edgar-possani-espinosa-estadistica-y-probabilidad.pdf

y probabilidad

Edgar Possani Espinosa

Preuniversitario

Santillana

El libro Estadfslica y probabilidad fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: EDIC I 6N

Sergio G. Lopez Herna ndez REV I SI6N TtCNICA

Silvia Vazquez Gal ina CORRECCI 6 N DE ESfilO

Ester Alizeri Fernandez CUIDADO DE lA EDI CI 6 N

Veronica S. Hernandez Robles OISENO DE INTERIORES

losl: Luis Acosta DISENO DE POR TAD A

Francisco Ibarra J\leza Yair Caiiedo Camacho IN V ESTlG AC16 N I CON OG RA FIC A

Paula Arroio Sandoval I LU ST RA Cl 6 N

Heidi Puon Abebrdo C ull.'bra Bahena lose Luis Acost.} FOTOGRAFiAS

Rocio Ech:i.varri Rentaria Heidi Puon Gabriel Martinez J\leave Archi\'o Sant illana Jupiter Images DI AG RA M AC ION

Heidi PUOll Jose Luis Acosta

La preselltacion r disposicion en conjunto y de cada pagilla de Estadistica )' probabilidad son propiedad del editor. Qlleda estrictamente prohibida la reprodllccion parcial a total de esta obra par cualquier sistema 0 metodo electronico, incluso el fotocopiado. sin autorizacion eseri ta del l'd itor. © 2008 por Edgar Possani Espinosa

r Leticia Barreiro Castellanos.

D. R. © 2008 por ED ITOR IAL SANTI LLANA. S.A. DE C\'. A\,. Uni\'ersidad 767, 03100, J\lexico, D. F. ISBN:

978-970-29-2166-0

Primera edicion: abril de 2008 Segunda reimpresioll: marza de 2011 !\Iiembro de la Ca mara Nacional de la Industria Editorial !\\exicana. Reg. NlLlll. 802 IMPRESO E~ ~IEXICO

Santilla a

Unidad 1. Estadistica descriptiva

8

Introducci6n

10

1 Descripci6n de datos por medio de tablas y graficas Diagrama de tallo y hoja Distr ibllcion de frecuencias Histograma Gnificas circulares y poligonos de freclle ncias Frecuencia aCllmlllada y ojiva

12 13 16 22 30 32

2 Medidas numericas representativas Introduccion a la sumatoria Medidas de tendencia central Medidas de variabilidad

34 34 35 40

3 Anillisis de datos bivariados Diagrama de dispersion

48 48

Repaso Matematicas y otras ciencias Actividades Autoevaluaci6n Ejercicios de refuerzo

52 53 56 60 63

Unidad 2. Conjuntos y combinatoria

68

Introducci6n

70

1 Fundamentos de la teorfa de conjuntos Fo nnas de expresar un conjunto Conjunto finito e infinito Nociones basicas y simbologia Operaciones con conjuntos Dife rencia de conjuntos )' complemento Cardinali dad de conjllntos Ca rdinalidad y operaciones con conjuntos

71 72 74 74 78 82 86 90

Santillana

fNDICE D E CONTEN I DO

3

r

2 La combinatoria EI principio de la multiplicaci6n Factorial Pennutaciones simples y circulares Permu taciones con rep etici6 n )' variaciones

Combinaciones EI tria ngulo de Pascal EI binomio de Newto n Repaso Matematicas y otras ciencias Actividades Autoevaluaci6n Ejercicios de refuerzo

Unidad 3. Probabilidad

109 113 117

120 124 126 130 132 133

136

Introducci6n

138

1 Experimentos y espacio muestral Espacio muestral equiprobable

139 142

2 Eventos

144 145

Eventos comb inados

3 EI concepto de probabilidad

4

97 100 103 106

Propiedades de la probabilidad Probabilidad cond icional Independencia

148 151 155 161

4 Variables aleatorias Valor esperado Varia nza y desviaci6n estandar

164 168 171

Repaso Matematicas y otras cienc ias Actividades Autoevaluaci6n Ejercicios de refuerzo

176 178 181 183 185

[NOICE DE CONTENIDQ

Sant:'lana

Unidad 4. Estadistica inferencial

188

Introducci6n

190

1 Distribuciones de probabilidad Distribuci6n binomial Distribuci6n normal Aproximaci6n normal de la binomial

192 192 197 204

2 Muestreo Censo Proceso de muestreo Muestreo aleatorio probabilistico Distribuci6n muestral y el teorema central del limite La aplicaci6n de cuestionarios

207 209 210 216 233 240

3 Regresi6n lineal Covarianza y correlaci6n Estimaci6n de los para metros de una ecuaci6n lineal

245 247 253

4 Pruebas de hip6tesis

259

Repaso Matematicas y otras ciencias Actividades Autoevaluaci6n Ejercicios de refuerzo

267 272 274 276 278

Apendice. Soluciones de ejercicios selectos

282

e Santillana

iNDICE DE CONTENIOO

5

E

I objetivo de est a obra es ensenar los fundamentos de la estadistica y la probabilidad a estudiantes que cursan la materia en el ultimo al10 de bachillerato. sobre todo -aunque no exclusivamente- a quienes siguen el plan de estudios de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP) de la UNAM. A 10 largo del Iibro se explican los temas esenciales con objeto de que la obra resulte util por igual a alum nos inscritos en areas cientificas que a los que han decidido dedi carse a alguna disciplina humanistica. Para ello se han incluido numerosos ejemplos y ejercicios procedentes de diferentes ambitos. con 10 que se busca fomentar el reconocimiento de los aspectos matematicos implfcitos en diversas actividades. asi como favorecer las habilidades del estudia nte relacionadas con la busqueda. la organizacion. el analisis. la interpretacion y la presentacion de los datos. En la primera unidad se abordan los conceptos y las herramientas gnificas fundamentales de la estadistica descriptiva; en la segunda se explican los temas esenciales de la teoda de conjuntos y la combinatoria. en tanto que en la tercera se establecen las bases de la teoda de la probabilidad para que. final mente. en la cuarta se integre todo 10 expuesto en aplicaciones de la estadistica inferencial como el muestreo y las pruebas de hipotesis. Esperamos que esta obra motive el gusto de los estudiantes por la materia y les permita comprender no solo la utilidad sino. tambien. la neces idad de contar con bases solidas en estadistica y probabilidad para su futuro profesional. Deseamos expresar nuestro agradecimiento a Luis Felipe Gonzalez Perez. colega nuestro dellnstituto Tecnologico Autonomo de Mexico (ITAM). por las sugerencias y la orientacion que nos brindo al principio de la obra. LOS AUTORES

