Efecto Hall

Efecto Hall Ram´ırez Arv´ıdez Roxette Facultad de Ciencias, UNAM Correo: [email protected]

03 Junio 2023

Resumen Empleando un electroim´ an CENCO y un gauss metro se caracteriz´o el im´an con la ecuaci´on B = (0.939 ± 0.009kG/A)I + 0.027 ± 0.007kG. Usando una punta de prueba de Hall se midieron los VH a diferentes corrientes del electroim´an, se repiti´o el experimento a tres diferentes corrientes de control (53.3 ± 0.2mA, 97.6 ± 0.2mA y 123.3 ± 0.2mA). Con la caracterizaci´on del electroim´an se obtuvieron el campo magn´etico correspondientes a cada VH medido y se encontr´o la relaci´on lineal entre el voltaje y el campo. Se obtuvo un coeficiente de Hall promedio de las corrientes de (29.5733+0.0025)×10−3 m3 /C el cual es positivo indicando que se trata de un semiconductor tipo p. Usando un im´ an permanente se estudi´o la relaci´on de posici´on del centro del im´an a la punta de prueba y el voltaje de Hall, se encontr´o que los datos se ajustan a la funci´on 0.0018/x1.541 con un R2 = 0.971. Se encontr´ o que existe una relaci´on sinusoidal de la posici´on angular y el voltaje de Hall medido con un ajuste a la funci´on VH (θ) = 0.55mV sinθ de R2 = 0.99. El mapeo del electroim´ an nos indica que existe una simetr´ıa respecto al centro del im´an.

Keywords— Voltaje de Hall, InAs, Constante de Hall, semiconductores, portadores de carga

Introducci´ on El efecto Hall fue descubierto en 1879 por Edwin Herbert Hall. Qui´en ide´o un experimento que permit´ıa determinar el signo de los portadores de carga en un conductor. ⃗ de Si un conductor por el cual a traviesa una corriente i es colocado en el seno de un campo magn´etico B forma que sus l´ıneas de campo pasen de forma perpendicular a la direcci´on de flujo de i, se producir´ a una ⃗ H con direcci´on J⃗ × B. ⃗ diferencia de potencial transversal VH y un gradiente de campo E El campo ejerce una fuerza desviadora F⃗B sobre los portadores de carga que se mueven a los lados del conductor. La fuerza lateral est´ a dada por q⃗v × ⃗b de donde se deduce que sean positivos o negativos. Adem´ as ⃗ [1] [2] de F⃗B , los portadores experimentaran otra fuerza F⃗E proveniente del campo E. Cl´ asicamente, la din´ amica de los portadores de carga est´a dada por el modelo de Drude [5] m

d⃗v ⃗ + ⃗v × B) ⃗ − mv = q(E dt τ

(1)

Al estar las fuerzas en equilibrio con VH constante, la ecuaci´on (1) se convierte en: ⃗v =

qτ ⃗ ⃗ (E + ⃗v × B) m

Con e la magnitud de la carga del portador, B la intensidad del campo magn´etico. m la masa, τ el tiempo entre colisiones y v la velocidad de deriva.

1

Desarrollando las componentes  qτ  vx = m [Ex + vy Bz ] qτ vy = m [Ey + vx Bz ]  vx = qτ m Ez El campo Ey aparece por la acumulaci´ on de los portadores, por lo que vy = 0. El campo va en direcci´ on z. Entonces el campo debido al efecto Hall. Ey = ωτ Ex =

qBτ Ex m

El coeficiente de Hall se define como [1] RH =

Ey Jx Bz

(2)

Donde J es la densidad de corriente dada por: J = ρv =

I I →v= dw ρdw

Con w la anchura del conductor, d el grosor de la muestra e I la corriente total. Tambi´en, se considera que para un condensador de caras planas E=

VH d

Obtenemos que el coeficiente de Hall (2) est´a dado por: RH =

VH t IB

(3)

De aqu´ı que se pueda determinar el tipo de portador del material. Si RH < 0 la conducci´on es por electrones (semiconductor tipo n) y si RH > 0 (semiconductor tipo p) la conducci´on es por huecos. La relaci´on entre el coeficiente de Hall y el n´ umero de portadores de carga es RH = −

