Edades Tomo II PDF

 

  om omo

P r oble lem mas con E dades

 

Problemas con Edades

OBJETIVOS: Reforzar la capacidad de interpretación y simbolización para resolver   problemas con enunciado. Conoce Cono cerr las las dife difere rent ntes es form formas as de resolver los problemas sobre edades. Aplic plicar ar cor correct rectam amen ente te métod étodos os  prácticos como los cuadros de doble entrada que involucran las edades de dos o más personas.

INTRODUCCIÓN: Aunque el tiempo es universal, ningún hombre viviente puede decir qué es. Es tan insondable como el espacio. Nadie puede explicar dónde empezó la corriente del tiempo ni adónde va. Por otro lado, hay ciertas características del tiempo que pueden entenderse. Se puede medir  la aparente velocidad de su paso. Además, va en una sola dirección. Como el tránsito en una calle alle de direcc ección ión única, el tiem tiemppo va incesantemente en esa sola dirección: adelante, siempre adelante. Sea cual sea su velocidad de marcha, nunca se puede hacer que el tiempo retroceda. Vivimos en un presente momentáneo. Sin embargo, este presente está en movimiento y corre continuamente hacia el  pasado. Nada lo detiene.

EL PASADO El pasado se ha ido, es historia y jamás puede repetirse. Todo esfuerzo por hacer volver el pasado es tan irrealizable como tratar de hacer que una

 

TOMO II

cascada salte cuesta arriba o que una flecha vuele de regreso al arco que la disparó. El pasado o se se ha ganad ganadoo o se ha perdi perdido. do. Ya no se tiene ningún dominio sobre él.

EL FUTURO El fut futuro uro es diferen diferente. te. Sie Siemp mpre re cor corre re hac hacia ia nosotros.  Nuestros relojes de la actualidad son indica ind icador dores es de tiempo tiempo.. Sir Sirven ven com comoo reg reglas las  para medir el tiempo. Otros gigantescos indicadores de tiempo son: “la Tierra al girar  sobre su eje, la Luna al dar vueltas alrededor  de la Tierra, y el Sol”, estos sirven para que el hombre, desde su punto de vista en la Tierra,  pueda estar informado del tiempo con exactitud. Así, como una multitud de objetos con con pr prop opós ósito itoss entr entrel elaz azad ados os,, esos esos cuer cuerpo poss celestes se mueven en sus ciclos perfectos y miden iden inte interm rmin inab able le e infa infali libblem lemente ente el movimiento unidireccional del tiempo. Una rotación completa de la Tierra sobre su eje mide un día de 24 horas. En este sentido, un día se compone del tiempo diurno y el tiempo nocturno, un total de 24 horas. Con todo, al  período diurno mismo, que Dar lo general tiene un promedio de 12 horas, también se le llama día.

HORA La división del día en 24 horas se remonta a Egipto. La división moderna de la hora en 60 min inut utos os se or orig igin inóó de las las matem atemát átic icaas  babilonias, un sistema sexagesimal (basado en el número 60).

2

 

Problemas con Edades

 S E MA N A

 

TOMO II

La semana procedía de la tradición  judeocristiana que disponía descansar del tra traba bajo jo ca cada da siet sietee días días.. No está está basa basada da en fe fenó nóme meno noss na natu tura rales les.. Los Los roma romano noss dier dieron on nombre a los días de la semana en honor del

Un año añadido a la vida de un niñito de un año de edad significa un aumento de 100% en las experiencias de la vida. Un año añadido a la vida ida de una pers person onaa de 50 años años de eda edad significa solo 2% más. Para el niño, un año  parece un tiempo muy largo. Para la persona mayor, si está ocupada y tiene buena salud, los

Sol, la Luna y varios planetas.

años parecen irse volando cada vez más aprisa.

 ME S L UNA UN A R

DIALOGO ILUS ILUS TRA TIVO TIVO

Un mes lunar es un mes determinado según la luna nueva. Hay cuatro fases de la Luna, que componen una lunación de 29 días, 12 horas y 44 minutos como promedio. Basta con ver la forma de la Luna para saber aproximadamente qué día del mes lunar es.

ESTACIONES Estas se deben a que la Tierra está inclinada a un ángulo de 23,5° con relación al plano de su viaje alrededor del Sol. El resultado de esto es que primero el hemisferio sur y, luego, seis mese me sess de desp spué ués, s, el hemi hemisf sfer erio io nort nortee esté esténn incl inclin inad ados os ha haci ciaa el So Sol, l, de mod odoo qu quee las las estaciones se suceden 'mas a otras en orden. Este cam Este cambio bio de las estaci estacione oness pro propor porcio ciona na variedad y contraste y controla los tiempos de  plantar y cosechar.

 AL AN : ¿Cuántos años tiene mi futuro suegro?  MI L E YD I : " x" años.  AL AN : ¿Cuántos años tuvo hace 3 años?  MI L E Y D I : 3 años menos, o sea x  – 3;  AL AN : ¿Cuá ¿Cuánt ntos os años años tend tendrá rá dent dentro ro de 3

Cómo pasa más rápido el tiempo Hayy un dich Ha dichoo qu quee afir afirma ma:: "Q "Qui uien en espe espera ra desespera". Es ci cier erto to que que cuan cuando do vigi vigilam lamos os el tiemp tiempo, o, cu cuan ando do lo ten tenem emos os mu muyy pres presen ente te,, cuan cuando do esperamos que algo suceda, entonces parece que el tiempo pasa con demasiada lentitud. No obst obstan ante te,, si es estam tamos os ocup ocupad ados os,, si estam estamos os inte in tere resa sado doss y ab abso sorto rtoss en lo que que hac hacem emos os,, en ento tonc nces es verda erdade dera ram mente ente pare parece ce qu quee «el tiempo pasa volando». Además, en el caso de las per person sonas as may mayore oress el tiem tiempo po par parece ece que  pasa mucho más rápido que en el de los  jovencitos. ¿A qué se debe esto?

años?

 MI L E Y D I : 3 años más, o sea  x  + 3.  AL AN : ¿Cuá ¿Cuánt ntos os años años tend tendrí ríaa si hu hubi bies esee nacido 20 años antes?

 MI L E Y D I : 20 años más, o sea x  + 20.  AL AN : ¿Cuál es la edad de tu perro?  MI L E Y D I : Na Naci cióó 40 años años desp despué uéss que que mi  padre?

 AL AN : Qu Quier ieres es deci decirr queque-es es meno menorr qu quee tu  padre en 40 años, es decir que tiene  x  – 40

3

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

 MI L E YD I : Pe Perd rdón ónam amee qu quer erid ido, o, reci recién én me acuerdo que la edad de mi padre es 6 veces la edad de mi perro.

 AL AN : Tendré que plantear: Edad del perro  x = 6 ( x – 40) Ed Edad ad ddel el pperr erroo ⇒ 48 =  x   ⇒ 48 - 40=8 años

 MI L E YD I : ¿Dentro de cuántos años la edad de mi padre será el triple de la de mi perro.

Com omoo obse observ rvas as el tema tema de edad edades es es está tá rela relaci cion onad adoo neta netame ment ntee con con el plan plante teoo de ecuaciones, pero debido a la gran variedad de  problemas y métodos prácticos de resolución, lo hacemos en un acápite aparte. Es evidente que lo más importante en el tema es el tiempo (pasado, presente y futuro) y desde luego hay que saber interpretar las siguientes expresiones:

Pasado

 AL AN AN::   Para Para sa sabe ber, r, hay hay qu quee plan plante tear ar un unaa ecuación, ecuació n, ayu ayudán dándon donos os de un cua cuadro dro,, par paraa ordenar y entender mejor los datos y lo que nos  piden.

Yo

 

Tenia Tuve

 

Tenias Tuviste Tenia Tuvo

Tú El

48 + n = 3(8 + n) ⇒ 12 = n

 MI L E YD I : Me sor sorprend prendes, es, per peroo tú no me hhas as dicho ¿cuál es tu edad?

 AL AN AN::  ¡Averígualo!

 

 

Tengo

Futuro  

Tendré Tenga

   

Tienes

 

Tiene

Tendrás Tengas   Tiene Tenga

CUANDO CUAN DO IN INT TE R VIENE UN   S UJ E TO Para este tipo de situacion situaciones es se sugier sugieree utiliz utilizar  ar  un cuad cuadro ro,, con con el pro roppós ósit itoo de ra razo zonnar  ordenadamente. ¡Veamos

 MI L E YD I : ¿De qué manera?  AL AN AN::  Yo tengo el cuádruple de la edad que

Presente

ahora

una

observ rvaación ión

muy

importante! Asumiendo que las edades de tres  personas en el pasado, presente y futuro son:

tu padre tenía, cuando yo tenía 2 años.

 MI L E YD I : Deberé Plantear: ⇒ tú tienes 4(10) = 40 años

 AL AN AN::  ¿Qué es el método del aspa?  MI L E YD I : Te explico ico con con el sigu iguient ente ejemplo: "Yo tengo 25 años y tú tienes 40 años y hace 4

Se cumple:

años teníamos 21 y 36 años"

4

 

Problemas con Edades La diferencia de edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante:

EJEMPLO: 27 –

30 –  

22

25

5

=

5

EJEMPLO: 22

25 = 52

+ 27

 

⇕  →  Se deduce

-3

Hace 3 años

Hoy

Dentro de 3 años

Tenias: 13

Tengo: 16

Tendré: 19

+3

-3

CUANDO IN CUANDO INTER TER VIENEN LA S EDADE S DE 2 O M MAS AS  S UJ E TO TOS S Cuando intervienen 2 ó mas personas Tiempos

20 = 52

TOMO II

-3

  ⇒ se deduce

* Se concluye que la suma en aspas (de valores ubicados simétricamente) es constante

 

Personas

 

Pasado

Pr Preesente

Fu Futturo

NOTA:

Yo

 

T enia

T engo

T endré

A continuación, se señalan algunos términos que se presentan en los enunciados y que nos sirv sirven en par araa re reco cono noce cerr en qué qué tiem tiempo po se encuentra la información brindada.

Tú

 

Ten Tenia iass

Tie Tien nes

Te Ten ndrá ráss

Él

 

T eni a

T i en ene

T endrá

E tc. Et

E tc.

E tc.

Passado Pa ado 1 Pa Passado ado 2

Tuve Tuvo Tuviste

Tenia Tenias

Pr Pres esen ente te

Tengo Tiene Tienes

Etc.

 

Fu Futu turo ro

Tenga Tendré Tendrás Tengas

En estas situa tuaciones se recomien ienda la util utiliz izac ació iónn de cuad cuadro ross para para fa faci cili lita tarr la ubica ub icació ciónn de los los datos datos en su suss re resp spec ecti tivo voss tiempos Hac acee 4 años años

R E LACIÓN CON EL AÑO DE  NACIMIENTO Si la persona que cumplió años:

Año Nac. + Edad Actual = Año Actual

Si la persona aun no cumple años:

Año Nac. + Edad Act. = Año Act. – 1

Dentr entroo de 7 años años

Pasado

Pr Preesente

Fu Futturo

Yo

 

1

5

12

Tú

 

4

8

15

Él

 

6

10

17

* Lue Luego go del cua cuadro dro ant anteri erior or obt obtene enemo moss las siguientes conclusiones: 1+8=4+5

ó

5 + 15 = 8 + 12

La su suma ma en as aspa pa de los los valo valore ress sim simétr étrico icoss resulta lo mismo.

5

 

Problemas con Edades OBSERVACIÓN: Se aplicará el método del aspa, en caso de que al llenar el cuadro de edades con las co cond ndic icio ione ness de dell prob proble lema ma,, no noss falta faltase se otra otra co cond ndic ició iónn fina finall para para plan plantea tearr la ecu ecuac ación ión necesaria.

