Ecuaciones Elite

 

ECUACIONES rela laci ción ón de ig igua uald ldad ad 1) De Deffinic iniciión: Es la re que se establece entre dos expresiones matemáticas.  A (  x, x , y , z , .....)= B ( x,  x , y , z , .... )

2) Con Conjun junto to soluci solución ón (C.S (C.S.) .): Es la reunión de todas las soluciones que presenta la ecuación.

Todo polinomio de grado n > 1 con coeficientes numéricos tiene al menos una raíz compleja.

5) Ecu Ecuaci ación ón d dee Pr Prime imerr Grad Grado o ax ±b =0   ; a ≠0   ∧   b ∈ R    

Análisis y Discusión de la Ecuación: ax +b =0 ax +b =0

1. 3) Cla Clasif sifica icació ción n de las ecuacio ecuaciones nes según según sus soluciones: a) Ec Ecua uaci ción ón Co Comp mpat atib ible le:

a ≠0   ∧   b ∈ R

  La Ecuac Ecuación ión es Compat Compatible ible Determinada

 

E. C. Determinada: C.S. limitado (x-3) (x + 5) = 0

 

E.C. Indeterminada: C.S. ilimitado

a =0

  ∧

  b= 0

  La Ecu Ecuaci ación ón es Com Compat patibl iblee Indeterminada

 

a =0

ox = 0

4) Ra Raíz íz d dee un poli polinom nomio io: Sea: P(x) = a 0 + a 1x + a 2x2 +……….+ anxn =0 ⇔

P(  )  0

 



Observación

Si: 3

 

x=3 x=1 x = -5

⇒

⇒

⇒

raíz de multiplicidad 2 raíz de multiplicidad 3 raíz simple

Teorema Fundamental del Álgebra

 Δ =b

2

− 4 ac , discriminante.

 Δ > 0 ⇔ 2 raíces reales diferentes  Δ =0 ⇔

   

o

   b    x  b  b  4a   c  1    2a  x1,2     2a    x  b    2 2a

Donde:

Si: ( x −3 ) ( x −1 ) ( x +5 )= 0

grado

2

 6

2

  b≠ 0

6) Ecuación de segundo Cuadrática: 2 Sea: ax +bx +c =0

ox = 5

es raíz de P(x)

  ∧

  La Ecuaci Ecuación ón es Incom Incompatib patible le o Inconsistente

b) Ecu Ecuaci ación ón Inc Incomp ompati atible ble: C.S. = 

α 

ax +b =0

 

3. x –  – 3 = x – 3

ax +b =0

 

2.

2 raíces reales iguales (solución

única)  Δ < 0 ⇔ 2 raíces imaginarias conjugadas

7) Ope Operac racion iones es con raí raíces ces 2 Sea: ax +bx +c =0   1.Suma de raíces :

 x 1 + x 2=− b a

 

 x 1 . x 2 =

2.Producto de raíces: 

 x1

c a

a2 x b

 x 2 

2

1

de 1 −b + =

inversas

a1

de

raíces:

=

a2

⇒

c

 x 1  x2

+ b2 x + c 2= 0

 4bc 

a 3.Diferencia de raíces:   x1  x 2   y   0 será positivo.

4.Suma

2

b1

=

b2

a1 x + b1 x + c 1=0

6.Ecuación con una raíz nula

a2 x

2

1

a

a

2

( a c − a c ) = ( a b − a b )( b  c − b c ) 1

1

1

 

1

2

n −2

1

1

2

2

ax n  +   bx n−1   +   cx n− 2   = 0 ¿ 2

por 

  ; y a  ( II )   por x

ax n  +   bx n−1  +   cx n−2   = 0 ¿ 1

1

2

2

1

1

2

2

1

;

a0≠0

( )(

n −2

2

1

2

)(

 

Sumando miembro a miembro: → aSn + bS n

−1

de

 r2  r3  ...  rn   

1

2

)

 

+ cS n− 2 =0

8) Ecu Ecuaci acione oness equiva equivalen lentes tes 2 a1 x + b1 x + c 1=0

a0

 r1.r3  r1.r4  ...  rn 1.rn    

 r4 .r5 .r6  ...  rn  2 rn 1.r n    

a2 a0

a3 a0

Suma de product Suma productos os cua cuater ternari narios os de las raíces:  r5 .r6 .r7 r8  ...  rn  3 r n2 rn 1 .rn   

a4 a0

Producto de las “n” raíces: r1.r2 .r3 .r4 .r5 .r6 .. .....rn 1.r n  

 

a1

raíces: de productos ternarios de las Suma raíces:

r1.r2 .r3 r4

 

raíces:

Suma Su ma de pro produ duct ctos os bina binari rios os de la lass

r1.r2 .r3

2

2

Suma r1

  queda:

 a x n+  xx n +b x n−1+ x x n−1 +c x n−2+ x x n−2 =0 1

 

r1.r2

Multiplicando  x

1

P(x) = a 0 x n + a1x n-1 + a 2 x n-2 +...+ a n-1x + an = 0

 

+ bx1 + c= 0 →( I  I ) ¿ ¿ ¿ ¿

(  I I )   por

2

En Forma General:

k 

2

Dado qu Dado que e  x  ∧   x  son las raíces de la ecuación; se tiene:

{

2

10)Teorema de Cardano: Sea:

2

S k = x k + x

2

a2   c2

 

a1   b1 b1   c1 |.| | a2   b2 b2   c2

| =|

⇒

9.Ecuación General de Recurrencia potencias cias de la lass raíces en gene general ral si :   x n + x n   poten

ax

|

2

2

  ax 2 + ( a + c ) x + c =0

1

+ b2 x + c 2= 0 a1   c 1

⇒

8. Ecuación con una raíz igual a 1  x 1=1   ∧   x 2 ≠1   → a + b + c =0 ∴

2

  ∴   c= 0

7.Raíces reciprocas o inversas:  x  x = 1   ∧   c = a   1

Parcialmente

2

2

−b c  x 1=0   ∧   x 2 ≠0 → x 2=   ∧ x 2 =

c2

9) Ecuaciones equivalentes (Con una raíz en común)

  5.Raíces opuestas (Simétricas)  x =− x   →  x + x =0   ∴   b =0   1

c1

 n

  1

an a0

Sea una Ecuación de Segundo Grado:

 

a0 x

 

2

 x1  x2

 

 Δ > 0 ⇔ 3

+ a1 x +a2=0  y sea:  x1  x2 

 sus raíces,

 x 1 + x 2=

−a 1

⇒

a0

a0 x

3



 Δ =0 ⇔

a0

 

 x 1 x 2 x 3=

 

Si: La

ax 4  bx 2  c  0 ; abc  0  x

− a1

a0

2 1,2



b  b2  4ac 2a

Donde:

 Δ =b

;x

2 3, 4



b  b2  4ac 2a

2

− 4 ac , discriminante.

a2 a0

 x1 

−a3

b   2a

; x3 

b   2a

a0

 x2   b   ; x4   b   2a 2a

Propiedades según CARDANO – VIETE:

ax 3  bx 2  cx  d   0

 x  y 

3 ra raííce cess re real ales es dos dos de ellas llas

Es una ecuación Cuártica de la forma:

   

Ecuaciones Cúbicas Sea:

dos

Ecuación Bicuadrada

2

 x 1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 =

y

 Δ < 0 ⇔ 3 raíces reales y diferentes.

  a  x1.x2  2 a0 ;

y sea, x1, x2, x3 sus raíces  

real

iguales.

+a1 x + a2 x+ a3 =0

 x 1 + x 2 + x 3 =

una

imaginarias.

Sea una ecuación de Tercer Grado o cúbica:

 

raíces

 x  x  x  x   0 1. Suma de Raíces: 1 2 3 4 2. Suma de productos Binarios:

b

3a

ecuación

se

transforma

en:

 x1 .x2  x3 .x4 

 x  px  q  0 3

 u  3          discri min ante  2 2       q   p3   q   v  3       4 27  2  q

 Aqui presentamos el valor de " w "    1  w  w 2  0   x1  u  v       2    1  1  4  1  1   x2  uw  vw 2    w   1,2  2  1    x3  uw 2  vw        1  3 w 1,2   2  

