EE60 - Clase 9 - Estabilidad Transitoria - Controlador Del Sistema de Excitación (FINAL)

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Secc Secció ión n de Posg Posgra rado do y Segu Segund ndaa Espe Especi cial aliz izac ació ión n

Maestría en Ciencias con Mención en Sistemas de Potencia

Curso EE-60 – Dinámica de Sistemas de Potencia Expo Ex posi sito torr :

Manfred F. Bedriñana Aronés Doctor en Ingeniería Eléctrica Ingeniero Ingeniero Electricis Electricista ta C.I.P. Nº 95644 2016

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Capítulo 5

Estabilidad Transitoria

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Controladores de Excitación y Motor primo

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A. Introducción (1) 

Los sistemas de potencia comprenden subsistemas de generación, transmisión y carga y sus sistemas de control asociados mantienen una estructura jerárquica.



Los lazos de control control se presentan presentan en sistemas sistemas de mayor o menor jerarquía. 



  A mayor jerarquía, las constantes de tiempo son mayores que los de menor jerarquía.   El control de tensión primario (en generadores) resp respond ondee en segun segundos dos o menos enos,, en cam cambio el control secundario responde en minutos.



Estos lazos controles están están desacoplados.



Control local y no local.

Estructura jerárquica de los sistemas de control de un sistema de potencia

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A. Introducción (2) 

En los últimos años , un nuevo tipo de controladores controladores no locales se ha introducido en los sistemas de potencia. Estas a menudo menudo se utilizan utilizan para el control de emergencia emergencia y son denominados como medidas correctivas RAS (Remedial Action Schemes) o como sistemas de control de gran área WACS (Wide Area Control Systems).



Sobre todo en la parte parte oeste de América del Norte, varios de estos estos sistemas han sido implementados. 



Un ejemplo de un controlador de este tipo es la reducción automática de la de salida de una subestación de generador cuando se pierde una línea crítica en el sistema.

  Con Con el reci recien ente te avan avance ce de las las unid unidad ades es de medi medici ción ón faso fasori rial al PMU PMU (Pha (Phaso sor  r  Measurement Units) basados en  GPS, estos sistemas se han vuelto más frecuentes, atrayendo mucha atención en la industria de la energía y el mundo académico .

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A. Introducción (3) 

La clasificación de los mayores componentes de los sistemas de potencia según su estructura dinámica se representa en el diagrama de bloques mostrado. Principales controladores:  Control de velocidad  Control de tensión • •

Estructura dinámica del sistema de potencia

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A. Introducción (4) 

El generador síncrono está provisto de dos controladores locales automáticos (retroalimentados) para la regulación de la   tensión del terminal y la   velocidad (frecuencia).



  Estos controladores indirectamente manipulan las salidas de potencia activa y reactiva del generador  respectivamente.



La regulación de tensión es el más rápido de los dos controladores y tiene mayor relación con la estabilidad del sistema que la regulación de la velocidad.

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A. Introducción (5) 

  Los modelos de controladores de excitación y motor primo  están agrupados en unos pocos tipos (estándares) que están convenientemente definidos para simulación computacional y análisis.



La estructura de diagrama de bloques de cada tipo estándar está definido de tal forma que se pueda caracterizar por un conjunto de parámetros.

Excitatriz con conmutador IEEE Tipo DC1-DC

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Controladores de Sistemas de Excitación

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B. Sistema de Excitación (1) 



  El objetivo principal de un sistema de excitación   es controlar la corriente de campo de la máquina síncrona. La corriente de campo es controlada para permitir  la regulación de la tensión terminal de la máquina síncrona. Idea de control conjunto: Control V y P Rotor de polos lisos  P φ   I a V 

cos

θ 

La tensión de excitación E es proporcional a la corriente de campo, la cual se regula para mantener la tensión V   constante. A la vez se mantiene la potencia activa constante, así la tensión E  se desarrolla sobre el lugar geométrico mostrado (línea e- f).

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B. Sistema de Excitación (2) 

Algunas características de los sistemas de excitación 







A medida que la constante de tiempo del circuito de campo es alta (del orden de unos  pocos segundos), un rápido control de la corriente de campo requiere forzar el campo. La excitatriz debe tener una tensión máxima que le permita funcionar transitoriamente con niveles de tensión que son 3 a 4 veces lo normal. La razón de cambio de tensión debe también ser rápida.  Debido a la alta confiabilidad requerida cada unidad de generación tiene su propia excitatriz.

