Edwaldo Bianchini & Herval Paccola - Matemática 1 (pdf)

. a ema lea ~

cawalao BIANCHINI e Herval PACCOLA

Apresenta~ao E com enorme satisfayao que trazemos aos colegas de magisterio e estudantes esta nova ediyao de Matematica para 0 2 Q grau. Mantivemos aqui 0 compromisso de tonur mais agradaveis e produtivos tanto 0 ensino como 0 aprendizado, meta essa tambem presente na ediyao anterior. Voce pode estar questionando a necessidade desta reediyao. Simples: 0 mundo a nossa volta torna-se a cada dia mais e mais dinamico. Dessa forma, por mais atualizado e ajustado que um livro seja, em determinado momento, ele pode estar subestimando assuntos que mereyam uma abordagem mais aprofundada. Assim, acompanhando a moderna tendencia do ensino de estreitar a relayao aprendizado/cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e motivadora, privilegiando sua aplicayao em problemas que estimulem 0 interesse do aluno. Tambem nos exemplos resolvidos enos "Exerdcios propostos", sempre que possivel, procuramos trabalhar com situayoes retiradas da realidade do estudante. A respeito dos temas estudados, destacamos a inclusao de um capitulo sobre Matematica Financeira, no volume 1, e outro sobre Estatistica, no volume 3. Foram acrescentados em vista de sua import:lncia no mundo moderno e tambem em funyao do elevado numero de questoes sobre esses assuntos nos (tltimos vestibulares. Uma outra novidade desta reediyao e 0 "Tunel do tempo", uma seyao que, como 0 proprio nome sugere, leva 0 aluno a relacionar 0 tema em estudo com 0 momenta historico em que foi desenvolvido. No final de cada capitulo, antes dos "Exerdcios complementares" e dos "Testes", urn resumo do assunto estudado auxilia 0 aluno na resoluyao das atividades. Procuramos tambem aliar linguagem comunicativa, metodologia e rigor conceitual, com vistas a atender as necessidades do estudante, tanto na qualidade de cidadao como na de futuro vestibulando. Temos perfeita consciencia de que nenhum livro substitui 0 trabalho do professor. Mas acreditamos que, ao proporcionar uma solida base conceitual e didatica ao estudante, estamos dando a nossa contribuiyao no sentido de auxiliar 0 mestre em sua tarefa de ensinar e formar pessoas. Atendendo a solicitayoes recebidas de diversas partes do pais, este trabalho esta sendo apresentado em duas versoes. Na versao Alfa, as progressoes aritmeticas e geometricas sao estudadas no volume 1, e a trigonometria e vista no volume 2. Na versao Beta, essa ordem se inverte. Finalmente, queremos registrar aqui nossos sinceros agradecimentos a todos os professores que, no decorrer desses anos, nos enviaram seu incentiyo na forma de criticas e sugestoes. Esperamos continuar merecendo a mesma acolhida nesta nova ediyao e, para tanto, contamos com 0 seu apoio - e ele que, afinal, torna 0 nosso trabalho mais adequado e eficiente. Os Autores

Sumario Capitulo I - CONJUNTOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Primeiras noc;6es Representac;ao de conjuntos ................................. Conjuntos unitarios e conjunto vazio Conjuntos iguais Conjunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alguns slmbolos da linguagem dos conjuntos Subconjuntos Operac;6es com conjuntos Numero de elementos da reuniao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

1 2 4 4 4 5 7 10 15

Capitulo 2 - CONJUNTOS NUMERICOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Introduc;ao Conjunto dos numeros naturais Conjunto dos numeros inteiros . . . . . . . . Conjunto dos numeros racionais Conjunto dos numeros irracionais . . . . . . Conjunto dos numeros reais . . . . . . . . . . Intervalos Operac;6es com intervalos Valor absoluto ou modulo de urn numero

.... ; .... ....

. . . .

. . . .

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. . . .

.. .. .. ..

',' . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

23 23 24 25 28 29 30 33 35

Capitulo 3 - FUN x 2 = 25

(p)

(q)

c) x e numero par (p)

d) x + 2

(p)

=

8

=>

=>

x e mLlltiplo de 2 (q)

x=8-2 (q)

5

q, dizemos que

Observe nos exemplos c e d que tambem a partir de q podemos conduir p: x e multiplo de 2 ~ x e numero par x=8-2~x+2=8

Nesses casos, dizemos que p e q sao equivalentes e escrevemos p

x e nlimero par

¢=}

¢=}

q (le-se: p e equivalente a q):

x e mUltiplo de 2, ou seja, x e numero par se e somente se x e mUltiplo de 2. x+2=8 Se p

~

qe q

¢=}

~

x=8-2 p, entao p

¢=}

q

No exemplo a, de Jose e brasileiro, nao podemos conduir que Jose e pernambucano (ele poderia ser. catarinense, carioca, paulista etc.). Jose e brasileiro p Jose e pernambucano (0 simbolo ~ le-se: nao implica). No exemplo b, de x 2 = 25, nao podemos conduir que x = 5 (x poderia ser -5), pois (-5)2 = (-5) . (-5) = 25. Portanto: x 2 = 25 =/> x = 5.

Qualquer que seja (v) Vamos resolver a equas:ao 2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8 no universo U= 10,1,2,31. Temos:

2(3x - 1) = 6(x + 1) - 8

~

6x - 2 = 6x + 6 - 8

°

~

6x - 6x = 6 - 8 + 2

~

Ox = 0.

Observe que a igualdade Ox = se verifica para qualquer que seja x pertencente a U. Representando a expressao qualquer que seja x por 'r/ x (le-se: qualquer que seja x ou para todo x), podemos escrever:

°

'r/x E U ~ Ox = A solus:ao da equas:ao proposta e 0 proprio conjunto universo, isto e: S =

u.

Existe ao rnenos urn (3) Considere 0 conjunto A*-0. Sendo A*-0, entao existe ao menos urn x, tal que x E A. Representando a expressao existe ao menos urn x par 3x, podemos escrever: A*-0~3xlxEA

o simbolo ~x le-se: nao existe x algum. Exemplos a) Se A = 0, entao ,tlxlx EA. b),tlxEIN12x= 3

Existe urn unico (31) Considerando 0 conjunto universo U = 10, 1,2,3,4,5), existe urn unico valor de x que verifica a sentens:a 2 < x < 4. Representando a expressao existe urn ilnico valor de x por 31x, podemos escrever: 31x E UI2 < x < 4 Exemplos a) Se A e conjunto unitario, entao 31x Ix E A. b) 31x E IN I x - I = 2

6

EXERCICIOS PROPOSTOS 10. Sendo U = {-4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4}, identifique as senten9as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) X= -4

x2

e) x 2 =16 ~'x=-4oux=4 f) 3x E U 12x = 5 g) 31x E UI3x = -12 h) \lxE U=> Ox= 0

16 b) x = 4 => x = 16 2 c) x = 16 => x = -4 2 d) x = 16 => x = 4 =>

=

2

11. Considerando

0

conjunto A = {1, 3, 5, 6, 7, 9}, identifique as senten9as verdadeiras.

a) \Ix E A => x e numero fmpar' b) 31xE Alxe par

c) 3x E A Ix e divisor de 9 d) }XE A Ix> 10

7. Subconjuntos Considere os conjuntos A = (2,3,5} e B = 11,2,3,4,5,6, 7}. Observe que todo elemento de A e tam bern elemeoto de B. Nessas condi AcC

51. Dados os conjuntos A e B, assinale as proposit;:6es falsas. d) 3A IA U B = A e) VA, VB, A - B c A f) Cu(A n B) = CuA n CuB

a) Se A U B = B, entao A C B b) Se A c B, entao CBA = A - B c) VA, VB, (A n B) C A

52. Dados os conjuntos A, Be C, nao-vazios, encontre as proposit;:6es que sao verdadeiras.

a)

x EO A

e

x EO B

x EO (A

=>

n

d) x EO A => x EO A . e) x EO (A U B) => x EO A ou x EO B. f) Se A C B, entao x EO Be x (/. A.

B).

b) x EO A ex(/. B => x EO (A U B). c) x EO (A - B) => x EO A ex(/. B.

53. Nas sentent;:as abaixo, assinale V para as sentent;:as verdadeiras e F para as falsas.

a) {2} C {2, 3}

d) 2 EO {{2}, {3}, (2, 3)} e) 2 C {2, 3}

b) {2} EO {{2}, {3}, (2, 3)} c) 0 C {2}

54. Dados os conjuntos A a) CAC

=

f)

{2, 3} C ({2, 3)}

{1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6} e C = {4, 5}, pede-se:

b) (A - B) U C

n

c) A - (B

C)

d) (A U B) - (A

n

B)

55. Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}}, B = {1, 2, {1}, {2}}, pede-se: a) A U B

b) A

56. Sabendo que M

=

n B

c) A - B

{2, 3, 4, 5, 6}, M U N

=

d) B - A

{2, 3, 4, 5, 6} e M

n

N = {2, 3, 4}, determine 0 con-

junto N.

57. Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A

58. 0 conjunto das partes de um conjunto A

n

B = {5, 6}, determine 0 conjunto B.

e indicado por P(A). Se A =

{s, a, I, V, e}, quantos elemen-

tos tem P(A)?

59. Dados os conjuntos A (A U B) - (A

60. Sendo A

n

=

{n,

U,

m, e, r, o} e B

=

{z, e, r, a}, quantos sao os subconjuntos de

B)?

= {1, 3} e B = {2, 3}, determine 0 numero de elementos de P(A)

n

P(B).

61. Sendo P(A) 0 conjunto das partes do conjunto A, quantos sao os elementos de P(P(0))? 62. Dados os conjuntos A, Be A

n

°

B, com 30, 50 e 1 elementos, respectivamente, quantos elementos

tem 0 conjunto A U B?

63. Numa escola, a area de ciencias exatas tem 16 professores, sendo que 6 leeionam apenas matema tica, 5 apenas ffsica e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matematica e ffsica. Quantos sao os professores que lecionam matematica e ffsica?

19

64. Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de refor O. IR tal que a . b < O. IR+ tal que a = b. IR tal que a> b.

38

e) 7,26

+ q)

e igual a:

d) 69

RELEMBRANDO CONCEITOS

_

Conjunto dos nluneros naturais

IN

=

{O, 1,2,3, ... 1

Conjunto dos numeros inteiros

7L = {... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... j Conjunto dos numeros racionais

~

=

GI = : ' x

com

p E 7L e

q E 7L*}

Sao numeros racionais: • • • •

todo todo todo todo

numero numero numero nllmero

inteiro; fracionario; decimal exato; decimal peri6dico.

Conjunto dos numeros irracionais Sao numeros irracionais: • todo numero decimal nao-exato e nao-peri6dico; • toda raiz nao-exata. Conjunto dos numeros reais IR = {x Ix

e racional ou x e irracional j

Intervalos reais Intervalo Intervalo Intervalo Intervalo

fechado [a, b] aberto la, b[ aberto a direita [a, b[ aberto a esquerda la, b]

EXERCiclOS COMPLEMENTARES 30. Escreva na forma fracionaria: a) 0,25 b) 0,2525 ...

e) 1,222... f) 1,022 2 ...

c) 0,2555 ... d) 1,2

31. Escreva na forma de radical: 3

32. Calcule

0

c)

42

e)

(~

f)

(2

valor das potencias: 1

a) 5-2

c)

1

1

3

b) 6 2

a) 58

4 -2

d) 9 3

r

1

b) 64 3

2

d) (0,2r

37

+ "\5)0

33. Calcule 0 valor das expressoes: a)

~1-(~ Y

b)

~1-0,555 ...

c)

8+ : (

d) 80,666...

e) (5 f)

r +)+ +r

~

cw;=;r -( ~ r

g)

1

+ 90,5 . (

34. Sendo a e b numeros reais nao-nulos, qual

)2

~8 + f15 . ~8 - f15

2

• (

+ 5 ) . (5-5) + (5 + 2

0 conjunto de valores que podemos obter para

_. jaf a + TbT b ? .

a expressao.

35. Dados A = [-4,5], B = [-2, 6[ e C = [-3,8), determine: b)An B

a) AU B

c) (A

n C) U B

d) (A

n

B)

n

e) A - B

C

36. Sabendo que x 2 = 91 4 e y3 = 91 6, calcule (xy) 10, com x> O· e y> O.

p2 + 3 37. Determine os tn3s menores valores naturais de p, de modo que a expressao - - - represente um p- 2 numero inteiro. 38. (EsPCEx) Simplifique: a)

(~4+

7

+~4--fi)2

b) 3,818 1 ... : 2,454 5 ...

39. (UFSC) Dados os conjuntos A = {XE 1:11 < x,,;;; 17), B = {XE IN Ixe imparl e C = {XE 1R19,,;;; x,,;;; 18}, determine a soma dos elementos que formam 0 conjunto (A

n

B) - C.

40. (Fuvest-SP) Encontre todos os conjuntos de tres numeros inteiros consecutivos cuja soma e igual ao seu produto.

TESTES

_

41. (U. Cat61ica de Salvador-SA) Efetuando-se 0,35' 3 - 0,648 : 0,2, obtem-se: a) -31,25

b) -2,19

42. (UFCE) Se P = 8·

3

4

c) 0,726

_ -J12

e q

2 b) 65

a) 63

para para para para para

todo todo todo todo todo

a, a, a, a, a,

b E bE bE bE bE

,1\ 326

,entao 2.J3(p

c) 67

43. (U. F. Fluminense-RJ) A desigualdade a) b) c) d) e)

= 3m - 2·

d) 2,01

~

<

'* '*

IR+ tal que a b. IR tal que a b, a . b > O. IR tal que a . b < O. IR+ tal que a = b. IR tal que a > b.

38

~ 2

e) 7,26

+ q)

e igual a:

d) 69

e verdadeira:

4-J3

44. (PUC-MG) Se a = - - e b =

,"2

a)

b)

16 - 3 16 + 3

_

3

~

entao a - b

,3 - ,2

e igual a:

-J3 --J2 "/3 + \2

c)

d)

* 0, e a * b, a expressao

45. (Unifor-CE) Se a e b sao numeros reais positivos, tais que a . b

a- 1 -b- 1

- - - - - e equivalente a: 1

...1. 2

a

- b

-2

a)

~+~

c)

b)

.fa + ,b

d)

a

b

46. (FEI-SP) A frayao

a) 0

a2

+ ab + b 2

'

-Ja+.Jb a b

e)

-Ja + ,iJ b+a

,8 +,b ab

quando a = 93 e b = 92,

e igual a: e)

d) 1

b) 185

185

2

47. (UFSE) Se

A

A = {XIX = ~ e n EIN}

e

B= {X IX=

__ n_ e

n+2

n

EIN-} ,entao 0conjunto

n B e igual a: 1

1

a) 0

d)

2'3

b) ~:

e)

{X!x=-_1- enE }

c)

1

2

48. (Fuvest-SP) Os numeros possivel de ~ y

a)

n+2

1 6

X

e y sao tais que 5 ,,:;;

b)

1

1

3

d)

1 2

e) 1

< a < 0 < b < 1. Entao:

49. (Osec-SP) Os numeros a e b sao reais e -1 a) -1 < ab b) ab

2x +1 x-3

~

=>

3x - 2 _ 1 ~ x-3

°

0, com x - 3 oF 0.

=>

3x - 2 - (x - 3) ~ x-3 Fazendof(x) = 2x

Zero de f(x)

°

=>

3x - 2 - x

+3

-------~

x - 3

+ 1 eg(x)

=

°

x - 3, temos:

Zero deg(x)

1 2x+1=0=>x=-2

x-3=0

=>

x=3

Sinais de g(x)

Sinais de f(x)

x

92

=>

Quadro de sinais -I

"2

3

•

f(x)

r

+

g(x)

+

f(x) g(x)

+

+

•

6

-I

3

"2

Como queremos

f(x) g(x)

• • •

+

~0

,

Solu~ao

•

com g(x) =F 0, temos:

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

25. Resolva as seguintes inequar;:6es no conjunto IR.

x-3

a) - - > 0

c)

x+2

b)

3x+9 ~O x-4

6x-12 x

>0

3x-4

d) - - < 2

5-2x

e)

--~1

f)

~X + 3 5

1

46. (F. Oswaldo Cruz-SP) Resolva a inequa 7} e) {x E IR I x < 5}

a conjunto solU9ao da inequa98.0

b) ]- 00,

,3

d) {x E IR; x,;;; --;

a conjunto solu9ao de

a) ]-00, -1]

e:

c) {x E IR; -

a) {x E IR I x> 7} b) {x E IR I x> 7 e x"* 5} c) {x E IR I x < -3 ou x> 5}

56. (Unirio)

x> -2

,2 + x ,3 - x

= \

,2 ,;;; x < \3}

b) {XE IR; ,2- < x<

3-x \ x-2

{x_ 2 e 0 conjunto dos numeros reais x tais que:

x,;;; -3 ou x> 2 b) x < -2 ou x ~ 3 c) -2';;; x,;;; 3

{x E IR; -

=

{X+3-

=

a)

a)

a e:

d) S = 0

a) IR

54. (UFCE)

2x-4 x-2

--- ~

e) S = {x E IR Ix ~ 2}

52. (U. Cat61ica de Salvador-SA)

53. (PUC-MG)

e) 5

d) 4

a conjunto solU9ao da inequa9ao

a) S = {x E IR IX? 2} b) S = {x E IR Ix oF 2} c) S = {IR}

a valor de k para que 0 grafico de t

t

98

~

1

e 0 seguinte intervalo:

,3)

e:

58. (F. Santo Andre-SP) 0 grafico mostra como 0 dinheiro gasto (Y), por uma empresa, na produ-

Y (RS)

gao de 61eo varia com a quantidade de 61eo produzida (x). Assim, podemos afirmar que:

190

a) quando a empresa nao produz nada, nao gasta nada. b) para produzir 2e de 61eo a empresa gasta R$ 76,00.

c) para produzir 1

e de

20

o

5

x (e)

61eo a empresa gasta

R$ 54,00.

d) se a empresa gasta R 170,00, entao ela produz 5e de 6leo. e) para fabricar 0 terceiro litro de 6leo, a empresa gasta menos do que para fabricar 0 quinto litro.

