Ecuaciones

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

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ESO

Ecuaciones

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 7

Ecuaciones

En esta unidad se produce el primer encuentro de los alumnos con el álgebra, rama de la matemática que será de vital importancia en su futura formación. Trataremos de llamar la atención sobre la gran utilidad que tienen las ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. Podemos plantear algunos problemas sencillos del entorno habitual que sean fáciles de resolver mediante ecuaciones y que no lo sean tanto sin la ayuda de estas. De modo que inicialmente los alumnos intenten resolverlos por métodos aritméticos y que posteriormente se resuelvan con métodos algebraicos, mostrando así como se puede reducir y simplificar el lenguaje ordinario a través del algebraico. En primer lugar se distingue entre lo que son expresiones numéricas y algebraicas, dando importancia a la traducción de una situación del lenguaje ordinario al algebraico mediante ejemplos de contextos cercanos al alumno, para después mostrarle las reglas básicas para poder operar en este nuevo terreno. Un objetivo de la unidad es resolver ecuaciones de primer grado. Antes de empezar es necesario que distingan con toda claridad los conceptos de términos y miembros. Nos podemos apoyar en la utilización de las balanzas, un buen recurso para que entiendan la resolución de ecuaciones como búsqueda del equilibrio en los dos miembros. Se debe comenzar con ecuaciones sencillas e ir complicándolas poco a poco, siguiendo metódicamente los pasos que se indican en el último epígrafe de la unidad. La resolución de otro tipo de ecuaciones en el futuro resultará más fácil si se aprende correctamente la resolución de las de primer grado. No menos importante es la resolución de problemas. Conviene empezar con problemas sencillos y aplicados a la realidad.

OBJETIVOS 1. Expresar situaciones de la vida cotidiana utilizando formas sencillas del lenguaje matemático, en especial el lenguaje algebraico.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Expresar situaciones de la vida real en lenguaje algebraico. 1.2 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica. 1.3 Operaciones con monomios. 1.4 Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana

2. Resolver ejercicios y problemas de la vida cotidiana mediante la formulación de expresiones algebraicas sencillas y ecuaciones de primer grado con una incógnita.

2.1 Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan números naturales, enteros y racionales, mediante el lenguaje algebraico, describiendo verbalmente el proceso elegido y las soluciones obtenidas.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

CONTENIDOS • Lenguaje algebraico • Expresión algebraica • Traducción del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico • Monomio • Partes de un monomio: coeficiente y parte literal • Valor numérico de una expresión algebraica • Monomios semejantes • Suma y resta de monomios • Igualdad algebraica

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Unidad 7

Ecuaciones

• Identidad algebraica • Ecuación • Incógnitas de una ecuación • Soluciones de una ecuación • Ecuación de primer grado con una incógnita • Ecuaciones equivalentes • Regla de la suma • Regla del producto • Planteamiento y resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Es fundamental que los alumnos tengan un dominio adecuado de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división de números fraccionarios y que utilicen con soltura los paréntesis.

2. Previsión de dificultades Es una de las primeras veces que los alumnos se enfrentan en matemáticas al trabajo con letras. No cabe duda de que el paso de la aritmética al álgebra, de lo concreto a lo abstracto, puede entrañar serias dificultades en algunos alumnos, así que conviene dar mucha importancia a la traducción de una situación del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

3. Vinculación con otras áreas En los campos de la ciencia, la técnica, la economía y la sociedad en general aparecen fórmulas que relacionan diferentes datos, y estas fórmulas son ejemplos claros de expresiones algebraicas.