Existen tres (3) tipos distintos de sistemas de excitación basados en la fuente de  potencia de la excitatriz. 1. Sistemas de Excitación DC: utilizan generadores de corriente continua con conmutador. 2. Sistemas de Excitación AC: utilizan alternadores y rectificadores estacionarios o rotatorios para producir la corriente DC necesaria. 3. Sistemas de Excitación Estáticos: donde la potencia es suministrada a través de transformadores y rectificadores.



  Los dos primeros tipos son llamados de   excitatrices rotatorias  debido que son montados en el mismo eje que el generador y motor primo.

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B. Sistema de Excitación (3) 1. Sistemas de Excitación DC  Se caracterizan por usar un generador DC con un conmutador. El regulador de tensión DC se basa en una amplificador magnético (amplidina). 

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B. Sistema de Excitación (4) 1. Sistemas de Excitación DC  El generador DC puede ser auto-excitado o excitado por separado (usando una excitatriz piloto).

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B. Sistema de Excitación (5) 2. Sistemas de Excitación AC a) Alternador de campo controlado con rectificador no controlado (utilizando diodos)

i) Con anillos deslizantes y escobillas ( rectificadores estacionarios).

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B. Sistema de Excitación (6) 2. Sistemas de Excitación AC a) Alternador de campo controlado con rectificador no controlado (utilizando diodos)

i) Con anillos deslizantes y escobillas ( rectificadores estacionarios).

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B. Sistema de Excitación (7) 2. Sistemas de Excitación AC a) Alternador de campo controlado con rectificador no controlado (utilizando diodos)

ii) Sin anillos deslizantes ni escobillas ( rectificadores rotatorios).

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B. Sistema de Excitación (8) 2. Sistemas de Excitación AC  b) Alternador con rectificador controlado

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B. Sistema de Excitación (9) 3. Sistemas de Excitación Estáticos a) Sistema con rectificación controlada y fuente potencial (la potencia de excitación es suministrada a través de un transformador potencial conectado al terminal del generador).

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B. Sistema de Excitación (10) 3. Sistemas de Excitación Estáticos  b) Sistema de rectificación con fuente compuesta (transformadores de corriente y tensión en terminales del generador)

i) Rectificador no controlado (control usando elementos magnéticos como reactor saturable)

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B. Sistema de Excitación (11) 3. Sistemas de Excitación Estáticos  b) Sistema de rectificación con fuente compuesta (transformadores de corriente y tensión en terminales del generador)

ii) Rectificador controlado (por control de tensión)

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (1) 

En la Figura 1 se muestra el diagrama de bloques funcional general de un sistema de excitación que sirve para los tres tipos de excitación.

Figura 1: Diagrama de bloques funcional del sistema de control de excitación

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (2) 1. Transductor de Tensión Terminal y compensación de carga

Transductor de tensión terminal 

La tensión terminal del generador es detectada y transformada a una cantidad DC.



Aunque el filtraje asociado con la tensión del transductor puede ser complejo, por  lo general, se modela como una constante de tiempo   .



  En muchos sistemas,  es muy pequeña y se puede suponer que es cero por  simplicidad.

Figura 2: Transductor y compensación de carga

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (3) Compensación de car ga 

El objetivo de la compensación de carga es sintetizar  la tensión, la cual difiere de la tensión terminal. Se realiza por medio de la caída de tensión en una impedancia   +  . Los fasores de tensión y corriente se deben utilizar en el cálculo de   .



La compensación de carga se utiliza cuando: a) Intercambio de potencia reactiva entre las unidades que son conectadas a una misma barra, con impedancia cero entre ellas. En este caso,    y    son  positivos y la tensión se regula a un punto interno al generador.  b) Cuando las unidades de generación están conectadas en paralelo a través de transformadores, puede ser deseable regular la tensión en un punto más allá de los terminales de la máquina para compensar parte de la impedancia del transformador. En este caso tanto   y   son valores negativos.



En la mayoría de los casos  es despreciable y puede ser despreciado.

