ecuaciones diofanticas
April 27, 2017 | Author: claudia_2 | Category: N/A
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Ecuaciones Diofánticas.
ECUACIONES DIOFÁNTICAS.
Índice 1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................2 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES........................................................................................2 Definición.............................................................................................................................................................................2 Caso particular de ecuación de primer grado.......................................................................................................................2 Caso particular de ecuación de segundo grado.....................................................................................................................3 Casos particulares de ecuaciones con varias incógnitas.......................................................................................................3 Caso particular de ecuación Pitagórica.................................................................................................................................7 Casos particulares de ecuaciones polinomiales de la forma P(x) – Q(x) . y = 0..................................................................9 El último teorema de Fermat..............................................................................................................................................11 Ecuaciones diofánticas de una variable..............................................................................................................................14 3. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES EN DOS O MAS VARIABLES..........................................................15 Ecuaciones Diofánticas de dos variables............................................................................................................................15 Existencia de soluciones.....................................................................................................................................................16 Construcción de soluciones................................................................................................................................................17 Ecuaciones lineales con más de dos incógnitas..................................................................................................................20 Sistema de ecuaciones lineales...........................................................................................................................................22
1
2
Ecuaciones Diofánticas.
1. INTRODUCCIÓN. El nombre de ecuaciones diofánticas proviene de Diofanto (Matemático de la antigua Grecia), y su origen está ligado a la siguiente cuestión: ¿Cuantos números naturales son necesarios para expresar un número natural cualquiera como suma de cuadrados “ n=x 2 y 2z 2... “ ?. La respuesta que los antiguos griegos dieron a esta pregunta fue: “siempre es posible, si el número de términos es cuatro“. Las cuestiones relacionadas con las ecuaciones diofánticas han ocupado a grandes matemáticos como: Fermat (s. XVII), Euler (s. XVIII) o Lagrange (s. XVII), y ha sido el origen de la teoría de los números. De hecho, una conjetura al margen de un libro escrito por el matemático Fermat: " la ecuación
x n y n=z n para n2 , no tiene solución ", a tenido durante cuatro siglos,
a bastantes matemáticos en el intento de su demostración. Aportando, durante su estudio hallazgos importantes, como la teoría de ideales.
2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES. Definición. Dado un anillo de polinomios
K [ X 1, X 2 ,... , X n ]
de n indeterminadas, si es un
dominio de integridad (anillo unitario conmutativo y sin divisores de cero), para cada elemento p x 1, x 2, … , x n ∈ K [ X 1, X 2 , … , X n ] . Decimos que la ecuación
p x 1, x 2, … , x n =0 . Es una
ecuación diofántica. En todo lo que resta de tema, particularizaremos al caso en que el anillo de polinomios es
ℤ [ X 1, X 2 ,… , X n ] , es decir el conjunto de polinomios con coeficientes y soluciones enteras.
Y las ecuaciones diofánticas serán, ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, de la forma p x 1, x 2, … , x n =0 tal que
x 1, x 2 ,… , x n ∈ ℤ .
Caso particular de ecuación de primer grado. En el caso particular de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es decir de la forma p x =a xb=n ; a , b ∈ ℤ Las soluciones existen cuando a | n−b , siendo
x=
n−b . a
En otro caso, es decir si a ∤n−b , la ecuación no tiene soluciones enteras.
3
Ecuaciones Diofánticas.
# Ejemplo.x=
51 =2 3
•
La ecuación Diofántica 3.x−1=5 tiene solución entera
•
La ecuación Diofántica 3.x−7=0 , no tiene solución entera, ya que 3∤7
Caso particular de ecuación de segundo grado. En el caso particular de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, es decir de la forma p x =a . x 2 b . xc=n ; a , b , n ∈ ℤ . Como los coeficientes a, b, c y n son enteros, según las ecuaciones de Cardano Vieta, existe solución si alguna de las soluciones x 1=
bb 2−4.a.c−n 2.a
x2 =
b−b2−4.a.c−n 2.a
Es un número entero. # Ejemplo.•
x 1= x 2=1
La ecuación Diofántica 3.x 2−6.x3=0 tiene solución entera doble
En caso de ecuaciones diofánticas, sencillas (como las estudiadas en los ejemplos anteriores) en la mayoría de los casos, lo que nos interesa por sencillez, es buscar las soluciones por tanteo (en caso de que existan).