59. (Osec-SP) Dada a inequagao (x - 2)7. (x - 10)4. (x a) {x E IR 1 x < -5} b) {x E IR < x < 10} c) {x E IR -5 < x < 2}

12 I

+ 5)3 <

0, 0 conjunto solugao e:

d) {x E IR 1-5 < x < 10} e) 0

60. (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taxfmetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximetrica) e mais 0,2 UT por quil6metro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, 0 taxfmetro registrou 8,2 UT, 0 total de quil6metros percorridos foi: a) 15,5

b) 21

c) 25,5

99

d) 27

e) 32,5

Caplt 10

Fun O.

= 5,

entao ((x)

= O.

58. (U. Cat6lica de Salvador-SA) Quantos numeros inteiros e estritamente positivos satisfazem a ine_ x+2 x-2 quayao - - < - - ? x-2 x+2 a) Nenhum

b) Um

c) Dois

x

- Intelra . . d a Inequa IR definida por:

+ I, se x> 0 I, se -2 < x ~ 0 - x-I, se x ~ - 2

X

f(x)

=

{

construir

0

grafico e dar

0

conjunto imagem de f

SolUfiio

Vamos construir separadamente

f(x) = x + 1 (x> 0)

0

grafico de cada sentens:a:

f(x)

f(x) = 1 (-2 < x ~ 0)

(x

~

-x-1 -2)

=

y

~-----.--_

•

0

x

-2

_I

0

124

y

... _---x

-2

-I",~

x

Reunindo os tres graficos, obteremos

a conjunto imagem

e Im(f)

Exemplo 3 Dada a func;:ao f: IR

-+

x2, se x >

0

f(x)

=

{

construir

= (y

gd.fico de f:

0

-2

_I

0

E IR Iy

~

11.

x

IR definida por:

-1, se -2 ~ x ~ 0 - x - 2, se x < - 2 grafico, dar

0

0

dominio e

conju11to imagem de f

0

SolUfiio

Vamos construir separadamente f(x) = x (x> 0)

2

0

grafico de cada sentenc;:a: f(x)

=

-1

f(x) = -x - 2 (x < -2)

(-2~x~0)

.. ·· ·· ... ..o 4

•

2

x

2

-2

_I

0

x

-2 ",.1

x

0

-I

'.

Reunindo os tres graficos, obteremos

0

grafico de f:

4

a dominio e D(f) = IR. a conjunto imagem e Im(f)

125

=

IR: U (-1).

EXERCiclOS PROPOSTOS 1. Construa

a) f (x)

=

0

_

grcHico e de 0 conjunto imagem das seguintes func;:oes de IR em IR:

{X + 1, se x ;;. 0

d) f (x) =

1, se x < 0

2X - 2, se x;;. 0 -2, se -2 < x < 0 { -2x - 6, se x ~ -2

-4,sex~ -2oux;;.2 -x 2 + 4, se -2 < x < 2

b) f (x) = {-2X + 4, se x ~ 2 x-2, se x> 2

e) fIx) ={x

2

2

c) f(X)={x ,sex;;.o -3x, se x< 0

2. Dada a func;:ao real f (x) =

- x + 3, se x > 1 2, se -1 ~ x ~ 1 ,pede-se: { x + 3, se x < -1

a) f(5)

3.

c) f(-2)

b) f(O)

Fun~ao

modular

Chama-se fun~o modular a fun~ao de IR em IR definida 'por f (x) se 0 se 0 defim~ao, Ix I = ' 0 ' temos: f(x) = Ix I = ' . - x, se x < - x, se x < 0

.

A

{x x;;.

fun~ao

modular

{x x;;.

= Ix I.

Como, por

e, portanto, definida por duas senten~as: f(x) = x, se x;;. 0 e f(x) = -x, se x < 0

Vamos construir no plano cartesiano f(x)=x, sex;;' 0

I

0

I

=

Ix I· f(x)=I·'\C1

y

2

y

x

x

,

a grafico e uma semi-reta fechada com origem no ponto 0(0, 0). Ela e bissetriz do 1 Q quadrante. a a

fun~ao f(x)

f(x)=-x, scx

5

Soluyao ou

De acordo com Pl> temos:

x-2 ---;;:.1 fi\ 2x + 3 \.V

x-2

@

--~-1 2x+ 3

x-2

x-2 -1;;:.0 2x+ 3

---+1~0

2x+ 3 x - 2 + 2x + 3

x - 2 - 2x - 3

------;;:.o

------~o

2x + 3

2x+ 3

3x + 1

-x -5

---;;:.0

---~O

2x+ 3

2x+ 3

Estudando separadamente os sinais das funC;6esf(x) = -x - 5 eg(x) = 2x + 3, temos:

Raiz def(x)

Estudando separadamente os sinais das func;6es h(x) = 3x + 1 eg(x) = 2x + 3, temos:

Raiz de h(x)

Raiz deg(x)

-x - 5 = 0 -x = 5 x = -5

3x + 1 = 0 3x = -1

2x + 3 = 0 2x = -3 x=

Sinal def(x)

-

Raiz deg(x)

3 2

x=

Sinal deg(x)

-

2x + 3 = 0 2x = -3

..,

1 3

.:>

x=

Sinal de h(x)

2

Sinal de g(x)

~ ~ ~ ~ -5

e

A soluc;ao de sinais abaixo:

e

x

-t

e

x

CD e mostrada no quadro de

-+

A soluc;ao de sinais abaixo:

2

+ + +

2:

"3

r

r +

+

I - - Solu~ao de 'I'

-3 :

2

6

+ +

-I:

"3~

+

- - Solu~ao de

137

x

-I

2

• • •

-t

@ e mostrada no quadro de

-3

-3

-3:

e

x

• • • •

1!:'

Efetuando a uniiio, temos:

@ (Du@

Logo, S

{XEIRI-S

=

Exemplo 5 Resolver a inequal,:ao

-I

-3 -5

2

3"

•

~

•

• •

II

0 2

-3

-5

-I

3"

lu~ao

5

~x< -~ ou -~ :}.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

25. Resolva as inequayoes: a)

3x 2 x-3

1

3x 2 - -- 1 >3

b)

--+ ; ;1. 2

1

2x + 1

26. Resolva as inequayoes: a)

-41

x - x.

40. (FEI-SP) Construa

0 gratico da funyao

41. Esboce 0 gratico da funyao f (x) =

11 -

f (x) =

x

+ Ix I

Ixl

x 2 1 no intervalo - 2 ~ x ~ 2.

140

TESTES

_

42. (PUC/Campinas-SP) Na fabrica9ao de ate 500 unidades por mes de certo produto, 0 gasto de uma enpresa e composto por um valor fixe de 750 d61ares mais um custo, por unidade, de 5,50 d6lares. Quando a produ9ao supera 500 unidades, 0 valor fixe nao muda, mas 0 custo por unidade cai para 4,(,0 d6lares. A rela9ao entre 0 gasto mensal G da empresa e 0 numero u de unidades produzidas no mes e dada por: a) {G(U)

G(u)

= 750 + 5,50, se 0 ,,;;; u,,;;; 500 =

750

+ 4,00,

d) G(u) = 750

+

5,50

+

se u> 500 e) fG(u) = 750

b) {G(U) = 750 + 5,50' u, se u,,;;; 500 G(u) = 4,00 . u, se U> 500

lG(u) = 750

4,00

'U,

se

2

U~

0

+ 5,50' u, se 0 ,,;;; u,,;;; 500 + 4,00' u, se U> 500

= 750 + 5,50' u, se 0,,;;; u,,;;; 500 G(u) = 4,00' u, se U> 500

c) {G(U)

43. (Unifor-CE) Relativamente

a fun9ao f, de lR em lR, definida por f (x) = Ix - 1 I + 1, e correto afirmar que:

a) e crescente, qualquer que seja x. b) e decrescente, se x> 1. c) tem um valor minimo para x = 1.

d) tem um valor maximo para x = 1. e) admite raizes reais.

44. (F. Ibero-Americana-SP) Considere a equa9ao Ixl = x - 6. Com respeito 9ao, podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

a a a a a

equa9ao nao tem solu9ao. solU9ao pertence ao intervalo fechado [1, 2]. solu9ao pertence ao intervalo fechado [-2, -1]. solU9ao pertence ao intervalo aberto ]-1,1[. solu9ao pertence ao complementar da uniao dos intervalos anteriores.

45. (PUC-MG) A soma das raizes da equa9ao

a) -2

12x -

1 I = 3 e igual a:

c) 0

b) -1

d) 1

46. (Mackenzie-SP) 0 numero de solU90es reais da equa9ao a) 3 47.

0 a)

b) 4

conjunto solU9ao em lR da equa9ao {- 3,.J3}

b)

{-,'3,

-1, 1,

e) 2

4 e:

-

,'3}

a) x< 2 b) x> -1

..1-

d) 1

12x2 - 51 = x 2

e) 2

14 - ~71 = 4 e:

c) 0

c) {-1,1}

48. (FEI-SP) Os valores reais de x, que satisfazem

c)

a solu9ao real dessa equa-

d) 0

a inequa9ao 12x - 1 I < 3, sao tais que: d)

x> 2

e)-1 3

52. (UECE) Sejam Z 0 conjunto dos numeros inteiros, M = {x E Z 112x - 31 = Ix - 21}, p= {XE zllx+ 21

= 13x- 41}, e

a) {1, 2, 4}

T= {XE zllx- 31 ~ 2}. Oconjunto (T- M)

b) {2, 4, 5}

c) {3, 4, 5}

53. (UFRN) 0 conjunto soluyao de 1 < Ix - 1 I < 2 a) -1 < x < 0 ou 2 < x < 3 b) -1 < x < 0 c) x < 0 ou x> 2

n (T- P)

e:

d) {1, 2, 3}

e 0 conjunto dos numeros reais x tais que: d) -1 < x < 3 e) 0 < x < 2

54. (UFPE) Indique qual das funyoes de IR em IR pode ser representada pelo grafico abaixo. a) Y=2+M

b) C)

y=2+ Ixl

2

2 + x, se x > 0 y= { 2-x,sex~O

d) y

=3

-

Ix -

1I

2-x,sex:;;.o

e ) y= { 2+x,sex => =>

y= 1 y= 3 y=9

"

Assintota

Observe que a funs;ao

e crescente.

Observe que, quanta menor for 0 valor de x, mais os pontos do grafico da funs;ao se aproximam da reta suporte do eixo x, sem no entanto atingi-la. Quando isso ocorre, a reta e chamada assintota a curva. Exemplo 2

y

= f(x) = ( ~

r(

Agora a base e

~ .) 147

Procedendo do mesmo modo que no exemplo anterior, temos:

Tabela x

v

(x, 1')

-2

9

(-2,9)

x=-2=>y= ( 13

)-2

=>y=3 2 =>y=9

-1

3

(-1,3)

x=-l=>y= ( 13

)-1

=>y=3 1 =>y=3

0

1

(0, 1)

1

-

2

-

x=O=>y= ( 13

)0

=>y=l

)1

=>y=

1 3

(1,

~)

x=l=>y= ( 13

1 9

(2,

~)

x=2

y=

=>

(~

y

1

3 =>

y=

~

=_.

Grmco

- - - 9

r=(-t)'

8

Observe que a fim -y = -4 Como y = 2 x => 2' = 4 => 2' = 2 2

=>

Y= 4

=> X

= 2.

~

mesma base

o conjunto solu 5 1xI = 51 => Ixl = 1 => x= -1 oux= l. o conjunto solu 0)

l -

3y = 52 2

Voltando em 2'x=y~

CD ' vem:

~ 2l- 3y -

104 = 0

~ y=

8 au y

= -13 2

(Esse valor nao serve.)

Q) :

2-"=8

~

2-"=2 3

o conjunto soluc;:ao e S =

~

x=3

13}.

EXERCiclO PROPOSTO 14. Resolva as equac;:oes:

a) 2 . 3x -

1 =

9x

-

7

s. Inequa~oes

b) 5

+ 25 x

= 6 . -5

x

exponenciais

Considere a inequac;:ao 2'x > 8. Ne!a, a variave! x aparece como expoente. Uma inequac;:ao em que isso ocorre e chamada inequac;:ao exponencial. Veja outros exemplos de inequac;:oes exponenciais: b)2-"-1~4 c) 3-"-2 -1.

EXERCiclO PROPOSTO 16. Resolva as inequa90es:

7 2

d) (0,1)X < 100

",:;-

154

Exemplo 3 Resolver a inequas:ao

C0,5 Y ,; :; 8.

Solurao

vo:s

Temos:

= (

~ )+ = 2(-+).

Entao:

(2

-+r ,; :; 2 ~ 2- ~ ,; :; 2 3

3.

Como as bases sao iguais e maiores que 1, temos: -x ,;;:;; 3 ~ -x';;:;; 9 ~ x ~ -9

3 Observa~o: lembre-se de que, ao multiplicar os dois membros de uma inequa 9

b)

~ 1, entao am < an.

= 2 x, pede-se:

f(3)

c) 0 valor de x para que se tenha f (x) = 1

b) f(-1)

d)

23. Dadas as fun y6es f (x) = a) f (x)

=

g(x)

b) f (x) < g(x)

(+y2 -7

e g(x)

=

(

0

valor de x para que se tenha f (x) =

+yx -1,

c) f (x)

157

determine x real de modo que:

> g(x)

d) f(x) =

(

1 16

1 -3

)11

24. Resolva as equag5es, considerando U = IR. a)

(+Y=

b) 2 c)

3x

-

1

(.J3)

= (

x+2

9-

h) (3 X

2

+Y

t- 3 =

1

9

(0,7)2x2 = (

i)

Y-

1~

Sx

27

=

4/

x d) 5· 2 = 40

I)

e) 3. 5 2x + 3 = 15 3 102x + 3 =100 f)

m) 10 . (0,2)X = 2 . (0,2)3

3x-1

g)

(0,5)

-4-

25. Determine

n) 5,(

=~

0) (0,1)

8

0

(0,1(2_ X =,110 x - 1

~

Y

=2.(

~

y-x

3x-1..

3 = 1001-2X

= IR.

conjunto solugao das equag5es, sendo U

e) 5 . 2 x + 2 - 3 . 2 x - 2 - 308 = 0 f) 2· 3 x + 5 . 3 x - 1 = 4 . 3 x + 1 - 75 g)2 x +4 x =20

a) 2 x + 2 + 2 x - 3 = 132 b) 3 x + 2 - 3 x = 24 c) 5 x + 1 +5 x - 2 =630 d) 2 x + 1 _ 2 2 - x = _ 7

h) 9 x - 3 x + 2 = 3 x - 9

26. Resolva as inequag5es no conjunto universe U = IR. x a) 10 - 1 .;; 0

d) (.J3)x-s> 9

b)

(~

r ~y

x e) 2 -

c)

(22

Y+1 0 2x> -31 x> 2

restri~ao:

0

=)

=)

defini~ao, temos:

,-------A lOg3 (2x+ 31) = 4

=)

2x+ 31 = 3 4

Como esse valor satisfaz a

restri~ao

=)

2x+ 31 = 81

x= 25

=

125)

7x) = 3 x 2 - 7x > 0 x < 0 ou x> 7 A defini~ao de logaritmos nos garante que: lOg2 (x 2 - 7x) = 3 x 2 - 7x = 2 3 x 2 - 7x = 8 x=8 -

Restri~ao:

=)

=)

=)

Como -1 e 8 satisfazem a

restri~ao,

temos:

5=1-1,81 c) (lOg4

=)

imposta, temos: 5

b) lOg2 (x 2

2x= 50

=)

X)2 -

Restri~ao:

4 lOg4 x> 0

X

+3

=

0

164

=)

x2

-

7x - 8 = 0

=)

x = -lou

Fazendo log4

X

=

Y

CD ' podemos escrever: y2 - 4y + 3

=

0

Resolvendo essa eguac;:ao, encontramos y = 1 ou Y = 3. Voltando em Para y = 1, temos: log4 x = 1 => x = 4. Para y = 3, temos: log4 x = 3 => x = 4 3 => X = 64. Como os dois valores de x encontrados satisfazem a restric;:ao, temos:

CD :

s= d) log2 [2 + log2 (x - 1)]

=

1

I x-I> 0 I

Restric;:oes:

14,64}

12 + log2 (x -

e

CD

-

Temos: log2 [2 =>

x-I = 2 0

x-I = 1

®

=>

2 + log2 (x - 1) = 2 1

~

--

log2 (x - 1) = 0

=>

=>

~

x = 2.

=>

Verificac;:ao das restric;:oes para x

CD

I

@

+ log2 (x - 1)] = 1 -- --" =>

1) > 0

=

2:

x-1>O 2 - 1 > 0 (verdadeiro) 2 + log2 (x - 1) > 0 2 + log2 (2 - 1) > 0 2 + log2 1 > 0 2 + 0 > 0 (verdadeiro) Logo, 2 e raiz e 0 conjunto soluc;:ao

e S = Pl.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

6. Use a definiyao de logaritmos para calcular 0 valor de x nos seguintes casos: 1 e) log 3 x = 4" 2

a) log2 x = 6

b) log

1

X

=4

f) log

c) log'2

X =

+

3) = 1 1 '2

I) log10 (x

2

+ 3x)

m) log 1 (x 2

8x

-

2' 7. Determine

0

conjunto soluyao das equayoes:

a

a) (log 2 X)2 - 5 log2 X + 4 = b) (log3 X)2 - 2 log3 X - 3 = 0

+ 52) = 2

2

h) 10 94 (x - 1) =

d) log 0,01 X = -2

12x

-

1

g) log2 (2x

6

2

5 X = --

8

3

i) logs (x

a

c) (Iog a X)2 - 2 loga x = d) 16 (log 2 x)2 - 17 log2 x

165

+1

=

0

= 1

+ 14)

=

-1

8. Resolva as equac;:6es: a) 1093 [3

+ 1092 (x +

1)] = 1

d) 109..l 2

[2 + 109..l (x + +)] -2

e) 1092 {1093 [2 c) 1094 [15

+ 1092

(x - 3)]

=

2

f)

=

2

+ 1094 (x -

4)]} = 0

1092 [1093 (x + 21)] = 2

Exemplo 3 Resolver as equac;:6es: a) logx 10 = 3

b) log(x_ 2) 9 = 2

c) log(x+

5)

64 = 3

SolUfiio

a) logx 10 = 3 Por definic;:ao, a base de urn logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Devemos entao impor as seguintes restric;:6es:

I-x->-O---'I e I

x '1= 1

® ~

Temos: logx 10 = 3

=>

'-.---"

x 3 = 10

=>

x =

V!O.