4. Esquema general de la unidad En esta unidad se ve la utilización del lenguaje algebraico y su uso en igualdades, fórmulas y ecuaciones. A lo largo de la etapa se verá la resolución de diversos tipos de ecuaciones, en este curso se trata solamente de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. La unidad comienza explicando la utilización del lenguaje algebraico mediante expresiones algebraicas como una combinación de letras y números. Se aprende a calcular el valor numérico de distintas expresiones algebraicas, así como a sumar y restar monomios. A continuación se utilizan las expresiones algebraicas para definir relaciones, fórmulas, igualdades, identidades y ecuaciones.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Valor numérico de una expresión algebraica

Ecuaciones Soluciones

Monomios Suma y resta de monomios

La última parte de la unidad trata sobre las ecuaciones. Se ve cómo simplificar ecuaciones mediante las reglas de la suma y del producto, la definición de solución de una ecuación y de ecuaciones equivalentes. En el último epígrafe se explican los distintos pasos que se deben seguir para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Ecuaciones equivalentes Regla de la suma Regla del producto Resolución de ecuaciones

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en doce sesiones: 1.ª Introducción. Lenguaje algebraico 2.ª Expresiones algebraicas. Monomios 3.ª Valor numérico de una expresión algebraica 4.ª Suma y resta de monomios 5.ª Igualdades e identidades 6.ª Ecuaciones. Soluciones. Ecuaciones equivalentes 7.ª Regla de la suma 8.ª Regla del producto 9.ª Método general para la resolución de un ecuación de primer grado 10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación 12.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Ecuaciones

Unidad 7

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Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al estar dedicada esta unidad al lenguaje algebraico y resolución de ecuaciones de primer grado se trabajan descriptores de las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas, relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Competencia social y ciudadana A través del tema de entrada, de las referencias históricas en los márgenes y de la actividad final “Un problema chino muy antiguo” se trabaja esta competencia en relación con el progreso tecnológico y científico, a través del descriptor conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” la subcompetencia Planificación y desarrollo de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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Unidad 7

Ecuaciones

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Comunicación escrita.

Aplicar de forma efectiva habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa.

Reflexión sobre el lenguaje.

Conocer y valorar las tradiciones y las lenguas de nuestro país y las otras culturas que conviven con nosotros y valorar la diversidad cultural como un hecho de nuestra realidad cotidiana.

Razonamiento y argumentación.

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.

– Transcribe al lenguaje algebraico. En toda la unidad

Lingüística

Matemática

Resolución de problemas.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación. Expresar de forma adecuada la solución de un problema y comprobar su validez. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Aprecia la riqueza cultural del lenguaje. Desarrolla tus competencias

– Expresa situaciones de la vida real en lenguaje algebraico. En toda la unidad

– Plantea y resuelve problemas por medio de ecuaciones e interpreta su solución. En toda la unidad

– Opera con monomios. – Simplifica ecuaciones. – Resuelve ecuaciones. En toda la unidad – Valora las aportaciones matemáticas de diferentes culturas y aprecia su contribución al desarrollo de la ciencia.

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Ser conscientes de la dimensión individual y colectiva de la salud, con actitudes de responsabilidad y respeto hacia los demás y uno mismo.

– Aprecia el acceso a medicamentos.

Desarrollo personal y social.

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Sitúa hechos científicos en el tiempo

Social y ciudadana

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Planificación y realización de proyectos.

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

Interacción con el mundo físico

Autonomía e iniciativa personal

Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve, resuelve problemas

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net Actividades: 16, 20, 24, 27 y 42, organiza tus ideas, autoevaluación – Resuelve problemas con respuesta múltiple. – Resuelve problemas de forma creativa Actividades de ampliación Pon a prueba tus competencias: Analiza y calcula

Ecuaciones

Unidad 7

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Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para la interculturalidad: texto de entrada. • Educación para el consumo: actividad 81. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO. SM

– Unidad 4. Álgebra. • Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 3: “Números enteros. Ecuaciones”. – Unidad II: Ecuaciones.

Otros

• Ideas para enseñar álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis. www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes del MEC:

Otros

www.e-sm.net/1esomatprd12

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatprd13

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Unidad 7

• Balanzas para trabajar la diferencia que existe entre igualdad y ecuación, así como para obtener ecuaciones equivalentes. • La calculadora, para comprobar si es correcta la solución obtenida de una ecuación.

