Universidade Federal da Bahia - UFBA Disciplina: Desenho Geométrico Docente: Profª.Me. Ana Tereza Cerqueira
MÓDULO DESCRITIVA 1A I UNIDADE
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MEDIANA
REVISÃO DE DES.GEOMÉTRICO
MEDIATRIZ
Folha:1/39
01. Determine o ponto médio do segmento AB, o qual tem 6,2cm. 02. Traçar perpendicular a um segmento de reta AB que passe obrigatoriamente por um ponto C fora deste segmento.
x
C
A
B
03. Levantar uma perpendicular pela extremidade de um segmento de reta AB. Dado AB. AB. 04. Dividir um segmento de reta AB = 7cm em 5 partes iguais. (Processo Geral: Teorema de Talles).
REVISÃO DE DES.GEOMÉTRICO
Folha:2/39
Semicírculo É a superfície limitada por uma semicircunferência.
Setor É a superfície compreendida entre oarco e os dois raios que formam um ângulo central.
Coroa Circular É a porção do círculo compreendida entre duas circunferência concêntricas.
Segmento Circular É a superfície limitada por uma corda e seu arco correspodente.
Zona Circular É a superfície compreendida entre duas cordas paralelas.
Trapézio Circular É a porção da coroa circular compreendida por dois raios.
5. Traçar uma circunferência de raio igual a 2,5cm fazendo-a passar por dois pontos. 6.Dados os pontos abaixo, traçar uma circunferência passando-a pelos três pontos dados.
x
B
A x
C
x
REVISÃO DE DES.GEOMÉTRICO
Folha:3/39
7)Dividir uma circunferência qualquer em três partes iguais e inscrever o polígono regular correspondente. 8)Dividir uma circunferência qualquer em quatro partes iguais e inscrever o polígono regular. 9)Dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais e inscrever o polígono regular. 10)Dividir uma circunferência qualquer em seis partes iguais e inscrever o polígono regular. 11)Construir um Pentágono regular conhecendo-se o lado=4cm 12)Dividir uma circunferência qualquer em sete partes iguais e nela inscrever o heptágono regular correspondente. 13)Dada uma circunferência qualquer, dividi-la em nove partes iguais e nela inscrever o eneágono regular correspondente. 14)Dividir uma circunferência em quinze partes iguais e nela inscrever o pentadecágono regular. 15)Dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais pelo método de Bion e inscrever o polígono regular correspondente. 16)Dividir uma circunferência qualquer em dez partes iguais pelo método de Rinaldini (exemplo de divisão PAR). 17)Dividir uma circunferência qualquer em sete partes iguais pelo método de Rinaldini (exemplo de divisão ÍMPAR).
CONCORDÂNCIA Conceito: Quando uma linha reta se ligar com uma curva (ou vice-versa) sem que haja ruptura, dizemos que aí há um caso de concordância de linhas, esta linha pode ser um arco ou uma reta. Para identificar o lugar de concordância faz-se uso da letra C.
TIPOS DE CONCORDÂNCIA Arcos com Arcos
Condição: para que um arco concorde com outro, é indispensável que o ponto de contato entre ambos esteja numa linha que una os centros. I.Um arco com outro de sentido contrário. II.Um arco com outro de sentido contrário, passando por um ponto dado.
REVISÃO DE DES.GEOMÉTRICO
Folha:4/39
Arcos com Retas
Condição: Para que um segmento de reta concorde com um arco é indispensável que se forme um ângulo de 90º entre o raio da circunferência ao qual o arco pertence e o segmento. III.Um arco passando por um ponto com uma semi-reta dada. IV.Dois arcos iguais opostos com duas semi-retas orientadas em sentidos contrário que têm suas extremidades numa mesma perpendicular. V.Dois arcos de mesmo raio com duas semi-retas orientadas em sentidos contrários que NÃO têm suas extremidades numa mesma perpendicular.
SISTEMAS DE PROJEÇÃO Projetar, significa representar num plano. Tal projeção se constitui dos seguintes elementos: O (Origem da projecção)
A
Pontos objecto
C B
Linha projectante
Projecção de A sobre o planox A1
C1 B1
x
Superfície de projecção
A classificação dos sistemas de projeção se dá em função dos seus raios projetantes, de modo que, pode-se identificá-lo como: Sistemas de Projeção Cilindríco Ortogonal
Sistemas de Projeção Cilindríco Oblíquo
Sistemas de Projeção Cônico
REVISÃO Des.GEO/ SISTEMAS DE PROJEÇÃO Folha:5/39
DIEDROS E PLANOS DE PROJEÇÃO Estudo do Ponto, da Reta e do Plano no 1º Diedro
Geometria Descritiva: é a ciência que se ocupa em representar sobre dois planos de projeção perpendiculares entre si, as figuras do espaço 3D. Criada no fim do Sec XVIII pelo matemático Gaspar Monge.