Casos particulares de ecuaciones con varias incógnitas. En el caso de ecuaciones diofánticas con varias incógnitas, a pesar de su simple apariencia, suelen plantear serios problemas a la hora de resolverlas. # Ejemplo.•
Es fácil ver que la ecuación
x 2 =2.y 4−1 tiene una solución
x=1 e
y=1
Sin embargo, hasta 1942 no se demostró (por el matemático Noruego Ljunggren), que solo existe otra solución
x=239 ,
y=13 .
Debido a la dificultad de resolver ecuaciones diofánticas de varias variables, dichos problemas han permanecido como centro de interés de grandes matemáticos de la antigüedad. En este apartado estudiaremos algunos casos particulares de ecuaciones diofánticas x 2 – y² = n , n ∈ ℕ n0 tiene solución entera ∃a , b ∈ ℕ tal que n=a.b . Siendo a≡b MODULO 2 En el caso de que existan soluciones, vendrán dadas por
x=
ab 2
y
x=
a–b 2
Ecuaciones Diofánticas.
Demostración: Como podemos escribir n=x 2 – y 2 = x y . x – y . Si x, y, n son soluciones enteras de la ecuación, denominando: x y =a
x – y=b como: x y x− y =2. x x y − x− y =2 . y resulta: a ≡ b MODULO 2 (es decir a y b tiene la misma paridad). Poniendo n=a.b , se cumplirá: ab=2 x
a – b=2 y Que resolviendo el sistema, se obtiene: x=
ab 2
x=
a–b 2
Hay que observar, que de las condiciones: n=x 2 – y 2 = x y . x – y =a.b .
a ≡ b MODULO 2 Si n es par, al menos deberá ser múltiplo de 4. # Ejemplos.1)
Resolver la ecuación x 2 − y 2=8
= 23
a , b ∈ {±1,8.± 2,4 ,±4,2 ,±8,1} y dado que x=
ab 2
x=
a–b 2
x , y ∈ {3,1 , −3,−1 }
4
5
Ecuaciones Diofánticas.
2)
Si queremos resolver la ecuación 2
= 2 2 . 32
2
x − y =36
Con las condiciones del teorema se cumple: a , b ∈ {±1,36±2,18 ,±3,12 ,± 4,9 ,±6,6 ,±9,4 ,±12,3 ,±18,2 ,±18,1 } y dado que x=
ab 2
x=
a–b 2
x , y ∈ {±10,8} Utilizando este resultado, Fermat estableció en 1643 un algoritmo para estudiar si un número natural impar n, admite descomposición. Mediante la utilización de la ecuación: x 2 – n= y 2 . Pues, si
x , y ∈ ℤ , se cumple x 2 , y 2 ∈ ℕ ; x 2 y 2 ; x 2n . Además si: x2 =
n12 2
y 2=
n12 n−12 −n= 2 2
Será:
Y se cumplirá: n= x y . x − y=a.b . Que es la descomposición trivial. Luego, para cada n > 1 el método consiste en encontrar un
x ∈ ℕ , tal que
2
nx 2
n1 2
x2 – n = y2 ; y ∈ ℕ que cumplirá: n=x 2 − y 2= x y . x – y =a. b . Siendo a=x y ;
b=x− y ;
n=a. b .
Si no existe ningún x que cumpla dichas condiciones,
x 2 – n no será cuadrado perfecto, y
por tanto n será primo. Y si existe algún x que si cumpla dichas condiciones, y será cuadrado perfecto, por tanto n será primo
6
Ecuaciones Diofánticas.
