ECUACIONES

C.F.P. Luis Cáceres Graziani

Ecuación.- Se llama así a la igualdad que contiene por los menos una variable a la cual llamaremos incógnita. Los valores de las incógnitas que satisfacen a la ecuación dada se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Solución de una ecuación: Se llama así al valor de la incógnita que reemplazado en la ecuación verifica la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución, también se le denomina raíz..

Curso : Matemática Tema : Ecuaciones Profesor : Rolando Mamani C. Discusión de sus raíces o soluciones: - Si: a  0 y b  0  solución única x   b a - Si: a  0 y b = 0  Solución es cero - Si: a = 0 y b  0  Ecuación incompatible o absurda - Si: a = 0 y b = 0  Ecuación compatible indeterminada

2

Ejemplo: x = 16 Soluciones o raíces: x = 4 ó x = -4 Clasificación de las ecuaciones I.

Ecuaciones Compatibles: son aquellas que aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en: A) Ecuaciones Determinadas: Son aquellas que tiene un número limitado de soluciones 2 Ejm: x – 1 = 24 Tiene 2 soluciones: x = 5 ó x = -5 B) Ecuaciones Indeterminadas: Son aquellas que tiene un número ilimitado de soluciones Ejm: x + y = 7 Tiene  soluciones:

II. Ecuaciones Incompatibles: Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurda o imposibles. Ejm: x+4=x+7  4 = 7 (absurdo) No existe valor de “x” que verifique la igualdad. OBS:  Si el proceso de la solución de una ecuación no se eleva al cuadrado ni se extrae la raíz cuadrada la solución que se obtiene es solución directa de la ecuación.  Si en una ecuación se eleva al cuadrado o se extrae la raíz cuadrada la solución que se obtiene no es solución de la ecuación, para verificar si es solución hay que reemplazar en dicha ecuación. NOTA: - Si la solución es un número se reemplaza. - Si la solución es literal es solución.

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 01. Resolver: 4x – 1 = x – 4 Rpta: ............... 02. Resolver: 7 – 5x = 3x – 1 Rpta: ............... 03. Resolver: 20x + 7 – 2 = 15x + 3 Rpta: ............... 04. Resolver: 7x - 6x – 4 = 15x +3 – 6x Rpta: ............... 05. Resolver: 2x + 8 – 3x = 4x + 15 – 2x Rpta: ............... 06. Resolver: 2(x+3) = 4x – 8 Rpta: ............... 07. Resolver: 5(2x-4) = 2(3x+ 4) Rpta: ............... 08. Resolver:

x

x x   11 2 3 Rpta: ...............

09. Resolver: ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Forma General: ax + b = 0 donde:

36 

4x 8 9 Rpta: ...............

10. Resolver: * a y b son coeficientes * x  incógnita

3x  16 5  x 3

Rpta: ............... 11. Resolver:

5x  5 3 x 1

03. Resolver: 2 2 (x-2) – (3-x) = 1 A) 1 D) 4

Rpta: ............... 12. Resolver: 7(x-3) = 9 (x+1) - 38 Rpta: ............... 13. Resolver:

B) 2 E) 5

C) 3

04. Resolver: (x+1) (x+2) = (x+3) (x+4) A) -2 D) –5/2

B) 2 C) 5/2 E) –2/5

05. Resolver: 2 2 a(x-b) –b (x-a) = a -b : a  b

a b c   d x x x Rpta: ...............

A) a 2 2 D) a +b

B) b

C) a-b

E) a + b

14. Resolver: 06. Resolver:

x x  c a b

x 5  3 X

Rpta: ............... A) 3 D) 4

15. Resolver:

a b  bx ax

B) 10 C) 3 y 10 E) Incompatible

Rpta: ...............

07. Resolver: A) 0 D) 2

3x = -3x B) 1 E) 

Rpta: ...............

08. Resolver: 2( x  1) 3( x  1) 7x  1   5 10 10

C) -1

16. Resolver: 4(x-3) – 7(x-4) = 6 – x

17. Resolver:

A) 0

x x 1  x2 2 7

D) –1

18. Resolver: 17x – 4 + 13x = 12x – 5+8x Rpta: ............... 19. Resolver:

Rpta: ............... 20. Resolver: 5(x – 4) = 3(x+6) Rpta: ............... NIVEL II 01. Resolver: 15x – 10 = 6x – (x+2) + (-x+3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 02. Resolver: 30x-(-x+6)+(-5x+4) = -(5x+6)+(-8+3x) B) 7 C) –3/7 E) –7/3

09. Resolver: 1 2 1   0 x 1 x2 x 3 A) 0 D) Ec: Absurda

7(x – 2) +3 = 4(2x- 6) – 2

A) -3 D) 3/7

B) 1 C) Ec. Indeterminada E) N.A.

