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GUÍA PARA EL CÁLCULO CINEMÁTICO Y DISEÑO DE TRANSMISIONES POR CORREAS, POR CADENAS Y POR RUEDAS DENTADAS
7. DISEÑO DE LA TRANSMISIÓN ENGRANES DE DIENTES RECTOS
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POR
7.1 Selección previa de los materiales de las ruedas El segundo escalón del reductor opera a una velocidad bastante baja; por lo tanto, no se requieren altas durezas para la resistencia a la fatiga superficial, pero si se requieren altas resistencias a la flexión (debido a las mayores fuerzas en los dientes). Se toman los mismos materiales que los de las ruedas helicoidales, acero AGMA grado 2, endurecido a 350 HB , para el piñón y acero AGMA grado 2, endurecido a 300 HB , para la rueda.
7.2 Esfuerzos admisibles AGMA Los esfuerzos admisibles AGMA, a flexión y fatiga superficial, se obtienen de las figuras 11.25 y 11.27 de Norton[7] respectivamente: - S fb1’ = 51.7 ksi = 356 MPa Piñón - S fc1’ = 154 ksi = 1065 MPa - S fb2’ = 47.1 ksi = 32 5 MPa Rueda - S fc2’ = 136 ksi = 939 MPa
7.3 Determinación de la distancia entre centros preliminar Para las ruedas de dientes rectos se puede estimar también una distancia entre centros, A, adecuada con base en el esfuerzo permisible por contacto, usando la ecuación 6.54 de Ocampo[1] (página 263) (válida para un ángulo de presión de 20°): 2
1 K P[kW] 340000 A[cm] (i 1)3 , ( S fc 2 '[kgf/cm2 ])i A C nR [r/min]
(7.1)
donde: - i = 2.76 (relación de transmisión) - S fc2’ = 939 MPa = 9575 kgf/cm 2 (esfuerzo admisible por fatiga superficial de la rueda) - K = 1.75 (se asume igual al K usado para la estimación de A de las ruedas helicoidales) - A = B R / A = 0.6 (coeficiente de anchura de la rueda; se toma mayor que el de las ruedas del primer escalón debido a las mayores fuerzas involucradas) - C = 1, para ruedas cilíndricas de dientes rectos - P = 17.9 kW - n R = (607 r/min)/(4.73)/(2.76) = 46.5 r/min (frecuencia de giro de la rueda conducida) Reemplazando estos datos en la ecuación 7.1 se obtiene que A = 21.46 cm. Es conveniente que las ruedas conducidas del reductor horizontal tengan los mismos diámetros, con el fin de darles igual profundización en el baño de aceite; si se utiliza este criterio, la distancia entre centros debe ser: A
D1 D2
2
( D2 / 2.76) D2 2
(421.41 mm) /(2.76) (421.41 mm) 2
287.05 mm.
(7.2)
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Tomamos A = 287 mm como dato previo.
7.4 Elección del módulo El módulo, m, se escoge del siguiente rango [1]: 0.01 A m 0.02 A.
(7.3)
Tomamos m = 0.015 A = (0.015)(287 mm) = 4.31 mm. De la tabla 4.3 de Ocampo[1] se escoge un módulo normalizado: m = 5 mm.
7.5 Determinación de los números de dientes de las ruedas dentadas Tenemos que: i
Z 2
y
Z 1
Z 1 Z 2
2 A m
(7.4)
,
de donde se obtiene que: 2.76
Z 2
y
Z 1
Z 1 Z 2
( 2)(287 mm) 5 mm
114.8.
De este sistema se obtiene que Z 1 = 30.5 y Z 2 = 84.3. Seleccionamos Z1 = 30 y Z2 = 85, con los cuales la relación de transmisión es i = 85/30 = 2.83. Para un ángulo de presión de 20° e i = 2.83 se obtiene, de la tabla 4.2 de Ocampo[1], que para evitar interferencia Z 1 debe ser mayor o igual a 15, entonces, nuestro piñón cumple con este requisito.
7.6 Precisión de la distancia entre centros Se debe recalcular la distancia entre centros: A
m( Z 1 Z 2 )
2
(5 mm)(30 85) 2
287.50 mm.
(7.5)
7.7 Diámetros primitivos de los engranes Los diámetros primitivos son: D1 mZ 1 (5 mm)(30) 150 mm.
D2 mZ 2 (5 mm)(85) 425 mm.
