Ecuaciones Simultaneas PDF

 

ECUACIONES SIMULTÁNEAS 1. Considérese el siguiente modelo de demanda y oferta de dinero: Demanda de dinero:  M t d  =  β 0 +  β 1Y t   +  β  2 Rt  + β 3 Pt  + u1t    Oferta de dinero:  M t s = α 0  +  α   1Y t  + u 2t    d  s Equilibrio:  M t    = M t    Donde: M= dinero Y= ingreso R= tasa de interés P= termino precio de error u= Supóngase que R y P son exógenos y que M y Y son endógenas. En la siguiente tabla se presenta información sobre M (dada por M2), Y(PIB), R (tasa de bonos del tesoro a tres meses) y P (índice de precios al consumidor), para los Estados Unidos durante 1970-1991. M2 USD $ miles de millones

Año

PIB USD $ miles de millones

1970 1971 1972 1973 1974 1975

628,1 712,7 805,2 861 908,6 1032,3

1117,7 1097,2 1207 1349,6 1458,6 1585,9

Tasa de bonos de tesoro a 3 meses,% 6,458 4,348 4,071 7,041 7,886 5,838

1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

1163,7 1286,6 1388,7 1496,7 1629,5 1792,9 1951,9 2186,1 2374,3 2569,4 2811,1 2910,8 3071,1 3227,3 3339 3439,8

1768,4 1974,1 2232,7 2488,6 2708 3030,6 3149,6 3405 3772,2 4038,7 4268,6 4539,9 4900,4 5250,8 5522,2 5677,5

9,989 5,265 7,221 10,041 11,506 14,029 10,686 8,63 9,58 7,48 5,98 5,82 6,69 8,12 7,51 5,42

IPC 19821984 =100

38,8 40,5 41,8 44,4 49,3 53,8 56,9 60,6 65,2 72,6 82,4 90,9 96,5 99,6 103,9 107,6 109,6 113,6 118,3 124 130,7 136,2

a) ¿Están identificadas la función de demanda y la función de oferta?

Condición de orden Ecuación

K-k

M-m

Resultados

Identificabilidad

primera segunda

3-3 3-1

2-1 2-1

01

Subidentificada Sobreidentificada

Condición de Rango Ecuación

1

M

Y

primera segunda

− β 0   − α 0  

1 1

− α 1  

−β1  

R

P

− β 2   0

Identificabilidad Identificabili dad

− β 3   subidentificada 0

Sobreidentificada

En la condición de rango para ver si están identificadas o no procedemos de la siguiente manera: Ecuación 1: Como podemos ver está subidentificada al igual con los resultados obtenidos en la condición de Orden.

 

Ecuación 2: La matriz es [− β 2 ]  y su determinante es − β 2   ≠ 0 por lo tanto la ecuación está identificada, esto también se puede demostrar con la matriz [− β 3 ]  cuya determinante es − β   3 ≠0 y con esto confirmamos que la ecuación esta sobreidentificada.

b) Obténgase las expresiones para las ecuaciones para las ecuaciones de forma reducida para M y Y. Para ello procedemos de la siguiente manera: 1. Igualamos las funciones de la oferta y la demanda.

 β 0 +  β 1Y t  +  β 2 Rt  +  β 3 P   +  µ 1t  = α 0 + α 1Y t  + µ 2t 

 

 β 1Y t  − α 1Y t  = α 0 − β 0 − β 2 Rt  − β 3 Pt  +  µ 2 − µ 1 Y ( β 1−α 1 ) = α 0 − β 0 − β 2 Rt  − β 3 Pt  +  µ 2 − µ 1

Y t  =

α 0 − β 0  β 2 Rt   β 3 Pt   µ 2t  − µ 1t  − − +  β 1−α 1  β 1−α 1  β 1−α 1  β 1−α 1

Y t  = ∏ 20 − ∏ 21 Rt  − ∏ 22 Pt  + et 

∏ 20 =

α 0 − β t   β 1−α 1

∏ 21 =

 β 2 Rt   β 1−α 1  

 β 2 Rt     β 1 − α 1 u   − u1 et  = 2    β 1  − α 1

∏22 =

2. Reemplazamos el ingreso de equilibrio en la ecuación de demanda.  α 0 − β 0  β 2 Rt    β 3 Pt   µ 2t  − µ 1t    +  β 2 Rt  +  β 3 P +  µ 1t  − − +  β  α   β  α   β  α   β  α  1− 1 1− 1 1− 1     1− 1

d   M t  =  β 0 +  β 1 

 M t d  =  β 0 +  β 1α 0 − β 1 β 0 −  β 1 β 2 Rt  −  β 1 β 3 Pt  +  β 1 µ 2t  − β 1 µ 1t 

 β 1−α 1

 β 1−α 1

 β 1−α 1

 β 1−α 1

 

Luego se simplifica y reordena :

d 

 M t  =

 β 1α 0 − β 0α 1  β 1−α 1

−

 β 1 β 2 Rt   β 1−α 1

−

 β 1 β 3 Pt 

d   M t  = ∏10 − ∏11 Rt  − ∏12 Pt  + et 

 β 1−α 1

+

 β 1 µ 2t  − α 1 µ 1t   β 1−α 1

 