7

La estadistica es una disciplina de alleja prosapia, ya que desde la antigiiedad los romanos obtenian datos para analizarlos y contar asi con informacion que les resultara provechosa en el momento de tomar decisiones de Estado. Durante cientos de ailOS se han utilizado tecnicas estadisticas para organizar, resumir y analizar datos. Hay numerosas herramientas usadas con tal proposito: tablas, representaciones graficas, promedios, porcentajes, indices. Hoy en dia, todas ell as aparecen constantemente en diarios, revistas y noticiarios radiof6nicos 0 televisivos para describir al publico, de forma comprensible y eficaz, situaciones 0 procesos que de otro modo resultarian dificiles de entender. La estadistica actual es producto del encuentro, en el siglo XIX, de dos disciplinas: la estadistica antigua y el c:llculo de probabilidades, 10 que permitio el desarrollo de procedimientos para extrapolar conclusiones obtenidas a partir de un conjunto de datos a otro conjunto de observaciones potenciales. Esta rama se conoce como estadistica inferencial, y se considera a Karl Pearson (1857-1936) y Ronald Fisher (1890-1962) sus fundadores. Por otra parte, los metodos que organizan y resumen datos constituyen la rama de la estadistica que llamamos descriptiva, tema del que nos ocuparemos en esta unidad, en la medida que concierne a un programa de estudios de bachillerato. A fin de emplear un lenguaje comun a 10 largo del texto, vale adelantar que en estadistica el conjunto completo de individuos sobre los que pueden realizarse observaciones de interes se llama poblacion, mientras que un subconjunto de 1a poblacion se llama muestra. Tal generalizacion implica un riesgo, puesto que las conclusiones a que se llega parten de informacion disponible, pero incompleta. De ahi la importancia de elegir una muestra representativa de la pobla-

KARL PEARSON arl Pearson (Land res, 1857-1936) comenz6 a desarrollar conceptos estadisticos en 1890; publico alrededor de 100 artfculos, en su mayorfa aplicaciones de la estadfstica a la biologfa (crefa en la eugenesia), en los que introduce conceptos muy conocidos hoy en dia. como desviaci6n estcindar. En 1911 fundo el primer departamento de estadfstica en el University College London.

K

10

UNlOAD 1

•

ESTAOfsTICA DESCRIPTIVA

ClSantlllana

ci6n )' Cltantificar los riesgos asociados con este proceso. Naturalmenteo existen metodos para detenninar el tamafio de la muestra )' procedimientos para elegirla; estudiaremos algunos de ellos en la unidad 4. Imagina que en una universidad se puso en marcha un nuevo sistema de inscripciones por telefono. en el que los estudiantes pueden elegir cursos y horarios por media de un telefono de tonos. EI consejo administrativo esta interesado en conocer la opini6n de los alum nos acerca de la eficacia del sistema. pero encuestar a todos )' cada uno de ellos resulta muy costoso y supone demasiado tiempo. Por ello. elegira una muestra de 400 estudiantes. a quienes se preguntanl. entre otras cosas. cuantos intentos requirieron para co nectarse al sistema. cuantos cursos eligieron y en cuanto tiempo terminaron la inscripci6n. EI resultado de esa en cuesta sera un gran conjunto de datos. en cuya organizaci6n. resumen y anal isis se aplicaran tecnicas de la estadistica descriptiva. Luego. con base en la informaci6n de la muestra se empleanin metodos de estadistica inferencial para obtener conclusiones acerca de toda la poblaci6n de estudiantes que utiliz6 el sistema. Pero no adelantemos visperas (recuerda que estudiaremos estadistica inferencial en la ultima unidad del libro) y empezamos por estudiar c6mo se presenta la informaci6n en forma organizada.

o Santillana

lntroducci6n

11

_

Descripcion de datos por

Los individuos de una poblacion poseen muchos atributos, a los que designaremos variables, que pueden ser estudiadas . Por ejemplo, en un grupo de estudia ntes una variable es la religion que profesan, otra su estatura, otra mas su edad }' otra su sexo.

Notemos que hay diferentes tipos de variables; en este caso, la religion I' el sexo son atributos categoricos 0 cualitativos, pues no es posible cuantificarlos ni medirlos, de modo que la respuesta que de al respecto cada individuo 10 incluira automaticamente en una categorfa (digamos, catolico 0 anglicano; hombre 0 mujer). Por otra parte, la estatura I' la edad son atrib utos nunu!ricos 0 etlantitativos, ya que ambos son mensurables: la estatura se puede medir I' la edad, con tar. Las variables 0 atributos numericos, a Sli vez, se clasifican en discretos

I' continuos. Un conjunto de datos numerico es discreto si sus valores posibles son puntos clara mente separados. Un conjunto de datos numerico es continuo si sus valores posibles estan dentro de un intervalo.

Ejemplos

Determinemos de que tipo son los datos siguie ntes. Se pregunto a un grupo de 10 personas cual marca de mayone-

1 sa prefiere. EI conjunto de respuestas es:

{MCornesa, Helltap, La sabrosa, MCornesa, La sabrosa, MCornesa, MCornesa, La sabrosa, Helltap, La sabrosa) Se trata de un conjunto categorico. En un un centro de soporte tecnico se registro durante 12 horas el numero de lIamadas telefonicas recibidas cada hora y se obtuvieron los datos siguientes:

2

{3,0,4,3, 1,0,6,2,0,0, 1, 2}. es decir, durante la primera hora se recibieron tres lIamadas, en la segunda nadie llama, en la tercera 10 hicieron cuatro personas y asf sucesivamente. En este caso, se trata de un conjunto numerico y discreto. _

12

UNlOAD 1

•

ESTADiSTlCA DESCRIPTlVA

© Santillana

Una vez que identificamos de que tipo es el conjunto de datos que se estudiara, hay varias formas de presentarlo para que muestre informaci6n Mil y se facilite su a",ilisis. Entre elias se cuentan las siguientes: a b c d e f

Diagrama de tallo y hoja. Distribuci6n de frecuencias. Histograma. Grafica circular. PoHgono de frecuencias. Frecuencia acumulada y oj iva.

A continuaci6n explicaremos de que se trata cada una de elias.

Diagrama de tallo y hoja EI diagrama de tallo y hoja es una forma de organizar y desplegar la informaci6n, con 10 que se facilita el anal isis visual de la distribuci6n de datos del conjunto. Para construir un diagrama de tallo y hoja se considera que cada observaci6n (cada dato registrado) consta de dos partes. Uno 0 mas de los digitos principales que la componen forman el tallo, en tanto que el resto constituyen la hoja. Por ejemplo, si el conjunto de datos consiste en la puntuaci6n obtenida en una prueba y los resultados son enteros entre 200 y 800, se puede elegir el primer digito del lado izquierdo (centenas) como el tallo y el resto (unidades) como hoja, de modo que si una observaci6n es 641. su tallo es 6 y su hOja, 4l. La elecci6n del tallo y la hoja depende de los datos observados (observaciones) en el conjunto. Si en este todas las puntuaciones se hallan entre 500 y 599, entonces se pueden elegir los dos primeros digitos como tallo, p"es de 10 contrario todas las observaciones tendrian tallo igual a 5. Asi, si un dato fuera 538 su tallo seria 53 (decenas) y su hoja, 8 (unidades).