Verificac;:ao das restric;:6es:

CD ®

VlO VlO

> 0 (VerdadeirO)} '1= 1 (verdadeiro)

o conjunto soluc;:ao e

S =

Ir-

->-0---'1

X- - -2

3 r;-;:;-

\110

e raiz.

{V!O I.

b) log(x_ 2) 9 = 2 Restric;:6es:

=>

e

I

x - 2 '1= 1

@ ~

Temos: log(x-2) 9 = 2

=>

(x - 2)2 = 9 => (x - 2)2 = 3 2

~

Como os expoentes sao iguais e pares, devemos ter:

x-2=3=>x=5 ou

x-2=-3=>x=-1

Verificac;:ao das restric;:6es: Para x = -1 1 - 2 > 0 (falso) => -1 nao

CD -

Para x = 5 5 - 2 > 0 (verdadeiro) }

CD

@ 5 - 2 '1= 1 (verdadeiro) o conjullto soluc;:ao e S = (5}.

=>

5

e raiz. e raiz. 166

c)

109(X+5)

64

=3

Ix+5>

Restri'roes:

0

I

I

e

x + 5 =/= 1

@ ~~

Temos: log~ 64 = ~ ~ (x + 5)3 = 64 ~ (x ~I'-

+ 5)3 = 4 3.

_

Como os expoentes sao iguais e impares, teremos:

x+5=4

~

x=-I

Verifica'rao das restri'roes:

CD -1 + 5 > 0 (Verdadeiro)} ® - 1 + 5 =/= 1 (verdadeiro) o conjunto solu'rao e S =

~

.

e raiz.

-1

{- 11.

EXERCiclO PROPOSTO 9. Resolva as equa 0

I ' I

I

x - 3> 0

e

I

x - 3 =/= 1

@ Temos: log(.,,_ x = 5.

3)

(x - 1) = 2 ~ (x - 3)2 = (x - 1) ~ x 2

Verifica'rao das restri'roes: Para x = 2

CD 2 ®2Para x

CD ® @y

=

1 > 0 (verdadeiro) } 3 > 0 (falso) 5

5 - 1 > 0 (verdadeiro) 5 - 3 > 0 (verdadeiro)

~

J

2 nao

~

5

e raiz.

e raiz.

5 - 3 =/= 1 (verdadeiro)

o conjunto solu'rao e S =

{5).

167

-

7x

+ 10 = 0

~ x

= 2 ou

EXERCiclO PROPOSTO 10. Resolva as equac;:6es: a) 109x (5x - 8) = 1 b) 109x (13x - 40) = 2

c) 109(3x _ 10) (x d) 109(x- 3) (2x

2

-

+

10x + 20) = 1 2) = 2

3. Propriedades dos logaritmos Sejarn a, bee nurneros reais positivos, com a oF 1, e x urn nurnero real qualquer. Da definir,:ao de logaritmos decorrem as seguintes propriedades: Primeira propriedade

IlOgn 1

=

0, pois aO

IlOgn a

= 1, pois

=

1

=

a

Segunda propriedade

a1

Terceira propriedade

De fata, fazendo logn b = x, ternos aX = b. Substituindo x por log" b em aX = b, vern: a log " Assirn, temos:

b =

b.

c)

Fazendo uso dessa terceira propriedade, resolverernos

0

(

-

Iog+ 2

_

1

2

)

2

exernplo a seguir.

Exemplo Calcular 0 valor de: a) 2 3 + log2 5 SolUfiio a) 2 3 + log2 5 = 2 3 .

i

og 2 5

2

b) 52 - log s 4 = _5__

= 8 . 5 = 40

=

Slogs 4

c)

7 2 ' log7 3

=

7(log 7 3)' 2

=

25 4 (iog73)2

= 32 = 9

EXERCiclOS PROPOSTOS 11. Calcule

0

a) 109121

_

valor das express6es:

b) 1098 8

c) 5 109 5

8

168

12. Determine 0 valor de a) x = b) x=

510954

e) x f) x

d) x= 23-10925

10109102

= a 2 + 109a 5 =

g) x = 7'0 97 20 - 1097 2 h) x= 310935.10956

= 102.109103 = 8 2 . 1098 4

IR: , com a*,1 e b *' 1, determine N :

13. Sendo a, b E a) N b) N

x nos seguintes casos: c) X = 3 2 + 1093 4

a l09a 3

+

c) N d) N

bl09b 5

= bl09b 10. 109 10 3 =

al09a b

+ blogb a

Quarta propriedade Ilog ll b = logll

C

~

b= c

I

Fazendo logll b = x, podemos escrever: logll b Entao, pela

defini~ao

fun~ao

C = X

de logaritmos: aX = b e

pois a

logll

=

exponencial

a~ =

c, portanto b = c,

e injetora.

Exemplo 1 Fazendo uso da quarta propriedade dos logaritmos, determinar logs (2x - 3) = logs (x + 1).

0

valor de x na

senten~a

SoluFiio . Segundo a defini~ao de logaritmos, existem inicialmente algumas restri 0

2x> 3

~

x>

3 2

e x+1>O

I

~ x>-l

Assim sendo, a restri

3 2

A quarta propriedade nos garante que: 2x - 3 = x + 1

Como

0

valor 4 satisfaz

Xl -

2 >

defini~ao

°I'

x = 4

a restri~ao imposta, a solu~ao e x

Exemplo 2 Resolver a equa~ao logaritmica logs (x 2 SolUFiio Conforme a

~

-

2)

=

=

4.

logs (-x), sendo

de logaritmos, devemos impor as seguintes

ou seja, x < -

v2

ou x >

'V

2 ,

e

-x>OI,ouseja,x b· c = aX + Y ~

Aplicando novamente a definir;ao de logaritmo, temos loga (b' c) IlOga (b . c)

=

=

+ y. Portanto:

x

I

loga b + loga c

Observa~oes

1. Indicaremos loga (b . c) tambem por loga b· c. 2. A propriedade vista e generalizada para um produto de mais de dois fatores positivos. Em resumo, se todos os fatores de um produto forem positivos, temos que:

o logaritmo de um produto e igual a soma dos logaritmos dos fatores (na mesma base). Como exemplo, vamos usar essa propriedade na resolw;ao dos exercicios seguintes. Exemplo 1 Aplicar a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos: b) log2 2 . 7· 10

a) log3 5 . 4 SolUfiio

a) log3 5 . 4

+ log34

log3 5

=

b) log2 2· 7· 10

=

+ log2 7 + 10g2 10

log2 2

Exemplo 2 Reduzir as seguintes expressoes a urn Unico logaritmo: a) logs 3

+ logs 4

b) log -I 5 + log I 2 + log -I 3 2

2

2

SolUfiio

a) logs 3

+ logs 4

b) log I 5 2

+ log I 2 + log -I 3

=

logs 3 . 4

2

=

=

2

logs 12

log I 5 . 2 . 3 2

=

log I 30 2

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

16. Aplique a propriedade do logaritmo de um produto nos seguintes casos: b)

a) log3 10· 9

log4

2 3 ' 5·7

c) log 3· a· b (a > 0 e b> 0)

17. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:

+

a) log3 2 b) log4

3

5

log3 5

+

log4

+

c) log (x

log3 4

10

d) logs (x

3

18. Determine a expressao P cujo logaritmo na base 3 19. Escreva a expressao E cujo logaritmo decimal

20. Se log a

=

m

+n

e log b

+

=

5)

+

e log3 P =

e log E =

log (x - 5)

+

+

,para x

logs (x - 3)

log3 5

log 6

m - n, qual 0 valor de log ab?

172

1)

+

+ log3 2 +

log (2x

+

> 5.

,para x> 3. log3 h

,para h

1) , para x> -

1 2

> O.

21. Se logs a

m e logs b

=

=

n, calcule logs

abo

22. Sabendo que log a + log b = 3, calcule abo 23. Ca'cule a e b sabendo que a + b = 7, log a + log b = 1 e a> b.

Exemplo 3 Resolver a equac;:ao log3 (2x + 1) + log3 (x - 1)

=

3.

Solurao

I 2x + 1 > 0 I CD

Restric;:6es:

I

e

x-I> 0

I@

Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto, temos: log3 (2x

=>

2x 2

-

+ 1) + log3 (x - 1) = 3 x-I = 27

=>

2x 2

-

=>

X -

log3 (2x

+ l)(x - 1) =,}

28 = 0

=> Xl

=4 e

X2

=>

(2x

+ l)(x - 1) = 27

=>

= -7 2

Verificac;:ao das restric;:6es: Para x

=

4

CD 2 . 4 + 1 > 0 (Verdadeiro)} @

4

=>

4 - 1 > 0 (verdadeiro)

Para x

CD

e raiz.

= --7 2

2 ( -; )

+ 1 > 0 (falso)

o conjunto soluc;:ao e S =

-7 _ , . nao e raIz. 2

=>

(4}.

EXERCiclO PROPOSTO 24. Resolva as equayoes: a) log3 (2x + 7) + log3 (x - 1) = 5 b) log (x + 2) + log (10x + 20) = 3

c) log2 (3x + 1) + log2 (9 - x) = 6 d) log2 X + log2 (x - 6) = 4

Logaritrno de urn quociente Determinemos a,b,cE

IR:

0

valor de log" ~ conhecendo os valores de log" b e de log" c (em que c

ea=l= 1).

Seja log" b = x e log" c = y. Pela definic;:ao de logaritmo, temos: log" b = x

=>

I b = aX I e

CD

log" c = y

=>

I c= a I Y

@ 173

Dividindo

Q) por

®' temos: -

~

b = a x- y c

Aplicando novamente a definic;:ao de logaritmo, temos log" b c

x - y. Portanto:

=

Observa~ao: 0 oposto do logaritmo de urn numero e tambem chamado cologaritmo do nlirnero, ou seja, colog" c = -log" c.

Resumindo, temos que, se em uma divisao

o logaritmo do quociente e igual ritmo do divisor (na mesma base).

0

dividendo e

a diferenc;:a entre 0

0

divisor sao numeros positivos:

logaritmo do dividendo e

0

loga-

Exemplo 1 Aplicar a propriedade do logaritmo de urn quociente nos seguintes casos: b) log ~ 2 2

a) logs

23 = logs 3 -

b) log2

21

c) log6 0,2

c) log60,2

logs 2

= log2 1 - log2 2 = 0 - 1 = -1

= log6 ~ = log6 2 - log6 10 10

Exemplo 2 Reduzir as seguintes expressoes a urn unico logaritmo: a) log? 5 - log? 3

b) logs 3 - logs 10

SolUfiio

a) log? 5 - log? 3

=

log? 5 3

b) log,, 3 - log,, 10

=

3 log., -10

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

25. Aplique a propriedade do logaritmo de um quociente nos seguintes casos: a) log5

8

9

b) log3

a+b·

1

c) log - c -

4 174

(a, b,

C

E IR+)

26. Reduza a um s6 logaritmo as express6es:

c) log4 X - log4 (x + 2) ,para x> O. d) log (x - 2) - log (x + 2) ,para x> 2.

a) log3 12 - log34 b) log 5 - log 2

27. Usando a propriedade do produto e a do quociente, desenvolva 0 segundo membro ate onde for possive!. (Os numeros a, bee sao reais e positivos.) a) Y = log2

Cab

b) logs

a be

c)

Iog

2bc

3".9

28. Reduza as seguintes express6es a um unico logaritmo:

b) log4 X

a) log2 5 + log2 3 - log2 7

+ log4 (x - 1) - log4 (x + 1) ,para x > 1.

29. Determine A sabendo que logaritmo na base 3 e log3 A = log3 20 - log3 6.

30. Determine S em funyao de (cujo logaritmo decimal e dado por log S = log 4 + log 31. Sendo loga b = x, calcule loga

34. Calcule

0

0

+ log (3 - log 3.

1 Ii'

32. Sabendo que log4 a - log4 b = 2, calcule

33. Resolva

'IT

a

b

sistema {a + b = 15 _ log2 a - log2 b - 1 valor de log 365 - log 36,5.

Exemplo 3 Resolver a equac;ao 10g6 (2x + 5) - 10g6 (32x + 20)

= -

1.

Solurio Restric;6es:

2x + 5 > 0

I

e

I 32x + 20 >

0

®

CD

Aplicando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos: 10g6 (2x

+ 5) - 10g6 (32x + 20) = -1

2x + 5 = ~ 6 32x + 20

=>

10

=>

2x + 5 = -1 g6~

32x + 20 = 12x + 30

=>

x =

Verificac;ao das restric;6es:

CD ®

2·

~ +5>

0 (verdadeiro)

32· ~ + 20 > 0 (verdadeiro) 2

}

=>

1

2

o conjunto soluc;ao e S = {~}. 175

e raiz.

1 2

=>

2x + 5 32x + 20

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

35. Resolva as equar;:6es: a) 1093 (5x b) 109s (x 2

+ 7) - 1093 (2x + 5)

=

c) 1093 X - 1093 (x - 2) = -2 d) 109 (2x - 4) - 109 (10x + 30) = -1

1

2x) - 109s (x - 2) = 2

-

36. Usando as propriedades estudadas, resolva as equar;:6es:

a) 1094 (1 - 3x) = 1 - 1094 (x b) 1096 (1

x) + 1096 (x -

+

+

2)

+)

=0

c) 109 4x

+ 109 x

d) 1092 (x

+ 5) + 1092

- 109 (-11 x (x

+

3)

+ 3) =

3

=

0

+ 1092 (x +

2)

Logaritmo de uma potencia Calculemos agora 0 valor de loga b 1fl conhecendo 0 valor de loga b, 0 valor de me sabendo que a, bE IR:, a 1 e m E IR. Sejam loga bill = x e loga b = y. Queremos, portanto, calclliar 0 valor de x. Aplicando a defini 0

I

e

I5 -

x> 0

@

Temos: 2 log3 (x - 1) - log3 (2x - 5) = 1

+ log3 (5 - x).

Como 1 = log3 3, a equac;:ao fica: log3 (x - 1)2 - log3 (2x - 5) = log3 3 (x - 1)2

log3

=>

=

log3 [3(5 - x)]

-

2x + 1

= 15 - 3x

=>

x2

-

2x + 1 = 30x - 6x 2

2x - 5 =>

7x 2

-

47x + 76

=

0

=>

x

=

4 au x

=

19 7

Verificac;:ao das restric;:6es: Para x = 4

CD

4 - 1 > 0 (verdadeiro)

@

2· 4 - 5 > 0 (verdadeiro)

@

5 - 4 > 0 (verdadeiro)

=>

=>

(x - 1)2 2x _ 5 = 3( 5 - x)

=>

~~ 19uais

x2

+ log3 (5 - x)

4

e uma raiz.

178

-

=>

75 + 15x

=>

log 102

Parax= -19 7

19 _ 1 > 0 (verdadeiro) 7

@

2· 19 - 5 > 0 (verdadeiro) 7

@

5 -

~

19 7

e outra raiz.

19 > 0 (verdadeiro) 7

S= {4, 1;}.

o conjunto solus:ao e

EXERCiclO PROPOSTO

_

42. Resolva as equac;:5es:

+ 1) - 1093 (x + 5) = 2 b) 1092(3x-7) - 2Io92(X-1) =-1

a) 2 1093 (2x

Exemplo 4 Dados log 2

c) 2 1092 (x + 2) - 1092 X = 3 d) 1 - 109 (2x - 20) = 109 (x - 5) - 109 (3x - 35)

= 0,30103 e log 3 = 0,47712, calcular: b) log ~ill

a) log 32

c) log 25 6

d) log 144

SolUfiio

a) log 32 = log 2 5 = 5 . log 2 = 5 . (0,30103) = 1,50515

b) log

~ 125 = ~ . log 125 = ~ . log 53 = ~ . 3

Precisamos calcular log 5. Lembrando que 5 log 5 = log

Voltando em

210 =

=

. log 5 = :

log 5

CD

10, temos: 2

log 10 - log 2 = 1 - 0,30103 = 0,69897

\lJ: -43

f7\

3 2 09691 log 5 = -4 . (0,69897) = ' = 0,52422

4

c) log 25 = log 25 - log 6 = log 52 - log (2 . 3) = 2 . log 5 - (log 2 + log 3) = 6 = 2 . log 5 - log 2 - log 3 = 2 . (0,69897) - 0,30103 - 0,47712 =

=

1,39794 - 0,77815

d) log 144 = log 2 4

•

= 0,61979

32 = log 2 4 + log 32 = 4 . log 2 + 2· log 3 =

= 4· (0,30103) + 2 . (0,47712) = 1,20412 + 0,95424 = 2,15836

179

EXERCiclOS PROPOSTOS 43. Dados log 2 = 0,301 e log 3

=

0,477, calcule: c)

a) log 12

log~

b)

_

log

3

16

e) log 625

'\ 9

f)

d) log 5

8

log 3'0

44. Sendo log 2 = 0,301 e log 6 = 0,778, calcule:

a) log 3

c) log 15

e) log 80

b) log 24

d) log 36

f)

Mudan~a

6.

20

log '\ 27

de base

Em muitas situac;:6es necessitaremos transformar 0 logaritmo de urn numero em uma certa base para uma outra base. Vamos estudar agora como fazer isso. Mostremos que, sendo a, b, e E IR: , com a 1 e e 1, e verdadeira a afumac;:ao:

*

*

loge b Iog b = " loge a Chamando log" b = x, loge b = ye loge a = z, 0 problema consiste em mostrar que x =

L. Aplicando a definic;:ao de logaritmo, z

loge a =

z ~

a = eZ (Elevando

@ Q) e @

~ aX = eX' z Comparando

Portanto

temos:

os dois membros a x-esima potencia) ~

r

aX = (e Z

~

~ eX. Z = eY ~ x' z = y ~ x = L z

e verdadeira a sentenc;:a: loge b 1o g b = ----'=-=---" loge a

Lei de

mudan~ de

base

Caso particular: se a, bE IR: - ll)' podemos transformar log" b para a base b. Temos: log b "

=

~ I

10gb b log" b log b a .

