EjCap2

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RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2 EJERCICIO 2.1: Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar como embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total. Tampa = T

Miami = M

Plantas

Orlando = O Huertos

Jacksonville = J

Huertos

Gaineisville = G

Plantas

Variables de decisión: T O M G

XOT = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino T. XOM = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino M XOJ = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino J. XGT = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino T. XGM = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino M XGJ = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino J.

J

EJERCICIO 2.2: Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable No necesita formular el modelo. Pensión Planners, Inc., administra una cartera particular que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en cada uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda. 1

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. Fondo1 Ventas Fondo2 Compras Fondo3

Variables de decisión: X1 = cantidad de acciones del fondo 1 por vender en los siguientes dos meses. X2 = cantidad de acciones del fondo 2 por vender en los siguientes dos meses. X3 = cantidad de acciones del fondo 3 por vender en los siguientes dos meses. X4 = cantidad de acciones del fondo 1 por comprar en los siguientes dos meses. X5 = cantidad de acciones del fondo 2 por comprar en los siguientes dos meses. X6 = cantidad de acciones del fondo 3 por comprar en los siguientes dos meses. F1 = cantidad total de acciones del fondo 1 al final de los dos meses. F2= cantidad total de acciones del fondo 2 al final de los dos meses. F3 = cantidad total de acciones del fondo 3 al final de los dos meses. EJERCICIO 2.3: Para el ejercicio 2.1, el huerto que está cerca de Orlando tiene 20000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12000 libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11000 libras de naranjas. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo.

Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1

6

Restricciones de producción: XOT + XOM + XOJ < = 20000 XGT + XGM + XGJ < = 12000 naranjas

Orlando puede enviar hasta 20000 libras de naranjas Gainesville puede enviar hasta 12000 libras de

2

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Restricciones de demanda: XOT + XGT >= 8000 XOM + XGM >= 11000 XOJ + XGJ >= 11000 naranjas.

Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas Miami requiere al menos 11000 libras de naranjas. Jacksonville requiere al menos 11000 libras de

EJERCICIO 2.4: Al determinar el número de acciones por comprar o vender en el ejercicio 2.2, la administración nunca desearía vender más acciones de las que tiene. Asimismo, el fondo 1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del doble del número de acciones del fondo 3. Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $75 000. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo.

Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 Restricciones de venta: F1 = 1800 + X4 – X1 F2 = 1000 + X5 - X2 F3 = 500 + X6 - X3 X1 < = 1800 + X4 X2 < = 1000 + X5 X3 < = 500 + X6

6 El total del fondo1 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo2 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo3 es lo que tiene más lo que compra y vende.

Lo que hay para vender del fondo1 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Lo que hay para vender del fondo2 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Lo que hay para vender del fondo3 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra.

Restricciones de compra: F1 < = 2 * F2 F2 < = 2 * F3

El fondo1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo2 El fondo2 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo3

Restricciones de inversión: F1 < = 75000 F2 < = 75000 F3 < = 75000

La cantidad total invertida en el fondo1 no debe exceder los $75 000. La cantidad total invertida en el fondo2 no debe exceder los $75 000 La cantidad total invertida en el fondo3 no debe exceder los $75 000

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EJERCICIO 2.5 Para el ejercicio 2.1, use la técnica de descomposición para expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: COSTO DE EMBARQUE ($/Ton) A DESDE TAMPA MIAMI JAKSONVILLE Orlando 50 75 60 Gainesville 60 90 45 INGRESOS ($/ton de naranjas procesadas) Tampa 550 Miami 750 Jacksonville 600