Ecuaciones

Sugerencias didácticas Entrada

2. Expresiones algebraicas

La foto de entrada junto con el texto permite apreciar y valorar las aportaciones que las diferentes culturas antiguas hicieron a las matemáticas. Convendría destacar que el papiro de Ahmes es una importante fuente de información de las matemáticas que habían desarrollado los egipcios. No solo vienen problemas de ecuaciones, también aborda otros temas, tales como: – Áreas – Volúmenes – Progresiones – Repartos proporcionales – Regla de tres – Fracciones

Desarrolla tus competencias I. Con la actividad I, los alumnos podrán comprobar que la solución que daba el escriba, sin aplicar el método de resolución de ecuaciones, es la correcta. Podemos aprovecharla para indicar que gracias al álgebra, algunos problemas que ellos venían resolviendo aritméticamente pueden resolverse de una manera más sistemática y rápida. II. La actividad II requerirá que los alumnos busquen información detallada en internet, aunque la gran mayoría de ellos sabe que uno de los usos de las matemáticas egipcias se produjo en la construcción de las pirámides. III. Con esta actividad trabajaremos la competencia lingüística, haciendo notar a los alumnos que nuestra lengua se ha ido enriqueciendo de diversas culturas.

1. Letras y números • Los alumnos deben entender que las letras en el lenguaje algebraico representan valores indeterminados. Para ello es muy útil poner como ejemplo: – Fórmulas ya conocidas por los alumnos como el área de un cuadrado o el perímetro de un rectángulo. – La forma de expresar las propiedades de las operaciones de los números naturales. Verán que en todas estas expresiones aparecen letras y números, y que las letras pueden tomar cualquier valor. • Es muy importante que desde el primer momento los alumnos se acostumbren a traducir del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Comenzaremos con ejemplos sencillos, tales como: doble de un número, triple de un número, cuádruple de un número, la mitad de un número, la tercera parte de un número, el cuadrado de un número, el cubo de un número.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• Los alumnos deben trabajar las expresiones algebraicas de manera progresiva. Han de entender que se trata de buscar expresiones válidas para muchas situaciones particulares. En este intento conviene pasar por varias fases: identificación y comprensión de expresiones algebraicas; escritura de expresiones algebraicas a partir de situaciones reales sencillas; transformación de expresiones algebraicas en operaciones matemáticas. Para ello es necesario practicar con actividades donde se traduzcan expresiones del lenguaje ordinario al algebraico y viceversa. • Al leer expresiones algebraicas, los alumnos tienen problemas con aquellas en las que aparecen potencias y sumas o restas. Tienden a confundir expresiones del tipo “el cuadrado de una suma” y “la suma de los cuadrados de dos números”. • Debe quedar clara la identificación de las diferentes partes de un monomio, coeficiente y parte literal, para poder realizar operaciones en epígrafes posteriores.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7, 8, 45 a 47 y 53

Medio

9, 51 y 52

3. Valor numérico de una expresión algebraica • El concepto de valor numérico de una expresión algebraica no suele ser difícil para los alumnos, pero sí se pueden presentar dificultades a la hora de calcularlo, por cometer errores en las operaciones aritméticas, sobre todo cuando se sustituyen números negativos. • Se pueden poner ejemplos en los que distintas expresiones tengan siempre el mismo valor numérico.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

48 a 50

Medio

14 y 15

4. Suma y resta de monomios • Antes de realizar las primeras operaciones con monomios tiene que quedarles claro a los alumnos el concepto de expresiones algebraicas semejantes, para ello se podría utilizar algún método más gráfico como asociar un objeto a una letra y comparar diferentes expresiones. • Una vez conseguido diferenciar si dos monomios son semejantes o no, conviene comenzar a operar monomios con una letra, para pasar después a monomios con mayor parte literal y finalizar con operaciones con un mayor número de elementos. • También es interesante que en algunas actividades no se pueda reducir la expresión algebraica.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico

3, 43 y 44

Básico

19 y 54

Medio

4y5

Medio

55 y 56

Ecuaciones

Unidad 7

7

Sugerencias didácticas

5. Letras para expresar relaciones: igualdades e identidades • En este epígrafe, los alumnos podrán darse cuenta, a partir de ejemplos numéricos, concretos y cotidianos (precio – kilogramos, precio – duración de llamada), de la importancia y utilidad de las expresiones algebraicas. • Se introducen los conceptos de igualdad y sus distintos tipos. Conviene hacerles ver que una identidad se verifica para cualquier valor que tomen las letras.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

8. Regla del producto • Igual que la regla de la suma, la regla del producto es una forma de encontrar ecuaciones equivalentes más sencillas en el sentido de que es más fácil encontrar la solución. Aunque se llame regla del producto, también se pueden dividir por un número ambos miembros de la ecuación, siempre que no se divida por cero.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

30 a 32 y 64

Medio

65

22, 23 y 57 a 59 60

Alto

9. Resolución de ecuaciones 6. Letras para expresar ecuaciones. Soluciones de una ecuación

• Hay que acostumbrar a los alumnos a ser ordenados y a seguir los pasos indicados en la resolución de las ecuaciones.

• Es interesante que el alumno se haga a la idea, aunque • Algunas dificultades que encuentran a la hora de resolver las ecuaciones y que habría que trabajar con ellos sea de forma intuitiva, de que la ecuación es una situason: ción de igualdad. La balanza matemática servirá para reforzar esta idea de igualdad, de equilibrio. – Al eliminar los denominadores solo multiplican en un miembro de la ecuación. • También conviene definir cada una de las partes de una ecuación: primero y segundo miembro, términos e incóg– En cuanto a los signos: un signo menos delante de nita. Conviene usar varias letras para la incógnita, no una fracción afecta a todos los términos del numesiempre la x, ya que se acostumbran a esta letra y luego rador de la fracción, y al cambiar de signo una ecuales cuesta resolver las ecuaciones con otras incógnitas. ción, hay que cambiarlo en ambos miembros. • Las ecuaciones de primer grado con las que trabajaremos • La actividad resuelta 39 es un problema que se resuelve tendrán una única solución, pero se les puede avanzar con ecuaciones. La dificultad al resolver los problemas es que hay otro tipo de ecuaciones que pueden tener ninla utilización adecuada del lenguaje algebraico, ya que guna o más de una solución. los alumnos encuentran difícil pasar del lenguaje ordinario al matemático. • Es importante hacerles entender el concepto de ecuación equivalente y la utilidad que tendrá posteriormente • El punto clave en la traslación de los enunciados al lena la hora de resolver las ecuaciones. guaje algebraico es el de identificar los datos desconocidos. Una vez identificados, hay que ver la relación entre ACTIVIDADES POR NIVEL estos, y así se podrá averiguar a qué dato desconocido se le asigna la incógnita. De este modo se pueden poner 25, 26, 61 y 62 Básico todos los datos desconocidos en función de la incógnita 63 Medio y plantear la ecuación, que una vez resuelta nos permite encontrar la solución del problema. 82, 83 y 87 Alto

7. Regla de la suma • Conviene hacerles ver que la regla de la suma es una forma rápida y eficiente de encontrar ecuaciones equivalentes más sencillas en el sentido de que es más fácil encontrar la solución. Para ello se puede trabajar con la balanza, donde si se quita o añade el mismo peso a ambos lados, se mantiene el equilibrio. Aunque se llame regla de la suma, también se puede restar un número a ambos miembros de la ecuación.

8

• Los pasos que se debe tener en cuenta al trasladar un enunciado en lenguaje ordinario al algebraico son: 1. Leer detenidamente el enunciado. 2. Identificar los datos conocidos. 3. Identificar los datos desconocidos. 4. Asignar una incógnita a un dato desconocido. 5. Plantear la ecuación.

