Ecualin

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¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales? Prof. Jean-Pierre Marcaillou

OBJETIVOS: CASIO ClassPad 330 dispone del comando [solve] de los submenús desplegables Avanzado y Ecuación/Desigualdad del menú Acción para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La calculadora

CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Ecuación lineal: Una ecuación lineal de n incógnitas es una relación de la forma: a1x1 + a2 x 2 donde a1 , a2 , a3 , , an , b1 representan números reales, y las letras x1 , x 2 , x3 , variables de la ecuación. K

K

+ a3 x3 +

+ an xn = b1 , xn representan las incógnitas o las L

Solución de una ecuación lineal: Es un elemento s = ( s1, s2 , s3 , , sn ) ∈ Rn formado por un conjunto ordenado de números tales que, sustituyendo en la ecuación x1 por s1, x2 por s2, x3 por s3, … , xn por sn, se obtiene una igualdad numérica verdadera. K

s1

↓ }

s2

↓ }

s3

sn

↓ }

↓

a1 x1 + a2 x 2 + a3 x3 +

}

L

+ an xn = b1

Conjunto de soluciones de una ecuación lineal: Es el conjunto formado por todas sus soluciones. Sistema de ecuaciones lineales: Es un sistema sistema formado por una o varias ecuaciones lineales que tienen las mismas incógnitas. Se tiene la costumbre de enlazar las ecuaciones con una llave {, tal cual lo ilustra el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

a11x1 + a12 x 2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 (E1)  a21x1 + a 22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 (E2 )  a31x1 + a 32 x2 + a33 x3 + + a3n xn = b3 (E3 )  ................  am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + + amn xn = bm ( Em Em)  K

K

K

KKKKKKKKKKKKKKK

K

Solución de un sistema de ecuaciones lineales: Es una solución común a todas las ecuaciones que conforman el sistema.

Conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: Es el conjunto formado por todas las soluciones comunes a todas las ecuaciones que conforman el sistema; es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas estas ecuaciones.

Resolver sistema de ecuaciones lineales: Significa elaborar un proceso de búsqueda de los valores de las variables que convierten todas las ecuaciones del sistema en igualdades numéricas verdaderas. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en transformarlo, por etapas sucesivas, en sistemas de ecuaciones lineales equivalentes hasta llegar a un sistema tan sencillo, que cada ecuación se pueda resolver por simple inspección.

Sistema compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible: Un sistema de ecuaciones lineales se llama:    

Compatible, si éste tiene al menos una solución; Incompatible, en el caso contrario, es decir cuando éste no tiene ninguna solución; Determinado, si éste tiene una solución única; Indeterminado, si éste tiene más de una solución. 1

En resumen, los sistemas de ecuaciones lineales se dividen en compatibles e incompatibles, los sistemas compatibles se subdividen a su vez en determinados e indeterminados, tal como lo ilustra el siguiente cuadro:

DETERMINADOS COMPATIBLES SISTEMAS

INDETERMINADOS INCOMPATIBLES

Ecuación consecuencia de otras: Si todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son soluciones de otra ecuación, se dice que ésta es consecuencia de las que forman el sistema.

Ecuación combinación lineal de otras: Se dice que la ecuación (Ek ) : ak1x1 + ak2 x2 combinación lineal de las otras

+ ak3 x3 +

+ akn xn = bk , es (E1), (E2), (E3),..., (Ek − 1), (Ek + 1),..., (Em) , si existen números reales K

α1, α2 , α3 ,..., αk −1, αk +1,..., αm tales que: α1(E1) + α 2 (E2) + α3 (E3) + ... + αk −1(Ek − 1) + αk +1(Ek + 1) + ... + αm (Em) = (Ek)

Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes: Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Construcción de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes: A partir de un sistema de ecuaciones lineales se puede construir otro equivalente, sustituyendo una de las ecuaciones por una combinación lineal de las otras que forman el sistema, siempre y cuando el factor que multiplique en la combinación lineal a la que se va a sustituir sea diferente de cero.

