 pu lg ., pero menor de 5 pulgadas según sección 9.5.3.2(a) para losas sin

ábacos según se define ábaco en la sección 13.3.7.1 y 13.3.7.2 del código. Este valor de h se redondea hacia arriba por razones prácticas y los cálculos se basaran en un espesor tentativo de 7 pulgadas para todos los paneles. Donde el peso de la losa para un γconcreto = 150 lb/ pie3 es: wlosa  150

lb 3

 pie

 7 p lg

1 pie 12 p lg

 87.5

lb pie2

b. Fuerza Cortante de la losa: Para un recubrimiento de ¾ de pulgada y usando barras No. 4 (con diámetro de 0.5 plg), el  peralte efectivo (d ) se calcula de acuerdo a la Figura 2 como sigue: d  h  0.5  0.75  5.75 plg. d 

h

d b = 0.5”

Figura 2. R = ¾”

2

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 ACI 13.7.2.1 Debe considerase que la estructura esta constituida por marcos equivalentes sobre ejes de columnas longitudinal y transversalmente a través del edificio.  ACI 13.7.2.2 13. 7.2.2 Cada marco debe consistir en una hilera hi lera de columnas o apoyos y franjas de viga columna, limitada lateralmente por el eje central de del tablero a cada lado de del eje de las columnas o apoyos.

SOL UCI ÓN: Par te 1. D i señ señ o preli pr eli mi n ar del d el es espesor pesor (h ) de l a losa.

a. Control de deflexiones: l n (luz libre entre las columnas) = 18 pies × 12 –  16  16 plg = 200 plg.

De acuerdo con el código ACI en la sección 9.5.3.2, el espesor mínimo (h) para losas sin vigas debe estar de acuerdo con lo requerido según la tabla 9.5(c) que se muestra a continuación:

Resistencia a la fluencia  f   y , lb/pulg2

40,000 60,000 70,000 h

l n 30



200 30

Tabla 1. Peralte mínimo mínimo de losas sin vigas vigas interiores Sin ábaco Con ábacos Tableros Tableros exteriores Tableros exteriores interiores Sin vigas Con vigas de Sin vigas Con vigas de de borde borde de borde borde l n / 33 l n / 36 l n / 36 l n / 36 l n / 40 33 36 36 36 40 l n / 30 l n / 33 l n / 33 l n / 33 l n / 36 30 33 33 33 36 l n / 28 l n / 31 l n / 31 l n / 31 l n / 34 28 31 31 31 34

Tableros interiores l n / 40 40 l n / 36 36 l n / 34 34

 6.67 pu lg ., pero menor de 5 pulgadas según sección 9.5.3.2(a) para losas sin

ábacos según se define ábaco en la sección 13.3.7.1 y 13.3.7.2 del código. Este valor de h se redondea hacia arriba por razones prácticas y los cálculos se basaran en un espesor tentativo de 7 pulgadas para todos los paneles. Donde el peso de la losa para un γconcreto = 150 lb/ pie3 es: wlosa  150

lb 3

 pie

 7 p lg

1 pie 12 p lg

 87.5

lb pie2

b. Fuerza Cortante de la losa: Para un recubrimiento de ¾ de pulgada y usando barras No. 4 (con diámetro de 0.5 plg), el  peralte efectivo (d ) se calcula de acuerdo a la Figura 2 como sigue: d  h  0.5  0.75  5.75 plg. d 

h

d b = 0.5”

Figura 2. R = ¾”

2

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La resistencia requerida según el código ACI 9.2.1 para soportar la carga muerta (D) y la carga viva (L) se calcula de la siguiente manera: man era: U = 1.4D + 1.7L U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2 Ancho de acción de viga: según el código ACI en la sección 11.12.1.1 la acción de viga en cada una de las secciones críticas que van a investigarse se extiende en un plano a través del ancho total. Para este caso el ancho de acción de viga es investigada para un ancho de franja de 12  pulg. tomada a una distancia d  desde  desde la cara del apoyo en la dirección larga como se muestra en la Figura 3.  16" 5.75"    Acción de viga =   7.854 pies 2  2 12 12  18'

Entonces el cortante último resulta 2

V u = ( 218.5 lb/pie  ) × ( 7.854 pies ) = 1716 lb ~ 1.72 klb

Y según extensos ensayos publicados por el ACI SP-30 el valor de V c se aproxima a: Vc  2 f c' bw d    Vc  0.85  2 4, 000  12  5.75  7419lb Vu