ACTIVIDADES POR NIVEL

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico

40, 66, 67 y 70 a 74

Básico

30 a 32 y 64

Medio

41, 68, 69 y 75 a 78

Medio

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Unidad 7

Ecuaciones

Alto

79 a 81 y 83 a 85

Sugerencias didácticas

Organiza tus ideas En esta página se muestran los contenidos vistos a lo largo de la unidad. Se dividen en tres partes. Una primera parte trata sobre el lenguaje algebraico, en el que se ve qué es una expresión algebraica, cómo calcular el valor numérico de una expresión algebraica, qué son monomios semejantes y cómo se suman y restan monomios. En la segunda parte se ven los conceptos de igualdad algebraica, identidad algebraica y ecuación. Finalmente se indican los pasos a seguir para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. En todos los apartados se muestran los conceptos con ejemplos concretos.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos la competencia para la autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias INTERPRETA Y RESUELVE: UN PROBLEMA CHINO MUY ANTIGUO Al igual que sucedía con el texto de entrada, podremos valorar y apreciar el legado matemático que nos deja otra cultura, esta vez la china.

Además trabajaremos la competencia social y ciudadana, ya que la actividad III nos pide realizar un eje cronológico con los avances matemáticos de las diferentes culturas que han aparecido a lo largo de la unidad. RESUELVE PROBLEMAS: LA MÁQUINA EXPENDEDORA Esta actividad es muy útil para que los alumnos desarrollen la competencia aprender a aprender, ya que deberán elaborar sus propias estrategias para responder a todas las preguntas sin una guía que les indique el camino a seguir. ANALIZA Y CALCULA: LA ESCALERA Para que los alumnos contesten a las actividades 1, 2 y 4 debemos guiarles a fin de que construyan una tabla indicando el número de peldaños que utilizan para una escalera dependiendo del número de escalones. No les costará mucho encontrar la pauta que hay al completar la tabla con ayuda de los cuatro dibujos que aparecen. APRENDE A PENSAR: EL USO DE LOS MEDICAMENTOS Podemos aprovechar la actividad 4 para realizar un debate en clase sobre cómo puede influir el acceso a los medicamentos en las tasas de mortalidad infantil en los países poco desarrollados, creando en los alumnos un espíritu solidario, concienciándoles para que si al finalizar un tratamiento médico les han sobrado medicamentos, los lleven a la farmacia o a una ONG y puedan ser remitidos a los países que los necesiten.

Ecuaciones

Unidad 7

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Actividades de refuerzo Unidad 7

Ecuaciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En esta unidad se introduce el lenguaje algebraico y, en particular, el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Los alumnos deberán terminar el tema sabiendo resolver ecuaciones de primer grado sencillas y plantearlas en problemas simples. • Para una mejor comprensión del método de resolución de ecuaciones de primer grado es recomendable que las operaciones a realizar sean solo con números enteros, si acaso con fracciones cuyos denominadores sean números pequeños. • Se debe prestar especial atención a los signos, sobre todo cuando hay un paréntesis restando, ya que el signo afecta a todo el paréntesis. • Los problemas deben poderse plantear con ecuaciones. Hay que tener en cuenta que a los alumnos les resulta especialmente difícil trasladar del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de ecuaciones Para este juego necesitamos fabricar un dominó en el que cada una de las fichas esté formada por una ecuación y por un número, como se puede ver en el ejemplo. 1–x=3