=

1 log b a

I

Exemplo 1 Transformar em logaritrnos de base 5: a) log32

c) log2 5

180

d) log 3 -1 5

SolUfiio

1

0

1 -#

1

d) log3

1

5

0 .10b , 5

=

16g; 1 - log, 5

log, 3

log, 3

log; 3

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

45. Transforme em 109aritmo de base 10: c)

a) 10957

1091 25

e)

109s \3

f)

1090,28

2

d) 1092

b) 109210

1

25

46. Sendo 1093 7 = a, calcule 1097 3. 47. Dados 109 2 = 0,30 e 109 3 = 0,47, calcule: a) 10932

b) 10923

c)

10 93

1

2

d) 1091 2 3

48. Calcule 0 valor da expressao 1094 3· 1093 2. 49. Simplifique 0 produto 1092 5 . 1093 7 . 1095 3. 50. Sendo a, bee numeros reais positivos e diferentes de 1, calcule 109a b . 109b C . 10ge a. 1

1

51. Sabendo que -1--3

+ -1--3

Exemplo 2 Resolver a eqllas:ao

(x + 6) - log2 (x - 6) = O.

09a

lo~

=

09b

2, calcule 0 valor de abo

SolUfiio

x + 6 > 0

Restris:oes:

Ie Ix-

6> 0

@ Vamos transformar log4 (x + 6) para a base 2: lo~

(x

+ 6)

=

log2(x+6) log2 4

-1

----

-.L . log,- (x + 2

i 181

6)

Assim, a equac;ao dada fica:

1- . lOg2 (x + 6) 2

=>

10g2 (x

+ 6) - 2 . 10g2 (x - 6) = 0

=>

-----... =>

=>

- lOg2 (x - 6) = 0

X

lOg2 (x

+6

=

+ 6) - 10g2

(x - 6)2

x2

=>

x+6

x+6

(x - 6)2 = 0 => lOg2 = 0 => ~ -

12x + 36

=

x+6

x2

-

10 94 (x

+

=>

13x + 30

(X-6)2 =

0

=>

x

=

3 ou x

=

21

=

10

Verificac;ao das restric;6es: Para x = 3

CD

3

II @

3 - 6 > 0 (falso)

Para x

+ 6 > 0 (Verdadeiro)}

=

=>

3 nao e raiz.

10

CD

10 + 6> 0 (Verdadeiro)}

II @

10 - 6> 0 (verdadeiro)

=>

10 e raiz.

a conjunto soluc;ao e S = {10f.

EXERCiclO PROPOSTO 52. Resolva as equa90es 109arftmicas: a) 1095 (x

+

10) = 1

+ 10925 (2x

- 5)

d)

31

b) 1093 (x - 2) = 109g (x + 4)

e) 1092 x

c) 1094 X - 1092 (x - 3) = 1

f) 1093

10) -

+ 10 94 X

X -

=

61

1092 (x

+ 2)

1098 (x - 4)

23

2 109g (x + 6) = -1

TUNEL DO TEMPO as primeiros estudos sobre logaritmos faram feitos, quase simultaneamente, pelo teologo escoces John Napier (1550-1617) e par Jobst Burgi (1552-1632), matematico sulc;o. Napier (ou Neper) foi 0 primeiro a empregar 0 termo logaritmo (do grego logos, razao, e arithmos, numero) em seu livro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrifao das normas dos logaritmos maravilhosos) , de 1614. Seis anos mais tarde, quando os logaritmos ja eram populares, Burgi publicou Arithmetische undgeometrische progresstabulen (Ttibuas de progressiies aritmeticas egeometricas). Neper utilizava-se da base e, motivo pelo qual os logaritmos nessa base sao chamados neperianos. Pouco antes da morte de Neper, 0 matematico ingles Henry Briggs (1561-1631) procurou-o, propondo-lhe algumas modificac;6es no metodo de aplicac;ao dos logaritmos, bem como 0 uso da base decimal. a escoces concordou, mas ja nao tinha energia suficiente para par em pratica tais ideias. Coube entao a Briggs a tarefa pioneira de construir a tabela de logaritmos decimais, publicada em seu livro Arithmetica logarithmica (1624). Dar a razao de os logaritmos decimais serem tambem chamados logaritmos de Briggs.

182

7. A

fun~ao

logaritmica

Sendo a urn numero real, positivo e diferente de 1 (a E logaritmica de base a a fun~ao: IR~ --+

g :

IR definida por g(x)

IR~

- {I}), chamamos

fun~o

log" x

=

Observe que 0 dominio da fun~ao e IR~ , ou seja, somente valores positivos poderao ser atribuidos a x. Vamos analisar dois exemplos. No primeiro, a base e maior que 1 e, no segundo, a base est;} entre 0 e 1 (os dois unicos tipos possiveis de base). Vamos verificar tambem 0 grafico de cada tipo de fun~ao. Exemplo 1 Consideremos a fun~ao definida por y = log3 X ou f(x) = log3 x. Atribuindo valores arbitrarios a x e calculando f(x), obtemos uma tabela de pontos que pertencem ao grifico da fun~ao y = 10g3 x. Tabe1a x -

-

I

I

."

I Ponto

(X, y)

-2

A(~,-2)

log3

1 3

-1

B( ~ ,-1)

log3 1 = Y ~ Y = 3 -I ~ Y = - 1 3

1

0

C(I,O)

log3 1 = Y ~ 3·Y = 1 ~

log3 3 = Y ~ Y = 3 ~ Y = 1

1

9

3

1

D(3,I)

9

2

E(9,2)

1 9

=Y

~

Y = 3- 2

~

Y = -2

q.Y = 3°

~

Y= 0

1

i

log3 9 = Y ~ Y = 9 ~ Y = 32 ~ Y = 2

y

Grmeo ...!.. E

~ [~ ~ ~ x

-2

I

I

y

=10gJ x

I

789

x

=3,5

A

+-

Asslntou

Observe que, por converuencia, atribuimos a x somente valores que sao potencias de expoente inteiro da base, pois desse modo obtemos valores inteiros para ologaritmo. No caso de tomarmos urn valor qualquer para x, por exemplo, x = 3,5, ainda nao sabemos 0 valor de f (3,5) = 10g3 3,5, mas sabemos onde esta esse valor. Veja no grifico que: 1 < log3 3,5 < 2 Observe tambem que, quanta mais 0 valor de x (positivo) "se aproxirna de zero", mais os pontos do grifieo "se aproximam do eixo y", sem, porem, atingi-Io. Desse modo, a reta suporte do eixo y e assmtota a curva.

183

Exemplo 2 Vejamos a func;:ao definida por y Procedendo de maneira analoga fico da func;:ao pode ser esta: I

X

log I

a do

X.

exemplo 1, uma tabela de pontos pertencentes ao gri-

Tabela : Ponto (x, y) Y

A(~,2)

log

1

B( ~ ,1)

log

1

0

C(I,O)

log 1

=

3

-1

D(3, -1)

log-+- 3

= )' ~

9

-2

E(9,

-2)

log I 9

-

-

i

=

1 9 1

"

2

~

I

-

3"

1

=)' ~

9

+, 1 3 +, ,

=

y ~

(~Y=(~Y~y=2

( I)! (1)1 3 3 =

Y ~ ( 31 ) v

=)' ~

1~

=

3 ( 1)-" 1 )v (3

(

3 ~

=

=

31

~ Y= 1

)!

(1)° 3 ~ y= 0

=

(31)-" (13 )-1 ~ y (31)-" (13 )-2 y =

9 ~

=

~

=

-1

= -

2

3

Grmco 2

Os exemplos citados nos levam a classificar uma func;:ao definida por)' = logn x como:

A

x

9

y = log

E I

I

I X

-,-

• crescente quando a > 1 • decrescente quando O 0

Entao -5x> - 12

Portanto

0

dOrnlnio

=)

I

5x< 12

eD=

=)

12 5

x<

{x EO IR Ix<

1~}.

b) Y = logs (x 2 + 8x + 15) Devemos ter:

Ix

2

+ 8x + 15 > 0

A fim de determinar os valores de x que tamam essa sentenc;:a verdadeira, vamos analisar a variac;:ao do sinal da func;:ao f(x) = x 2 + 8x + 15. As raizes def(x) sao determinadas resolvendo a equac;:ao x 2 + 8x + 15 = O. Logo, as raizes sao Xl = -5 e X 2 = -3. o sinal de f(x) varia assim:

x

Como queremos f(x) > 0, a parte que nos interessa e:

---- 0

@

> 0

g(x)

As raizes deg(x) sao -2 e 2. o sinal da fun~ao g(x) varia assim:

x

A solu~ao de

CD e: o

o

-2

®

x2

-

4 *- 1

=>

x 2 *- 5

=>

2

x*-- ,,5

ex*-" 5 ,ou seja:

o

@

2x - 3 > 0

=>

2x > 3

=>

x>

x

n 5

x

3 ,ou seja: 2 3

"2 o

Achando a intersec~ao de

x

0, ® e @, temos: 3

CD

- \5

"

@ (Dn

®

@ n @

"2

-2

~

9

i '

1

..

-----'----"----------'-----~,.:~

2

x

Solu~ao

o domfnio e, portanto, D

=

Ix E

IR Ix > 2 ex*-

188

5

I.

EXERCiclO PROPOSTO 61.

De 0

dominio das seguintes func;6es logaritmicas: 2 b) Y a) y = log(X 2 _ 9) (x - 3x - 10)

=

log(_X2 + 2x) (x

2

-

1)

9. Inequa(:oes logaritmicas Do mesmo modo que ocon-em equaC;:6es logal'itmicas, ocol'l'em tambem inequaC;:6es com logaritmos, as quais chamamos inequa~6es logaritmicas. Sao exemplos de inequaC;:6es logal'itmicas: a) logz (x - 3) - 2 logz (x

+ 1) < 1

Ao eswdal'mos as inequaC;:6es logal'itmicas, devemos tel' cuidados especiais com as restric;:6es a que deve estar submetida a incognita. Na resoluc;:ao das inequac;:6es, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros_ A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando 0 fata de a func;:ao ser crescente ou decrescente, con forme mostram os exemplos seguintes.

Exemplo 1 Resolver as inequaC;:6es: a) log3 (2 - 5x)

~

1

b) log

(2 - 5x)

1

~

1

3

Solurao a) log3 (2 - 5x)

Re"",,OO

~

1

I ~ -5x > - 2 ~ 5x < 2 ~

12 - 5x > 0 ~

Temos: log3 (2 - 5x)

1

=>

~

log3 (2 - 5x)

I x < ~ I CD

log3 3.

19uais

o sinal da desigualdade sera mantido para os logaritmandos, porque a base e maior que urn, e nessas condic;:6es a func;:ao e crescente. Entao:

2 - 5x

~

3

=> -

5x

~

3 - 2

=> -

5x

~

1

=>

5x

~

- 1

=>

~ ~-5- @

Resumindo, temos: -I

CD @

5

t

CDn ®

o conjunto soluc;:ao e

2

5

• 5

6

-I

S

=

{x

E

• .. •

2

5

IRI ~l ~

x<

189

~}-

Solu~ao

b) log

(2 - 5x) :s; 1

1 3

A

restri~ao e a mesma determinada no item

Temos que: log

(2 - 5x) :s; log

1 3

1

a, ou seja, x <

1

2

5

CD.

~.

"3 3

o sinal da desigualdade sera invertido para os logaritrnandos, porque a base e um numero entre 0 e 1, e nessas condi~6es a fun~ao e decrescente. Entao: 2 - 5x;;'

l

6 -15x;;'1

=>

=>

15x- 6:s; -1

=>

15x:s; 5

=>

x:s;

3

Resumindo, temos:

@ @

CDn

2

I

5

"3

CD

• • •

+

• I

2

"3

o conjunto solu~ao e S =

®.

1 3

5

Solu~ao

~}.

{x E IR Ix:S;

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

62. Resolva as inequac;:6es: a) logs (2x - 3)

>

2

c) log2

(2; - ~ ) ; " -3

e) log

1

(x + 3) > -2

2

b) log4 (65 - 3x)

< 3

d) log (1 - 2x) ,;;; 2

f)

log

1

(4 - 3x)

< 1

5

63. Determine

0

dominio da func;:ao definida por y

Exemplo 2 Resolver a inequa~ao log2 (x 2

-

lOx

= ~1

- log (x - 2) .

+ 21) ;;. 1 + log2

(x - 3).

Solufiio

Devemos considerar as seguintes a)

x2

-

lOx

restri~6es:

b)~

+ 21 > 0

~

f(x)

As ralzes def(x) = x - lOx + 21 sao 3 e 7. o sinal de f(x) varia assim: 2

A raiz deg(x) = x - 3 e 3. CJ sinal de g(x) varia assim:

/

® - --_/ ~3-";;""'----""~

entao devemos ter:

x < 3 ou x > 7

CD 190

entao devemos ter:

x> 3

@

= log2 2, voltando a inequa

log z

1

= - . log 24,4 3

CD

Veja que agora necessitamos do logaritmo decimal do numero 24,4. Sabemos que, pelo fato de 0 numero ter dois algarismos na parte inteira, a caracteristica de seu logaritmo decimal e 1, ou seja: Caracteristica

log 24,4 = 1

+ 0, ... Mantissa

210

A mantissa nao esta na tabua de logaritmos, pois la nao existe 24,4 esta entre dois nllmeros da tabua: 24 e 25. Temos: Para

0

I

numcro

A mantissa

e

0

nllmero 24,4. No entanto

o

I

logaritmo C

24

0,380211

1,380211

25

0,397940

1,397940

Assim sendo, temos que log 24,4 esta entre 1,380211 e 1,397940. Para obtermos uma melhor aproxima~ao do valor do log 24,4, podemos observar da ft.ll1~aO )' = log x.

-----

- -

-

------------------- ---

---

0

grafico

-------------------------

10

A

8

24

25

x

Nesse grafico podemos notar que 0 trecho da curva que vai de A ate B "quase se confunde" com 0 segmento de reta que vai de A ate B (vamos chamar essa reta de r). Isso nos leva a admitir que, se acharmos na reta ra ordenada do ponto de abscissa 24,4, obteremos urn aceitavel valor de log 24,4. Veja urn zoom daquele trecho (feito sem escala):

p Diferen~a

0.017 729

Q

1.380211

0.4 24

A

semelhan~a

24.4

25

dos triangulos da figura nos permite escrever: 0,017729 a

=

_1_ ~ a 0,4

A ordenada do ponto Psera 1,380211 + 0,007092 esse valor na equa~ao encontramos:

0 '

log z ou seja: log z

=

=

31 . 1,387 303

~

=

°

007092

'

=

1,387303. Substituindo log 24,4 por

log z

=

0,462434,

°+ 0,462434.

Agora temos 0 logaritmo decimal do numero z e queremos achar z. Procurmdo a mmtissa 0,462434 na tabua, nao encontramos la esse valor, mas verificamos que ela corresponde a urn nllmero que esta entre 290 e 291.

211

Como a caracteristica do logaritmo decimal de z e 0, entao z tem s6 um algarismo na parte inteira. Portanto 0 valor de z esta entre 2,90 e 2,9l. Se desejarmos uma melhor aproximac;:ao para z, recorreremos novamente ao grafico da func;:ao y = log x.

M

o

I

2

2.90

I

N

4

x

2.91

esse grafico observamos tambem que 0 trecho da curva entre MeN "se aproxima" do segmento de reta de extremidades MeN. Veja um zoom daquele trecho (feito sem escala): Reta

N _ _ 0.463 893

,

0.001 495

0.000036 M ~------a---===.=.-=-.t~z,--------.-I.o--O,462

1--------

2,90

398

0.01 - - - - - - - - 2 . 9 1

A semelhanc;:a dos triingulos da figura nos permite escrever: 0,001495 = 0,01 ~a=000024 0,000036 a '

o valor de z e, portanto, 2,90 + 0,00024, ou seja, 2,90024. Dessa forma, concluimos: ~ 24,4 = 2,90024

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

12. Sabendo que x = 25 e y = 4, determine a valor de log x + log Y. 13. Calcule: a) log 58,5

b) log 8,9

c) log 1 200

d) log 25,36

14. Calcule a valor de x nos casas seguintes: 1

a)

1

5~

x = 38 3

b) x='\384

c)

X

= 53,8 4

15. Calcule a valor de x conhecendo: a) log

x = 0,591

06

b) log x

= 2,265525

212

c) log

x = 1,689309

Exemplo 3 Calcular: a) log x, se x

=

0,324

b) x, se log x = -2,404504

SolUfiio

a) queremos 0 valor de log 0,324

°

Como xesta entre e 1, a caracteristica do seu logaritmo decimal e 0 numero de zeros iniciais, com 0 sinal trocado; pot"tanto, como existe um zero inicial, a caracteristica do seu logaritmo decimal e - 1. Dessa forma temos que:

, log 0,324 = -1

Caracteristica

+

0, ...

'----.r-------'

Mantissa

A mantissa correspondente ao nllmero 0,324 0,510545. Entao: log 0,324 = -1 + 0,510545. CD Esse valor pode ser indicado assim:

ea

mesma do numero 324, ou seja,

1,510545 Essa forma e chamada forma mista ou forma preparada do logaritmo, pois nela estao destacadas: • a parte "antes" da virgula, negativa, e que corresponde a caracteristica; • a parte decimal, positiva, e que corresponde a mantissa. Observe que, se em CDefetuarmos os calculos, obteremos log 0,324 = -0,489495, sendo que este ultimo valor nao nos mostl"a nem a caracteristica nem a mantissa do logaritl110. b) log x = -2,404504 e queremos achar x Observe que esse valor e um numero negativo, de forma que ele nao nos mostra nem a caracteristica nem a mantissa do logaritmo. Vamos portanto "preparar" esse numero. Temos que log x = -2 - 0,404504. Somando e subtraindo 1 ao segundo membro, encontramos: log x = -2 - 0,404504 + 1 - 1 => log x = -2_- 1 + (1 - 0,404504) => log x = -3 + 0,595496 ou 3,595496 Agora sim sabemos que a caracteristica e - 3 e que a mantissa e 0,595 496. Procurando na tabua encontl"amos para essa mantissa 0 nllmero 394. Como a caracteristica e -3,0 numero procurado tem tres zeros iniciais, portanto: x = 0,00394

Exemplo 4 Calcular:

b) In 25

a) Jog 2 15 SolUfiio

a) log2 15 A lei de mudan

1,176091

Portanto log2 15

----.:..---- =

3,906889.