# Ejemplos.1) Si queremos saber si n = 197 es primo, teniendo en cuenta1: 1971 =99 . 2
[ 197]=14 ; Probando para valores de
x ∈ {15, 16,17, … . , 97, 98}
x
x²
x²-n
y=sqrt(x²-n)
x
x²
x²-n
y=sqrt(x²-n)
x
x²
x²-n
y=sqrt(x²-n)
x
x²
x²-n
y=sqrt(x²-n)
15
225
28
5,29
36
1296
1099
33,15
57
3249
3052
55,24
78
6084
5887
76,73
16
256
59
7,68
37
1369
1172
34,23
58
3364
3167
56,28
79
6241
6044
77,74
17
289
92
9,59
38
1444
1247
35,31
59
3481
3284
57,31
80
6400
6203
78,76
18
324
127
11,27
39
1521
1324
36,39
60
3600
3403
58,34
81
6561
6364
79,77
19
361
164
12,81
40
1600
1403
37,46
61
3721
3524
59,36
82
6724
6527
80,79
20
400
203
14,25
41
1681
1484
38,52
62
3844
3647
60,39
83
6889
6692
81,80
21
441
244
15,62
42
1764
1567
39,59
63
3969
3772
61,42
84
7056
6859
82,82
22
484
287
16,94
43
1849
1652
40,64
64
4096
3899
62,44
85
7225
7028
83,83
23
529
332
18,22
44
1936
1739
41,70
65
4225
4028
63,47
86
7396
7199
84,85
24
576
379
19,47
45
2025
1828
42,76
66
4356
4159
64,49
87
7569
7372
85,86
25
625
428
20,69
46
2116
1919
43,81
67
4489
4292
65,51
88
7744
7547
86,87
26
676
479
21,89
47
2209
2012
44,86
68
4624
4427
66,54
89
7921
7724
87,89
27
729
532
23,07
48
2304
2107
45,90
69
4761
4564
67,56
90
8100
7903
88,90
28
784
587
24,23
49
2401
2204
46,95
70
4900
4703
68,58
91
8281
8084
89,91
29
841
644
25,38
50
2500
2303
47,99
71
5041
4844
69,60
92
8464
8267
90,92
30
900
703
26,51
51
2601
2404
49,03
72
5184
4987
70,62
93
8649
8452
91,93
31
961
764
27,64
52
2704
2507
50,07
73
5329
5132
71,64
94
8836
8639
92,95
32
1024
827
28,76
53
2809
2612
51,11
74
5476
5279
72,66
95
9025
8828
93,96
33
1089
892
29,87
54
2916
2719
52,14
75
5625
5428
73,67
96
9216
9019
94,97
34
1156
959
30,97
55
3025
2828
53,18
76
5776
5579
74,69
97
9409
9212
95,98
35
1225
1028
32,06
56
3136
2939
54,21
77
5929
5732
75,71
98
9604
9407
96,99
Como no existe ningún x que cumpla
x2 – n
sea cuadrado perfecto, por tanto n = 197 es
primo. 2) Si queremos saber si n = 133 es primo, teniendo en cuenta: 1331 =67 . 2
[ 133]=11 ; Probando para valores de
x ∈ {12, 13, 14,… . , 65, 66 } x 12 13
Como existe un
x=13
x² 144 169
que cumpla
x²-n 11 36
x2 – n
y = sqrt(x²-n) 3,32 6,00
es cuadrado perfecto, por tanto n = 133 no
es primo. De hecho n se puede descomponer, como producto de dos enteros n= x y . x − y=136. 13−6=19.7
1
[x] es la parte entera de x.
7
Ecuaciones Diofánticas.
En el caso ecuaciones de dos variables, si queremos encontrar las soluciones enteras, se puede despejar una variable en función de la otra, y se puede intentar buscar una solución particular entera, probando y después hallar la solución general. # Ejemplo.Sea la ecuación 2 x 2 −5 x y−3 x2 y17=0 . Despejando en función de x, se tiene 403 2 x 2 – 3 x 17 2 11 25 13.31 y= = x− 25 y=10 x−11 5 x −2 5 25 5 x −2 5 x−2
Luego se debe de cumplir
5x−2 | 4035 x – 2 ∈ {±1,±13,±31,±403} ,aue solamente
se cumple para x entero, si
5x−2 ∈ { 13,403} cuyas soluciones son enteras para
x ∈ {3,81 } . Luego, las soluciones de dicha ecuación son:
x , y ∈ {3,2 , 81,32 }
Caso particular de ecuación Pitagórica. Un caso particular y muy estudiando por los antiguos matemáticos griegos, y origen de importantes resultados sobre ecuaciones diofánticas, son las ECUACIONES PITAGÓRICAS, que x 2 y 2=z 2 . Geométricamente, dichas soluciones (ternas pitagóricas),
son aquellas de la forma
representan triángulos rectángulos de longitudes de catetos e hipotenusa enteras positivas. Aunque, Pitágoras encontró una cantidad infinita de soluciones para dichas ecuaciones, fue Euclides quién dio la solución completa a tales ecuaciones. Si si
x 2 y 2=z 2 , y d =m.c.d. x , y , z
x , y , z ∈ ℤ son soluciones de la ecuación
n ∈ ℕ , entonces
n.x n.y n.z , , d d d 2
puesto que se cumple
2
x 2 y 2=z 2 ,
son también soluciones de la ecuación 2
2
2
n.x n.y n n n.z = . x 2 y 2 = . z 2= d d d d d
.
