EE60 - Clase 10 - Estabilidad Transitoria - Modelo Dinámico Completo
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SISTEMAS DE POTENCIA...
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Secc Secció ión n de Posg Posgra rado do y Segu Segund ndaa Espe Especi cial aliz izac ació ión n
Maestría en Ciencias con Mención en Sistemas de Potencia
Curso EE-60 – Dinámica de Sistemas de Potencia Expo Ex posi sito torr :
Manfred F. Bedriñana Aronés Doctor en Ingeniería Eléctrica Ingeniero Ingeniero Electricis Electricista ta C.I.P. Nº 95644
2016
Maestría en Ingeniería Eléctrica Curso EE-60 – Dinámica de Sistemas de Potencia
Capítulo 5
Estabilidad Transitoria
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Modelo Dinámico Completo
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A. Introducción (1) En los sistemas de potencia el componente dinámico más importante es el generador síncrono con sus controles asociados (sistema de excitación y motor primo). Si el principal objetivo del análisis análisis dinámico es la predicción de la estabilidad, entonces será adecuado considerar sólo sólo el sistema de excitación e ignorar los los controles del motor primo. Par Paraa inco incorp rpor orar ar los los co cont ntro rola lado dore ress en el an anál ális isis is diná dinámi mico co se ne nece cesi sita ta desarrollar modelos más detallados de detallados de la máquina síncrona.
También el grado de detalle utilizado en el modelo de máquina síncrona puede variar dependiendo de los requisitos y datos disponibles.
Para fines didácticos se examinará la dinámica de un generador síncrono conectado a una barra infinita. infinita.
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B. Modelo del Sistema (1)
La red eléctrica del sistema maquina barra infinita se representa como un cuadripolo (Figura 1).
Figura 1: Red eléctrica del sistema máquina barra infinita
Un puerto se conecta a los terminales del generador, mientras que el otro puerto se conecta a una fuente de tensión ∠0°, cual representa a la barra infinita.
La magnitud y el ángulo de fase de la fuente de tensión son constantes.
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B. Modelo del Sistema (2)
Una de las principales hipótesis en el análisis dinámico, que implique bajas frecuencias (< 5 Hz), es despreciar los transitorios de la red externa.
Esto simplifica el análisis y permite que la red se modele mediante ecuaciones algebraicas basadas en su representación unifilar.
Las ecuaciones de red se expresan convenientemente usando los fasores de tensión (y corriente) con componentes D-Q (expresadas en el marco de referencia de rotatorio síncrono, llamado también marco de Kron). Si se desprecian los transitorios de la red, es lógico hacer caso omiso de los transitorios en los devanados del estator de la máquina síncrona, que están conectados a la red externa. Esto implica que las ecuaciones del estator también se reducen a ecuaciones algebraicas. En este caso no es posible el uso de los enlaces de flujo o corrientes del estator como variables de estado.
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C. Modelo de máquina síncrona (1) Ecuaciones del estator
Las ecuaciones de Park del estator expresadas en por unidad son: (1) (2)
Se supone que las corrientes de secuencia cero en el estator no son relevantes. Si se desprecian los transitorios del estator, entonces se desprecian los términos y en las ecuaciones (1) y (2). Además, es ventajoso despreciar las variaciones en la velocidad del rotor .
Realmente, si los enlaces de flujo de armadura son constantes, se puede demostrar que los términos y cancelan las variaciones de .
Con estos supuestos, las ecuaciones (1) y (2) se puede expresar como: (3) (4)
donde es el deslizamiento inicial y se define como: (5)
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C. Modelo de máquina síncrona (2) Ecuaciones del rotor
Desde que las ecuaciones (3)-(4) son algebraicas (al despreciar los transitorios del estator), no es posible seleccionar como variables de estado las corrientes del estator y .
Las variables de estado tienen que ser funciones continuas de tiempo, mientras y pueden ser discontinuas debido a los cambios repentinos en la red.
