.ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

COLEGIO BILINGÜE COMPUTARIZADO “ALEXANDER VON HUMBOLDT”

- PISCO

TRABAJO PRACTICO DE TRIGONOMETRIA TEMA: ECUACIONES TRIGONOMETRICAS QUINTO GRADO DE SECUNDARIA

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Ecuación Trigonométrica .- Una ecuación trigonométrica es una igualdad en las cuales todas las variables están afectadas por funciones trigonométricas y se verifica para determinados valores de la variable.

Ecuación Trigonométrica Elemental (E.T.E.) .- Una ecuación trigonométrica se llama Elemental o Simple si tiene la siguiente estructura:

F.T. (Ax + B) = N  F.T.= Función Trigonométrica ; Ax+B = Argumento ; x : variable angular; N = Valor numérico.  A los valores de la variable que verifican dicha igualdad se les denomina Soluciones o Raíces de la

Ecuación. Conjunto Solución ..- Es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación trigonométrica Solución General (Sg).- Es el conjunto de todos los valores angulares que asume la variable angular. Solución Principal ( Sp ).- Es el menor valor no negativo que asume la variable angular. Solución Básica (S b).- Se denomina así al conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación y se encuentran en el intervalo [ 0; 2 .

Valor Principal (Vp) .- Es el valor que asume el argumento de la ecuación trigonométrica elemental.  F .T .( Ax   B)

  N 

El valor principal está comprendido en el siguiente intervalo:

   

arg umento

 / 2  Vp (Seno)   /2

0  Vp (Coseno)  

 / 2 < Vp (Tangente) < /2

EXPRESIONES GENERALES GENERALES DE LOS ARCOS PARA UNA ETE E.T.E.

CONDICION

SOLUCION GENERAL

Sen x = a Cos x = a Tan x = a

a  [ -1; 1] a  [ -1; 1] aR

Sg = k  + (-1) Vp Sg = 2k   Vp Sg = k  + Vp k 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS NOTABLES Sen Cos Tan

30º

60º

1/2 3 / 2 3 / 3

3 / 2 1/2 3

45º 2/2 2/2 1

37º

53º

16º

74º

8º

3/5 4/5 3/4

4/5 3/5 4/3

7/25 24/25 7/24

24/25 7/25 24/7

2/10 72/10

82º 72/10 2/10

1/7

7

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES ∢

R.T. Sen Cos Tg

  

0º

90º=

0 1 0

1 0 ND

270º=

180º= 

2

0 –1 0

3  

360º=2

2

–1

0 1 0

0 ND

EJERCICIOS PROPUESTOS 2

1) Resolver: 2 tg x + 3secx = 0; k Z a) k 



b) 2k  



d) 2k 

 

e) k 

 

 

2) c) k 

 

Calcular

la

suma

de

las las

tres

primeras

soluciones positivas de la ecuación: 2cos2x = -4cosx – 3 a) 720º

b) 540º

c) 450º

d) 360º

e) 840º

3)

2

2

2

2

Resolver : cos x + cos 2x = cos 3x + cos 4x e indicar el número de raíces en e intervalo 0; ] a) 5

4)

b) 6











b)  



d) a  b

e) 8









c)  

Si x  〈

 

Calcular

la

a) 4

 

c) /3

menor

7)

b) /10









    d) 2/3

solución

8)

c) /5

1   senx b) 60º

b) 5

positiva

c) 45º



d) 37º

a) 9

x = ½ indicar la suma

c) 6

d) 7

de

e) /3

1 1  senx



8

b) 8

c) 7

la

e) 8

Señala la suma de las tres primeras soluciones 2

e) 5 2

2x = 1 indicar la

suma de las 5 primeras soluciones positivas. a) 3

b) 5

d) 2

3 senx  cos x

20) Al resolver: a) 15º

c) 7

b) 30º

21) Al resolver: cot

e) 53º

d) 6

19) Resolver 2senx . sen3x + cos

e) 5/6

d) /4

1

Halle el valor de “x” en:

a) 30º

4

18) Resolver: sen5x + sen3x = sen4x

ecuación: csc2x – sec4x = 2 a) /20

x + cos

Indicar el número de soluciones para 0; 

〉 resolver: 2 

b) /4

4

de las cuatro primeras soluciones positivas.

e) a  c

a) /6 6)

d) 9

e) N.A.

17) Resolver: sen

Resolver: cos6x + cos4x  – cosx = 0; kZ a) (2k+1)

5)

c) 7

d) 45º; 90º

c) 0º 2



e) 4

1

d) 60º

se obtiene: e) 90º

x – cscx – 1 = 0 se obtiene

a) /3; 

b) /6; /2

d) /6; 3/2

c) /3; 2

e) /2; 3/2

positivas de la ecuación: 2sen x = 3 cosx

2

24). Resolver: sen 2x + cos2x = 1 + senx y dar como a) 780º b) 720º c) 440º d) 420º e) 540º 9)

El

menor

valor positivo

que satisface

ecuación: sen8x + sen4x + 2 sen

2

la

x = 1 es:

a) 7/72 b) /36 c) /20 d) /18 e) /12 10) Hallar la suma de los valores de x 0;  que verifican la ecuación: tag

2

3x + 1 = 2 tag3x

respuesta la suma de valores de x comprendidos en el intervalo 0; 2 a)7 b) 7/2 c) 5/2 d) 3/2 e) 9/2 2

2

2

25). Resolver: sen x + sen 2x + sen 3x = 1,5 e indicar  el número de soluciones en 0; 2  a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

a) 5/6 b) 3/2 c) 7/6 d) 13/12 e) 5 /4 11) Señale la suma de las soluciones comprendidas

26). Resolver:: cos

4

3x – sen

1

4

3x =

en 0;  de la ecuación: 4sen a) 

4

x + 2 sen

2

b) 5/4

12) Calcular

la

la suma de las dos mayores soluciones del IC

x . cos2x = 1 c) 2

suma

d) 3

de

las

e indicar  2

e) 3/2 tres

primeras

soluciones positivas de la ecuación:

a) 3/5

b) 2/3 c) 2/7 d) 5/6 e) 4/5

27). Resolver: 4 cos a) k; k  Z

2

3x – 6 cos3x = 3.

b) 2k ; k  Z

  

c) k

2cos2x = –4cosx – 3 a) 720º b) 540º c) 450º d) 360º e) 840º 13) Resolver: 2senx  – cscx = 1 ; x 0; 2 . Indicar 

  

d) k

3

  

;kZ

e) k

4

2

;kZ

;kZ

el número de soluciones. a) 1

b) 2

c) 3

14) Resolver: 2tag  = sec

d) 4 2

e) 5

28). Si x   0; 5



  

2

 hallar la suma de las soluciones de 2

a) 2k ; k  Z

  

c) (2k+1)

2

  

b) k +

4

la ecuación: 2 sen x + ; k  Z c) k ; k  Z

  

; kZ

e) (2k -1)

4

; kZ

15) Hallar el conjunto solución básico de la ecuación: senx =

3 cosx – 1

a) 3/2 b) /4; 3/2 c) /4; /6 d) /6; 3/2 e) /6 16) Resolver: cos a) 120º ; 30º

4

x – sen

4

x = ½ ; 0º < x < 180º

b) 20º ; 130º

c) 30º; 150º

a) 300º

b) 720º

3

c) 480º

sen2x = 3 d) 610º e) 530º