ecuaciones paramétricas

 

INTRODUCCION

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil. En el uso uso está estánd ndar ar del del sistema sistema de coordena coordenadas das,, una una o dos dos varia variabl bles es (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son considera consideradas das como variables independientes,  mientras ue la restante es la variable dependiente, dependiente, con el valor de ésta siendo euivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. !s" por ejemplo la e#presión de un punto cualuiera

euivale a la e#presión

.

ECUACIÓN VECTORIAL NO PARAMÉTRICA $emos visto, ue si un lugar geométrico tiene una representación anal"tica, la cual es una sola ecuación ue contiene dos variables. !%ora veremos la representación anal"tica de una curva utilizando dos ecuaciones, ue se llaman ecuaciones paramétricas de la curva. &eciben este nombre auellas ecuaciones en ue las variables # y y, cada una separadamente, están e#presadas en función de la misma tercera variable. 'egn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general # * + (z) y * + (z) Es muy importante aclarar ue cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo

De la elipse.  Una elipse con centro en el origen de coordenadas y ue se interseue con el eje x  en a y -a, y con el eje y  en b y -b, verifica ue

Una e#presión paramétrica es

.

.

Un segmento de recta de 10cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P(x,y) situado sobre el segmento A B a 4cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta

Este problema nos %ace ver ue toda elipse como la ue acabamos de ver con semiejes a y b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramétricas # * a cos  y * b sen  'i la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son # * b cos  y * a sen 

De la circunferencia. -ara el caso de una circunferencia de radio a y parámetro !, también con centro en el origen. 'i P(x, y) es un punto cualuiera de la curva, las ecuaciones paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son onsiderando a P un punto cualuiera de la curva y a como el radio de la circunferencia, tendremos las ecuaciones paramétricas y * a sen  # * a cos  En este caso observamos ue el coeficiente a es el mismo, puesto ue representa el radio de la circunferencia.

Ecuación paramétrica de la circunferencia goniométrica. /a variable t   es el ángulo y sus puntos son (#, y) * (cost , sint ).Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r  verifica ue

Una e#presión paramétrica es

De la hipér!la. 0razamos dos circunferencias concéntricas con centro comn en el origen, de radio 1! * a , y de radio 12 * b y consideramos un punto -(#, y) cualuiera, segn la figura siguiente

3ue son las ecuaciones paramétricas de la %ipérbola %orizontal con centro en el origen. -ara obtener la ecuación rectangular de una curva a partir de las ecuaciones paramétricas, se obtiene normalmente eliminando el parámetro, mediante procedimientos y conocimientos vistos en álgebra y en la geometr"a y trigonometr"a.

ECUACIONE" VECTORIALE" PAR#METRICA" &eciben este nombre auellas ecuaciones en ue las variables # y y, cada una separadamente, están e#presadas en función de la misma tercera variable. 'egn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general # * + (z) y * + (z) Es muy importante aclarar ue cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos. En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a #, y, ue representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos as" determinados resulta una curva, ue es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también ueda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta. onsideremos una recta l en el espacio, sea un ! punto de l y paralelo a l.

Un punto

un vector

estará en la recta l si y solo si !- es paralelo a

, es

decir, para cualuier . 4bserve ue si , entonces ! * -, si colocamos un sistema coordenado de tal forma ue el origen 4, coincida con el punto inicial del vector

.

  Empleando vectores coordenados, la ecuación como

puede escribirse

(5)  /a ecuación (5) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l ue pasa por el punto ! y es paralela al vector 'i

,

y

.

, entonces

de la igualdad anterior se tiene ue (6)

/as ecuaciones (6) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l ue pasa por el punto ! y es paralela al vector

. !l darle valores a

un punto espec"fico. 'i en las ecuaciones (6) despejamos el parámetro

tenemos ue

obtenemos

-or consiguiente,

(7)

/as ecuaciones (7) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta ue pasa por el punto ! y es paralela al vector

.

Un plano ueda determinado si conocemos un punto ! del plano y dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre si,

y

.

'ea p un punto cualuiera del plano ue pasa por ! y es paralelo a los vectores y ( paralelos) el plano

no es mltiplo escalar de puesto ue y no son determinado por los puntos o, 8 y 9 es el conjunto de

todos los puntos ue son combinaciones lineales de

y

.

El plano paralelo a y contiene al punto ! puede verse como una traslación del plano %asta !. 2e esta manera

visto en términos de vectores coordenados es

  Es la ecuación vectorial del plano vectores no paralelos

y

ue pasa por ! y es paralelo a los

.

/as ecuaciones paramétricas del plano

Vec$!r P!sici%n & C!'p!nen$es (e un )ec$!r    'i un vector   tiene su origen en el origen de un sistema de coordenadas se llama vector posición. 'e llaman componentes del vector a las coordenadas del e#tremo del vector.

El origen del vector del gráfico anterior es el origen de coordenadas, el e#tremo del vector es el punto (:,7). -ara ese vector decimos ue sus componentes son (:,7) están indicadas, en el gráfico, por la longitud de los segmentos punteados.

Vec$!r )el!ci(a(

/a velocidad es una magnitud f"sica de carácter vectorial ue e#presa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. 'e representa por o . 'us dimensiones son ;/