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (4) 2. Reguladores de tensión y excitatrices 

Los modelos de los diversos sistemas de excitación han sido reportados en los siguientes estándares IEEE: 





IEEE Committee Report, "Computer representation of excitation systems", IEEE Trans. Vol. PAS-87, pp. 1460-1464, June 1968.  IEEE Committee Report, "Excitation system models for power system stability studies", IEEE Trans. Vol. PAS-100, No.2, pp. 494-509, 1981.

Los modernos reguladores automáticos de tensión (AVR: Automatic Voltage  Regulator ) son reguladores electrónicos de actuación continua   con altas ganancias y constantes de tiempo pequeñas.

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (5) 

Como visto anteriormente, las excitatrices se clasifican como: 1. Sistema DC: Generador DC de campo controlado –  conmutador  2. Sistema AC a) Alternador de campo controlado con rectificador no controlado (usando diodos) i) con anillos deslizantes y escobillas (rectificador estacionario) ii) sin escobillas, sin anillos deslizantes (rectificador rotatorio)  b) Alternador con rectificador controlado 3. Sistema estático a) Rectificador controlado de fuente potencial en el cual la potencia de excitación se suministra a través de un transformador potencial conectado a los terminales del generador.  b) Fuente compuesta (usando transformadores de corriente y tensión en los terminales del generador) con: i) rectificador no controlado (control utilizando elementos magnéticos tales como reactores saturables). ii) rectificador controlado (para control de tensión).

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (6) 

  Históricamente, las excitatrices de   generadores DC-conmutador   fueron las  primeras a ser utilizadas.  El generador DC puede ser auto-excitado o de excitación independiente (utilizando un excitador piloto). El regulador de tensión para sistemas de excitación DC fueron basados en amplificadores rotatorios (amplidinas) o amplificadores magnéticos. 





  Los sistemas de   excitación AC y estáticos   utilizan siempre reguladores electrónicos que son de acción rápida y resulta en el control de fase de rectificadores controlados usando tiristores.

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (7) 





 En las excitatrices tipo 2 (a), el control de campo del alternador es alcanzado usando un rectificador controlado con fuente de potencia derivada de la salida del alternador.  En las excitatrices sin escobillas, el circuito de campo del alternador  se monta en la parte estacionaria y es alimentada a través de un rectificador controlado desde un generador de imán permanente. La armadura del alternador está en el rotor y se conecta directamente al rectificador de diodos rotatorio, por lo que los anillos deslizantes son eliminados. El desempeño de las excitatrices de tipo 2 (b) y 3 (a) son similares ya que en ambos sistemas el campo del generador se alimenta directamente a través rectificadores controlados que tienen una respuesta rápida. La única diferencia entre ambas es que de la fuente de potencia para los rectificadores (y el campo generador) en 2 (b) viene del alternador (una  parte de los sistemas de excitación AC) y en 3 (a) viene de elementos estáticos (transformador potencial).

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (8) 

En el primer reporte del comité IEEE publicado en 1968, los sistemas de excitación fueron clasificados no de acuerdo con su fuente de potencia,  sino en una forma arbitraria.



Sin embargo, el sistema de excitación IEEE tipo 1, definido en ese reporte, representa a la mayoría de los sistemas de excitación en servicio y es ampliamente utilizado.

Figura 3: Sistema de excitación IEEE Tipo 1

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (9) 

Este representa esencialmente   excitatrices rotatorias   pero modificaciones también pueden representar excitatrices estáticas. 







con

algunas

 es la salida del regulador, que es limitada. La función de transferencia del regulador tiene una constante de tiempo   y una ganancia positiva de   . La función de saturación  =   representa la saturación de la excitatriz.

Cabe resaltar que los límites de   también implican límites en  . En realidad estos últimos son por lo general especificados, y en estado estacionario se tiene: (1)

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (10) 

 El modelo IEEE Tipo 1 también puede representar el sistema de excitación estático 3(a) al especificar los siguientes parámetros: (2)



La ecuación (2) muestra que los límites superiores de las salidas del regulador  y de la excitatriz están directamente relacionadas con el tensión terminal ( ) del generador.

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (11) 3. Estabilizador de Sistema de Excitación (ESS) y Reducción de Ganancia transitoria (TGR) 

Se utilizan para aumentar la región estable de operación del sistema de excitación y permitir mayores ganancias del regulador.



El control puede contener realimentación derivativa (ESS) o compensación adelanto/atraso (TGR).