Donde: discriminante. Si:

 b a

 x1.x2 .x3 .x4  

 c a

3. Productos de Raíces: EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un Una a ecu ecuac ació ión n com compa patitibl ble: e: a) Tiene 2 incógnitas b) No tiene solución

c) Tiene un número infinito de soluciones d) Tiene un número finito de soluciones e) c y d 2. Tod Toda a ecuac ecuación ión lineal lineal pres present enta: a: a) 1 solución b) soluciones c) 3 soluciones e) Ninguna solución

d) 4 soluciones

2

 

3. Una ec ecuac uación ión se lllam lama a inc incompa ompatib tible le si: si: a) Tiene infinitas soluciones b) Tiene 3 incógnitas c) Tiene un número finito de soluciones

b) b2

a) b d) –b2

c) –b

e) b – 1

8. Pa Para ra que va vallor ores es de “x “x”” se ve veri riffica ica la siguiente igualdad:

d) Es irracional  x  b

e) No admite solución

 x  b

4. Dad Dada a la ecuaci ecuación ón param paramétr étrica ica en en “x” “x”:: 2 2

( a +a−2) x=a −3 a+2

Se afirma que: a) Si, a = 1, la ecuación es compatible determinada b) Si, a = 2, la ecuación es compatible indeterminada

x a x a

xb



xb

a) a + b

b) a – b

d) –ab

e) 1

ad − bc b −d

a)

c) d)

d d

ad bc

10.Ind 10 .Indic icar ar una una de las las soluc olucio ione ness de la ecuación: 1 a



1



b

1



x

b) ab

b) Ecuación fraccionaria.

d) a

e) 1

racional

1 a b x

c) a – b

11.Resolver:

c) Ecuación trascendente. d) Ecuación irracional. e) N.A. 6. Re Reso solv lver er lla a ec ecuac uació ión: n:

 

 a b c  a b c  a b c   ab c    x  x        a  b d   a  b d    a  b d    a  b d    a cd a cd a c d a c d       b cd b cd b cd b cd  

(x + 1)2 + x(x + 4) = x(x + 1) + (x + 2)(x + 3) b) 1

c) 2

  a)

 x 

a

b)

b

  d) x = 1

d) Incompatible e) 4 7. ¿Q ¿Qué ué val valor or deb debe e toma tomarr “a “a”” para para qu que e la ecuación incompatible?

;  x  0

a b

e)

a) 0

a  ( x − a )= b ( x − b ) a b

x a

c) ab

b)

a) Ecuación algebraica racional entera.

a) 0

x a

ad + bc b+ d

5. Se le lllam lama a ecua ecuació ción n poli polinomi nominal nal a la la::

algebraica



9. ¿Qu ¿Qué é valor valor de “x” sati satisfa sface ce la igual igualdad: dad: 2  x  ax  b x  a  2  x  cx  d x  c ?

c) Si, a = -2, la ecuación es incompatible d) Si, a = 1, la ecuación es compatible determinada e) Si, a = 3, la ecuación es incompatible



;

sea

 x 

c d 

c) x = -1

e) x = bc

12.Resolver: 







( x 3)( x 5) ( x 4)( x 2) 1 5( x  5)( x  7)  4( 4( x  6)( x  4)   20 13 11

a)

 x   

4

b)

 x   

2

c)

 x 

7 3

 

d)

 x   

13

e)

4

 x 

17.La suma de las raíces de la ecuación:

7 4

a

n

2ma  2mx n

13.Resolver e indicar la solución:



b

n



2mb  2mx n

1 m

a n  bn  x  2  2 x  5 

 

x  2  3 2x  5  7 2

a) 7

b) 13

d) 5

e) 16

c) 15

m( x  3)  2n



1

1



n( x  3)  2m 0, 75 (n  m)( x  5)

9m 11n

3m  n

x  2n  m



4, 5 2 x  3(m  n)

b) -2n

c) -3m

d) –m

2

1  3x  1 

2

8

      5  5 x  1  3  3x  1  15

d) 9m 11n

c) 3n  m

a) 2 b) – 2 c) 1

3n  m

d) -1 e) 0

20.Luego de resolver la ecuación:

9n 11m

2

  x  5   x  3  x  2   x  10    8   3   x  6   x  4  5  x  7   x  5 15

Señalar el número de sus soluciones: a) Ninguna b) 1

Calcular: R = 10 ( x  1) c) 7

d) 9

e) 10

 x  1 a  b 1  1  x  a  b x  a  b

a b 1

e)

a 1 b

b 1

d) 3

 x 

x  ( a  1) 2  (a  1) 2

 x 

2

x   a  1   a  1

a  1 a) 

a

b)

c) 2

e) 4

21.. Pa 21 Para ra todo todo “a “a”” no po posi sititivo vo,, en encu cuen entr tre e aqu que el valor de “x “x”” que justifique que la igualdad:

