Ejemplo de Serie Trigonometric A de Fourier

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniería Prof. José Saquimux

Departamento de Matemática Matemática Aplicada 2N Aux. José Márquez

06/02/2012

Ejercicio Resuelto Serie Trigonométrica de Fourier en MATHEMATICA 7 CUANDO EL PERÍODO ES Se tiene la siguiente forma de onda, (señal triangular):

Amplitud 3

2

1

wt 6

4

2

2

4

6

1

2

3

Determine lo siguiente: a) Período (T) b) Función por partes (desde -T/2 hasta T/2) c) Tipo de Simetría y coeficientes existentes d) Coeficientes por integrales e) Serie Trigonométrica de Fourier En MATHEMATICA, determine: f) Construya la función utilizando la función UnitStep (desde -T/2 hasta T/2) g) La serie de Fourier (utilizando el comando FourierTrigSeries) hasta 5 armónicos, y grafique la función y la aproximación en el mismo plano h) Compare gráficamente la Serie de Fourier encontrada por algebra y la encontrada por Mathematica, utilice 5 armónicos.

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SOLUCIÓN a) Período de la función:

radianes

b) Función por partes:

(

(

)

(

)

) {

c) Tipo de Simetría y coeficientes existentes La forma de onda triangular, posee Simetría Impar de Media Onda, Y contendrá únicamente coeficientes

(

)

∑

(

(

de

(

)

(

)

) , para valores de n impar.

) [

]

d) Coeficientes

∫

( (

∫ ∫

(

(

)

) )

)

(

)

(

)

∫

(

(

)

)

Integrales por calculadora: (

[

)

( (

[

[

(

)

(

(

[ (

)

)

)

]

)

(

)

(

)

]

] (

)

(

)

(

)

(

)

)

]

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(

[

Dado que:

Departamento de Matemática

(

)

(

)

]

(

[

(

)

)

(

)

]

) (

[

)

(

)

(

(

[

)

(

)

]

) ]

(

)

e) Serie Trigonométrica de Fourier:

(

)

Cambiando de variable:

(

(

∑

)

(

)

, para

)

( (

∑

)

(

)

)

)

((

)

Grafica hasta n = 5 armónicos Amplitud 3

2

1

wt 6

4

2

2

4

6

1

2

3

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SOLUCION EN MATHEMATICA f) Construya la función utilizando la función UnitStep (desde -T/2 hasta T/2) f[t_]:=(UnitStep[t+Pi]-UnitStep[t+Pi/2])*(2(t+Pi)) +(UnitStep[t+Pi/2]-UnitStep[t-Pi/2])*(-2t) +(UnitStep[t-Pi/2]-UnitStep[t-Pi])*(2(t-Pi)) Plot[f[t],{t,-Pi,Pi},PlotStyle -> Thick] 3

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

g) La serie de Fourier (utilizando el comando FourierTrigSeries) hasta 5 armónicos, y grafique la función y la aproximación en el mismo plano FourierTrigSeries[f[t],t,5] -((8 Sin[t])/)+(8 Sin[3 t])/(9 )-(8 Sin[5 t])/(25 )

stf[t_]:=-((8 Sin[t])/)+(8 Sin[3 t])/(9 )-(8 Sin[5 t])/(25 )

Plot[{f[t],stf[t]},{t,-Pi,Pi},PlotStyleThick] 3

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

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h) Compare gráficamente la Serie de Fourier encontrada por algebra y la encontrada por Mathematica, utilice 5 armónicos. Por algebra: Plot[Sum[(-8Sin[((2n-1))/2])/((2n-1)2)*Sin[(2n-1)*wt], {n,1,5}],{wt,-2Pi,2Pi},PlotStyleThick,AxesLabel{wt,Amplitud}] 3

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

Por Mathematica Plot[stf[t],{t,-Pi,Pi},PlotStyleThick]

3

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

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CUANDO EL PERÍODO ES DISTINTO DE Supongamos que tenemos la forma de onda periódica: 2

1

2

1

1

2

1

2

Tiene período

seg

Entonces en Mathematica, definimos la función con UnitStep[] : f[t_]:=(UnitStep[t+2]-UnitStep[t+1])*(2(t+2))+(UnitStep[t+1]UnitStep[t-1])*(-2t)+(UnitStep[t-1]-UnitStep[t-2])*(2(t-2)) Plot[f[t],{t,-2,2},PlotStyleThick] 2

1

2

1

1

2

1

2

Aplicamos FourierTrigSeries[], pero ahora agregamos los parámetros: FourierParameters{1,w} Donde es la frecuencia angular de la forma de onda. En el ejemplo:

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En Mathematica: FourierTrigSeries[f[t],t,5,FourierParameters{1,Pi/2}] -((16 Sin[( t)/2])/2)+(16 Sin[(3  t)/2])/(9 2)-(16 Sin[(5  t)/2])/(25 2)

stf[t_]:=-((16 Sin[( t)/2])/2)+(16 Sin[(3  t)/2])/(9 2)-(16 Sin[(5  t)/2])/(25 2)

Plot[{f[t],stf[t]},{t,-2,2},PlotStyleThick]

2

1

2

1

1

2

1

2

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