0,30103 b) In 25 Temos que In 25 eo mesmo que loge 25. Tomando e = 2,71828 e "passando" para a base 10, encontramos: In 25

loglo 25

1,397940 0,434294

loglo 2,71828

3,218879

=

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

16. Calcule os logaritmos dos numeros a seguir. De tambem, se for rada, destacando a caracterfstica e a mantissa.

a) log 0,536

0

caso, a resposta na forma prepa-

b) log 0,036

c) log 0,001 25

17. Sendo log x = n, determine x nos seguintes casos: a) n

=

b) n

-0,437707

18. "Passando" para a base decimal, calcule

a) N = log3 58

0

-2,376751

valor de N nos casos:

b) N =log 5 45

4. Algumas

=

+ log4 510

aplica~oes dos

c) N = In 10

+ log e

logaritmos

Vamos finalizar este capitulo resolvendo problemas que envolvem alguns dos quais ja citados anteriormente.

0

cilculo de logaritmos,

Exemplo 1 Numa danceteria existem dois aparelhos de som exatamente iguais. Quando 0 aparelho A foi ligado no maximo, mediu-se 0 NIS (Nivel de Intensidade Sonora), dado por 80 dB (decibel). Determinar 0 numero de decibels que se obtem no caso de 0 aparelho B tambern ser ligado no maximo, sabendo que 0 NIS e dado em decibels P~)f: IS NIS = 10 . log IR ' em que IS e a intensidade sonora e IR e

0

indice unitario (em watt por cm 2).

SolUfiio

A primeira vista, poderiamos ser tentados

a imaginar que 0 NIS em decibels seria 160, pelo fata de termos dobrado a intensidade sonora ao ligarmos tambern 0 aparelho B. No entanto isso nao e verdade. Vejamos por que. Chamando de a

ligado apenas

0

IS e de NISI IR aparelho A, temos que: 0

valor de

0

mvel de intensidade sonora em decibels quando

NISI = 10· log a = 80

214

Vamos imaginar agora 0 aparelho B tambern ligado no maximo. Dessa forma, a intensidade sonora duplicou, ou seja, ficou sendo 2· a. Entao:

NIS = 10 . log (2 . a) Tomando log 2

NIS

=

=

~

NIS = 10 . [log 2 + log a]

~

NIS = 10 . log 2 + 10 . log a

0,30103, temos:

10 . (0,30103) + 80

~

NIS

=

3,0103 + 80

Observemos que, duplicada a intensidade sonora,

0

~

NIS = 83,0103 dB

NIS aumentou pouco mais de 3 decibels!

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

19. Se urn aparelho de som ligado no maximo produz 60 dB, quantos decibels serao produzidos se Iigarmos, no mesmo ambiente, mais dois aparelhos de som exatamente iguais ao primeiro? 20. Numa pista de aeroporto urn aviao a jato liga sua turbina. Mediu-se 0 NIS, obtendo-se 120 dB. Se, nas proximidades, outro aviao a jato igual ao anterior tambem ligar sua turbina, quantos dB serao medidos?

Exemplo 2 Num certo pais

0

aumento da populac;:ao ocorre segundo a lei: P(t) = Po . e O,003' 6,

em que Po e a populac;:ao num determinado ano inicial ou ano-base, te 0 numero de anos passados a contar do ano inicial e e e a base do sistema neperiano de logaritrnos. Determinar: a) a populac;:ao, 6 anos ap6s ela ter sido de 200000 habitantes; b) quantos anos deverao passar para que a populac;:ao seja 0 dobro da do ano-base, admitindo que a taxa de crescimento se mantenha. SolUfiio

a) Queremos P(6), sabendo que Po

=

200000.

P(6) = 200000· eO,003 . 6 ~ P(6) = 200000 . 1,018163 = 203632 Ap6s 6 anos a populac;:ao sera de aproximadamente 203 632 habitantes.

b) Queremos a populac;:ao duplicada. Seja to numero de anos tal que esse fato ocorra. Assim sendo, 2 . Po, ou seja: 2 . Po = Po . eO,03' t

0

valor de P( t) devera ser

Simplificando os dois membros por Po, que e urn nlimero positivo, obtemos: 2 = eO,03' t

CD

Veja que a simplificac;:ao feita nos proporcionou uma equac;:ao que nao depende de Po, ou seja, a populac;:ao do ano inicial pode ser qualquer uma. Aplicando logaritmos decimais nos dois membros de temos:

CD '

log 2 = log

eO,03' t

~

0,03 . t· log e = log 2

215

Substituindo log e por 0,434294, encontramos: t --

A populac;:ao sera

0

log 2 -t-0,30103 --'-------0,03 . 0,434294 0,013 029

~

t

=

23,1

dobro da atual ap6s pouco mais de 23 anos.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

21. Se a populayao de certa regiao cresce segundo a lei:

P(t) = Po .

eO,02· t

em que Po e a populayao, num ana inicial qualquer, teo numero de anos apos 0 ano-base e ao qual corresponde a populayao P(t), determine: a) a populayao, 8 anos depois de ter ti~o 500000 habitantes. b) se em 1980 a populayao era de 350000, qual foi a populayao em 1994? c) depois de quantos anos (numero inteiro) podemos garantir que a populayao duplicou? 22. A populayao de uma dada regiao cresce exponencialmente segundo a lei:

P(t) = 600 000 .

e O,025· t

Pergunta-se: a) Qual a populayao daqui a 20 anos? b) Qual a populayao daqui a 40 anos? c) Em quanta tempo, aproximadamente, a populayao dessa regiao triplicara.? 23. Em uma aula de Biologia, um aluno, observando uma cultura de bacterias, fez as seguintes anotayoes:

_------3-:-00-----------4-:-:0----

Sabendo que 0 crescimento dessa cultura obedece a lei: o(t) = 0

o. e

'"c:

'" '"

C>

.§

,::~

k . t

determine:

~

>

:>

a) 0 valor de k. b) a quantidade de bacterias prevista quando 0 tempo for de 25 minutos.

o

u

c:

'" '"

E lL

Exemplo 3 Numa aplicac;:ao de poupanc;:a foi colocada uma import:llcia de R$ 240.000,00. Sabe-se que a lei que mostra 0 total de dinheiro que nela existe e dada por: M(t) = C· (1,25)t, em que teo numero de anos de aplicac;:ao, Ceo capital aplicado e Me tal final. Determine: a) 0 montante, ap6s 4 anos de aplicac;:ao; b) em quantos anos 0 capital triplicara nessa aplicac;:ao.

216

0

montante ou

0

to-

Soluftio

a) Achar M(4). Temos que: M(4)

= 240.000,00 . 1,25 4 M(4)

=>

o

M(4)

=>

= 240.000,00 . 2,4414

=>

585.936,00

=

montante final sera de R$ 585.936,00.

b) Achar

0

numero de anos em que

0

capital triplicara.

Seja to m'tmero de anos para que isso ocorra. Assim sendo: M(t) = 3 . C. Portanto: 3 . C = C' 1,25 t

E importante notar que na senten t = ---="-----

0,477121 ----'----=

4,9

0,096910

o capital devera ficar aplicado por 5 anos (arredondado para cima). EXERCiclO PROPOSTO 24. Uma aplicayao de poupanya e atualizada segundo a seguinte lei: M(t)

= C· 1,3 1 ,

em que teo numero de anos, Ceo dinheiro aplicado e M, a) Ache M quando C = AS 24.000,00 e t = 5. b) Ache 0 menor numero de anos tal que M(t) atinja

0

montante.

valor 4C.

0

Exemplo 4 Num processo de decaimento radioativo, a quantidade residual Qde uma substancia varia em hm 0, b > 0 e b log b '

"* l.

C:ilculo com logaritmos decimais log a

= c + 0, ...

em que c e a caracteristica do logaritmo e mea mantissa, com 0

~

m < 1.

Propriedade irnportante

+ 0, ... , entio, para N inteiro, tem-se que: log (ION. a) = log ION + log a = N + c + 0, ... = (N + c) + 0, ...

Se log a

= c

ou seja, os logaritmos de a e de (ION. a) possuem a mesma mantissa. Determina~ao da

mantissa do log a

= c + 0, ...

Feita diretamente na tabua de logaritmos. Determina~ao da

caracteristica do log a

= c + 0, ...

1 Q caso: a> 1 A caracteristica ceo numero de algarismos da parte i.nteira de a, menos uma unidade. 2 Q caso: 0 < a < 1 A caracteristica e 0 numero de zeros iniciais de a, com

0

sinal trocado.

EXERCiclOS COMPLEMENTARES 26. Sendo log2 x

= 1,38, calcule log x.

27. Sabendo que x = 15 1000 , diga quantos algarismos possui

0

numero x. (Sugestao: aplique logaritmos

decimais e analise a caracterfstica.)

28. Sabendo que log 3,5 2 = 1,088136, calcule 29. Calcule

0

0

valor de N

=

log 350 + log 35 2.

valor de P nos casos seguintes: 1

a)

P

= 629 4

30. Numa certa calculadora, quando voce fornece um numero negativo ou nulo e pressiona a tecla log, ela simplesmente "trava" e nao executa mais nada ate que seja "destravada". Suponha que voce forneva a essa calculadora um numero N inteiro e positivo. Quantas vezes voce pode apertar seguidamente a tecla log antes que a calculadora "trave", nos casos seguintes: a) N b) N

= =

100? 10?

c) N tem seis algarismos? d) N tem tres algarismos?

31. Na calculadora do exercfcio 30, forneceu-se um numero N e a calculadora ''travou'' ao pressionarmos tres vezes seguidas a tecla log. Determine entre quais potencias de 10 esta 0 numero N.

218

1

32. A popula

h

=

,l-O"12

A'O

=>

h

=

48 5

=>

h

=

9,6.

5

EXERCICIOS PROPOSTOS

.

1. Determine 0 valor de x, ye z nos triangulos abaixo: a)

c)

Z

m

4

Z

16

x

~~

Z

f)

L1i L1i x

..

y

25

Y.~

d)

b)

x

~~

Lh x

e)

_

x+4

~.15

x+2

2. Se a diagonal de um quadrado mede L, quanta mede: a) seu lado?

b) seu perfmetro?

3. 0 lado de um triangulo eqOilatero mede L. Quando mede sua altura?

4. A altura de um triangulo eqOilatero mede h. Quanto mede seu lado? 5. Num triangulo retangulo a hipotenusa mede 3 cm a mais que 0 maior cateto e este mede 3 cm a mais que 0 menor cateto. Quanto mede cada um dos lados do triangulo?

6. Um observador esta a 120 m de distancia do topo de uma torre. Quando ele anda 42 m em direyao ao pe da torre, sua distancia ao topo passa a ser 90 m. Qual a altura da torre?

3. Aprendendo novas conceitos Seja

0

triangulo rerangulo OMP, reta em M. p

x O F ' - - - - - - - - - -.....M

241

1\

Seja x a medida do angulo MOP. Podemos estabelecer entre as medidas de seus lados as seguintes razoes: Sena Seno de x

sa. Indicando temos:

e a razao entre a medida do lado oposto ao angulo 0

1\

0 e a medida da hipotenu-

sena de x por sen x e considerando OP como unidade de comprimento,

sen x = MP OP

= MP = MP 1

Cassena Cosseno de x e a razao entre a medida do cateto adjacente ao angulo hipotenusa. Indicando 0 cassena de x por cas x, temos:

cos x

1\

o

e a medida da

= OM = OM = OM ~ cos x = OM 1

OP

Tangente Tangente de x e a razao entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao angu1\ 10 O. Indicando a tangente de x por tg x, temos:

MP tgx= OM A essas razoes damos 0 nome de razoes triganametricas. Vejamos novan1ente a figura: p

sen x

OL------------'M

cos x

Observas:aa: com a finalidade de facilitar a memorizac;ao, ao falarmos em hipotenusa e em catetos estaremos nos referindo as suas medidas. Desse modo, temos:

sen x

=

cos x =

tg x =

cateto oposto a x hipotenusa cateto adjacente a x hipotenusa cateto oposto a x

cateto adjacente a x

Exempla 1\ Em urn triangulo retangulo ABC (B e reto) sabe-se que a o seno, 0 cosseno e a tangente do menor de seus angulos.

242

=4

em e b = 7 em. Deterrrunar

SolUfao c

= 4 em

Q

0:

=?

AL.--------~ B

c =?

Achamos a medida do lado c aplicando a teorema de Pitagoras:

Como em um triangulo qualquer, ao menor lado op6e-se a menor angulo, entao a meno[ lado mede a, pais 4 <

,/33. 1\

Par quest6es didaticas, sendo ex a medida do angulo A , indicaremos, par exemplo, sen ex simplesmente par sen A. Assim: sen A

=

cos A

=

tgA

a b

=>

sen A

=

4cm 7em

c b

=>

cos A

=

,33.cm 7cm

-

a c

=

=>

tg A

=

4cm

ill em

sen A

=>

=>

=

cos A

4 7 =

,33 7

--

,--

=>

tg A

=

4 ,33

~

au tg A

4\33 33

=

EXERCICIOS PROPOSTOS 7. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente de cad a um dos angulos agudos de um triangulo ABC, nos seguintes casos: a)

c)

c

'v'

gem

-------"B

AL-----'1'2-cm,-----------' B

C

8. Determine 0 seno, 0 eosseno e a tangente do maior angulo agudo de um triangulo ABC, onde a, be c sao as medidas dos seus lados, nos seguintes easos: a) a b) a

= 4 em, =

b

4 em, b

= 8 em

1\

e 0 angulo C 1\

=

8 em e 0 angulo B

e reto. e reto. 243

9. 0 perfmetro de um triangulo retangulo mede 264 mea hipotenusa mede 110 m. Qual

0

seno do

menor angulo agudo desse triangulo retangulo? A

.

10. Num triangulo retangulo ABC, reto em B, sabe-se que a hipotenusa mede 27,5 em e que sen A = 0,6. Determine quanta mede cada cateto desse triangulo. A

11. Um triangulo retangulo ABC e reto em B. Sabe-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede 15 em. Ache 0 perfmetro do triangulo.

4. Propriedades e rela~oes do seno, do cosseno e da tangente de urn angulo agudo de urn triangulo retangulo c

Veremos, em seguida, algumas rela\=oes muito importantes entre as razoes trigonometricas estudadas. Observe 0 triangulo rerangulo ABC da figura ao lado.

A ""-------.J.

.,----

---'--'

~ Temos: sen A = !!- e cos C = !!-. (Deu a mesma coisa!) b b

Temos ainda: sen C

=

~ .!.- e cos A = .!.-. (Deu a mesma coisa!) b

b A

A

Entao, notando que a soma das medidas de A e C e 90° (ou seja, eles sao complementares), podemos tirar uma conclusao importante: Se as medidas de dois angulos somam 90°, outro.

0

seno de um deles e igual ao cosseno do

EXERCICIOS PROPOSTOS

...

_

12. Nas figuras seguintes, determine 0 que se pede: a) sen C, sendo dado cos B =

b) cos 48°, sendo dado

~

c) cos (2x), sendo dado sen x = 0,5.

sen B = 0,2831.

8

c

c B

AL:J·'--------------"'-B

A B

244

13. Determine quanta vale: a) cos (90° - 32°), sendo sen 32° = 0,5299. b) sen (90° - 16°), sendo cos 16° = 0,961 3. c) sen 19°, sendo cos 71 ° = 0,3256.

Calculemos agora sen 2 A + cos 2 A.

0

d) cos (18°30'), sendo sen (71°30') = 0,9483. e) cos x, sendo sen (90° - x) = 0,7236. I) cos (90° - x), sendo sen x = 0,1928.

valor da expressao (sen A)2

Como sen A = !!- e cos A = b 2

sen A

+ (cos A?, a qual tambem indicamos por

C temos b ':

+ cos 2 A

=

(

:

y+ ( ~ y

Mas a 2 + c2 = b2 pelo teorema de Pita.goras. Portanto:

b/l

fji 1\

Observe que esse resultado nao depende do angulo A. 1sso significa que, se procedermos 1\

de modo analogo, teremos para

0

angulo C que sen 2 C

+ cos 2 C

=

1. Entao, concluimos:

Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo redngulo, temos: sen 2 x Observa~ao:

+ cos2

X =

1

voce vera mais adiante que a relar;:ao acima e verdadeira para qualquer angulo. 1\

Calculemos agora

0

Temos que: tg A

=

valor da tangente de urn dos angulos agudos, por exemplo,

0

angulo A.

a~

C

a

Notemos que:

sen A cosA

=

_b_ ~ C

sen A =!!-. (Deu a mesma coisa!) cos A c

b Entao: tg A

=

sen A cos A

Verifique, como exerdcio, que Resumindo, vamos guardar:

0

mesmo ocone ao calcular tg C.

Se x e a medida de urn dos angulos agudos de urn triangulo retangulo, entao: tg x Observa~ao:

=

sen x cos x

voce vera mais adiante que essa relar;:ao e verdadeira tambern para outros

angulos. Vejamos urn exemplo de aplicar;:ao.

245

Exemplo Se a e ~ sao as medidas de dois angulos agudos de um triangu[o rerangulo e sen a = determinar sen ~, cos ~, cos a, tg a e tg ~.

