Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

 

ECUACIONES EXPONENCIALES Recuerda que las ecuaciones exponenciales son aquellas a quellas en las que la incógnita aparece a parece en algún exponente. Vamos Vamos a estudiar tres casos distintos. En cada uno de ellos hay ejemplos resueltos, ejercicios para practicar y al final hay más ejercicios de los tres casos mezclados para estudiar el examen Caso 1: Se escriben los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base b ase y

se igualan los exponentes 

Ejemplos resueltos. resuelt os. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de d e ver las soluciones. 

1. 2 = 32 2. 2 − 5 = 59

5. 3 ++11 − 3 = 18 6. 3 · 2 ++22 − 5 · 2 = 56

3. 4 = 64

7. 2

4. 3

8.

 x

 x 

 x

 x 

+1 +1

+ +3 3

= 81

 x

−2

5

 x

+ 2 = 72

 x 

 x

 x 

 x

+5

 x 

−1

 x 

=

30  5 

Soluciones 1. 2 = 32 ⇒  2 = 25 ⇒  x = 5 2. 2 − 5 = 59 ⇒  2 = 59 + 5 ⇒  2 = 64 ⇒  2 = 26 ⇒  x = 6 3. 4 = 64 ⇒  (22) = 26 ⇒  22 = 26 ⇒  2 x = 6 ⇒  x = 3 +1 +1 4. 3 +1 = 81 ⇒  3 +1 = 34 ⇒  x + 1 = 4 ⇒  x = 3 +1 5. 3 +1 − 3 = 18 ⇒  3 · 3 − 3 = 18 ⇒  2 · 3 = 18 ⇒  3 = 9 ⇒  x = 2 +2 6. 3 · 2 +2 − 5 · 2 = 56 ⇒  3 · 22 · 2 − 5 · 2 = 56 ⇒  12 · 2 − 5 · 2 = 56 ⇒  7 · 2 = 56 ⇒    x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x 

 x

 x

 x 

 x 

 x

 x

 x 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

7.

2 = 8 ⇒  x = 3 +3 2 +3 + 2 = 72 ⇒  23 · 2 + 2 = 72 ⇒  8 · 2 + 2 = 72 ⇒  9 · 2 = 72 ⇒  2 = 8 ⇒  x = 3

8.

5

 x

 x 

−2

 x 

 x

 x

+5

−1

 x 

=

30  x 5  ⇒   5

 x

· 5−2 +

 x

5

 x

· 5−1 =

 x

 x

=

30 5  x 5  x   + 5 ⇒    5 25

30

 x

5 + 5 · 5 = 150 ⇒  6 · 5 =

⇒  

 x

 x

5 

150 ⇒  5 = 25 ⇒  x = 2  x

Ejercicios para practicar 7.

1. 3 = 27  x

2.

7

+1 +1

3.

5

−1

 x 

 x 

2

2

8. 3

 x

= 1 

9.

= 25 

= 8 

·

9 = 93 

25−

 x

2

=11  √  = 125 

 x 

5

+ +3 3

11. 3

+ +1 1

+3 +3

−1

= 39

12. 2

+ +1 1

+2 +2

−1

= 28

10.

4. 2 = 18  

−1

 x 

 x 

 x

5. 2

+1 +1

 x 

 x 

+2 +2  x

6. 6 = 1296 2 x

−1

 x 

= 14

 x 

 x

 x

 x 

 x 

 x

 

Caso 2: Realizamos un cambio de variable para reducir la ecuación a otra de segundo grado. Hallamos la solución para la nueva variable y por último deshacemos el cambio. Ejemplos resueltos. resuelt os. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de d e ver las soluciones. 

1. 22 − 5 · 2 + 4 = 0 +1 2. 4 − 3 · 2 +1 +8 = 0  x

3.

 x

 x

 x 

4.