1 ne

Punta de Hall Es un dispositivo hecho con un semiconductor, en este caso de InAs, que aprovecha el efecto Hall para medir campos magn´eticos. El campo el´ectrico debido a la distribuci´on de cargas genera una diferencia de potencial entre los bordes del conductor. Dada una corriente fija, esta tensi´on resulta proporcional a la componente normal del campo magn´etico. La ventaja de los semiconductores reside en que presentan un intervalo de conductividad muy amplio en funci´ on de su temperatura, concentraci´ on de impurezas o presencia de campos externos. Tal comportamiento se explica mediante la teor´ıa de bandas considerando que la estructura del semiconductor es similar a un aislante pero con un intervalo de banda prohibida de peque˜ na amplitud. [1] [2] En la Figura 1 se muestra un diagrama para diferenciar entre los tipos de conductores.

Figura 1: Caracterizaci´ on de los conductores seg´ un la teor´ıa de bandas 2

Desarrollo Se realizaron cinco experimentos con un electroim´an, gaussmetro y punta de prueba de Hall.

Calibraci´ on de electroim´ an Se uso una fuente de poder (CENCO UNAM 518330) de 5 A para el electroim´an. Se conect´o en serie un mult´ımetro para medir la corriente. En la parte central del electroim´an se coloc´o un gaussmetro (con resoluci´ on de 0.1 G). El montaje se puede apreciar en la Figura 2. Se registro el campo generado al variar la corriente suministrada por la fuente de poder. Se uso un rango de 0.1 mA a 1.300 A en pasos de 0.100 mA.

Figura 2

Medici´ on del campo El montaje se puede apreciar en la Figura 3. En la parte central del electroim´an se coloc´o una punta de prueba de Hall de InAs perpendicular a las l´ıneas de campo del mismo. Para su funcionamiento la punta requiere de un circuito el cual cuenta con entradas para conectar dos mult´ımetros, uno con la funci´ on de medir la corriente y otro el voltaje. Para una corriente de control (de la punta de prueba) fija de 53.3mA se vari´ o la corriente del electroim´ an y se registro la lectura del voltaje de Hall VH . Se repiti´o el experimento dos veces m´ as para corrientes de control de 97.6mA y 123.3mA.

Figura 3

Medici´ on de posici´ on angular Se fijo una corriente del electroim´ an de 3.66mA y una de control de 4.66mA. Se coloc´o la punta de prueba de forma perpendicular a las l´ıneas del campo del electroim´an y se empez´o a rotar en pasos de 15◦ utilizando

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una nuez con escala angular y resoluci´ on m´ınima de 15◦ . El montaje usado es similar al del experimento anterior.

Medici´ on de posici´ on Se coloc´ o un im´ an permanente por debajo de la punta de prueba. Se parti´o de la posici´on 0.0375m ± 0.0001 hasta 0.2145m ± 0.0001 registrando el voltaje de Hall medido por la punta. El montaje se puede ver en la Figura 4

Figura 4

Mapeo del campo del electroim´ an Se dejo fija una corriente del electroim´ an 0.70 mA y 103.2 mA para la corriente de control. Usando la escala m´etrica en el electroim´ an (resoluci´ on m´ınima de 0.5 cm) se coloc´o la punta en x=1 y se recorri´o el intervalo [-3,3] anotando los valores de VH correspondientes.

Resultados y An´ alisis Se consider´ o en cada experimento un campo residual presente en mediciones donde la corriente era de 0A. Las incertidumbres consideradas en el primer y segundo experimento son muy peque˜ nas y se observan con una cruz.

Calibraci´ on de electroim´ an La ecuaci´ on caracter´ıstica del electroim´ an se indica en (4) B = (0.939 ± 0.009kG/A)I + 0.027 ± 0.007kG que se obtuvo por medio del ajuste lineal mostrado en la Figura 5

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(4)

Figura 5 La calibraci´ on se repiti´ o tres veces y se observo que en las u ´ltimas la relaci´on entre B e i era alrededor de B = (0.513 ± kG/A)I + 0.309kG. La linealizaci´on correspondiente se puede ver en el ap´endice B.