Función objetivo de maximización de ganancias: Z = (XOT* Ingresos - XOT* Costos) + (XOM * Ingresos - XOM * Costos) + (XOJ * Ingresos - XOJ * Costos) + (XGT * Ingresos - XGT * Costos) + (XGM * Ingresos - XGM * Costos) + (XGJ * Ingresos XGJ * Costos) Z = (XOT* 550 - XOT* 50) + (XOM * 750 - XOM * 75) + (XOJ * 600 - XOJ * 60) + (XGT * 550 - XGT * 60) + (XGM * 750 - XGM * 90) + (XGJ * 600 - XGJ * 45) Mediante Lingo: MAX = (Xot*550 - Xot*50)+(Xom*750 - Xom*75)+ (Xoj*600 Xoj*60)+(Xgt*550 - Xgt*60)+ (Xgm*750 - Xgm*90)+(Xgj*600 Xgj*45); Xot >=0; Xom >=0; Xoj >=0; Xgt >=0; Xgm >=0; Xgj >=0; Xot+Xom+Xoj =11000; Xoj+Xgj >=11000;

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Solution Report Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 0.1887000E+08 Variable Value Reduced Cost XOT 7000.000 0.0000000 XOM 13000.00 0.0000000 XOJ 0.0000000 25.00000 XGT 1000.000 0.0000000 XGM 0.0000000 5.000000 XGJ 11000.00 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1887000E+08 1.000000 2 7000.000 0.0000000 3 13000.00 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 1000.000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 11000.00 0.0000000 8 0.0000000 675.0000 9 0.0000000 665.0000 10 0.0000000 -175.0000 11 2000.000 0.0000000 12 0.0000000 -110.0000 Mediante Solver::

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Celdas cambiantes Nombre Xot>=0 Xom>=0 Xoj>=0 Xgt>=0 Xgm>=0 Xgj>=0

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Valor final

Valor inicial

7000 13000 0 1000 0 11000

0 0 0 0 0 0

Restricciones Nombre

Valor final lado derecho Xot+Xom+Xoj=11000 13000 Xoj+Xgj>=11000 11000 Función objetivo

Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado izquierdo izquierdo derecho 20000 20000 0 0 12000 12000 0 8000 8000 0 11000 11000 0 11000 11000

Z = (Xot* 550 - Xot* 50) + (Xom * 750 - Xom * 75) + (Xoj * 600 - Xoj * 60) + (Xgt * 550 - Xgt * 60) + (Xgm * 750 - Xgm * 90) + (Xgj * 600 - Xgj * 45) Z= 18870000

EJERCICIO 2.6: Para el ejercicio 2.2, suponga que al final del segundo mes se espera que el precio por acción del Fondo 1 sea $28, que el del Fondo 2 sea $60 y el del Fondo 3, $45. Formule una restricción para asegurar que con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $ 125 000. Ilustre el uso de la descomposición. Restricción de ganancia: 28 * F1 + 60 * F2 + 45 * F3 > = 125000 Función Objetivo: Z = 28 * ( 1800 + X4 – X1 ) + 60 * ( 1000 + X5 – X2 ) + 45 * ( 500 + X6 – X3 ) Z = 28* F1 + 60 * F2 + 45 * F3

Mediante Lingo: MAX = 28*(1800 + X4 - X1)+ 60*(1000 + X5 - X2)+ 45*(500 + X6 X3); X1 >=0; X2 >=0; X3 >=0; X4 >=0; 6

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X5 >=0; X6 >=0; 1800 + X4 - X1 =0 X5>=0 X6>=0 Restricciones Nombre

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Valor inicial 0 0 0 0 0 0

Valor final 1042 0 0 1742 250 1167

Valor inicial Valor Final Valor inicial Valor Final lado derecho lado derecho lado izquierdo lado izquierdo F3 500+X6-X3 500 625 F1 1800+X4-X1 = 300000

cantidad de barriles de gasolina a entregar cantidad de barriles de turbosina a entregar cantidad de barriles de queroseno a entregar

Función objetivo: Minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. MIN = 25 * X1 + 22 * X2

EJERCICIO 2.8 Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7. Función objetivo: Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Mediante Lingo: MIN= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50); X1>=0; X2>=0; 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000; 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000; 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000; Resolución: Solution Report 9

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Global optimal solution found at step: 8 Objective value: 0.7494100E+08 Variable X1 X2 Row 1 2 3 4 5 6

Value 1400000. 1800000.

