ecuaciones

29

Sistemas de ecuaciones Métodos analíticos

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MÉTODOS ANALÍTICOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES Estudiaremos ahora métodos analíticos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. La esencia de los métodos radica en la obtención de una ecuación con una sola incógnita a partir de las otras ecuaciones que forman el sistema.  Al resolver esta ecuación hallamos el valor numérico de una de las incógnitas. El valor de las otras incógnitas lo obtenemos sustituyendo el valor obtenido en las otras ecuaciones del sistema. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en resolver una de las ecuaciones del sistema respecto a una incógnita incógnita y sustituir este valor en en las demás ecuaciones, de este modo se reduce en 1 el número de incógnitas. La ecuación resuelta con respecto a una de las incógnitas y las que resultaron de sustituir aquella, forman un sistema equivalente al original. Enseguida se resuelve otra ecuación respecto a otra incógnita y se sustituye en las restantes, etc, hasta conseguir una ecuación con una incógnita. • Ejemplo: Resuelve por el método de sustitución el sistema siguiente: 2x  3y  6 ..........(1)  3x  y  20..........(2) Resolución: Despejamos una variable en una de las dos ecuaciones. En este caso resulta más fácil despejar "y" en la segunda ecuación: y = 20 - 3x .......... (3) Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación, y así obtenemos una ecuación que tiene una sola variable "x": 2x - 3 (20 - 3x) = 6 Resolvemos la ecuación anterior y así obtenemos el valor de la variable "x": 2x - 60 + 9x = 6 11x = 66 66 x= 11  x = 6 Sustituimos el valor x = 6 en la ecuación (3) para calcular el valor de "y": y = 20 - 3(6) y = 20 - 18 y =2

Podremos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema. Comprobación En la ecuación (1):

En la ecuación (2):

2(6) - 3(2) = 6 12 - 6 = 6 6=6

3(6) + 2 = 20 18 + 2 = 20 20 = 20

 Ahora podemos podemos afirmar afirmar que el par numérico ordenado (6; 2) es la solución del sistema. sistema. • Ejemplo: Resolver el sistema: x - 2y + z = -9 .......... (1) 3x + 5y - 2z = 8 .......... (2) 2x - 4y + 3z = -14 ......... (3) Resolución Despejamos una incógnita en una de las tres ecuaciones. En este problema vamos a despejar "x" de la ecuación (1) x = 2y - z - 9 ................. (4) Sustituimos el valor de "x" en la ecuaciones (2) y (3). (4) en (2) 3(2y - z - 9) + 5y - 2z = 8 11y - 5z = 35 ............. (5) (4) en (3) 2(2y - z - 9) - 4y + 3z = -14 z=4 Sustituimos el valor de z = 4 en la ecuación (5) para calcular el valor de "y": 11y - 5(4) = 35 11y - 20 = 35 11y = 55 y =5 Sustituimos el valor de z = 4 e y = 5 en la ecuación ecuación (4) para calcular el valor de "x": x = 2(5) - 4 - 9 x = -3  Ahora podemos podemos afirmar que la terna ordenada ordenada (-3; 5; 4) es la solución del del sistema.

324

Tercer Año de Secundaria

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Comprobación:

Este método es una variación del método anterior y consiste en despejar la misma incógnita de todas las ecuaciones despejadas a los segundos miembros de cada uno de los restantes, hasta quedarse con una sola incógnita.

En la ecuación (1):

En la ecuación (2)

 12   1  4  5  - 3  5   = 9        

 12   1  3  5  + 4  5  = 8        

• Ejemplo: 48 3 36 4  9  8 Resuelve por el método de igualación el sistema 5 5 5 5 siguiente: 9=9 8=8 4 x  3y  9 ..........(1)   Ahora podemos afirmar que el par ordenado 3x  4 y  8..........(2)  12 1   ;   es la solución del sistema. Resolución  5 5 Despejamos la variable "x" de la primera ecuación: • Ejemplo:

4x = 9 + 3y 9  3 y x=  ............. (3) 4

Resolver el sistema:

Despejamos la variable "x" de la segunda ecuación: 3x = 8 - 4y 8  4 y x=  ............ (4) 3

Despejamos una variable en cada una de las ecuaciones. En este problema vamos a despejar "x" de cada ecuación.

Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4) para calcular el valor de "y". 9  3y 8  4 y  4 3 3(9 + 3y) = 4(8 - 4y) 27 + 9y = 32 - 16y 25 y = 5 1 y= 5 Sustituimos el valor de y =

x  y  z  2.......... (1)  x  y  z  6.......... (2) x  y  z  4.......... (3) 

x = 2 - y - z ........... (4) x = 6 + y - z .......... (5) x = 4 - y + z .......... (6) Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones: (4) con (5) y (5) con (6)

1  en la ecuación (3) para 5

calcular el valor de "x".

(4) = (5): Reduciendo:

2-y-z=6+y-z -4 = 2y -2 = y

(5) = (6): Reduciendo:

6+y-z=4-y+z 2 = 2z - 2y 1 = z - y ........... (7)

Reemplazando y = -2 en (7) 1 = z - (-2) 1=z+2 -1 = z

1  9  3      5  x= 4 12 x= 5 Debemos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema.

Organización Educativa TRILCE

En (4):

x = 2 - (-2) - (-1) x=2+2+1 x =5

 Ahora podemos afirmar que la terna ordenada (5; -2; -1) es la solución del sistema.