Luego, es suficiente con que encontremos tres números naturales x, y, z, tal que sea 1=m.c.d. x , y , z y que sean solución de la ecuación pitagórica
x 2 y 2=z 2 , y las soluciones
serán de la forma {n.x , n.y , n.z : n ∈ ℕ} . Pues, si , tal que
1=m.c.d. x , y , z será 1=m.c.d. x , y pues si d ≠1 existirá
x=d x ‘ , y=d y ‘ . Y se cumplirá
2
2
2
2
2.
2
x ’ , y’ ∈ ℕ 2
x y =d x ' d y ' =d x y = z
d | z 2 , lo que implica d =m.c.d x , y , z con d ≠1 , en contra de la hipótesis.
2
. Luego,
8
Ecuaciones Diofánticas.
Luego, para estudiar las soluciones pitagóricas x, y, z de la ecuación
x 2 y 2=z 2 , con
m.c.d. x , y , z =1 . Como x ó y deberán de ser impares (ya que en otro caso sería par, y sería
m.c.d. x , y , z ≠1
2
x y
2
en contra de la hipótesis), podemos suponer sin perdida de
generalidad que x es impar. Y escribiendo la ecuación en la forma x 2= z 2− y 2= z y . z − y . Si definimos d 1=m.c.d. z y , z− y . Podemos encontrar a , b ∈ ℕ , con m.c.d.a , b=1 , tal que d 1=m.c.d. z y , z− y=m.c.d.a d 1 , b d 1 Sustituyendo en la ecuación, obtenemos x 2=a. b. d 12 . Pero al ser a y b primos entre sí, la igualdad solo puede ser cierta si a y b son cuadrados perfectos, es decir si ∃ u , v ∈ ℕ tal que 2
2.
2.
a=u 2 y b=v 2 . Por lo tanto, será
2
x =u v d 1
Y como consecuencia, x será de la forma x=u.v.d 1 Además, como 2. z = z y z − y=a . d 1b . d 1=u2 . d 1v 2 . d 1 2. y= z y − z− y =a . d 1−b . d 1=u 2 . d 1−v 2 . d 1 Las soluciones serán de la forma u 2−v 2 y= . d1 2
x=u.v.d 1
Además, como hemos supuesto que x es primo, y
y=
u 2v 2 . d1 2
x=u.v.d 1 , entonces, los tres factores u,
v y d 1 también son impares. Y como d 1 es impar, y de las ecuaciones x=u.v.d 1 Se deduce que
d 1| x
y= y
u 2−v 2 . d1 2
d 1 | y . Y de la hipótesis
1=m.c.d x , y
como a y b son también primos entre sí, se deduce de las igualdades
será
d 1=1 . Y
a=u 2 y b=v 2 que u y v
son también primos entre sí. Y Teniendo en cuenta que x, y, z son números naturales, de las igualdades z y=a . d 1=u 2 . d 1 Se deduce que v u .
z − y=b . d 1=v 2 . d 1
9
Ecuaciones Diofánticas.