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000

Slack or Surplus Dual Price 0.7494100E+08 1.000000 1400000. 0.0000000 1800000. 0.0000000 0.0000000 -50.91818 0.0000000 -11.98232 480000.0 0.0000000

Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0

Valor Inicial 0 0

Restricciones Nombre 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000

Función objetivo

Valor final lado derecho 1260000

Valor final 1400000 1800000

Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial izquierdo derecho lado izquierdo 1260000 0 1260000

900000

900000

0

900000

780000

300000

0

300000

Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Z= 74941000

EJERCICIO 2.9: 10

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Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la siguiente tabla:

Compactos Subcompactos Costo unitario ($) Total disponible

MATERIA PRIMA (libras) 200 150 10 80000

MANO DE OBRA (horas) 18 20 70 9000

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a $ 10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Costo de un auto compacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 200*10 + 18*70 = $3260

Costo de un auto subcompacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 150*10 + 20*70 = $2900 Variables de decisión: X1= cantidad de carros compactos X2= cantidad de carros subcompactos Función objetivo: Maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). MAX = (X1*10000 + X2*8000) – (X1*3260 + X2*2900) Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 2 Restricciones de disponibilidad: X1*2000 + X2*1500 =200 X3>=100 X1*0.2 + X2*0.5 X3*1.5 = 80 requerimiento mínimo diario de proteínas 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60 requerimiento mínimo diario de vtamina A 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50 requerimiento mínimo diario de vitamina B 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30 requerimiento mínimo diario de vitamina C X1 > = 0.5 cantidad mínima de leche, a consumir diariamente X2 > = 0.5 cantidad mínima de queso, a consumir diariamente X3 > = 0.5 cantidad mínima de manzanas, a consumir diariamente Mediante Lingo: MIN = 2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3; 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80; 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60; 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50; 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30; X1 > = 0.5; X2 > = 0.5; X3 > = 0.5; Global optimal solution found at step: 7 Objective value: 5.147297 Variable Value Reduced Cost X1 1.297297 0.0000000 X2 0.7702703 0.0000000 X3 0.5000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5.147297 1.000000 2 0.0000000 -0.5202703E-01 3 0.0000000 -0.1378378E-01 4 19.05405 0.0000000 5 77.43243 0.0000000 6 0.7972973 0.0000000 7 0.2702703 0.0000000 8 0.0000000 -0.3162162 Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0 X3>=0

Valor Inicial 0,00 0,00 0,00

Valor final 1,05 1,09 0,50 15

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Restricciones Nombre 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30 X1 > = 0.5 X2 > = 0.5 X3 > = 0.5 Función objetivo

Valor final lado derecho 80,00

Valor final Valor inicial Valor inicial lado izquierdo lado derecho lado izquierdo 80,00 0,00 80,00

60,00

60,00

0,00

60,00

73,92

50,00

0,00

50,00

116,35

30,00

0,00

30,00

1,05 1,09 0,50

0,50 0,50 0,50

0,00 0,00 0,00

0,50 0,50 0,50

Z=2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3 Z= 5,35

EJERCICIO 2.13: Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de $800 000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $500 000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión:

TIPO DE CAMIÓN 1 2 3

CAPACIDAD (galones) 6000 3000 2000

COSTO DE COMPRA ($) 50 000 40 000 25 000

COSTO DE OPERACIÓN ($/mes) 800 650 500

MÁXIMO DE VIAJES/MES 20 25 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar mas de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. 16

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Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: XI :Nº de camiones tipo I Restricciones de costo: Restricciones de demanda:

X1+X2+X3 =3 X1 - X2 - X3 = 480 X1 + X2 + X3 + X4