Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – EC-1 – Carta Carta de Operación de Generadores Síncronos
EC-1 – CARTA DE OPERACIÓN DE GENERADORES SÍNCRONOS
I. Objetivo Elaborar un programa computacional en MATLAB para obtener gráficamente la carta de operación de generadores síncronos. Se considera el límite térmico del bobinado de campo, límite de potencia mecánica de la máquina prima, límite térmico del bobinado de armadura, límite de estabilidad permanente teórico y límite de mínima corriente de excitación.
II. Formulación de la Carta C arta de Operación de Generadores Síncronos El modelamiento de la máquina síncrona es fundamental para varios análisis en sistemas de potencia eléctrica, la operación de la máquina síncrona puede ser representada utilizando la carta de operación o curva de capabilidad. La construcción de dicha curva se realiza considerando varios límites los cuales definen la región donde el generador opera en forma estable [1]. Desde hace varias décadas, los límites de potencia activa y reactiva generada, que definen la entrega o absorción de potencia (operando como generador o motor, respectivamente), de una máquina síncrona fueron estudiados por muchos investigadores quienes lo denominaron “carta de operación ”. En ese entonces se dieron pautas para la construcción geométrica de las curvas de operación y siempre fue posible construir de forma práctica, pero este método resultaba complejo y laborioso [2]. Actualmente la curva de operación de la máquina síncrona de polos salientes y rotor cilíndrico, considerando todos sus límites, puede ser graficada automáticamente con el computador siempre que fuesen conocidas las ecuaciones matemáticas de dichos límites. En este material de trabajo se presentan los fundamentos matemáticos para la obtención (en forma genérica) de carta de operación completa de generadores síncronos, especificando cinco límites:
Límite térmico del bobinado de campo, Límite de potencia mecánica de la máquina prima, Límite térmico del bobinado de armadura, Límite de estabilidad permanente teórico, y Límite de mínima corriente de excitación.
En la literatura existe información de algunos de estos límites usando un sistema de coordenadas rectangulares asociado con la potencia activa y reactiva ( P-Q). En esta propuesta además se ha utilizado un sistema de coordenadas polares ( R-δ), lo que permitió una forma más fácil de obtener los gráficos de cada uno de los límites. MODELO DEL GENERADOR SÍNCRONO Usando la teoría de dos ejes aplicada a una máquina síncrona de polos salientes [3], fue posible deducir las ecuaciones que representan los límites de la carta de operación de la máquina sincronía (en modo generador) aclarando que es posible completar el diagrama de operación como motor en forma sencilla; es decir, dicha curva es simétrica con respecto al eje horizontal. A. Potencia de Generación Activa y Reactiva
Para el desarrollo de las ecuaciones algebraicas de los límites de operación de la máquina síncrona, se utiliza las expresiones conocidas para la potencia activa y reactiva suministrada por una máquina síncrona de polos salientes conectado a un sistema de potencia y que se deducen a partir de la expresión vectorial de la potencia aparente: (1) S V I * donde el conjugado de la corriente de armadura I tiene dos componentes, uno en el eje directo y otro en cuadratura. Página 1 de 7
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – Carta de Operación de Generadores Síncronos Eje de cuadratura
q E a jxq I q jxd I d δ
I
V Referencia del Sistema
rI
Eje directo
d Fig. 1. Diagrama fasorial del generador síncrono.
Efectuando el producto en la ecuación (1) y separando la parte real e imaginaria, obtenemos las ecuaciones (2) y (3), para la potencia activa y reactiva respectivamente:
x xq V 2 d sen2 P sen 2 xd xq xd VE a
Q
VE a xd
cos
x xq V 2 d 2 xd xq
cos 2
(2)
x xq V 2 d 2 xd xq
(3)
donde: V :
xq :
Tensión en los terminales de la máquina. Tensión interna de generación (f.e.m.). Reactancia síncrona en el eje directo. Reactancia síncrona en eje de cuadratura.
:
Ángulo de potencia.
