Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung - Wagner

Einführungin die

Vektor- und TensorrechnungI

nachderVorlesung von Prof. Paul Wagner lnstirutftir Experimentalphysik Universität Wien

Inhaltsverzeichnrs 1

Einfühu]ls

1

2

Der efil1e Vektorraum

3

2.I

3

Summevon Vek'o

2.2 Produkt einesVektorsmit einemSkala.r

3

EUKLIDscher

5

Vektorraum

3.1 Skalars Produkuweier Vektoren. . .

5

3.2 Realisierungen

5

Volumen und Winkel

7

4.1 Eimchub:Dererminanten

7

4 . 2 V o l u m €u n dW i n k e. l. . . . . . .

..

8

5 Vektorbasen ünd VektorkompoEent€n

11

6 Ko- und kontraa?riante

lz

VektorbaseD

7 Tfänsformationsv$halten

2l

8 Tensoren

25

9 Tensoralsebra

27

10 Pseudotensoren

33

11 \/ektolie|le3

zT

Produkt

12 Tensorfelder, Fluß und ZirkülatioD 12.1 Wegitrtegal r 2 . 2O b e r f l ä . h e n i n t e s r a . l 1 2 . 3V o l u m s i n t e g r a . l 13 Vektoranalysis

4a ........41 ..._.......

42

......42 43

IV

IN}IA LTSVERZEICHNIS

14 Integralsätze 1 4 . 1W e g i n t e $ a l 1 4 . 2O b e r f l i h h e n i n t e g r a t 1 4 . 3Y o l u m s i n t e g r a l

4E ........ ............47 ......48

15 Anwendung in der Physik 1 5 . 1Z u s a m m e n h ä n g eMnedneg e n . 1 5 . 2D a s , i - F e l d € i n e s t r o m d u r c h d o s s l€eni e tn 15.3Das t-Fetd einerelektrischen Pünktladuns 1 5 . 4F e s t k ö r p e r - R o t ä tW i oi n r b, € l. . 1 5 . 5A l l s e i t i g ee l a s t i s cAhues d e h n u n g

4b

4s .....49 ........ ......

S0 52

.....54 ............

55

Einführung Skalare:M*se, Temperatur,Dichte, . . . (raft, . . . Beschleunigune, Vektoren:Ge€chwindigkeit, Drehimpük ü. ä. mit Pseudovektoren: Schraubenregel TensodelleGrößensind vom Bezugssystem unabhängig,es kann6ichdabeium Ska. la.e, Vektorenoder TensorenhöhererOrdnung handeln. Ein Naiurgesetzst€llt eineBeziehungzwischentensoriellenGrößenher und ist somit ebealallsvom Bezugssyst"m unabhangig,z. B.: ?i = nö Da rensorielleGrößenvom B€zugssystem unabhängigsind, ist illl Tlansformationsverhätten entscheidend. Bemerkung Unter dem Symboly't soll im loleendenText sieis die positiveWurzel verstanden

ITAP1TEL 1. EINFÜHRUTYG

Kapitel 2

Der affine Vektorraunr 2 . L Summe von Vektoren

Abbildung 2.1:Parallelogramm*Ilegel

a+t=i+d d+{o+cl=(a+01+c

(Kommutativität) (Assoriaiiviiäi) (neutra]esElemeat) (inversesEiement)

(2.1)

AbbilduB 2.2: InversesDl€meni

2.2 Produkt eines Vektors mit einem Skalar Abbildung2.3:Vektormit einemSkalarmultipliziert

Rechenregeln: a(Bd) = (ap)d

a'B€R

(a+B)d=üd+Pa d,B€R d @ + i ) = d d +a i a€rR Eine Menge von El€melter, lür die die Rechenregeln2.1 und 2.2 erkl2irt sind, aennt man ein€n dfin€n Vektornun. amnerVektonaum = {s-,t,. ..lR€chemegeln 2.1 und 2.2 erklärt}