Solut;iio Como a +

~

= 90°, temos que sen a = cos

Como sen2 a =>

cos 2 a =

+ cos 2a = 1 8 9

=>

Sendo cos a = sen

~,

~

~Sl

temos que sen

=>

entao: cos

(

~ )2

cos a =

2,2 3

cos 2 a = 1 -

=>

cos a =

~,

=>

~

1

3'

= 1 3

cos 2 a = 1 -

1 9

2,2 3

~ =

Calculando as tangentes, temos:

1 sena tg a = - - cos a

tg

Q

t-'

=

sen ~ cos ~

=>

=>

tg a =

tg

~'

-----'~~

2\/2 A'

~ =

1

=>

tg a = -------=-- ou

=>

tg

2,2

~ =

~

2\ 2

Observa~ao: lembrando que em qualquer triangulo rerangulo a hipotenusa lados, concluimos:

o<

e0

maior dos

Para 0° < a < 90° temos: sen a < 1, 0 < cos a < 1 e tg a > 0

EXERCICIO PROPOSTO 14. Sendo

Ct

e [3 as medidas dos angulos agudos de um triangulo retangulo, determine:

a) cos

Ct,

sen [3, cos [3, tg

Ct

e tg [3, sabendo que sen

b) sen

Ct,

cos

Ct,

Ct

e tg [3, sabendo que cos [3 =

c) sen

Ct,

cos

Ct

sen [3, tg e tg

Ct,

sabendo que sen [3 =

Ct

=

1 2 .

~

s. Como calcular os valores das razoes trigonometricas Os valores do seno, do cosseno e da tangente podem ser determinados utilizando uma calculadora cientifica ou fazendo usa de tabelas, chamadas tabuas.

246

No entanto, para alguns angulos, esses valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos em seguida. Q

a) Angulo de 45° Consideremos urn quadrado cujo lade mede a unidades. 0 teorema de Pitagoras nos fornece a diagonal d:

a + a = d 2

2

2

=>

2

d = 2a

2

=>

d=

W\

,

cos 45° =

a a

2 .

,'r14-r1°I

I B

A

sen 45° =

1 \2

=>

\2 sen 45° = - 2

=>

cos 45° =

1 \2

=>

cos 45° =

a'\2

Q

,(

=>

wv2 --;=-

'" ,( 'r

c;- ,

Q

Entao, no triangulo redngulo ABC, temos: sen 45° =

,(

\2 2

--

,2

tg 45° =

sen 45°

--

=>

cos 45°

tg 45° = -----l.-

=>

,2 -2

tg 45° = 1

E importante observar que esses valores nao dependem do valor de a. b) Angulo de 60° Seja urn triangulo equilatero cujo lade mede a unidades (ver figura). Como todo triangulo eqiiilatero e tamb6n eqLiiangulo, cada urn dos seus angulos mede 60°. Trar;:ando a altura CH, temos que, sendo o triangulo eqiiilatero, ela sera tambem -

•c h=~ 2

Q

1\

mediana de AB e bissetriz de C. A medida da altura (h = ?) e achada aplicando 0 teorema de Pitagoras no triangulo retangulo AHC:

=>

A

3a 2 4

h2

=

=>

sen 60°

--.

H

Entao: h

Desse modo, temos:

sen 60°

=

=>

a

sen 60° =

a

cos 60°

=

~ a

1

=>

cos 60°

=

a 2d

=>

cos 60°

1

247

=

=

1 2

=

Q

2"

2

B

-J3 sen 60°

_2_ ~ tg 60° = "\ 3 ~ tg 60° = tg 60° = 1 cos 60° 2 Novamente obtivemos valores que nao dependem do valor de a. c) Angulo de 30° Como 30° + 60° = 90°, temos:

sen 30°

= cos 60°

~

sen 30°

cos 30°

= sen 60°

~

cos 30° =

tg 30°

=

sen 30° cos 30°

=

1

2

2 1 _2_ "\3 -2 -

~

tg 30°

=

~

tg 30°

=

1 "\3

OLl

"\3 3

--

Outra vez obtivemos valores que nao dependem do valor de a. Isso e muito importante, pois os resultados serao os mesmos independentemente do tamanho das figuras. Vamos guardar bem os dados da tabela abaixo, na qual se encontra um resumo de todos os valores encontrados.

1 2

--

"\3 2

-2

"\3

1

-

"\2 2

"\2

--

--

3

Se voce lembrar que

-.L 2

eo mesmo que

"\3 2

--

-

1 2

"\3

2L, fica mais facil 2

memorizar a tabela acima.

Vamos agora resolver alguns problemas praticos de aplicas:ao. Exemplo 1 Um foguete e lans:ado a 200 mis, segundo um angulo de inclinas:ao de 60° (ver figura). Determinar a altura do foguete ap6s 4 s, supondo a trajet6ria retilinea e a velocidade constante. SolUfiio

Ap6s 4 s ele percorre 4 . (200 m)

=

800 m.

248

,f

:'-=----- Trajetoria do foguete

," ,

,, ,

,, ,,

,

~/

:

'0~ ' "

,I

,

:-=----- Altura x , ,, , Chao

Temos que: A altura

x 800

=

sen 60°

=>

x = 800. ,3 2

x

=>

= 692,8

e aproximadamente 692,8 m.

Exemplo 2 Suponha que, quando 0 foguete do exemplo 1 estiver a 750 m de altura, uma pessoa, do chao, veja-o exatamente no prumo. a) A que disrancia essa pessoa esra do ponto de lanc;:amento? b) Quantos metros 0 foguete percorreu?

Solufao

f/ f

I

'

! ,"

y:, 750 m

,

,

x

a) Temos que: 750 x A disrancia

=

tg 600

=>

'3

750 x

=>

x =

750

,3

e de aproximadamente 433 m. 249

=>

x = 433

b) 0 foguete percorreu y m, em que:

750 y

= sen 60°

~

y

= 750 \3 2

~

y = 866 m

o foguete percorreu aproximadamente 866 m. Exemplo 3 Uma pessoa esti na margem de urn rio, onde existem duas arvores (B e C na figura). Na outra margem, em frente a B, existe outra arvore A, vista de C segundo urn angulo de 30°, com relas;ao a B. Se a disrancia de B aCe 150 m, qual e a largura do rio, nesse trecho?

Solurao

A

x

Temos:

x

150

=

tg 30° ~ x

c

150m

B

=

150 .

1 d

=> X

= 86,7

A largura do rio e aproximadamente 86,7 m.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

15. Em Lim triangulo retangulo um angulo mede 30° e 0 lade oposto a esse angulo mede 120 m. Calcule quanta mede cada um dos outros lados. 16. A hipotenusa de um triangulo retangulo mede 60 meum dos seus angulos mede 60°. Determine 0 perfmetro desse triangulo.

17. 0 menor cateto de um triangulo retangulo mede 15 cm eo maior dos angulos agudos mede 60°. Ache a hipotenusa. 18. Num triangulo retangulo, um angulo agudo mede a metade do outro. 0 menor cateto mede 25 m. Determine a medida de cada um dos outros lados.

250

19. Um aviao esta a 500 m de altura, quando dele se ve a cabeceira da pista de pouso segundo um angu· 10 de declive de 30°. A que distancia 0 aviao esta da cabeceira da pista?

"'l!':::,::':J;;:'-----------------------------------------

500 m

L---..---

r----

••••• Cabeceira da pista

.....- - - - ' - - - - - - - - - - -Pista --,

--~-~---

20. Um helicoptero e um carro da polfcia perseguem um carro de bandidos. 0 helicoptero esta a 250 m de altura; 0 carro da polfcia esta bem abaixo do helicoptero (no prumo). Do helicoptero 0 carro de bandidos e avistado segundo um angulo de 60°. Qual e a distancia entre 0 carro da polfcia e 0 dos bandidos? ", H

'"

250 m

.......... _ P

- ..

: B

Vimos ate aqui como trabalhar com as razoes trigonometricas de apenas alguns angulos particulares: 30°,45° e 60°. Veremos em seguida como calcular as razoes trigonometricas de urn angulo agudo qualquer. Comentamos anteriormente que, para fazer isso, poderiamos utilizar uma calculadora cientifica ou uma tabela de dados, tabela essa que e chamada de t

x2

=

8400

=>

x = 91,65

A distincia procurada e 91,65 m aproximadamente.

EXERCiclOS PROPOSTOS 32. Nas figuras abaixo, determine x. a)

b) 75° 16 em

6em

12 em

Scm

x x

7em

33. Determine a largura do rio. Rio

25m

30°

--_.....::....~======-c;50;-:m=---==-~-

34. Um menino, sentado num muro, observa 0 topo eo "pe" de um predio, conforme a figura ao lado. Determine a altura do predio.

,r

DB DB DB DB

600

2S~--

261

_

TUNEL DO TEMPO "Na maior parte das ciencias uma gera 3 0 1 - - - - - - - -.... x 60 Temos que: - 1

30 x

= -- ~

60 . x

=

30

~

x

= -

1 ou 0, 5. 2

Entao, em cada minuto 0 ponteiro das horas se desloca 0,5°, ou seja, 30', c) Em 1 hora 0 pomeiro dos minutos da uma volta completa, ou seja, 0 deslocamento e de 360°. d) Em 1 hora (60 min) 0 ponteiro dos minutos se desloca 360°. Temos a regra de tres simples e direta mostrada a seguir.

270

Tempo (min) Deslocamento (graus) 60 - - - - - - - + . 360 1 x Entio: 60 = 360 1 x

=>

60 . x = 360

Porranto, em eada minuto e) Vamos analisar

0

0

=>

x = 6.

ponteiro dos minutos se desloea 6°.

que oeorre desde as 3 hate 3 h 10 min. 12

12

l 3 h 10 min

3h

As 3 h 0 areo era de 3 . 30°, ou seja, 90°. 1 Nos 10 min 0 ponteiro das horas se desloeau 10· - grau, ou seja, 5° (aumentou 0 area). 2 Nos mesmos 10 min 0 ponteiro dos minutos se desloeou 10 . 6°, ou seja, 60° (diminuiu o areo). Entao 0 area proeurado mede: 90° + 5° - 60° = 35°. o menor area as 3 h 10 min mede 35°.

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

1. Um rel6gio tem 0 ponteiro de horas e 0 de minutos. Determine 0 deslocamento do ponteiro das horas depois de passados:

a) 4 h b) 25 min c) 2 h 15 min

2. Nesse mesmo rel6gio, determine 0 deslocamento do ponteiro dos minutos depois de passados: a) 20 min

b) 30 min 30 s

3. Ainda com 0 mesmo rel6gio, calcule 0 menor dos angulos determinados pelos ponteiros quando marcarem: a) 3 h 20 min

b) 1 h 15 min

4. Um rel6gio perdeu 0 ponteiro dos minutos, mas ainda tem 0 das horas. Num determinado momento, esse ponteiro esta posicionado como mostra a figura ao lado. Que horas sao?

c) 7 h 30 min

0

" ,130

, , ,

~

271

• Medida de urn arco usando

0

radiano como unidade

Vamos entender 0 que e radiano atraves da situac;ao a seguir. Urn ciclista comec;a a rodar sua bicicleta para a direita ...

Chao

A

... e, quando percebe que no chao existe tinta vermelha, que esra "pintando"

)

0

pneu ...

Chao

A

... de para. S6 que, ao parar, de ja havia ava.l1c;ado lUna dist3..l1cia igual ao raio da roda da bicicleta.

Chao

A

o ciclista volta, de fe, para a posic;ao inicial.

r

-

Chao

Posic;ao inicial.

Chao

272

Pois bem,

0

ciclista voltou

a posirrao

inicial mas, nisso, uma parte do pneu foi pintada de

vermelho! Exatamente a parte correspondente ao arco

e igual ao do raio.

H' da figura e eujo eomprimento

Um area eujo eomprimento e igual ao do raio da circunferencia onde se eneantra mede 1 radiano e e indicado por 1 rad. No nosso exemplo, Entao, definimos:

H'

mede 1 rad.

Radiano e uma unidade de medir arcos. E um arco de eamprimento igual ao raio da circunferencia onde esta 0 area a ser medido. Observa~o: e importante notar que, como 0 comprimento de uma circunferencia e dado por C = 2 . 7T . r, em que rea medida do raio, entio, em radianos, a circunferencia toda ted.:

1

2 . 7T . f

f

rad, ou seja, 27T rad (7T vale aproximadamente 3,14).

1

Dessa forma, para uma circunferencia qualquer, temos que 360° correspondem a 27T rad, ou sep:

I

11800 earrespondem a 7T rad.

A transformarrao da medida de um arco dada em graus para radianos (e vice-versa) e feita simplesmente aplicando-se uma regra de tres simples e direta. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Exprirnir 150° em radianos.

900

Solufao

Temos a regra de tres simples e direta: Arco (graus)

t

Arco (rad)

• 7T

180 150

,

x

00

1800

I

6

Entao:

1-8'0 l-s6

7T x

=>

57T

6x

57T 6

2700

=> X - - -

5

'IT

"2

o arco mede

57T - - rad. 6

Exemplo 2 Exprimir

'IT

7T rad em graus. 6

SolUfao

Como 7T rad corresponde a 180°, entao 0 7T ra d correspond era a -180 300 . . - - , ou seJa, I

6

6

273

0

Exemplo 3 Exprimir em graus

0

arco de ~ rad. 50

SolUtiio Como

'JT

rad corresponde a 180°, entao ~ rad correspondera a 50

180° 50

Vamos dividir 180° por 50: 30°

(resto)

1800' 300' 00

60 1800' X

Resto

~ 36'

o area procurado mede 3° 36' . EXERCICIOS PROPOSTOS

_

5. Exprima em radianos: a) 60 0

6.

d) 120 0

De em graus: a)

321T

rad

b)

31T rad 4

c)

71T rad 6

d)

~ rad

15

7. Transforme: a) 10 em radianos

b) 1 rad em graus

3. Medida de urn angulo central Virnos em nossos estudos de 1 Q grau que urn angulo, com vertice no centro de uma circunferencia, e chamado angulo central. 1\ A figura abaixo mostra 0 angulo central AGB .

O_-----.,:..:.A--

E muito eanveniente adotar como unidade de medida de urn angulo central determina na circunferencia urn arco unitario. Dessa forma:

o numero que exprime a medida do angulo do arco AB. 274

0

angulo que

1\

AGB e

0

mesmo que exprime a medida

Assim b) Se a unidade de medida for 0 radiano e 0 ...----.. 1T area AB medir, por exemplo, rad, 6

a) Se a w1idade de medida tor 0 grau e 0 area AB medir, por exemplo, 60°, entao 1\

o angulo AGB tambem medira 60°.

1\

entao

angulo AGB tambem medinl

0

rad.

1T

6

..-- -i- rad Oe-.l.-----4.,..A'-----

OF---'----+,---

-i- rad Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1 A eireunfereneia da figura abaixo tem 8 em de raio. Um inseto parte do ponto A e anda so1\ bre ela ate 0 ponto B. Sabendo que a medida do angulo central AGB e 60°, determinar quantos eentimetros andou 0 inseto.

Oe----'------tA

SolUfiio

Temos a seguinte regra de tres simples e direta:

Angulo central

Comprimento do areo (em)

(graus)

2 . 1T • 8

360 60

f

x

Entao: 360 60 Portanto

0

2 .

1T .

x

8

=>x=

2 .

1T •

8 . 60

360

=>x

3,14 . 8 3

=>

x = 8,37

inseto andou aproximadamente 8,37 em.

Exemplo 2 Numa eireunfereneia que tem 28 em de diametro, um areo tem 12 em de eomprimento. Qual e a medida (em rad) do angulo central earrespondente?

275

SolUfiio

Se 0 diametro mede 28 em, entao e direta:

raio mede 14 em. Temos a seguinte regra de tres simples

0

Comprimento do arco (em)

Angulo central (rad)

2 . 'IT ' 14 12

2·'IT x

1 Portanto: 2 . 'IT . 14

2·'IT

=---=>x=

12

Assim sendo,

0

X

2 ' 12 2 ' 14

=>

=

x

0,86

angulo central mede aproximadamente 0,86 rad.

Observa~o: de urn modo geral, ehamando de So eomprimento de tun area, de a a medida, em radianos, do angulo central eorrespondente, e de l' a medida do raio, temos a seguinte regra de tres:

Comprimento do arco

Medida do angulo central (em rad)

~'IT

1

Entao: portanto

S Utilizemos essa formula para solueionar Como S = 12 em e

l'

0

IS

=

a' r

I

problema dado.

= 14 em, temos:

12 em = a' 14 em => a =

Exemplo 3 Determinar quanto mede

0

12 14

=>

a

=

0,86 rad

raio de uma eireunfereneia, sabendo que urn area que mede 10 em

earresponde a urn angulo central de

~ radianos. 6

SolUfiio

Seja r a medida do raio, em em. Temos a regra de tres simples e direta:

(

Comprimento do arco em )

Angulo central I (rad) 2·'IT

2''IT'r

Assim sendo:

I

5

10

6 2·'IT 5

6 5

r

=---=>--=-=>r

10

6 Portanto

0

raio da eireunfereneia mede 12 em.

276

6 . 10

5

=>

r

= 12

EXERCiclOS PROPOSTOS (Para os exercfcios seguintes, usar

'IT =

3,14.)

8. Determine: a) 0 comprimento de um arco de circunferencia (em cm), sabendo que ela tem 12 cm de raio e 0 angulo central correspondente mede 20°. b) 0 angulo central (em rad) correspondente a um arco de 15 cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20 cm. c) a medida do raio de uma circunferencia (em cm), sabendo que nela um angulo central de 15° corresponde a um arco de 30 cm. 9. Aroda dianteira de uma bicicleta tem 40 cm de raio.

a) Quantos metros ela percorre ao dar 5 000 voltas? b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420 m?

4. 0 cicio trigonometrico Quando em nossos estudos de 1 Q grau estabelecemos a ideia de eixo, na verdade fizemos foi 0 seguinte: a) Tinha-se uma reta.

0

que

b) Tomou-se um de c) Estabeleceu-se um d) Estabeleceu-se uma seus pontos. sentido positivo. unidade de medir.

o

o

o

•

•

+

I

• •

•+

Que tal fazermos isso com uma circunfercncia? Veja: a) Temos uma circunfercncia.

b) Tomemos um de c) Estabele0

b) (sen x) . (tg x)



OT = sec x

*

A rela

cos 2

X

=>

sec 2 x = 1

+2

=>

( __ 1_)2

cos x

= .-L. 3

X

cosseno e negativo no 3 Q quadrante, temos: cos x

=

1

'\ 3

=>

321

cos x

=

= 3

=>

11 6

=>

b) sec x = ? 1 Temos sec x = cos x

1

sec x =

=>

------,o~

-./3

-3 ./3

sec x =

=>

r;;;;-

=>

sec x = --v3 .