2

–2x + 7 = 1

6

3x + 2 = 14

0

x+4=0

4

6x = 24

1

5x + 1 = 6

–2

6x –2 = –2

3

7x = 14

–4

x — =3 2

2

x 2=— 5

5

2x + 4 = 8

10

x+3=2

4

2x – 1 = 1

1

x–1=4

1

4x + 1 = 5

–1

Se puede dividir la clase en grupos de tres o cuatro alumnos y proponer a cada grupo que fabrique su propio dominó, con distintas ecuaciones y sus soluciones correspondientes, para luego intercambiarlo con otro grupo para jugar. Se reparten las fichas y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, con el mismo número en las dos partes de la ficha (en el ejemplo, la ficha con el 1 es doble). En cada tirada deberá hacerse corresponder una ecuación con su solución, o viceversa. En caso de quedar en tablas, ganará el alumno cuya suma de soluciones sea menor.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) x = 1 b) x = 5 c) x = 3 d) x = 0 e) x = −1 f) x = 3

5. 1

E

C

U

A

C

I

Ó

N

2

C

O

E

F

I

C

I

E

3

S

O

L

U

C

I

Ó

N

4

I

D

E

N

T

I

D

A

D

2. Tres manzanas

5

G

R

A

D

O

3. Manzana, 400 gramos. Naranja, 200 gramos.

6

I

N

C

Ó

G

N

I

T

A

7

M

O

N

O

M

I

O

4. Al aumentar un balón de baloncesto, pasamos de 22 € a 34 €, por lo que el precio del balón de baloncesto es de 12 €, y el de fútbol, de 10 €.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 7

Ecuaciones

N

T

E

S

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 7

Ecuaciones

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3x + 1 = 4

c) 3x + 5 = 6 + x + 5

b) 2x + 6 = 16

d) −4x + 5 = −7x − 3 + 2x + 8

e) x − 2(x − 3) = 5 − 2x x +1 = 5−x f) 2

2. Como ya sabes, las ecuaciones, como las balanzas, buscan el equilibrio. ¿Sabrías encontrarlo en la última balanza?

? y

3. ¿Sabrías deducir cuánto pesan la manzana y la naranja? 200 g 200 g 200 g

200 g 200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

Plantea las ecuaciones correspondientes llamando x al peso de las frutas. 4. Calcula los precios de los balones de fútbol y de baloncesto.

+

+

+

= 22 €

= 34 €

5. Completa el crucigrama y obtendrás la palabra clave en las casillas de color. 1. Igualdad con letras y números que expresa una condición que deben cumplir las letras. 2. La parte numérica de un monomio se llama ……………. 3. El valor que debe tomar la incógnita de una ecuación para que se cumpla la igualdad se llama……………… de la ecuación.

1 2 3 4

4. Si una igualdad es cierta para cualquier valor de las letras, se llama …………….

5

5. Si el exponente de las letras de una ecuación es 1, decimos que es de primer ……………

7

6

Página fotocopiable

6. Las letras de una ecuación se llaman ……………. 7. Expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras elevadas a exponentes naturales.

Ecuaciones

Unidad 7

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Actividades de ampliación Unidad 7

Ecuaciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS A aquellos alumnos que dominen la resolución de ecuaciones se les pueden proponer otros tres tipos de actividades distintos: • Ecuaciones de primer grado más complicadas, como pueden ser ecuaciones con fracciones que pueden tener la incógnita en el denominador. • Realización de problemas más elaborados. Se recomienda realizar un gran número de problemas para que planteen con soltura las ecuaciones. • Planteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en los que se puedan apoyar en un dibujo que les ayude a ver la relación entre las incógnitas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Concurso de problemas de ecuaciones Formad grupos de dos o tres alumnos. Cada grupo debe desarrollar unas frases que se puedan trasladar al lenguaje algebraico por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Estas frases podrían tratar sobre: • Edades. Por ejemplo, “La edad de Juan es el doble de la que tenía hace tres años”. • Precios u objetos. Por ejemplo, “Si regalo tres CD, tengo la mitad de los que tenía”. • Figuras geométricas. Por ejemplo, “El perímetro de un cuadrado mide 16 centímetros”. • Animales. Por ejemplo, “En una granja donde hay pollos y vacas, contamos 20 cabezas y 50 patas”. Además de escribir las frases, los alumnos deben escribir la ecuación correspondiente y su solución. Cuidado, porque deben plantearse problemas que tengan sentido. El juego consistirá en ir planteando estas frases a otros grupos para que escriban las ecuaciones y las resuelvan. Gana quien resuelva más problemas.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) x = 2

6. Cada niño recibe 6 €, y cada niña, 7 €.

b) x = 5 c) x = 6 7 d) x = 8 2. a) x = 2 1 b) x = 2

7. El número pedido es 8. 8. Los ángulos miden 58°, 60° y 62°. 9. La altura mide 6 m, y la longitud, 18 m. El área es de 108 m2.