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (12) Estabilizador de Sistema de Excitación

(ESS:  Excitation System Stabilizer ) 

La función de transferencia de realimentación del ESS se muestra en la Figura 4. 





Su implementación se realiza por medio de un transformador (que se supone ideal) cuyo secundario es conectado a una alta impedancia (ver Figura 5).

Figura 4: Estabilizador de Sistema de Excitación (ESS)

La relación de vueltas del transformador y la constante de tiempo ( L/R) de la impedancia determinar   y   según las relaciones:   La constante de tiempo se suele ser 1 segundo. (3) (4)

Figura 5: Implementación del ESS)

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (13) Reducción de Ganancia transitoria (TGR: Transient Gain Reduction) 

En vez de usar compensación de retroalimentación mediante ESS, se puede utilizar  un circuito adelanto/atraso conectado en serie como mostrado en la Figura 6. 



  suele ser menor a   , por lo que este medio de estabilización se denomina como Reducción de Ganancia Transitoria. El objetivo del TGR es reducir la ganancia transitoria o ganancia a frecuencias más altas, lo que minimiza la contribución negativa del regulador al amortiguamiento del sistema.   Sin

embargo, si se utiliza un PSS ( Power System Stabilizer )  específicamente  para mejorar la amortiguación del sistema, el TGR no es necesario.



El factor de reducción de ganancia transitoria  /  tiene un valor típico de 10.

Figura 6: Reducción de ganancia transitoria (TGR)

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (14) 4. Estabilizador de Sistemas de Potencia (PSS) 

La estabilización proporcionada por el PSS no debe confundirse con la ESS. 





El ESS   está diseñado para proporcionar una regulación de tensión efectiva bajo condiciones de circuito abierto o cortocircuito.   En cambio, el objetivo del PSS es proporcionar amortiguación de las oscilaciones del rotor cada vez que exista una perturbación transitoria. La amortiguación de estas oscilaciones (cuya frecuencia varía de 0,2 a 2,0 Hz) puede verse afectada por las altas ganancias del AVR , especialmente en condiciones de máxima carga cuando se conecta un generador a través de una alta impedancia externa (debido a una débil red de transmisión).

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C. Modelo de Sistemas de Excitación (15) 4. Estabilizador Potencia (PSS) 







de

Sistemas

de

  La señal de entrada del PSS se deriva de la velocidad/frecuencia, o  potencia acelerante o una combinación de estas señales.   El diseño del PSS en un sistema multimáquina puede ser complejo, ya que tienen que ser consideradas varias frecuencias de oscilación.   En cualquier caso, el PSS está diseñado para tener salida cero en el estado estacionario.   También la salida está limitada a fin de no afectar negativamente el control de tensión. La salida  del PSS se añade en el terminal de la señal de error de tensión.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (1) 

El segundo reporte del comité IEEE publicado en 1981 distinguió los sistemas de excitación en función de su fuente de potencia. Esta clasificación es más lógica y puede evitar  aproximaciones gruesas en la representación de diferentes sistemas de excitación.

1. Sistema de Excitación DC 

El tipo DC 1 representa excitatrices con conmutador DC controlado por campo con reguladores de tensión de acción continua, como observado en la Figura 7. 



Este modelo es similar para el sistema de excitación IEEE Tipo 1. El bloque con la función de transferencia  (1 +  )/(1 +  ) representa al TGR con  >  . El TGR tiene una función similar al ESS (que usa lazo de realimentación).  Normalmente, o se usa el TGR (en lazo forward) o el ESS.    Al elegir  =  , la TGR se desprecia. Del mismo modo, al elegir  = 0, el ESS se desprecia.

Figura 7: Excitatriz con conmutador Tipo DC1-DC

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (2) Derivación de la función de transferencia del generador DC excitado independientemente 

 Considere la excitatriz DC que se muestra en la Figura 8. 

  La ecuación del circuito de campo de la excitatriz es: (5)



Figura 8: Generador DC excitado independientemente

 La tensión de la excitatriz   es una función no lineal de    (ver Figura 9).

Figura 9: Curva de saturación  bajo carga de la excitatriz

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (3) 

La velocidad de la excitatriz se supone constante, ya que está normalmente impulsado por el eje del generador. (6) (7)



 es la pendiente de la curva de saturación cerca de   = 0.