Medici´ on del campo De la ecuaci´ on (4) fue posible encontrar la relaci´on entre la corriente i del electroiman y el campo B. La relaci´ on lineal entre i con VH y B con VH se puede ver en las Figuras 6 y 7.

Figura 6

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Figura 7 De la relaci´ on (3) en Introducci´ on encontramos el valor del coeficiente de Hall para las 3 diferentes corrientes de control. En la tabla 8 se muestran los resultados y el promedio RH = 29.5733 ± 0.0003 × 10−3 m3 /C. En la u ´ltima columna se presenta la densidad de portadores de carga.

Figura 8

Medici´ on de posici´ on angular (0)

Usando un ajuste a la funci´ on sinusoidal se encontr´o un ajuste de R2 = 0.99 y una constante VH = 0.55mV , a la ecuaci´ on (0)

VH (θ) = VH sin θ

Figura 9

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Medici´ on de posici´ on Con la caracterizaci´ on del electroim´ an se encontr´o el campo correspondiente a datos de VH a distintas posiciones y se ajustaron a una curva Vrxo . Se encontr´o una R2 = 0.971, para los valores VO = 0.0018mV y x = 1.541.

Figura 10 En la Figura 10 tambi´en se gr´ afica el campo medido con el gauss-metro el cual presenta un x = 1.909.

Mapeo El mapeo se hizo respecto al eje central recorriendo su eje perpendicular. El resultado se puede ver en la Figura 11

Figura 11

Discusi´ on y Conclusi´ on Se verific´ o la relaci´ on lineal entre el campo del electroim´an y su corriente. La discrepancia observada en la repetici´ on del experimento se asocia a la histeresis en el electroim´an, en los experimentos restantes tambi´en se uso el gaussmetro para tenerlo como referencia y como se volvi´o a apreciar una relaci´on uno a uno entre el campo y la corriente se trabajo con la ecuaci´on caracter´ıstica (4). La ecuaci´on antes indicada es v´alida en

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las cercan´ıas del centro del im´ an. Del experimento 2 se encontr´ o que a mayor campo magn´etico tambi´en crece el voltaje Hall. Y que a mayor intensidad de corriente de control la pendiente disminuye como se puede ver en la Figura 7. Del experimento anterior se encontr´ o una constante de Hall promedio de (29.5733 ± 0.0025) × 10−3 m3 /C de la cual se induce que se trata de un semiconductor tipo-p. Se observa en el tercer experimento un comportamiento sinusoidal, el voltaje m´aximo se obtiene cuando el angulo entre la velocidad de arrastre y el campo es de 90. ´ En el cuarto experimento se observa una dependencia entre el voltaje de Hall medido y la posici´on de la punta, lo cual nos indica que el efecto puede servir como sensor de posici´on lineal. Considerando u ´nicamente distancias menores a 0.22m pues a partir de aqu´ı las variaciones de voltaje son muy peque˜ nas y no se aprecia diferencias notables debido a la resoluci´ on del instrumento por lo que se sugiere su uso para distancias cortas o campos muy grandes. Para el mapeo del electroim´ an se encontr´ o una simetr´ıa respecto al centro del mismo.

Referencias [1] John P. McKelvey. Solid State Semiconductor Physics. Nueva York: Harper Row, 1966 [2] Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 7ta edici´on. Nueva [3] Hall Effect Probe: CENCO No. 80401.and 079641. [4] CENCO. Electromagnets: CENCO Nos. 079637 CENCO. [5] Efecto Hall, Yamil Albe Cahrtouana, UNAM, 12/04/2019

Ap´ endices Incertidumbres Se usaron las escalas m´ınimas y la propagaci´on de incertidumbres en el caso de RH , tomando en consideraci´ on la incertidumbre obtenida del ajuste lineal para calcular la pendiente. s t2 2 t 2 ) ∆VH2 + (VH 2 )2 ∆RH B= ( RH I RH I

Experimento de calibraci´ on

Figura 12: Repetici´ on del experimento de calibraci´on del electroim´an

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