KAPITEL 2. DER AFFINEVEI{TORRATJM

Kapitel 3

EUKLIDscher Vektorraum 3 . 1 SkalaresProdukt zweier Vektoren

Abbildung3.1: SkalaresProdukt

ä . b= o A .o B ,

oB,oF=oa,oa to d,.D-ata ol

).triat=t).;i+ta.al o . o = u , 0 D e u e D l g?

o=u

EIrKLIDscher vekiorraum= {4 Ä .. .lRechenreseln 2.1,2.2und 3.1erkläri}

3.2

Realisierungen

1. Vektoren der AEschauuns (serader Strich mit Pfeilspitze) 2. Tiipel rceller Zallen d = (at , a,, a3), b = (h, b,, b3) ä + b = (at + bLa2 + b2,q + 6) 1 . o--

(.\d1,.\a',.\d3)

0= (0,0,0) (-{) = (-or, -oz, -as) ä ö = (drö1 + a,ö! + dBü3)

( 31 )

KAPITEL 3. IUK LIDSCHERVEKTORRAUM

Kapitel 4

Volumen und Winkel 4.L

Einschub: Determinanten

Eine Matix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eeispiel 1 (4 x 3-Matrix) /0 5 -8 3 \

I z z r r -s6 Il \ 1 4

o

Im folgendensind nur quadratischeMatrizen vor Interesse. Beispier 2 (2 x 2-Matrix)

a " ' t . ' r 1 . \ =di1Jl "= " a - 0 " vs \,/

lc

Merk6atz 4.1 (Regel von sanusr) Diese Regel, um die DetermiDant€ zu berechnen, läßi sich nur bei 3 x 3-Matizer I a,,

a,"

a,. \a'.

a,"

,-. | u2t,,/urr;I%>['2r-\q22 ---'-,--X.'X ,./-- = drrd?zd3J at2o23a37 J oßox d32w\ + | - or3o?2o3r - 4tro23s32' at2az\a33 )/ßu z/o3,,,,4$o taLls.\ I 0

V?= ssnldet(glj)ldet(qi)vA llansformationsverhalten des e-Tensos: Es gilt semäßDefinition: 61,3 = v6 = ssnldet(sri)ldet(si)rE = = ssnldet(q,r)]vEqlrs, ^ s" e(t, m, n) = = senldet(qr)l6r* srrs,-q" (über I,/n und n sol summieri w€rden) Jn.(t,n,n) erua : o"ar-q"er-"senldet(arr)] Das heißt der €-Tensor zeigi, bis auf das Vorz€ichender Determinate der Tlansformatioßmatrix, das Trausfomationsv€rha.lien €ines Tensors. Isi das Vorzeichen der Determinanteder Transformationsmatrixein Minus, so stimmr das T}ans formationsverhalten nicht ganz mit dem eines Tensors übeiein. Dies hat aber zu. Folse, daß ein Lid.ssystem in ein Rechtssystemüberge{ühri wüd bzw. umgekehrr (Spieselunsstra.nsformation).

35 Beispiel24 dr'e-: und ä:' C"*"1* *i eine orthonormi€rteBasisbesiehendaus den Vektorer Weiters sei die folgende tansformationsmatrix gegeben:

/-1 o o\ (qj)= { 0 1 o I

\ 0 det(sji) = -1

0 1 /

ia=.1e' bilden gilil Für den Fall, daß die Vektorenär, e-rund 4 ein R€chissvstem Die iransformierten Basisvekioren9'i bilden ein Linkssvstem Ds handelt sich hier also um eine Spieeelunesiränsformation Spezialfall: ercierStu{e(Pseudovekto,1-,('ar)' Gegebensei ein Pseudotensor

Ä = ssnldet(q')l q/ Aj Spieg€lungstra.nsformalion:

( a , i=) l

/-1 o 0 -r

\ 0 det(si') = -1

0

o \ 0 I -1 /

Damiti

,'=tl!lj'r,

von,4ä'd€rtsi'hum r80" d.h.dicFichtun8

Definition 10.3 (winkelgeschwindigkeitsvektor d) Länee:ldl - winkelseschwindiskeit(#)r Richtung: Paxallel zur Drehachse Richtunlssinn (Orientieruns):semäßSchraube esel'? Man unterscheidet zwei Arten von Vektorer, die axialen Vekiorcn (Pseüdovekioreü) und die polaren Vektoren (,,normale" Vektoren)'

2;.h. hatrdelt €5 sich bei der Vektorb*b um €in R*htssvstem so v€nde mat dG Re€hts jedoch rm ein Link55v'L"m so send" mdn die sch'aubenFsel d, hddelt 's sicb bei der Bsis ein P*udovekror i'r' d"r winh'tgsch(indiskei's'ktor folSt' daß "t otraus Li.**r'-"ü."*or

36

K APITEL ] O. PSEUDOTENSOREN

Kapitel 11

Vektorielles Produkt Definition 11.1 (vektorielles Prcdukt 'on a nlit i) (d x b)t = €ijkd b. G *i), = "'iuojbo desvektori€ll€nProdukts: Ttansformaiionsvexhalien S i n da ' u n J , p o l a r ev e l , o r - n . s o , .dr - l ü . i n r x i a h r v e k r o r , ki A ein polarerVekior und ö ein anialerVektor so ist d x ö ein potarerVektor. Ist eine orthonormierleBasis(erj = drj;9 = 1) gegeben,dann gilt: (d x E)1= e1z*2ba + e*za3bz= a2b3- a3b2 = a3ö1- arö3 (d xi)2= ezzlazbr+ ez13drr3 =arb2 -a2b1 (äx ö-):- e:rrarö'+ e:2ra2b1 let axö:detla, \ör

e2 e3 c, o. ö:, ö3

= e'*zbz* äza$r'l dzarb2- E3a2b\- ö2atba drqb2

Geomctrische Veranschaulichurs (altgemein, nichi nur auf orthonormierte Bs€n ircDrungvondxo: U m e j n e A u s s ä g eü b e r d i e R i c h r u n s r o n ; , folsendes Skalaxprodukt: ä. (ä x ö-)= or€tiaajö,, = eiiko;atbx = . l ? 3 o , o , ö " + . ? r ra " a . b , + , 3 2 o " a , b ,

D'rrcren ru könn"n bFtra.htcn wir

t3"' Ja3o?or

+q/alo3D2

-i

--

| :ta?o1h

=

-*

+ t o 2 or b - a 3 d r b| + q o t b z- o ( 3 b 2+ a ß 2 6 - d r o r ö 3 l = 0

D.h. das Skalarp.odukiisi 0. Daraüslolst: (ä x t)rA. Analoge gilt für du Skat".p.oa"Lt d. 1a " a';. ,luch in diesemla.lt ist das Skalar, pmdukt 0. D.h. auchfü teili: (ä x t)-Li. Bemerkuüg Bei de! Mr tilpikaiion von etwd Antisymmeirischem(2.B. €tir) mii eiwd Symmetrischem(2.8. a;a;61) erhäli man irEmer0. Länge von d' x t: lä x il, = l(a x i)r (ä x i\i | = \eii,"ßjbkeit^sft ^l = l€djle'!,r-oj ößorö- |

38

KAPITEL 11. VEKTORIELLES PRODUKT

Einschub: Überschiebungvo! e-Tensor€n:

_ v,

",.",

Je

- ,

:

2. D.h. für t + j erh:ilt man immer 0 (vgl. ,,i). - 3 ' ? r € ":-- V ' : ? ? - | [ . . . " ' /' J) " ^ - . . 2 3- -vr rE . L : : 1 a=e.'tE-'=z ( -.-" /r-' )