Es conveniente expresar    en valor por unidad de   , donde: (8)



  es la tensión nominal la cual se define como la tensión que produce la tensión de circuito abierto nominal en el generador despreciando la saturación.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (4) 



  es la tensión nominal la cual se define como la tensión que produce la tensión de circuito abierto nominal en el generador  despreciando la saturación.

En valores por unidad, las ecuaciones (5) y (6) se reducen a: (9) (10)



  donde:



 Desde que

Figura 9: Curva de saturación  bajo carga de la excitatriz

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (5) 

 Las ecuaciones (9) y (10) representan al diagrama de bloques de la excitatriz de la Figura 10. También: (11) (12) (13) (14)

Figura 10:   Diagrama de  bloques del generador DC excitado independientemente

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (6) Generador DC autoexcitado 

La Figura 11 muestra el diagrama esquemático de la excitatriz auto-excitada.



   representa la tensión del amplificador en serie con el campo en derivación de la excitatriz. Por tanto: (15)



Usando esta relación, junto con el diagrama de bloques dada en la Figura 10 y dado que: (16)



Figura 11: Generador DC auto-excitado

Podemos reducir el diagrama de bloques de la excitatriz autoexcitada dada en Figura 10 con el valor modificado de  como: (17)





La resistencia de campo  , se ajusta periódicamente para mantener   = 0  en estado estacionario. Para este caso, a partir de la ecuación (1), se obtiene:

(18)

donde   es el valor de la función de la saturación de   en el punto de operación inicial. Cabe señalar que   es generalmente negativo para la excitatriz auto-excitada.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (7) 2. Sistema de Excitación AC 

El sistema de excitación tipo AC 1 (rectificador alternador controlado por  campo, con rectificadores no controlados) se muestra en la Figura 12.

Figura 12: Sistema de excitación alternadorrectificador Tipo AC1 





Este diagrama es diferente de la representación anterior en que son considerados a) la reacción de armadura del alternador    y b) regulación del rectificador (  ).   La constante    es una función de las reactancias transitorias y síncronas del alternador.   La constante   es una función de la reactancia de conmutación.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (8) 2. Sistema de Excitación AC 

  La función   se define como sigue:

(19)



  La señal   es proporcional a la corriente de campo de la excitatriz. Esta señal es también usada como entrada al ESS.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (9) 3. Función de Saturación 

La función de saturación de la excitatriz    se define como un multiplicador de la tensión de excitatriz en por unidad para representar el aumento de la corriente de campo excitador debido a la saturación. 

Se aplica tanto a la excitatriz DC y AC.



Las características de saturación de la excitatriz se muestran en la Figura 13.

Figura 13: Características de saturación de la excitatriz

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (10) 3. Función de Saturación 



  Con una tensión de excitatriz dada  , las cantidades A, B y C se definen como las corrientes de campo de excitatriz requeridas en: (a) curva de saturación bajo carga a resistencia constante, (b) línea del entrehierro y (c) curva de saturación en vacío, respectivamente. Para excitatrices-conmutador DC,   se define como: (20)





Cuando la resistencia de campo de excitatriz es significativamente diferente del valor de la resistencia de base, se debe utilizar un valor  ajustado de  ′ en lugar de   . Notar que  ′ se define en la ecuación (9).

Figura 13: Características de saturación de la excitatriz

Para las excitatrices alternador-rectificador,  se define utilizando la curva de saturación en vacío, como: (21)

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (11) 3. Función de Saturación  En este caso se utiliza la curva de saturación en vacío debido que los efectos de regulación de la excitatriz son tomados en cuenta por las caídas de tensión en las reactancias síncrona y de conmutación, considerados por separado. Matemáticamente la función de la saturación,  , se modela como: 

(22) 

 Las constantes    y   se pueden obtener si se especifica  en dos valores diferentes de  . Por lo general,   se especifica en un valor cerca de tensión límite y en un valor más bajo, comúnmente 75% de ese nivel.

