eecomputadores-conicas-quadricas-2022-2023.pdf

Tex exto toss par paraa An An´´alis al isee Ma Mate tem´ m´atic at icaa 2 C´ onic as e qu´ onicas adri cas (texto em constru¸c˜ adricas ao)

abento@1 1 Departamento de Matem´ a atica tica ::: ECT ::: UTAD

Editor: abento@ ::::: Vers˜ ao ao 02.2023

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´Indice

1   C´ onicas onicas

Elipse  (texto em constru¸c˜ Elipse (texto ao) Hi Hip´ p´erb er bole ol e  (texto em constru¸c˜ ao) Pa Par´ r´abola  (texto em constru¸c˜ ao)

2   Paraboloides

(h´ a muitos!)  (texto em constru¸c˜ ao) Paraboloide de revolu¸cc˜ ao a˜o (em constru¸c˜ ao) Parabolo Parab oloide ide el´ el´ıptico ıpt ico Paraboloide Parabolo ide el´ el´ıptico e n˜ ao-revolu¸ ao-revolu¸c˜ ao Paraboloide hiperb´ olico olico num espa¸co co cartesiano  Oxyz  Paraboloid Pa raboloide: e: equa¸ c˜ c˜ ao ao cartesi cart esiana ana geral ger al (texto  (texto em constru¸c˜ ao)

3   Hiperboloide (texto Hiperboloide  (texto

em constru¸c˜ ao)

Hiperboloide Hiperboloide de revolu¸cc˜ ˜ ao ao e de uma olha Hiperboloide de revolu¸cc˜ ˜ ao ao e de duas olhas Hiperbo Hipe rboloide loide de n˜ ao-revolu¸ ao-rev olu¸cc˜ ˜ ao ao e de uma olha Hiperbo Hipe rboloide loide de n˜ ao-revolu¸ ao-rev olu¸cc˜ ˜ ao ao e de duas olhas

 

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Elipse

em desenvolvimento...

Defni¸c˜ao   F 

  F 

  d 

1   e elipse: 2  e uma pontos  |Num XF 1 |plano, + |XF 2fxados |  =   d   dois designa-se design a-se por elipse:

distˆ  ancia

  d   d   > F  F 

 tal que 

 |

  X 

1 2 |,

o con conju junt nto o d dos os pon ponto tos  s    tais que 

elipse   =  { X   ∈   plano   :   |XF 1 | + |XF 2 |  =   d } . 1

  Equa¸c˜ c˜ ao ao cartesi cart esiana ana em   Oxy : 2

2

Ax  +  Bxy   + Cy  +  Dx   +  Ey   +  F   = 0; 2

  ...

 

2

B  − 4AC   <  0 .

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Elipse no plano cartesiano   Oxy   ::: (1) Eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados

Defni¸c˜ c˜ao (equac˜ ¸c˜ao ao reduzida aos eixos de simetria) Num plano cartesiano   Oxy , a equa¸c˜ ca ao ˜o reduz reduzida, ida, aos seus eixos de simetria, simetria, de uma ELIPSE cujos eixos de simetria simetria s˜ ao ao paralel para lelos os aos eix eixos os co coorde ordenado nadoss ´ee::

 

(∗ )

 

(x −x 0 )2   a2

+

  (y −y 0 )2   b 2

=1 .

Observemos, desde j´a, a, o seguinte: no caso ca so de   a  =   b , a equa¸cc˜ ˜ ao ao precedente descreve descre ve a circunerˆ circun erˆencia encia centrada centra da no ponto (x 0 , y 0 ) e de  raio   =   b .   Nada mais h´ a a dizer dizer..  Assim, admitimos que   a̸= ̸ =   b  e   e ambos positivos. (1 (1)) Eixo Eixoss de sime simetr tria ia S˜ ao: a o: a   reta(x   − x 0   = 0)   e a   reta(y   − y 0   = 0) 0)   . (2)

Centro

´e o ponto comum comum aos dois dois eixos de de simetria; simetria; e, e´, portanto, portanto, o ponto ponto   Q (x 0 , y 0 ).

(3) V´ ertices ertices s˜ ao ao os pontos comuns ` a elipse e a algum dos eixos de simetria. ertices; ertices;   V 1 ,   V 2 . (3.1) A interse¸c˜ c˜ ao ao da elipse com a   reta(y   − y 0  = 0) ´e um conjunto de dois v´ ⇒  ( x   − x 0 )2 =   a2 (∗)   ∧   (y   − y 0   = 0) ⇐ 0)  ⇐⇒

∧   (y   − y 0   = 0)

⇐⇒  ( x   =   x 0  − a   ∨   x   =   x 0  +  a )   ∧   (y   − y 0   = 0) ⇐⇒

 (  = x 

  (  =

  x 0  − a)   ∧   (y   − y 0   = 0)   ∨

x 

Porta nto,, dois Portanto doi s dos quatro qua tro v´ertice ert icess s˜ao: ao:   V 1 (x 0  − a,   y 0 ),   V 2 (x 0  +  a,  a ,   y 0 ). (3.2) Agora, a interse¸cc˜ ˜ ao ao da elipse com a   reta(x   − x 0   = 0). (∗)   ∧   (x   − x 0   = 0) ⇐ 0)  ⇐⇒ ⇒  ( y   − y 0 )2 =   b 2



  x 0  +  a )   ∧   (y   − y 0   = 0) .