3. e,;ie'kt= 6ik6it- 6.t6k r & l * , r k t | i

r t j

r i

xj

Mit diesemWis€enkönnenwir nun die Längevon o-x Sberechnen. Id x 612= l€üjkeÄt^ai bkafi^l = l(6jt6k^ - 6j^ 6kL) "j bhaft^l = la'hnatbn- a-btdtbnl

= lä,i,_ la.E),1 = d,i, - ldPl,rcos,(Ld,i)l = lal?lirlsin,zd, i)l

Darausfolgt:

i)l lax dl= läjltllsin(rä, Di€s entspricht dem Flächeninhaltdes von den Vektoreno-und d'aufgespannten Para]lelograinms. Richtungssinnvon d'x i: ä, ö'und äx 6'folgenso aufeinanderwie die Basisvektoren 9-1, s-2und s-3,gleichgültig ob es sich um ein Liqks- oder Rechtssystemhatrd€lt. PhysikalischeAnwendungeD: RotierendeSysteme: Rechis€ystem Linkssy3iem

39 Für einen Körper der sich in Bezug auf ein rotierendesSystemnicht rclativ zu diesembewegt,gilt folgendeFormel:

Für die Zeniifugalkraft gitt: lz=-rux\axt). Für die CORIOLlSkraft sili, rc=-tm\uevret) ElektronagnetiscJre Felder: Ein elektromagneiisches F€ldi6t durch den elekirischerFeldsiärkevekior i und den Vektor der maenetischen Induktion -d gegeben. Dabeiisi der el€ktrischeFeldstärkevektor ein polarer Vektor üIld der Vektor der magnetischenIndukiioD €ir axialer Für dje LORENTZkraft eili dann: FL-qE+q(6tE) EigenschaJten dei v€kioriellenProdulcts: (5'x d)r = = = =

e;31tsoß -€ikiahV (Minus, da die Indizesj und i v€rtauschtwurd€n) -€tj*at!h (es wurden einfachdie Indizesj und Ä umbenannt) _(ä x 6)r

Es gili also: Daraus folgt sofort: ,\o=.-(dxdJ

+

aya=v.

Da.svektorielleProdukt iBi also nicht komnlurauv. Das vekto elle Produkt ist aber bezügtichder Multiplikation mit ein€m Skalax . = aei,*oib*-o1o-"4-;,. Iraa) x ö-lr e;i*looi)bk i-; ("')' Das v€ktorielleProduki ist auch disiributivr

ä x ( i + c - -) ( ä xi ) + ( a x a ) . HöhereVektorproduktel Eniwicklungssatz: läx (d x d)l; = e;;kai(ä'x;)a = eijkej Ekt^b&^ = ekij €kt^ajbLc^ = (6tt6jn - 6ttu6jtlaib&= b;an c- - c;atbt = L t a. c l 0 _ ( a . o , c j r Es gili also:

ä x (ix d) = (d.ö)i- (ä. i)":

KAPITEL 11, VEKTORIELLES PRODUKT

40 Spatprodukt: o.{o\cl=otovct, = o €tikd c' = €tjka'Yr'

/dl

61 cr\

\ 4 3

6 3 C /

=y'idet,l o'z b'z c'z I aufgespanntvon den Vektorena-,ä-und c-in Für da"sVolumeneinesParallelepipeds einer orthonormierienBaiis (vf = 1) gilt:

t r - - l - -4 - 0' -o r c I

t a a

\

("r= la"tI r-a a-o-t'a I

\ u o t b d d J

\

ll d." rll l ( ö:l ' , ", :h : l "l \a /, 'lb ,' c", \l l l t\"

\

f

"""./\"^t"n))

/" a."\

/ 'r-"' \

\c,

\.3

- , d . r l ö r6 z, " l a " r l . ' U r l ", cal ö3 cal \

T- r/ *;-;,lT = . 1 +l lt . ' o ," , l l \

L \ ' " a "" " / J

ltta\ /a d, ä, c, I \d3 ä3 cal Dafausfolgt unter Bezugoahme auf dar Spatprodukt: =deil