Figura 13: Características de saturación de la excitatriz

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (12) 4. Sistema de Excitación Estática  En estos sistemas, los transformadores se utilizan para convertir la tensión (y también corriente en sistemas compuestos) a un nivel requerido de tensión de campo.  Rectificadores controlados o no controlados se utilizan entonces para  proporcionar la tensión DC para el campo del generador.  Aunque se utiliza forzamiento de la tensión de campo negativa, muchos de los sistemas de excitación utilizados no permiten corrientes de campo negativas. Este aspecto es normalmente ignorado en las simulaciones, pero puede ser  significativa a veces (sobre todo en funcionamiento asíncrono).    Como la tensión límite de la excitatriz tiende a ser alta en excitatrices estáticas, se utilizan limitadores de corriente de campo para proteger la excitatriz y el circuito de campo. Sin embargo, esta protección no es también modelada excepto en caso especial.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (13) 4. Sistema de Excitación Estática  El diagrama de bloques de la fuente de potencial, sistema de excitación con rectificadores controlados se muestra en la Figura 14.

Figura 14:   Excitatrizrectificador controlada con fuente potencial Tipo ST1.

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D. Sistemas de Excitación - Diagrama de bloques estándar (14) 4. Sistema de Excitación Estática    El limitador interno que sigue al sumador puede ser despreciado, pero los límites de tensión de campo que dependen tanto  y    deben ser  considerados.  Para los sistemas de alimentación por  transformador   es pequeño y puede ser despreciado.    El diagrama de bloques dado en la Figura 14 es similar al sistema de excitación con rectificador controlado alimentado por alternador.  La única diferencia es que los límites de tensión de campo no dependen de la tensión terminal   en el caso del sistema alimentado por alternador.

Figura 14:   Excitatriz-rectificador  controlada con fuente potencial Tipo ST1.

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (1)   Para simulación computacional (y también para el análisis de espacio de estado), es necesario describir el sistema mediante ecuaciones de estado.  Dada la representación en diagrama de bloques del sistema, es posible obtener  las ecuaciones de estado.    La elección de las variables de estado no es única para una función de transferencia dada. Sin embargo, el número mínimo de variables de estado requerido es invariante.    Si los ceros de la función de transferencia no coinciden con los polos, el mínimo número de variables de estado es igual al número total de polos. 

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (2) 1. Derivación de las ecuaciones de estado desde funciones de transferencia  Se supone que el número de ceros de una función de transferencia no excede el número de polos. Cualquier función general se puede expresar como un  producto de funciones más simples con no más de dos polos y dos ceros.  Estos pueden ser real o complejo. Sea la función de transferencia de segundo orden expresada como: (23) 

Esto también se puede expresar como: (24)

y (25) 

Se definen las variables de estado como:

(26)

la ecuación (25) representa un diagrama de bloques simplificado en la que los  bloques dinámicos son sólo integradores, como mostrado en la Figura 15.

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (3) 1. Derivación de las ecuaciones de estado desde funciones de transferencia

Figura 15: Representación del bloque diagrama de la Ecuación 25 

Las ecuaciones de estado se escriben fácilmente como: (27) (28)





De la ecuación (24), se obtiene:

(29)

Sustituyendo de la Ecuación (28), (29) puede ser expresado finalmente: (30)

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (4) 1. Derivación de las ecuaciones de estado desde funciones de transferencia    Si todos los polos y ceros de una función de transferencia son reales, la función de transferencia es más simple (como un factor de la función de transferencia completa) viene dada por: (31)

Esta función puede ser representada por el diagrama de bloques mostrado en la Figura 16.

Figura 16: Representación del  bloque diagrama de la ecuación (31)

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (5) 

  Desde el diagrama, las ecuaciones son: (32)

(33) 

Es de señalar que si  = 0, entonces: (34)



También si  = 2 , hay una eliminación del polo cero. En este caso   = 0 y   = .

Figura 16: Representación del  bloque diagrama de la ecuación (31)

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (6) 2. Inclusión de límites  Hay dos tipos de limitadores:  Limitador windup  Limitador sin windup    Como el comportamiento de estos limitadores son diferentes, es necesario indicar el tipo del limitador en el diagrama de bloques usando la convención muestra en Figura 17.  

Figura 17: (a) limitador windup (b) limitador no windup

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E. Representación del Sistema por ecuaciones de Estado (7) Limitador windup  La variable de salida  de la función de transferencia no está limitada y es libre de variar.   En este caso, el limitador puede ser tratado como un bloque independiente cuya entrada es , y la salida es   .  Si

las ecuaciones con limitador windup son: (35) 

Si: (36)