Además, teniendo en cuenta, la propiedad conmutativa de la suma en el conjunto de los números naturales, si (x,y,z) es una terna pitagórica, entonces, (y,x,z) también es una terna pitagórica. Luego, podemos caracterizar todas las ternas pitagóricas mediante el teorema x 2 y 2=z 2 , las ternas pitagórica de dicha ecuación con x e y
Teorema.- Dada la ecuación primos entre si son de la forma x=u.v.d 1
y=
u 2−v 2 . d1 2
y=
u 2v 2 . d1 2
Siendo u y v cualesquiera primos (impares) entre sí y tales que v < u. Y dada una solución arbitraria de la terna pitagórica, cualquier otra solución se obtiene de esta multiplicándola por un factor arbitrario d ( d ∈ ℕ ). Las ternas pitagóricas sencillas, se utilizaban para la construcción de triángulos rectángulos en civilizaciones antiguas como la de Egipto, así por ejemplo para la medición de ángulos rectos en la construcción de pirámides, utilizaban una cuerda que tenía 3, 4 y 5 nudos igualmente espaciados. La sucesión de primeros números primos x e y, se pueden obtener utilizando la criba de Erastótenes. # Ejemplo.- Aplicando el teorema, podemos encontrar las cinco primeras ternas pitagóricas: u 2−v 2 2
u 2v 2 2
x
y
x=u.v
3
1
3
4
5
5
1
5
12
13
5
3
15
8
17
7
1
7
24
25
7
3
21
20
29
y=
y=
Casos particulares de ecuaciones polinomiales de la forma P(x) – Q(x) . y = 0. En el caso de ecuaciones polinomiales de la forma P x −Q x . y=0 . Dichas ecuaciones, tiene un número finito de soluciones (que puede ser cero). Pues, si denominamos
y=
P x . Teniendo en cuenta la división entera en el anillo de Q x
polinomios, existen un C x y R x ∈ ℤ[ X ] , tal que
Ecuaciones Diofánticas.
P x =C x . Q xR x
P x Rx =C x . Q x Q x
Imponiendo la condición:
∣ ∣
R x grado Q x . Q x
Y probando con valores x enteros, se obtiene las soluciones enteras grado Q x =1 grado R x=0 R x=k constante . Luego
Si
R x k = ∈ ℤ Q x | R x . Q x Q x Que tiene un número finito de soluciones. # Ejemplo.- Para resolver 3 x ²4− x ²1. y =0 , como 3x²4 1 =3 x²1 x²1
Y como 1 ∈ ℤ x =0 x² 1 La única solución será x , y =0,4 . # Ejemplo.- Sea la ecuación y=
x 3− x 2 . y2.x2 – 3.x.y−4.y2=0 . Como
x 32x 22 11 x−18 = x5 2 2 x −3x4 x −3x4
Y como
∣
∣
11 x−18 1 x 2−3x4
∣11 x −18∣x 2−3x4 2
2
−x 3x−411 x−18 x −3x4 Y como −x 2−8 x140 x ∈ [−4− 30 ,−430] x 2−14 x220 x ∈ [7− 27 , 7 27] Y como
[−4−30 ,−4 30]∪[ 7−27 , 7 27]∩ℤ={−9,−8,−7,−6, ... , 9, 10,11, 12 } Que probando, solo se cumple para x = 2. Luego, la solución es (x,y) = (2,9).
10
11
Ecuaciones Diofánticas.
El último teorema de Fermat. Inspirado en la Aritmética griega de Diofanto, Pierre Fermat (jurista de Toulouse, siglo XVII) hizo numerosas anotaciones en su ejemplar. En particular, hizo una anotación al margen, en la que afirmaba haber descubierto una demostración de que la ecuación
x n y n=z n no tenía soluciones enteras no nulas para n > 2. Sin
embargo, dada la dificultad de la demostración, posiblemente uviera una idea de como demostrar el teorema, pero no la demostración completa. Ha este resultado, se le ha denominado último teorema de Fermat, y lo podemos enunciar como Si x n y n – z n ∈ ℤ[ X , Y , Z ], con n2 . La ecuación n
n
n
x y =z no tiene soluciones en ℤ
Durante más de 300 años, el intento por demostrar este resultado ha generado, por parte de una gran parte de Matemáticos, algunos resultados particulares relacionados con las ecuaciones diofánticas como •
x 3 y 3= z 3 , no tiene soluciones
Euler (1707-1783) demostró que la ecuación
enteras, utilizando números imaginarios de la forma
pq.î , con
p ,q ∈ ℤ .
Gauss, también demostró este resultado. •
Dirichlet (1805-1859) y Adriaen Marie (1752-1833), basándose en los resultados de Euler, tomaron
p=3 m
y
q=4m , y demostraron el teorema para
n=5 .
Cauchy (1789-1857) demostró también este teorema. •
Grabiel Lamé (1795-1870) demostró el resultado para n = 7, e intentó demostrar el teorema, para números de la forma
p=3 m
y
q=4 m
(enteros ciclotómicos),
utilizando la factorización única de números primos. •
Ernest Edward Kummer (1810-1893) publicó un tratado de teoría, que trataba sobre enteros cilotómicos y exponía el concepto de factorización única. Demostró que el teorema era cierto para todos los exponentes primos menores que 100, salvo el 37, 59 y 67. A partir de estos resultados, se han obtenido bastantes condiciones suficientes menos restrictivas.