3 c) sen x = ? sen x cos x

Temos que

= tg x.

-./3 ~ Entao sen x = cos x . tg x = - - . -V 2

sen x =

=>

3

-0/6 3

EXERCICIOS PROPOSTOS

_

29. Das sentenyas abaixo, determine as verdadeiras: a) b) c) d) e)

sen 2 (60°) + cos 2 (60°) = sen 2 (20°) + sen 2 (70°) = sen (25°) + cos (25°) = 1 sen 2 (35°) + cos 2 (55°) = sen 2 (15°) + cos 2 (15°) =

f)

1 - sen 2

(

:

)

= cos 2

1 1 1 sen 2 (20°) :

(

+ cos 2 (20°)

)

30. Determine:

-3

= 5 ' com

a) sen x, sabendo que cos x

~

b) cos a, sendo 0 < a <

e sen a

2

x do 2Q quadrante.

= ~ . 4

c) sen x, sabendo que x

e do 3

d) cos x, sendo sen x

- 2 - e x do 4Q quadrante.

=

e) sen (-x), sendo cos x f)

Q

quadrante e que cos x

--./3

1

2

=

0

=

+

e xe do 4Q quadrante.

que se pede em cada caso:

a) sen x e tg x, sabendo que x

e do 2

b) tg x, sabendo que cotg x

3'

Q

quadrante e que cos x =

14

=

To

2'

=8e0<

x

<

d) cossec x, sabendo que tg x

=

5 e que x

c) tg x, sendo sec x

,5

e) cos x e sen x, sendo tg x = -3- e f)

To

2'

eO < x <

cos x, sabendo que sen (-x)

31. Determine

-1

= 2 .

sen x + cos x, sendo tg x

=

-4 5 e

To

e do 1

< To

2

Q

X

<

quadrante.

3To

2'

< x<

322

To.

-3 4

.

Exemplo 3 Determine bern

0

valor de m tal que sen x

1+m

=

5

e que cos x

=

-

2m 5

--.

D etermme . tam-

quadrante do arco x.

0

Solu~iio

@ Sabemos que -1 :;;;: sen

x:;;;:

Sabemos ainda que sen 2 x

1+m

5

(

1 e que -1 :;;;: cos

1 + 2m + m 2

4m 2

25

25

------+--

1 =>

+ 2m + m 2 + 4m 2 = 25 => 5m 2 + 2m - 24 = 0

Resolvendo essa equa

=> 1

x:;;;:

=

2 ou m

=

12 5

e cos x

=

--

= 2, obtemos: sen x =

3 5

4 5

CD

Para esses valores, tanto a condi]

334

120°

C

~L._--,~,----.:::,.

y

x

TUNEL DO TEMPO A ideia da fun

e

cos y =

Portanto: y

Exemplo 2 Determinar

0

=

5'IT

6

rad.

dominio da hll1\=ao:

a) f(x) = arc sen (x - 3)

+ arc cos (x 2

-

10)

SolUfiio

Devemos ter simultaneamente:

@) -1 ""'x-3"'" 1

e

® 339

-1 "'" x

2

-

10 "'" 1

A condic;ao x-3;;'-1

CD nos fornece: ~

x;;' 2

A condic;ao @ nos fornece: x-3::;;I~x::;;4

A condic;ao

@

nos fornece: g(x) r

x2

-

10 ;;, - 1

~

x2

-"---." - 9

As ralzes da func;aog(x)

=

;;, 0 x2

9 sao -3 e 3.0 sinal dessa func;ao varia assim:

-

x

Comog(x) ;;, 0, entao, a condic;ao

@

se resume em: x::;; -3 ou x;;, 3.

A condic;ao ~ nos fornece: x2

As ralzes da func;ao h(x)

=

x2

-

-

10 ::;; 1

~

11 sao -"\11

x2

-

11 ::;; 0

e"\ 11 . 0 sinal dessa func;ao varia assim:

x

Como h (x) ::;; 0, a condic;ao Assim sendo, temos:

CD

®

se resume em: -"\ 11 ::;; x::;; "\ 11 .

-,II

-3

2

'\11

4

~

@ @

® (Dn@n @ n ®

• )i

•

o domlnio da func;ao e D(f) = (x E

.

t

..

i

~ IR

13 ::;; x::;; "\lll. 340

Solu~ao

EXERCICIOS PROPOSTOS 48. Determine y sabendo que:

a) y = arc cos ( b) Y

=

J[ )

c) y = arc cos 0,5

+ arc cos (-0,5)

-j2 ) d) Y = 2 . arc cos ( -2-

arc cos (-1)

49. Calcule a valor de N para: a) N = arc cos 0,9703 b) N = sen [arc cos ( : )]

c) N = tg [arc cos (

~

+ cos [arc sen (-0,5)]

)]

50. Determine a dominio das fungoes: a) y = arc sen (3x - 11) b) Y = arc cos (x 2 - 1) c) f (x) = arc sen (3 + x)

Fun~ao

+ arc cos (2x + 8)

arco-tangente

A fun

=

z

== ~

4

rad

1

-~ 0, tanto a condis:ao @ como a condis:ao res que 211" rad, 0 que nao convem ao problema. Portanto,

0

®

fornecerao valores de x maio-

conjunto solus:ao e: 5 = {11"

6'

511"} 6

EXERCiclOS PROPOSTOS

_

2. Resolver as equag6es:

a) sen (3x)

b) sen

=

sen ( 5; )

(x - : )

=

d) sen

(5X - ; ) - sen (3X +

e) 2 . sen 2 x + 7 . sen x - 4

;-

f) sen 2 x - 1

c) sen 2 x - 7 . sen x = -6

=

= 0,

0, para 0 ~ x ~

; ) =0 para 0 < x <

1T

1T

3. 0 triangulo mostrado na figura tem 50{3 m 2 de area. Determine a medida do angulo

ct.

~ 20 m

Equa~ao

do tipo cos

X =

cos a

A figura mostra urn ciclo trigonometrico com urn arco AM que mede a. Note que todos os areos de extremidade em M possuem 0 mesmo cosseno do arco de medida a. Tambem possuem 0 mesmo cosseno de a todos os arcos de extremidade em Mj, onde M] e simetrico de M com relas:ao ao eixo dos cossenos.

Y Eixo dos senos Cosseno o

-+--------"a....-=-......"----~----'~x -0

Assim, concluimos:

I

cos x

=

cos a

¢*

x

= :::'::: a

Exemplo Resolver: a) cos x = cos ( 3; ) b) 4 . cos 2

X -

c) 2 . cos (5x)

12 . cos x =

+5

=

0

1 para 0 < x < 11"

2

378

+ k . 211", k E 7L I

Eixo dos cossenos

SolUfiio

a) cos x

= cos

( 38'iT )

Devemos ter:

+ k . 2'iT, k E 7L

x= ± 3'iT 8

o conjunto solus:ao e: S

b) 4 cos 2

X -

f

=

E IR Ix

=

+ k . 2'iT, k E 7L}

± 3;

12 cos x + S = 0

CD Fazendo y = cos x, com -1 :;;;; y:;;;; 1, temos a equas:ao do 2 Q grau 4 y 2 t1

= (-12)2 - 4 . 4 . S

~

t1

= 144 - 80

~

t1

y= -(-12) ± 8 Entao: y = - - ' - - - ' - - 2·4

20

12 ± 8

, ' v'al or possive 'ld ' -1 . P ortanto: cos x 0 LlI1lCO eye

2

2

\

1 2

= -1 . 2

• 3

I

1

2

o conjunto solus:ao e: S

=

f

E IR Ix

=

±

~

+ k . 2'iT, k E

c) 2· cos (Sx) = 1, para 0 < x< 'iT 2 Temos:

21

cos (Sx) =

Uma solus:ao

e Sx = ~

Entao: cos (Sx) = cos (

rad, pois cos (

~

~

) =

).

379

~

+S

(Esse valor nao serve; veja

~ ) = ~, temos que cos x = cos ( ~ ). 3

12y

=

O.

"\ t1 = 8

ou

8

-

~

~

8

y=

Como cos (

= 64

7L}

CD.)

Dessa forma, devemos ter: 5x = ± ~ 3

x

+ k· 2"IT, k E 7L, ou seja:

= ~ + k· 2"IT !l E 7L ou x = - ~ + k· 2"IT k E 7L 15

5 "

15

5

J

'

@ Como

°<

x < ~,faremos k variar ate que seja conveniente. Assim: 2

Para k < 0, nem a condi

:: 3: [ cos

2

~O =

0

11x

=k·

= sen 0 ,tenlos: 11x

Pal"a sell 11 x 2

2

o

= k . 21T

=> X

= k . -21T-

11'

1T, k E lL. Portanto:

Il E lL

1T , tenlOS: -3x Para cos -3x - = cos 2 \ 2I 2

+

1T 2

Il . 1T, Ie E lL. Entao:

o 3x = 1T + k . 21T

=

=> X

+

1T

3

Il'

k E lL

21T

3 '

o conjunto solll

) = sen x

;

ou 4x -

=>

4X)

+ Ie . 21T, k E

lL

1T 2

+

Il . 21T

Oll

=>

5x = 1T

+

1T 2

+ Ie . 21T, Ie

21T

"

6

;)

ou 31T x= - 10

Portanto,

0

+ k·

21T Ie E 7L 5 '

conjunto solu cos x

b) sen

(4X

;) ~ cos

(x + :

)

Do mesmo modo que fizemos para as equas:oes trigonometricas, estudaremos alguns tipos fL1I1damentais de inequas:oes. Em geral, as inequas:oes trigonometricas recaem naqueles tipos fundamentais atraves de transformas:oes convenientes.

Inequa~oes trigonometricas

do IQ tipo

Sao inequas:oes que podem ser colocadas numa das formas seguintes: sen x > a, ou sen x

~

a,

OLl

sen x < a ou sen x

~

a, com -1

Observe a figura: Eixo des senos

Arcos x tais que sen x

_+

~

't-'-A,--.... Eixo dos cossenos

".,.,.....L.i~,..

Arcos x tais que sen x < a

Exemplo 1 Resolver as inequas:oes trigonometricas:

a) sen x < ~ 2

=a

b) 2 . sen x

385

~

\3

~

a

~

1

Solurao a) sen x < Percorrendo e sen (

cicio no sentido positivo, a partir de A, notamos que sen ( ; )

0

2; ) ';

Veja a figura: Eixo dos senos

Onde estiio as extremidades _l----~~ dos areos proeurados

_¥

.,.

-t>-!A:l-.... Eixo dos eossenos

o

conjunto solus:ao e obtido percorrendo 0 cido no sentido positivo, a partir de A, ate completar uma volta, e em seguida generalizando. Dessa forma, os arcos x procurados sao tais que:

< ~ + k . 21T

o + k . 21T OS; X

OU

3

21T + k . 21T < 3

X

< 21T + k . 21T, k E 7L

o conjunto solus:ao e, portanto: s= b) 2 . sen x

~

f

E IR Ik . 21T OS; X < ; + k . 21T ou 2; + k . 21T <

,'3

~ sen x ~

Utilizando a mesma figura do item a, temos que

S

0

< 21T + k . 21T, k E 7L}

"\ 3

Temos que 2 . sen x ~

Exemplo 2 Determinar

X

=

{x I; + E IR

k . 21T

OS; X

0

conjunto solw;:ao e:

OS;

2; + k . 21T, k E

conjunto solus:ao da inequas:ao: Isen (4x) I <

386

1 2

~

Solufao

Devernos ter:

CD ~ < sen (4x) < 1 2

2,

@ A condic;:ao

CD nos di sen (4x) > -

1 2

A condic;:ao

CD e

@

nos di sen (4x) <

-~-------;d----... 4

---'t-------;:I-------f4

Como

@

devem ocorrer simultaneamente, fazendo a intersecc;:ao, temos: Eixo dos senos

1T

----£).---~------Q

0

cicIo no sentido positivo, a partir de A, e generalizando, temos:

o + k . 21l" ~ 4x <

1l"

6

1111" - + k . 21l" < 4x < 6

Portanto S

=

0

t

~ Onde estao as extremidades ~ doarco3x

----'-'A~~ Eixo dos cossenos

_-&-_ _-----;::I

Percorrendo

"6

+ k . 21l" 21l"

+ k . 21l" < 4x <

51l"

6

1l" 24

1l" 2

+ k . 21l" ou

51l" 1l" 71l" 1l" ou --+k'-__----.-• 3

2

-2

19. a) [-4,3]

c) ]-6,

--12[

d) {2 - ,~, 2 + ,~}

g)

~

h)

•

-3

3

,.~

e) ] -00,

b) 13

c) 14 b) 11

d) 11

b) {1}

a) [-10,5]

b) ]-6,6[

c) 0 c) IR

d) [-2,2] d) ]-x, 4]

c) 3

d)

b) -3 25.x=-10oux=10

~}

,2

a) 31 a) 6 a) [-2, 4]

24. a) 12

3,'13

i)

~

2

d) ]7,5; oo[

b) [1,)1Q[

+ ,~}

~

2

f)

_ _~ -2

20. 21. 22. 23.

6(,15 - 2) 11

c) 38 - 12,10

c)

b) 0

...- - -••-~~. -3 5

c)

3

2

14. a) 9 + 4-J5 b) 1 15. Verdadeiras: b, d, g, h 16. a) {-2} b) {-2,

18. a)

.J6

~

]

f) ]-10,10] e) 15 f) 9 c) infinitos e) [2,5] f) ]-3,3] e) ]-00,3] f) [-2,00[ 5 e) - -

1

10

-

f)

3

17 12

26. 0, 1, 2, 3, 4, 5 27. -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 28. {x E IR I - 5 ~ x ~ 5} 29. b, c, g, h 30. a)

1

4

b)

31. a)

~53

32. a)

25

b) 4

1

b) -

33. a)

1

2

25 99 b)

2 3

c)

23 90

d)

6

e)

5

11

9

46 45

f)

d) ~9

\6 3 1

c)

2

c)

16

9

34. {-2, 0, 2} b) [-2, 5] 35. a) [-4, 6[ 36. 91 40 37. 1,3 e 9 38. a) 14 b) J.±39. 15 9 40. {-1, 0, 1}, {-3, -2, -1}, {1, 2, 3} 41.b 42.d 43. a 44. a 45.c 52. d 53. d 54. c 55. b 56. d

d) 25

e)

5

3

f) 1

d) 13

g)

2

f) 7

h)

g)

c) [-3, 6[

d) [-2, 5]

e) [-4, -2[

46.d 57. b

48.d 59. b

50.e

398

47.d 58. e

49. a 60. d

3

16

2

51.c

Capitulo 3 - FUNC;:OES 1. Y = 2x + 1 2. a) a = 8 e b

=

b) a

4

3.

=

1eb

4 3

=

= 3 au

c) a

a

=4eb=2

d) a = 5 e b = 3

y

F, __

4 3 D

---- - e

2

E

A

-2

4

--->--+-----:+-----+---;~~

-4 -3

e-

-3

B

4. a) b) c) d) 5. a) 6.30

A x 8 8 x A

x

0 -I

{(-2, -1), (-2,1), (0, -1), (0, 1), (2, -1), (2,1)} {(-1, -2), (-1, 2), (-1, 0), (1, -2), (1, 2), (1, O)} A 2 = A x A = {(-2, -2), (-2,0), (-2,2), (0, -2), (0, 0), (0, 2), (2, -2), (2,0), (2, 2)} 8 2 = 8 x 8 = {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} 8 b) 4 c) 8 d) 16 = =

7. a) 4

b) 4

c) 8

b)

8. a) e-

e

- e 4

c)

y

e

4

e ~

- -- e

-i

- e------e

2

, , _I

-3

0

d) 2

•

o

x

-2

1

• -

-.

- -e

-- - - -

4

o

x

2

x

- - - - - -e

-3 - e- - - - - - - - ...

f)

e)

d)

4

2

-2

o

x

o

9. a) A={-2,0,2}e8={-2,-1,1,2} b) A = {- 2, -1, 0, 1, 2} e 8 = {2} c) A = {2} e 8 = {y E IR 1-3 < Y < 3}

399

4

x

o

x

d) e) f) 10. a) b) c)

A

= {x E

A

= {x E

IR 1-3 :;;; x:;;; 3) e B = {y E IR 1-2 :;;; y:;;; 2) IR 1-3 < x:;;; 4) e B = {2) A = {XE IR Ix:;;, -3) e B = {yE IR Iy:;;. -1) R1 = {(-1, 2), (0,4), (1, 6), (3, 10)) R2 = {(-1, 1), (0, 0), (1, 1)) R3 = {(-1, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 6))

11. a) R1 =

{(-2, -f). -1),(-f, -2)}

b) R {(-1, -f).(-f, o)}

(-1,

2 =

12. a) R = {(2,9), (3, 6), (6, 3), (9, 2)) b) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3))

13. a) R = {(O, 10), (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2), (5, 0)) b) R = {(O, 5), (5, 0), (3, 4), (4, 3), (0, -5), (3, -4), (4, -3)) 14. a, b, e

15. a)

c)

b)

d)

16. a, b 17. a)

b)

1a

~

1

2

c)

2

e)

4

d) {1, 2, 3)

3

~

-13

19. a) 16

3

b)3

20. a) {2, 3, 4)

c) -

c) -3

-2 1

4

f)

d)

13 - 8-/2

b) {-3, 0, 3)

d) -18

5

c)

21. 4

22. 5x - 7 23.9

24.