(7.6)
7.8 Velocidad periférica y grado de exactitud de los engranajes La velocidad periférica de los engranajes está dada por: V D2 n2 D1n1 (0.150 m)
(607 / 4.73) 60 s
1.008 m/s.
(7.7)
Note que la velocidad de la rueda conductora se calculó como (607 r/min)/(4.73) = 128.3 r/min, que son la velocidad del árbol de entrada del reductor y la relación de transmisión del escalón rápido. Para esta velocidad, escogemos de la tabla 11.7 de Norton [7] un número de calidad AGMA de 7, que se consigue con un método tallado de desbaste (no se requiere acabado).
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7.9 Determinación del ancho de cada engrane En la sección 7.3 se escogió el coeficiente de anchura de la rueda A = B R / A = 0.6, entonces: B R A A (0.6)(287.5 mm) 172.5 mm,
se toma
BR 175 mm.
El ancho del piñón se toma entre 3 y 5 mm mayor que el de la rueda [1]. Tomamos B P = 180 mm.
7.10 Cálculo de la fuerza tangencial La fuerza tangencial, Qt , es igual a: Qt
2T 2 D2
2T 1 D1
2
P
1
2 n1 D1
2
17.9 kW
1
2 (128.3 /60 s) 0.150m
17.76 kN.
(7.8)
7.11 Cálculo de la razón de contacto La razón de contacto está dada por: 2
r c
2
2
2
Re 2 Rb 2 Re1 Rb1 Asen pc cos
,
(7.9)
donde: - = 20° (ángulo de presión) - A = 287.5 mm (distancia entre centros) - pc m (5 mm) 15.71 mm. - Re1 = ( D1 + 2m)/2 = (150 mm + (2)(5 mm))/2 = 80.00 mm - Re2 = ( D2 + 2m)/2 = (425 mm + (2)(5 mm))/2 = 217.50 mm - Rb1 = ( D1cos )/2 = (150 mm)(cos 20°)/(2) = 70.48 mm - Rb2 = ( D2cos )/2 = (425 mm)(cos 20°)/(2) = 199.68 mm Con estos datos se obtiene que r c = 1.74, la cual es satisfactoria (r c 1.4)
7.12 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la fatiga superficial El esfuerzo de compresión por contacto (AGMA) está dado por: S c C p
Qt C a C m BID
C v
C s C f ,
(7.10)
donde: - Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial) - B = 175 mm (ancho de la rueda) - D1 = 150 mm y D2 = 425 mm (diámetros primitivos) - C a = 1.25 (factor de aplicación, de la tabla 11.17 de Norton [7], para máquina impulsada con impactos moderados y motor eléctrico) - C m = 1.725 (factor de distribución de carga, de la tabla 11.16 de Norton [7], para un ancho de cara de 175 mm) - C v = 0.87 (factor dinámico, tomado de la figura 11.22 de Norton[7] con Qv = 7 y V = 1.008 m/s) - C s = 1 (factor de tamaño)
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-
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= 191 (MPa)0.5 (coeficiente elástico, tomado de la tabla 11.18 de Norton [7], para ambos engranes de acero) C f = 1 (factor de acabado superficial; el acabado es obtenido por un método de tallado convencional) C p
El factor de geometría superficial AGMA para ruedas cilíndricas de dientes rectos está dado por: I
cos
1 1 D p g p
(7.11)
,
donde es el ángulo de presión, D p es el diámetro primitivo del piñón y p y g son los radios de curvatura de los dientes del piñón y la rueda respectivamente, dados por: p
R
p
(1 x p )m2 ( R p cos ) 2 m cos , g A sen p ,
(7.12) (7.13)
donde - m = 5, = 20°, A = 287.5 mm - R p = (150 mm)/2 = 75 mm (radio primitivo del piñón) - x p se denomina coeficiente de cabeza del piñón y es igual a cero para dientes estándar (de profundidad completa) Calculando se obtiene p = 23.09 mm, g = 75.24 mm e I = 0.111. Reemplazando todos los datos en la ecuación AGMA para el esfuerzo de contacto, tenemos: S c 191( MPa0.5 )
0.01776MN
(1.25)(1.725)
(0.175 m)(0.111) D
0.87
(1)(1) ,
donde, al reemplazar el diámetro primitivo de la respectiva rueda (en metros), se obtiene que S c1 = 742 MPa, S c2 = 441 MPa. De la sección 7.2 tenemos que S fc1’ = 1065 MPa y S fc2’ = 939 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fc
C L C H C T C R
S fc ' ,
(7.14)
donde: - C T = 1 (factor de temperatura, asumiendo que la temperatura de los engranes es menor de 250° F) - C R = 1 (factor de confiabilidad, trabajando con una confiabilidad del 99%) - Para hallar el factor de vida superficial, C L, se calcula el número de ciclos que soportará cada rueda: Número de ciclos del piñón = (128.3 r/min)(60 min/h)(24 h/día)(6 días/semana)(4.35 semanas/mes) (9 meses/año)(20 años) = 8.7 108 (igual al de la rueda helicoidal); durante los 20 años, la rueda girará: (8.7108)/(2.83) = 3.1108. De la figura 11.26 de Norton[7], se obtiene C L1 = 0.90 y C L2 = 0.92 - C H 1 = 1 (factor de razón de dureza del piñón, el cual no se endurece por trabajo) - C H 2 = 1 (factor de razón de dureza de la rueda, ya que HB1 /HB2 < 1.2) Los esfuerzos permisibles corregidos son, entonces, S fc1 = 958.5 MPa y S fc2 = 864 MPa.