DIEDRO: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ REBATIMENTO: __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Épura: __________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Linha de Terra: _________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
Sistema de Projeção Mongeano - Diedros Folha:6/39
ESTUDO DO PONTO:
•Dependendo do diedro em que esteja o ponto, pode-se afirmar: se o ponto estiver no primeiro diedro, terá afastamento e cota positivos; se estiver no segundo, terá afastamento negativo e cota positiva. No terceiro diedro, o ponto terá afastamento e cota negativos. No quarto diedro, terá afastamento positivo e cota negativa.
DIEDROS 1º
2º
3º
4º
COTA
+
+
--
--
AFASTAMENTO
+
--
--
+
Estudo do Ponto
Folha:7/39
•O ponto pode ocupar nove posições principais em relação aos planos de projeção. Pode estar num dos quatro diedros, ou sobre um dos quatro semi-planos de projeção ou ainda sobre a linha de terra.
Posição do Ponto nos 4 diedros
Posição do Ponto nos 4 semi-planos e na linha de terra
Estudo do Ponto
Folha:8/39
01. Ler a épura e identificar a posição dos pontos, preenchendo a tabela:
PONTO ABCISSA AFASTA COTA MENTO
POSIÇÃO
A B C D E F G H I
02. Representar, em croqui tridimensional e em épura, os pontos abaixo, dizendo em que posição se encontram no espaço:
Dados: (A)(3;4;5);
Dados: (D)(5;0;1);
Dados: (B)(2;6;4); Dados: (C)(1;2;0);
Dados: (F)(0;1;-5);
Dados: (G)(-2;-3;0); Dados: (E)(-1;-2;2); Dados: (H)(3;-1;-3);
Exercícios do Estudo do Ponto
Folha:9/39
03. Para cada caso abaixo representar EM ÉPURA as projeções do triângulo definido pelos pontos ABC e indicar a qual diedro cada ponto pentence. (1 unid= 1cm). LIGUE OS PONTOS DAS PROJEÇÕES DE A,B, E C.
Exercícios do Estudo do Ponto
Folha:10/39
Exercícios do Estudo do Ponto
Folha:11/39
Exercícios do Estudo do Ponto
Folha:12/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PROJEÇÃO EM ÉPURA
(imagem meramente ilustrativa)
(F)
PV
(G)
(H)
(E) (B) (A)
( C)
(D)
O
PH
Hexaedro - aresta 4cm (A) (E) (F) (B) - // ao PV (A) (B) (C) (D) - // ao PH
O
A ( 1 , 4 , 3 ) B (___,___,___) C (___,___,___) D (___,___,___) E (___,___,___) F (___,___,___) G (___,___,___) H (___,___,___)
Exercícios do Estudo do Ponto
Folha:13/39
ESTUDO DA RETA
•Uma reta pode ter, em relação aos planos de projeção, sete posições diferentes, recebendo denominações diversas como se segue:
Representação Espacial e em Épura da Reta Horizontal
Representação Espacial e em Épura da Reta de Topo
Estudo da Reta
Folha:14/39
ESTUDO DA RETA Representação Espacial e em Épura da Reta Frontal
Representação Espacial e em Épura da Reta Vertical
Estudo da Reta
Folha:15/39
ESTUDO DA RETA Representação Espacial e em Épura da Reta Fronto-Horizontal
Representação Espacial e em Épura da Reta Vertical Representação Espacial e em Épura da Reta Qualquer
Estudo da Reta
Folha:16/39
ESTUDO DA RETA Representação Espacial e em Épura da Reta de Perfil
TRAÇO DE RETA Chama-se traço de reta o ponto de Intersecção da reta com o plano. Considerando o diedro, uma reta pode furar o plano horizontal de projeção ( Cota nula, traç Horizontal) e/ou o plano vertical de projeção (ponto de afastamento nulo).l
Representação Espacial e em Épura da Reta Qualquer r e seus traços. Na figura acima vemos a reta r qualquer com seus traços. Essa reta r está no 1º diedro e fura o plano horizontal de projeção no ponto H, indo para o 4º diedro e fura o plano vertical de projeção vertical no ponto V, indo para o 2º diedro.
Estudo da Reta
Folha:17/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:18/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:19/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:20/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:21/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:22/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:23/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Segmento _______________ Reta ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________ Em relação à LT ____________
Estudo da Reta
Folha:24/39
I) Representar em épura o triângulo ABC sabendo que: o ponto A pertence ao V.S., o ponto B está no 3º diedro e ponto C é um ponto da linha de terra. II) Como se apresenta a projeção ortogonal de uma reta perpendicular a um dos planos de projeção? III) Como está uma reta em relação a p1 quando ela apresenta Verdadeira Grandeza neste mesmo plano? IV) Como está um segmento de reta em relação ao plano de projeção quando ele se apresenta menor do que o próprio segmento nesse mesmo plano?