(s; = a. (5'xc-). DieseFormelsilb wie rvir ausder DefinitiondesSpaiproduktsersehenkönnennicht nur für orthonormierteBasensonderauch für allgemeineBasen. Es folst nun die Herleituns d€I Formeln für weiter€ höh€rc Vektorprodukte:

{ä x i) . (c'xi) = (dx i),(dx i)r

= "tjuoib*ea^Cd^ - (üi 6^k - 6Lk6*i)ejbkCdn - atb^c, ü" - a^üc,d.^

: (ä.;)(i. i) - (ä.i)(t.r) x d')jk-x i)a [(d x ü-)x (dx d-)];= e;;k(a-

= ",,qnI^ atb_{*c"d, = e* ; t e"^' er'^ arb- c.d. = (6!6 j. ,6t 6j\€J.'^aü^c"d.

--%"dt

1;" i),

- !'^"'t^"4' (,-,-6i,

= \a x b)r dj ct - (d x b )l cj d. \ _ ! - \ - ! -

(öxi);

(äxi).;

, t\d, I;) ,t-y,. t(d < i') . Äld, (ä x i) x G'x d=)- ätdiäx i)l - ita(ä x i)l

Kapitel 12

Tensorfelder, Fluß und Zirkulation Man spricht von einem s,taloren1el4 wenn folgendeBeziehunssilr: ) = .\(ci). Flächenfür die I = constänseilt heißenN,,edüldc^en. Man spricüt von einem yeÄtorl€rd,wennlolg€ndeBeziehunggili: "-= "-('i)

L2.L

Wegintegral

Für dasWegintegral(Linien- bzw.I{urveniniegral)über eineXurve C imVekrorfeld

t-,-

\\l rr-

€g"'-^ Aus der Zeichnungkann man erkennen,daß folgendeBeziehutrggitt: lim)

u- ^i

= , u-ds;.

Wählt man für C di€ ParameterdaNtellung, so ergibt sich: ,i - cj(r) mit r e [rr,r,]. Hierbei ist & = Pr(rr) der Anfanss-und p, - r'r(rr) der Endpunki der Kurve C. Man kann beweisen,daß folgendeBeziehunssitt:

42

KAPITDL 12. TENSORFELDER,FLI]SS UNDZIRKULATION

Ist Pl - Pr, so spdchi man von einem Ringintegral (auch Zirkutation genanDr) und schreibtda.{ür:

{ t ae. Beispier25 (wirbel)

i,4-.F\1 r\ -,rlUl; -/d

f aa;+o Beispiel 26 (Lineare Strömurs)

\)?Grc

\\:J \r\ \

f ;ae-o L2.2

Oberflächenintegral

9^-^J .'K\Yfu\t >t/xry

\wzt4r'\ Für das Flächenint€grälüber die Fläche.F im Vektorfeldt ergibr sich: -

tl

tirf.L6. ^t = Il idt lst die Fläicheitr siche$chlossen(2.8. eine Kugetoberfläche), so spricbi man auch von einem Ringiniegralüber die FlächeF und schreibtdafür:

9'nr L 2 . 3 Volumsintegral Für das Volumsintegra.tüber das Volumen y irn Skalarfeld p ergibr sich:

tiff':.Lp-^'= lll ed' "r" v

Kapitel 13

Vektoranalvsis in kartesischen Koordinaten

ro.

DeSnition 13.1 (Nabla-Operator V)

(v),=v= ar, Deffnition 13.2 (Laplac+operator

^)

l=v,vr=i.i Definition 13,3 (Gradient eines Skalars ,l)

ar

/ a a \ I ar I

(sradI)r = vr.\ = ;: = | # | I ä t , \3;'/

Deturition 13.4 (Divergenzeinesvektors fl Aut ölt öu, orvu=vrui=-=-+-+=j OIt O3:1 Otz

Deffnition

13"5 (Rotation

0u" dt:3

eiües Vektors

^-.