7.42klb

 V  c

Acción en dos direcciones. La sección critica para cortante por punzonamiento está ubicada a una distancia d /2 /2 = 2.88 plg. desde la cara de la columna lo que proporciona un perímetro de cortante bo = (16 + 2.88 × 2 ) × 4 = 87 plg. Entonces el cortante ultimo es: 2  21.75"    Vu  218.5 18 14      54344lb 54.3  klb 12    

y de acuerdo con el código ACI 11.12.2 se utiliza la ecuación 11.37 para V c Vc  4 fc' bo d  para   columnas cuadradas interiores

Vc  4 4, 000  87  5.75  126554lb 126.6  klb

3

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luego  V c  0.85  126.6  107.6  klb V u = 54.3 klb <  V c = 107.6 klb 18’

21.75’

21.75’

14’

d/2=2.88’ 7.854’

d =5.75’

Líneas de centro del tablero

Figura 3. Sección crítica para cortante

Luego entonces diseño preliminar indica que un espesor global de losa igual a 7 pulg. es adecuada para el control de deflexiones y cortante. Parte 2: M iembros del mar co equivalente

Determinar los factores de distribución de momento y los momentos de empotramiento perfecto  para los miembros del marco equivalente. El método de distribución de momento será usado  para analizar el marco parcial. El factor de rigidez “k”, los factores de transporte “COF” y los momentos de empotramiento perfecto “FEM” para las vigas-losa y las columnas son

determinados usando las tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a continuación:

a. Vigas-losa (ACI 13.7.3) Rigidez flexional en ambos extremos ( K sb): De acuerdo a los diagramas que se muestran en las tablas y los valores definidos de

1

 y

2

y conociendo que los subíndices N =  near o extremo

cercano y F = far o extremo lejano c N 1 1



16 (18 12)

 0.07

y

cN 2 2



16 (14 12)

 0.1

4

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Usando la tabla A1, ya que es la que proporciona las constantes de distribución de momento  para las vigas-losa. En la sección en el que CF1 = C N1 y CF2 = C N2. C  N 1 1

C  N 2

Interpolando:

 K  NF 

2

0.10



0.07

0.00

 – 

4.00

0.18

0.07

0.10

 K  NF

 K  NF   4.126

0.10

0.10

4.18

 K  NF   4.00 4.13

luego:  K sb  K NF 

 Ecs I s 1

donde :  E cs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como

57, 000  f  c'  57, 000 4,000  3.60 106 lb/plg2  I  s = momento de inercia de la losa definida como

 I s 

1 12

2

h3 

1 12

168" 73  4,802 plg 4.

entonces:  K sb  K NF 

 Ecs I s

3.60 10   4,802  33110  4.13 6

216

1

6

lb-plg

Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la siguiente manera: C  N 1 1

0.00

C  N 2

Interpolando:

COF 

2

 – 

0.50

0.10 0.01

0.07

0.10 0.10

0.07

COF   0.50

COF  

0.10



COF   0.509

0.51 5

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Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice: C  N 1 1

C  N 2

Interpolando:

m NF 

2

0.00

 – 

0.0833

0.07

0.10

m NF 

0.10

0.10

0.0847

0.10 0.0014



0.07

m NF   0.0833

m NF   0.08428

0.0843

entonces:  FEM  0.0843 wu

2 2 1

b. Columnas (ACI 13.7.4) Rigidez flexional en ambos extremos ( K c): Utilizando ahora la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez ( K ) para columnas. De acuerdo al primer diagrama que se muestran en ésta tabla y conociendo que:

ta/t b 1.0

ta y t b = h/2 = 3.5 plg.

ta/t b = 1

H = 9 pies = 108 plg.

H/Hc = 1.07

Hc = 101 plg.

k AB = k  BA = k 

H/Hc

k AB

1.05

4.52

1.07

k

1.10

5.09

Interpolando: 0.05

0.57 

0.02

 

k 



k 



4.22

4.74

entonces:  E I  kc  k  cc c  H 

donde: Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como 57, 000  f  c'  57,000 6,000  4.42 106 lb/plg2  I  s = momento de inercia de las columnas definido como

 I s 

1 12

bh3 

1 12

164  5, 461 plg 4.

6

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 por lo tanto: k c  4.74

4.42 106  5461 108

 1059 10 6 lb-plg.

Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente manera: 0.03

ta/t b H/Hc 1.05 1.0 1.07 1.10

CAB 0.54 COF 0.57

COF 

Interpolación:

COF 





0.54

0.54

COF c

 

0.05







0.02

0.012

0.552

c. Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5) Rigidez Torsional (K t): según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 una expresión aproximada para la rigidez del elemento torsional es la siguiente:  K t  

9 Ecs C 

 

2

1 

c2 2



3

 

donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las  propiedades torsionantes   x  x3 y C    1  0.63   y  3 

 por lo tanto, a partir de la Figura 4 7  73 16   1,325 plg 4 C    1  0.63  16  3  16 plg.

Miembro torsional

7”

Figura 4.

7

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donde:

1  c   1  161412   0.905 2

2

Luego entonces:  K t  

9 Ecs C 

 

2

1  c   3

2

9  3.60  106  1325



14  12   0.905  3

2

 345  106 lb-plg

d. Rigidez equivalente de columna (K ec) 1

 K ec



 K ec 

1



1

 K  K  c

t

 

 K   K   K   K  c

t 

c

t 

donde: (ver Figura 5)  K c = rigidez a flexión de la columna real y Σ K c es por las columnas arriba y debajo de la

viga-losa unida al piso intermedio.  K t = rigidez de torsión de la viga de borde y Σ K t es por los dos miebrs torcionales, uno

a cada lado de la columna K c K t

1

1

K t K c Figura 5.

Por lo tanto:  K ec 

 2 1,509  2  345  2 1,509    2  345 

 K ec  520 106 lb-plg

8

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e. Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa. Conociendo los valores de: 6

 K ec = 520×10 lb-plg.

y

6

 K sb = 331×10  lb-plg.

Como se muestra en la Figura 6. se calcula los DF para nos nodos interiores y exteriores de la siguiente manera:

520

520

331

331 331 Figura 6.

En el nodo exterior:  DF  

331 (331  520)

 0.389

En el nodo interior:  DF  

331

 331  331  520 

 0.280

Parte 3. An áli sis parci al de pór tico del marco equi valente.

Determinar los momentos máximos negativos y positivos de la viga-losa usando el método de distribución de momentos. Obsérvese que:  L  D



40 (87.5  20)

 0.37 

3 4

Como la carga viva de servicio no excede las ¾ partes de la carga muerta de servicio, como se menciona en el código ACI 13.7.6.2, se asume que los momentos de diseño ocurren en todas las secciones críticas con la carga viva factorizada total en todos los tableros.

a. Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto Carga muerta factorada: wd = 1.4(87.5+20) = 150.5 lb/pie2 Carga viva factorada: wl = 1.7(40) =68 lb/pie2 9

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Carga muerta total: wu = 150.5 + 68 = 218.5 lb/pie2 FEM para la viga-losa = 0.0843wu

2 2 1

 que fue obtenido anteriormente

FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies

83.6 klb-pies

b. Distribución de momentos: Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo



1

2

3

4

Figura 7. Sección transversal del marco parcial

Conociendo: FEM: 83.6 klb-pies DFint: 0.389 DFext: 0.280 COF: 0.509 Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross): Nodo COF DF FEM

1 0.509 0.389 83.6 -32.52

0

2 0.509 0.28 0.28 -83.6 83.6 0 0 -16.6 4.65 4.65

2.4 -0.93

0.3 86.3

∑(M) ∑MD* -33.6 M Neg. +52.7 *Momentos distribuidos

-2.4 0.67  0.67

-0.5 -0.3 -100.7 80.9 +5.5

+5.5

-95.2 +86.4

3 0.509 0.28 0.28 -83.6 83.6 0 0 0 16.6 -4.65 -4.65 2.4 -0.67 -0.67 0.3 0.5 -80.9 100.7

4 0.509 0.389 -83.6 32.52 0 . -2.4 0.93 -0.3 -86.3

-5.5 -5.5

+33.6

-86.4 +95.2

-52.7

Como ya se había mencionado la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de los momentos que actúan al final de los miembros se toman como positivos. 10

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Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la siguiente ecuación: M u (tramo central) 

Mo  (MuL  M uR )

 

2

donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul 2 /8) Cuando los momentos en los extremos no son iguales, el momento máximo no ocurre en el centro, pero su valor es cercano a aquél en el centro. Momentos: Mu 

MuL

Mo  (MuL  M uR )

 

2

Momento positivo para tramo 1-2 +Mu =

MuR 

Mo

 0.2185 14  18 2 52.7  95.2  8



2

 50.0 klb-pie

Figura 8.