EJEMPLO 1: Pili tiene 48 años, su edad es el doble de la edad que tenía Mili , cuando Pili tenía la edad que ahora tiene Mili ¿Qué edad tiene Mili? A) 24 años

B) 30 años

D) 40 añ añoos

E) 36 años años

C) 26 años

 

TOMO II

como punto de referencia el tiempo de presente (hoy). * Si una una pers person onaa hubi ubier eraa naci nacido do n año años después tendría n años menos. * Si una persona hubiera nacido m años antes tendría m años más * La edad que ten tenía A cuando B nació representa la diferencia de las edades entre A y B (A es mayor que B).

OBSERVACIONES IMPORTANTES: * 402 = 1600 ⇒   1600   = 40 * 412 = 1681 ⇒   1681   = 41

RESOLUCIÓN:

* 412 = 1764 ⇒   1764   = 42 * 412 = 1889 ⇒   1889   = 43 * 412 = 1936 ⇒   1936   = 44 * 412 = 2025 ⇒   2025   = 45 Generalmente, las sumas en aspa simétrica se utilizan cuando los datos de dos personas se  presentan en distintos tiempos. Por ejemplo: Yo tengó (presente) el doble de la edad que tú tenías (pasado)

NOTAS: • Se Seaa "x" "x" la edad edad actu actual al de un unaa pers person ona, a, entonces dentro de "n" años tendrá "x+n" años y hace "m" años tenía "x – m" años. -m

+n

Hace m años

Hoy tengo

Hace n años

x–m

x

x+n

m + n  →  Se deduce • Cu Cuan ando un enun enunci ciad ado no me menc ncio iona nann «hace ...do»,en o «dentro de ...o»,nos ses debe tomar 

P R O B L E MA MA S S O B R E   EDADES En este tipo de problemas, las cantidades que se cal calcul culan an rep repres resent entan an eda edades des,, tom tomand andoo en cuenta los tiempos que se presentan (pasado,  presente y futuro) y las personas que intervienen. ¿Qué ¿Q ué pasa pasarí ríaa si en un enun enunci ciad adoo se ind indica ica dentro de «n» años o hace «m» años? En estos casos, (en los cuadros correspondientes a los tiempos) en el cuadro corr corres espo pond ndie ient ntee a pasa pasado do será será pr pref efer erib ible le colocar hace «m» años y en el correspondiente a futuro colocar dentro de «n» años, En mucho casos Sé pueden usar los términos «tengo», «tienes», «tenía», «tendré», «tendrás», etc., en lugar de «pasado», «presente» o «futuro». Esto deberá hacerse siempre y cuando el uso de estos términos represente mejor el enunciado del problema.

6

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

E JE MPLO 2: Si .hoy tengo 30 años, ¿que edad tenía hace 5 años y que edad tendré dentro de 15 años?

RESOLUCIÓN: 5

15

PROBLEMA 1: En 1979, un padre decía a su hijo: "mi edad es el quintuplo de tu edad, pero en el 2000 no será mas que el duplo". ¿En qué año nació el hijo y qué edad tendría el padre en 2007?

RESOLUCIÓN: Pasado

Presente

Futuro

25

30

45

21

Pasado (1979)

* Respuesta: 25 años y 45 años

E JE MPLO 3:

Presente (2000)

Futuro (2007)

Padre   x – 21

x

x +7  

 

y

y+7  

Hijo

Dentro de 15 años tendré el triple de la edad que tenía hace 11 años.

7

y – 21

Datos:

RESOLUCIÓN: 11

x - 21 = 5( 5(yy - 21 21)) x = 2y

15

Pasado

Presente

Futuro

x – 11

x

x + 15

…… (I (I)) …… (II)

• De (II) en (I): 2y – 21 = 5y – 21 x 5  ⇒ y = 28 * En (II): x = 2(2B) = 56

* Sea x la edad actual del dato se tiene:  x + 15 = 3(x – 11)

 x = 24

• El padre actualmente tiene 56 años, entonces dentro de 7 años tendrá 63 años.

⇒ 

⇒ Dentro de 5 años tendré 24 + 5 = 29 años

PROBLEMA 2: La edad de una persona es 41 años y la de su hijo 9. Al cabo de cuántos años la edad del  padre triplica la del hij hijo. o.

RESOLUCIÓN: * Edad Padre = 41; edad Hijo = 9 dentro de "x" años sus edades serán: Edad Padre: 41 + x Edad Hijo: 9 + x • Luego Luego:: 41 + x = 3(9 + x) • Resolviendo: x = 7 ⇒ Debe transcurrir 7 años

7

 

Problemas con Edades PROBLEMA 3: Hace 10 años, la edad de Carlos era cuatro veces mayor que la de Pablo y, hoy día es solamente el doble. ¿Qué edad tiene Pablo?

RESOLUCIÓN:

 

TOMO II

años, la edad que tuve hace 10 años, obtendrás  ¿Cuántos años tiene Pepin? mi edad"  ¿Cuántos

A) 5 años

B) 10 años

D) 40 año años

E) 6 año años

C) 20 años

RESOLUCIÓN:

•"2x" Seay"x" edad de Pablo y la eran: edad de Carlos suslaedades hace 10 años Edad de Pablo: x – 10

HACE 10   AÑOS

EDAD

 x – 10

Edad de Carlos: 2x – 10 Luego: 2x – 10 = 4(x – 10)

 

DENTRO DE 10AÑOS

x

x + 10

* Según enunciado:

* Resolviendo: x = 15

(x + 10) - (x – 10) = x

O sea que Pablo tiene 15 años.

x + 10 – x + 10 = x

PROBLEMA 4:

  ⇒  20

=x

RPTA: " C" 

Dent De ntro ro de cu cuán ánto toss laaños añ os las las de edad ed6ades 2;  personas estarán en relación aesS, de si sus edades actuales son 40 y 30 años respectivamente? A) 35

B) 10

D) 24

E) 20

C) 15

RESOLUCIÓN: * De los datos:

20 años

Si al cuádruple de la edad que tendré dentro de 8 años, le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría 19 años más el triple de mi edad ¿qué edad tengo? A) 18 años

B) 31 años

D) 41 año años

E) 16 años años

C)23 años

RESOLUCIÓN:

Personas

Presente

Futuro

A

40

6(10) = 60

B

30

5(10) 5

Difere Dife renc ncia ia 10 años

PROBLEMA 6:

Di Dife fere renc ncia ia 1(10) años

HACE 5 AÑOS  

  DENTRO YO TENGO DE 8 AÑOS

 x – 5

x

x+8

* Según enunciado: 4(x + 8) – 2(x – 5) = 19 + 3x

* Deben pasar 20 años.

RPTA: " E " 

⇒ 4x + 32 – 2x + 10 = 19 + 3   ⇒  23

=x

RPTA: " C" 

PROBLEMA 5: PROBLEMA 7: A Pepin se le pregunta por su edad, responde ; "Si restas a la edad que tendré dentro de 10

8

 

Problemas con Edades Yo nací en el año 19ab yen 1980 tuve "a + b" años ¿en qué año tendré "a2 +b2" años? A) 2052

B) 2038

D) 2000

E) 2006

C) 1999

RESOLUCIÓN:

Año de Nac. + Edad Actual = Año Actual

El año año en qu quee naci nacióó Scarl carlyy re repr pres esen enta ta el cuadrado de su edad que tendrá en el 2070 ¿cuántos años tuvo en el 2030? A) 10

B) 5

D) 45

E) 16

C) 25

Año de Nac. + Edad Actual = Año Actual E2

= 1980

E = 2070

* Comparando: E = 45

⇒ 10a + b + a + b = 80 ⇒ 11a 11a + 2b = 80

+

⇒ E(E + 1) = 45 x 46

⇒1900 + ab + a + b = 1980

⇒  a = 6

TOMO II

RESOLUCIÓN:

* Considerar:

⇒ 19ab + a + b

 

…… (Tan (Tantteand eandoo)

⇒ Nació en el año 452 = 2025

* Luego en el 2030 tuvo: 2030 – 2025 = 5 años

y b =7

RPTA:" B" 

⇒ Nací en 1967 y cumpliré: 62 + 72 = 85 años,

PROBLEMA 10:

en 1967 + 85 = 2052

RPTA:" A"  PROBLEMA 8: Si al año en que tuve 20 años, le restamos el año que cumplí 8 años, obtendrás la tercera  parte de mi edad ¿Cuántos años tengo? A) 24 años

B) 28 años

D) 8 años

E) 3l años

C)20 años

Sabiendo que tengo 44 años ¿Hace cuántos años tenía 4 años, más que 4 veces la edad que tenía cuando cumplí 4 años menos de la cuarta  parte de mi edad actual? A) 6

B) 8

D) 18

E) 4

C) 12

RESOLUCIÓN: * Suponiendo que fue hace "x" años, luego en

RESOLUCIÓN:

ese momento yo tenía:

Año de Nacimiento

Año en que tuve 20

Año en que cumplí 8

 N

N + 20

N+8

 44 44 – x = 4 + 4     4  ⇒ 44 – x = 32 ⇒ 8 = x   4  

RPTA:" B" 

* Según enunciado:

PROBLEMA 11: (N + 20) - (N + 8) =

mi edad 

3

⇒ 36 = Mi edad

RPTA:" RPTA :" E "  PROBLEMA 9:

Sí Rosy hubiera nacido 3 años antes, tendría el triple de la edad que tuviese si hubiese nacido 3 años después ¿Dentro de cuántos años tendrá 3 veces más de lo que tuvo hace 3 años? A) 3

B) 33

C) 6

9

 

Problemas con Edades D) 13

 

TOMO II

Lucy tiene 30 años , su edad es el quíntuplo de la edad que tenía Any, cuando Lucy tenía la tercera parte de la edad actual de Any ¿Cuál es la edad actual de Any?

E) 7

RESOLUCIÓN: Edad actual; x * Sí hubiera nacido 3 años antes, su edad sería 3 años más, es decir: x + 3

A) 27 años

B) 9 años

D) 6 años

E) 30 años

* Pero si hubiese nacido 3 años después, ahora tuviese 3 años menos, o sea: x – 3

RESOLUCIÓN:

C) 18 años

* Según el enunciado: x + 3 = 3(x – 3)  ⇒ x + 3 = 3x – 9 ⇒ 12 = 2x ⇒ 6 =

x

PROBLEMA 14:

* Dentro de "y" años cumpliré: 6 + y = 3 veces más (x – 3) 6 + y = 4(6 – 3) ⇒ y = 6

RPTA: " C" 

Yo tengo el doble de la edad que tenias cuando y tenía la edad que tú tienes, pero cuando ten tengas la edad edad que que yo teng tengo, o, la sum umaa de nues nuestr tras as edad edades es será será 54 años años.. ¿Cuá ¿Cuáll es mi edad?

PROBLEMA 12:

A) 27 años

B) 24 años

Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2 ¿cuántos años tengo?

D) 23 año años

E) 36 años años

A) 5 años

B) 15 años

D) 20 añ añoos

E) 30 años años

Hace5 años  

RESOLUCIÓN: Tenías, Tenía

C) 45 años

RESOLUCIÓN:

C) 39 años

Tengo,   Tienes

Yo

 

y

2x

Tú

 

x

y

Tengas 54 – 2x   2x

 

H oy    Dentrode5 años

Yo

 

3k

3k + 5

3k + 10  →  5

Tú

 

2k

2k + 5

2k + 10  →  4

 I) y + y = x + 2x ⇒  2y = 3x  II) 2x + 2x = y + 54 – 2x ⇒  6x = y + 54 ⇒ 

4y = y + 54 ⇒  y = 18 yx = 12

• Luego tengo: 2 (12) = 24 años * Según enunciado:

3k   10    2k   10 ⇒ k=5  5 4

* Luego, yo tengo: 3k + 5 = 3(5) + 5 = 20

RPTA: " D"  PROBLEMA 13:

RPTA:" B"  PROBLEMA 15: Un padre tiene 30 años y su hija 3. ¿Dentro de cuántos años de la edad de la suedad hija?de padre será el cuádruplo

10

 

Problemas con Edades A) 15 años

B) 3 años

D) 6 años

E) 10 años

C) 5 años.