3

4

25. 18

400

{~, 1, 3}

{~ , ~ , ~} f) ~ 5

e) 1

x = 1 au x = - 3

e)

{~,2, ~,3, ~}

f) x

d)

= 2 au x =

{o, ~}

2 5

26. a) IR

f) {x E IRlx

b) IR c) {x E IR Ix

{x

d)

> -

. I) {xE 1R*lx* 2}

* -1 ex * 1} * 3 e x * 4} {x E IR Ix ~ ~}

m) {x E IR Ix > 2} n) {x E 1R*lx > -2}

g) {x E IR Ix h) {x E IR Ix

* 2}

x;;. - ~}

E IR I

i)

j) {x E IR Ix ;;. -

e) IR

Y

27. a)

~}

~

ex

0) {x E IR Ix;;. 2}

* ~}

p) {x E IR Ix;;, 2}

c)

b)

• •

..:,

-2

_I

0

x

2

x

x

, .-

-3

28. a) •

--

6

•

.

Y

b)

c)

b)

c)

• 0

-3 -2 -I

2

3 x

• -2 • -3

YJ 29. a)

-3

-2

•

•

3

_I

0

-5

• 2

3

•

x

-5

401

30. a)

b)

4

c)

•

2

• -3

-2

• _I

I

x

0

-3

31. a)

-2

_I

x

0

-3

-2

-1,0_11

2

x

-I

b) 4 •

2 - •

• -2

•

o

-I

x

2

2

-I

•

-

-2

•

-4

-4 \

y

32.

•

8

I -2

-

•

-I

o •

I

2

-2

x

-I

-8

402

x

33. bed 34. a, c, g, h 35. a) b) c) d)

= {-1, 0, 1,2, 3} elm = {-2, -1,0,1, = [0, 4] e 1m = {y EO IR 1-3 ~ Y ~ 2} D = IR e 1m = 1R*r

D D

D = {x EO IR 1-2

~

x

~

2}

3} e 1m = {y EO IR 1-2

36. a) -2 e 1

Y ~ 5}

~

c) -2, 1 e 4

b) -3

37. a) Crescente: ]-00, -2] e [0, 00[. Decrescente: [-2,0] b) Crescente: ] -00, 3]. Decrescente: [3, +oo[ c) Crescente: nao existe. Decrescente: IR 38. a) IR b) IR c) Crescente 39. a) b) c) d) e)

IR {y EO IR Iy

31

d) x =

1

g) Nao

3

h) Nao

i) Nao

g) x < h) Par

4}

]-00,0] [0, +oo[ -2 ou 2

i) 0 j) 4

IR

40. a)

f) x<

3

-2 < x < 2 - 2 ou x > 2

f) ~

1

e) x>

c) Nao d) Crescente

b) 1R*r

c)-3,-1,1e5 d) -1 < x < 1

41. a) [-3,5] b) Crescente

g) x> 1 h) Nao

e) Nao f) x = 0

i) Nao j) Zero

g) {yEO

e) 3 f) 0

1R1-3~ y~4}

42. Sobrejetoras: a, c, d, f; Injetoras: b, c, d; Bijetoras: c, d

43. b, c 44. Verdadeiras: c, d, e. Falsas: a, b

45.

46.

,-1

= {(2, -3), (4, -1), (5,1), (3, 2))

47. g-1(_4) 48. a) b)

,-1 ,-1

=5e

(x) =

=8

~

c) 9 -

d) 5 b) - 3

37 4

51. a) a, b, d, e, f

1

(x) =

4

(x) = 2x- 3

49. a) 0

50. a)

g-\3)

,-1

(x)

=

2x - 1 x - 2

x3

-

2

c)

b) 3

b) a, b, d, f

403

(

x oF

3

2)

e)

f) - - 11

6

,-1 ,-1

(x)

= ~x -1

(x)

= x+2

d)

2x - 5

8 5

(x oF

~

)

c)

0

@

.".+ '\

//1-

'\

,

0 0 ,

y

®

x

x

eD

.".1-

'\

.".1-

'\

x x

52. a) 6x + 1 53. a) 2x 2 54. a) -11 55. 2x + 1 56. 4x - 2 57. 8x - 9 58. 3x - 1

b) 6x - 3 b) 2x 2 + 12x

d) f

-1

(x) =

X

9

4

4

8

61. a) 7 62. 2x + 7 63. a) x = -4 au x = 4 64.8 65. a) {x E IR Ix;;. 0 e x"* 4}

b) x

=

1 au x

=2

b) {XE IRlx> 1}

5x + 1 66. - - -

x+

+

e) -16x 2 + 40x - 4 f) -228 1 b) 5 au c) 5 2 b) 30x - 98

b) -3 c) 1

d) 4x + 3 4 2 d) 8x - 24x

c) 9x - 8 c) x + 6 c) 97

15

b) -8

59. a) -20

60. a)

+

1

67. a)

b) f -\x) = {(0,1), (3, 2), (8, 3), (15, 4), (24, 5)}

404

+ 15

d) 22

g) 64x - 36 h) -2x 2 + 13x- 4 i) -4x + 10

d)

c) x

=

5

2

au 3

3

c) {x E IR Ix"* 2 e x"* 5}

d) {x E IR Ix

> 4}

68. Y = 60 - x 2 69. a) [-2, 2] 70. a) IR* b) IR* 71. {-2' -1, -

72. 0 82. d 93. c

~

b) [0, 2] c) 1 c) Decrescente

d) 2 d) fmpar e) IR-,

f) [-1,1] g) Zero h) Zero

e) 0 f) IR~

, 0, 3}

73. 9 (33) = 19 83. b 84. e 94. c 95. b

74. 0

76. d 87. a

75. 6 86. d 97. d

85. a 96. b

77. d 88. e

79. e 90. b

78. c 89. d

80. c 91. e

81. b 92. d

Capitulo 4 - FUNC;:AO DO IQ GRAU b)

1. a)

y

y

c)

2

0

x

0 -I

0

x

x

-2

2. a, b, d, f 3. a) -17

~

~

-1

4. a) 4x - 3 3 5. a) -2 6. a) 3 7. a) 8x - 63 8. a) y = 100 + 5x 9. Y = 4x + 180

10. a)

d) 5,2 - 2

-2

+9

b) 12x+ 21

c) x

b) -1

c) 0

b) -17 b) 24x - 47 b) 700 UT

c) 23

c) 40 km

b)

c) y

11. a) Crescente 12. a) m = 2 13. Y = 4x - 6 14. a = 2 e b = 9 15. a) y = x + 6 16. a) y = 3x - 4 17. 25 min 18. a) x=4

19. a)

(-t, 0)

o

x

x

b) Decrescente b) m> 2

c) Decrescente

d) Crescente c) m < 2

b) Y

=

+ 1 2x + 3

c)

b) x

=

0

c) 0,5

b) Y = -2x

b)

(~,

0)

c) (5, 0)

405

y = -3x + 1

d) (0,0)

2

x

20. a) x b) x

< 2 => Y < 0; x = 2 => Y = 0; x > 2 => Y > O. < 0 => Y> 0; x = 0 => Y = 0; x> 0 => Y < O.

e) x < 0

=>

Y < 0; x = 0

=>

Y = 0; x> 0

=>

Y > O.

2 2 2 d) x < -3 => Y > 0; x = -3 => Y = 0; x> -3 21. a)

b) Y < 0

Y< 0

22. a) {x EO IR Ix

>

2,7}

b)

{xEOlRlx~ 1~}

<

x<

d) y> 0

~}

{xEOlRlx>-~}

e) {x EO 1R13

{x

<

e) {x EO IR 1-3

~

~

f) {x EO IR I0 < x <

25. a) {x EO IR Ix < -2 au x> 3} b) {x EO IR Ix ~ -3 au x> 4}

f) {x EO IR Ix <

+

~

au x >

1;}

b) {x

EO IR 1-2

1:}

~ x~

29. a) IR

e) {-0,4}

b) 0

d)

30. a) m = 5

{x

f)

EO IRlx"* ; }

EO 1R11

au x >

{x

g) {x EO IR Ix;;;. 9}

~}

< -

EO IRlx

e) 10x-11

= ~- ~

b)

3

2}

~ x~ ~} h)

e) m < S

b)7 3

{x

~- ~

e) {x EO IR Ix > 2}

b) m"* 5

31. a) 4

32. a) f (x)

b)

~}

~}

au x >

27. a) {x EO IRlx~ -1 au x;;;. 6}

{x

3 0} 7

1 au x;;;. S}

b) {x EO IR Ix < -2 au 0 < x < 4}

28. a)

EO IRlx >

d) {x EO IRlx > -

26. a) {x EO IR Ix < -3 au 2 ~ x ~ 4}

EO IR Ix

y> 0

< x< 6} < x~ 1}

d) {x EO 1R1-1 e) {x EO 1R1-2

e) {x EO IR Ix < 0 au x> 2}

e)

~}

x< x

f

d)

~ x< 10}

EO 1R1-2

d)

b) {x EO IR Ix ~ 2 au x;;;. 4} EO IRI-S

e)

~ x~ 2,S}

24. a) {x EO IR Ix < -3 au x> 2}

{x

Y < O.

e) Y = 0

23. a) {x EO 1R1-1 < x< 1} b){XEO 1R12

e)

=>

{x

EO IRlx;;;. -40}

d) m> S d)

4 x= - S

e) x = -4

25 3

33. Y = 76

34. a)

-+

b)

35. a) y = 42 - 4x 36. a) {O, 1, 2, 3, 4, 5} 37. 42 38. 1 39. m = -3 en 42.

S= {x

EO IRlx

~ ~

au

2-

e) 2

2

b) 34 em b) {-2, -1,0,1,2,3,4, 5}

= -1

40. 99

e) 1,5 e) {x EO IR 1-2

~

x

~

S}

41. x = 8

x 2} >

43. S = {x EO IR Ix < 0 au x;;;. 2} 44. S = {x EO IR Ix ~ -8 au -4 < x < 2} 45.18 46. {x EO IRlx> 1} 47. b 54. aSS. d 56. e 57. b 58. e

48. b

49. d

e

60. b

59.

406

50.

e

51. b

52. e

53. a

Capitulo 5 - FUNC;:AO DO 22 GRAU 1. a, b, f 2. a) m 3. a) m

*4 * 3 e m * -3 1

5. a)

b)

2 1

3

2

+8 6x + 4

11. a) Y = Sx - 14x

16. a)

d) 9-7,2

1

c)

2

-

3 2 7

c) -"60u2

8. bed

10. k > 5 12. f (x) = 2x 13. 5 14. a) -9 15. Xv = 2

c) m = 3

b) 0 au "6

7. 19.310 UV

2

4

5

1 2

0U

m=

c) 1

b) 13

4. a) 3

6. a)

b)

b) m = -3

-

b)

y= _x 2 + 3x

c) f (x)

1

= 2

x

2

-

X -

1

b) -21

v(~ -~) 2' 4

b) V(7, -9)

17. a) {y E IR IY;;. -16}

c)

v(~

d)

v( ~ , ~~ )

2'

_...!..) 2

c) {rEIRIY;;.-

d) {yE IRIY~ 4}

e) V(O,9)

f) V(2, -16)

~~}

e) {y E IR jy ~ O}

f) {y E IR IY;;. S}

c)

18. a)

2

o

x

x

-I

-I

-2

b)

y

d)

x

x

407

19.

20.

(1,3) (-2,0) x

x

-2

21. 7 22.3 23. P = -4 e q

= -12 = 2 ou m = 5 m=0

24. m

25.

26. c = R$ 675,00 27. x

=6

28. a) y = - x 2

+ 3x +

e) y = 342,25 em 2

b) x = 1,5 em

340

29. a) depois

b) 40

b) S={0,6}

30. a) S={1,9}

e) S=

{~}

d) S={-4,4}

e) S=0

31.a)1e5 b)-4 e)Oe2 32. a) x < 3 ou x> 5 => Y > 0; x = 3 ou x = 5 => Y = 0; 3 < x < 5 => Y < 0 b)

x < -2 ou x> 4 => Y <

e) x < 0 ou x >

5

"2

d) x < 0 ou x> 4

=>

e) x < -3 ou x> 3

=>

0;

= -2 ou

x

= 4 => Y = 0; -2 <

Y > 0; x = 0 ou x =

Y < 0; =>

x

x

= 0 ou

x

5

"2

= 4 => Y = 0; 0 <

5

"2

=>

=>

Y< 0

x < 4 => Y > 0'

Y> 0; x = -3 ou x = 3 => Y = 0; -3 < x < 3

f) 'IX E IR => Y > 0 g) x = -2 => Y = 0; x oF -2

d)5

x < 4 => Y > 0

Y = 0; 0 < x <

=>

f) S= { ; }

=>

Y< 0

Y< 0

h) 'IX E IR => Y < 0 i) x < -1 ou x > 2 => Y < 0; x = -1 ou x = 2 => Y = 0; -1 < x < 2 = Y > 0 j) x = 0 => Y = 0; x oF 0 => Y > 0

33. a) {XE IRlx< -20ux>6}

1-5

f) {x E IR Ix

b) {x E IR < x < -2} e) {x E IR Ix ~ -4 ou x ~ 5} d) {XE IRIO ~ x~ 2}

g) IR h) 0 i) IR

e) {x E IR Ix ~ -5 ou x ~ 5}

j)

{x

~ - 4 ou x ~ ~}

m)0 n) {x E IR

0) E IR I

x

34. m> 6 35. -10 < k < 0 36. -~ < m < ~

2

I) {3}

2

408

oF

~}

1-4 <

x < -2}

{xElRlx~10ux~3}

37. a) {x E IR

12 < x ~ 3}

b) {xEIRI0 5} ~ x~

b) {xE 1R1-3 c)

{x

-1 au 1

~ x~

e) {x E IRlx

2}

f)

~ ~}

E IRlx

b) c)

au 1 < x

~ 2 au x

> 5}

{x E IR Ix < 2 au x> 5}

g) {XE IRlx~ 6}

d) {x E IR [-2 < x < 0 au 1 < x < 2 au x> 3}

39. a) {x E IR Ix

f

~-

h) {x E IR Ix < 4}

~ -+ au x ~ ~}

{x E IR 1-3 ~ x ~ 0 au x ~ 2} {x E IR Ix = 0 au x> 1 ex*- 4}

40. a) m *- -5 em*- 5

b) m

=

c) m < -5 au m > 5

-5

d) m

=5

1

5

41. a) 18

b) 2

c) 0

d)

42. 1m = {-1, 0, 3} 43. a) V(5, -25)

b) {0,10}

c) -25

d) {y E IR IY ~ -25}

44. a) (

11

49)

2'4

45. k = 2 46.8 47. a) Y = x 2

-

b) Im(f)

4x + 3

b)

48. a) V(2, -1)

=

{r

E IRIY

Y = -x 2 + 4x - 4

c)

b) V(2,0)

c)

~

au 2

::}

y = x2 +

X

+

1

v(-f, ~ )

49.8 50.6 51. IR+ 52. {XE IRlx< 1} 53.7

54. a) a

= 1, b = -4,

c

= -5

b) f(O)

= -5

c) f(x) tem valar minima, pais a

=1>0

d) (2, -9)

e)

x

55. S

= {x E IR 1-3 < x ~ = 1en=0

-1 au

x> 3}

56. a) m

b) 5

57. d

58. b

59. a

60. a

61. a

62. d

63. a

64. d

65. e

66. b

68. b

69. d

70. b

71. c

72. c

73. e

74. d

75. b

76. b

77. d

409

67. a

Capitulo 6 - FUN(:AO MODULAR 1. a)

c)

y

y

e)

4

x

b)

x

d)

-4

x

2. a) -2

c) 1

b) 2

3. a)

4. a) 3

y

x

6. a) -6

5.

2

410

b)

b)

y

c) IR+

7. a) h(x) = - Ix +

31

b) h(5) = - 8

c) 1m = IR_

8.

x

2

9. a) h(x) = Ix + 4x + 10. a) 0

31

b) h(-1)

=0

b)

-3

c) 1m

= {y E IR IY;;. -2}

11.lm={yElRly;;'4}

12. a)

2

b) 1m

x

= {yE IRIY;;. 3}

13.

-I

x

411

c) h(-3) = 0

14. a) S

=

b) S =

{3, 5}

c) S

{~ ,~

d) S

= {=

f

17. a) S

{3'

=

E IRlx

f) S =

d) S

~ - ~}

~}

18. a) S= { ; , S}

= {2,

b) S =

{x

b) S

{4}

=

6, 4 -

c) S = {x E IRlx < -

~

au x>

=

{~, ~1}

2, 4

E IRlx,,;;;

+

c) S

{-2, 2}

b) S={xEIRI-7,,;;;x";;;1}

d) S

=

23. a) S = {x E IR [0 < x < 2 au 4 < x < 6} b) S = {x E IR I 2 - 7 ,,;;; x,,;;; 1 au 3 ,,;;; x,,;;; 2 +

=

{-5, -4,4, 5}

d) S= 0

{x

IR [x,,;;; 3 au x ~ 5} IR 1-4 < x < S} E IR

1-

+x <

<

~}

14}

b) 0 = {x E IR Ix,,;;; 0 au 2,,;;; x,,;;; S au x ~ 10}

E IR Ix ,,;;; - S au x

~ ~

26. a) S = {x E IR Ix < 1 au x >

~}

b) 2

e x 1= 3} b) S

=

{x E IR 1-

~

b) S = {x E IR Ix,,;;;

c)

+

< x < -

~

2

f) 1m

e)

au x

e x 1= -

~ 2}

d) 14

=

{y E IR Iy

~

2}

g){xElRlx~O}

h) {x E IR Ix,,;;; -3}

28. a) -2

o

x

b) 2

[x ~ 2~}

7}

c) S={xElRlx 2}

~

c) 0 = {x E JR 13 < x < 4 au x> 4}

e x "* -

61. a) D b) D

= =

{x E JR Ix < -M {x E JR 11 < x < 2}

62. a) S

=

{x E JR Ix > 14}

~} <

- 10

au

d) 0 = {x E JR 11 < x < 2 au 2 < x < 4}

x

{x

E JRlx;3

<

-3 au x> 5}

d) S = { X E JR 1- 299

.,:;

x <

1}

2

e) S={xEJRI-3

2}

d) 0 = {x E JR Ix < 3 au 4 < x < 6 ex*- 5}

b) 0,74

c) 0,7

d) -0,9

e) 1,6

b) 1 - b

c) 2 - 4b

d)

e) ~ b

419

1

a

74.

5

75. xyz = 8

2

76. a) S= {\2;}

S={XEIRI~

77. a)

b) S={-2,6}