E a : xd :
Para simplificar, hacemos: m
VE a x d
(4)
s
x xq V 2 d
(5)
n
x xq V 2 d
(6)
2 xd xq 2 x d xq
Reemplazando las expresiones de (4), (5) y (6) en las ecuaciones (1) y (2), obtenemos las ecuaciones simplificadas (7) y (8):
P m sen s sen2
(7)
Q m cos s cos 2 n
(8)
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – Carta de Operación de Generadores Síncronos B. Sistema de Excitación
La relación de la tensión inducida en los bobinados de armadura E a (por fase y en valores eficaces) con el sistema de excitación y la corriente de campo esta dado por la ecuación (9), donde K depende de las características del bobinado de armadura, f es la frecuencia del sistema, N es el número de espiras en la armadura. El flujo es producido por la corriente del bobinado de campo I f como se muestra en la Fig. 2. max
E a
+
4.44 K f N max
+
N
I
V f
(9)
E
L f
V
a
-
-
Fig. 2. Circuito del sistema de excitación y armadura. C. Sistema de coordenadas polares
En la deducción de las ecuaciones matemáticas de los límites de la curva de capabilidad se ha utilizado coordenadas rectangulares y polares alternativamente, sin embargo las ecuaciones finales se presentan en coordenadas polares por motivos prácticos en la implementación computacional. La Fig. 3 muestra las relaciones entre dichos sistemas de coordenadas donde se cumple:
P R sen
(10)
Q R cos k
(11)
donde k n s . P
(Q,P )
→
( R,δ)
R
δ
n+s
0
Q
Fig. 3. Relación entre coordenadas rectangulares y polares.
CURVA DE CAPABILIDAD COMPLETA DEL GENERADOR SÍNCRONO En esta sección se mostraran las ecuaciones asociadas a los límites de operación que conforman la carta de operación. A. Limite de Corriente de Armadura
Se determina con la potencia aparente máxima que puede suministrar el generador síncrono, de modo que la corriente de armadura ( I amax ) no produzca deterioro en su bobinado. Este límite resulta una circunferencia con centro en el origen de coordenadas del plano P-Q: 2 P 2 Q 2 S max Reemplazando (10), (11) en (12) se puede escribir en coordenadas polares:
R LA k cos
2 S max k sen
2
(12)
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – Carta de Operación de Generadores Síncronos donde S max VI amax . La ecuación (13) también representa aquella circunferencia que es el lugar geométrico del límite térmico del bobinado de armadura, pero ahora en coordenadas polares y considerando otro origen de coordenadas desplazado (n+s) unidades con respecto al anterior, en el plano P-Q. B. Limite de Corriente de Campo
Es el límite térmico para que los bobinados de campo no sufran deterioro. Para la deducción de la expresión matemática, igualamos las ecuaciones (7) y (10): P m sen s sen 2 R sen
(14)
Luego, utilizando algunas identidades trigonométricas se obtiene:
R( ) m 2s cos
(15)
La misma expresión se puede obtener al relacionar la ecuación (8) con (11). La ecuación (15) graficada en forma polar en el plano P-Q representa el lugar geométrico de la potencia aparente para un valor constante de la corriente de campo, dicha curva se denomina “Lim açon de Pascal”. La Fig. 4 muestra una familia de curvas para diferentes valores de m variable, n = 1 y s = 1. Circunferencia radio s: m/2s = 0
Cardioide + lazo int erno: 0 < m/2s < 1
m=0
5 4
4
3
3
2
2
1 P
1
0
P
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
-5 -5 -4 -3 -2 -1
5
0
1
2
3
4
Q
Q
Cardioide: m/2s = 1
Circunferencia radio m: m/2s > 1
m=2
5
5
4
4
3
3
2
2
1 P
m=1
5
5
m=4
1
0
P
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
-5 -5 -4 -3 -2 -1
Q
0
1
2
3
4
5
Q
Fig. 4. Familia de Limaçones de Pascal.
El límite máximo de corriente de campo, que representa el límite térmico del bobinado de campo, será aquella curva obtenida con la máxima tensión de campo reflejada en el estator y eso produce un mmax. De acuerdo con los catálogos de los fabricantes, E a,max puede ser establecido con las especificaciones nominales, así la curva de limite de corriente de campo y la curva de limite de armadura se interceptan en un punto donde el fp es el nominal como se muestra en la Fig. 5. El valor de mmax que es función de E a,max, viene a ser igual a:
mmax Rno m 2 s cos *
(16)
donde 2 2 cos 1 ( fp no m ) Rno m P no m (Qno m k ) P no m S no m cos no m * 1 P no m t an Qno m S no m sen no m Qno m k
no m
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – Carta de Operación de Generadores Síncronos Límite de Corriente de Campo
Q
Rayo para p = fpnom
θ nom
P k δ
*
Límite de Corriente de Armadura
Fig. 5. Construcción geométrica de la curva de capabilidad [4].