 N3

  +

⋮

A

Hoyy Ho

Dentr entroo de “n “n”” año años

Padre

 

30

30 + n

Hija

 

3

3+n

TOMO II

E3   =2002

⋮

 N11   +

RESOLUCIÓN:

 

⋮

 

E11   =2002

+

B

= 22022

* Si todo todoss ya hu hubi bies esen en cum cumplid plidoo años años,, el resultado debió ser de 22022 , pero como el resu result ltad adoo re real al es de 22 2201 018, 8, qu quie iere re deci decir  r  entonces que:

Según enunciado: 22 2202 0222 – 2201 220188 = 4

30 + n = 4(3 + n) 30 + n = 12 + 4n

RPTA:" A"  RPTA: “D”

PROBLEMA 16: Una familia consta de 11personas y realizan una fiesta por cada cumpleaños. Estando todos reunidos en agosto del 2002 sumaron los años en que que ha habí bían an na naci cido do y lue luego go suma sumaro ronn las las edades de todos ellos, dando la suma total un re resu sult ltad adoo 2201 22018. 8. ¿Cuá ¿Cuánt ntas as fies fiesta tass falt faltan an realizarse durante este año? B) 7 E) 5

C) 11

RESOLUCIÓN: Año actual: 2002

PROBLEMA 17: En Junio de 1992, 3 amigos: Carlos, Raúl y Mar arii su sum man su suss edad edades es a lo loss año años de su nacimiento, obtienen como respuesta 5 974. Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre. ¿En qué mes nació Mario? A) Abril

B) Marzo

D) Mayo

E) Enero

Año Nac Nac.. + Eda Edades des =Año = Año Act Actual ual

C) Julio

RESOLUCIÓN: *seria: Si los hubieran cumplido años,a es la suma 3 3x ya 1992 1992. . = 597 5976, 6, per peroo la sum suma 597 5974, 4, eso quiere decir que 5976 = 5974 = 2 personas todavía no cumplen años hasta junio, de donde uno de los que aún no cumple años es Mario, al observar las alternativas, concluiremos que Mario nació en Julio.

* Suponiendo que todos ya cumplieron años, luego:

 N1   +  N2   +

Personas que aún aún no cump cumple lenn años todavía.

⇒ Faltan 4 fiestas durante este año.

6= n

A) 4 D) 8

11 suma sumando ndos s

RPTA: " C" 

PROBLEMA 18:

E1   =2002 E2   =2002

11

 

Problemas con Edades Si mi edad es igual a la raíz cuadrada del año de mi nacimiento, ¿cuántos años cumpliré en el 2002? A) 52

B) 64

D) 71

E) 80

 

TOMO II

x = 30 – 2y

…… (I)

* El presente y futuro, sumando en aspa: (20 – y) + 2x = y + 2y

C) 66

x = 2y – 10

…… (II)

* Igualando (I) y (II): 30 – 2y = 2y – 10

RESOLUCIÓN:

⇒ 40 = 4y   ⇒ 10 = y

* Año de mi nacimiento: 19ab

Finalmente: Tengo = 20 – 10 = 10 años

Mi edad

RPTA:" D" 

  ab x2 = 19

* Datos: x =  19ab  

PROBLEMA 20:

* Luego: 1900 < x2 < 2000

* Entonces nací en el año 442 = 1936, luego en

Mi abuela me dice: «Que el 31 de diciembre del año en que sus 3últimas cifras se obtenían al invertir las 3 últimas cifras del año de su nacimiento, su edad no pasaba de un siglo ¿C ¿Cuá uáll se será rá la edad edad de mi abue abuela la en ener eneroo

el 2002 cumpliré:

de12000? (si es la mínima posible)

2

⇒ 43,… < x

< 44,…

* De donde: x = 44

2002 - 1936 = 66 años

RPTA: “C”

A) 96

B) 98

D) 100

E) 101

PROBLEMA 19:

RESOLUCIÓN:

Cuando tu tenías 10 años yo tenia la mitad de la edad edad que que tu te tend ndrá ráss cuan cuando do yo ten tenga ga el doble de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 20 años. ¿Qué edad tengo?

Sabemos que:

A) 12

B) 14

D) 10

E) 22

C) 15

Año actual - Año de Nacimiento = Edad actual Según el enunciado: Edad delta abuela 19ab - 1ba9  ≤  100

RESOLUCIÓN: Tenías, Tenía

C) 99

* Se deduce que b ≠ 9, luego b = 8.

Tengo,   Tengas Tienes

Yo

 

x

( 20 – y)

2y  

Tú

 

10

y

2x  

* Del pasado y presente (sumando en aspa): x + y = 10 + (20 – y)

19 a 8 –  18 a 9 99 * Para que la edad sea la mínima posible, a =9. * Luego el 31 de diciembre de 1998 tuvo 99 años, entonces la edad mínima en enero del 2000 será 100 años.

12

 

Problemas con Edades RPTA: " D"  PROBLEMA 21: Una persona nacida en el siglo XX tiene en 1998 tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento. Hallar su edad en el 2000. A) 30

B) 32

D) 26

E) 20

 

TOMO II

mitad de la edad que tiene Diana. ¿Cuántos años tendrá Diana dentro de 20? A) 36

B) 41

D) 44

E) 52

C) 32

RESOLUCIÓN:

C) 34

RESOLUCIÓN:

Tenia

Tiene

Ana

x

18

Diana

6

2x

Año de Nac. + Edad Actual = Año Actual 19cd = + (1 + 9 + a + b) = 1998 ⇒ 11a + 2b = 88 ⇒ a

Por suma en aspa: x + 2x = 6+ 18

=8 y b= 0

x= 8

⇒ En 1998 tendrán 18 años

* Ahora Diana tiene 2 (8) = 16 años * Luego en el 2000 cumplirá 20 años.

RPTA: " E " 

Luego dentro de 20 años tendrá: 16 + 20 = 36 años

PROBLEMA 22:

RPTA: " A" 

Una ciudad fue fundada en el siglo XX. En el año en que se escribe con las mismas cifras del año de su fundación pero con las dos últimas cifras en orden inverso inverso,, celeb celebraron raron tantos años como la suma de las dos últimas cifras del año se su creación. ¿Cuántos años celebraron en aquella fecha? A) 15 D) 7

B) 9 E) 17

C) 12

RESOLUCIÓN:

PROBLEMA 24: La edad de María es la mitad de la edad de Miguel, pero hace 20 años la edad de Miguel era el triple de la edad de María. ¿Qué edad tiene María? A) 20

B) 80

D) 60

E) 70

C) 40

RESOLUCIÓN:

Edad de la ciudad

Hace 20 años

Hoy

María

x – 20

x

Miguel

2x – 20

2x

19cd – 19ba = a + b  ⇒ ab = ba = a + b ⇒ 4a = 5b ⇒ a =

5 ∧ b = 4

RPTA: " B"  PROBLEMA 23: Ana tiene 18 años, su edad es el triple de la edad que Diana tenía, cuando Ana tenía la

• Según enunciado: 2x – 20 = 3(x – 20)  ⇒ x = 40

13

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

RPTA: " C"  PROBLEMA 25: Si la edad de un padre con la de su hijo suma 88 años y hace 12 años. la edad del padre era el triple de la edad que tenía el hijo. Calcular la edad del hijo hace 4 años. A) 12

B) 18

D) 22

E) 24

3 • Luego la edad de Vlady será: 8( )=12 años 2

RPTA: " E "  PROBLEMA 27: La suma de las edades del Papá y la mamá es 8 veces la suma de las edades de sus hijos. hace 3 años, la suma de las edades de los esposos era 10 veces la suma de las edades de sus hijos y. dentro de 7 años, la suma de las edades de los esposos será los 50/9 de la suma de las edades de los hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

C) 28

RESOLUCIÓN: Hace 12 años

Hoy

Padre

3x

3x + 12

A) l

B) 2

Hijo

x

x + 12

D) 4

E) 5

Total = 88

C) 3

RESOLUCIÓN:

 ⇒

4x + 24 = 88  x = 16 • La edad del hijo será: 16 + 12 = 28 años

Hace3   Den Dentro tro de   H o y  años 7 años ños de las edades de los esposos Σ de las edades de los “n” hijos Σ

Luego hace 4 años tuvo 28 – 4 = 24 años

RPTA:" RPTA :" E "  PROBLEMA 26: Vlady le dice a Lenin: "Si hubieras nacido 2 años antes, tu edad sería respecto a la octava  parte de la mía, como "3" es a 1; pero si hubieras nacido 2 años después dicha relación sería como 1 es a 3. Indicar la edad de Vlady. A) 8 años

B) 24 años

D) 16 añ añoos

E) 12 año años

C) 32 años

8S – 2(3)

8S

8S + 2(7)

S – 3n

S

S + 7n

8n – 610( 10(s – 3n) 3n)

s = 15 – 3

8s + 14 =

s=

50 (s + 7n) 9

175n   63 11

* Resolviendo n = 3

RPTA: “C”

RESOLUCIÓN: • Sea 8L la edad actual de Vlady, luego: v2



 L

3 1

Restamos

v2  L

Al Restar ambas expresiones 4

⇒

3  L  8

→

3   L= 2



PROBLEMA 28: 1 3

Dentro de 4 años la edad de Cuchito será un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era el cuadrado perfecto al anterior al inicial. ¿Cuál era su edad hace 6 años? A) 4 años

B) 5 años

C) 6 años

14

 

Problemas con Edades D) 10 añ añoos

RESOLUCIÓN: Hoy

 x – 3

 

Dentro De 4 Años

x

x+4

⇓

⇓

(k – 1)2

k2 Resolviendo: k = 4; x = 12 ⇒ Hace 6 años tuvo: 12 – 6 = 6 años

2

x + 4 = k  x – 3 = (k – 1)2

TOMO II

Cuando tengas mi edad •yo tendré lo que tú tendrás cuando yo tenga 35 años. Si cuando naciste yo tenía 10 años, ¿qué edad tengo?

E) 12 años años

Hace 3 Años

 

RPTA: " C"  PROBLEMA 29:

A) 25

B) 15

D) 35

E) 30

C) 10

RESOLUCIÓN: Tenías, Tengo, Tenía Tienes Yo   10 Tú

Tengas   Tendrás Tendré

x

  0

25

35

x

25

Se deduce: (por formas de edades) * Por la suma en aspa: 25 + 25 = x + 35 ⇒ 15 = x

 Nuestras edades suman 47 años; sin embargo; cuando tenías 15 años yo tenía la edad que tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes? A) 30

B) 20

D) 15

E) 18

C) 10

RESOLUCIÓN: P asado

Ho oyy

Yo   x + 2 Tú  

Fu Futturo

47 – x  

15 15

x

x +2

RPTA: " B"  PROBLEMA 31: Alex le dice a Betty. Cuando yo nací, tu tenías 6 años. Cuando César nació yo tenía la tercera  parte de lo que tú tenías cuando yo nací, pero cuando nació David, César tenía el doble de lo que yo tenía cuando. César nació, pero cuando David tenga un año menos de lo que yo tenía cuando David nació. ¿Qué edad tendrá César  en ese momento? A) 1

B) 17

D) 5

E) 6

RESOLUCIÓN:

Suman 47

 Alex  nació

Suma de aspa: x + 2 + x = 47 – x + 15

Alex (Yo)   0

3x = 60

Betty (tú)   6

x = 20

Cesar

RPTA:" B"  PROBLEMA 30:

C) 9

David

Cesar  nació

   

David  David  nació Tenga

2

x

0

4

y

0

x–1

Suma en aspa:

15

 

Problemas con Edades

 

I) 2 + 4 = 0 + x

II) II) 4 + x - 1= 0 + y

A) 50

B) 65

6=x

9=y

D) 56

E) 54

RPTA:" C" 

A) 10

B) 20

D) 16

E) 5

C) 15

Tenías, Tengo, Tendré Tenía Tienes Tengas

Tuviese, 10 años ños mas

Yo

  y

2x + 10

Tú

2 x   10   4

z

2x

 x – 5

y 

I) Según enunciado: 2x + 10 + x – 5 = 11  ⇒ 0x = 35

RESOLUCIÓN:

II) La suma en aspa: y + y

Edad de Javier: J

III) Suma Suma en aspa: z + y = x – 5 + 2x

J = 2/3

3



2k    10 + 2x 4

Como x = 35   ⇒   y = 45

Edad de Luis: L

 J 

C) 55

RESOLUCIÓN:

PROBLEMA 32: La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. Si Javier hubiera nacido , 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 'años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos, cuando nació el otro?