3. Es la ecuación b) x + 2 = 2x + 1. 10. Hay 24 conejos. 4. El número pedido es 9. 11. El número inicial es 233. 5. El número pedido es 35. 12. 30 preguntas.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 7

Ecuaciones

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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 7

Ecuaciones

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

x+3 x+6 x +1 + − =2 5 4 3

b)

x x −1 x+5 − = 1− 5 4 10

2x + 1 3x 2x + 1 x+4 − = − 2 4 4 8 ⎛ 5 x ⎞⎟ x+4 x−2 d) 3 x − 2 − 2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ = − 3x + ⎟ ⎜⎝ 8 ⎠ 4 2 c)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones. 3 2 11 = a) + x 3x 6

b) 1 +

4 9 = x 2x

3. ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a la frase “Si un número lo aumentamos en 2 unidades, se obtiene el doble del número y además una unidad”? a) x + 2 = 2( x + 1)

b) x + 2 = 2 x + 1

c) 2 x + 2 = x + 1

4. Encuentra un número que al restarle 5 y dividirlo por 4 sea lo mismo que restarle 4 y dividirlo por 5.

5. Halla un número sabiendo que el quíntuplo de ese número más su quinta parte es 182.

6. Reparte 47 euros entre 2 niños y 5 niñas de modo que cada niña reciba un euro más que cada niño.

7. Encuentra un número entero al que si se le suma la mitad, la mitad de la mitad, la mitad de la mitad de la mitad y una unidad, se obtiene el doble del número.

8. Los tres ángulos de un triángulo son tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cada ángulo?

9. La longitud de un rectángulo es el triple de la altura. Si el perímetro es de 48 metros, ¿cuál es su área?

10. En una granja hay gallinas y conejos. Calcula el número de conejos sabiendo que hay 32 cabezas y 112 patas.

12. En un determinado test, todas las preguntas valen lo mismo. Si respondes correctamente nueve de las 3 diez primeras, pero solamente de las restantes, obtienes como puntuación la mitad del máximo 10 posible. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

Ecuaciones

Unidad 7

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11. Se tiene un número de tres cifras con la cifra de las unidades y de las decenas igual. Calcula el número sabiendo que la suma de las cifras es 8 y que si se invierte el orden de sus cifras, el número aumenta en 99 unidades.

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 7

Ecuaciones

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases. a) El triple de un número. b) La diferencia de dos cantidades. c) El cuadrado de un número menos un tercio del número. d) El doble de la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades. 2. Escribe la ecuación que expresa las siguientes frases usando una única incógnita. a) La suma de las edades de dos hermanos, que se llevan 5 años, es 25. b) En un huerto hay 54 manzanos y ciruelos, el número de manzanos es el doble que el de ciruelos. c) Si a mi dinero le sumasen un tercio de lo que tengo más 5 euros, tendría 34 euros. 3. Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación. a) 3 x + 4 = 2 x + 5 para x = 1

b) 2( x − 1) + x = 2 x − 1 para x = 2

4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes? Indica la solución de cada ecuación. a) x + 2 = 7

b) 3 x + 1 = 4

c) x − 1 = 7

d) 2 x + 1 = x + 2

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. a) 3a2 + 5a − a2 + 10a + 3 + a

b) 2 x − 3 y + 4 xy − x + 3 y + 2 xy − y

6. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5 x + 4 = x + 2( x + 3)

b) x − 2 = 2 x − 2( x + 3) + 6

7. Resuelve las siguientes ecuaciones. x 1 x + + =3 2 2 3 x −1 x +1 + =6 b) 3 2 a)

2x − 3 x+3 − 1 = 3x − 4 + 5 2 x x−4 3 x +1 d) − 3 ⋅ =x + +2⋅ 3 2 2 3 c) x +

8. El dinero que tiene Juan es el doble del de Luis más 2 euros. Si entre los dos tienen 107 euros, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