Debido que los devanados del rotor o bien permanecen cerrados (devanados amortiguadores) o cerrados a través de la fuente de tensión finita (devanado de campo), los enlaces de flujo de estos devanados no pueden cambiar repentinamente.
Esto implica que si cambia de repente, las corrientes de los devanados del rotor también cambian repentinamente a fin de mantener continuos los enlaces de flujo en esos devanados. Teorema de los enlaces de flujo constantes (Kimbark) E.W. Kimbark, Power System Stability, Vol. III: Synchronous Machines, John Wiley, New York, 1956. De acuerdo a esta propiedad, inmediatamente después de una perturbación, los enlaces de flujo permanecen constantes con valor igual al valor pre perturbación.
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C. Modelo de máquina síncrona (3) Teorema de los enlaces de flujo constantes (Kimbark)
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C. Modelo de máquina síncrona (4)
La discusión anterior muestra que las corrientes de los devanados del rotor no pueden ser tratadas como variables de estado cuando se desprecian los transitorios del estator.
La elección obvia de variables de estado son enlaces de flujo del rotor o variables que dependan linealmente de los enlaces del flujo del rotor.
Dependiendo del grado de detalle, el número de devanados del rotor y variables de estado correspondientes pueden variar de uno a seis. En el siguiente reporte del IEEE se recomiendan modelos de máquinas para análisis dinámica.
IEEE Task Force, "Current usage and suggested practices in power system stability simulations for synchronous machines", IEEE Trans. on Energy Conversion, Vol. EC-1, No.1, pp. 77-93, 1986.
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C. Modelo de máquina síncrona (5) Los modelos de máquina síncrona se recomiendan en base a su grado de complejidad y circuitos del rotor: 1. Modelo clásico (Modelo 0.0) 2. Circuito de campo (Modelo 1.0) 3. Circuito de campo con un circuito amortiguador equivalente en el eje q (modelo 1.1) 4. Circuito de campo con un circuito amortiguador equivalente en eje d (a) Modelo 2.1 (un circuito amortiguador en el eje q) (b) Modelo 2.2 (dos circuitos amortiguadores en el eje q) 5. Circuito de campo con dos circuitos amortiguadores equivalentes en eje d (a) Modelo 3.2 (con dos circuitos amortiguadores en el eje q) (b) Modelo 3.3 (con tres circuitos amortiguadores en el eje q)
En la clasificación de los modelos de máquinas, el primer y segundo número indica el número de devanados en el eje d y q, respectivamente.
Adicionalmente, los números representan el número de variables de estado considerados en el eje d y eje q.
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C. Modelo de máquina síncrona (6) Observaciones
El modelo clásico, que desprecia los circuitos amortiguadores y campo, no considere ninguna variable de estado del rotor y se denomina el modelo 0.0. El modelo 2.2 se usa ampliamente en la literatura y los datos son suministrados por los fabricantes de máquinas o son obtenidos mediante pruebas descritas en STD IEEE 115:
STD IEEE 115, Test procedures for synchronous machines, 1983.
El modelo 3.3 es el modelo más detallado y es utilizado en turboalternadores, mientras que los modelos 2.1 y 1.1 son ampliamente utilizado para los generadores hidroeléctricos. Mientras los modelos de mayor orden proporcionar mejores resultados para aplicaciones especiales, también requieren una determinación exacta de los parámetros.
Con las limitaciones de información y para el estudio de grandes sistemas, puede ser adecuado utilizar el modelo 1.1. Por conveniencia, se estudiará en adelante el modelo 1.1.