16.Resolver la ecuación:

a b

2

2 2   x  a   x  a   a b   x  a    x  b    x  b    b  a   x 2  b 2   ; a  b       

15.Luego de resolver la ecuación:

d)

1

Dar como respuesta una solución obtenida:

1  5 x  1 

3n  m

9n 11m

a 1 b

 x  2m  n



19.Indique el producto de las soluciones de la ecuación:

b) 3n  m

a) 9n 11m

a)

a n  bn

a n  bn

a) -2m   e) –n

m n

a) 3 b) 5

b)

1

Indicando una de las soluciones obtenidas, sabiendo que:

e)

a)

n n  a b c)

a n + bn

e) 2n d) 2 18.Resolv 18. Resolver er la ecuación: ecuación:

14.Resolver la ecuación: 1

n

c)

d) 2a

 2

2

a  1 b) 

a

 2

c) a + 1

e) 4a

22.Ca .Callcular “m “m”” de tal maner era a que la ecuación cuadrática en “x”:  m  2  x2   3m  2  x  4m 1 0 admita raíces iguales negativas.

 

a) 4

b) 6 e)

c) 5

d)



2 7

27.Cuántas soluci 27.Cuántas soluciones ones ofr ofrece ece la ecu ecuació ación n irracional: 2 x  3x  5  2 x2  3x  5  3x 2

2 6  y  7

a) 4

b) 3

23.En 23. En la ecuación:   P(x) = 2ax2 + (3a - 1) x + a + b = 0

a)

   1 b  1;   2 b)

   1 b  1;   2 c)

d)

2

b   1; 2

 +

 x33

 x33

 = -3

= -4 b) x3 – 6x2 d)

e) x3 + 18x2 – 22x + 12 = 0 29.Para qué valor de “p”, la ecuación: 3 5 p 2 x  2( p  1)( p  1)   p (13x  7)  2 x

4

es absurda

y dar una solución b)

 +

 x23

2

+  x2  +

c) 2x3 + x2 + 10x – 24 = 0 6x3 + 12x2 + 21x + 34 = 0

  x  a    x  b  41 2   a  b 2 2   x  a    x  b  20

a)

 x1

x1 + x2 + x3 = -2

a) 3x3 + 10x2 – 11x + 6 = 0 + 17x – 21 = 0

24.Resolver por artificios:

a  3b 2

1 2

x1raíces , x2 y x3 verifican las relaciones:

 x13

   1 b  1;   e)  2 4

d) 1

28.Formar la ecuación de 3er grado cuyas

calcule “b” de modo que exista un sólo valor de “a” que permita que las raíces de aquella ecuación sean iguales. b   1; 2

e)

c) 2

a  3b 2

a)

3b  a

c)

 p  

2 3

2

d)

3a  b

 p   



 p  

 

b)

 

e) A

1 5

 

c)  p

5 2



B

2

d)

e) 3a – b 2 x  5  x  1  8

25.Resolver: a) 10 362 17 e) 5

b) 10 c) 362



d)

a) 3 b) 4

señale el valor de: (n + 1) -2

d) 6

e) 7

1

1

  b)

3

9

  c) 1

1 25

c) 5

31.Un 31 .Un pr prof ofes esor or dict dicta a un una a ec ecua uaci ción ón de segundo grado a sus alumnos. Uno de ellos se equivoca en el término independiente y obtiene como soluciones 9 y 3. Otro alumno se equivoca en el

26.Siendo “n” la solución de la ecuación:  x  3  2 x  5  2 x  1  3x  1

a)

30.Halla enmodo la ecuación: x2 – 2nxel+valor n2 – 4de= “n” 0 de que una de las raíces aumentada en 2 sea el triple de la otra y que ambas sumen un valor positivo.

 

e) Hay dos respuesta

d)

coeficiente del soluciones término de primer obtiene como -7 y -5.grado ¿Cuály fue la ecuación dictada?

