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Optimización1 .

Examen Final 27 de noviembre de 2008

Nombre:

1.   (17 puntos) Para puntos)  Para el siguiente problema de optimización sin restricciones:

m´aax x   x1 e−x sujeto a   x1 − 2x2  = 1 0 ≤ x1   ≤ 4 2

1

a )

Grafique el conjunto conjunto factible y halle las direcciones factibles para un pun punto to factible (x1 , x2 )  con   0  < x1  <  4  4..

b)

Encuent Encuentre re un punto punto factible factible   (x1 , x2 )   con   0   < x1   <   4   que cumpla la condición necesaria de primer orden para un máximo local.

Usted debe justificar todas sus respuestas. Una respuesta que aparezca de la nada no tiene ningún valor.

 

2.   (17 (17 puntos) puntos)   Conside Considere re la minimi minimizac zación ión de la funció función n cuadrá cuadrátic ticaa en   R2,   f (x) = 1 T  x Qx − bT  x. Los valores propios de   Q   son   λ1   = 10, λ2   = 1  y los vectores propios 2 1  1 1  1 ). Suponga que se corre Steepest ,  √  )  y  v 2  = (− √  ,  √  correspondientes son  v 1  = ( √  2 2 2 2 11  9 11  9 ). Para ,  √  )   y   x2   = (− √  ,  √  Descent dos veces desde los puntos iniciales   x1   = ( √  2 2 2 2 cuál de estos puntos iniciales es la convergencia al mínimo de  f   más rápida?

2

 

3.  (16 puntos) Considere puntos)  Considere el problema de optimización m´ optimización  m´aax a  (x1 , x2 ) ∈ C  x 3x1 + x2  sujeto a ( donde   C  es el conjunto mostrado en la figura: 4

x2

3

2

1

−1

1

 

2

 

3

4

5

6

x1

a )

Escriba Escriba este problema problema como un programa programa lineal en forma estándar. estándar.

b)

Si la SBF inicial está dada por las variables variables de holgura holgura (yi  = 1), liste la secuencia de SBFs visitadas por el método simplex (que escoje siempre la variable libre correspondiente al costo reducido más negativo) en este problema.

3

 

4.   (Bono: (Bono: 10 puntos puntos))   Considere el problema de maximización de entropía sujeto a restricciones lineales: n

m´ın   f 0 (x) =



xi log xi

i=1

≤b sujeto a   Ax 1T  x  = 1

Muestre que la solución óptima tiene la forma: x∗i   =

  exp



−aT   λ i

∗

Z 

donde   Z  es   es un factor de normalización tal que

4

 

n i=1

xi  = 1

 

Optimización1

Examen Final 30 de noviembre de 2009

Nombre:

1. Considere Considere el problema problema m´ın   f (x1 , x2 ) =  x 31 − x21 x2 + 2 x22 sujeto a   x1 , x2   ≥ 0

1

a )

Halle todos los puntos factibles factibles que satisfacen satisfacen la CNPO para un mínimo local.

b)

Usando Usando condiciones condiciones de segundo orden, orden, diga si los puntos puntos hallados son o no mínimos locales de   f  (considere sólo puntos interiores del conjunto factible).

Usted debe justificar todas sus respuestas. Una respuesta que aparezca de la nada no tiene ningún valor.

 

2. En el grafo de la figura se quiere quiere encontrar encontrar el máximo flujo posible posible entre la fuente fuente S y el sumidero T.

a )

Formule ormule este problema de máximo flujo como un problema problema de programació programación n lineal.

b)

Escriba Escriba el problema problema dual del problema anterior. anterior.

c )

Por inspección encuentre el corte de capacidad mínima y la solución óptima. usando sando holgura holgura complementaria  la Verifique   u   la optimalidad de su solución.

2

 

3. Considere Considere el siguient siguientee problema problema de optimizació optimización: n: m´ın

  1 T  x Qx + xT  d 2

sujeto a   aT  x ≤ c

a ) b)

Halle el problema problema dual (de Lagrange) Lagrange) de este problema. problema. Diga condiciones condiciones bajo las cuales cuales se tiene dual dualidad idad fuerte fuerte en este problema. problema.

6 2





2 1 y

c )

Si  Q  =

d )

Verifique erifique que las soluciones soluciones del punto punto anterior satisfacen satisfacen las condicione condicione de KKT.

,  d  =

−30   −20 ,  a  =

2 4 y dé una solución del problema primal.