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (1)
Los enlaces de flujo del estator y rotor son dados por: (6) (7) (8) (9)
Resolviendo (7) y (9) para y se obtiene: (10) (11)
Sustituyendo las ecuaciones (10) y (11) en (6) y (8), respectivamente, se obtiene: (14) donde: (12)
(15)
(13)
(16) (17)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (2)
Las ecuaciones de tensión del rotor son: (18) (19)
Sustituyendo las ecuaciones (10) y (16) en la ecuación (18), se obtiene: (20) (21) (22)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (3)
Las siguientes relaciones son usadas: (23) (24)
Sustituyendo las ecuaciones (11), (17) en la ecuación (19) es posible obtener la siguiente ecuación: (25)
donde: (26)
Cabe señalar que en el modelo 1.1 es conveniente definir las fuentes de tensión equivalentes ′ y ′ , las que se utilizan como variables de estado en lugar de las variables y . Las ventajas de esto será evidente si se tiene las ecuaciones del estator y torque.
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (4) Ecuaciones del estator
Sustituyendo las ecuaciones. (12) y (13) en las ecuaciones (3) y (4) y sea = 0, se obtiene: (27)
(28)
Si la saliencia transitoria se desprecia se tiene: (29)
Se puede combinar las ecuaciones (27) y (28) en una ecuación compleja dado por: (30)
Figura 2: Circuitos equivalentes del estator
La ecuación anterior representa un circuito equivalente del estator mostrado en la Figura 2 (a). Se observa una fuente de tensión ′ ′ detrás de una impedancia equivalente ′ .
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (5) Ecuaciones del estator
Las variables D-Q en el marco de referencia síncrono están relacionados con las variables d-q en el marco de referencia de Park como: (31)
donde puede representar la tensión o corriente. Aplicando la ecuación (31) a (30), se obtiene: (32)
La ecuación (32) representa al circuito equivalente del estator mostrado en la Figura 2 (b).
Observaciones
Desafortunadamente no existe un circuito equivalente para el estator cuando la saliencia transitoria es considerada. puede suponer alguna dificultad en los Esto cálculos de la red en los sistemas de multimáquina.
Figura 2: Circuitos equivalentes del estator
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (6) Ecuaciones mecánicas del rotor
Las ecuaciones mecánicas del rotor por unidad se pueden expresar como: (33)
donde: , es el torque eléctrico dado por: (34)
D es
el amortiguamiento y es el torque mecánico que actúa sobre el rotor. Sustituyendo las ecuaciones. (12) y (13) en (34), se obtiene: (35)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (7) Ecuaciones mecánicas del rotor
Si la saliencia transitoria es despreciada (′ = ′ ), entonces el tercer término en la expresión anterior es igual a cero. La ecuación (33) se puede expresar como dos ecuaciones de primer orden: (36) (37)
donde el deslizamiento del generador se define como: (38)
Observar que es definido como: (39)
Normalmente, la velocidad de operación se considera la misma que la velocidad nominal. En este caso, = 0. D es el amortiguamiento por unidad, dado por: (40)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (8) Ecuaciones de la red eléctrica
Se asume que la red externa que conecta los terminales del generador a la barra infinita es un cuadripolo. Esto incluye cualquier representación compleja del sistema externo con varias líneas de transmisión, transformadores y cargas. Se asumen cargas del tipo impedancia constante. En la Figura 3 se muestra una red típica que comprende un transformador, línea de transmisión, carga shunt e impedancia Thevenin, conectada entre la línea y la barra infinita (fuente de tensión equivalente).
Figura 3: Diagrama de red típica
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (9) Ecuaciones de la red eléctrica
El circuito equivalente del sistema se muestra en la Figura 4.
es la impedancia de dispersión del transformador; y son las impedancias serie de los dos tramos de línea; y son las admitancias shunt de los tramos de línea (representados por sus equivalentes π ). incluye tanto la línea y admitancias de carga. En realidad y también pueden incluir admitancias de carga conectadas en la línea.