B) 1 C)  E) N.A.

10. Resolver: 2x  3 x  4 1   x 1 x 1 x 1 A) 1 D) 4

B) 2 C) 3 E) N.A.

11. Resolver: x 1 x 1  x 1 x 1  1 x 1 2 1 x 1 A) 0 D) 3 12. Resolver: x2  3x  7  4  x

B) 1 E) 4

C) 2

A) 8 3 D) 2 3

B) 3

C)

D) 2

3 11

22. Resolver:

E) 8 y 3 3

5 x  6  3x  4

13. Resolver: 2 x  3  3x  2  2 x  5  3x A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

4 x2  x  9 x2  5x  x2  7

x 1  x 1  1 B) 5 4

A) 0 D) 3

C) 1 2

E) No tiene solución

x x2  4 A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

16. Resolver: 2 2 P x + q(p-q) = (p-q) (3p + 4q) + q x A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

17. Resolver: 2 ax + bx = (x+a-b) - (x-2b) (x+2a) A) a+b B) a-b C) 1 ab 1 D) E) N.A. a b

C) b

E) N.A.

19. Resolver:

A) 0 D) 3

x2 x4 x6 x    4 6 8 2 A) -1 B) 1 C) 12 D) 2 E) 0

25. Resolver: xa x b  2 b a A) a+b D) a

B) a-b C) b-a E) b

26. Resolver: 2 1 0 x2 2 x4 A) 0 D) 2

B) 1 E) -2

C) -1

B) 2 E) 5

C) 3

B) 2 E) 5

C) 3

27. Resolver:

A) 1 D) 4 28. Resolver:

B) 1 E) 4

5 C) 2

20. Resolver: x 2  4 x 2  x  9 x 2  12 x

B) 6

 x 1

C) 1/6

A) 1 D) 4 29. Resolver: m n n   1 x m x A) n D) 1

B) m C) 0 E) n+m

E) 2 30. Resolver:

21. Resolver: 3x – (2x-1) = 7x – (3-5x) + (-x+24) A) 0

C) 2

x  x2  8  2 x

21  12  14  x

A) 3 D) 1/2

 1  2x

x 1  x  4  5

18. Resolver: 2 2 2 (x+b) – (x-a) = (a+b) B) a

B) 1 E) 4

24. Resolver:

15. Resolver:

A) 1 D) ab

A) 11 B) 2 C) 1 2 9 11 11 D) y 3 E) 2 y 9 9 23. Resolver:

14. Resolver:

A) 1 4 D) 3 2

E) -2

B) 1

C) -1

xa  ax b  a xa  ax

A)

2a 2 b ab

C)

2a 2 b a2  b2

E)

2a 2 b a2  b2

B)

D)

4ab ab

4ab a b

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DETERMINANTES. Sistemas de Ecuaciones.- Dos o mas ecuaciones forman un sistema cuando se verifican ó satisfacen para los mismos valores de sus incógnitas.

términos en filas y columnas (pudiendo ser el número de filas y columnas igual o diferente). Se les designa con la letra griega . La matriz será cuadrada cuando el número de filas sea igual al número de columnas. Ejemplo: Diagonal secundaria =

a1

b1

a2

b2 Diagonal principal

Determinante de segundo orden

a. Compatibles Determinados.- Son aquellos que admiten un número limitado de soluciones, esto ocurre cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. b. Compatibles Indeterminados.- son aquellos que admiten un número ilimitado de soluciones, esto ocurre cuando el número de ecuaciones es menor al número de incógnitas. B) Sistemas de ecuaciones incompatibles.- Son aquellas que no admiten solución, también se les llama absurdas o imposibles. Sistemas equivalentes.- Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Son aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado. a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2



 a1b2  a2b1

8 6 5 4

Determinante de tercer orden

a1

b1

c1

  a2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1 a 1 b1

  a2

b2

c2 a 2 b2

a3

b3

c3 a 3 b3

Ejemplo: calcular el determinante

1 2 3  3 2 1 2 3 1 Sea:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Donde: x  determinante de x y  determinante de y s  determinante del sistema

a1 , b1 , c1  coeficientes a2 , b2 , c2  coeficientes x, y  incógnitas

a2 b2

Ejemplo:

Clasificación: A) Sistemas de ecuaciones compatibles.- Son aquellas sistemas que admiten por lo menos una solución y pueden ser:

a1 b1



x

x ; s

y

y s

Métodos de solución Ejemplo: resolver 01) 02) 03) 04)

Métodos de reducción Métodos de sustitución Métodos de igualación Métodos de determinantes

Ejemplos: Resolver el sistema: 3x + 2y = 11 2x – 4y = 18 DETERMINANTES: Se llama determinantes al desarrollo de una matriz cuadrada. Matriz se le denomina a una disposición de

5x + 7y = 10 2x + 3y = 5 Sea: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 donde: x  determinante de x y  determinante de y z  determinante de z s  determinante del sistema.

x

x ; s

y

y s

;

z

z s

05. Resolver: 1 1 5   ........( 1) x y 6 7 5 11   ........( 2) x y 6

Ejemplo: Resolver: x + y + z = 6 5x + 4y + 3z = 25 6x + 3y + 2z = 23 Discusión de las soluciones: 01) Si   0  solución única. (el sistema es compatible determinado) 02) Si  = 0 y X  0 , Y  0 ; Z  0  el sistema es incompatible. 03) Si  = 0 y X = 0 ; Y = 0 Z = 0  el sistema es compatible indeterminado PROBLEMAS PROPUESTOS

D) x = 5 y = -2

E) x = 5 y=2

B) x = -1 y=3 z=4

D) x = 3 y = -2 z = -1

E) x = 2 y = -5 z = -1

y=3

1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 A) 0 D) 4

B) 5 C) -5 E) N. A.

07. Si:

2 1 7

2

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

08. Resolver el siguiente sistema x + 3y = 10 .......... (1) 2x + 5/4y = 1 ........ (2) C) x = 2 y = -3

A) x = 2 y=4

B) x = -2 y=4

D) x = 2 y = -3

E) x = 1 y=3

C) x = 2 y=3

09. Resolver: 2x + 3y = 5 -x + y = 3

C) x = 2 y=3 z=4

04. Resolver el sistema: 2x + 3y – 5z = 11 5x – 2y + z = 9 3x – y + 2z = 9 A) x = 1 y=2 z=3 D) x = 3 y=4 z=2

06. Hallar el determinante de la matriz.

Obtener “x + 1”

03. Resolver el sistema: 3x + 2y = 12 3y – z = 5 4z – 5x = 6 A) x = 1 y=2 z=3

E) x = 1 y=5

1

D) x = 6 E) x = 3 y=1 y=1 02. Resolver el sistema: 3x + 2y = 1 2x – 3y = -8 B) x = -1 y=2

D) x = 2 y=4

 3 x  6  425

B) x = 4 C) x = 2 y=3

A) x = 3 y=1

B) x = 1 C) x = 2 y=2 y=3

8

01. Resolver el sistema: 5x + 2y = 39 3x – 5y = 11 A) x = 7 y=2

A) x = 1 y=3

B) x = 5 C) x = -2 y=2 y=3 z=3 z=4 E) x = -3 y=5 z=1

A) x1 = -4/5 y2 = 11/5

B) x1 = -1/3 C) x1 = 1/3 y2 = 2/3 y2 = 1/2

D) x1 = -2/5 y2 = 4/5

E) N.A.

10. Hallar el valor de “a” para que el sistema: (a+1) x + 3y = 3a + 3 (a+4) x + 3ay = 5 admita solución: A) a = 4 D) a = 2

B) a   2 C) a  -4 E) N.A.