Luego, reemplazando en (15) ese valor de m dado por la ecuación (16) se obtiene:
R LC ( ) mmax 2 s cos
(17)
C. Limite de Potencia Mecánica del motor primo
Es impuesto un valor límite por la máquina prima de acuerdo con:
P mec C
(18)
La expresión (18) en coordenadas polares: R LM ( )
C
(19)
sen Este límite es una recta paralela al eje horizontal pues tiene un valor constante. D. Limite de Estabilidad en Régimen permanente
Es el límite de potencia activa máxima suministrada por el generador, sin que la máquina pierda estabilidad. La expresión matemática correspondiente se consigue al determinar la potencia activa máxima, o sea, derivando la ecuación (7) con respecto a δ e igualando a cero: dP d
0 , se obtiene:
m m 2 32 s 2 (20) 8 s La expresión anterior representa el lugar geométrico δ con respecto a m. Ahora, en un Limaçon en particular, la expresión de m será: cos
m 2 s cos R
(21)
R LEs ( ) 2s tan sin
(22)
Reemplazando (21) en (20), tenemos:
La expresión matemática (22) puede ser colocada en coordenadas rectangulares P-Q usando las expresiones (10) y (11), y reemplazando en (22) se tiene:
Q k 3 P s n Q
(23)
De la expresión (23) notamos que la función es definida en – n – s < Q < – n + s. Esta curva representa el límite de estabilidad permanente teórico de la máquina síncrona de polos salientes, donde Q es el valor que Página 5 de 7
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sección de Posgrado y Segunda Especialización EC-1 – Carta de Operación de Generadores Síncronos hace que P sea máximo. La curva resultante es asintótica con respecto al límite superior de Q = – n + s y es conocida como la “Cisoide de Diocles”. Para una máquina de rotor cilíndrico ( s = 0) el límite de estabilidad permanente teórico es una recta paralela al eje vertical en: Q n
V 2 X d
En la práctica no se acepta el límite teórico y para encontrar el límite práctico es necesario dejar un margen de estabilidad disponible en todos los casos igual a un 10% a 20% de la potencia activa nominal [1]. E. Limite de Mínima Corriente de Excitación
La mínima corriente de excitación para que la máquina genere tensión, esta dado por la semicircunferencia de radio s trazada entre las ordenadas – n – s < Q < – n + s . Este límite es definido para las máquinas de polos salientes como: 2
(24) P 2 Q k s 2 Se debe resaltar que este radio s es cero para una máquina de rotor liso donde las reactancias en los ejes directo y de cuadratura son iguales. Para encontrar un límite práctico se recomienda desplazar la circunferencia un cierto porcentaje pequeño, como 5% [5].
En el caso de coordenadas polares, la condición de corriente mínima es más previsible. La curva que representa este caso es un Limaçon de Pascal, como en la ecuación (15) con m = 0. Según las propiedades del Limaçon, esta curva viene a ser una circunferencia definida como: (25) R LEx ( ) 2s cos En la Fig. 6 se muestran todos los límites que definen la curva de capabilidad de un generador síncrono de polos salientes.
Fig. 6 Curva de capabilidad completa del generador síncrono de polos salientes.
En las referencias [6] y [7] se demuestra la aplicación práctica de la curva de capabilidad en la operación de sistemas de potencia y en entrenamiento a través de simuladores. Página 6 de 7
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III. Análisis de Carta de Operación Se garantiza la operación segura de un generador síncrono incorporando diversos limitadores de protección, como mostrado en la Figura 7. El limitador de subexcitación (UEL: Underexcitation Limiter ) evita condiciones de operación que causarían corrientes de mínima excitación o la pérdida de sincronismo, esto último representado en el límite de estabilidad transitoria en estado estacionario (SSSL: Steady-State Stability Limit ). ∆QC
C
B A ∆Q A
Figura 7. Limitadores de protección y carta de operación de un generador síncrono. Considere una unidad de generación (tipo Pelton) de 85 MVA de la central hidroeléctrica Huinco con los siguientes datos de la máquina síncrona: Potencia aparente nominal: Snom = 85 MVA, Tensión nominal: V = 12,5 kV, Reactancia síncrona en eje directo: x d = 1,35 p.u., Reactancia síncrona en eje de cuadratura: x q = 0,81 p.u., Factor de potencia nominal: f.p. = 0.75
Adicionalmente, considere un límite práctico de estabilidad de estado estacionario obtenido de la traslación horizontal (eje Q) del límite teórico en +35 MVAr. Se solicita determinar los puntos A, B y C (coordenadas Q y P) de la característica del UEL, como mostrado en la Figura, para proteger el generador síncrono considerando márgenes de ∆Q de 10%, respecto al eje horizontal Q, en los puntos A y C determinados sobre a los límites de mínima corriente de excitación y límite práctico de estabilidad de estado estacionario.
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