Construccion de un diagrama de tallo y hoja ......._--Estos son los pasos para elaborar un diagrama de tallo y hoja: 1 Se ordenan los datos de forma ascendente: del menor al mayor.

2 Se eligen uno a mas digitos para formar el tall a y el resto de los digitos para la hoja. 3 Se enumeran en una columna vertical los diferentes valores de tallo observados. 4 Para cada tallo se enumeran, de manera horizontal y allado derecho del tallo correspondiente, las hojas de todas las observaciones. 5 Se indican las unidades de los tallos y las hojas.

f.) Santi liana

1. Descripcion de datos por medio de tab las y graficas

13

_

£jell/plo Un problema que preocupa a la poblacion es la incidencia del crimen; por ello, existe una gran cantidad de estudios estadfsticos relacionados con el tema. En la tabla siguiente se presenta el nCllllero de asaltos por cad a 100000 residentes registrados en los 50 estados de la Union Americana:

3

Asaltos por cad a 100000 residentes

32 .9

53.6

45.7

29.8

53.7

72.9

32.5

33.7

49.7

34.3

40.9

27.3

77.6

29.8

49.5

43.3

39.4

34.0

34.3

51.5

42 .6

37 .9

44.1

17.8

37.8

46.2

18.4

32.5

46.8

25.9

27.9

40.4

24.4

47 .0

31.0

88.1

29.0

30.0

46.9

64.0

49 .9

42,2

62 .2

25.8

23 .6

52 .4

19.7

31.3

24.7

20.7

En este caso, una buena eleccion de tallo es el digito de las decenas, de modo que la hOla consistira en las unidades )' las decima,. Par citar un caso, si la observacion es 32.9, el tall o es 3 )' la hoja, 29. Construimos asf el diagrama de tallo )' hoja:

1

78, 84, 97

2

07, 36, 44, 47, 58, 59, 73, 79, 90, 98, 98

3

00, 10, 13, 25, 25, 29, 37, 40, 43, 43, 78, 79, 94

4

04 , 09, 22 , 26, 33 , 41, 57 , 62, 68, 69, 70, 95, 97, 99

5

15, 24, 36, 37

6

22, 40

7

29, 76

8

81

Tallo: decenas Hoja: unidades y decimas

EI diagrama muestra de inmediato que el menor valor es 17.8 )' el ma),or, 88.1. Adem,,,, pucde verse que la ma),or parte de las observac iones se encuentran entre 20 )' 65.

_

14

UN l OAD 1

•

ESTAOiSTICA DESCRIP';"IVA

En general, un diagrama de tallo y hoja permite identificar la extension en que se dispersan las observaciones. Si hay observaciones inusualmente grandes 0 pequeI'\as, conocidas como datos atipicos, resultan facilmente identificables. De hecho, es comun que aparezcan en un renglon adicional, con una leyenda que 10 indique. Consideremos una muestra de 10 estudiantes cuyos promedios en un curso de espaI'\ol son: {6.5, 6.8, 7.3, 7.8, 7.2, 7.7, 5.6, 5.5, 6.4,10). Como la mayor parte de los datos se encuentran entre 5.5 y 7.8, 10 es un dato atfpico (OA). Podemos elegir las unidades para el tallo y las decimas para las hojas y construir el diagrama: 5

5,

6

6

4,

5,

8

7

2,

3,

7,

DA:

10

Tallo: unidades Hojo: decimas

8,

indica que el valor del renglon correspondiente es un dato atfpico, y nos evita agregar renglones para los tallos 8 y 9, que no tendrian hojas. OA

Para practicar

Construye un diagrama de tallo y hoja para presentar la informacion siguiente.

CD Un entrenador de natacion que es responsable de 19 deportistas registro el tiempo que tarda cada uno de ellos en recorrer 200 metros (m) en estilo libre. A continuacion se presenta una Iista de tiempos, en minutos (min):

©Santillana

6.37

6.64

5.60

6.00

7.05

6.60

6.82

5.95

6.82

7.05

6.27

7.15

4 .50

7.04

6.96

6.49

6.50

6.60

5.30

1. Descri~:i6n de datos par media de tablas y graficas

La respuesta de los ejercicios cuyo numero esta encerrado en un cfrculo, se encuentran en el apendice.

15

_

2 En la papele d a de don Jorge se registraro n los ingresos diarios durante dos sema nas )' los resultados obtenidos se presenta n a co ntinuacio n:

2500

2300

2320

2550

2580

1400

2440

2490

2370

2210

2510

1300

(I) En

Lin curso de traducci"n se inscribieron 24 estudiantes de di ferentes edades , las cua les se presenta n en la tab la siguiente: 26

29

33

35

42

26

27

30

34

28

41

26

27

31

34

25

42

55

28

33

34

40

40

36

Distribucion de frecuencias La dist ribuc i6n de frecuenc ias es una tabla util para organizar de fo rma compacta co nju ntos de datos mu)' grandes. Presenta cada categoria con su frecuencia y frecuencia relativa. Pero tque significan estos dos conceptos'

Frecuencia y jrecuencia relativa La frecuencia es el numero de veces que aparece un valor 0 una categoda en el conjunto de datos. Por su parte, la frecuencia relativa es la proporci6n del conjunto de datos observados en una categorfa; se obtiene dividiendo cad a frec uencia entre el numero total de observaciones en el conjunto.

Si el conjunto de datos es categ6rico, cada respuesta pos ible es una categorfa. La frecuencia relativa se suele interpretar como el porcenta-

je del total de observaciones que pertenece n a la categoda. Por ejemplo, si una categoda tie ne frecuencia rei at iva igual a 0.25, indica que 25% de las observaciones pertenecen a dicha categorfa.

_

16

UNlO A D 1

I

ESTAOfsTICA DESCRIPTIVA

~Santjllana

Ejemplos

4

Pensemos en un grupo de 72 deportistas que practican alguno de estos deportes: {futbol, basquetbol, ten is, natacion, gimnasia l.

Se pregunta a cada uno de ellos a que deporte se dedica y el conjunto de datos obtenidos es el sigu iente:

F

B

F

F

T

G

B

N

B

B

N

F

F

T

T

N

G

B

T

B

F

F

T

T

F

F

T

B

G

F

G

T

F

T

T

B

F

G

N

T

F

B

N

F

B

N

T

G

N

F

F

F

B

B

T

N

T

B

N

F

F

B

B

T

F

B

B

T

F

F

B

T

,

En ese conjunto de datos - como supondras- F es futbol; B, basquetbol; T, tenis; N, natacion, y G, gimnasia. La frecuencia de una categoria se obtiene contando el numero de veces que esta aparece en el conjunto de datos (por ejemplo, como se muestra abajo, F aparece 22 veces, y esa es su frecuen cia). En este caso, la tabla de distribucion de frecuencias es la siguiente:

Categoria

Frecuencia

Frecuencia relatlva

1 Futbol

22

72

22

= 0.306

18

18

72

= 0.25

17

17 72

= 0.236

2 Basquetbol 3 Tenis 4 Nataci6n

9

n9 = 0.125

5 Gimnasia

6

72

CSantillana

6

= 0.083

1. Descripcion de datos par media de tablas y graficas

17

La frecuencia relativa representa el porcentaje del grupo de atletas que practica cada deporte. Por ejemplo, 25% de ellos juega basquetbol y 12.5%, natacion.