Figura 4: Circuito equivalente del sistema de la
Figura 3
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (10) Ecuaciones de la red eléctrica
Cualquiera que sea la configuración de la red externa, se puede r epresentar por parámetros de un cuadripolo. Como sólo el primer puerto conectado a los terminales del generador es de interés, la tensión se puede expresar como: (41)
donde es la admitancia propia de cortocircuito de la red, medida en los terminales del generador, ℎ es un parámetro híbrido (ganancia de tensión en circuito abierto). En general, tanto y ℎ son complejos. Para una red que consiste solamente de una impedancia en serie , se tiene: (42)
En el caso general, sea: (43)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (11) Ecuaciones de la red eléctrica
La ecuación (41) se puede expresar como: (44)
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por − , se obtiene: (45)
Igualando las partes reales e imaginarias, se tiene: (46) (47)
Las ecuaciones anteriores se pueden sustituir en las ecuaciones. (27) y (28), de aquí se resuelve para y en términos de variables de estado ′ , ′ y .
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (12) Ejemplo de ecuaciones de la red eléctrica
La red externa más simple es una impedancia en serie . Si = 0, entonces: (48)
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (46) y (47) se obtiene: (49) (50)
Si = 0, la sustitución de las ecuaciones anteriores en (27) y (28) se tiene: (51) (52)
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D. Aplicación del Modelo 1.1 (13) Ejemplo de ecuaciones de la red eléctrica
Las ecuaciones. (51) y (52) se pueden sustituir en las ecuaciones (22), (25) y (35) para eliminar las variables que no son de estado y expresar las ecuaciones en la forma: (53)
donde: Observaciones se trata como un parámetro. y son entradas provenientes
del sistema de excitación y turbina-
gobernador , respectivamente. Si la dinámica de los controladores se desprecian, y son tratados como parámetros. De lo contrario, y son tratados como salidas de los sistemas dinámicos representados por ecuaciones diferenciales que deben ser anexadas a la ecuación (53).
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (1) Las ecuaciones del sistema (53) son no lineales y tienen que ser resueltas mediante integración numérica. En la resolución de estas ecuaciones se supone que el sistema está en un SEP hasta el tiempo = 0 y una perturbación se produce en = 0 o posterior. Se hace necesario calcular las condiciones iniciales en = 0 basado en el punto de operación del sistema, determinado a partir de los estudios de flujo de potencia.
A partir de los cálculos de flujo de potencia en estado estacionario, se obtiene la potencia activa y reactiva ( y ), el módulo (t) y el ángulo () de la tensión en terminales del generador. es el ángulo con respecto a la barra slack (barra infinita).
En estado estacionario, las derivadas de todas las variables de estado son cero, = 0. De esta condición, se tiene: (54) (55) (56)
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (2)
En las ecuaciones anteriores, el subíndice 'o' indica valores de operación.
Cabe señalar que el deslizamiento inicial mo no puede ser determinado a partir de la ecuación (36). Tiene que ser especificado por separado. Como se mencionó anteriormente, se puede tomar como cero.
Sustituyendo las ecuaciones. (54) y (55) en las ecuaciones. (27) y (28): (57) (58)
De lo anterior, se puede obtener: (59)
Definiendo (60) (61)
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (4)
La ecuación (60) puede ser usada con una posición fija del eje q. En la Figura 5 se muestra el diagrama fasorial que representa las ecuaciones (60) y (61). Los componentes de eje q y d de la corriente de armadura ( , ) y la tensión ( , ) son mostrados en el diagrama.
Figura 5: Diagrama fasorial del
modelo 1.1
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (5)
Para el cálculo de las condiciones iniciales se sigue el siguiente procedimiento: 1. Calcular 2. Calcular y Nota.- Cabe resaltar que , , y se obtienen a partir del análisis de flujo de potencia en estado estacionario. 3. Calcular
4. Calcular
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (6) Ejemplo 1 – condiciones iniciales del modelo 1.1 de máquina
Un generador está conectado a una barra infinita través de una impedancia externa representada como = 0.25 p.u. Si = = 1.0 p.u. y = 1.0 p.u., encuentre las condiciones iniciales del modelo de máquina 1.1. Los datos del generador:
Solución
El ángulo de la barra terminal del generador se obtiene de: Sustituyendo los valores:
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E. Cálculo de las condiciones iniciales (7) Ejemplo 1 – condiciones iniciales del modelo 1.1 de máquina
Los componentes de la corriente de armadura son:
Notas Verificar que El deslizamiento inicial, puede asumido igual a cero.