Método de resolución por sustitución: Se despeja una variable de una ecuación y se sustituye en la restante, con la finalidad de resolver una ecuación lineal de primer grado con una incógnita. Es evidente que se elige la variable cuyo coeficiente sea el más simple. Si el coeficiente de una variable es unitario, es esta variable que se despeja.

Método de resolución por reducción: Se combinan las ecuaciones con la finalidad de obtener al final de la combinación la resolución de una ecuación con una sola incógnita. Existen otros métodos de resolución, como son el método de comparación y el método de Cramer (determinante). El método de reducción es el más recomendable en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales .

Casos particulares: Hasta ahora, en la resolución de todos los sistemas de ecuaciones lineales, el número de variables es igual al número de ecuaciones. De ahí surge la siguiente pregunta:

¿Qué pasa si el número de ecuaciones es mayor o igual al número de variables? 

El sistema no tiene solución, o



El sistema tiene exactamente una solución, o



El sistema tiene una infinidad de soluciones.

¿Qué pasa si el número de ecuaciones es menor al número de variables? 

El sistema no tiene solución, o



El sistema tiene una infinidad de soluciones.

Ecuación lineal homogénea: Una ecuación lineal homogénea es aquella cuyo segundo miembro es nulo. Una ecuación lineal homogénea tiene siempre al menos una solución: la solución trivial, donde todas las variables toman el valor cero.

Sistema de ecuaciones lineales homogéneas: Es un sistema donde todas las ecuaciones lineales que lo conforman son homogéneas, que admite también la solución trivial. Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es determinado sólo tiene una solución: la trivial; en el caso contrario es indeterminado.

2

OPERACIÓN CON LA CALCULADORA Cuando se activa el menú secundario Avanzado del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 

El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver sistemas de ecuaciones lineales en el conjunto de los números reales. Si el sistema a resolver tiene n ecuaciones y n incógnitas la sintaxis del comando es la siguiente:

Sintaxis del comando [solve]: solve({Ecu1,Ecu 2, ..., Ecu n},{var 1,var 2,...,var n}) Cuando se activa el menú secundario Ecuación/Desigualdad del menú desplegable Acción, aparece el comando [solve] relacionado con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 

El primer comando [solve], como lo indica la pantalla adjunta, permite resolver sistemas de ecuaciones lineales en el conjunto de los números reales.

Sintaxis del comando [solve]: solve({Ecu1,Ecu 2, ..., Ecu n},{var 1,var 2,...,var n})

Como se puede observar el menú secundario Ecuación/Desigualdad permite tener acceso a diferentes comandos: [rewrite], [exchange], [eliminate], [absExpand], [andConnect], [getRight], [getLeft], [and], [or], [xor], y [not] como lo muestra la figura anterior, los cuales serán muy útiles en el proceso de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 

El comando [rewrite] hace pasar todos los elementos del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, y en consecuencia transforma el lado derecho en cero.

Sintaxis del comando [rewrite]: rewrite(Ecuación) 



a=b

⇔ −b + a = 0

El comando [exchange] intercambia los elementos del lado derecho de la ecuación con los elementos del lado izquierdo.

Sintaxis del comando [exchange]: exchange(Ecuación) El comando [eliminate] despeja una variable de una ecuación (Ecu 2), y sustituye

a=b

⇔b=

a

el resultado en otra ecuación (Ecu 1).



Sintaxis del comando [eliminate]: exchange(Ecu 1,variable,Ecu 2) El comando [absExpand] elimina el valor absoluto de una ecuación. Sintaxis del comando [absExpand]: absExpand(Ecuación)



f(x) = a ⇔ f(x) = a ∨ f(x) = −a

El comando [andConnect] combina dos expresiones en una sola expresión.

Sintaxis del comando [andConnect]: andConnect(Ecu 1,Ecu 2)

3



El comando [getRight] extrae el lado derecho de una ecuación.

Sintaxis del comando [getRight]: getRight(Ecuación) 

El comando [getLeft] extrae el lado izquierdo de una ecuación.