Veamos ahora un conjunto de datos numerico y discreto. Se registra, para una muestra de 708 conductores de autobus, el numero de accidentes en los que ha estado implicado cada uno de ellos durante un periodo de cuatro anos. Observamos que las respuestas pueden ser:

5

{O, 1, 2,3,4,5,6, 7,8,9,10,111,

que es un conjunto de valores discreto; por tanto, cada valor corresponde a una categoria. A continuacion se presenta la distribucion de frecuencias:

Categoria:

Frecuencia

Frecuencia relativa

117

117 708 =

0 .165

1

157

157 708 =

0.222

2

158

158 708 =

0 .223

115

115 708 =

0.162

78

78 708 =

0 .110

Numero de accidentes

a

3 4

44

5

44

708 =

6

21

708 =

0.030

7

7

7 708 =

0.010

8

21

6

0.062

6

708 =

0 .008

9

1

1 708 =

0.001

10

3

3 708 =

0 .004

11

1

1 708 =

0.001

En ocasiones, si el conjunto de categorias resulta muy grande es posible reducirlas agrupando los valores en intervalos, que se llaman clases. En este caso, en lugar de tener 12 categorias pod riamos usar las cuatro clases siguientes: {0-2, 3-5, 6-8, 9-11}

_

18

UNlOAD 1

ESTAOfsTtCA DESCRIPTlVA

@Santillana

y obtener una distribuci6n de frecuencias con datos agrupados. como sigue:

Categoria: Numero de accidentes

Frecuencia

Frecuencia relativa

0-2

432

708 =

4"

0 .61

237

237 708 =

0.335

34

3. 708 =

0.480

5

5 708 =

0.007

3-5 6 -8

9 - 11

Recordemos que el objetivo de las tablas de distribuci6n de frecuencias es resumir la informaci6n; sin embargo. es importante no perder de vista aspectos relevantes. lo que puede ocurrir si se resumen demasiado las categorfas. En caso de tener un conjunto de datos continuo. e)(iste la desventaja de que no hay categorfas definidas natural mente. como en los dos casos anteriores. de modo que debemos definirlas de acuerdo con el conjunto de datos.

Consideremos los datos obtenidos a partir de una muestra de 20 autom6viles. Para cada uno de ellos se determin61a eficiencia (kil6metros por gal6n de gasolina) y los resultados obtenidos fueron:

6

(29.8. 27.6. 28.3. 28.7. 27.9. 29.9. 30.1. 28.0. 28.7. 27.9. 28.5. 29.5. 27.2.26.9.28.4.27.9.28.0.30.0.29.6.29.1). AI observar detenidamente los datos notamos que el menor de ellos es 26.9 y el mayor. 30. 1. por 10 que definiremos las c1ases como intervalos de longitud 0.5. a partir de 26.5 y asi sucesivamente. en intervalos de 0.5 hasta 30.5 (figura 1).

, 26

T 27

,

T 28

,

T 29

,

T 30

,

Fi gu ra 1

31

Clases.

Como cada valor debe pertenecer a una y s610 una c1ase. definimos cada intervalo c1ase como: [26.5.27 ).

o Santillana

1. Descripcion de datos par media de tablas y graficas

19

_

10 que significa que si un valor es mayor 0 igual que 26.5 y menor a 27 entonces pertenece a esta clase, es decir, el 27 se encuentra en la clase [27, 27.5). Ahora detenninamos la tabla de frecuencias de este modo: (lases

Frecuencia

Frecuencia relativa

[26.5,27)

1

20 ~

[27,27.5)

1

20 ~

[27 .5,28)

4

4

'" ~ 0 .2

[28,28.5)

4

"'~ 0.2

[28.5, 29)

3

20 ~

0.15

[29,29.5)

1

4 20 ~

0 .05

4

4 20 ~

0 .2

[29.5,30) [30,30.5)

1 1

0.05 0.05

4

3

2

2

'" ~ 0.1

EI tamano del intervalo puede variar de acuerdo con el conjunto de datos, e incluso en ciertos casos pueden definirse intervalos clase de diferente longitud.

Las frecuencias se usan para responder a preguntas tales como: I

lCuantas observaciones

0

datos corresponden a una clase

0

a una

categoria en particular? • 110: se rechaza la hip6tesis nula para un nivel de significancia de a = 0.05 si z esta en [1.645,:xl) Y para un nivel de significancia de a = 0.01 si esta en [2.33, (0).

Repaso

271

_

as estrellas son enormes bolas de plasma que emiten grandes cantidades de energia al espacio en forma de radiacion electromagnetica, neutrinos y viento estelar. Esta energia es lanzada porIa estrella a 10 largo de su vida y se debe a las reacciones de fusion termonucleares que se producen en su centro. Entre otros criterios, las estrellas se c1asifican de acuerdo con su temperatura, su tamano y su edad. Segun su temperatura, se les asignan distintas letras: 0, B, A, F, G, K, M; segun su tamano, se les dan numeros romanos de I (supergigantes) a V (enanas). Asi, de forma natural las estrellas forman estratos de la poblacion de interes (en este caso, todas las estrellas en el espacio). Hay muchos model os para con tar el numero de estrellas que existen, pero uno de los problemas principales que tienen es el sesgo debido a la contaminacion luminica. Las dificultadas para superarlos son inherentes a las diferencias entre la luminosidad y los tamanos de las estrellas. En los catalogos estelares (censos de estrellas) las estrellas mas brillantes y pesadas son las que mas aparecen, aunque en promedio son mas raras. Las estrellas menos luminosas (enanas rojas) parecen ser las mas comunes. Podemos citar el caso de la estrella mas proxima a nosotros (4.2 allos luz), la a Centauri C, que no es posible observar a simple vista desde la Tierra y que com parada con la estrella gigante ~ Puppis, que se halla a 1399 anos luz de nuestro planeta, es 400 millones de veces menos luminosa. Los astra nomos utilizan las herramientas de la estadistica para tratar de disminuir el sesgo a la hora de estimar estas cantidades. Este es un ejemplo claro de una variable de interes que no puede medirse mediante un censo (conteo de todas las estrellas), sino que debe hacerse por medio de un muestreo 0 de herramientas de inferencia estadistica. En agosto de 20061a NASA (National Aeronautics and Space Administration) afilio a jovenes entusiastas a un programa para evaluar la