 

a) x2 + 6x – 27 = 0 27 = 0

b) x2 – 6x –

c) x2 + 12x + 35 = 0 + 18 = 0

d) x2 – 12x

 

El sistema es indeterminado a1 a2

b1 b2

=

c1 c2

 

;

Tiene

infinitas

soluciones.  

e) x2 – 12x + 35 = 0

El sistema es inconsciente a1

32.La gráfica de una parábola, dada por: F(x) = x2 – mx + m + 15 es como se

=

a2  

=

b1 b2

≠

c1 c2

 ; No tiene solución.

De acuerdo al tipo de ecuaciones:

muestra en la figura.  Y

Sistemaa de Ecu Sistem Ecuaci acion ones es Lin Lineal eales: es:  estos sist sistem emas as es está tán n fo form rmad ados os por por ec ecua uaci cion ones es lineales.

2

Hallar: m  – m + 1 a) 92

Ejm:

b) 91 X

c) 90

 ì 2 x + 4y  = 12  ï   ï   ï  í   ï  3 x - 6y  = 8  ï   ï   î   

d) 89 e) 88 33.¿Cuántos valores enteros de “c” hacen que las raíces de la ecuación: 3x 2 – 10x + c = 0 sean positivas? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 34. En la ecuació 34.En ecuación n en “x”: X2 + (2k + 5) x + k = 0 se sabe que una raíz excede a la otra en 3 unidades, entonces “k” es igual a: a) -3

b) 3

c ) -2

d) 2

e) 4

Sistema de Ecuaciones Es el conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas, que se verifican simultáneamente para ciertos valores asignados a sus incógnitas. Existen dos tipos de sistema de ecuaciones:  

De acuerdo a la solución:

El sistema determinado si a1 a2

≠

será

compatible

b1 b2

Sistemas de Ecuaciones no lineales: estos son aquellos que por lo menos uno de sus ecuaciones no es lineal.

ü ï   x2 + y 2 = 16 ï   állgebraic Siste tema á raico o polinomial ýSis   x + y = 5 ï   ï   ï  þ

 x + y  = 8   ï  ü ï   x + 3 y + 12    ï  ï   ï  Sist iste ema á lgebra raico ico nopolinomial ý  x - 1 y   ï  + =  1  12   2 ï  ï   x + 3 y + 12    ï  ï  þ ü log x - 2 = 7y   ï   ï  Siste Sis tema  no a lgebraico(tra tras scende ndenta ntal) ý    x  y  = 5 ï   ï  þ

MÉTODOS PARA RESOLEVER UN SISTEMA LINEAL

 ì a1x + b1y = c1  ï   ï  í   ï a2x + b2y = c2  ï   î   

 ì 2 x + y - z  = 2  ï   ï  í   ï  3 x   - 2y - z = 6  ï   î 

 ; Tiene solución Única.

Para Par a re resol solver ver un sist sistem ema a de ecuac ecuacio iones nes pued ede e utilizar arsse uno de los métodos dos siguientes:

 

}∑

 M  .  M  A. .:19 x=38 ¿ 9 x+6 y=48 ¿ ¿ ¿  M 

a) Por reducción b) por sustitución c) por igualación

å M .A.M = sig ignifc nifca a su sumando ndo

d) por determinantes.

mi embro a mi embro.

 A) Método de Reducción: Consiste este método en seguir, multiplicando por núm número eross con conven venien ientes tes,, que una mi misma sma incó incógn gnitita a teng tenga a co coef efic icie ient ntes es op opue uest stos os en ambas ecuaciones. Sumándolas después, se obtiene una ecuación con una sola incógnita. Resu Re suel elta ta es esta ta ec ecua uaci ción ón y lleva llevand ndo o el val valor  or  hall allado ado a cua cualq lqui uier era a de la lass ecu cuac aciiones ones primeras, se obtiene el valor de otra incógnita (Este método se emplea con mas frecuencia)

38

 x =

19

=2

 

 

 x = 2

Reempl Reem plaza azamo moss e ell vval alor or de x = 2 ; e en n la la ecuación (1):

3x + 2y = 16 3(2) + 2y = 16 6 + 2y = 16

1. Ejemplo:  Resolver el sistema:

{3 x+ 2 y= 16...............( 1) ¿¿ ¿¿

 

10

Resolución:

 

Decidi Deci dimo moss elim elimin inar ar vari variab able less “y “y”; ”; pa para ra cons co nseg egui uirl rlo o multi ultipl plic icam amos os la pr prim imer era a ecuación ecuaci ón por 3 y la segund segunda a ecuación por 2, obteniendo así el sistema equivalente:

por (3)

9x + 6y = 48…...… (3)

2

=5

  

y=5 .