Sintaxis del comando [getLeft]: getLeft(Ecuación) 



El comando expresiones.

[and] devuelve el resultado del operador lógico and ( ∧ ) de dos

Sintaxis del comando [and]: Expresión1 and Expresión 2 El comando [or] devuelve el resultado del operador lógico or inclusivo ( ∨ ) de dos expresiones.



Sintaxis del comando [or]: Expresión1 or Expresión 2 El comando [xor] devuelve el resultado del operador lógico or exclusivo ( ∨ ) de dos expresiones.

Sintaxis del comando [xor]: Expresión1 xor Expresión 2 

El comando expresión.

[not] devuelve el resultado del operador lógico not ( ¬ ) de una

Sintaxis del comando [not]: not(Expresión) ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales en el cual el número de ecuaciones es igual al número de variables? Un sistema compatible determinado. 1.

2x − 3y = 1  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  . 3x + 5y = −27

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono del panel de iconos. (2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Toque [Acción] / [Avanzado] / [solve] / [mth] y seguidamente [{] / [2] / [x] / [–] / [3]  / [y] / [=] / [1] / [,] / [3] / [x] / [+] / [5] / [y] / [=] / [(–)] / [2] / [7] / [}] / [,] / [{] / [x] / [,] / [y] / [}]  / [)] / [Ejec] para introducir las dos ecuaciones que conforman el sistema a resolver, las variables básicas x e y, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: {( −4, −3)} . El comando [solve] resuelve el sistema de ecuaciones

lineales y presenta el conjunto solución S bajo la forma analítica. El sistema es un sistema compatible determinado. El sistema puede también resolverse mediante el teclado

matemático natural [2D], como se muestra a continuación:

4

(4) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (5) Toque [2D] / [ ] y seguidamente [2] / [x] / [–] / [3] / [y] / [=] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+] /  [5] / [y] / [=] / [(–)] / [2] / [7] / [►] / [x] / [,] / [y] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación del sistema a resolver, en la pequeña celda registrar las variables básicas x e y, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: {(−4, −3)} . El sistema es un

sistema compatible determinado.

Un sistema incompatible. 2.

6x + 9y = 7  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  .  4x + 6y = 5

(6) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (7) Toque [2D] / [ ] y seguidamente [6] / [x] / [+] / [9] / [y] / [=] / [7] / [▼] / [4] / [x] / [+] /  [6] / [y] / [=] / [5] / [ ►] / [x] / [,] / [y] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación del sistema a resolver, en la pequeña celda registrar las variables básicas x e y, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: ∅ . El sistema es un sistema incompatible.

Un sistema compatible indeterminado. 3.

6x − 2y = 4  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  . 15x − 5y = 10

(8) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (9) Toque [2D] / [ ] y seguidamente [6] / [x] / [–] / [2] / [y] / [=] / [4] / [▼] / [1] / [5] / [x] /  [–] / [5] / [y] / [=] / [1] / [0] / [►] / [x] / [,] / [y] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación del sistema a resolver, en la pequeña celda registrar las variables básicas x e y, y aparece en la  2 + y   , y  . línea de salida el conjunto solución S del sistema:  



El sistema es un sistema

3



compatible indeterminado.

2 2+ y  2  y  , y  =  ,0  +  , y  donde  ,0  es la 3   3  3  3  6x − 2y = 0  es la solución del sistema homogéneo asociado  . 15x − 5y = 0

La solución anterior se puede escribir bajo la siguiente forma: 

6x − 2y = 4 y   solución del sistema  y  , y 15x − 5y = 10  3 

5

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales en el cual el número de ecuaciones es mayor al número de variables? En este caso introducir varias artificiales de tal manera que se tenga un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas. Un sistema compatible determinado.

4.

3x + 2y = 5   Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  x − y = 0 .  2x + y = 3 

(10) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (11) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [▲] / [▲] / y seguidamente [3] / [x] / [+] / [2] / [y] / [+] / [0]  / [z] / [=] / [5] / [▼] / [x] / [–] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] / [0] / [▼] / [2] / [x] / [+] / [y] / [+] / [0]  / [z] / [=] / [3] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x e y, la variable artificial z, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: {(1,1)} . Se tiene un sistema compatible

determinado.