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F. Simulación del sistema (1) La máquina síncrona se representa por el modelo 1.1. La saturación magnética puede ser despreciada o considerada por el uso de valores de inductancias mutuas (o ) y . Las ecuaciones de la máquina son:
(62) (63) (64) (65)
El torque eléctrico se expresa en términos de variables de estado ′ y ′ y las variables que no son de estado y . La expresión de será: (66)
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F. Simulación del sistema (2)
Las variables y se pueden obtener de las ecuaciones algebraicas (27), (28) y ecuaciones de la red (46) y (47). Sustituyendo en esta última ecuación, se puede resolver para y desde las siguientes ecuaciones lineales: (67)
donde:
Observaciones es la
impedancia de entrada de la red externa vista desde los terminales del generador con la barra infinita en cortocircuito. ℎ ℎ es la ganancia de tensión en terminales del generador con la armadura en circuito abierto. ℎ ℎ es la fuente de tensión Thevenin visto desde los También, terminales del generador. El uso de estos parámetros híbridos permite considerar cualquier red compleja conectada entre el generador y la barra infinita.
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F. Simulación del sistema (3) Ejemplo 2 – parámetros híbridos de cuadripolo
Obtener los parámetros híbridos para la red de cuadripolo de la Figura 4.
Figura 4: Circuito equivalente.
Se define:
Luego,
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F. Simulación del sistema (4) Ejemplo 2 – parámetros híbridos de cuadripolo
También:
Luego,
Figura 4: Circuito equivalente.
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F. Simulación del sistema (5) Modelo dinámico completo
Se eliminan las variables que no son de estado y desde la ecuación (67). Las ecuaciones de la máquina se expresan como ecuación (53): Si los controladores del generador (excitación y el motor primo) se desprecian, entonces no existen ecuaciones dinámicas adicionales. En caso contrario, las siguientes ecuaciones son incluidas junto con la ecuación (53): (68)
(69)
Las entradas del controlador de excitación comprenden la tensión terminal Vt , tensión de referencia Vref y deslizamiento Sm (si el PSS es considerado). Las entradas del controlador del motor primo comprenden el deslizamiento Sm y la referencia de velocidad ref .
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F. Simulación del sistema (5)
Combinando las ecuaciones (53), (68) y (69) y eliminando las variables que no son de estado, Vt , se pueden escribir las ecuaciones generales del sistema como: (70)
donde:
Si el controlador del motor primo no se consideran, entonces:
En realidad, la ecuación (53) se puede ver como un caso especial de la ecuación (70), la cual es aplicable para un modelo detallado del generador incluyendo controladores. Cabe señalar que las variables de estado son continuas, aunque las corrientes y tensiones en la red puedan ser discontinuas cuando una falla o evento de conmutación ocurre.
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F. Simulación del sistema (6) Ejemplo 3 – condiciones iniciales del modelo 1.1 de máquina Considere el ejemplo 1. Asuma que cambia a = 0.50 p.u. en = 0.
Determinar , y
Solución + En = 0
en = 0+ .
se tiene: (sin pérdidas en la red) se obtienen de (51) y Las expresiones para y (52).
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F. Simulación del sistema (7) Ejemplo 4 – simulación dinámica del modelo 1.1 de máquina
En la Figura 6 se muestra el sistema de análisis. El interruptor es cerrado en = 1.0 seg., donde = 0.192 p.u. con el interruptor abierto y = 0.055 p.u. con el interruptor cerrado.