Momento positivo para el tramo 2-3 +Mu =

 0.2185 14  182 86.4  86.4  8



2

 37.5 klb-pie

Momento positivo para el tramo 3-4 +Mu =

 0.2185 14  18 2 52.7 95.2  8



2

 50.0 klb-pie

Par te 4. M omentos de diseñ o

De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no más de 0.175l 1 desde del centro de la columna: 16" 2

 0.67 pies  0.175 18  3.15 pies

en este caso controla los 0.67 pies, y los momentos negativos de diseño se calculan restándole al momento negativo en el centro del apoyo el área bajo el diagrama de cortante que está entre la línea central y la cara del apoyo.

11

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En la Figura 9 se muestran los diagramas de momento resultantes de la distribución de momento: el diagrama de cortante y el diagrama de momentos de diseño. 1

2

3

18’

4

18’

18’

50.0

50.0 37.5

52.7

52.7 86.4

86.4

95.2

95.2

MOMENTOS DE FRANJA 27.5 25.2

29.9

23.2

27.9

25.5

23.2 27.9

29.9

25.5

25.2

27.5

CORTANTE EN LAS FRANJAS 50.0

50.0 37.5

36.6

36.6 68.8

68.8

76.8

76.6

MOMENTOS DE DISEÑO Figura. 9

12

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Paso 5. M omento factorado total por f ranj a

Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, en los sistemas de losa que cumplan con las limitaciones de la sección 13.6.1 , pueden reducirse los momentos calculados resultantes en una  proporción tal, que la suma absoluta de los momentos positivo y negativo promedio utilizados  para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la ecuación 13.3 que es:  M o 

franjas

50.0 

franja interior:

37.5 

wu

2

2 n

8



0.2185 14  18  2  0.67 

(36.6  76) 2

 68.8  68.8  2

8

2

 106.3 klb-pie

 106.3 klb-pies finales:

 106.3 klb-pie

Puede verse que los momentos de diseño total obtenidos por el Método de Marco Equivalente  producen un momento estático igual al momento estático dado por la expresión usada en el Método de Diseño Directo.

Paso 6. Distr ibución de los momentos de diseñ o a travé s de la f r anja viga-losa (ACI 13.7.7.5): 

Los momentos negativos y positivos factorados en las secciones criticas pueden ser distribuidas a las franjas de columnas y a las franjas intermedias de acuerdo a lo especificado en la sección 13.6.4 y 13.6.6 del código ACI. Nótese que los requerimientos de la sección no aplica para sistemas de losa sin viga (α = 0). De acuerdo a los momentos factorados que se muestran en el diagrama de momento de diseños de la Figura 9 y las tablas de la sección 13.6.4 que presentamos a continuación se puede obtener la distribución de momentos factorados.

13

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Tabla 2. Fracciones de Momentos Factorizados Negativos Interiores: l2/l1 (α1l2/l1) = 0 (α1l2/l1) ≥ 1.0

0.5 75 90

1.0 75 75

2.0 75 45

Tabla 3. Fracciones de Momentos Negativos Exteriores Factorizados: l2/l1 (α1l2/l1) = 0 (α1l2/l1) ≥ 1.0

0.5 100 75 100 90

βt = 0 βt ≥ 2.5 βt = 0 βt ≥ 2.5

1.0 100 75 100 75

2.0 100 75 100 45

Tabla 4. Fracciones de Momento Positivos Factorizados: l2/l1 (α1l2/l1) = 0 (α1l2/l1) ≥ 1.0

0.5

1.0

2.0

60 90

60 75

60 45

Como α = 0 βt = 0

l2/l1 = 14/18 = 0.78

Tabla 5. Distribución De Momento Factorado: Franja de Columna Momento Factorado (klb-pie) Porcentaje* Momento (klbpie)

Momento (klb-pie) en las dos mitades de franja intermedia**

Tramos Finales: Exterior Negativo Positivo Interior Negativo Tramo Interior:

36.6 50.0 76.0

100 60 75

36.6 30.0 57.0

0.00 20.0 19.0

Negativo Positivo

68.8 37.5

75 60

51.6 22.5

17.2 15.0

* De acuerdo a las tablas anteriores para sistemas de losas sin vigas ** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida  por las franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias correspondientes