∏ 10 = ∏ 11 = ∏ 12 = et  =

 β 1α 0 − β 0α 1  β 1− α 1  β 1 β 2 Rt   β 1−α 1  β 1 β 3 Pt   β 1−α 1

 β 1 µ 2 t  − α 1 µ 1t   β 1−α 1

 

c) De acuerdo a la respuesta del literal a) estime, si es posible una o las dos ecuaciones y obtenga los parámetros estimados en su forma estructural. (Realice las estimaciones en E-views y SPSS) Debido a que la función de la demanda no esta identificada procedemos sólo con la función de la oferta, los resultados obtenidos en el programa SPSS con MC2E son: 

MODEL:

MOD_1.

Equation number:

1

Dependent variable.. M2 Listwise Deletion of Missing Data Multiple R R Square

,99781 ,99563

Adjusted R Square Standard Error

,99541 63,74123

Analysis of Variance: DF

Sum of Squares

Mean Square

1 20

18505872,3 81258,9

18505872,3 4062,9

4554,79410

Signif F =

Regression Residuals F =

,0000

------------------ Variables in the Equation -----------------Variable PIB (Constant)

B

SE B

Beta

T

Sig T

,615317 31,551627

,009117 30,706388

1,001118

67,489 1,028

,0000 ,3164

Correlation Matrix of Parameter Estimates

RESULTADOS: ˆ s = 31.55 ˆ   M    + 0.62Y  t  t 

ee = (31.55) (0.009) d) Estime las ecuaciones estructurales utilizando MCO. ¿Son comparables los resultados con los obtenidos en el literal anterior? Coefficients(a) Unstandardized Coefficients Model 1

B (Constant ) PIB TASA IPC

Standardized Coefficients

Std. Error

11,660

53,484

,428

,066

-24,527 9,209

t

Beta

Sig. ,218

,830

,696

6,519

,000

5,909

-,064

-4,151

,001

3,190

,315

2,886

,010

 

a Dependent Variable: M2

Coefficients(a) Unstandardized Coefficients Model

B (Constant ) PIB

1

Standardized Coefficients

Std. Error

37,662

30,535

,613

,009

t

Beta

,998

Sig.

1,233

,232

67,718

,000

a Dependent Variable: M2 No son comparables los resultados con los obtenidos en el el literal anterior ya que que ya que son sólo comparables cuando se trata de modelos recursivos, triangulares o causales y en este caso estamos con un modelo de ecuaciones simultáneas

e) Cuando no se presenta el problema de la simultaneidad las estimaciones de MCO producen estimadores consistentes y eficientes. Es por ello que se hace necesario aplicar alguna prueba para asegurarse de que el problema de la simultaneidad esta presente. Una prueba muy generalizada para tal efecto es la prueba de Hausman de simultaneidad. Aplique esta prueba (ver referencia en el texto de Gujarati) al presente modelo. Para aplicar la prueba de Hausman de simultaneidad procedemos de la siguiente manera: Paso 1. Efectuamos la regresión de Y  sobre  Rt  y Pt   para obtener vˆt  . ˆ  y vˆ  y se realiza la prueba t sobre el coeficiente Paso 2. . Efectuamos la regresión de la oferta de dinero sobre Y  t  t  de vˆt  , si este es significativo, no debe rechazarse la hipótesis de simultaneidad; de otra forma se rechaza. Con esto obtenemos los siguientes resultados:   ∧

∧

∧

 M  =  β 

0

+  β 1 Y    t  + β 2 v t 

∧

= 31,552 + 0,615

 

∧

∧ t 

ee = (27.637) (0.008)  M  Y 

+ 0,428

t 

(0.079) v

t= (1.142) (74.983) (5.451)

Ho= No hay simultaneidad Ha= Si hay simultaneidad = 5% =0.025 N=22 t(n-k) g.l=(22-3)=19g.l t(n-k)g.l=2.093 tc= 0,428 / 0,079=5.42 0,079=5.42

-2.093

2.093

5.42

INTERPRETACION: Con un 95% de confianza podemos decir que no existe suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no hay simultaneidad es decir se acepta la alternativa de que si hay simultaneidad

2. Para el modelo:  W t  = α 0 + α  1UN     t  + α 2 Pt  + u1t    Pt  =  β 0 +  β 1W t   +  β     2 Rt  + β 3 M t  + u 2t   

Donde: .

W  = Tasa de cambios de salarios monetarios UN  = Tasa de desempleo, % .

P = Tasa de cambios de los precios

 

.

 R = Tasa de cambio del costo de capital .

 M  = Tasa de cambio del precio de las materias primas importadas

a) Aplique la condición de orden y la condición de rango para verificar si las ecuaciones están o no identificadas Condicion de orden Ecuación

K-k

M-m

Resultados

Identificabilidad

primera segunda

4-2 4-3

2-1 3-1

2