Un sistema incompatible. 5.

 x + y = 10   Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  x − y = 2 .  3x + 5y = 13 

(12) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (13) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [▲] / [▲] / y seguidamente [x] / [+] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] /  [1] / [0] / [ ▼] / [x] / [–] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] / [2] / [▼] / [3] / [x] / [+] / [5] / [y] / [+] / [0] /  [z] / [=] / [1] / [3] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x e y, la variable artificial z, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: ∅ . Se tiene un sistema incompatible.

Un sistema compatible indeterminado. 6.

2x − 3y = 5   Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  −4x + 6y = −10 .  10x − 15y = 25 

6

(14) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (15) Toque [2D] / [ ] / [ ]  / [▲] / [ ▲] / y seguidamente [2] / [x] / [–] / [3] / [y] / [+] / [0] /  [z] / [=] / [5] / [▼] / [(–)] / [4] / [x] / [+] / [6] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] / [(–)] / [1] / [0] / [ ▼] /  [1] / [0] / [x] / [–] / [1] / [5] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] / [2] / [5] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] /  [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x e y, la variable artificial z, y aparece en   5 + 3y   , y   donde la la línea de salida el conjunto solución S del sistema:  



2



variable y se considera como variable libre. Se tiene un sistema

compatible indeterminado. 5  5 + 3y   5   3y  , y  =  ,0  +  , y  donde  ,0  es la 2   2  2   2  2x − 3y = 0   es la solución del sistema homogéneo asociado  −4x + 6y = 0 .  10x − 15y = 0 

La solución anterior se puede escribir bajo la siguiente forma: 

2x − 3y = 5   3y   ,y solución del sistema  −4x + 6y = −10 y  2    10x − 15y = 25 

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales en el cual el número de ecuaciones es menor al número de variables? En este caso complementar el sistema con ecuaciones lineales artificiales de tal manera que los coeficientes de todas las variables sean todos nulos así como los términos independientes para tener un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas. Un sistema compatible indeterminado. 7.

 x − 2y + z = 7 

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 

2x + y − 3z = 5

.

(16) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (17) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [▲] / [ ▲] y seguidamente [x] / [–] / [2] / [y] / [+] / [z] / [=] /  [7] / [▼] / [2] / [x] / [+] / [y] / [–] / [3] / [z] / [=] / [5] / [▼] / [0] / [x] / [+] / [0] / [y] / [+] / [0] /  [z] / [=] / [0] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación artificial del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x, y e z, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del   5z + 17 5z − 9  

sistema:  

5

,

5

, z   donde la variable z se considera como variable 

libre. Se tiene un sistema compatible

indeterminado.  5z + 17 5z − 9   17 − 9  , , z  =  , ,0  + ( z, z, z ) donde 5 5    5 5 

La solución anterior se puede escribir bajo la siguiente forma: 

 x − 2y + z = 7  17 −9   y ( z,z,z ) es la solución del sistema homogéneo  5 , 5 ,0  es la solución del sistema    2x + y − 3z = 5  x − 2y + z = 0  asociado  . 2x + y − 3z = 0

7

Un sistema incompatible. 8.

 −x + 2y − 3z = 4  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  . 3x − 6y + 9z = −1

(18) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (19) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [▲] / [ ▲] y seguidamente [–] / [x] / [+] / [2] / [y] / [–] / [3] /  [z] / [=] / [4] / [▼] / [3] / [x] / [–] / [6] / [y] / [+] / [9] / [z] / [=] / [–] / [1] / [ ▼] / [0] / x] / [+] /  [0] / [y] / [+] / [0] / [z] / [=] / [0] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación artificial del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x, y e z, y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: ∅ . Se tiene un sistema incompatible.

En conclusión, la solución de un sistema lineal no homogéneo compatible indeterminado es la suma de una de sus soluciones y de la solución general del sistema homogéneo asociado. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneas? Un sistema compatible determinado.