14

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Paso 7. M omento de las Columnas:

Los momentos desbalanceados de la viga-losa en los apoyos del marco equivalente son distribuidos a las columnas arriba y debajo de la viga-losa en proporción a la rigidez relativa de las columna. Refiriéndonos a la Figura 9, los momentos desequilibrados en los nodos son:  Nodo 1 = +52.7 klb-pie  Nodo 2 = -95.2 + 86.4 = -8.8 klb-pie  Nodo 3 = 95.2 - 86.4 = 8.8 klb-pie  Nodo 4 = -52.7 klb-pie La rigidez y el factor de transporte de las columnas y la distribución de los momentos desbalanceados al exterior e interior de las columnas son mostrados en la Figura 10. Los momentos de diseño para las columnas pueden ser tomados en la junta de las columnas con la losa. C L losa

14.54 25.03

26.35 26.35  parte inferior de losa  

C L losa

9 pies

 parte superior de losa

COF = 0.552 K c = 1059 COF = 0.552 K c = 1059

2.43 4.40 4.18

4.18 7 plg. 4.40

25.03

14.54 COLUMNA EXTERIOR

2.43 COLUMNA INTERIOR

Figura 10. Momentos de las Columnas

Obsérvese que al igual que con las vigas los momentos de diseño son aquellos que se encuentran a una distancia de h/2 desde la junta. Por lo tanto, los momentos de diseño son: En el exterior de la columna = 25.03 klb-pie En el interior de la columna = 4.18 klb-pie

15

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Paso 8. Tr ansferencias de cortantes y momentos por car ga de gravedad a las colu mnas exteriores

Verificar las fuerzas cortantes y flexionante al borde de la columna debido al cortante directo y a la transferencia de momento no equilibrado de cuerdo a la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código ACI.

a. Fuerza cortante factorada, transferida a las columnas exteriores. V u 

V u 

wu

1 2

2 0.2185  14 18 2

 27.5 klb.

b. Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores. Cuando los momentos factorados son determinados por métodos exactos de análisis de marcos, como el Método de Marco Equivalente el cual considera la rigidez de los miembros reales, los momentos no balanceados son tomados directamente de los resultados del análisis del marco. El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 36.6 klb-pie. (de la tabla 5).  Nótese la provisión especial de la sección 13.6.3 para la transferencia de momentos desbalanceados entre la losa y el borde de la columna cuando son usados los coeficientes de aproximación de momento del Método de Diseño Directo. Considerando lo aproximado del  procedimiento de análisis de transferencia de momentos, se asume que los momentos no  balanceados Mu se encuentran en el centroide de la sección critica de transferencia.

c. Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de transferencia. De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante vu 

Vu  Ac



 v M u

 J / c 16

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donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C: 2

 Ac = (2b1+ b2 )d = ( 2 × 18.75 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg

Si b1 = c1 + d /2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg.

ancho de

b2 = c2 + d  = 16 + 5.75 = 21.75 plg.

 J / c 

2b12  d  b1  2b2   d 3  2b1  b2  6b1

franja

 2358.43

 v  1   f   1  0.62  0.38  38%

si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:  f  

1 1  23

b1 b2

 0.62  62%

Entonces vu 

Vu  Ac



 v M u

 J / c



27,500 342.2



 0.38  36.6 12, 00  2,358

vu  151.2 lb/in 2

d. Esfuerzo cortante permisible  vn   4 f  c'  0.85  4 4, 000  215.0 lb/plg 2  vn  vu

e. Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad de la franja y la franja de columna. ACI 13.5.3 Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b)) As(min) =0.008bh = 0.0018 × 84 × 7 = 1.06 plg2 17

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Donde b es el ancho de franja de diseño =

14 2

 7  84 plg.

Para barras No 4, cantidad de barras requeridas=

1.06 0.20

”

 5.3 barras

7’= 84”

Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras requeridas =

84 14

 6 barras

Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 36.6 klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:  M u ' c

2

  f bd 



36.6 12 0.9  4  845.752

 0.0439

y ω = 0.0451   f c'bd  0.0451 4  84  5.75   1.45 plg 2  A s   f   y 60

entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es 

1.45 0.20

 7.3 barras

Usar barras 6 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a : c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg. El refuerzo adicional para las columnas dentro del argo efectivo de losa de 37 plg., requerido  para resistir la fracción del momento no balanceado transferido por flexión se calcula como sigue: Ya se calculó γf  = 62% , entonces γf  M u = 0.62 × 36.6 = 22.7 lkb- pie. Este momento debe ser transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 2 barras adicionales en la columna y verifíquese el momento con barras No.4 en un largo de 37 plg. Para barras No.4: As = 4 × 0.20 = 0.80 plg2 18