V) Dados os pares de pontos AB e CD, pertencentes, respectivamente,
às retas (r) e (s), construa EM CRÓQUI E EM ÉPURA cada caso abaixo e determine: a)A Identificação e análise das retas quanto a nome, posição no espaço, traços, trajetória e visibilidade;
1 2 3 4
3
0 3
4
VI) Represente as seguintes retas no primeiro diedro: a) de perfil , toda no bI e possuindo um ponto em p1p2. b) de topo, com um ponto no bI e outro no p2. c) qualquer , com um ponto no p2, distante 1,5cm do p1. d) horizontal , de cota nula. e) vertical , afastada 1cm do p2 e com um ponto no p1. f) fronto-horizontal , mais perto do p1 do que do p2. g) frontal , de afastamento nulo. VII) Traçar (AB) paralela à (CD). Dados: (A) (6,5; 1,5; 2), (B) (?;?; 0,5), (C) (3;5;1) e (D) (3; 2,5: 3,5) VIII) As retas (AB) e (CD) são concorrentes em (I), que pertence ao ( bI). Pede-se a) Suas projeções. b) Analisar (CD) quanto a: nome, traços (V) (H) (I) (P), e indicar a (VG). Dados: (A) (3; -2; 4), (B) (1;?; ?), (C) (5,5; 2,5;3) e (D) (5,5; 6; 4,5)
Exercícios do Estudo da Reta
Folha:25/39
VIII) Conhecendo-se as projeções de (AB) da reta (r), determinar as projeções de (D) que pertencem à reta (r). Dados: (A) (2; 4; 2), (B) (9; 0; 6) (D) (6; ?; ?) IX) Passar pelo ponto (M) (-1; -5; 2) uma reta horizontal, sabendo-se que o seu traço tem abcissa = 4cm.
X) Traçar por um ponto (C) uma frontal que forma 45 graus com o PHp e cujo segmento: (CD) mede 4cm. (D) tem abcissa maior que (C). (C) (3; 3; 2) e (D) (?; ?; ?) XI) Traçar a épura de uma reta frontal (AB), com o ponto (A) (0;3;?) no Pha e o ponto (B) (4; ?; ?) no (b p). XII) Por um ponto (A) (3; -2; 4) pede-se traçar uma reta (AB) paralela a uma reta (CD). (B) 3; 2; ?), (C) (5,5; 2,5; 3) e (D) ( 5,5, 1; 4) XIII) Traçar uma reta de perfil (CD), que encontre (AB). (A) (3;2;1), (B) (8; 1; 3), (C) (4; 3,5; 3,5) e (D) (?; 1; ?). XIV) Sabe-se que (AB) é uma reta horizontal e (CD) é uma reta de topo, concorrentes em (P) (0; 3; 2,5). Pede-se determinar suas projeções e seus traços. (A) (-2; 2;?), (B) (3; ?; ?), (D) é simétrico de (C) em relação a (P) e (C) (?; 1,5; ?). XV) Dada a reta (CD), pede-se sua épura, seus traços e os diedros que a mesma atravessa. (C) (-3,5; 1; 3) e (D) (4; ?; -3), sendo que (D) pentence ao ( bi).
ESTUDO DO PLANO O plano é uma superfície ilimitada. Para que se possa estudá-lo faz-se necessário determiná-lo, o que é feito através de elementos tais como: a) Duas Retas Concorrentes
b) Duas Retas Paralelas
Estudo da Reta e do Plano
c) Três Pontos não colineares
d) Uma Reta e um Ponto exterior
Folha:26/39
PLANOS PARALELOS PLANO HORIZONTAL Ao PH - Plano Horizontal
PLANO FRONTAL
Ao PV - Plano Vertical
PLANO de PERFIL Ao PP - Plano de Perfil
PLANOS PERPENDICULARES PLANO VERTICAL
Ao PH - Plano Horizontal
PLANO DE TOPO Ao PV - Plano Vertical
PLANO de RAMPA Ao PP - Plano de Perfil
PLANOS OBLÍQUOS à todos os planos de Projeção
Estudo da Reta e do Plano
Folha:27/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:28/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:29/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:30/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:31/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:32/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:33/39
PROJEÇÃO NO ESPAÇO
PV C B G D F
A H E
PH
PROJEÇÃO EM ÉPURA
Face _______________ Plano ____________________ ____________________ ao PH ____________________ ao PV VG? _____________________
Estudo do Plano
Folha:34/39
01. Identificar nas épuras que se seguem os planos listados abaixo nos quais seja possível a Pertinência do Ponto (P), e identificar a reta à qual tal ponto pertence. a) Horizontal de cota 2cm. b) Frontal de afastamento 1,5cm. c) Topo formando 30° com p1. d) Vertical formando 45° com p2. e) Qualquer
I)(
)__________
II)(
f) Rampa. g) Perfil. h) Que passa pela Linha de Terra. i) N.D.A.