Rpta:  El conju conjunto nto soluci solución ón del sist sistema ema es: C.S = {2, 5}

2. Resolver

el

sistema:

{3 x+ 2 y= 16...............( 1) ¿¿ ¿¿

  5x – 3y = -5 10x – 6y = -10…..... (4)

Sumamos miembro ecuaciones (3) y (4):

 y =

Otra forma:

  3x + 2y = 16

  por (2)

2y = 10

a

miembro

Resolución: las

Decidi Deci dimo moss elim elimin inar ar la vari variab able le “x “x”, ”, para para cons co nseg egui uirl rlo o mu mult ltip iplilica cam mos la pr prim imer era a ecuación porasí5 el y la segunda ecuación por -3, obteniendo sistema equivalente:

 

 

3x + 2y = 16 por (5)

 

valorr de “x valo “x”” hal halland lando o en la ecu ecuac ació ión n explicitada, con lo que se obtiene el valor  de “y”.

15x + 10y = 80…… (3)

5x – 3y = -5 por (-3)

3. Eje Ejemp mplo: lo: Res Resolv olver er eell sis sistem tema: a:

{ x x − y=−1...............( 1) ¿¿ ¿ ¿

-15x + 9y = 15…... (4)

  Sumamos miembro ecuaciones (3) y (4):

a

miembro

las

 M  A. M .  .: 1 9 y=95 ¿  x15 +1010 y=80¿}¿ ¿ ∑ M 

Resolución: 1) En la primera primera ecuaci ecuación ón despej despejamos amos “y”, obteniendo: y = x + 1…… (3) 2) Sustituyendo “y” en la ecuación (2):

95

 y =

=5

       y = 5 

3x + 2(x + 1) = 12  

19

10

5x = 10  x =

Reempl Reem plaz azam amos os el va valo lorr de y = 5 ; en la ecuación (1)

5

 3x + 2x + 2 = 12





=2

    x = 2 . 3) Reemplazamos el valor de: x = 2 ; en la ecuación (3):

3x + 2y = 16 3x + 2(5) = 16 3x = 6 6

 

x=  

3

=2

 

x=2

 y =2+ 1

    y = 3



Rpta: El conju conjunto nto soluci solución ón del sistem sistema a es: C.S = {2, 3}

Rpta: El conjunto conjunto soluci solución ón del sistem sistema a es: C.S = {2, 5} B) Método de Sustitución: De una de las ecuaciones del sistema se desp de spej eja a un una a vari variab able le o incó incógn gnitita, a, po por  r  ejemplo la “y”; se sustituye la expresión que se obtiene en la otra ecuación, con lo que qu e se obt obtiene iene otra otra ec ecua uaci ción ón en “x “x”. ”. Resu Re sultlta a est esta a ec ecua uaci ción, ón, se su sust stitituy uye e el

C) Método de Igualación: Cons Co nsis iste te este este méto método do en de desp spej ejar ar un una a misma variable enobtenidas, las ecuaciones igualar  las expresiones con loe que se elimin elimina a una inc incógni ógnita, ta, obteni obteniend endo o así una tercera ecuación.

 

Se resu resuel elve ve es estta ult ultim ima a ec ecua uacción ión y se obtiene obtie ne el valor de un variable; el valor de la otra otra se hall halla a po porr susti sustitu tuci ción ón en cu cual alqu quie ier  r  ecuación del sistema. Ejemplo:

Resolver

el

Para resolver un sistema de dos ecuacione ecuacioness de pr prim imer er gr grad ado o co con n do doss var aria iabl bles es po por  r  dete de term rmin inan anttes es,, nec eces esiitamo tamoss co con noc ocer  er  previamente dos conceptos fundamentales: El de matriz y el de determinantes.

sistema:

Método de GABRIEL CRAMER.