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  

 A s f  y  f c'bd 



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0.80  60 4  37  5.75

 0.0564

de la tabla 10-1:  M n  f c'bd 2

 0.0545

luego M n = 0.0545 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 22.2 klb-pie   M n = 0.9 × 22.2 = 20.0 klb-pie < 22.7 klb-pie

No cumple

 probar con 3 barras adicionales

19

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Diseño de franja de 18 pies ( la otra dirección)

< 2

<

=18’

2

=18’

Franja de Diseño 2

<

1

=14’

1

=14’

1

=18’

=14’

Figura 12.

Espesor de losa uniforme h = 7 plg. (peso = 87.5 lb/pie2). d = 5.75 plg. Las cargas son las mismas: U = 1.4D + 1.7L U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2

M iembros del mar co equivalente

Igualmente como se calculó anteriormente todos factores y FEM son determinados usando las tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a continuación:

20

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Vigas-losa (ACI 13.7.3) Rigidez flexional en ambos extremos ( K sb) c N 1



1

16 (14 12)

 0.01

cN 2

y



2

16 (18 12)

 0.07

Usando la tabla A1. CF1 = C N1 y CF2 = C N2. C  N 1 1

C  N 2

Interpolando:

 K  NF 

2

0.10

0.10



0.07

 K  NF   4.00

0.00

4.00

0.18

0.07

 K  NF

 K  NF   4.126

0.10

4.18  K sb  K NF 

4.13

 Ecs I s 1

 E cs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como

57, 000  f  c'  57, 000 4,000  3.60 106 lb/plg2  I  s = momento de inercia de la losa definida como

 I s 

1 12

3 1h 

1 12

216" 73  6,174 plg 4.

entonces:  K sb  K NF 

 Ecs I s 1

3.60 10   6,174  425 10  4.13 6

216

6

lb-plg

Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la siguiente manera:

21

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C  N 1

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C  N 2

1

Interpolando:

COF 

2

0.10

0.00

 – 

0.50

0.07

0.10

COF

0.10

0.10

0.51

0.01



0.07

COF   0.50

COF   0.509

 

Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice: C  N 2

C  N 1 1

m NF  0.10

2

0.00

 – 

0.0833

0.07

0.10

m NF 

0.10

0.10

0.0847

0.0014



0.07

m NF   0.0833

m NF   0.08428

0.0843

 FEM  0.0843 wu

2 2 1

Columnas (ACI 13.7.4) Rigidez flexional en ambos extremos ( K c): Utilizando la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez ( K ) para columnas. De acuerdo al  primer diagrama que se muestran en ésta tabla

ta/t b 1.0

ta y t b = h/2 = 3.5 plg.

ta/t b = 1

H = 9 pies = 108 plg.

H/Hc = 1.07

Hc = 108 – 7 = 101 plg.

k AB = k BA = k

H/Hc

k AB

Interpolando:

1.05

4.52

0.05

1.07

k

0.02

1.10

5.09

 



0.57

k   4.22

k   4.74

 E I  kc  k  cc c  H 

22

Hormigón II

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Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como 57, 000  f  c'  57,000 6,000  4.42 106 lb/plg2  I  s = momento de inercia de las columnas definido como

 I s 

1 12

bh3 

1 12

164  5, 461 plg 4.

 por lo tanto: k c  4.74

4.42 106  5461 108

 1059 10 6 lb-plg.

Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente manera: Interpolación: ta/t b H/Hc

1.0

CAB

1.05

0.54

1.07

COF

1.10

0.57

0.03

COF  COF   





0.05

0.54

0.54

COF c







0.02

0.012

0.552

Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5) Rigidez Torsional (K t): Según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 la rigidez del elemento torsional es la siguiente:  K t  

9 Ecs C 

 

2

1 

c2 2



3

 

donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las  propiedades torsionantes   x  x3 y C    1  0.63   y  3 

 por lo tanto, a partir de la Figura 4 7  73 16   1,325 plg 4 C    1  0.63  16  3 

1  c   1  161412   0.905 2

2

23

Hormigón II

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luego  K t  

9 Ecs C 

 

2

1  c   3

2



2

9  3.60  106  1325

14  12   0.905  3

 345  106 lb-plg

Rigidez equivalente de columna (K ec) 1

 K ec



1



1

 K  K  c

 K ec 

t

 

 K   K   K   K  c

t 

c

t 

donde: (ver Figura 13)  K c = rigidez a flexión de la columna real y Σ K c es por las columnas arriba y debajo de la

viga-losa unida al piso intermedio.  K t = rigidez de torsión de la viga de borde y Σ K t es por los dos miembros torcionales,

uno a cada lado de la columna K c K t

2

2

K t K c Figura 13.