3

 b  = 4, solucione el problema dual,

 

Optimización1

Examen Final 19 de mayo de 2009

Nombre:

1. Considere Considere el problema problema m´  m´ın   −2x1  +  x2  sujeto a   x  ∈  S  donde  S  es el decágono regular mostrado en la figura. Marque un punto óptimo en la figura. x2

1

x1

−1 1

2

2. Considere Considere el problema problema m´  m´aax x   −2x1  + x2  sujeto a   x  ∈  S  donde  S  es el decágono regular mostrado en la figura. Marque un punto óptimo en la figura. x2

1

x1

−1 1

2

3. En el problema de la dieta con 10 alimento alimentoss y 20 nutriente nutrientess se tiene que las variabl ariables es duales óptimas son  λ 1  =  λ 2  = 10.. La cantidad del nutriente  j  en un nuevo  = · · · ·  =  λ 20  = 10 cereal ultrafortificado es   acj   =  j  (es decir   ac1   = 1, ac2   = 2, . . . , ac,20   = 20). 20). El precio máximo unitario que puede tener el cereal para ser incorporado en la dieta óptima es: 1

En cada pregunta marque sin ambigüedad su respuesta. Una respuesta que no esté claramente indicada se considera como no contestada.

 

a )

200

b)

2000

c )

2100

d )

2200

e )

0

4. Considere Considere el siguiente siguiente programa lineal: m´ın   c1 x1  +  c2 x2  ≤  4 sujeto a   x2  +  x1  ≤ 4 x2  +  x1  ≥ −4 x2  − x1  ≤ 4  ≤  4 x2  − x1  ≥ −4

Se sabe que en el programa dual   λ1  =  λ 3  = 0,  λ 2   = 0,   λ4   = 0. Indique en la siguiente figura del conjunto factible el punto óptimo del programa primal: 2

1

x1

−1 1

2

5. Se mues a continu con acióncuando una SBF en un problem problema a decon transporte. trans Indiqu Indique la va variable riable quemuestra debetra salir detinuación la base la variable marcada unporte. un    +  entra a la ebase. 10 20

6. Sea  f (x) = a ) b)

  1 T  x Qx 2

20 10 10

10

40

10

T 

 

+

10

10 30

 

− b x + c. Si   Q =

30

40

 

40

40

−2   −3

2

  60 10

−3   −2

El máximo global de   f . El mínimo mínimo global global de f .

  30

50

, en el punto   x∗ =  Q −1 b  ocurre

 

c )

Un máximo local de   f .

d )

Un mínimo local de   f .

e )

Ninguno Ninguno de los anteriores. anteriores.

7. La funció función n  f (x1 , x2 , . . . , xn ) = m´ıni∈{1,2,...,n} xi   es a )

Cóncava Cóncava pero no estrictamente cóncava. cóncava.

b)

Estrictamente cóncava. cóncava.

c )

Convexa Convexa pero no estrictamente convexa. convexa.

d )

Estrictamente convexa. convexa.

e )

Ninguno Ninguno de los anteriores. anteriores.

8. Se quiere resolve resolverr el problema m´ problema m´ın f (x)  sujeto a   x  ∈  S  donde es el conjunto mostrado en la figura. x2

∗

x

1

x1

−1 1

2

Las direcciones factibles [ factibles  [ d1  d 2 ]  en el punto   x∗ cumplen: a )   d1 ,

d2  ≥  ≥ 0  0

b )   2d1  ≤  ≤ 3  3 d2

 2 d2 c )   3d1  ≤  ≤ 2 d )   2d1  ≤

−3d2

e )   3d1  ≤

−2d2

9. Considere Considere la función función cuadrática cuadrática   f (x) =   xT  Qx −  b T  x +  c   con   Q   >   0. Si se utilizan los algoritmos de Steepest Descent, Newton y gradiente conjugado pata minimizar   f , cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a )

Para   Q   =  I  existen puntos iniciales desde los cuales gradiente conjugado y steepest descent convergen al mínimo en el mismo número de pasos.

b)

El método de Newton siempre siempre converge converge al mínimo en un solo paso.

c )

Existen Existen matrices matrices   Q  para las cuales Steepest Descent, Gradiente Conjugado y el método de Newton convergen al mínimo en el mismo número de pasos. 3

 

d )

En gradiente conjugado, direcciones direcciones sucesivas de búsqueda búsqueda son ortogonales.

e )

Para Para los tres algoritmos siempre siempre se tiene  tiene  ek+1 Q  ≤ ek Q

10. Se muestran en la figura las curvas curvas de nivel de una función cuadrática con convexa. vexa. Suponga que se utiliza Steepest Descent para minimizar esta función.

Si Steepest Descent se arranca desde los tres puntos mostrados, el orden en velocidad de convergencia (de más rápido a más lento) es: a )

1,2,3.

b)

1,3,2.

c )

2,1,3

d )

3,2,1

e )

3,1,2

4