325

MÉTODO DE REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS Consiste en sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones del sistema, multiplicadas previamente por factores convenientes, de tal manera que se elimine una de las incógnitas. Repitiendo reiteradas veces el proceso se logra eliminar las incógnitas a excepción de una, cuyo valor se halla, y el valor de las otras incógnitas se obtiene sustituyendo en las ecuaciones anteriores los valores encontrados. • Ejemplo: Resuelve por el método de reducción el sistema:

Multiplicando (3) por 2 y sumando con (2) (3) . 2 (2)

6x + 2y + 2z = 12 2x + y - 2z = 12 8x + 3y = 14 ... (5) 4x + 5y = 14 ........... (4) 8x + 3y = 14 ........... (5)

Para eliminar "y" se multiplica (4) por 3 y (5) por -5, obteniendo: (4) . 3 : (5). -5 :

12x + 15y = 42 -40x - 15y = -70

Sumando: -28x x

2x  y  4 ............(1)   x  2y  3...........(2)

Sustituyendo: x = 1 en (4) se obtiene:

Resolución: Para eliminar "y", se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo: 2.(1) (2) Suma O sea

: : : :

= -28 =1

4(1) + 5y = 14 5y = 10 y=2 Sustituyendo:

4x - 2y = 8 x + 2y = -3 5x =5 x=1

x = 1; y = 2 en (1)

Se obtiene: (1) + 2(2) + z = 6 z=1

Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene: 2-y=4 y = -2 Debemos comprobar ahora si los valores hallados de "x" e "y" satisfacen las ecuaciones originales del sistema. Comprobación: En la ecuación (1):

En la ecuación (2):

2(1) - (-2) = 4 2+2 =4 4 =4

1 + 2(-2) = -3 1 - 4 = -3 - 3 = -3

 Ahora podemos afirmar que la terna ordenada (1; 2; 1) es la solución del sistema. Pasos necesarios para resolver sistemas de ecuaciones por medio de reducciones. 1. Escribe las ecuaciones en la forma Ax + By = C. 2. Elimina todos los decimales y todas las fracciones. 3. Elige una variable para eliminarla. 4. Haz que los términos de la variable seleccionada sean inversos aditivos, multiplicando una o ambas ecuaciones por algún número. 5. Elimina la variable mediante la suma de ecuaciones. 6. Sustituye a fin de resolver para la otra variable.

• Ejemplo: Resolver:  x + 2y + z = 6 ... (1) 2x + y - 2z = 2 ... (2) 3x + y + z = 6 ... (3) Resolución: Multiplicando (1) por 2 y sumando con (2). (1) x 2

326

2x + 4y + 2z = 12 2x + y - 2z = 2  Sumando 4x + 5y = 14 ... (4) Tercer Año de Secundaria

Resolver los siguientes sistemas usando el método de sustitución: 1.

2x y 4 x y 5

2.

x 3y 8 x 2 y 13

Resolver los siguientes sistemas usando el método de igualación: 3.

2x y 5 x 3y 0

4.

x 4 y 11 y 2x 5

Resolver los siguientes sistemas usando el método de reducción: 5.

3y x 8 2y x 13

Organización Educativa TRILCE

6.

5 x 7 y 26 4 x 2y 2

327

7. Si el sistema: 3x ay 17 bx y 4 tiene por solución a (5;1), hallar "a + b"

8. Hallar "x" luego de resolver: 4 x 2 x

3 y 6 y

4 3

9. Resolver el sistema:

x y z 4 x y z 2 x 2y z 3

10.Resolver el sistema: 2x y 3 1 x y 1 2

328

Tercer Año de Secundaria

Bloque I 1. Utiliza el método de sustitución para resolver los siguientes sistemas:  x  6  3y a) 5 x  2y  13 

c)

x 8 5y 7 x 8y 25

b)

5 x  10 y  30  2 x  2 y  6

2. Utiliza el método de igualación para resolver los siguientes sistemas: 2 x  y  6 a) 2 x  y  4 

5 x  y  9 b) 4 x  y  7 

6 x  5y  9 c) 2 x  3y  4 

3. Resuelve por el método de reducción. x  y  5 a) x  y  1 

c)

5 x  y  9 b) 4 x  y  7 

6 x  5y  9  2 x  3y  4

a)

b)

4 x  y  1   x  2 y  16

3y  x  7 c) 5 x  6 y  14 

5. Halla el conjunto solución y comprueba:

x  y  m b) x  y  n 

2x  y  b  2 c) bx  y  0 

x  y  1  a d) x  y  1  a 

8. Cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones son no lineales en apariencia. No obstante, cada uno de ellos es formalmente lineal porque una sustitución (digamos T en vez de 1  y V en vez de 1 ) da lugar a un sistema x y lineal. Halla el conjunto solución de los sistemas:

x  1  y  1 b) x  3  3y  7 

3( x  2)  2y c) 2( y  5)  7 x 

x  1  2( y  6) d) x  6  3(1  2y ) 

1 x    6   x

b)

Organización Educativa TRILCE

x 5 y 3

y 4 x 3

3 2 y 5  34 y

9. Resolver: x  y  3 x  y  2   2 3  x  y  4  x  y  3  3 4

a) -6 d) 1

b) -1 e) 6

c) 0

10.Resolver: 3x 4 x

6. Halla el conjunto solución y comprueba: x y  7  3  5 a)  3y  x  26  14

7 6 x  y  4  b)  5 4  7  x y

1 2 7 x  y  6  a)  2  1  4  x y 3

Calcular "y"