9.

x + y + z = 0  2x − 3y − 5z = 0  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  .  x − y + 2z = 0   5x − y − z = 0

(20) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (21) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [ ] / [ ▲] / [▲] / [▲] y seguidamente [x] / [+] / [y] / [+] /  [z] / [+] / [0] / [t] / [=] / [0] / [ ▼] / [2] / [x] / [–] / [3] / [y] / [–] / [5] / [z] / [+] / [0] / [t] / [=] /  [0] / [▼] / [x] / [–] / [y] / [+] / [2] / [z] / [+] / [0] / [t] / [=] / [0] / [ ▼] / [5] / [x] / [–] / [y] / [–] /  [z] / [+] / [0] / [t] / [=] / [0] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [,] / [t] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación, en la cuarta celda la cuarta ecuación del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x, y e z, la variable artificial t y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema: {( 0,0,0 )} . Se tiene un sistema

compatible determinado cuya solución es la solución trivial.

Un sistema compatible indeterminado.

10.

3x + 2y + z − 4t = 0  6x + 4y + 2z + t = 0  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales  . 9x + 6y + 3z − 12t = 0   3x + 2y + z + 5t = 0

8

(22) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (23) Toque [2D] / [ ] / [ ] / [ ] / [▲] / [▲] / [▲] y seguidamente [3] / [x] / [+] / [2] / [y]  / [+] / [z] / [–] / [4] / [t] / [=] / [0] / [ ▼] / [6] / [x] / [+] / [4] / [y] / [+] / [2] / [z] / [+] / [t] / [=] /  [0] / [▼] / [9] / x] / [+] / [6] / [y] / [+] / [3] / [z] / [– ] / [1] / [2] / [t] / [=] / [0] / [ ▼] / [3] / [x] /  [+] / [2] / [y] / [+] / [z] / [+] / [5] / [t] / [=] / [0] / [►] / [x] / [,] / [y] / [,] / [z] / [,] / [t] / [Ejec] para introducir en la primera celda la primera ecuación, en la segunda celda la segunda ecuación, en la tercera celda la tercera ecuación, en la cuarta celda la cuarta ecuación del sistema a resolver, en la celda pequeña las variables básicas x, y, z e t y aparece en la línea de salida el conjunto solución S del sistema:   −2y − z 

 

3

,y,z,0   donde las variables y e z se consideran como variables 

libres. Se tiene un sistema compatible

indeterminado.

Estos dos últimos ejemplos muestran los dos casos que suelen presentarse en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneas, a saber:

Caso 1: El sistema es compatible determinado, y la única solución es la solución trivial, es decir que todas las variables son iguales a cero.

Caso 2: El sistema es compatible indeterminado.

11. Encuentra el conjunto solución S de cada uno de los

siguientes sistemas:

 x − 3y + z = 0   a)  2x + y − z = 1   − x − 3y + 3z = 2 

b) 

 3x − 2y − 4z = 0   d)  x − y − z = 0   x + 2y − 4z = 0 

 x + y + z − 2t = 0   e)  x + 3y + z − t = 0  x − t = 0 

 − x + 2y − z = 1 

 2x + y + z = 3

 2x − y + z −− t = 0   c)  x + y − z + 2t = 1   4x + y − z + 3t = 2  x + y − z + 2 = 0   x − y + 3z − 1 = 0  f)   2x − y + 2 = 0    y + 2z − 1 = 0

 2x − y + 3z = 1   3x + 2y − 3z = 5   g)  x + 3y − 6z = 4  12x + y + 3z = 13    x − 4y + 9z = −3 12. Determina según los valores de m el conjunto solución S de los siguientes sistemas:

 x − 2y + z = 0   a)  x + y − 2z = 3   x − 2my + (m + 3)z = −6 

 3x + 2y + 5z = 0   b)  2x + 4y + z = 0   6x − 4y + mz = 0 

9

mx + 4y − 5z = 0   c)  2x + 3y + 2z = 0   x + 3mz = 0 