2 + 21− = 3   x

 x

−1

1

 x 

2

+

2 −3  =  x 

5 

Soluciones 1. 22 − 5 · 2 + 4 = 0 ⇒  (2 )2 − 5 · 2 + 4 = 0. Hacemos el cambio z = 2 y obtenemos la 2 ecuación z  −  5z + 4 = 0 ⇒  z 0 = 1 , z 1 = 4 . Deshacemos el cambio 2 = 1 ⇒  x = 0 y 2 = 4 ⇒  x = 2. +1 2. 4 − 3 · 2 +1 + 8 = 0 ⇒  (22) − 3 · 2 · 21 + 82 = 0 ⇒  (2 )2 − 6 · 2 ++11 + 8 = 0. Hacemos el cambio z = 2 y obtenemos la ecuación z  − 6z + 8 = 0 ⇒  z 0 = 2, z 1 = 4. Deshacemos el cambio 2 = 2 ⇒  x = 1 y 2 = 4 ⇒  x = 2.  x

 x

 x 

 x

 x

 x

 x

 x

 x 

 x

 x

 x 

 x 

 x

 x

3.

 x

2 2 + 21− = 3 ⇒   2 + 22  = 3. Multiplicamos todo por 2 para obtener (2 ) + 2 = 3 · 2 . Hacemos el2 cambio z = 2 , llevamos todos los términos a la izquierda y obtenemos la ecuación z  −  3z + 2 = 0 ⇒  z 0 = 1 , z 1 = 2 . Deshacemos el cambio 2 = 1 ⇒  x = 0 y 2 = 2 ⇒  x = 1.  x

 x

1 

 x

 

 x

 x 

 x 

 x 

 x

 x

3

4. 2 −1 + 1 = 5. Primero transformamos la ecuación en 2 + 2 = 5. Multiplicamos todo 2 2 2 − por 2 · 2 para obtener (2 )2 + 16 = 10 · 2 . Hacemos el2 cambio z = 2 , llevamos todos los términos a la izquierda y obtenemos la ecuación z  − 10z + 16 = 0 ⇒  z 0 = 2, z 1 = 8. Deshacemos el cambio 2 = 2 ⇒  x = 1 y 2 = 8 ⇒  x = 3.  x

 x 

 x 

 x

3 

 x 

 x

Ejercicios para practicar 1. 2 · 2 + 4 = 80  x

2.

 x

 x

3. 9 − 6 · 3 + 81 = 0  x

4.

 x

1+9 =3  x

+1 +1

 x 

+3

−1  

 x 

 x 

 x

5. 4 + 25 = 3 · 2 ++22  6. 52 −2 − 6 · 5 + 125 = 0  x

 x 

 x 

5 + 51− = 6   x

 x   

 x 

7. 2 +  x

8.

5

−1

 x 

 x

1

2 x −2 

=5

=2+

3 

5 −2   x 

 

Caso 3: No podemos utilizar ninguna de las la s estrategias anteriores. En este caso, aplicamos logaritmos después de dejar un término en cada lado de la igualdad y despejamos la incógnita.

En general necesitaremos la calculadora para hallar el valor de x . Ejemplos resueltos. resuelt os. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de d e ver las soluciones. 

1. 3 = 2  x

2.

−1

3

3.

 x   

=2

 x 

22 = 51−2

4. 2

 x

 x 

 

 x   

 x

·

5 = 20  x

Soluciones 1.  3 = 2  x

 x

= 0.

⇒  x

−1

2.   3

log 3 = log 2

 x 

=2

 x

log 3

 x

(log  x (log

 x

⇒  

−1

 x 

⇒  

⇒  x

= log 2

 x

3 − log 2) = log 3

log 3 = x log 2 ⇒  x log 3 − x log 2 = 0 ⇒  x (log (log 3 −log 2) = 0 ( − 1) log 3 = x log 2 ⇒  x log 3 − log 3 − x log 2 = 0 ⇒  

⇒   x

⇒   x

log log 3−log 2 

=

1−2 x ) log 5 ⇒  2 x log 2−(1 −2 x ) log 5 = 0 ⇒   log 22 = log 51−2 ⇒  2 x log 2 = ((1 2 x log 2 − log 5 + 2 x log 5 = 0 ⇒  2 x (log (log 2 + log 5) = log 5 ⇒  x = 2(log 2+log 5) log

3. 22 = 51−2  x

4. 2

 x

·

 x

 x

⇒  

5 = 20  x

⇒  

10 = 20  x

 x

log 10 = log 20  x

⇒  

⇒  x

= log 20.