TOMO II

* Reemplazando: z = 55

1  J   3k   2  L  2 k 

RPTA:" C"  PROBLEMA 34:

* Según enunciado :

* Piden la diferencia de edades:

En el año 2000 un profesor sumó tos años nacimientos de 25 alumnos de un salón y luego las edades de todos los estudian estudiantes, tes, en segu seguida ida sumó sumó am ambo boss re resu sult ltad ados os y ob obtu tuvo vo 49 4999 9933

3k – 2k = k = 10

¿cuántos estudiantes todavía no cumplen años en dicho año?

3k   10 16   3k   5      2k   5 5  2k   10 

⇒ k = 10

A) 3

B) 17

PROBLEMA 33:

D) 2

E) 7

Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de los que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más de los que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo?

RESOLUCIÓN:

RPTA: " A" 

C) 13

* Sumando independientemente a cada uno: Año Nac. Nac. + Edad = 2000 ó 11999 999 2000 si cumplió años y 1999 si todavía no cump cumple le,, su supo ponniend iendoo qu quee los los 25 alum alumno noss hubieran cumplido años, entonces la suma total sería:

16

 

Problemas con Edades D) 1964 25(Años Nac.) + 25(Edad Act.) = 25 (2000)

  E) 1948

RESOLUCIÓN:

= 50000

+6

* Pero en realidad la suma total es 49993, eso se debe a que: 50000 – 49993 = 7 * No han cumplido años en el 2000

RPTA:" RPTA :" E "  PROBLEMA 35:

Cuando nació el 3º

D) 70

E) 57

C) 67

1995

Paulina

 

21

27

27 + x  

1º hijo

 

0

6

6+x  

En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940? B) 72

+x

Cuando nació el 1º

 

3º hijo

A) 66

TOMO II

0

x 

6x + 2x = 32 (dato)  ⇒ s/x = 13

• Entonces Paulina en 1995 tuvo: 27 + 13 = 40 años,

RESOLUCIÓN:

• Luego nació en: 1995-40 = 1955 +5

+17

RPTA:" B" 

1918

1923

1940

9x + 22

Padre

 

9x

9x + 5

Hijo

 

x

x +5

PROBLEMA 37: La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuan cuando do él tení teníaa la octa octava va part partee de lo qu quee tendré, y cuando tu tengas lo que yo tengo, el tendrá 6 años más de lo que yo tuve. Si lo que tuve es 6 años más de lo que él tiene y 12años

• Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5) ⇒ 9x + 5 = 5x + 25 ⇒ x = 5

más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo?

⇒ 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67

A) 36

B) 38

D) l7

E) 4

RPTA: " C" 

C) 40

PROBLEMA 36: Paulina tuvo su primer hijo a los 21 años, a los 27 años su tercer hijo; a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 años. ¿En que año nació Paulina? A) 1945

B) 1955

C) 1962

RESOLUCIÓN: Tenía, Tuviste Tuve

Tengo, Tienes

Tendré Tengas Tendrás 17

 

Problemas con Edades z

8y

Tú   x – 12

x

z  

 

x –6

Yo

Él

 

x

y

 

x –6

 

TOMO II

 para que de esa manera su hijo muera en un año año que que tam también ién sea cuad cuadrrado ado per perfe feccto ¿Cuántos años, vivirá el hijo de Lenin? (Siglo actual XXI) A) 91

B) 72

D) 100

E) 64

C) 81

2x – 18 = y + x … (α)

Resolviendo

RESOLUCIÓN:

2x + 6 = 9y

el Sistema

* Debemos encontrar números que elevados al cuadrado sean 2000 y algo más, por un tanteo adecuado tendremos:

… (β)

2x = x – 12 + z … (θ)

z = 36

RPTA: “A” PROBLEMA 38: Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la mía. ¿Cuántos años tengo? A) 6 D) 12

B) 9 E) 15

C) 4

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Probemos con un intermedio entre 40 y 50, que será: 452 = 2025 ⇒ "Lo deseado" y el siguiente cuadrado será: 462 = 2116 * Luego, se deduce que el hijo de Lenin nacerá en el 20 2025 25 y mo mori rirá rá en el 21 2116 16 ,ent ,enton once cess vivirá: 2116 - 2025 = 91años

RESOLUCIÓN:

RPTA: “A”

+3

PROBLEMA 40: Hace 3 años Yo   Mi   hermano

 

Hoy

3x

3x + 3

x

x +3

Según el enunciado:

A) 2

B) 13

D) 6

E) 14

C) 7

RESOLUCIÓN:

3(x + 3) = 2(3x + 3) ⇒ x =

La edad de un elefante será dentro de 55 años, un cubo perfecto, hace 65 años, su edad era la raíz cubica de ese cubo. Indicar la suma de cifras de la edad de dicho paquidermo.

65

1

Hace 65 años

⇒ Tengo:

n

3(1) + 3 = 6 años

Lenin el "Supersticioso" tendrá su primer hijo en el primer año que sea cuadrado perfecto •

Hoy

Dentr troo de 55 años

n – 65 → 120

RPTA: “A” PROBLEMA 39:

55

n3 años

Del esquema: n + 120 = n3 ⇒ n3  – n = 120

18

 

Problemas con Edades

 

n(n2 – 1) = 120 – 10 + 10

D) 30 año años

n(n + l) (n – 1) = 120

RESOLUCIÓN:

* Acomodando adecuadamente:

TOMO II

E) 60 años años

* Sea el año en que nací: “N”

(n – 1) n x (n + 1) = 4 x 5 x 6

* Sea mi edad actual: "E" años

* Por comparación: n = 5 * Entonces, la edad actual del elefante es:

Año que   nací   N

5 + 65 = 70 años * Piden: 7 + 0 = 7

PROBLEMA 41:

edades de lo que yo tenia y tú tenias es : A) 10 B) 28 C) 25 E) Faltan datos

RESOLUCIÓN:

 

Tenias, Tenias

Tiene, Tengo tienes

y

x   

Tú Él

 

N + 30

(N + 30) - (N + E) = E ⇒ 30 – E = E   ⇒  E

Yo tengo lo que él tenía, cuando yo tenía lo que tu tienes, si el tiene tantos años como tú y yo tenemos juntos; luego el producto de las

Yo

N+E

* Según enunciado:

RPTA :" C" 

D) 0

Año Actual   cumplidos Año que

x

= 15

RPTA :" B"  PROBLEMA 43: Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 10 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 5 años? A) 7

B) 15

D) 9

E) 13

C) 12

RESOLUCIÓN:

y 

-10

+10

x +y   Hace 10   años

Se deduce que es "o". (Aplicando la suma en aspa)

Edad

* Piden: y x 0 = 0

RPTA: " D" 

x – 10 =

  x – 10  x  10

2

Actual   Dentro de 10 años

x

= 15

PROBLEMA 42:

Hace 5 años tenía: 15 – 5 = 10

Si al año en que cumpliré los 30, le restas él año actual, obtendrás mi edad actual, la cual será:

* Para tener el 3(10) = 30

A) 20 años

B) 15 años

C) 25 años

x + 10

Debe transcurrir 30 – 15 = 15 años

RPTA: " B"  19

 

Problemas con Edades PROBLEMA 44: ¿Cuantos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace, 4 añ años os má máss la raí raízz cuad cuadra rada da de la edad edad qu quee tendrá dentro de 9 años suman 13? A) 40

B) 21

D) 30

E) 22

Edad

 

x –4

Actual

  Dentro de 9 años

x

TOMO II

tres suman 30 años. ¿Cuántos años tiene el mayor? A) 16

B) 19

D) 24

E) 31

C) 17

RESOLUCIÓN:

C) 37

RESOLUCIÓN: Hace 4   años

 

x +9

Cuando nació “A”

Cuando nació “B”

Cuando nació “C”

A

0

9

x–6

B

6

15

x

0

x – 15

C

= 30

* Según enunciado:  x   4   x   9 = 13 3x – 21 = 30   ⇒  x = 17 * Resolviendo: x = 40

RPTA: " C"  RPTA: " A" 

PROBLEMA 45:

COMENTARIO:

Una persona tenía "x" años de edad hace "3" años. Su edad "3" años después de hoy será expresado por:

El "15" se deduce ya que la diferencia de edades es constante 6 – 0 = 15 – 9. Luego se deduce que el mayor es "B" y éste le lleva 15 – 9 = 6 años “A” y15 años a "C"

A) x + 3

B) x – 3

PROBLEMA 47:

D) 6 – x

E) x + 6

C) x – 6

Las edades de 3 jóvenes están en progresión aritm aritméti ética ca cr crec ecie ient ntee cuya cuya su suma ma es 39, 39, si la suma de sus cuadrados es 515, la edad del menor es:

RESOLUCIÓN: +3

Hace 3   años Edad

 

x

+3

Hoy

x +3

  3 Después de hoy

x +6 RPTA: " E " 

A) 11

B) 13

D) 17

E) 19

C) 15

RESOLUCIÓN: En progresión Aritmética • Sean las edades: x – r, x, x, + r  • Según enunciado:

PROBLEMA 46: Cuando A nació, B tenía 6 años y cuando C nació, A tenía 9 años. Ahora la edades de los

I) x – r + x + x + r = 39   ⇒  x = 13 2

2

2

II) (13 – r) + 13 + (13 + r) = 515 r = 2   ⇒ Edad de menor: 13 – 2 = 11 años

20

 

Problemas con Edades RPTA: " A"  PROBLEMA 48: La edad en años de un elefante es mayor en 31, que el cuadrado del número "k" y menor en 2 que e1 cuadrado del número siguiente a "k" ¿Cuántos años tiene el elefante? A) 256

B) 287

D) 301

E) 304

C) 289

RESOLUCIÓN:

PROBLEMA 50: La diferencia de los cuadrados de las edades de 2 per erso sonnas es 37. 37. Halla allarr las las edad edades es que que tuvi tuvier eron on,, cuan cuando do la edad edad del ma mayo yorr fu fuee el doble de la del menor. A) 16 y 8

B) 18 y 9

D) 17 y 5

E) 20 y 10

(k 2 + 1)

Cuadrado de Un numero ero

Edad Actua tual

+ 31 + 2 = (k + 1)

2

k2 +  31 Cuadrado del numero sigu iguien iente ⇒  k

(x + y) (x – y) = 37 x 1 * Entonces por comparación: x + y = 3377

= 16 x–y =1 2x = 38

* Edad del elefante: 162 + 31 = 287

RPTA:" B"  PROBLEMA 49:

A) 20

B) 21

D) 25

E) 22

Hace 8   años

RPTA: “C”

+4

Actual

x –8

x

Raíz Raíz cuad cuadra rada da ⇒  x

* Sus edades fueron: 2 y 1 año.

PROBLEMA 51:

-8

* x – 8  x   4 

19 – n = 2(18 – n)   ⇒   n = 17

C) 23

RESOLUCIÓN:

 

x = 19 e y = 18 * Luego hace "n" años, ocurrió que:

La edad de Rulo dentro de cuatro años será un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la ra raíz íz de es esee cuad cuadrad radoo perf perfec ecto to.. ¿Q ¿Qué ué edad edad tendrá Rulo dentro de 10 años?