•
La Academia de las Ciencias de París, prometió una medalla de oro y 300.000 francos de oro para quién encontrara la demostración el último teorema de Fermat.
Ecuaciones Diofánticas.
•
En 1908, se estableció, a través de la Academia de Göttingen (Alemania), un premio de 100.000 marcos, para quien encontrará una demostración correcta del último teorema de Fermat. Entre 1908 y 1912 se presentaron más de 100 demostraciones incorrectas.
•
A partir de la utilización de las computadoras, se han realizado comprobaciones, entre los que destacan los cálculos efectuados en las Universidades de California, Florida o Illinois. En particular, a principios de 1970 Jonson establecía que el teorema era cierto para todos exponentes primos menores que 30.000, o Wagstaff para exponentes primos menores que 125.000.
•
En las últimas décadas, se empezó a establecer una relación entre las coordenadas enteras del espacio y las superficies geométricas de ecuación asociada, la ecuación de Fermat, de exponente
•
n≥3 .
El profesor de Cambridge, Leo Mordell, utilizando dicho resultado, formuló que la ecuación de Fermat de exponente
n2 , posee a lo sumo un número finito de
soluciones. Geerhard Frey, director del Instituto de Matemática experimental de Essen, asoció a cada solución hipotética x, y, z de la ecuación de Fermat, una curva elíptica. •
En 1975, el matemático Andrew Wiles, comenzó a estudiar las infinitas soluciones enteras de las curvas elípticas, para restringir su estudio a un número finito de soluciones, utilizó las clases modulares de los números enteros.
•
Shimura y Taniyama estudiaron simetrías de formas modulares que cubren un espacio, y establecieron, que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica.
•
En 1984, Gerhard Frey probó que si se puede probar la conjetura de Taniyama y Shimura, el teorema de Fermat estaría probado.
•
Entre 1984 y 1995, Andrew Wiles, utilizó este resultado, para demostrar la conjetura de Taniyama y Shimura, y por tanto el famoso teorema de Fermat. La demostración de dicha conjetura (mal llamado teorema) está basada en la Geometría Aritmética, estableciendo una relación entre los números enteros y objetos geométricos, como curvas y superficies.
12
13
Ecuaciones Diofánticas.
Una forma sencilla de ver la conexión entre el problema de Fermat y las superficies geométricas, es utilizar la ecuación geométrica de Fermat, en coordenadas homogéneas. Es decir, dividiendo la ecuación de Fermat por n
n
x z
Como
z x ,
x z
zn
=1 ,
=
x , z
=
y z
z y y 0≤ , ≤1 . La ecuación se transforma en n n =1
Además, como nos interesa las soluciones enteras x, y, z. Las soluciones ξ, η serán racionales, y tomando la función f n ,= n ,= 1−n ,
para
n2
Que tomando valores naturales de n se obtiene las funciones f 3, , f 4, , f 5, , … , “Observar gráfico“
Los valores de segmento
serán todos irracionales. Además, cuando ∞ , las curvas tienden a acercarse al
[0,1 ,1,1] . Sin embargo, no se puede probar que
n , sea racional. Para lo cual,
fue necesario pasar a cuatro dimensiones, tomando para ello valores complejos de
, .
14
Ecuaciones Diofánticas.
Ecuaciones diofánticas de una variable. A pesar de que el estudio general de ecuaciones diofánticas genera grandes problemas de resolución. En el caso de ecuaciones lineales de una o dos variables, o de sistemas de ecuaciones lineales, existen importantes resultados que facilitan el conocimiento de soluciones. Una ecuación diofántica de una variable, es una ecuación de la forma: f x≡a n . x n a n−1 . x n−1 a n−2 . x n−2 ...a 1 . xa 0 =0 ; a n≠0 ; f x ∈ Z [ X ] . Hay que observar, que es
un
número
x0
entero,
es solución entera de la ecuación si entonces
los
dos
x 0 | a 0 . Ya que si
factores
de
n−2 a0 =−x 0. an . x n−1 serán números enteros y por tanto 0 a n−1 . x 0 ...a 1
la
x0
igualdad
x0 | a0 .