Ejercicios para practicar 1. 4 = 61−  x

2.

 x   

−1

53

 x 

= 31−2

3. e x −3 =

4. 3

 x

·

 x   

+1 +1 

2

 x 

7 = 22  x

Ejercicios para estudiar para el examen. Hay ejercicios de los tres casos mezclados 1.

4

+ +3 3

 x 

=

2− x  

8 2. 3. 4.

+1 +1

 x 

=

9.

31− + 32− =  x

 x

4 

−5 

 x 

5 x

3

 x 

 x 

+2 +2

 x 

25

+2

−1

 x 

7.

( 2)

8.

5

 x

 

− 2

−3

 x 

= 70 

+1 +1

 x 

6. e

1−5 x  

=7 ( )2 9 −1 = 31 

2

53

5.

5  +1 +1

 x 

− 23− = 0   x

8  12  x   

=

+5 +5

−2

 x 

−151 = 0 

2

10. 2 · 5 = 0,1   11. 2 · 3 = 81 12. 7 ++22 − 7 ++11 + 7 = 43  x

 x

 x

 x

 x 

 x 

 x

 

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Recuerda que las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como la base o el argumento ar gumento de un logaritmo. Para resolverlas utilizamos las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en ambos lados de la igualdad nos aparezca un único logaritmo

con la misma base e igualamos los argumentos. Ejemplos resueltos. resuelt os. Te recomiendo que los intentes por tu cuenta antes de d e ver las soluciones. 

1.  log x + log 5 = 2

2 3. ( x   x  − 4 x + 7) log 5 + log 16 = 4 2 

2.  log x + log( x log( g( x + 1)  x + 3) = 2 lo

log(16− x )

4. log(3 x −4)  =

2 

Soluciones 1. log x + log 5 = 2 ⇒  log 5 x = log 102 ⇒  5 x = 100 ⇒  x = 20 2 2. log x + log( x og( x + 1) ⇒  log x ( x + 3) = log( x + 1)2 ⇒  x ( x  x + 3) = 2 llog(  x + 3) = ( x + 1) ⇒   2

 x 

+ 3 x = x 2 + 2 x + 1

2

3. ( x 

2  x 

5

⇒   x

= 1 

− 4 x + 7) log 5 + log 16 = 4

−4 x +7 =

54 ⇒  x 2 − 4 x + 7 = 4

log 16 · 5

+7 7 −4 +

 x 2  x 

⇒   

2

⇒  x 

− 4 x + 3 = 0

= log 104 ⇒  x

= 1,

16 · 5

 x

⇒   

x

+7 7 −42 x +

= 104

⇒   

=3

2 

4.

= 2 ⇒    log(16− x 2 = 2 ) = 2 log(3 x 2 ) = log(3 x       − 4) ⇒    log(16− x   − 4)2 ⇒    16 − x (3 x − 4)2 ⇒  16 − x 2 = 9 x 2 − 24 x + 16 ⇒  8 x 2 − 24 x = 0 ⇒  x = 0, x = 3 log(16− x ) log(3 x −4) 

Ejercicios para practicar 7.  2Lx − L5 x = L2 

1.  log 16 = 2  x

2.  log x + log 80 = 3 3. log(22 − x ) = −1 + log x 4.

2

2Lx + L( x  + 2) = L3 

5.  3 log x = 2 log x + log 3 6.  log x 2 − log 3 = log x + log 5 Ejercicios para el examen 1. 1 log2 x = −3 3 

2.  log 100 − log 25 = 2 3.  log x = 1 + log(22 − x )  x

− 3) + L(5 − x ) = L5  2 log(5 x − 4) − log 5 = log( x  x + 4)

4. L(2 x

5.

 x

8.  2 log x

= 4 + log 1

 x   

 

9. 3 log(6 − x ) − log(72 − x 3) = 0 √

√

10. log 3 x + 1 + log 5 = 1 + log 2 x − 3 √ 3 

11.   log log  

√ 3 

log    x  − log 2 

log(10− x )

12. log(5−2 x )  =

4 =  13   

2  √

6. log 2 + log( x − 3) = log 2 x  x

( 2 )

7. 2 log x√ = log − 1 √ 8. 2 log 3 x − 1 − log 2 x − 3 = 1 − log 5 9. 3 − log 125 = ( x 2 − 5 x + 9) · log 2 10. log(28 − x 3) − 3 log(4 − x ) = 0