L

_

272

UNlOAD 4

•

ESTAOfSTICA INFERENCIAl

o Santillana

contaminacion lumfnica en la atmosfera terrestre a partir de muestreos aleatorios de distintas partes del cielo. eon este proyecto esperaba estimar el numero de estrellas visibles desde nuestro planeta. Los muchachos deb fan construir un tubo de 25 a 35 centfmetros (cm) de longitud y de 4 a 6 cm de dhimetro. Ademas de tomar nota de las medidas exactas de su tubo, tenfan que revisar factores atmosfericos y geograficos como la latitud y longitud de su posicion en la Tierra, la cercanfa de luces electrica, el porcentaje de cielo observado cubierto por nubes, entre otros datos. Se les pedfa hacer varias observaciones y promediar el numero de estrellas vistas . Una vez registrados esos datos debfan publicarlos en internet. Este proyecto, llamado "Proyecto conteo de estrellas" y sugerido por el astronauta Steve MacLean, miembro de la tripulacion de la nave espacial Atlantis, tiene por objeto generar una gran cantidad de muestras de observaciones de estrellas en una parte de cielo limitado (los 4 a 6 cm de diametro del tubo), estimar el promedio de esta observacion y con ella calcular el total de estrellas observables. Por ejemplo, si x fue el promedio observado de la muestra y sabemos que el espacio visible puede dividirse en N fragmentos de este tamano, entonces basta multiplicar x por N, xN, para obtener ese promedio. EI resultado obtenido por Steve MacLean cuando se hallaba en orbita en su nave es que se pueden observar alrededor de 8000 estrellas. Realiza el mismo experimento con tus companeros de clase. Toma varias muestras del cielo con el tuba de 28 cm de longitud y 1.25 cm de diametro, y obten el promedio de tus observaciones. Multiplica esa cantidad por lOOO y obtendras tu propia estimacion. Naturalmente, esta varia segun las condiciones del sitio des de donde se tome la muestra, 10 cual dara variabilidad a los resultados obtenidos. ,eual es la media de las observaciones hechas por tus compalleros de clase? ,eual es la desviacion estandar7 ,Los resultados obtenidos aceptan 0 rechazan la hipotesis de que hay alrededor de 8000 estrellas visibles desde la Tierra? I

Fuente: archivo historico de la NASA, .

I

Pdgina con instructivo para estudiantes: .

I

Resultados: .

CSantiUana

Matematicas y otras ciencias

273

_

Autoevaluaci6n

o

Una zarra astuta propane a un calleja honesto el juego siguiente: tirar un

dado cinco veces y si sale cuatro a mas veces el numero 6, entonces la zorra pierde y pagani $600.00 al caneja; perc si cae menos de cuatro en-

tonces el conejo pierde y pagani a la zona $10.00. Calcula la probabilidad de que el conejo gane y la probabilidad de que la zona gane.

2 ,-Sera justa el juego que propane 1a zorra al calleja? ;,Cual seria una apuesta adecuada para que ambos esperaran ganar 10 mismo?

0) Calcula la probabilidad de que una variable aleatoria que se distribuye como una N (2.5, 3) tenga un valor menor a igual que 5. 4 Sup6n que tienes una variable X aleatoria normal con media ~ = 5 Y desviaci6n estandar 40. ,Cuales son los valores de a y b tales que la PIa :5 X:5 b 1 ~ 0.9544?

CD EI gerente de una fabrica de bombas eIectricas sabe que la produccion diaria se distribuye como una normal con media 100 y desviaci6n estan-

dar 8. ,Cua! sera la probabilidad de que la produccion del dia de hoy sea menor 0 igual que 112? 6 El profesor de nataci6n de un gimnasio sahe que el tiempo promedio que tarda un alumno en recorrer un circuito alrededor de la piscina es de 1.S minutos, y esta convencido de que la desviacian estandar es de alrededor de 0.5 minutos. Si suponemos que la distribuci6n de los tiempos es normal, i.cual es la probabilidad de que un alumno recorra el circuito en menos de 1 minuto?

(j) i. Cual es la

probabilidad de elegir a una muestra especifica de tamai'io cuatro de una poblacian de tamano 12?

8 Escoge una muestra aleatoria simple de tamai10 10 de los usuarios de tar-

jeta de credito de la tabla 3 y caleula el saldo pro media en la cuenta.

® i.eual es la probabilidad de escoger un individuo en particular en una muestra de tamano cinco de una poblacion de tamai10 sao? 10 Escoge una muestra aJeatoria estratificada proporcional de tamaii.o 30 de

los usuarios de tarjeta de credito de la tabla 3 y caleula el saldo promedio en miles de pesos de gasto en alimentos.

@ Supan que tenemos tres millones de clientes en un banco, de los cuales dos millones tienen autorizado un credito basi co; 800 000, un credito me-

dia, y 200000 un credito alto. Si deseamos tamar una muestra de 300 clientes, i.cwintos de los 300 individuos en la muestra tomarias de cada

_

276

UNlOAD 4

•

ESTAOrSTICA INFERENCIAl

CSantillana

uno de los estratos de cH~dito autorizado can un muestreo estratificado constante y uno propordonal? 12 Escoge una muestra aleatoria estratificada constante de tamaii.o 12 utilizando muestreo sistematico intermuestral de los usuarios de tarjeta de credito de Ia tabla 2 y caleula el saldo promedio en miles de pesos de gasto en alimentos; luego campara can los resultados obtenidos del ejercicio 10. i.0btienes un mayor gasto? i.Es 10 que esperabas? Justifica tu resultado.

@ i.Cmll

es el valor de la covarianza de dos variables aleatorias independientes?

14 Calcula la correladon lineal entre el sal do en la cuenta y la compra en alimentos para el estrato tres de los usuarios de tarjetas de credito de la

tabla 3.

@ Sup6n

que tenemos una poblaci6n de 100 elementos y tomamos una muestra de 30 de ellos. i.Cuanto cambia el error estandar de la media muestral si disminuimos la Illuestra en una tercera parte?

16 En una compaii.ia cervecera nacional se producen 30000 botellas de cerveza diarias. La cervecera sabe, pOl' datos historicos, que la desviaci6n

estandar es de aproximadamente 0.5 m!. EI inspector de cali dad ha decidido to mar una !11uestra de 550 botellas que dieron un promedio de 250

mi y quiere determinar Ia probabilidad de que Ia media de las botellas producidas ese dia este entre 250.1 y 249.9.

@ Calcula la correladon lineal de los datos siguientes.i.Que tipo de relad6n lineal presentan?

Xi

2.1

3

2

-3.5

5

- 1

7

-5

4.6

-1.9

2.1

3

Yi

1

6

1.5

-5

6

- 1.7

8

-6

5

-2.2

1

6

18 Considera los datos sobre el PIB y esperanza de vida de los 10 paises del ejemplo 20 y agrega los datos de estos cinco paises adicionales. Caleula @Santillana

Autoevaluaci6n y ejercicios de refuerzo

277

_

una nueva regresion lineal para este caso. ;.eomo ha cambiado la correlacion lineal?