Figura 6: Diagrama unifilar de ejemplo de simulación dinámica
Los datos del generador son (reactancias en p.u.): ′ ′ = 1.93, = 1.77, ′ = 0.23, ′ = 0.50, = 5.2 seg, = 0.81 seg, = 3.74 seg.
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F. Simulación del sistema (8)
Asumir = 1.0. Calcular las salidas de ángulo del rotor y tensión terminal en el dominio del tiempo para los siguientes casos:
Los datos fueron tomados de la referencia:
R.D. Dunlop and A.C. Parikh, "Verification of synchronous machine modeling in stability studies: Comparative tests of digital and physical scale model power system simulations", IEEE Trans. Vol. PAS-98, No.2, pp. 369-378, 1979.
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F. Simulación del sistema (9) Solución
Los valores iniciales de las variables de estado y otras variables , , y se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1: Valores iniciales para el ejemplo
4
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F. Simulación del sistema (10)
Las salidas en el dominio del tiempo se muestran en las Figuras 7 a 10 para los cuatro casos considerados.
(a) Ángulo del rotor (b) Tensión terminal Figura 7: Caso (i) del Ejemplo 4.
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F. Simulación del sistema (11)
(a) Ángulo del rotor (b) Tensión terminal Figura 8: Caso (ii) del Ejemplo 4
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F. Simulación del sistema (12)
(a) Ángulo del rotor
(b) Tensión terminal
Figura 9: Caso (iii) del Ejemplo 4.
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F. Simulación del sistema (13)
(a) Ángulo del rotor
(b) Tensión terminal
Figura 10: Caso (iv) del Ejemplo 4.
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F. Simulación del sistema (14) Observaciones
(a) Las respuestas del ángulo del rotor (siguiendo la perturbación) son principalmente oscilatorias en todos los casos. Sin embargo, también tiene una componente unidireccional significativa en el caso (iv). Las oscilaciones se amortiguan en todos los casos y el decaimiento es más rápido en el caso (iii). (b) La tensión de terminal tiene principalmente una componente unidireccional variando lentamente en todos los casos, excepto en (iii). (c) Mientras que el ángulo del rotor se reduce (en estado estacionario) en todos los casos, la tensión terminal se reduce en los casos (i) y (iii) mientras se incrementa en los casos (ii) y (iv) después de la perturbación.
El ángulo del rotor se reduce cuando la reactancia externa se reduce a medida que la transferencia de potencia se mantiene en el mismo nivel que antes. Sin embargo, se incrementa cuando la reactancia se reduce, desde que permanece constante. Con positivo, el aumento en tiene el efecto de reducir la tensión en los terminales, mientras que con la negativa , el aumento (lo que implica reducción de magnitud) tiene el efecto de aumentar la magnitud de la tensión.
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G. Otros modelos de máquinas (1) Anteriormente se consideró la aplicación del modelo 1.1 de la máquina síncrona. Los modelos más sencillos son convenientemente considerados como casos especiales con la modificación de parámetros de la máquina. Modelo 1.0
El modelo 1.0 puede ser obtenido al hacer: (71)
Cabe señalar que ′ = y la ecuación (65) se reduce a:
Con la condición inicial en cero, ′ permanece en cero a través de la ′ > 0. simulación siempre y cuando ′ El valor real de no es importante y se puede establecer en algún valor arbitrario (1.0 seg).
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G. Otros modelos de máquinas (2) Modelo 0.0
Para considerar modelo 0.0 (modelo clásico), además de las restricciones (71) es necesario establecer: (72)
Si la saliencia no es considerada, entonces es necesario establecer: (73)
Con las restricciones (71) a (73), el modelo se reduce a una fuente de tensión ′ detrás de una reactancia transitoria ′ . ′ ′ El valor alto de asegura que permanezca prácticamente constante (despreciando el decaimiento de flujo).
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