Edad

C) 2 y 1

* Sean "x" e "y" las edades, luego: x 2 - y2 = 37

+2

k 2

⇒ k 

TOMO II

RESOLUCIÓN:

+31

2

 

  Dentro de 4 años

x +4 Cu Cuad adra rado do

Mily tiene r años, la raíz cuadrada del año en que su bisabuelo nació más la raíz cuadrada del año cuando murió, es igual a la edad cuando murió. ¿A qué edad murió el bisabuelo? (siglo actual: XX) A) 72

B) 89

D) 85

E) 9

C) 114

RESOLUCIÓN:

= 12

E: Edad cuando murió el bisabuelo * Dentro de 10 años tendrá: 12 + 10 = 22

RPTA: " E " 

A: Año en que nació

21

 

Problemas con Edades ⇒ El año en que murió será: A + E

⇒ x(n – s) = 2n (s –

* Según enunciado:

⇒ x =

 A     A    E  = E  ⇒

 

 A    E   = E –    A

TOMO II

1)

2n ( s   1)  lo que  n   s

    piden 

RPTA: " B" 

* Elevando al cuadrado:

PROBLEMA 53:

2

A + E = E  – 2E   A + A  E     1  * Despejando: A =       2  

Lo que se cuenta sucedió en 1932 tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últim úl timas as cifr cifras as del del año año de mi nacim nacimien iento to al  poner en conocimiento de mi abuelo esta coin coinci cide denncia, cia, me dejo dejo impr impres esio iona nado do al contestarme que con su edad ocurría lo mismo.

2

* Consideremos que: 2

 E     1  1900 <     < 2000   2   ⇒ 43,… <

 E   1

¿Cuántos años tenía el abuelo y cuántos años tenía el nieto en 1932?

< 44,…

2

⇒

 ⇒

 87.... < E < 89

 E = 89

RPTA: " B" 

A) 16 y 66 años años

B) 7 y 90 años años

C) 19 y 93 años años

D) 15 y 50 años años

E) 18 y 92 años

PROBLEMA 52: Hace "n – s" años la edad de A era "n" veces la edad de B, Dentro de "n + s" años solamente será "s" veces la edad de B. La edad que tenia B hace "n – s" años fue: A)

2n( s  1  )

B)

n   s

2n( s  1  )

C)

n   s

2n(n  1)  s  1

RESOLUCIÓN: * Considerar: Año actual – Año de Nac. = Edad Actual * Sean ab y cd las edades que tuvieron en ese entonces el nieto y el abuelo respectivamente. * Según los datos de lo sucedido:

RESOLUCIÓN: +(n – s)

1932 – 19ab = ab ⇒ 32 – ab = ab

+(n – s)

* De donde: ab = 16

Hace (n – s)   años

Hoy

 

Dentro de (n + s) años

A

 

nx

nx + n – s

nx + 22n n

B

 

x

x +n–s

x + 2n

A = nB

* Lo mismo sucedía con la edad del abuelo: 1932 -18cd = cd ⇒ 132 – cd = cd ⇒ cd = 66

RPTA:" A" 

A = sB

* Según última condición:

PROBLEMA 54:

A = sB   ⇒  nx + 2n = s(x + 2n)

En 1920, la edad de Alex era el doble de la edad de Rubén en 1928 la edad que tenga Alex será el triple de la edad que tenía Rubén en 1912, En qué año nació Alex?

⇒ nx + 2n = sx + 2ns  ⇒ nx – sx = 2ns - 2n

22

 

Problemas con Edades A) 1850

B) 1852

D) 1860

E) 1864

C) 1856

 

2H2 = 24

2P = 96

H1 = 12 y H2 = 7

RESOLUCIÓN: -8

TOMO II

P = 48 y M = 47

* Piden la diferencia de las edades del padre y la del hijo mayor: 48 – 12 = 36

+8

RPTA:" C" 

Alex

 

Ruben  

1912

1920

1928

PROBLEMA 56:

2x – 8

2x

2x + 8

x –8

x

x +8

Es sabido que los gatos tiene siete vidas pero "Cuchi "Cu chita" ta" gat gataa tec techer heraa pen pensó só cie cierta rta noc noche: he: "hoy termina mi segunda vida y en todos mis años he hecho lo que otros hacen en sus siete vidas" . Si el número de años que ella lleva

* Según enunciado: 2x + 8 = 3(x – 8) ⇒  x = 32 * En 1920 Alex tenía 2(32) = 64 años, * Luego nació en: 1920 – 64 = 1856

RPTA: " C"  PROBLEMA 55: Un hijo le dice a su padre padre:: "La difer diferencia encia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la ed edad ad de mi herm herman anoo es 95". 95". El padre adre le co cont ntes esta ta:: "E "Ess la mism mismaa dife difere renc ncia ia de los los cuadrados de mi edad y la de tu madre". ¿Qué ed edad ad te tení níaa el pa padr dree cuan cuando do naci nacióó su hijo hijo mayor? A) 12

B) 24

vividos es igual a la cuarta parte del número de meses vividos, menos 6. ¿Cuántos años dura la una de las vidas de Cuchita? A) 1.5 D) 6

C) 4

RESOLUCIÓN: • # de años por vida: x • Edad en años de Cuchita: 2x • Edad en meses de Cuchita: 12(2x) = 24x • Según el enunciado:

C) 36 2x =

D) 48

B) 3 E) 4

24 x

 – 6   ⇒ 6 = 6x - 2x ⇒ x = 1,5

4

E) 60

RPTA:" A" 

RESOLUCIÓN: * Planteando directamente:

PROBLEMA 57: Cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes, tú tenías la edad que él tenía cuando tu naciste. Si hoy (engo35 años y él tiene el cuádruple de lo que tenía cuando naciste. ¿Qué edad tiene? A) 10

B) 12 E) 8

H1 + H 2 = 19

P + M = 95

D) 16

H1 – H 2 = 5

P–M=1

RESOLUCIÓN:

C) 14

23

 

Problemas con Edades

TOMO II

Tienes, Tengo, Tiene

Luis

x

3x

6x

9x

Cesar

3x

5x

8x

11x

x

35

Daniel

0

3x

Cuando tú   Yo tenía naciste Yo

 

Tú

0

y

2x – 3y

Él

y

2y

4y

Edwin

0

3x

* Lo sombreado ha sido colocado utilizando mentalmente "el método del aspa". • Según último dato: 9x + 11x = 120  ⇒ x = 6

3 y • Falta considerar: x = ; 2

Piden: 5x = 5(6) = 30 años

·Además:

RPTA: " A" 

⇒ x + 2x = y + 35  ⇒ 3x = y + 35

PROBLEMA 59:

 3 y     = y + 35   2  

Javier le dice a Lidia: la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la

⇒ 3 

• Resolviendo: y = 10

edad ed ad tiene quee tuv qu tuvis iste te cuan cuando do yo nací. nací. Ento Entonc nces es Lidia actualmente:

• Piden tu edad: 3y = 3(10) = 30 años

RPTA:" RPTA :" E "  PROBLEMA 58: Cuando Andrés nació, César tenía el triple de la ed edad ad qu quee tení teníaa Luis Luis,, en ese ese ento entonc nces es.. Cuando nació Daniel Andrés tenía el doble de lo que tenía Luis cuando nació Andrés. Cuando nació Edwin, Daniel tenía la edad que tenía César cuando nació Andrés y cuando Edwin tenga ten ga la ed edad ad que que ten tenía ía Luis Luis cuan cuando do naci nacióó Daniel, las edades que tengan en ese momento Luis y César sumarán 120años. Cuántos años tenía Andrés cuando nació Edwin. A) 30

B) 28

D) 32

E) 24

A) 12 años

B) 84 años

D) 24 año años

E) 50 años años

C) 48 años

RESOLUCIÓN: * Se observa que hay tres tiempos:

Cuando yo nací tuviste

Tenía   Hoy Tienes

Javier (Yo)

 

0

3y

46 – 3x

Lidia (Tú)

 

y

x

3x

* Aplicando la suma en aspa:

C) 36

0 + x = y + 33yy … (α) 3y + 33xx = x + 46 – 33xx … (β)

RESOLUCIÓN:

* ( α) en (β): 3y + 3(4y) = 46 – 2(4y)

Andrés

Cuando nació Andrés

Cuando nació Daniel

Cuando nació Edwin

0

2x

5x

Cuando Edwin tenga

⇒  y =

2 y x=8

* Piden la edad de Lidia que será: 3x = 3(8) = 24

24

 

Problemas con Edades RPTA: " D"  PROBLEMA 60: La edad de Oscar y su esposa, es seis veces la suma de las edades de sus hijos, hace 2 años esta suma era diez veces la de sus hijos, y dentro de 6'años será, tres veces la de sus hijos, ¿Cuántos hijos tiene? A) 6

B) 3

D) 4

E) 7

C) 5

Elvira (Yo)

 

TOMO II

Tenias, (Tengo)   Tenga Tenía Hoy Se  y  10 = 4x deduce 3x 2 que es 2x  x  5 =5   3x 3x 4x 2

Paola (Tú) Padre de Elvira   Padre de Paola

y  

z y

z

* Se deduce que:

RESOLUCIÓN:   Dentro de Hace 2   Hoy 6 años años Oscar y   6x |2(2)| su esposa x|2n| Sus Hijos   x|

6x

6x |6(2)|

x

x 6n

x=y+x  y  10

2  x  5

2

-2(n)

-6(n)

 

… … (I)

= 4x   … … ((II II ) = 55x   … … (I(I I I )

* Resolviendo el sistema se obtiene: x = 5

* Según condiciones:

* Piden: 3x + 4x = 7x = 7(5) = 35

6x – 4 = 10(x – 2n)   … ( I ) 6x + 12 = 3(x + 6n)   … ( I I ) * Resolviendo el sistema se obtiene: n = 3

RPTA:" B"  PROBLEMA 61: Elvira le dice a Paola: "Nuestras edades son  proporcionales a los números 3 y 4 respec res pectiv tivame amente. nte. Ade Además más,, yo teng tengoo la edad que tú tenías cuando mi padre tenía la edad de tu padre. Ahora bien, cuando tu padre tenga la edad de mi padre, mi edad será la mitad de la edad que tú padre tenía hace 10 años y tu edad será la mitad de la edad que tenía mi padre hace 5años". Hallar la suma de las edades de Elvira y Paola. A) 42

B) 35

D) 71

E) 41

RESOLUCIÓN:

C) 8

RPTA:" B"  PROBLEMA 62: “A” le dice a "B": "Cuando yo tenía tu edad, "C" tenía 10 años" ; "B" contesta: "Cuando yo teng tengaa tu eda edad, "C "C"" ten tendr dráá 26 año años" "C "C"" interviene : "Sí sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja resultaría el doble de mi edad". ¿Cuál es la edad del menor? A) 16 años

B) 18 años

D) 20 año años

E) 22 años años

) 19 años

RESOLUCIÓN: Tenia Hoy y A   x   x B 10 z C   10 Por suma en aspa:

Tengo y 26

x + 2 = 10   … … (I)

25

 

Problemas con Edades x + 26 = x + y   … … (II )

 

TOMO II

* Según el último dato: ya tuviste

Del último dato:

x + x – 20 + x + 20 = 255

Suma de ventajas

  … … (I I I )

y – x + x – z = 2x

x = 85 años (tengo)

RPTA: “B”

* De (I), (II) y (III) se obtiene: z = 18 (menor); y = 40; z = 32

PROBLEMA 64:

RPTA: " B"  PROBLEMA 63: Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos 300años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo, y sí yo tuviese lo que tengo, tuve y tendré, tendría 255 años, ¿Qué edad tengo ahora? A) 70

B) 85

D) 75

E) 80

C) 24

A) 4

B) 5

D) 8

E) 9

C) 6

RESOLUCIÓN: Recordaremos que:

Año Nac. + Edad Actual = Año Actual

RESOLUCIÓN:

19ab + ab = 1988

Han pasado: 300-180 = 40 años

de edades es 180   Tuve Σ

Yo

Una persona tiene en 1988, tantos años como el producto de las últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de su edad?