Botswana

Tailandia

E.U.

Congo

Francia

$13 088.17

$9330.96

$44155.D1

$750.62

$33408.22

Hombres

42

67

75

54

77

Mujeres

41

73

80

55

84

Pais PI B per

capita (d6Iares)

Esperanza de vida

@ Una compai1fa editorial vende un libra de estadistica y sabe que la desviaci6n estandar en sus ventas mensuales de este tipo de obras en cada punto de venta es de 10 libras. La editorial espera que sus ventas mensuales promedio en cada punto de venta sean de 40 ejemplares. Si estas bajan de tal cantidad entonces la empresa sabe que es hora de hacer una edici6n nueva. Para adoptar la decision la editorial tom6 una muestra en 30 puntos de venta y observ6 que se vendieran en promedio 36 ejemplares. Si suponemos que sus ventas tienen distribucion normal y que la empresa esta dispuesta a utilizar un nivel de significancia de a = 0.01, ;.deberfa realizar una nueva edicion 0 no?

20 Un fabricante de alimento para perras vende balsas de croquetas de 12.5 kg Ysabe que la desviaci6n estandar del peso de estas balsa es de aproximadamente 25 gramos. EI fabricante no desea que el peso de las balsas oscile demasiado par abajo ni par arriba de su peso esperado. Para lIevar este control ha realizado un muestreo aleatorio de 80 bolsas en los ultimos tres meses y detectado un promedio de 12.54 kg. ;.Sera que a un nivel

de significancia de a = 0.05 el promedio de la producci6n de esos tres meses es distinto de los 12.5 kilogramos?

Ejercicios de refuerzo 0) Un vendedor de electrodomesticos al cambaceo sabe que en 8% de los hogares la gente se interesa en recibirlo. Si el dia de hoy ha tocado en 40 casas, ,cmil es la probabilidad de que 10 hayan recibido al menos en cinco de eUas? 2 Obten una muestra aleatoria simple de tamai10 10 de una poblacion de

300 utilizando la tabla de numeros aleatorios (tabla 2).

o _

278

Si Z es una variable aleatoria normal estandar, indica los valores de a y b para que PI a :5 Z :5 b J = 0.95 Y para que P Ia :5 Z :5 b J = 0.99.

UN l OAD 4

•

ESTAOisTICA INFERENCIAl

4 Si tiramos una Illoneda justa al aire 10 veces seguidas, ;,cual es la probabi. Iidad de obtener mas de ocho cruces?

o

La panaderia "Aroma de canela" produce donas glaseadas y sabe que la venta matinal de estas tiene una distribuci6n normal, con media 30}' desviaci6n estandar 5. ;, Cual es la probabilidad de que se hayan vendido mas de 37 donas esta maiiana?

6 Si el coeficiente de elevaci6n es k = 30 a la hora de utilizar un muestreo aleatorio siste matico y deseamos obtener una muestra de tamalio II = 40, indica que elementos de una lista de la poblaci6n tomarfas para formal' la muestra y de que tamalio es la poblaci6n de interes. 0

;,Cuantas muestras de tamalio 11 = 20 sin remplazo pueden extraerse de una poblaci6n de tamalio N = 350? 8 Una empresa automotriz tiene 5000 e n1pleados. La directora de recursos humanos ha decidido aumentar el apoyo para que 105 empleados adquie-

ran autos de la empresa y desea saber la edad de los vehiculos que ya poseen. Para ello entrevist6 aleatoriamente a 50 trabajadores y les pregunt6 la antigiiedad de sus autos. Si la desviaci6n estandar naciona l es de tres

anos y obtuvo una media de antiguedad de los vehiculos de los empleados entrevistados de dos alios, lque probabilidad hay de que el promedio de los auto m6viles de todos

105

empleados de la empresa sea mayor a dos alios?

® Una compalifa repartidora de correspondencia expres asegura que entrega

105

paquetes en men 05 24 horas. La compania espera que el promedio

de entrega sea de 19 horas y sabe que la desviaci6n estandar de la entrega es de cinco hOl·as. La empresa esta interesada en que no se entreguen demasiados paquetes con retraso. Para comprobar sus tiempos de e ntrega decidi6 tarnal' una muestra aleatoria de 45 entregas y observ6 que el tiempo promedio de entrega fue de 20 horas y 30 minutos. Si esta dispuesta a

utilizar un nivel de significancia de a = 0.05, lla entrega de los paquetes se lIeva a cabo en un promedio de 19 horas?

10 Un fabricante de juguetes sabe que la desviaci6n estandar de la cantidad de pintura azul que utiliza para colorear su producto superavi6n transformador XZ89 es de 0.5 ml. EI fabricante tom6 und muestra aleatoria de

100 aviones de los 200 000 que produjo el mes anterior y obtuvo que en promedio utilizo 15 ml de pintura azul en cada uno.;,eual es la probabili-

dad de que el promedio de pintura azul utilizada este ente 14 y 16 ml? Para resoLver los ejercicios 11 a 14, cOllsidera Los datos 111ostmdos ell In tabla A acerca de 40 illdividuos.

@ Obten una muestra aleator ia estratificada can base en el sexo (nota que hay 30 hombres y 10 mujeres), que sea proporcional y de tamalio /I = 12 Yestima el peso y la estatura promedio de los individuos en la poblaci6n a partir de esa muestra.

CSantillana

Autoevaluaci6n y ejercicios de refuerzo

279

_

Tabla A Datos relativos a 40 individuos* Individuo

Sexo

Peso

Estatura

Individuo

Sexo

Peso

Estatura

1

M

65

1.63

21

M

63

1.78

2

M

57

1.62

22

M

58

1.61

3

M

70

1.70

23

M

62

1. 58

4

M

82

1.75

24

F

52

1.55

5

M

60

1.65

25

M

77

1.90

6

F

70

1.62

26

M

79

1.72

7

M

55

1.65

27

M

68

1.63

8

F

50

1.57

28

M

66

1.73

9

M

68

1.67

29

F

58

1.53

10

M

62

1.58

30

M

80

1.65

11

M

70

1.69

31

M

65

1.70

12

M

69

1.63

32

M

73

1.75

13

F

55

1.57

33

F

65

1.58

14

M

54

1.64

34

M

85

1.67

15

F

61

1.62

35

F

71

1.79

16

M

63

1.79

36

F

47

1.52

17

M

65

1.69

37

F

51

1.65

18

M

91

1.63

38

M

66

1.73

19

M

59

1.58

39

M

60

1.65

20

M

76

1.63

40

M

68

1.71

*M

:=

sexo masculino, F = sexo femenino, el peso esta en kilogramos y la altura en metros.

12 Obten una muestra aleatoria estratificada con base en el sexo, que sea constante y de tamano n = 8 Y luego estima el peso y la estatura promedio de 1a poblaci6n a partir de esa muestra; campara 10 obtenido con los re sultados del ejercicio anterior.