{  88 x−2 y= 20...............  I ( I  ) ¿ ¿ ¿ ¿

Para Pa ra unconsist sidos stem ema a de do doss ec ecua uaccione ioness lineales incógnitas.  ì a1 1x + a12y = b1  ï   ï  í   ï  a   x + a22y = b2  ï   î  21

Despejamos “y”, en cada ecuación:

De la ecuación (I):

 y =

 

2

 

13−3 x

 y=

a   b  ΔY =| 11 1| a21   b2    Δ Y  Y =  Δ

2

De la ecuación (II):

Igualamos las segundas partes, obtenemos:

8 x

− 20

− 20= 13− 3 x ; tra transp nsponemo onemoss tèr min  os : 8 x + 3 x = 13 + 20

8 x

11 x

 X =

 ΔS

 

;

S

Para un sist Para sistem ema a de tr tres es ecua ecuaci cion ones es lineales con tres incógnitas.

= 33   x = 33 = 3 11

 

∴

  X = 3

 ì  ï  a   x +a y +a z = b  ï  11 12 13 1  ï   ï   ï  í a21x + a22y + a23z = b2  ï   ï   ï  a   x + a32y + a33z = b3  ï   ï  31  î 

Reempl Reem plaz azam amos os el va valo lorr de x = 3 ; e en n lla a primera ecuación del sistema:

b1 a12 a13

a11 a12 a13

D x = b2 a22 a23

D S = a21 a22 a23

8x – 2y = 20 20

4

4 = 2y

b   a12  Δ X =| 1 | b2   a22 ;  Δ X 

− = 13 3 x ; simplificando los deno min adores : 2

2

a  a  Δ S =| 11 12 | a21   a22 ;

8 x −20

 



2

 8(3) – 2y = 20



= y

 24 – 2y =



a31 a32 a33

a11 a12 b1

D y = a21 b2 a23

D z = a21 a22 b2

      y = 2

S

;

;

a31 a32 b3

 Δ Y 

 Δ X   X =  Δ

D) Método por Determinantes: Determinantes:

b3 a32 a33

a11 b1 a13 a21 b3 a33

Rpta: El conjunto conjunto soluci solución ón del sistem sistema a es: C.S = {3, 2}

;

;

Y =  Δ

S

;

 Z  =   D Z 

DS

 

1x – 2y – 1z = 0 ………

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

1. Si  Δs= 0   Δx≠0   Δy ≠0   El sistema sistema será incomp incompatibl atible e o absurdo absurdo,, no tiene solución

(3)

El método de Sarrus: consiste en añadir las 2 primeras filas y luego hallar la determinante; a través de la suma de los productos (de elementos) de las diagonales pr prin inci cipa pale les, s, meno menoss el pr prod oduc ucto to de cada cada diagonal secundaria. Por el método de Cramer , obtenemos:

2. Si  Δs= Δx= Δy=0   El sistema será compatible indeterminado, tiene un número infinito de soluciones

  ;  Aplicamos el método de Sarros en el numerado y denominador.

3. Si  Δs ≠ 0   ; Δx ≠ 0   ; Δy ≠ 0   El sistema será compatible determinado, tiene solución única.

Para el numerador: Ejemplo: Resolver el sistema

2x + y + z = 1…………

(1)

3x + 2y + 2z = 1……… (2)

1

1

1

2

2

0

)+ ( 0 )−( 0 )−(− 4 )−(−1 )=1   −2   −1 =(− 2 )+(−2 )+(

1

1

1

1

2

2

Para el denominador:

x – 2y 2y – z = 0… 0………… ……… (3)

1

1

1

1

2

2

0

Resolución: El sistema dado, se puede escribir así:

2x + y + z = 1 … …… ………

1

(1)

  −2   −1 =(− 2 )+(−2)+( 0 )−( 0 )−(− 4 )−(−1 )=1

1

1

1

1

2

2

Luego:

 x =

1 1

⇒

 

∴   x =1

Para la variable “y” procederemos de igual 3x + 2y + 2z = 1 ………

(2)

modo como se ha hecho para la variable “x”.

 

 y =

2

1

1

3

1

2

1

0

  −1

2

1

1

3

2

2

 y =

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 

2

  ⇒   ∴   y =2

1

  −2   −1

1

Para la variable “z”, hacemos igual como los casos anteriores.