11. Hallar “a” y “b” para que el sistema: 3x + 5y = 1 ax + by = 4 sea indeterminado

A) a = 8 b= 5

B) a = 4 b=5

1 2 7   x y 6 2 1 4   x y 3

C) a = 12 b = -20

D) a = -10 E) N.A. b = -2 12. Hallar el valor o valores de “m” para que le siguiente sistema no tenga solución (es decir para que el sistema sea incompatible)

Dar x - y B) 3 E) -2

A) 2 D) -1 19. Calcular: ab E

x + my = 1 mx – 3my = 3 A) m = 1 m=2

B) m = -1 m=2

D) m = 0 m = -3

E) m = 2 m = -2

C) m = -3 m=2

A) –1 D) 3

ab

2a

A) a D) a-b

x 4

B) 2

2b 

a  b  2b 2a

ab

B) b

C) a+b

E) 2a

20. Hallar “x” en

13. Resolver: 3x + 5y = 7 2x - y = -4

C) 1

5



2

4

6

3

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Dar: xy Forma general: 2 ax + bx + c = 0

C) –2 E) –5

donde: a, b y c  coeficientes x  incógnita

14. Resolver: 3x - 2y = -2 5x + 8y = -60 A) –4 D) -1

B) -5 E) 2

Dar: x-y

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

C) 1

A. Por Factorización (aspa simple) B. Por formula general 2

15. Resolver:

Sea: ax + bx + c = 0

X 

8x - 5 = 7y – 9 6x + 2 = 3y + 8 Dar: x-y A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

Sea x1 ; x2 sus raíces

30- (8-x) = 2y + 30 5x – 29 = x – (5-4y)

01. Suma de las raíces.

x1  x 2   B) -2 E) 8

C) -1

18. Resolver:

b a

02. Producto de raíces

x1 .x 2 

17. Resolver: x y  5 7 3 x 3y   26 14 Dar x + y A) 4 D) 6

Ejemplo: resolver. 2 x – 5x + 6 = 0 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

16. Resolver:

Dar: x-y A) 4 D) 6

 b  b 2  4ac 2a

c a

03. Diferencia de raíces

x1  x 2 

b 2  4ac a

Naturaleza de las raíces 2 Sea: ax + bx + c = 0 B) -2 E) 8

C) -1  = b – 4ac 2

 = discriminante 01. Si  > 0 los raíces son reales y diferentes. 02. Si  = 0 las raíces son iguales

03. Si  < 0 las raíces son complejas y conjugadas. Ejemplo: 2 A) x + 2x – 1 2 B) x – 14x + 49 = 0 2 C) x + 3x + 6 = 0

04. Resolver: 3(3x - 2) = (x + 4) (4 - x) e indicar una solución.

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

05. Calcular el producto de las raíces de la ecuación:

Al resolver una ecuación cuadrática, se obtuvo como raíces: x1, x2 podríamos decir que la ecuación que dio origen a esas raíces es: (x – x1) (x – x2) = 0 Efectuando: 2 x – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0

 suma de   Producto  x     0 x 2 -  raíces    de raíces  OBS: x1 + x2 = S x1 . x2 = P 

x – Sx + P = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Resolver: 2

x – 11x – 26 = 0 A) x1 = 2 B) x1 = 2 x2 = -13 x2 = 10

C) x1 = -2 x2 = 5

E) x1 = 10 x2 = -3

B) –3

A) 3 D) –8

C) 8

E) –5

06. Resolver 2 x -(a + 1) x + a = 0 A) x1 = 1 x2 = 2

B) x1 = a x2 = 2

D) x1 = 2 x2 = 3

E) x1 = a x2 = 1

C) x1 = a x2 = 1

A) B) C) D)

x1,2 = 1 2i x1,2 = 1 2 x1,2 = 1  3i x1,2 = 1  3 E) x1,2 = 1 2 i 08. Resolver: 3

x3 –

2

A) x1 = 2/3 B) x1 = 3/4 C) x1 = 2/5 x2 = 1/4 x2 = -5/7 x2 = 1/2 E) x1 = 1/3 x2 = 2/3

03. Resolver: x(x + 3) = 5x + 3 e indicar la mayor solución. C) 3

3

x4 =1

A) x1 = 2 x2 = -3

B) x1 = -2 x2 = 3

D) x1 = -5 x2 = 4

E) x1 = 2 x2 = 3

C) x1 = 5 x2 = -4

09. Resolver:

2x  7 4  6x 2x 2 – + +1=0 x 1 3 x 1 A) x1 = 4 x2 = 1

28x – x – 15 = 0

B) 1 E) 2

2x(x + 1) = x (x – 6) + 8

2

Teorema: En toda ecuación polinomial de coeficientes Reales. Si una de sus raíces es (a + bi) la otra reíz es (a – bi) Ejemplo: formar la ecuación de segundo grado si una de sus raíces es 5 + 3i.