De esta observación, deducimos que las soluciones, de una ecuación diofántica de una variable, las podemos buscar entre los divisores del término independiente
a0 . Es evidente que
en general no siempre existen soluciones enteras, incluso ni siquiera reales, basta por ejemplo pensar en la ecuación
x 2 1=0 , cuyas soluciones son las soluciones complejas −î
y
î .
De los cuales únicamente - 1 es solución de la ecuación. # Ejemplo.- Para determinar las soluciones de la ecuación x 6 −5.x5 3.x 4 x 2− x3=0 .
Consideramos solamente los divisores del término independiente 2, que son 1 - 1, 2 , -2. Considerando todos los divisores del término independiente 3, y obtenemos que ninguno es solución de la ecuación. Por tanto la ecuación no tiene soluciones enteras. En el caso particular de polinomios de la forma: p x , y =a 0 . y na1. x . y n−1...a n−1 . x n−1 . yan . x n . Sacando factor común Q[ X ] ,
yn
, Si se toma la variable
z=
x y
y nos queda la ecuación en
p z ,1=a 0a 1. z...a n−1 . z n−1an . z n
Que es una ecuación diofántica a x z 0 ∈ ℚ , tal que z 0 = = ; b y
az
de una variable en
a , b ∈ ℤ . Se obtiene, una solución particular de dicha
ecuación (a,b). Y la solución general, será de la forma:
a.t , b.t ;t ∈ ℤ .
# Ejemplo.- Sea la ecuación. 2 . x 33.x 2. . y −3. x. y 2 – 2.y3=0 Mediante el cambio
z=
Q[ X ] . Y obteniendo
x . Se obtiene la ecuación: y
15
Ecuaciones Diofánticas.
2 . z 33.z 2 – 3.z−2=0 . Que fácilmente se comprueba que son soluciones:
{
1 2
z = 1 ,−2 ,
}.
Luego: x 0 , y 0 =1,1 , −2,1 , 1,2 Son soluciones particulares enteras de la ecuación. Por tanto, las ecuaciones, serán de la forma: x 0 , y 0 = t ,t ,−2.t , t , t ,2.t :t ∈ ℤ
3. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES EN DOS O MAS VARIABLES Ecuaciones Diofánticas de dos variables. Una ecuación diofántica lineal en dos variables es de la forma:
a . xb. y =c Donde los coeficientes a, b, c son números enteros. “En general, se puede generalizar para Dominio de integridad“. Antes de estudiar la existencia de soluciones, así como un método para proporcionar la solución general introduciremos el concepto de ideal y divisibilidad. Teorema (de división entera).- Dado dos polinomios a(x) y b(x) existen dos únicos polinomios q(x) y r(x) tales que: a x =b x . q xr x . Siendo r x =0
o bien
grado r x grado b x .
Denominándose q(x) = cociente y r(x) = resto de la división entera de a(x) por b(x). Indicamos por (b(x)) al conjunto de polinomios múltiplos de b(x). Un Ideal de polinomios es un subconjunto no vacío 1.- a x b x∈ I ; 2.- a x . c x ∈ I ;
I ⊂K [ x ] que satisface:
∀ a x , b x ∈ I ∀ a x ∈ I , ∀ c x∈ K [ x ]
Sea a 1 x , a2 x , . .. , an x∈ K [ x ] .
1.- El conjunto: m x = a 1 x ∩ a 2 x ∩ . . . ∩ an x .
16
Ecuaciones Diofánticas.
Es un ideal de K[x] por ser intersección de ideales. Denominado, Mínimo común múltiplo de
a 1 x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] . Este ideal está formado por todos los múltiplos de
a 1 x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] : m x = m.c.m. a1 x , a 2 x ,... , an x . Además, como
m x = { k . m x ∀ k ∈ K - {0} } . Se cumplirá que es único
salvo factor constante no nula. 2.- El conjunto: d x = a 1 x a 2 x . .. an x ={ c 1 . a 1 x c 2 . a 2 x .. . c n . an x :c 1, c 2, ... , c n ∈ K }
Es
un
ideal
de
K[x]
.