8x  5  7 y  9 a)  6 x  3y  6 

x  y  a  b a) x  y  a  b 

c)

4. Resuelve por el método de Cramer. x  y  2  x  3y  4

7. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes donde "x" e "y" son las incógnitas a encontrar:

y 2 2.......... ........(1) y 3 3.......... ........(2)

Calcular: y 1

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4 329

Bloque II

17.Resolver:

11.Resolver: ( x 5)( y 4) xy 61...........(1) ( x 4)( y 5) xy 60...........(2) Calcular "xy" a) 6 d) 15

b) 8 e) 20

c) 12

12.Hallar "a.b" para que el sistema de ecuaciones: (a 1) x (b 9)y 1 2ax by 62 admita como solución: x = 5; y = 9 a) -40 d) 36

b) -36 e) 18

c) -8

13.Determine el valor de "xy", sabiendo que: x( y 2) y( x 3) 14 y( x 6) x( y 9) 54 a) -12 d) 6

b) -6 e) 18

c) 12

Indicar la componente de una solución. c) 5

330

b) 6 e) 24

 2x  3y  5z  10  3x  7 y  4 z  3  x  2y  2z  3 

Calcular el valor de "x" a) -3 d) 3

b) -2 e) 4

c) 2

19.Sea la terna (a; b; c) solución del sistema de ecuaciones:  7 x  4 y  4z  7   7 x  5y  12 11x  8z  19 

b) 2 e) 3

c) -2

20.Resolver: 47 x 17 y 483 29x 93y 277 Indique: x + y b) 2 23 e) 7

c) 15

21.Al resolver el sistema, dar: x + y c) 3

16.Resolver: x - y + z = 1 ........... (1) x + y - z = 3 ........... (2) -x + y + z = 3 ......... (3) calcular "xyz" a) 2 d) 12

c) 24

Bloque III

1 1 1 x 2y 3 3x 2y 1 12 b) 2 e) -2

b) 16 e) 48

18.Resolver:

a) 10 5 d) 8

15.Calcular "y" 1 1 5   3x  2y  1 x  2y  3 12

a) 4 d) 6

a) 8 d) 32

a) -3 d) 1

4  10  x  2 y  3x  y  6    25  3  8  x  2 y 3x  y b) 2 e) -1

Calcular "5z"

Entonces la suma (a + b + c) es igual a:

14.Resolver el sistema:

a) 4 d) 3

 2x  y  z  2   x  2 y  z  4  x  y  2z  6 

3x 5 y 9

3x 5y 4

3x 5 y 9

3x 5y 4 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 7

7

c) 3

22.Resolver el sistema, indicar: (y - x)

2 3 2 x 5y 4 5 3x 2y 5 16 c) 8

33 2x 5y 4 2 3x 2y 5 5

Tercer Año de Secundaria

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

23.Resolver:

x y y

b) -35 e) 1

c) 5

28.Resolver el sistema: y

x

a) 65 d) 3

y x y x x x y

y

x

xy

y 2

x

xy xz

x

y y

xz

x 4

zy zy

Indique: 2x - y a) 7 d) 4

b) 5 e) 3

c) 6



2 3  ............... (1)



3  ............... (2) 4



6 5  ............... (3)

Indicar: x + y + z a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 5

24.¿Cuántos números naturales deben formar el dominio de la variable "a", para que las soluciones del sistema sean números naturales? 29.Resolver:  5ax  y  32 1 1 1  6  ax  y  0 x y z 1 1 1 a) 0 b) 1 c) 2 4 x y z d) 3 e) 4 1 1 1 25.Hallar los valores de "a" y "b" sabiendo que los siguientes y z x sistemas tienen las mismas soluciones. calcular "xyz" ax  2 y  5 2 x  ay  4   bx  3 y  10 3x  by  11 1 1 1 a) b) c) 2 90 60 a) (1;4) b) (4;1) c) (1;3) d) (3;1) e) (2;3) d) 1 e) 1 30 26.Resolver: 30.Si el sistema de ecuaciones lineales: xy 1 ................(1) ax y z 1 x y 3 x ay z a 1 1 5................(2) x y az a2 x y a  1; a  -2. Hallar el valor de "x".

Indicando "4y" a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

27.Resolver: x  2 y z  3y x  z   2 5 2 3

a)  a  1 a2 d)

1 a2

b) a  1 a2

c) a  1 a2

2 e) a  1 a2

xz calcular: y

Organización Educativa TRILCE

331

1. ¿Cuál es el valor de "x", en el sistema: (m2  n2 )x  (m  n)y  m  n  1  (m  n)x  (m2  n2 )y  m  n  1

a) m + n 1 d) m n

b) m - n 1 e) m n

c) mn

2. ¿Cuál es el valor de "y" en el sistema:

x y 5

20x 20y

2x x 3 1 3 a) 3 d) 0

10

6

c) 1

3 y 1 7 y 1

1 y 1 z 1 z

1 m 1 n 1 p

dar el valor de "y"