∧   (x   − x 0   = 0)

⇐⇒  ( y   =   y 0  − b    ∨   y   =   y 0  +  b )   ∧   (x   − x 0   = 0) ⇐⇒

 (  = y 

  (  =

  y 0   − b )   ∧   (x   − x 0   = 0)   ∨

y 

  y 0  +  b )   ∧   (x   − x 0   = 0) .

Logo, os outros outro s dois dos quatro v´ ertices ertic es s˜ ao: ao:   V 3 (x 0 ,   y 0  − b ),   V 4 (x 0 ,   y 0  +  b ).



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Elipse no plano cartesiano   Oxy   ::: (2) Eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados

(4) Corda Cordass axiais axiais s˜ ao ao as cordas da elipse que s˜ ao ao segmentos de reta contidos em algum dos eixos de simetria. De acordo com o exposto na premissa premissa (3), tais cordas cordas s˜ao ao os segmentos segmentos [V 1 V 2 ] e [V 3 V 4 ]. Uma destas cordas ´e a maior corda da ocal.. A outra, elipse. e.ial Nesta corda est˜ ao ao os ocos elipse. elipse . Por Poocal r tal ´ a maior maio corda cord a designa-se desig na-se por corda por  { corda ´elips e a ax axia l n˜ ao ao ocal. O tamanho dada corda axial eacto, o dobro do rm´ aximo aximo do conjunto  conjunto a, b }. axial ocal (5)   Eixo ocal ::: ::: Eixo n˜ ao ao ocal ocal

perante a equa¸ equa¸ cc˜ ao ˜ ao

(∗ )

 

(x −x 0 )2   a2

+

  (y −y 0 )2   b 2

=1

.

Se   max {a, b }  =   a,   ent˜ao ao o eixo ocal oca l ´e o eixo de simetria simetr ia que ´e paralelo ao eixo (Ox ). ). Lo Logo go,, ´ e a   reta(y   − y 0  = 0). Se   max {a, b }  =   b ,   ent˜ao ao o eixo ocal oc al ´e o eixo de simetria simet ria que ´e paralelo ao eixo (Oy ). ). Lo Logo go,, ´ e a   reta(x   − x 0  = 0). (6) Foco ocos s˜ ao ao dois pontos pont os que est˜ao ao na corda axial ocal; oc al;   F 1   e   F 2 . Estes pontos s˜ ao ao a interse¸cc˜ ao ˜ ao da corda axial ocal com uma circunerˆ circun erˆencia encia de raio igual a metade desta corda e centrada centra da num dos v´ ertices ertic es que est˜ao ao na corda axial n˜ ao ao oca o call (v´ ( v´eerti r tice cess n˜ao ao o oca cais is). ). Por conseguinte: se   F  ´e um dos o ocos cos,,   Q  ´   ´e o centro da elipse e   V   ´e um dos v´erti er tice cess n˜ao ao o oca cais is,, ent˜ en t˜ao ao o tr triˆ iˆangulo angulo ∆[VQF ] ´e retˆ angulo angulo no ponto   Q . (7) (7) Triplo riplo pitag pitag´ orico orico e semi-distˆ ´ semi-di stˆancia ancia ocal oca l Pelo exposto na premissa precedente e assumindo que   |QF |  denota a distˆ ancia ancia entre os pontos   Q   e   F  semi-di i-distˆ stˆa ancia nci a o ocal  cal ), decorre que o triplo de n´umer (sem u meros os rea reais is (|VQ |,   |QF |,   |VF |),   ´ e um tri triplo plo pitag´ pit ag´orico orico (no sentido sentid o em que o quadrado de um deles ´e a soma dos quadrados quadrados dos outros dois). Por Por isto, podemos conhecer conhecer a semi-distˆ ancia ancia ocal; e, explicitar as coordenadas dos ocos. Exerc´ Exerc ´ıcio para o leitor: apresente os detalhes do exposto. (8 (8))

Il Ilus ustr tra¸ a¸ cc˜ oes ˜ oes de elipses elipses

Exerc´ Exerc´ıcio para para o leitor. leitor.

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