@ Estima la correlacion lineal entre el peso y la estatura de las mujeres en esta poblaci6n.

14 Calcula 1a covarianza y la correlaci6n lineal entre el peso y la esta tura de los hombres.

@ Las ventas mensuales de una gran tienda de cosmeticos tiene una distribucian normal con media $4 SOD 000 Ydesviac ian estand.r de $350000. lCual es la pl'Obabilidad de que en un mes se venda menos de 5 000 ODD?

_

280

UN l OAD 4

I

ESTAOfSTICA INHRENCIAl

o SantiUana

16 Una Illuestra aleatoria de agricultores de naranja en Veracruz nos dio las

producciones siguientes, en toneladas: 10.3,7.5,8.9,6.5, 12. a Encuentra la media y la desviacion estandar de esta muestra. b Si el ministerio de agricultura asegura que la desviacion estandar en el

estado es de 3.2, lcon que probabilidad el promedio de Ia produccian por argricultor esta entre 9 y 11 toneladas?

@ Sabemos que en promedio hay un accidente de autom6vil por cada mil autos que circulan a diario en una ciudad.lCuaI es Ia probabilidad de que ayer hayan ocurrido menos de 20 accidentes si circularon en tota l 25 000 autom6viles? 18 Una compania de servicio por telefono afirma que sus clientes no esperan

mas de 70 segundos para que los atienda un operador. Se toma una mues-

tra de 20 lIamadas y Ia media muestral fue de 71.3 segundos y Ia desviacion estandar fue de 4.2 segundos. Usa un nivel de significancia del

a = 0.01 para decidir si se rechaza Ia hipatesis nula de que Ia espera promedio es de ~ = 70 segundos 0 se ace pta hipatesis alternativa ~ > 70.

@ EI gerente de "La pizza expres'; una compania que vende pizzas a domicilio, esta alarm ado por el aparente alto con sumo de gasolina de sus motocicletas repartidoras. Las especificaciones de esos vehiculos indican 25 kil6metros por Iitro de combustible, en promedio, con una desviaci6n

estandar deb ida a las condiciones de trafico de 8 kilametros. Ha realizado una muestra aleatoria de 40 viajes y observado que se han hecho 22.3 ki16metros por Iitro. Para un nivel de significancia de a que las motocicletas estan usando mas gasolina?

=

0.05 ,sera cierto

20 EI jefe de servicios medicos de un hospital quiere comprobar que el tiempo promedio en que se realiza una consulta general. Para ello toma una

muestra aleatoria de 55 consultas y observ6 que el promedio fue de 22 minutos. Si sabe que la desviaci6n estandar para estas consultas es de 5

minutos'lcuaI es Ia probabilidad de que el promedio de las consultas medicas generales en el hospital se hallen entre 18 y 22 minutos?

o Santillana

Autoevaluaci6n y ejercicios de refuerzo

281

_

Apendice.

,.... -C RS

Para practicar 1 1

-c e_

C

3

:::l

4

5

5

3,

6,

6

0,

27, 37, 49 , 5,

7

04, 05, 05 , 15

95 6,

6,

64, 82, 82,

2

5, 6,

6,

6,

7,

7,

8,

8,

9

3

0,

I,

3,

3,

4,

4,

4,

5,

6

4

0,

0,

I,

2,

2

5

5

96

Para practicar 2 1

3

(lase

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia relativa

acumulada

relativa

acumulada

(30,40)

3

3

0.06

0.06

(40, 50)

14

17

0.28

0.34

(50 , 60)

6

23

0.12

0.46

(60,70)

16

39

0.32

0.78

(70,80)

7

46

0.14

0.92

(80,90)

2

48

0.04

0.96

(90,100)

2

50

0.04

1

a 10. b 92.85%.

Para practicar 3 1

Histograma de freclIellcias que muestra la percepcion que tiellen 245 estudiantes acerca de un cand idato perteneciente a cierto part ido poiftico. 120 100

80 60 40 20

5

282

APENDICE

1 J

,

o

4

3

2

1

C Santillana

3

a Histograma del peso en kilogramos de 121 recien nacidos. 45 40 35 30 25 20 15 10

5

o

I

,

11.5,2.5)

I

, 12.5, 3)

13, 3.5)

13.5, 4)

14,4.5)

I,

14.5,5.5)

b EI histograma del ejercicio 3 describe mejor los datos, pues es mas precisa al describir el peso de la mayo ria de los recien nacidos. Ella se debe a que los intervalos de la tabla de donde surge el histograma son mas cercanos a los valores del peso de los bebes.

Para practicar 4 1

Grafica circular y polfgono de frecliencias acerca de la evaluaci6n a un candidato politico (ejercicio 1 de Para practicar 3):

GnHica circular y poligono de frecuencias acerca del peso en kilogram os de 121 recien nacidos (ejercicio 3 de Para practicar 3):

Peso (kg)

C Santillana

•

11.5,2.5 )

•

12.5,3 ) 13,3.5 )

•

13.5,4) 14,4.5 )

•

14.5,5.5)

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 11.5, 2.5) (2.5,3)

13,3.5)

Soluciones de ejercicios selectos

13.5,4)

14,4.5) 14.5,5.5)

28 3

Para practicar 4 [continua 1 3

Agrupando los datos queda la tabla: (lase

Frecuencia

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

[150 , 155)

4

4

0.11428571

[155,160)

7

11

0.2

[160,165)

11

22

0.31428571

[165,170)

9

31

0.25714286

[170,175)

4

35

0.11428571

----

Esta tura (em)

•

(150, 155) (155,160)

•

(160, 165)

•

(165,170) (170,175)

0.35 0.30 0.25

0.20 0.15

0.10 0.05

0 -r---,----,----.----,----. (150, 155)

(155,160)

(160,165)

(165,170)

(170,175)

Para practicar 5 1

3

Media y mediana del tiempo de espera de 15 pacientes en un centro de salud. Ambas medidas representan bien los datos, pues, como se observa en la tab la, sus valores son Illuy cercanos entre sf. Media

Mediana

32.6666667

30

a 0.7. b 13.

284

APENDICE

e Santillana

Para practicar 6 Rango, varianza (5Z) y desviaci6n estandar del tiempo que lIev6 a estudian-

1

tes resolver un acertijo.

3

Rango

52

5

2.18

0.50157353

0.70821856

EI rango intercuartil no se vera afectado.

Autoevaluacion 1

3

27,

82

4

02,

27,

37,

40.

60,

62,

5

15,

24,

33.

49,

51,

94

6

02.

04.

50

64,

62.

98

3 Media

Mediana

Rango

Rango intercuartil

Desviaci6n estandar

4.9415

4.81

3.23

1.1025

0.80903198

5

7

9

(lase

Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Menor a 2500

3

0.25

3

2500·2600

3

0.25

6

2600·2700

2

0.17

8

Mayor 0 igual a 2700

4

0.33

12

1.2

5, 6.