2mnp a) mn mp np

2mnp b) mp  np  mn

2mnp c) np mp mn

2mnp d) mp np mn

2mnp e) m n p

3. Al resolver el sistema: 1 x 4 x

1 x 1 y 1 x

0

2 b) 2 e) -1

4. Resuelve el sistema:

5. Para que valor de "a", el sistema:

5 4 1 4

ax y 0 ay z 1 az x a

obtenemos por solución (a;b), entonces "a + b" es:

es indeterminado.

a) 1 d) 4

a) -1 d) -4

332

b) 2 e) 5

c) 3

b) -2 e) -5

c) -3

Tercer Año de Secundaria

1. Utiliza el método de sustitución para resolver los 9. Resuelve: siguientes sistemas: x  y  4 x  y  3   3 4  2x  y  4 y  4 x  8  a) x  2y  3 b) y  5x  11 x  y  2  x  y  5    5 2 Calcular "y". 2. Utiliza el método de igualación para resolver los siguientes sistemas: 10.Resolver: a)

 x  3y  7   x  4 y  7

b)

2 x  y  6   xy3

a)

b)

3x  y  2  2x  3y  5

4. Resuelve por el método de Cramer: a)

x  y  4  x  y  2

b)

3x  2 y  10  4 x  y  6

5. Halla el conjunto solución y comprueba: 5y  3  2x a) 3x  2y  1 

y 1 3...............(1)

x y 4

4...............(2)

Calcular "x"

3. Resuelve por el método de reducción: x  y  10  x  y  2

3x

2(x  4)  9y b) 5(y  2)  4x 

6. Halla el conjunto solución y comprueba:

11.Resolver: ( x 2)( y 3) xy 25...............(1) ( x 3)( y 2) xy 22...............(2) calcular "xy". 12.Si el sistema de ecuaciones: (a 1) x ( x 1) y 8 (2a b) x (3a 2b) y 17 admite como solución: x = -2; y = 5 el valor de "a + b" es: 13.Resolver:  x (y  5)  y ( x  7)  11   y (x  2)  x ( y  3)  12 14.Proporcionar "x" del sistema:

x y  7  3 a)   x  y 1 12 12

 2x y  3  5  6 b)   x  y  4  6 2

 2  3x  y     4   3x  y

5 2 y  2x 3  17 y  2x

7. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes donde "x" e "y" son las variables. 15.Resolver: a)

x  2y  a  2b  x  2y  a  2b

b)

3x  y  b  3  bx  y  0

8. Halla el conjunto solución de los sistemas.

10 3x y 5 20 3x y 5

8 3 2y x 1 8 0 2y x 1

dar "x + y"

a)

 2  x   12   x

5 y 5 y

 13  18

b)

2 x    3   x

Organización Educativa TRILCE

3 4  y 3 4 5  y 3

16.Dado el sistema de ecuaciones: 5 x 2y m x 3y m El valor de "m" para que "x" exceda en 7 a "y". 333

17.Resolver:  x  y  2  y  z  13 z  x  21 

Indicando: x2. 18.Resolver:

x 2y z 10 x y 2z 12 2x y z 16

19.Calcular: x + y + z del sistema:  x  2y  z  9 .......... (1)  2x  y  2z  14 .......... (2) 3x  3y  4z  13 .......... (3) 

20.Resolver: 27 x  13y  100  13x  27 y  140

Indique: x + y

calcular: y + z

334

Tercer Año de Secundaria

30

Sistemas de ecuaciones Problemas de texto

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Para resolver un problema se necesita: I. Comprender el problema. II. Concebir un plan. III. Ejecución del plan. IV. Examinar la solución obtenida. I. COMPRENDER EL PROBLEMA * ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? * ¿Cuál es la condición? ¿ Es una condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria? II. CONCEBIRUN PLAN * ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? * ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. * Al recordar un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? * ¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones. * Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?. * ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema? III. EJECUCIÓN DEL PLAN * Al ejecutar su plan de la solución, comprende cada uno de los pasos. * ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo? IV.VISIÓNRETROSPECTIVA * ¿Puede usted verificar el resultado? * ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema?

¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA? Familiarizarse con el problema ¿Por dónde debo empezar? Empiece por el enunciado del problema. ¿Qué puedo hacer? Trata de visualizar el problema como un todo, tan claramente como pueda. No se ocupe de los detalles por el momento. ¿Qué gano haciendo esto? Comprenderá el problema, se familiarizará con él, grabando su propósito en su mente. La atención dedicada al problema puede también estimular su memoria y prepararla para recoger los puntos importantes. Trabajar para una mejor comprensión ¿Por dónde debo empezar? Empiece de nuevo por el enunciado del problema. Empiece cuando dicho enunciado resulte tan claro y lo tenga tan bien grabado en su mente que pueda ested perderlo de vista por un momento sin temor de perderlo por completo. ¿Qué puedo hacer? Aislar las principales partes del problema. La hipótesis y la conclusión son las principales partes de un "problema por demostrar"; la incógnita, los datos y las condiciones son las principales partes de un "problema por resolver". Ocúpese de las partes principales del problema considérelas una por una, reconsidérelas, considérelas después combinándolas entre sí, estableciendo las relaciones que puedan existir entre cada detalle y los otros y entre cada detalle y el conjunto del problema. ¿Qué gano haciendo esto? Está usted preparando y aclarando detalles que probablemente entrarán en juego más tarde. En busca de una idea útil ¿Por dónde debo empezar? Empiece por considerar las partes principales del problema. Empiece cuando dichas partes estén, por usted, claramente dispuestas y concebidas, gracias a su trabajo previo, y cuando considere que su memoria "responde". ¿Qué puedo hacer? Considere el problema desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Considere el problema desde varios puntos de vista. Subraye las diferentes partes, examine los diferentes detalles, examine los mismos detalles repetidamente, pero de modo diferente, combine entre sí los detalles de diversos modos, abórdelos por diferentes lados. Trate de ver algún nuevo significado en cada detalle, alguna nueva interpretación del conjunto. Busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Trate de acordarse de lo que le ayudó en el pasado ante circunstancias análogas. Trate de reconocer algo familiar en lo que examina y de encontrar algo útil en lo que reconoce. ¿Qué puedo encontrar? Una idea que le sea útil, quizá una idea decisiva que le muestre de golpe cómo llegar a la solución misma del problema. ¿Cómo puede ser útil una idea? Haciéndole ver el conjunto del razonamiento o una parte de él. Le sugiere más o menos claramente cómo puede proceder. Las ideas son más o menos terminantes. Es ya una suerte tener una idea sea cual fuere ésta. ¿Qué puedo hacer con una idea incompleta? La debe considerar. Si parece ventajosa, la debe considerar más a fondo. Si parece digna de confianza, usted debe averiguar hasta dónde le puede llevar y debe reconsiderar la situación. La situación ha cambiado gracias a su idea útil. Considere la nueva situación desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos adquiridos anteriormente. ¿Qué gano haciendo esto nuevamente? Puede usted tener la suerte de encontrar alguna otra idea. Quizá su nueva idea lo conduzca directamente al camino de la solución. Quizá requiera usted alguna idea más. Quizá, incluso, alguna de estas ideas le desvía a usted del camino correcto. No obstante, usted debe de alegrarse por toda nueva idea que surja, también por las de poca importancia o confusa, y también por las ideas suplementarias que añadan alguna precisión a una idea confusa o permitan la corrección de una idea menos afortunada. Incluso si, por un cierto tiempo, no se le presenta una nueva idea verdaderamente buena; considérese afortunado si su concepción del problema se torna más completa o más coherente, más homogénea o mejor equilibrada.

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Tercer Año de Secundaria

Ejecución del plan ¿Por dónde debe empezar? Empiece por la feliz idea que le conduce a la solución. Empiece cuando esté seguro de tener el correcto punto de partida y esté seguro de poder suplir los detalles menores que pueden necesitarse. ¿Qué puedo hacer? Asegúrese de que tiene la plena comprensión del problema. Efectúe en detalle todas las operaciones algebraicas o geométricas que previamente ha reconocido como factibles. Adquiera la convicción de la exactitud de cada paso mediante un razonamiento formal o por discernimiento intuitivo o por ambos medios, si es posible. Si su problema es muy complejo, usted puede distinguir "grandes" pasos y "pequeños" pasos, estando compuesto cada gran paso de varios pequeños. Compruebe primero los grandes pasos y después considere los menores. ¿Qué gano haciendo esto? Una presentación de la solución para la cual la exactitud y corrección de cada paso no ofrece duda alguna.  Visión retrospectiva ¿Por dónde debe empezar? Por la solución, completa y correcta en todos sus detalles. ¿Qué puedo hacer? Considerar la solución desde varios puntos de vista y buscar los puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Considere los detalles de la solución y trate de hacerlos tan sencillos como pueda; reconsidére los más extensamente y trate de condensarlos; trate de abarcar de un vistazo la solución completa. Trate de modificar, en beneficio de ellas, tanto las partes principales como las secundarias; trate de mejorar la solución en su conjunto de tal modo que se adivine por sí misma y quede grabada, en forma natural, en el cuadro de sus conocimientos previos. Examine atentamente el método que le ha llevado a la solución, trate de captar su razón de ser y trate de aplicarlo a otros problemas. Examine atentamente el resultado y trate igualmente de aplicarlo a otros problemas. ¿Qué gano haciendo esto? Puede encontrar una solución mejor y diferente, descubrir nuevos hechos interesantes. En todo caso, si toma el hábito de reconsiderar las soluciones y examinarlas muy atentamente, adquiere usted una serie de conocimientos correctamente ordenados, utilizables en cualquier momento, a la vez que desarrolla su aptitud en la resolución de problemas. • Ejemplo: Un camión de entregas llega al almacén Roberst con 8 cajas pequeñas y 5 grandes. El cobro total por las cajas, incluyendo el impuesto y los gastos de envío, es de $184. El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña. ¿Cuál es el costo del flete de cada una de las cajas? DIRECTRICES PARA RESOLVER PROBLEMAS ENTIENDE el problema. Elabora y lleva a cabo un PLAN. Encuentra la RESPUESTA y COMPRUÉBALA.

Para resolver problemas, a menudo los traducimos en un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. En este caso, el sistema se convierte en un modelo matemático de la situación.

Resolución: Podemos resolver el problema anterior recurriendo a las directrices para resolver problemas. ENTIENDE el problema. Pregunta: ¿Cuál es el costo del flete de una caja de cada tamaño?

Aclaración del problema.

8 cajas pequeñas más 5 cajas grandes por $184.El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una pequeña.

Descripción de relaciones.

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Elabora y lleva a cabo un PLAN. Hay dos enunciados en el problema. Traduce cada uno de ellos en una ecuación. Sea "x" el costo del flete de una caja pequeña. Sea "y" el costo del flete de una caja grande.

