Ejemplo Cross Traslacional Temperatura

ESTRUCTURAS RETICULADAS

En la estructura reticulada plana de la figura, todas las barras son iguales y de sección constante con una rigidez a flexión y un coeficiente de dilatación térmica:

EI  9.000 tm 2

  1 x 105 º C 1 Si las barras AB y BC experimentan un ∆t=40 ºC, determinar:

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 1 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

• el movimiento en el nudo A • el momento flector y el esfuerzo cortante en el nudo D

ESTRUCTURAS RETICULADAS

En primer lugar, determinaremos el grado de traslacionalidad de la estructura, que como se indicó en un módulo anterior, podemos realizar por tres métodos diferentes. En este caso, emplearemos el procedimiento de sustituir todos los empotramientos en la estructura por articulaciones y determinar el grado de traslacionalidad por la expresión: GT = 2n – b - c

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 2 de 16

GT = 2n – b - c Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

n=

5

b=

4

c=

5

GT =

1

ESTRUCTURAS RETICULADAS

En consecuencia, la resolución de la estructura pasa por descomponer el estado de cargas original en n+1 estados de cargas, siendo n el número de grados de traslacionalidad de la estructura, 1, con los que recogeremos el estado intraslacional y cada una de las traslaciones posibles.

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura

• Fuerzas exteriores

3 de 16

0

M0 Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

• Variaciones térmicas • Desplazamientos de los apoyos

0

M1

Desplazamiento unitario x 

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS Comenzamos por determinar los coeficientes de rigidez de las barras en el nudo B y, a partir de ellos, los coeficientes de reparto en el nudo B.

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 4 de 16

La suma de los tres coeficientes de reparto en el nudo B tienen que sumar... Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

1

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 5 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Para determinar los momentos de empotramiento perfecto, determinamos la deformación de la estructura como consecuencia del desplazamiento del nudo E.

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

Las barras que experimentan momentos de empotramiento perfecto por el incremento de temperatura son: AB, BE y BC

La barra AD no la consideraremos en el cálculo pues, al estar articulado el nudo A, la barra no trasmite momentos al resto de la estructura ni la estructura se los trasmite a ella. LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 6 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 7 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Y ya, con los momentos de empotramiento perfecto en las barras y los coeficientes de distribución en el nudo B, desarrollamos el cálculo de Cross del estado intraslacional.

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 8 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

El cálculo de los esfuerzos cortantes en las barras lo realizamos a partir de la relación entre los momentos flectores y los esfuerzos cortantes.

Calculamos el estado (0)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

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Ejemplo de incremento de temperatura 9 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Al determinar los cortantes en las dos barras verticales, obtenemos las reacciones horizontales en estos apoyos. La condición de equilibrio de la estructura nos permite deducir la reacción en el vínculo horizontal ficticio que establecimos en C para convertir la estructura en intraslacional.

Calculamos el estado (1)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

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Ejemplo de incremento de temperatura 10 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

El estado (1) es el estado formado por la estructura original sometido a una traslación unidad del nudo en el que hemos dispuesto el vínculo ficticio, multiplicado por un coeficiente .

Calculamos el estado (1)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

Las barras que experimentan momentos de empotramiento perfecto por el incremento de temperatura son: BE

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Ejemplo de incremento de temperatura 11 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Calculamos el estado (1)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

LAS ESTRUCTURAS TRASLACIONALES

Ejemplo de incremento de temperatura 12 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Los coeficientes de rigidez de las barras son los mismos que en el estado intraslacional ya que las barras y las condiciones de los nudos en los extremos son las mismas. Conocidos los momentos de empotramiento perfecto, podemos determinar los momentos flectores en el estado traslacional por el método de Cross.

Los valores obtenidos en este segundo estado serán función del desplazamiento .

Calculamos el estado (1)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

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Ejemplo de incremento de temperatura 13 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Los esfuerzos cortantes se vuelven a obtenerse mediante las relaciones existentes entre los momentos flectores y los esfuerzos cortantes

Calculamos el estado (1)

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Ejemplo de incremento de temperatura 14 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Como en el estado intraslacional, los esfuerzos cortantes en las barras AD y BE determinan las reacciones horizontales en los apoyos D y E. La condición de equilibrio de la estructura define el valor de la reacción en el vínculo horizontal ficticio que introdujimos para hacer la estructura intraslacional.

ESTRUCTURAS RETICULADAS

El valor de los esfuerzos y reacciones en la estructura real es la suma de los dos estado de cargas (intraslacional y traslacional) en los que hemos descompuesto la estructura original. En consecuencia, la reacción del vínculo ficticio es igual a la suma de la reacción en el estado intraslacioal y en el estado traslacional y, debe ser cero ya que es un vínculo ficticio.

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Ejemplo de incremento de temperatura 15 de 16

Los esfuerzos en la estructura original serán la suma de los esfuerzos en la estructura intraslacional más los esfuerzos en la estructura traslacional en la que consideramos una traslación de valor 1, multiplicada por . Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

El movimiento del nudo A será la suma del movimiento del nudo en el estado intraslacional más el movimiento en el estado traslacional. ESTRUCTURAS RETICULADAS

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Ejemplo de incremento de temperatura 16 de 16

Antonio Vargas Yáñez Arquitecto, profesor asociado Curso 2012-13

Del mismo modo, el momento flector y el cortante en el nudo D serán la suma de los momentos flectores y los momentos en los dos estados en que descompusimos la estructura original.