Presente Tengo

y x – 20 x Tiene Tu   Tenias x   Tiene Él   x – 40 y x – 20 (Carlos) +2 +200 años años

Suma de edades es 300 Tendré

* Tanteando adecuadamente: ab = 64

x + 20 Tendrás

* Piden: 2 + 4 = 6

 

* Su edad será: 6 x 4 = 24 año añoss

RPTA: “C”

x

+2 +200 años años

* La suma de los 3, en cada año aumenta en 3 años; por lo cual se dedujo que del pasado a futuro pasaron 40 años. * La "y", se dedujo aplicando el método del aspa: y + y = x – 40 + x   ⇒ y = x – 20

⇒ 1900 + ab + ab = 1988  ⇒ ab + ab = 88

PROBLEMA 65: Mi edad edad es tant tantas as vece vecess má máss qu quee tú edad edad.. Como Co mo el núm número ero de vece vecess qu quee cont contien ienee la inversa de mi edad a la inversa de tu edad. ¿C ¿Cuá uáll es la ra razó zónn geom geomét étri rica ca de nu nues estr tras as edades? A) 2

B)3

D) F.D.

E) N.A.

C) 1,2

26

 

Problemas con Edades RESOLUCIÓN: • Si “A” es "N" veces más que "B" entonces:

 

TOMO II

• Entonces lo que piden será: 7 de mayo de 1911 + 4 años 17 días = 24 de mayo de 1915

RPTA: " D"  A = (n + l) B  ⇒   n =

 A  B

 – 1

PROBLEMA 67: Yesenia le dice a Pedro: Mi edad hace muchos

• Luego en el problema: Mi edad: x • Razón Geométrica:

años era mayor que 20 pero menor que 30,  pero en dicho año se podía calcular de la siguiente siguie nte manera: Suma los cuadr cuadrados ados de cada una de las dos primeras cifras de aquel año y réstale la suma de cada uno de los cuadrados de las dos últimas cifras de aquel año.

Tu edad: y  x  y

= k 

• Según enunciado: 1  x

 – 1 =  x 1  y

⇒

 x  y

-1=

 y  x

⇒ k – 1 =

1 k 

¿Cuántos años tengo en la actualidad (1994), sabiendo que es la mayor posible? A) 94

B) 98

D) 96

E) 86

C) 88

 y

1 5 k - k  = 1  ⇒ k   – k – 1 = 0 ⇒ k = 2 1

2

RPTA: " E "  PROBLEMA 66: Un individuo nació el3 de abril de 1903 y otro el 7 de mayo de 1991. ¿En qué fecha la edad del 1ro. Fue el triple que la del 2do.? A) 19 de mayo de 1914

RESOLUCIÓN: * Sea 19ab el año mencionado inicialmente, luego la edad en dicho año, será : 10 < 12 + 9 2 – (a2 + b 2 ) < 30 Mi edad (hace muchos años) ⇒ 6

2

< a2 + b2 > 52 22

72

B) 23 de mayo de 1915

Valores que hacen la edad lo mayor posible.

C) 22 de mayo de 1915 D) 24 de mayo de 1915

* Luego en 1927 su edad será: 12 + 9 2 – (2 2 + 7 2) = 29 años

E) 25 de mayo de 1915

Entonces nació en: 1927 – 29 = 1898

RESOLUCIÓN:

* La edad en 1994 estará dada por:

• La diferencia de las edades será: 8 años 1 mes 4 días

1994 – 1898 = 96 años.

RPTA:" D" 

• Luego: 3x – x = 8 años 1 mes 4 días Edad del 2do.

PROBLEMA 68: Un padre, su hija e hijo conversan:

⇒

 x = 4 años 17 días.

* El padre dice: "Nuestras edades suman 100 años".

27

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

* El hijo dice: "Cuando yo tenía la edad que tiene mi hermana, nuestras edades sumaban 70 años".

D) 20

* La hija dice: “Cuando yo tenga los años que  papá tenía cuando tu tenías los años que nos dijiste nuestra edades sumarán 160 años”.

* Sean las edades: "p", "x", "y", y "z".

E) 25

RESOLUCIÓN:

* Luego: p - 5 = x + y + z  p + l0 = 2(x + 10)

* El padre dice: "Pero si yo tuviera los años que tenía, tengo y tendré, resultaría":

 p + 20 = 2(y + 20) +

A) 120

B) 250

 p + 30 = 2 (z + 30)

D) 200

E) 160

C) 124

3p + 60 = 2(p – 5 + 60)

RESOLUCIÓN:

 p = 50;

x = 20; y = 15; z = 10(menor)

RPTA:" B"  PROBLEMA 70: A Deysi en el año 1989 se le preguntó por su edad y contestó: "tengo, en años, "n" veces el número que forman las 2 últimas cifras del año de mi nacimiento" indicar el único valor entero de "n".

* En el pasado: x + 20 + x – 10 + x = 70 ⇒ x = 20

D) 22

E) 23

C) 0

RESOLUCIÓN:

Año Nac. + Edad Actual = Año Actual

x + 20 + x + 30 + x + 50 = 3x + 100 = 3(20) + 100 = 160

RPTA: " E " 

19ab 19ab + nab = 1969 1969 1900 + ab + nab = 1969 ⇒ (n + l)ab = 69

PROBLEMA 69: La edad de un padre supera en S a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dent Dentro ro de 10 años su edad será el doble que la del primero, dentro de 20 años su eda edad será el doble de la del segundo, y dentro de 30años su edad será el doble que la del tercero ¿Cuál es la edad del hijo menor? B) 10

B) 68

* Sabemos que:

* La expresión a calcular será:

A) 5

A) 2

(n (n+ + 1) 1) ab ab = 3 x 23 n+1=3 n=2

RPTA: " A"  PROBLEMA 71:

C) 15

28

 

Problemas con Edades Yo tengo tantos años como los que tú tenías, cuando yo tenía lo que tuviste cuando yo nací. Luego tú tienes:

e) Los 2/3 de mz. edad. D) Los 3/2 de mi edad.

TOMO II

RESOLUCIÓN: Tenia Tenías

Tengo Tienes Tiene

Tendré Tengas Tenga

Yo

y

y + 4x

2y + 3x

Tú

x

5x

y + 4x

Él

y + 4x

5y

y + 9x

A) La mitad de mi edad. B) La cuarta parte de mi edad

 

RESOLUCIÓN: Tu tuviste Yo Nací 

Tenias Tenia

Tengo Tienes

0

y

x

Yo

* Lo so som mbr brea eado do se obti obtien ene, e, apli aplica cand ndoo el método del aspa, luego considerando el aspa  presente se obtiene: x + 5y = y + 4x + 5x  ⇒ 4y = 8x ⇒ y = 2x

Tú

y

x

E Tu Edad

* Lo que él tiene, que es 9 años más de los que yo tendré. ⇒ 5y = 2y + 3x + 9

* Por suma en aspa: 0+x=y+y

y+E=x+x

x = 2y

⇒ 5(2x) = 2(2x) + 3x + 9 ⇒ x =

⇒ E = 3y

3

* Piden: 5(3) = 15 años

* Luego se observa que : Tú  Edad 

3



⇒ Tú Edad =

RPTA: " E " 

 Mi  Edad 

PROBLEMA 73:

2 3 (Mi Edad) 2

RPTA:" D"  PROBLEMA 72: Cuando Tú tengas la edad que yo tengo tendrás lo que él tenía cuando tenías la quinta parte de lo que tienes y yo, tenía la quinta parte de lo que él tiene, que es , 9 años más de los que yo tendré cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Luego tú tienes; A) 12 años

B) 17 años

D) 27 añ añoos

E) 15 año años

C) 21 años

Dentro de algunos años mi edad será el cubo de la edad que tenía hace otros algunos años. ¿Cuál será la raíz cúbica de mi edad, si hace 19 años mi edad será la raíz cuadrada de dicho cubo? A) 2

B) 3

C) 4

D) A ó B

E) No hay soluc luci6n i6n

RESOLUCIÓN: • Ese cubo puede ser: 33 = 27 ó 43 = 64; pero ese cubo también tiene raíz cuadrada, con lo que nos quedamos con 64. • Luego mi edad "x" hace 19 años era:

29

 

Problemas con Edades x – 19 =   64

 

x = 27

Piden:   3 27   = 3

RPTA: " B"  PROBLEMA 74: Cuando yo tenía lo que te falta a tí actualmente  para tener el doble de mi edad, tú tenías la mitad de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que me falta a mi actualmente para tener 70 años. Si la suma de nuestras edades ac actu tual ales es es 50. 50. Calc Calcul ular ar la dife difere renc ncia ia de nuestras edades dentro de 40 años. A) 5 años

B) 6 años

D) 10 añ añoos

E) 12 años años

Yo Tú

2x

A) 3

B) 5

D) 10

E) 12

C) 8

RESOLUCIÓN: Luis

Carlos

Mario

x

y

z

* 1er, dato: x + y + z = 18

RESOLUCIÓN: Tenia Tenías

TOMO II

La suma de las edades de Luis, Carlos y Mario es 18 años; si se toma la edad de Mario tantas veces como la edad que Luis tiene y viceversa, y luego de sumario se agrega la edad de Luis tantas veces como años él tiene, se obtendrá 69. Determinar la edad del que es mayor que el menor y es menor que el mayor.

Edades

C) 8 años

 

  … (I )

* 2do. 2do. da dato: to: xxzz + zx + x × x = 69

 

Hoy

 

Tendré Tenias

x

 

2x

y x

y

70

x (2z + x) = 69 Por comparación: x(2z + x) = 3 × 23

x

x=3

2z + 3 = 23 z =10

* Reemplazando en (I), se obtiene: y = 5

Se dedujo por el método del aspa Se dedujo por dato

* Piden la edad intermedia, que se deduce que será: 5

• Según el aspa presente:

RPTA:" B" 

70 = y + 2x   … … (I) • Además por enunciado:

PROBLEMA 76:

x + y = 50   … … ( II ) • De (I) y (II): x = 20

y = 30

• Pid iden en la dife diferren enccia de las las edad edades es (q (quue siempre es constante) : 30 - 20 = 10

RPTA: " D"  PROBLEMA 75:

Cuando yo tenía la cuarta parte de la edad que tiene, él tenía la sexta parte, y tu tenías 4anos menos de la edad que actualmente tiene él. Pero cuando yo tenga el doble de mi edad, él tend tendrá rá 2 años años menos enos de mi edad edad de ese ese entonces. ¿Qué edad tuve yo cuando tu edad era el doble de lo que tenía él? A) 14 años

B) 20años

D) 12 año años

E) 10 años años

C) 18 años

RESOLUCIÓN: 30

 

Problemas con Edades Tenia Tenías

Tienes Tiene

Tendrá Tenga

Yo

3x

z

2z

Tú

y–4

12x

Él

2x

y

D) 2002

 

TOMO II

E) 2001

RESOLUCIÓN:

2z – 2

Diferencia de edades es 2

Piden el promedio de ambos promedios:

⇒ 3x – 2x = 2   ⇒   x = 2

* Por suma en aspa en (I): y – 4 + y = 2x + 12x ⇒ 2y – 4 = 14x2y = 14(2) + 4

RPTA: “C”

⇒ y = 16

PROBLEMA 79:

* Por suma en aspa en (II) :

Tito Tito es viud viudo, o, tien tienee seis seis hi hijos jos,, dond dondee hay hay

3(2) + 12(2) = 16 – 4 + z  ⇒18 = z * Luego: Piden

Hoy

YO

E

18

Tú

2k

24

Suma en aspa

Él

k

16

2k +16 = k +24 k =8

tril trilli lizo zoss (l (loos otro otross hijos ijos tien tieneen edad edades es diferentes) el menor de todos tiene seis años, la suma de las edades de todos los miembros de es esta ta fa fami mili liaa es 90 años años.. ¿C ¿Cuá uáll es la edad edad máxima que podría tener el padre? A) 44 B) 48 C) 46 D) 52 E) 64

* Además: E + 24 = 2k + 18

RESOLUCIÓN: * Para que la edad del padre sea máxima, los hijos deben tener la mínima cantidad de años , debido a que la suma de todos es 90 , entonces se tendrá:

⇒ E + 24 = 2(8) + 18  ⇒ E = 10

RPTA:" RPTA :" E "  PROBLEMA 78: En un aula aula se calc calcul uloo el pr prom omed edio io de las las edades de todos los alumnos incluyendo la del  profesor, luego se evaluó el promedio de los años de nacimiento, luego se sacó el promedio de ambos promedios cuyo resultado es:

EMAX = 46

RPTA: “C”

OBSERVACIÓN: Considerar año actual : 2002 A) 1000

B) 1999

C) 1001

31

 

Problemas con Edades 01.- La edad de Sonia dentro de 6 años será de 30 años. ¿Qué edad tiene ahora? A) 18 años

B) 20 años

D) 26 añ añoos

E) 23 años años

C) 24 años

 

A) 34 años

B) 35 años

D) 20 año años

E) 28 años años

A) 18 años

B) 17 años

¿Qué edad tiene? A) 18 años B) 19 años

D) 15 año años

E) 19 años años

D) 21 añ añoos

E) 22 años años

03.- La edad qu 03.quee tuvo Nur Nuryy hace 5 años fue de 12 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? A) 25 años

B) 14 años

D) 40 añ añoos

E) 27 año años

C) 24 años

04.- La edad de Vany dentro de 3 años será de 16 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? A) 9 años

B) 10 años

D) 12 añ añoos

E) 13 años años

C) 11 años

05.- Dentro de 10 años la edad de Paco será el triple de la que actualmente tiene. ¿Qué edad tiene? A) 5 años

B) 6 años

D) 11 añ añoos

E) 12 años años

C) 9 años

06.- Hace 8 años la edad de José fue la tercera  parte de su edad actual. ¿Qué edad tiene ahora? A) 6 años

B) 8 años

D) 12 añ añoos

E) 13 años años

C) 10 años

C) 22

09.- Si dentro de 17 años tendré 40 años. ¿Qué edad tuve hace 5 años?

02.- Si la edad de Ronel hace 3 años fu fuee de 18. C) 20 años

TOMO II

C) 16 años

10.- Si dentro de 8 años tendré el doble de la edad que tuve hace 9 años. ¿Qué edad tuve hace 5 años? A) 24 años

B) 25 años

D) 27 año años

E) 28 años años

C) 26 años

11.- Hace 8 años la edad de Danitza era la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 2 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 7 años? A) 13 años

B) 15 años

D) 22 año años

E) 24 años años

C) 20 años

12.- WaIter nació 2 años antes de Marcela y hoy sus edades suman 28 años. ¿Cuántos años tiene Marcela? A) 12 años

B) 13 años

D) 15 año años

E) 16 años años

C) 14 años

13.- La edad de Raúl es el triple de la edad de Fildel, pero dentro de 15 años la edad de Fidel será la mitad de la ¿Cuántos años de diferencia hayedad entredesusRaúl. edades? A) 30 años

B) 10 años

D) 5 años

E) 15 años

C) 20 años

07.- La edad de Pepe dentro de 30 años será el quíntuple de la que tuvo hace 10 años. ¿Cuál es la edad actual?

14.- Elisa tiene el triple de la edad de Micky que tiene 6 años. Hace cuánto la edad de ella fue el cuádruple de la edad de él.

A) 10 años

B) 15 años

A) 1 años

B) 2 años

D) 20 añ añoos

E) 25 años años

D) 4 años

E) 5 años

C) 5 años

08.hace 15 tenia 7 años. ¿Qué edad tendréSidentro de años 15 años?

C) 3 años

15.- Maríel tiene 3 hijos, Naty de 14 años, Vany de 11, Karina de 3 y Miguel de 2 años.

32

 

Problemas con Edades Si ella tiene 39 años, dentro de cuántos años su edad será igual a la suma de las edades de sus hijos. A) l año

B) 2 años

D) 4 años

E) 6 años

C) 3 años

16.- Mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías, cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tu tenías y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edad tengo? A) 22

B) 24

C) 26

D) 28

E) 32

17.- En una reunión familiar al ver bailar a la abuelita dos de sus nietecitos reflexionaban: “y  pensar que tu edades la raíz cúbica de su edad”. El padre terció en la conversación y le replicó al mayorcito: “y tu edad es la raíz cuadrada de esa misma edad”. ¿Qué edad tiene la madre, sabiendo que es la mitad de la edad de la abuela? A) 24 años

B) 36 años

D) 18 añ añoos

E) 32 años años

C) 28 años

 

TOMO II

A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36 21.- Cuand Cuandoo tú tengas lo que yo tengo, tend tendrás rás lo que él tenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenía la tercera parte de 10 que él tiene, que es 5 años más de los que tendré, cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Entonces yo tenía: A) 5

B) 7

C) 8

D) 10

E) 11

22.- Alejandra es madre de Fabiola y Roberto es hijo de Elsa. Cuando nació Roberto, Elsa tenía el triple de la edad que tenía Alejandra y cuan cuando do naci nacióó Fabi Fabiol ola, a, Alej Alejan andr draa tení teníaa la mis ism ma edad edad qu quee tení teníaa El Elsa sa cuan cuando do naci nacióó Roberto. Cuando Fabiola tenga la mitad de la que tenía Roberto cuando nació Fabiola, las edades de Alejandra y Elsa sumarán 80 años. ¿Cuántos años tenía Alejandra cuando nació Fabiola? A) 8 años

B) 16 años

D) 12 año años

E) 10 años años

C) 24 años

18.- Mi edad actual es 4 años menos de lo que exactamente exactam ente represen representa ta el triple de la edad que tenías cuando cuando yo tenía el triple de lo que tienes hoy. Pero cuando tengas mi edad; la suma de nu nues estr tras as ed edad ades es será será 37 años años.. ¿Q ¿Qué ué edad edad tengo?

23.- La edad de un padre supera en 5 a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años su edad será el doble que la del primero, dentro de 20 años su edad será el doble de la del segundo, y dentro de 30 años su edad será el doble que la del tercero. ¿cuál es la edad del hijo menor?

A) 11 B) 8

A) 5

C) 12 D) 14 E) Absurdo

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

19.- Elena le dice a Rosa: “Tu edad es el doble de la que tenías cuando yo tenía el doble de la que tuviste cuando yo cumplí 4 años”. Si las edades actuales suman 32 años, ¿cuántos años tiene Elena? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

20.- La edad que tú tienes es la edad que yo tenía cuando él tenía la octava parte de lo que tendré cuando tú tengas lo que yo tengo y él tendrá más de delolosque que que tuve es 66 años años más él tuve. tiene ySi12loaños más de lo que tuviste, ¿qué edad tengo?

33

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

08.- Dentro de 20 años, la edad de Pancho será a la de Ornar como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de Pancho, si hace 13 años la' edad de Pancho era el quíntuple de la de Ornar? 01.- Mi hermano nació cuando yo tenía 6 años. Si ahora tengo 13 años, ¿qué edad tiene mi hermanito? A) 6 B) 3

C) 78

D) 8

E) 9

02.02.- Ma Marc rcia ia tiene tiene 8 año añoss me meno noss que que Ka Karl rla, a, ¿Cuántos tendrá Marcia dentro de 3 años si entre las 2 tienen 64 años? A) 39

B) 31

C) 32

D) 40

E) 52

03.- Dentro tro de 3 años las las edades de 3 hermanas sumarán 33 años. ¿Cuánto sumaban hace 3 años?

A) 12

B) 16

C) 20

D) 24

E) 28

09.09.- Jaim aime tien tienee 30 años años,, su edad edad es el séxtuplo de la edad que tenía Nancy cuando Jaime tenía la cuarta parte de la edad que tiene  Nancy. ¿Qué edad tiene ti ene Nancy? A) 26

B) 29

C) 30

D) 28

E) 27

10.10.- Si al año año en que que cum cumplí plí 18 años años,, le rest restam amos os el año año en qu quee cump cumplir liréé 30 años años,, resultaría mi edad actual, menos 52 años. ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? A) 40

B) 26

C) 36

D) 32

E) 48

04.- La edad de Juan es el doble de la edad de María. Si hace 15 años era el triple de la edad de Ma María ría en es esee ento entonc nces es,, ¿qué ¿qué edad edad tiene tiene María?

11 11..- La su suma ma de las las edad edades es de An Anto toni nioo y Beatriz cuando nació César, su primer hijo, era la mitad de su suma actual. Si actualmente César tiene 20 años. ¿Qué edad tenía César  cuan cuando do las las edad edades es de los los tr tres es su suma maban ban 70 años?

A) 30 años

B) 35 años

A) 12 años

B) 10 años

D) 45 añ añoos

E) 60 años años

D) 18 año años

E) 20 años años

A) 27

B) 15

C) 14

D) 21

E) 24

C) 40 años

05.- Al ser preguntada Jaqueline por su edad contestó: Si al triple de mi edad le quito 16 años tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tendría dentro de 5 años? A) 29

B) 34

C) 32

D) 30

E) 33

06.- El triple de tu edad, más 2 años, es mi edad; pero si yo fuera 30 años más joven y tu 30 años mayor, nuestras edades serían iguales. ¿Qué edad tengo? A) 69

B) 79

C) 87

D) 67

E) 89

07.- Hace 6 años la edad de un Tío es 8veces la de su sobrino, pero dentro de 4 años será sólo sólo el trip triple le.. ¿Cuá ¿Cuánt ntoo suma sumará ránn las las edade edadess dentro de 5 años? A) 53

B) 64

C) 56

D) 48

E) 58

C) 15 años

12.- La suma de las edades de Ada y Miriam es 48 años. Al acercarse Pedro, Ada le dice: «Cua «C uand ndoo tu naci nacist stee yo tení teníaa 4 años años,, pero pero cuan cuando do Mi Miri riam am naci nació, ó, tu tení tenías as 2 años años»». Calcular la suma de los tres dentro de 10 años. A) 100 B) 101 C) 99

D) 97

E) 98

13.- Anibal le dice a Pericles: «Si tú me dieras 4 de tus canicas, entonces tendría el triple de las tuyas» a lo cual Pericles contesta: «Pero si tú me dieras 2 canicas entonces lo mío sería igua iguall a lo tuyo tuyo»». ¿C ¿Cuá uánt ntas as cani canica cass tien tienee Pericles? A) 12

B) 10

C) 18

D) 20

E) 15

14.- Mi abuelo afirma lo siguiente: Mi abuelo nació el 4 de octubre de 1923 y mi abuela el8 de octubre de 1933. Si hoy 5 de octubre del

34

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

2001 es viernes. ¿Qué día nací, si es un día equidistante de los días en que nacieron mis abuelos? A) Lunes

B) Martes

D) Sá Sába bado do

E) Ju Juev eves es

C) Domingo 01.- Un padre tiene x años y su hijo y años, ¿dentro de cuántos años la edad del padre será

15.- En 1988 un profesor sumó los años de na naci cimi mien ento to de 45 estu estudi dian ante tess y lueg luegoo las las edades eda des de los estud estudian iantes tes,, ens ensegu eguida ida sum sumóó ambos resultados y obtuvo 89437.0 ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dicho año? A) 22

B) 23

C) 24

D) 26

E) 28

16.- Determinar la edad de César si en 1999 su edad será igual a la suma de las cifras del año de su na nacim cimien iento. to. (C (Cum umple pleañ años os el 1ro. 1ro. de enero. Año actual 2003). A) 22

B) 27

C) 21

D) 22

E) 23

17.- ¿Qué hacía hacíass e1 4 de julio de 1829? Uff no tengo ni idea, eso si sé que tenia tantos años como los que suman las cuatro cifras del año de mi nacimiento. ¿Qué edad tenía? A) 15

B) 13

C) 18

D) 14

E) 12

18.- “A” nació 6 años antes que “B”.En 1970 la suma edades en 1985. ¿En qué año la suma será el doble de la correspondiente a 1985? A) 1995

B) 1998

C) 2000

D) 2005 E) 2010 19.- La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto; hace tres años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 15 años? A) 16

B) 21

C) 19

D) 23

E) 42

2 veces la edad del hijo? A) 2x + y B) 2x – y D) x + 2y

C) x – 2y

E) x + y

02.- Tú tienes 30 años actualmente, yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la quinta parte de lo que tú tienes. ¿Qué edad tengo? A) 27 años

B) 13 años

D) 32 año años

E) 25 años años

C) 28 años

03.- Cuando yo nací tú tenías la edad que yo tengo ahora. Cuando yo tenga el triple de la edad que tú tienes, nuestras edades sumarán 130 años. ¿Cuántos años tienes tú? A) 20

B) 7

C) 13

D) 24

E) 19

04.- Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más  joven. ¿Cuántos años tiene? A) 14

B) 15

C) 12

D) 16

E) 10

05.- Frida tuv tuvoo su primer hijo a los 20 años, su segundo hijo a los 25 años y 7 años después a su tercer hijo. Si en 1 996 la suma de las edades de los cuatro es 83 años, ¿en qué año nació Frida? A) 1 978

B) 1 966

D) 1 956

E) 1954

C) 1950

20.- En 1984, la edad de July coincidía con la mitad de la cantidad que expresan las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. Calcular su edad en septiembre de éste año (1997) si nació  bajo el signo Sagitario en este siglo

06.- Una persona en el mes de Junio, resta a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 455. ¿En qué mes nació dicha persona?