A) –1 D) –3

C) 5

x – 2x + 5 = 0

Teorema: En toda ecuación polinomial de coeficientes Racionales. Si una de sus raíces es (a+ b ) la otra raíz será (a- b ) Ejemplo: formar la ecuación de segundo grado si una de sus raíces es 3 + 2

D) x1 = 5 x2 = 3

B) 3 E) 12

07. Resolver:

2

D) x1 = 4 x2 = -6 02. Resolver:

A) 1 D) –11

D) x1 = -4 x2 = -3 10. Resolver:

B) x1 = 2 x2 = 5

C) x1 = -2 x2 = 3

E) x1 = 1 x2 = 2

5 x  5 x 

12 5 x

A) x1 = -2 x2 = -3

B) x1 = 4 x2 = 3

D) x1 = 1 x2 = 2

E) x1 = - 1 x2 = 3

C) x1 = -4 x2 = -3

11. Calcular el valor de “m” para que la ecuación: 2

(5m + 1)x + (m + 5) x + 1 = 0, tenga raíces iguales. A) 2 y 5 B) 1 y 2 C) 2 y 4 D) 3 y 7 E) N. A 2 12. Calcular el valor de “m” en la ecuación: x + (2m + 5) x + m = 0. sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades. A) 0 D) 2

B) 1 E) -2

C) -1

13. Dado la ecuación: 2 2x – (a + 3) x + b = 1 ; si se sabe que la suma de raíces es 7 y el producto 5. Calcular “a” y “b”. A) a = 10 b = 11

B) a = 8 b=9

D) a = 11 b = 11

E) a = 3 b=5

C) a = 4 b=7

(x – 5) (x - 7) (x + 6) (x + 4) – 504 = 0 A) x1 = 8 x2 = 2 x3 = -1 x4 = 3

C) 31

20. Señale una raíz de: 4 x 2  3x  5 2 x 2  2 x  13 B)  7 4 E) 1

C) -3

2

2x – x + 3 = 0 Si x1 y x2 son raíces. Hallar:

1 + 1 x1 x 2

15. dado la ecuación: 2

mx + (m + 3) x + 2m = 0. Calcular “m” sabiendo que las raíces son numéricamente iguales, pero de signos contrarios. B) 2 E) –3

C) x1 = 8 x2 = -7 x3 = 3 x4 = -2

D)  7 2 21. Dado la ecuación de segundo grado.

2

B) 29 E) 33

B) x1 = 7 x2 = 4 x3 = -1 x4 = 2

D) x1 = 6 E) x1 = 9 x2 = 2 x2 = 2 x3 = -1 x3 = 5 x4 = 3 x4 = -1

2

x – 5x + 7= 0 determinar: 3 3 2 2 (x1) + (x2) + (x1) + (x2)

A) 1 D) 3

19. Resolver:

A) 7

14. Dado la ecuación:

A) 28 D) 32

E) m = 1/2 m = 1/3

C) –2

A) 1 D) 1/6

B) 1/3 E) –1/3

C) 1/2

22. Da suma de las raíces de la ecuación: 2

(m - 2)x + mx + 1 = 0 ; es 2. Hallar “m”

16. Formar la ecuación una de cuyas raíces es: 2 + 3i

4 3 B) C) 4 3 4 1 D) E) 3 4 23. Si el producto de la raíces de la siguiente ecuación 2 es 9/4: (m - 1) x – (2m + 2) x + m + 4 = 0 hallar el valor de “m”. A)

2

A) x + 2x - 13 2 B) x – 3x + 9 = 0 2 C) x + 5x - 6 2 D) x – 4x + 13 = 0 2 E) x – 2x - 14 2

17. Dado la ecuación: 3m –2mx + 6 = 0. Calcular “m” sabiendo que una de las raíces es inversa de la otra. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

18. Dado la ecuación: 2 (m + 1)x – (5m + 1) x + 7 = 0 calcular “m” sabiendo que la diferencia de las raíces es 3. A) m = 1/3 m = -3

B) m = -12/5 m=3

C) m = -1/2 m=3

D) m = 1/4 m=2

25 9 D) 5 A)

B) 2

C) 3

E) 5

24. Se sabe que las raíces de la ecuación: 2

2x – 12x + k + 2 = 0 2

difieren en 2. entonces k – 10 es: A) 186 D) 122

B) 196 E) N. A

C) 102