)__________
III)(
a2
)__________
a2
r
2 1
r
a¹= a2
2 1
2 1
r’
r’
a¹
a¹
IV)(
)__________
V)(
)__________
VI)(
)__________
a2
r
a2
2 1
r’ 2 1
2 1
H’
a¹ ’ r
r’=H
r ’
a¹
Exercício do estudo do Plano
Folha:35/39
VII)(
VIII)(
)__________
IX)(
)_________
a2
a2
V’
2 1
² r
r´= V
a2
r’ = V
r
)__________
2
2 1
1 ¹ r
a¹ a¹
r r
X)(
XI(
)__________
)__________
XII)(
a2
V
)__________ r´
a2
a2 r
r
2 1
2 V’ 1
2 1 r’
r’ r
a¹ a¹
XIII)(
XIV)(
)__________
)__________
XV)(
)__________ a2
a2 ’ ’ r
r²
a2
r
2 1
2 1
2 1 ’ r
r’ r¹
a¹
a¹
a¹
Exercício do estudo do Plano
Folha:36/39
XVI)(
)__________
XVII)(
)__________
)__________
r´= V
r´
a2
XVIII(
a2
r’ r
2 1
2 1 H’
2 1
r
r
XIX(
)__________
a¹
r’=H
a¹
XX)(
)__________
XXI(
)__________
a2 a2
r
r’’ H’
2 1
2 1
r²
2 1 r’
r’
a¹
H
a¹ a¹ r¹
XXII( V
)__________ a2
XXIII(
r´
)__________
a2 r
r’
2 1
a¹
2 1 r’ r
a¹
Exercício do estudo do Plano
Folha:37/39
I) Dada a reta (AB) e o ponto (C) pede-se: a) Analisar (AB). b) Traçar por (C) um plano paralelo a (AB). Dados: (A) (0; 3; 1), (B) (2; 5; 4) (C) (5; 2; 2) II) Verificar se os pontos a seguir pertencem aos planos dados:
a) (A) (2,5; 2; 1,5) - Ponto de encontro dos traços= 1,0 - Traço Horizontal= -50 graus - Traço Vertical= 45 graus b) (B) (4; 3; 2)
- Ponto de encontro dos traços= 7,0 - Traço Horizontal= -90 graus - Traço Vertical= 140 graus
c) (C) (3; -2,5; -0,5) - Traço Horizontal= 2,0 - Traço Vertical= 3,5 III) Determinar a interseção de dois planos (a) e (b), sendo ambos definidos, respectivamente, pelos segmentos (AB) e (CD) de suas retas de máximo declive. Dados: (A) (2; 2; 0), (B) (6,5; 0; 3,5), (C) (4,5; 0; 4,5) e (D) (7; 1,5: 0) IV) Dados os pontos (A) (-1; 4; 3), (B) (1; 2; 3) e (C) (-2; 5; 1), pedem-se os traços do plano determinado pelos mesmos.Verificar também se o ponto (P)(3;3;2)é do plano. V) Determinar os traços dos planos dados por suas retas principais: a) (RS), sendo (R) (1; 3,5; 1) e (S) (5; 1,5; 4), é de máximo declive de ( a). b) (MN), sendo (M) (1; 3; 1,5) e (N) (4,5; -1; -4,5), é de máximo inclinação de (b) VI) Conhecendo-se uma reta (MN) fronto-horizontal e um ponto (P) (3; 3,5; 0,5) de um plano, pede-se determinar os seus traços. (M) (-2; 1,5; 2), (N) (6: ?; ?). VII) Por um ponto (M) traçar duas retas (MN) e (MO) paralelas, respectivamente, aos bissetores ímpar e par. Dados: (M) (3; 1; 1,5), (N) (6; ?; ?) e (O) (7; ?; ?) As retas (MN) e (MO) não são fronto horizontais. VIII) Traçar por (D) um plano perpendicular à reta (AB). Dados: (D) (5; 2; 2), (A) (0; 3; 1) e (B) (2; 5; 4). IX) Determinar o ponto (M) em que a reta (ST) atravessa o plano ( a), paralelo ao (bI). Dados: (S) (7; 7; 1) (T) (3; 0; 0) Traço vertical de (a) = +3.
Exercício do estudo do Plano
Folha:38/39