8 veces el flete de una caja pequeña más 5 veces el flete de una caja grande es $184. 8x

5y

+

= 184 Traduciendo el enunciado 1

El flete de una caja grande cuesta $3.00 más que el de una caja pequeña. y

=

3

Traduciendo el enunciado 2

x

+

 Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. 8x + 5y = 184 y=3+x Sustituyendo "3 + x" en vez de "y" en la primera ecuación, tenemos que 8x + 5(3 + x) = 184. Resolviendo para "x", tenemos que x = 13. Como y = 3 + x, y = 16. Encuentra la RESPUESTA Y COMPRUÉBALA 8 veces $ 13 ($ 104) más 5 veces $ 16 ($ 80) es $184. $16 es $3 más que $13. Ambas condiciones se satisfacen.

Comprobando en el problema original.

El flete de una caja grande cuesta $16 y el de una pequeña $13.

Presentación clara de la respuesta.

• Ejemplo Una solución "A" contiene 2 % de alcohol y otra solución "B" 6% de alcohol. El propietario de una estación de servicio quiere mezclar las dos soluciones para obtener 60 litros de una solución que contenga 3,2% de alcohol. ¿Cuántos litros de cada solución necesita? Resolución ENTIENDE el problema Pregunta:¿Cuántos litros de cada solución se necesitan para que la mezcla tenga un 3,2% de alcohol?

Aclarando el problema

Datos:

Identificación de datos

La solución "A" tiene 2% de alcohol. La solución "B" tiene 6% de alcohol. Se necesitan 60 L de la mezcla.

Elabora y lleva a cabo un PLAN. Organiza la información en una tabla. Cantidad de la solución

Porcentaje de alcohol

A

"x" litros

2%

2 % x ó 0,02 x

B

"y" litros

6%

6 % y ó 0,06 y

Mezcla

60 litros

3,2 %

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Cantidad de alcohol en la solución

0.032 x 60 ó 1,92 litros Tercer Año de Secundaria

Si sumamos "x" e "y" en la primera columna, obtenemos 60, el volumen total de la solución. Esto nos proporciona una ecuación, x + y = 60. En cada caso multiplicamos la cantidad por el porcentaje de alcohol para encontrar la cantidad de alcohol en cada solución y en la mezcla. Si sumamos las cantidades en la tercera columna, obtenemos 1,92. Esto nos proporciona una segunda ecuación: 0,02x + 0,06y = 1,92  Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. x + y = 60 0,02x + 0,06y = 1,92 Eliminamos los decimales de la segunda ecuación. x + y = 60  x + y = 60 100(0,02x) + 100(0,06y) = 100(1,92)  2x + 6y = 192

Multiplicando por 100

La solución del sistema es (42; 18). Encuentra la RESPUESTA y COMPRUÉBALA Número total de litros de la mezcla

Comprobando en el problema original.

x + y = 42 + 18 = 60 L Cantidad total de alcohol 2% x 42 + 6% x 18 = 0,02 x 42 + 0,06 x 18 = 1,92 L El porcentaje de alcohol en la mezcla

Los números concuerdan con el problema

1,92  0 ,032, ó 3,2% 60 El propietario debería utilizar 42 L de la solución al 2% y 18 L de la solución al 6%.

Esto es razonable pues se necesita más de la solución "A" que de la solución "B". (3,2 % es más próximo a 2% que a 6%)

• Ejemplo: Un tren sale de la ciudad de México rumbo al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué distancia de la ciudad dará alcance el segundo tren al primero? Para traducir problemas de movimiento, utilizamos la definición de velocidad. dis tan cia  Velocidad promedio = tiempo

d     v   t   

o la ecuación equivalente d = vt. Para resolver este problema, primero dibujamos un diagrama.

Organización Educativa TRILCE

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Ciudad de México

30 km/h

Los

t + 2 horas

"d" kilómetros

trenes se

Ciudad de México

45 km/h

encuentran

t horas

"d" kilómetros

aquí  

Podemos ver a partir del diagrama que las distancias son iguales. Ambas se pueden representar con la letra "d". Sea "t" el tiempo del tren más rápido. El tiempo del tren más lento será igual a "t + 2". Podemos organizar la información en una tabla. Distancia (km)

Velocidad (km/h)

Tiempo (h)

Tren lento

d

30

t+2

Tren rápido

d

45

t

Utilizando d = vt en cada renglón de la tabla, obtenemos una ecuación. Como resultado tend remos un sistema de dos ecuaciones. d = 30 (t + 2) d = 45 t Resolvemos utilizando el método de sustitución. 45t = 30(t + 2) Sustituyendo 45 t en vez de "d" en la primera ecuación. 45t = 30t + 60 15t = 60 t =4 Por consiguiente, el tiempo para el tren más rápido debería ser de 4 horas, y para el más lento de 6 horas. El tren más rápido viajaría 45 x 4, o 180 km en 4 horas. El tren más lento viajaría 30 x 6, ó 180 km en 6 horas. El tren más rápido dará alcance al tren más lento a 280 kilómetros de distancia de la ciudad de México. • Ejemplo: En una fábrica hay tres máquinas, "A", "B" y "C". Cuando los tres están trabajando, producen 222 trajes por día. Si "A" y "B" trabajan, pero "C" no, producen 159 trajes por día. Si "B" y "C" trabajan, pero "A" no, producen 147 trajes por día. ¿Cuál es la producción diaria de cada máquina? Utilicemos "x", "y", "z" para denotar el número de trajes producidos en un día por las máquinas "A", "B" y "C" respectivamente. Hay tres proposiciones. Cuando las tres máquinas trabajan, producen 222 trajes por día. x + y + z = 222 Cuando "A" y "B" trabajan, producen 159 trajes por día. x + y = 159 Cuando "B" y "C" trabajan, producen 147 trajes por día. y + z = 147  Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones. x + y + z = 222 x + y = 159 y + z = 147  Al resolver obtenemos x = 75, y = 84, z = 63. Estos números concuerdan con las hipótesis, de modo que la respuesta al problema es que "A" produce 75 trajes por día, "B" produce 84 trajes por día y "C" produce 63 trajes por día. 340