6.

6,

7,

7,

8.

8,

9

1.3

0,

1.

3.

3,

4,

4,

4,

5.

6

1.4

O. 0,

1,

2,

2

1.5

5

(ategoria

Frecuencia

Frecuencia relativa

A

6

0.27

P

5

0.23

5

0.23

D

5

0.23

M

1

0.05

CSantiUana

Soluciones de ejercicios selectos

235

Autoevaluaci6n [continua J 10 Carrera

•

Administration

PSicologia

11

•

Ingenieria

.

Oerecho

•

Medicina

Cursos reprobados

Frecuencia

frecuencia relativa

o

12

0.46

1

2

0.08

2

5

0.19

3

3

0.12

4

1

0.04

5

3

0.12

13 0.35 0.30 0.25

-

0.20 0.1 5 0. 10

o.os 0

J

U (0. 50)

17

J (50.60)

(60,70)

(70.80)

(80.90)

Rango

Varianza muestral

Desviaci6n estandar muestral

8.77

3.90745752

1.97672899

J

(90. 100)

19 Rango intercuartil = 1.1325.

No se ve afectado, plies los cuartiles inferior y superior siguen siendo los mismos.

286

APENDICE

C Santillana

21 12

• •

10 B

6

2

••

o o

40

20

••

••• 60

80

100

Ejercicios de refuerzo 1

3

00, 27, 30, 30, 34, 37, 41, 49, 50, 82, 82, 93

4

OS, 50, 50

5

30, 30, 95

6

3

7

04, 15

2

0, 0, 1, 3, 3

3

0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

DA:

55

5 Categoria

Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa acumulada

F

6

0.32

6

0.32

0.21

10

0.53

v Ch

3

0.16

13

0.69

l

6

0.32

19

1

Sabores •

Fresa

•

Vainilla Chocolate

•

o Santillana

limon

Soluciones de ejercicios selectos

287

Ejercicios de refuerzo [continua I 7 Categoria

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia relativa

relativa

acumulada

acumulada

1

16

0.07

16

0.07

2

38

0.16

54

0.23

3

95

0.4

149

0.63

4

54

0.23

203

0 .86

5

32

0.14

235

1

a

9

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

o [1.5.2.5)

[2.5. 3)

[3.3.5)

[3.5.4)

[4.4.5)

[4.5. 5.5)

b Es mejor este pues muestra con mayor precisi6n la concentraci6n de datos.

11

Categoria

Frecuencia

Frecuencia re lativa

Frecuencia relativa acumulada

131

1

0.0286

0.0286

132

1

0.0286

0.0572

133

2

0.0571

0.1143

134

3

0.0857

0.2

135

1

0.0286

0.2286

138

3

0.0857

0.3143

140

3

0.0857

0.4

141

2

0.0571

0.4571

142

3

0.0857

0.5428

143

4

0.1143

0.6571

144

3

0.0857

0.7428

148

4

0.1143

0.8571

149

1

0.0286

0.8857

150

3

0.0857

0.9714

152

1

0.0286

,

OSantillana

Soluciones de ejercicios selectos

289

Ejercicios de refuerzo [continua I 11 (cont.) Estaturas en centlmetros

131

.

142

.

132

•

143

.

133

144

.

134

148

135

.

149

.

138

.

150

140

.

152

.

141

0.12

/'"

0.10

/

0.08 0.06 0.04 0.02

o 131

132 133 134

135 138 140 141

142 143

144

148 149 150 152

13

0.8

0.6

0.4

0.2

o 131 132 133 134 135 138 140 141

142 143 144 148 149 150 152

15 La calificaci6n minima seria 22.5, 10 cual es imposible. 17

Rango

52

5

4.16

2.02309412

1.42235513

19 No se ve afectado.

290

APENDICE

C Santillana

Para practicar 1 1

A = {x ix = 3t, can t natural y t:53}; A = {x ix multipla de 3 y 1 < x < 1O}.

3

A = {l,3,S,7, 9}.

N "'C

ns "'C --c

Para practicar 2

:::l

1

a b c d e I

Verdadero. Falsa, pOl·que 8 f/. U Verdadera. Falsa. Verdadera (de hecha, B = A). Verdadero (parque 2 f/. 'U).

3

'U = 1\1, verdadero con B = {2}; 'U = Z, falsa con B = {... , -6, -4, - 2,2}.

Para practicar 3 1

3

a Verdadero. b Falsa, parque (B c Verdadero.

n

C)

nA

= {mi.

B = {x I x es natural par distinto de 8)' menar que 13}. C = {x I x es natural par y 7 < x < H}. • Asaciatividad de la union: (B U C) = {O, 2, 4, 6, 8, 10, 12}; (A U B) = {a, 2,4, 6, 8};A U (B U C)= {a, 2,4, 6, 8,10, 12}; (A U B) U C = {a, 2, 4,6,8,1O,12} . • Asociatividad de la interseceion: (B n C) = 0 ; (A A n (B n C)= 0 ; (A n B) n C = 0.

n

B) = {2, 4, 6, 8};

A U B UC

o 10

de tres conjuntos.

12

B

Cl Santillana

Diograma de Venn de 10 ley asociativa de 10 union

A

C

Soluciones de ejercicios selectos

291

Para practicar 4 1

a Verdadero. pOl'que B U (U - A) = (par definicion de complemento) = B U AC = (por De Morgan) = (BC n A)C = (A n BC)C = (por el teorerna 4) (A - B)c. b Falso. pOl'que (B n A)C U C = (por De Morgan) (BC U AC) U C (Ieyes asociativas) = BC U (AC U C) = (ley conmutativa) = (AC U C) U BC = (Ieyes De Morgan) = (A n CC)C U BC (A n CC)C U B.

*

3

A - BC = {x E IR I 100 :5 x :5 999 l A AC U BC = (x E IR I x < 100 0 999 < xl.

n

BC = {x E IR

I 999 < xl.

Para practicar 5 1

a 6. b 41.

3

Observamos que a cada elemento a E A podemos asignarle s610 un elemento b E B. donde a = 3b. con 10 que concluimos que n(A) = n(B).

Para practicar 6 1

Recordemos que n(A U B)

3

n(F) = 90.

= n(A) + n(B) -

n(A

n B) = 8 + 7 -

5

=

10.

Para practicar 7 1

44 numeros del conjunto N son multiplos de 3 0 de 5.

3

65 personas que ven A 0 B; 70 personas no ven A; 35 no ven A ni B.

Para practicar 8 1 sol

aguila aguila 1

Diagrama de 6rbol pora representor los resultados posibJes de un juego devolado.

2 sol

3 4 5

Resultado ganador: •

292

APENDICE

CSantillana

3

b

n

Diagramo de arbol para representor los resultados de extraer dos bolas sin remplazo de una uma con una bola raja ,

una negra y una blanca.

~