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Los factores de seguridad son: 2
2 S fc1 958.5 N c1 S 742 1.7, c1
2
2 S fc 2 864 y N c 2 3.8. S 441 c 2
(7.15)
Estos factores de seguridad son satisfactorios.
7.13 Cálculo de las ruedas dentadas con base en la resistencia a la flexión El esfuerzo a flexión máximo (AGMA) está dado: Sb
Qt K a K m BmJ K v
K s K B K I ,
(7.16)
donde: - Qt = 17.76 kN (fuerza tangencial) - B1 = 180 mm y B2 = 175 mm (anchos de los engranes) - m = 5 mm - K a = C a = 1.25 - K m = C m = 1.725 - K v = C v = 0.87 - K s = C s = 1 - K B = 1 (engranes macizos) - K I = 1 (engranes no locos) El factor geométrico de resistencia a flexión, J , se obtiene de la tabla 11-8 de Norton [7]. Para Z 1 = 30, Z 2 = 85, = 20°, diente estándar y asumiendo (por seguridad) ‘carga en la punta’, se obtiene que J 1 = 0.254 y J 2 = 0.284. Reemplazando estos datos en la ecuación para el esfuerzo a flexión AGMA se obtiene Sb
17.76 10 3 N (1.25)(1.725) B(5 mm) J
0.87
(1)(1)(1),
donde, al reemplazar el ancho B (en mm) y el factor geométrico J de la respectiva rueda, se obtiene que S b1 = 192.6 MPa, S b2 = 177 MPa. De la sección 7.2 tenemos que S fb1’ = 356 MPa y S fb2’ = 325 MPa. Los esfuerzos admisibles corregidos están dados por: S fb
K L K T K R
S fb ' ,
(7.17)
donde: - K T = C T = 1 - K R = C R = 1 - El factor de vida, K L, se obtiene de la figura 11.24 de Norton [7], con los números de ciclos: del piñón 8.7108 y la rueda 3.1108. Se obtiene K L1 = 0.94 y K L2 = 0.96 Entonces, S fb1 = 335 MPa y S fb2 = 312 MPa.
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Los factores de seguridad son: N b1
S fb1 S b1
335 192.6
1.7,
y
N b 2
S fb 2 S b2
312
1.8,
177
(7.18)
los cuales son satisfactorios.