Tercer Año de Secundaria

1. La suma de dos números es 60 y su diferencia es 8. Halle dichos números.

2. Dividir el número 17 en dos partes, tal que el triple del mayor más el doble del menor es 46. ¿Cuál es el mayor?

3. Un padre tiene 30 años más que su hijo. Si ambas edades suman 100 años, ¿cuál es la edad del hijo?

4. La suma de dos números es 190 y la octava parte de su diferencia es 2. Halle el menor.

5. Los

2 3  de la suma de dos números es 74 y los  de su diferencia es 9. Halle el mayor.. 3 5

Organización Educativa TRILCE

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6. Si a los dos términos de una fracción se añade 1, la fracción es

2 1 , si restamos 1 a los dos términos la fracción es , 3 2

¿cuál es la fracción?

7. Las edades de "A" y "B" están en la relación de 4 a 5. Hace 5 años la relación era de 7 a 9. Halle las edades actuales.

8. La suma de las dos cifras de un número es 11, y si el número se divide por la suma de sus cifras el cociente es 7 y el residuo 6. Halle el número.

9. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 14, y si al número se suma 36, las cifras se invierten. El número es:

10.Al dividir el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera por 25 es igual que al dividir la segunda por 20. Halle las partes.

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Tercer Año de Secundaria

Bloque I 1. La suma de dos números es -42. El primero de ellos menos el segundo es 52. Calcula estos números. 2. La diferencia entre dos números es 16. Tres veces el mayor de ellos es nueve veces el más pequeño. ¿Cuáles son los números? 3. La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9%. ¿Cuántos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350 kilogramos con un 12% de proteínas? 4. Una bebida refrescante tiene 15% de jugo de naranja y otra tiene 5% de esta sustancia. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 L de bebida refrescante con un 10% de jugo de naranja? 5. Se hicieron dos inversiones por un total de $8800. En cierto año estas inversiones produjeron $1326 de interés simple. Una parte del dinero se invirtió al 14% y otra al 16%. Encuentra la cantidad invertida a cada tipo de interés. 6. Se invirtió un total de $1150, parte al 12% y el resto al 11%. El interés total fue de $133,75. ¿Cuánto se invirtió a cada tipo de interés? 7. Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a 75 km/h. Dos horas más tarde un segundo tren deja la estación sobre una vía paralela y viaja hacia el norte a 125 km/h. ¿A qué distancia de la estación dará alcance el segundo tren al primero? 8. Dos motociclistas viajan aproximándose entre sí a velocidades de 110 y 90 km/h entre Chicago e Indianápolis, ciudades que se encuentran a unos 350 kilómetros de distancia. Partieron a la misma hora. ¿En cuánto tiempo se encontrarán? 9. Un día una tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisetas. ¿Cuántas camisetas se vendieron de cada color? 10.Un día una tienda vendió 45 plumas, las de un tipo a $8,50 y las del otro a $9,75. El total de ventas fue de $398,75. ¿Cuántas plumas de cada tipo se vendieron? Bloque II 11.Carlos es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de María era dos tercios la de Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 12.El perímetro de un campo rectangular es 628 m. El largo del campo excede a su ancho en 6 m. Calcula las dimensiones. 13.El perímetro de un rectángulo es 86 cm. El largo es 19 cm más grande que el ancho. Calcula el largo y el ancho. 14.Iván y Luis son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años, Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Luis como profesor. ¿Cuántos años lleva en la enseñanza cada uno de ellos? 15.El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo número es 13 menos que la mitad del número dado. Averigua el entero dado. (Sugerencia: Sea x = dígito de las decenas e y = dígito de las unidades, entonces 10x + y es el número). 16.La medida de uno de dos ángulos suplementarios es 8° más que tres veces el otro. Encuentra la medida del mayor de los dos ángulos. 17. El radiador de un automóvil contiene 16 litros de anticongelante y agua. El porcentaje de anticongelante es 30%. ¿Qué cantidad de esta mezcla se debería drenar y reemplazar con anticongelante puro para que el porcentaje de éste fuese del 50%? 18.Un tren sale de la Estación Unión hacia el Estación Central, a 216 km de distancia, a las 9.00 a.m. Una hora más tarde, un tren sale de la Estación Central hacia la Estación Unión. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9.00 a.m. y el primero a las 10.30 a.m. también se habrían encontrado al mediodía. Averigua la velocidad de cada tren. Organización Educativa TRILCE