/ esa ,!'

qca \

I

ot'

:+

€+

( r o t , ) i = E , j r v j u * = e- i , * = = |

.

dr'

t)

|

1'r

Y'1

\

|

t

\ 7 ? _ " " l: \

€ijr nimmt nur die Werte+1 an, da wir von einemkartBischenKoordinareßystem aüsgeheD.

44

KAPITEL 13, VEKTOBANALYSß

Eigenscha.ften und Rechenregeln: 1. div()4 = q (.\?,r) Prodtkkegel

=?iViÄ+^V!r $ad.\

div d

= (eräd.\) + )(div4 r.

L I o ! l r o r u J l i= E r J ( v r € k l n V u m (.orOr = Ekij€khvjulJ^ = tolojm - oif,ojt)vj vt rm = Vm V; u- - V V ?,i

=Vv-un-VVur = {crad(divr) _ ^d)r

6.jr darf vo€ezogenwerden,da e3 sich um eine KonstaDte ha!delt.

Man darf die Nabla-Opera.toren auch ve*auschen.

3. Fot (erad))li = €iJ;,VjV& .\ (sFd-\)r

Da aber eij/. vollständig antisymmetrisch und Vj Vr symmetrisch ist, gilt: rot (srad.\) = 0. 4. div (rot 4 = v. 6rj,,Vj ?r, = Eü*Vi Vj uß punkt anstellen, Man kann nun die selbeÜberlegungwie im vorhergeh€ndeD dabergilt: div (rot u') = 0.

Kapitel 14

Integralsätze L4.L

Wegintegral

,'.{

'i.V \ \ )

Man kannzeigen: .\(P,)- )(4J. / (sradr)ds-=

Dahereilt für ,- = grad,\ I / rdr= \(Pr) - )(P1).

.I

.I wird als skalaresPotential bereichner. Foleelungen: r. Falls"-= srad ) =f /ids-ist c

wegunabhängis.

2. Fallso-= $ad.\ + f dds*= 0. c Anschauliche Bedeutungdescndienier: Ein Kürvenstück welchesso kurz ist, daß die Anderung von grad ) verna.cht:issisbar klein ist, geht h €in€r Punlt über.

4ö

KAPITEL 14, INTEGRALSÄTZE

srad.\. as-=.\(P,)- .\(Pr) Es sill,^s-- i. ^'6, wobeilil = 1 sitt. Darausrotsi: /. sräd) . as = ^(P,) - ^(P1)

t.n."a.r=l1&l:1111

(r4.1)

Dar Bruchaufder re"hrcoSeiregibr die Änderungvon \ pro Längen€inbFil rr Richrunsvon t an. Dic Änderutrswird maximal.wennI parall"tzu gra.d\ srehr. Andcrprspilskommt ps zu keinerAnderungvon ,\. wcnn I normal aufgrad A sreht. Folgerungen: L. grad) isr parallelzur Richruned"r mar;malen Änderungvon \. 2. Angenommen: f.grad Ä = 0 SkalarprcdDkt

Dies ist rur möslich,wentr .\(Pr) = Ä(P,) sitr (siehe14.1). DieserFall kann aber nur dann einircten, wenl & und P? auf einer Niveaud:iche liegen. Das heißt i smd.\ ist nur dann gleich Nul], wern i ianseniial zu €iner Niveaufläche lieei. Somii silt also srad.\ steht senkr€cht aut die Niveaufl:i.betr. 3. Angenommen:f stehi senkrechtauf eineNiveaufl:iche. Dann eilt i ist parallel zu grad). Darausfolgt: f gra.d,\ = lgrad)l. Es gitt

= )(P?)Ä-L(&) ls"ud.\l lgrad.rl.ista.lsodie Änderungvon.l pro Längeneinheitin Richrungder maxi. malen And€rung, dieseverläuft senkrechrzu den Niveauflächen.

