Ejemplo de Multinomial

Ejemplo de Multinomial 

Ejemplo #1

Según una nueva ley se plantea la donación de órganos de los cuales existe una probabilidad de que el 15% estén en contra, el 40% sean indiferentes a la ley y el 45% estén a favor, si se extrae una muestra aleatoria de 20 sujetos. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5 estén a favor? Primero se buscan los datos: N = 20

  = 5   = 10   = 5

 y su probabilidad es de 0.15  y su probabilidad es de 0.40

 y su probabilidad es de 0.45

Luego como se observa tenemos más de varios sucesos en un mismo problema por lo que se puede usar la distribución multinomial, por lo que la fórmula es la siguiente:

( =5, =10,  =10,   =5)= !!!! 1 x 2x 3

F

 x

Sustituyendo queda:

!  x 0,15 x 0,40x 0,45 !!!

=0,41

Por lo tanto la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5 estén a favor es de 0.41. 

Ejemplo #2

El entrenador de un equipo de baloncesto opina que los jugadores A, B y C tienen similares aptitudes para ser titulares del equipo en la posición de base. Así, determina que jueguen el mismo número de minutos cada partido. Se sabe que el 40% de las canastas son de C, mientras que A y B consiguen un 30% de canastas. Calcular la probabilidad de que en un partido con 9 canastas de dos puntos, A consiguiera dos, B tres y C cuatro. Primero se buscan los datos: N=9

  =    =    = 

 y su probabilidad es de 0.30  y su probabilidad es de 0.30

 y su probabilidad es de 0.40

Luego como se observa tenemos más de varios sucesos en un mismo problema el suceso A, B y C por lo que se puede usar la distribución multinomial, por lo que la fórmula es la siguiente:

( =, = ,  =)= !!!! 1 x2x3

F

 x

Sustituyendo queda:

 =2, = 3,  =4)= !!!9! 0,30 x0,30x0,40 0,078

(F

 x

=

Por lo tanto la probabilidad de que A consiguiera dos, B tres y C cuatro es de 0.078. 

Ejemplo #3

Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren? Datos: N=9 X1: 3, p1 = 0.40 X2: 3, p2 = 0.20 X3: 1, p3 = 0.30 X4: 2, p4 = 0.10

( =3, = 3,  =1, =2)= !!!!! 1 x2x34

F

x

Sustituyendo queda:

9! 0.40 x0.20x0.30x0.10 = !!!! x

= 0.0077414

Por lo tanto la probabilidad de que 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren es de 0.0077414.

Ejemplo de Exponencial: 

Ejemplo #1

Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atención al público para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con μ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que sea menos de 10 minutos y de que se encuentren entre 3 y 10 minutos.

Como sabemos usamos la función de distribución exponencial por lo tanto la función queda de la siguiente forma: F(X) =

{− ,,  ≥< 

Menos de 10 minutos P(X < 10) = F(10) = 1-

−

 = 1 -0.1353 = 0.864

Entre 3 y 10 minutos: P(3 < X < 10) = F(10) – F(3) = [1-

− −,6] −,6 −



] - [1-

=

 -

 = 0.4135

Ejemplo #2

Se sabe que el kilometraje, en miles de kilómetros, que un autobús recorre antes de que se someta a una reparación del motor sigue una distribución exponencial con μ = 80.

() = {− ,,  ≥<  a) Si se tiene una flota de 300 autobuses, ¿cuántos se esperaría que se sometieran a reparación antes de los 60, 000 Km? P(X < 60) = F(60) = 1 –

−,

= 0.5276.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un autobús recorra más de 100,000 Km. antes de someter el motor a reparación? P(X >100) = 1 – F(100) = 1 – (1

   )=

 = 0.2865

Ejemplo #3

Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene una distribución exponencial con una media de 40 segundos. a) ¿Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 2 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos?

La media esta expresada en segundos por lo tanto es importante transformarla a minutos ya que las variables involucradas están en minutos.

μ

 , 

μ

  

Sustituyendo en la ecuación principal queda:

 ,   <  () = {− ,   ≥   −, −,] −,66 −,

a) P(X >2) = 1 – F(2) = 1 – (1-

)=

= 0.2635

 -

 = 0.252

b) P(1 < X < 2) = F(1) – F(2) = [1-

−,66

] - [1-

=