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19.La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los números. 20.La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más el segundo. Calcula los números. Bloque III 21.En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es 2° más que tres veces la medida del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 8° más que la medida del ángulo "A". Calcula las medidas de los ángulos. 22.En el triángulo TUV, la medida del ángulo "U" es el doble que la del ángulo "T". La medida del ángulo "V" es 80° mayor que la del ángulo "T". Calcula las medidas de los ángulos. 23.Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66. El jueves vendió $3 más que el viernes. El s ábado vendió $ 6 más que el jueves. ¿Cuánto vendió en cada día? 24.Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calificaciones del primero y segundo de ellos excede en su tercera calificación en 61 puntos. Su primera calificación supera a la segun da en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones. 25.Las sierras de agua "A", "B" y "C" pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un día. "A" y "B" juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que "B" y "C" pueden producir 5200 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra de agua por separado? 26.Tomás, David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomás y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomás y Carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado? 27. La edad de Tomás es la suma de las edades de Carmen y Daniel. La edad de C armen es 2 años más que la suma de las edades de Daniel y Marco. La edad de Daniel es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42. ¿Qué edad tiene Tomás? 28.Andrés le da a Rafael tantos boletos para la rifa como los que Rafael ya tenía, mientras que a Jorge le da tantos como los que él ya tenía. Análogamente, Jorge les da a Andrés y a Rafael tantos boletos como los que ya tenían. Los tres terminaron con 40 boletos. ¿Cuántos boletos tenía originalmente Rafael? 29.En una feria campestre, los boletos para los adultos se venden en $5,50, para los jóvenes en $4,00 y para los niños $1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos fue 5 más que cuatro veces el número de boletos para niño. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron si la venta total de boletos ascendió a $14 970? 30.Una ciclista tiene un promedio a distintas velocidades cuesta arriba, en terreno llano, y cuesta abajo. Ella estima el siguiente kilometraje para sus tres últimos recorridos: Kilómetros cuesta arriba

Kilómetros en terreno llano

Kilómetros cuesta abajo

Tiempo total

2

15

5

1,5 horas

6

9

1

1,4 horas

8

3

8

1,6 horas

¿Cuáles son las velocidades promedio cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo?

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Tercer Año de Secundaria

1. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay gallinas y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? a) 10 d) 3

b) 7 e) 1

c) 25

2. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la relación de 10, 6 y 32. Encuentre el menor. a) 20 d) 8

b) 16 e) 4

c) 12

3. Hace 10 años la edad de "x" era el doble de la de "y", dentro de 10 años la edad de "y" será los 3/4 de la de "x". Halle las edades actuales.

a) 30 y 20 d) 50 y 10

b) 40 y 20 e) 20 y 20

c) 10 y 20

4. Jaimito debe realizar un viaje de 820km en 7 horas. Si realiza parte del viaje por avión a 200km/h y el resto en auto a 55km/h, ¿cuál es la distancia recorrida en avión? a) 80 km d) 500

b) 400 e) 760

c) 450

5. Un padre tiene "a" años y su hijo "b" años. ¿Dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo? a) 2a + b d) 2b + a

b) a - 2b e) 2a + 2b

c) 2a - b

1. La suma de dos números es -63. El primer número 8. Dos aviones viajan aproximándose entre sí después de menos el segundo es -41. Calcula estos números. partir de ciudades que se encuentran a 780 kilómetros de distancia, a velocidades de 190 y 200 km/h. La salida 2. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más fue a la misma hora, ¿en cuántas horas se encontrarán? pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números? 9. Una semana un establecimiento vendió 40 manteles. Los 3. Un químico tiene una solución que contiene ácido al 25% y otra solución que contiene ácido al 50%. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 L de una solución que contenga ácido al 40%?

blancos costaban $4,95, y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron?

10.Se vendieron 117 entradas para un concierto. Cada adulto pagó $ 1,25, y cada niño $ 0,75. En total, se 4. El anticongelante "A" contiene 18% de alcohol. El anticongelante "B" contiene 10% de alcohol. ¿Cuántos vendieron entradas por $ 129,75. ¿Cuántos boletos de litros de cada uno de ellos se debería mezclar para cada tipo se vendieron? obtener 20 L con 15% de alcohol? 11.Paula es 12 años mayor que su hermano Roberto. Dentro 5. Se hicieron dos inversiones por un total de $15 000. de 4 años Roberto tendrá las dos terceras partes de la Cierto año estas inversiones produjeron $1432 en interés edad de Paula. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? simple. Parte de los $15 000 se invirtieron al 9% y el resto al 10%. Encuentra la cantidad invertida a cada 12.El perímetro de un terreno es de 190 m. El ancho es la tipo de interés. cuarta parte del largo. Calcula las dimensiones. 6. Se invirtió un total de $27 000, una parte al 10% y el resto al 12%. El rendimiento total fue de $ 2990. ¿Cuánto 13.El perímetro de un rectángulo es 384 m. El largo es 82m más grande que el ancho. Calcula el largo y el ancho. se invirtió a cada tipo de interés? 7. Dos automóviles salen de la ciudad viajando en 14.Nancy corre y camina a la escuela cada día; tiene un direcciones contrarias. Uno viaja a 80 km/h y el otro a promedio de 4 km/h caminando y 8 km/h corriendo. La 96 km/h. ¿En cuánto tiempo se encontrarán a 528 distancia de su hogar a la escuela es de 6 km y realiza kilómetros de distancia entre sí? el viaje en una hora. ¿Qué distancia hace corriendo? Organización Educativa TRILCE

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