I'R=!..a t.rz----*-\

14.2. OBERFLÄCHENINTEGRAL

14.2 Oberflächenintegral II tai F

Satz 14.1 (Stokes) tf

-

t

ll rord d.J= 6 ddE F

n

Ä$

Rd(F)

,Rd(F) ist die Kuwe enilangdesRanderder FlächeI'und la d€r Normaleneinheirsvekror. Für diesengilr: ln. = L Falls ,- = rot ä gilt, 60 folgt daraus: llüdl=0dd| \..-?J

Zi.kul6tion

ä wird als Vektorpoteniialbez€ichnei. Für eine in sich geschlossene F]äche(2.B. eine Kugeloberfiäiche) gilt, für tr-= roi ä folgendeBeziehurgl

a idl =0 Fü kleineFlächengilt:

tora-l\I=

tp ad$ Rd(F)

Weitersgilil

Somit erhält man: fi.rotd'.At = 0 AdsRd(^r) I

/-.Rd(^!)

Der Ausdruck auf der rechten Seite gibt die Zükr arion voD a um ^l

pro Fl:icheE_

48

K APITEL 14. IN'I:EGRALSÄTZE

Folgerungen: 1- rot a steht senkrccht auf die Fläche der maximalen Zirkulation. 2. AnDahmerDer Normaleneinheitsvektor A stehe normal auf die Fläche der maximalenZirkulation.Darausfolgi: n l l r o tä ) n

( o t o - = i r o t d ) - ü1- 9 dfd E

ikä:a.p!öi(ukt

\-vmqimale Zirkul.rion pF Flüch.neirheit

lrotdl gibt also die Zirkülation von ä pro Fl?icheneinheit um die Flache der maximalen Zirkula.tion an. roiä gibt die Richtung der Wirbelachse an. Als Wirbelstärke bezeichnetmaD die maximal€ Zirkulation prc Flächeneinheit.

14.3 Volumsintegral fil ),du v

satz 1a.2 (Gauß)

lllanaa,=ffaai v Rdlv) Für kleineVoluminagiltl di,td. av = $ ddi

n

a*a=[ flaai Der Ausdruck auf der rcchten Seite gibt den Fluß aus dem Volumen ^, pro Volumseinheiian {Quell6t:irke). div,D = 0 .1 ss g;6i l(.;ne magneiisch€nMonopole

Kapitel 15

Anwendung in der Physik Es sili: lot erad.l = 0 div.ot a-= 0 Damit: t= grad) + rot !-- 0 ü=rotä=+divr-=0 Eine l}age die sich an dieserStelle aufdrängtis[, ob auch die Umkehrungdieser beidenBeziehurgenrichiig ist.

15.1

Zusammenhängende Mengen

0-zusammenhängend 0 zusammenh:ineeqd oder auch wegzusammenhängend bedeutei,da8 je zwei Purkie einer Mengedu.ch €ineXurve verbundenwerdenkönnen,die ganz in der Mengeliegt.

0 zusammenhängerd

nicht 0-zusammenhängend

1-zusammenhäng€trd Eine Metrgeheißt 1-zusammenhäDg€nd, wenn sich jede geschlosseneKurve auf einen PuDki d€r Mengezusammenziehen läßx.

geschlossenen KuNen l-züsanmenhängend aber nicht GzusammeDh:itrg€nd

0 zusammmhärsendaber nicht 1-zusammetrhängend

50

KAPITEL 15. ÄNWENDUNG IN DER PIiYffK 2-zusammenhängend Eine Mengeheißü2-zusammenhängetrd, \r'ennsich jede geschtossene Fläche (2.B. eineKugeloberfläche; nicltjedoch die OberfiächeeinesTorus),aufeinen Punkt der Meagezusammenziehen läßt-

he.ausgenommenesVolümen 0- u.d l-zusammenhzineend aber nicht 2-züsmmenhtugend

Xörperisidürchbohrr 0- und 2-züsammenhängend al,er nicht 1 zusammenhä;send

Man kann zeigen: 1 Auf einer l-zusammenh:hsetrden Mensegitt: ,-= gradl