Por lo tanto:  K ec 

 2 1,509  2  345  2 1,509    2  345 

 K ec  520 106 lb-plg

24

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Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa. Conociendo los valores de: 6

 K ec = 520×10 lb-plg.

y

6

 K sb = 425×10  lb-plg.

Los DF en el nodo exterior:  DF  

425 (425  520)

 0.449

en el nodo interior:  DF  

425

 425  425  520 

 0.310

An áli sis parcial de pór tico del mar co equi valente.

Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto Carga muerta total: wu = 1.4(87.5+20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2 FEM para la viga-losa = 0.0843wu

2 2 1

 que fue obtenido anteriormente

FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies

83.6 klb-pies

Distribución de momentos: Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo Conociendo: FEM: 83.6 klb-pies DFint: 0.310 DFext: 0.449 COF: 0.509 Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross): 25

Hormigón II

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1 0.509 0.449 83.6

Nodo COF DF FEM

2 0.509 0.31 0.31 -83.6 83.6 0 0 -19.11

-37.52

0

3 0.509 0.31 0.31 -83.6 83.6 0 0 0 16.6 -4.65 -4.65 3.01 -0.93 -0.93 0.47 0.69 -0.21 -0.21 0.11 0.11 -80.01 103.51

4 0.509 0.449 -83.6 32.52 0 . -3.01 1.35 -0.47 0.21 -0.11 -87.19

+7.06 +7.06

-7.06 -7.06

+39.10

-96.46 +87.07

-87.07 +96.45

-48.09

5.92 5.92

3.01

-3.01

-1.35

0.93 0.93

0.47 -0.21 0.11 87.19

-0.69 0.21 -0.11 -103.51

∑(M) ∑MD* -39.10 M Neg. +48.09 *Momentos distribuidos

-0.47 0.21 -0.11 80.01

Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la ecuación: M u (tramo central) 

Mo  (MuL  M uR )

 

2

donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul 2 /8) Momentos: Momento positivo para tramo 1-2 +Mu =

 0.2185 14  18 2  48.09  96.45  8



2

 51.62 klb-pie

Momento positivo para el tramo 2-3 +Mu =

 0.2185 14  18 2 87.07  87.07  8



2

 36.82 klb-pie

Momento positivo para el tramo 3-4 +Mu =

 0.2185 14  18 2 48.09 96.45  8



2

 51.62 klb-pie

M omentos de di señ o

De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no más de 0.175l 1 desde del centro de la columna: 26

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Dr. David Wong Diaz 16" 2

 0.67 pies  0.175 18  3.15 pies

nuevamente en este caso controla los 0.67 pies, y en esta ocasión obtenemos las ecuaciones del momento de la franja y evaluamos para las distancias: Ecuación de momento de las franjas exteriores: Ecuación de momento de la franja interior:  M u  2.35x 2  31.94 x  48.09

 M u  2.53x 2  35.397 x  87.07

 x  0.67

M u  27.8

 x  0.67

M u  64.5

 x  13.33

M u  71.6

 x  13.33

M u  64.5

1

2

3

14’

4

14’

14’

51.62

51.62 36.82

48.09

48.09 87.07

87.07

96.45

96.45

MOMENTOS DE FRANJA 51.62

51.62 36.82

27.8

27.8 64.5

64.5

71.6

71.6

MOMENTOS DE DISEÑO Figura. 14. Diagramas de momento resultantes de la distribución de momento y diagrama de

momentos de diseño. 27

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Dr. David Wong Diaz

M omento factor ado total por f ranj a

Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, la suma absoluta de los momentos positivo y negativo promedio utilizados para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la ecuación:  M o 

wu

franjas

51.62 

franja interior:

36.82 

2 2 n



8

0.2185 14  18  2  0.67  8

(27.8  71.6) 2

 64.5  64.5  2

2

 106.3 klb-pie

 101.3 klb-pies finales:

 101.3 klb-pie

Distribución de los momentos de diseñ o a tr avé s de la f ranja vi ga-l osa (ACI 13.7.7.5): 

Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa se realiza de la misma manera como se hizo con la franja l 2, según las especificaciones del código ACI 13.6.4. y las tablas que allí se presentan y que ya fueron mostradas en el paso 6 Como α = 0 , βt = 0 , l2/l1 = 14/18 = 0.78

Tabla 6. Distribución De Momento Factorado: Franja de Columna Momento Factorado (klb-pie) Porcentaje* Momento (klbpie)

Momento (klb-pie) en las dos mitades de franja intermedia**

Tramos Finales: Exterior Negativo Positivo Interior Negativo Tramo Interior:

27.8 51.62 71.6

100 60 75

27.8 30.97 53.70

0.00 20.65 17.90

Negativo Positivo

64.5 36.82

75 60

48.38 22.1

16.12 14.72

* De acuerdo a las tablas de la sección 13.6.4 del ACI para sistemas de losas sin vigas ** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida por las franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias correspondientes

28

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Tr ansferenci as de cortantes y momentos por carga de gravedad a las columnas exterior es

Según la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código ACI.

Fuerza cortante factorada transferida a las columnas exteriores. V u  V u 

wu

1 2

2 0.2185 14 18 2

 27.5 klb.

Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores. El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 27.8 klb-pie. (de la tabla 6).

Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de transferencia. De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante vu 

Vu  Ac



 v M u

 J / c

donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C: 2

 Ac = (2b1+ b2 )d = ( 2 × 18.875 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg

Si b1 = c1 + d /2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg. b2 = c2 + d  = 16 + 5.75 = 21.75 plg.

 J / c 

2b12  d  b1  2b2   d 3  2b1  b2  6b1

 2358.43

 v  1   f   1  0.62  0.38  38%

si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:  f  

1 1  23

b1 b2

 0.62  62%

Entonces vu 

Vu  Ac



 v M u 27,500  0.38  27.8 12, 00    2, 358  J / c  342.2

vu  134.12 lb/in 2

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Hormigón II

Dr. David Wong Diaz

f. Esfuerzo cortante permisible  vn   4 f  c'  0.85  4 4, 000  215.0 lb/plg 2  vn  vu

Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad de la franja y la franja de columna. ACI 13.5.3 Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b)) Como b es el ancho de franja de diseño =

18 2

 9  108 plg.

As(min) =0.008bh = 0.0018 × 108 × 7 = 1.36 plg2 Para barras No 4, cantidad de barras requeridas =

1.36 0.20

 6.80 barras

Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras requeridas =

108 14

 7.71 barras

Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 27.8 klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:  M u ' c

2

  f bd 

   

27.8 12 0.9  4 108  5.75 2

   0.85 1  1 

 0.0259   R

4  R 

 4  0.0259    0.85 1  1    0.0263 1.7  1.7  

  f c'bd  0.0263  4 108  5.75   1.09 plg 2  A s   f   y 60

entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es 

1.09 0.20

 5.45 barras

Usar barras 7 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a : c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg.

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Hormigón II

Dr. David Wong Diaz

Ya se calculó γf  = 62% , entonces γf  M u = 0.62 × 27.8 = 17.2 lkb- pie. Este momento debe ser transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 3 barras adicionales dentro de la franja de 37 plg Para barras No.4: As = 5 × 0.20 = 1.00 plg2   

 A s f  y  f c'bd 

 M n  f c'bd 2



1.00  60 4  37  5.75

 0.0705

  1  0.59   0.0705 1  0.59  0.0705   0.0676

luego M n = 0.0676 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 27.56 klb-pie   M n = 0.9 × 27.56 = 24.8 klb-pie >17.2 klb-pie

Si cumple

Esquema de la franja de columna a diseñar

3 barras adicionales

   ’    8    1   =   o    ñ   e   s    i    d   e    d   a   n   a   r    F

  a   s   o    l   o   r   e   t   o   4    d   n   p   #   e   o   o   5   v   m   d    i  .   o   i    t   r   n   c   m   f   e   ó   e    i    f   s   e   a   r   n   x   e   a   o   a   r    l    f   p   t   g   r   a    L

   4    #    9  ,   a   n   m   u    l   o   c   e    d   a    j   n   a   r    F

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