A) 51

D) Marzo

B) 37

C) 65

D) 40

E) 41

A) Dicie iciem mbr bree B) Ener Eneroo

C) Febr ebrer eroo

E) Abril

35

 

Problemas con Edades 07.- Pedro lleva en el sindicato el doble de años que Joaquín. Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuántos años lleva cada uno en el sindicato? A) 8 y 9

B) 8 y 4

D) 7 y 6

E) 9 y 18

C) 4 y 10

08.- Si en 1 974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1 984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1 994? A) 26 y 30

B) 20 y 60

D) 24 y 40

E) 25 y 40

C) 22 y 35

09.- En una lápida podía leerse esta insc inscri ripc pció ión: n: Aq Aquí uí yase yase J. Isol Isola, a, mu muer erto to en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿A qué edad murió? A) l950

B) 1949

D) 1952

E) 1956

C) 1953

 

TOMO II

C) El El niñ niñoo po porr 4 años D) la niña por 2 año añoss E) Son mellizos 13.- ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? A) 1980 D) 1079

B) l 981 E) 1914

C) 1898

14.- Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX, tendrá "a" años en el año "a 2". ¿Cuántos años tenía dicha persona en 1 995? A) 10años

B) 12 años

D) 18 año años

E) 14 años años

C) 15 años

15.15.- El fam amos osoo cuad cuadro ro Las menin eninas as fu fuee  pintado por Velázquez en 1 656, a los 57 años de edad, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado a los4 años de casado. ¿A qué edad se caso? A) 20

B) 42

C) 18

D) 35

E) 19

10.- La edad de Juan es mayor que la de su hermano Antonio en 5 años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos y entre los tres suman en total 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

16.- Si se invierte las cifras de la edad del  padre, se obtendrá la edad del hijo. Si el año  pasado el padre tenía el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el padre y el hijo?

A) 36; 36; 14; 14; 15 B) 32; 32; 18 18;; 13 C) 40; 40; 15; 15; 5

A) 73 y 37 años años

B) 72 y 27 año años

D) 35; 20; 15 E) 20; 15; 8

C) 71 y 17 años años

D) 74 y 47 años años

11.- Las sumas respectivas de las cifras que forman los años de nacimiento de Juan y Pedro son iguales. Sabiendo que sus edades empiezan  por la misma cifra, ¿cuál es su diferencia de edad?

E) 63 y 36 años

A) 7

B) 6

C) 4

D) 9

E) 5

12.- Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña?

17.- Pedro dice un día a Manolo: mi edad es el triple de la que tenias cunado yo tenia la que tu tienes. Cuando tu tengas la edad que yo tengo, tendremos entre los dos 77 años. calcule las edades de Pedro y Manolo. A) 33 y 22

B) 30 y 40

D) 32 y 20

E) 22 y 28

C) 20 y 40

18.- estando reunidos Ángel, Bruno y Carlos, se escucha la siguiente conversación:

A) El El niñ niñoo po porr 2 años B) L Laa niñ niñaa po porr 3 años

36

 

Problemas con Edades * Bruno: Mi edad es la misma que tuvo Ángel cuando Carlos nació. * Ángel: Así es, y en ese momento nuestras edades sumaban 30 años. * Carlos: MI edad actual es la misma que tuvo Bruno cuando yo nací. ¿Cuál será la edad que tendrá Ángel cuando Carlos tenga la edad que tiene Bruno? A) 44 años

B) 42 años

D) 46 añ añoos

E) 40 años años

C) 33 años

19.- A un niño de 6 años, que apenas sabia contar y formar números de 1 al 100; mas no co cono nocí cíaa la lass op oper erac acio ione ness elem elemen enta tales les;; se le  proporciono 5 cifras iguales con lo que pudo formarr la edad de su he forma herman rmanoo mayor, la eda edadd de su abuelo y también la de su bisabuelo. ¿Qué edad tiene su abuelo?

 

TOMO II

03.- Una persona nació el 3 de abril de 1903 y otro el 7 de mayo de 1911. ¿En qué fecha (día, mes), la edad del primero fue el triple de la edad del otro? A) 10 mayo ayo

B) 24 mayo ayo

C) 11 ju juni nioo

D) 30 juni junioo

E) 27 de jun junio

04.- Adolfo tiene 12 años, Benito tanto como Adolfo Ado lfo y Dan Daniel iel jun juntos tos,, Car Carlos los tan tanto to com comoo Adolfo y Benito juntos. Daniel tiene 9 años. ¿Cuál es la edad de Eduardo, sabiendo que si tuviera 12 años mas, tendría tanto como los cuatro anteriores juntos? A) 10

B) 50

C) 63

D) 72

E) 81

05.- En una reunión familiar al ver bailar a la abuelita abueli ta dos de sus nietecitos reflexion reflexionaban: aban: "Y pensar que tu edad es la raíz cúbica de su edad", el padre terció en la conversación y le replicó al mayorcito: "Y tu edad es la raíz cuadrada de esa misma edad". ¿Qué edad tiene la madre sabiendo que es la mitad de la edad de la abuela? A) 28

B) 32

C) 64

D) 48

E) 44

01.- Le preguntan a un individuo por su edad y responde: "Mi edad más dos veces mi edad más 3 veces mi edad y así sucesivamente hasta tantas veces como la edad que tengo resulta

06.- La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la tercera parte de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 35 años, ¿qué edad tenía él, cuando las edades de los tres sumaban 74 años?

210 veces mi edad". Calcular la edad de dicho individuo.

A) 10

A) 30 años

B) 20 años

D) 13 añ añoos

E) 32 años años

07.07.- De Dentr ntroo de de 1155 añ años os,, la edad edad de C Car arlo loss será el doble de la edad de Luis; si hace 6 años, la edad de Carlos era el triple de la edad de Luis. Calcular la diferencia de las edades.

C) 26 años

02.- Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año en que cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año que nací con el año actual, obtendrás 6. ¿Qué edad tengo? A) 26 años

B) 24 años

D) 22 añ añoos

E) 20 años años

C) 28 años

A) 42

B) 13

B) 38

C) 21

C) 36

D) 17

D) 32

E) 23

E) 28

08.- Actualmente la diferencia de las edades de Roberto y Carlos es 40 años. Pero dentro de 10 años Roberto tendrá el triple de lo que tenga Carlos. ¿Qué edad tiene Roberto? A) 60

B) 50

C) 40

D) 30

E) 20

37

 

Problemas con Edades 09.- En el mes de agosto una persona sumó a los años que tiene, los meses que ha vivido y obtuvo 228. ¿En qué mes nació dicha persona? A) Abril

B) Enero

D) Mayo

E) Febrero

B) 10 y 20

D) 12 y 18

E) 15 y 15

B) 92 años

D) 96 añ añoos

E) 78 años años

C) 20 y 30

C) 94 años

12.- La edad de Roxana sobrepasa en 5 años a la suma de las edades de sus tres hermanos. Dentro de 10 años, ella tendrá el doble de la edad del mayor, dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad del segundo; y dentro de 30 años, tendrá el doble de la edad del tercero. Entonces la edad de Roxana es: A) 50 años

B) 32 años

D) 35 añ añoos

E) 36 años años

B) 18 años

D) 12 año años

E) 10 años años

C) 11 años

14.- A le dice a B: Cuando yo tenia tu edad C tenia 10 años; B contesta: Cuando yo tenga tu

11.- Dentro de 15 años la edad de Rubén será el doble de la de Susana. Si hace 6 años la edad de Rubén era el triple de la de Susana. Calcular  la suma de las edades actuales de ambos. A) 90 años

A) 15 años

TOMO II

C) Marzo

10.- La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿Cuál es la edad de cada hermano? A) 10 y 24

 

C) 33 años

13.- Hace 15 años tu edad era 1/3 de mi edad,  pero si contamos 45 años a partir de hoy sucederá que mi edad será lo 9/8 de su edad. ¿Hace cuantos años mi edad fue el doble de tu edad?

edad edad,, C tend tendrá rá 26 años años.. C Inter ntervi vien ene: e: Si sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja resultará el doble de mi edad, ¿Cuál es la edad del menor? A) 16 años

B) 18 años

D) 20 año años

E) 22 años años

C) 19 años

15.- Juan nació en 19   ab  y tendrá (a  +  b ) años en 1983 ¿Qué edad tiene? A) 8

16.16.-

B) 10

C) 12

D) 14

Ra Raúl úl nació ació en 1  9 ab y tendrá

E) 16

ab

años 2 en 1969. Calcular la suma de las cifras de su edad actual A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

17.- Pete 17.Peterr llee ddic icee a Sally Sally:: T Ten engo go 4 vvece ecess la la edad que tu tenias, cuando yo tenía el doble de la edad que tu tienes. Cuando tengas las ¾  partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años, ¿Qué edad tiene Peter? A) 36

B) 32

C) 28

D) 30

E) 25

18.18.- ¿Q ¿Qué ué edad edad ten tendr dréé cuan cuando do tu teng tengas as el triple de la edad que tuve, que es un cubo  perfecto, cuando tuviste la mitad de los años que que teng tengo, o, si tu edad edad er eraa cuad cuadra rado do mas  próximo a mi edad de entonces, cuando ya no éramos unos adolescentes? A) 19 B) 66 C) 83 D) 44

E) 72

38

 

Problemas con Edades

 

TOMO II

19.- Yo tengo la edad que tu tendras cuando yo tenga cuatro veces la edad que tenias cuando yo tenia el doble de tu edad en ese momento. ¿Qué edad tengo si dentro de 10 años la suma de nuestras edades será 50 años?

20.- Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tu tengas lo que yo tenia cuando tu tenias la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años mas de lo que yo tendré. Pero si yo tuviese 10 años mas de los que tendré y tu los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110

A) 16

años ¿Qué edad tengo? A) 45 B) 50 C) 55

B) 18

C) 12

D) 24

E) 20

D) 60

E) 40

CLAVE VE S DE LA PRI P RI ME RA PRACT PRACTII CA CLA 1) C 11) B

2) B 12) B

3) B 13) B

4) A 14) A

5) B 15) C

6) E 16) B

7) E 17) D

8) E 18) D

9) D 19) B

10) E 20) D

9)

10) D

CLAVES DE LA TARE TARE A 1)

C

11) D

2)

A

12) E

3)

A

13) B

4)

B

14) C

5)

D

15) E

6)

C

16) A

7)

B

17) D

8)

E

C

18) E

SE GU GUNDA NDA PRACTI PRACTI CA CLAVE S DE LA SE 1)

B

11) D

2)

A

12) A

3)

B

13) C

4)

C

14) B

5)

B

15) B

6)

B

16) B

7)

A

17) A

8)

B

18) E

9)

B

10) B

19) B

20) C

39