7.14 Parámetros de las ruedas dentadas de dientes rectos Tabla 7.1 Algunos de los parámetros principales de los engranes de dientes rectos (escalón lento) Parámetro
Valor
Relación de transmisión
i = 2.83
Números de dientes Módulo Ángulo de presión Paso circunferencial Paso básico Diámetros primitivos Diámetros básicos Altura de cabeza (adendo) Altura de raíz (dedendo) Altura total del diente Huelgo radial Diámetros exteriores Diámetros interiores Espesor del diente sobre la circunferencia primitiva Velocidad periférica Anchos de los dientes Distancia entre centros
Fórmula i
Z 1
D2 D1
Z 1 = 30 Z 2 = 85 m = 5 mm = 20°
Se calculan con la relación de transmisión y la distancia entre centros (ecuaciones 7.4) [1] 0.01 A m 0.02 A (se estandariza, tabla 4.3 ) 20°, 22.5° o 25°
pc = 15.71 mm
pc m
pb = 14.76 mm
pb m cos
D1 = 150 mm D2 = 425 mm Db1 = 140.95 mm Db2 = 399.37 mm
D mZ Db D cos
h1 = 5 mm
h1 m
h2 = 6.25 mm
h2 1.25m
h = 11.25 mm
h h1 h2 2.25m
c = 1.25 mm De1 = 160 mm De2 = 435 mm Di1 = 137.5 mm Di2 = 412.5 mm
c h2 h1 0.25m De D 2m m( Z 2) Di D 2.5m m(Z 2.5) S
S = 7.85 mm V = 1.008 m/s B1 = 180 mm B2 = 175 mm
B2 1.2 A, A
A = 287.5 mm r c = 1.74
p c
2
m
2
V Dn
2
Razón de contacto
Z 2
r c
B1 = B2 + (3 a 5) mm
D1 D2
2 2
Z 1 Z 2
m
2
2 2
Re 2 Rb 2 Re1 Rb1 Asen pc cos
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7.15 Comentarios sobre los cálculos de las secciones 6 y 7 El diseño de engranajes es un proceso iterativo. Los cálculos presentados aquí no fueron la primera iteración sino una posterior, ya que los parámetros seleccionados en las primeras no satisfacían las vidas útiles requeridas. Algunas de las principales variables a modificar durante las iteraciones son (i) las durezas de los dientes, las cuales tienen más efecto sobre la resistencia a la fatiga superficial que a la fatiga por flexión; (ii) los anchos de las ruedas, los cuales tienen más efecto sobre los esfuerzos por flexión que sobre los de compresión por contacto; (iii) la distancia entre centros, la cual tiene una gran incidencia para los esfuerzos por flexión y los de contacto; y ( iv) el módulo de los dientes, que no tiene un gran efecto sobre los esfuerzos para diámetros primitivos dados. El autor considera que cuando en una iteración los factores de seguridad estén por debajo, pero muy cerca, de valores satisfactorios, se puede pensar en aumentar durezas o anchos de las ruedas; cuando estén muy por debajo de valores adecuados y las durezas y anchos tomados sean suficientemente altos, lo mejor podría ser aumentar la distancia entre centros (y simultáneamente el módulo), lo cual conlleva a reducir las fuerzas del acoplamiento. Finalmente, las ruedas dentadas que se han diseñado pueden no ser las óptimas; hay muchas opciones que satisfarían los requerimientos de nuestro problema. El diseñador experimentado debería encontrar la opción que satisfaga las necesidades y que al mismo tiempo tenga los menores costos, menores espacios ocupados, etcétera.
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8. COMENTARIOS FINALES
Esta guía ha presentado ejemplos de diseño de una transmisión por correa en V, una transmisión por cadena de rodillos y un reductor horizontal de velocidades que consta de un par de ruedas cilíndricas helicoidales y otro par de ruedas cilíndricas de dientes rectos. Estas tres transmisiones pertenecen a un mismo accionamiento mecánico, para el cual se ha presentado también el cálculo cinemático, el cálculo para la selección del motor eléctrico, el cálculo de los pares de torsión de los árboles y la determinación de los diámetros previos de los árboles. El diseño de un accionamiento es un proceso largo y complejo; además de los cálculos presentados en este documento, el diseño completo comprende, además, otros aspectos tales como el diseño de los árboles (chequeo de la resistencia a la fatiga y a las cargas dinámicas, y chequeo de las frecuencias naturales), la selección de acoples y rodamientos, el cálculo de chavetas y la elaboración de los planos necesarios. En la práctica del diseño de transmisiones mecánicas, se hace un gran uso de catálogos de los fabricantes de elementos para dichas transmisiones. En este trabajo se han utilizado catálogos con el fin de que el estudiante se familiarice con ellos, pero también se han utilizado procedimientos y recomendaciones ‘generales’, con el fin de evitar que se particularice demasiado. Se recomiend a que el estudiante consulte, aunque sea brevemente, catálogos como los referidos en este trabajo, para obtener una mayor información acerca de los elementos comerciales y los procedimientos particulares de cálculo. Se espera que esta guía constituya un aporte importante en el aprendizaje del curso de Diseño de elementos de máquinas II y en la elaboración del proyecto del curso.
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