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9. Calcula tres números consecutivos que sumen 93.

10. Un tren con 176 pasajeros llega a una estación donde se baja una cantidad desconocida de pasajeros. 2 En la siguiente estación se bajan de los pasajeros que quedan. Si en el tren todavía quedan 50 pasa3 jeros, ¿cuántos se bajaron en la primera estación?

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Unidad 7

Ecuaciones

Propuesta de evaluación Unidad 7

Ecuaciones

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN b) a − b

1. a) 3x

c) y 2 −

1 y 3

d) 2(a2 − b2)

2. a) Si x es la edad del menor, x + (x + 5) = 25. b) Si t es el número de ciruelos, t + 2t = 54. 1 c) Si x es el dinero que tengo, x + x + 5 = 34. 3 3. a) 3 ⋅ 1 + 4 = 7 = 2 ⋅ 1 + 5 , sí es solución. 4. a) x = 5

b) x = 1

(

)

b) 2 2 − 1 + 2 = 4 ≠ 3 = 2 ⋅ 2 − 1, no es solución.

c) x = 8

d) x = 1

Dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma solución. Son equivalentes la b y la d. 5. a) 2a2 + 16a + 3

b) x − y + 6 xy

6. a) 5 x + 4 = x + 2 (x + 3)

b) x − 2 = 2x −2(x + 3) + 6

5 x + 4 = x + 2x + 6

x − 2 = 2x − 2x − 6 + 6

x=1 7. a)

x=2

x 1 x + + = 3 ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 3 2 3

c) x +

2⋅x 3⋅1 2⋅x 6⋅3 + + = 2⋅3 3⋅2 2⋅ 3 6⋅1

10 x + 4 x − 6 − 10 30 x − 40 + 5 x + 15 = 10 10

2x + 3 + 2x = 18 ⇒ 5x = 15

14x − 16 = 35x − 25 ⇒ 21x = 9

x=3 b)

2x − 3 x+3 ⇒ m.c.m.(5, 2) = 10 − 1 = 3x − 4 + 5 2

x=

x −1 x +1 + = 6 ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 3 2

(

d)

3 7

x x−4 3 x +1 ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 −3⋅ =x + +2⋅ 3 2 2 3

) + 3( x + 1) = 6 · 6

2 x − 9 x + 36 6x + 9 + 4 x + 4 = 6 6

2(x − 1) + 3(x + 1) = 36 ⇒ 5x = 35

−7x + 36 = 10x + 13 ⇒ 17x = 23

2 x −1 2⋅3

3⋅2

6

x=7

x=

23 17

8. Dinero de Luis: x

(

)

Ecuación: x + 2 x + 2 = 107 ⇒ 3x + 2 = 107 ⇒ 3x = 105 ⇒ x = 35. Luis tiene 35 €, y Juan, 72 €. 9. Números: x, x + 1 y x + 2

(

) (

)

Ecuación: x + x + 1 + x + 2 = 93 ⇒ 3x + 3 = 93 ⇒ 3x = 90 ⇒ x = 30. Los números pedidos son 30, 31 y 32.

(

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10. Pasajeros que se bajan en la 1.ª estación: x 2 Ecuación: 176 − x − 176 − x ⋅ = 50 ⇒ 528 − 3x − 352 + 2x = 150 ⇒ x = 26. Se bajaron 26 pasajeros. 3

)

Ecuaciones

Unidad 7

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