35.Determinar el valor de “a” de manera que el sistema indicado sea inconsistente.  x  ay  9 2 x  3 y  10 a)

 z =

2

1

1

3

2

1

  −2

0

2

1

1

3

2

2

1

1

 z =

−3 1

1 2

1 3

b)

 

c)

3 2

d) 3

e) 5

36.Determinar los valores de “n”, para que el sistema:

  ⇒   ∴   z =−3

5 x  7  ny n

  −2   −1

5

 x  y 

9 5

Tenga solución única Luego el conjunto solución del sistema es:

S ={1 ;   2 ; −3 }

[

 

12

a21   a22

 

1

=

b2

[

a11   a12 a21   a22

 ]

[]

 X = ;

 x  y

[] b2

[]

[



13 x  ny  17 7 y  nx

;

 ] [  ]

a11   a12

a21   a22

−

b1 b2



51

b, b Es:    

a) 2

La solución del sistema se obtiene así: 1 =

e)

38.P .Pa ara qué valor de “n” n”,, el conj onjunt nto o solución del sistema:

b1

 x  y

 R   0,1

b) 3  7  c)1   e) 4  1

a) 3 d) 2  1

 ][ ] [ ]  x  y

de donde:

 

d)

b

  a

 A =

B=

 

Tiene infinitas soluciones

 AX =B  

 

   2,2 2, 2

   1

 k  17  x  30 y  k  72

Lo expresamos en forma Matricial 11

c)

b)

 k  1 x   k  3 y  k  12

 ì a   x + a12y = b1  ï   ï  11 í   ï  a   x + a22y = b2  ï   î  21  

a

   5,5

37.Para qué valores de “K”, el sistema:

Método de ARTHUR CAYLEY.

 

a)

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

39.C 39 .Cal alcu cula larr “n “n”” para para qu que e el sist sistem ema a sea sea incompatible:

{(n+3 x ) x +2 ny=5 n−9 ¿ ¿¿¿

 

a) 1

b) 2

d) 3 y 3

c) -1 d) -2 e) 0

40.¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema?

45.Hallar “y” al resolver:

 a  b x   a  b y  2ab

ax  4 y  119

 a  c  x   a  c y  2ac

5 x  ay  34 

a) -1 b) 1

c)

e) 2y – 4

a) a d) 22

559

559

d) 133  

133

e) 3

b) b e) –a

46.Hallar “z” en:  x  y

41.Determinar “x” en el sistema:

3

2 x  y  z  2a

a)

3 31

  16

b)

3 41

a

25

a

c)

3

a

a b

 x  z 

a  b...(1)

 x  z  z  y



ab a b

 x  y  z

ab

d)

a)



 c) a2 + b2

d)

a) -1 y 4

x  y  z 

c) 3

e) -1

3

m 2  n 2  r 2  29



Hallar:

29  7n

a) 1

c) 2

d) 3

e) 4

 x  2

x

44.Hallar  x  y  en:  y  2  x  y  1  1

1

m  r 

Calcu Calc ular lar el va vallor de “n “n”, ”, para para que que el sistema sea incompatible.

2

x y



m  n  r   9

nx  6 y  5 n  3

 x  2

z 

mn  mr  nr   2

e) a + b

b) 1

zx



b) 2

43.En el sistema:

a) 0

y

48.Resolver el siguiente sistema:  m, n, r    

 2

2 x  (n  7) y

c) 24

1

  ...(3)

2

5

e) 9

2 3

(2)  a  b...  (2)

b) (a-b)2

 a  b

y  z 

b) 12

d) 18

a

Determinar “Z” a) ab



47.Hallar “z” en:

d) 3 e) 3 42.Dado el sistema de ecuaciones:  x  y

4

a) 6

2 z  x  y  6a

a

xz

7x + 5y + 11z = 300

2 y  x  z  4a

11



c) c

 y  3  y  3  2

b) 2 y – 2

c) 4y – 1

n

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

49.Hallar el máximo valor de “k”, de modo que el siguiente sistema, tenga solución única:  x 2  2 y 2  4  0  x  y  k   0

a) 2

b) -2 c) 2 d) 1

e) 4

 

2 2 50.Dado el sistema:  x  4 y  25    x  y  7 Si 2y>x, calcular: x/y

a) 1

b)

1 2

8

c) 2

d)

3

e) 3