Denominado,
Máximo
común
divisor
de
a 1 x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] . Este ideal está formado por todos los divisores de a 1 x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] , pues para cada polinomio
ai x
se cumple
a i x = 0 . a 1 x ... 1 . ai x ... 0. an x ∈ d x d x = M.C.D. a1 x , a 2 x ,... , a n x . Un método particularmente útil para hallar el M.C.D., es el conocido algoritmo de Euclides y que se basa en la aplicación reiterada del siguiente teorema: Teorema.- Si b x ≠0 , entonces,
a x = b x . q x r x
es la división entera de
a x por
M.C.D.a x , b x =m.c.d.b x , r x
Aplicando reiteradamente este resultado, y dado que los restos sucesivos serán decrecientes, llegará un momento en que el resto será 0, y el último resto no nulo será el M.C.D. de ( a(x) , b(x) ). Diremos que m(x) ∈ K[x] es el m.c.m. De a1(x),a2(x),..,an(x) ∈ K[x]. Si se cumple que: ( m(x) ) = (a 1 ) ∩ (a 2 ) ∩ . . . ∩ ( a n ). Diremos que d(x) ∈ K[x] es el m.c.d. de a1(x),a2(x),...,an (x) ∈ K[x]. Si se cumple que: (d(x)) = (a1)+(a2)+...+(an) = {a1(x).c1(x)+...+an(x).cn(x): c1,…, c n ∈ K[x] }.
Existencia de soluciones. Teorema .- Sea la ecuación diofántica
a.xb.y=c ;
con a, b, c números enteros.
Entonces, existirá solución (entera) SI Y SOLO SI m.c.d a , b| c . # Demostración: •
⇒ Si que la ecuación
a.xb.y=c
tiene una solución entera x, y. Entonces, si
d =m.c.d.a , b , existirán factorizaciones de la forma
17
Ecuaciones Diofánticas.
a=m.d
b=n.d . Por lo tanto c=a.xb.y=m.xn.y. d . Luego d | c . •
⇐ Supongamos que d =m.c.d.a , b| c . Como el ideal J ={ a.xb.y : x , y ∈ A } .
Coincide con el ideal d ={ n.d : n ∈ ℤ } . Como consecuencia si d | c c ∈ d =J . Luego existirá una descomposición c=a.xb.y .
x ,y ∈ ℤ .
Donde
# Ejemplo.- Sea la ecuación 6 x10 y=20 . Como m.c.d.6 ,1 0=2| 20 . La ecuación tendrá solución.
Construcción de soluciones. a xb y=c
Supongamos, que la ecuación diofántica
tiene solución. Si dividimos la
ecuación por d =m.c.d.a , b se obtiene la ecuación a ’ x b ’ y=c ’ . Donde b’=
b ; d
Que por la hipótesis de existencia,
a’
a‘=
a ; d
c’= y
b’
c . d
son números enteros primos entre sí. Y
por las identidades de Bezout existe una descomposición única de la forma: 1=a ’ b ’
, β ∈ ℤ .
Multiplicando por c ’ se obtiene: c ’ =a ’ c ’ b ’ c ’ . Luego: x=. c ’
e
y=. c '
Es una solución de la ecuación a ’ x b ’ y=c ' . Así cualquier otra solución x, y verificará a ' c ’ b ' c ' – a ' xb ' y=c ' – c '=0
a ’ . x – . c ’ =−b ’ . y – . c ’ .
Pero como a ’ y b ’ son primos entre si, por el teorema de Euclides se cumplirá
18
Ecuaciones Diofánticas.
a’ | y – .c’ ;
b’ | x – .c’ .
Por lo que existirán dos enteros t 1 y t 2 tales que: x=. c ’ t 1 . b ’ . y=. c ’ t 2 . a ’ . Si sustituimos dichas soluciones en la ecuación a ’ x b ’ y=c ’ , obtenemos a ‘ . xb ’ . y=a ’ .[ c ’ t 1 . b ’ ]b’ . [ β . c ’ t 2 . a ’ ]
=
= a ’ . . c ’ b ’ . β . c ’ a ' t 1 . b ’ b ' .t 2 . a ’ = = c ’a ' , b ' t 1t 2 =c '
Luego t 1=−t 2 =−t La solución general de la ecuación será de la forma: x=. c ' – t.b' ,
y=. c ' – t.a ' , c ' =
a b a , b'= , a' = , t ∈ℤ d d d
Luego, resumiendo, el método para la construcción de la solución es: 1.- Convertir la ecuación diofántica a xb y=c en la ecuación: a b c = m.c.d.a , b m.c.d.a , b m.c.d. a , b Es decir:
a ’ . xb' . y=c ’ . 2.- Hallar (generalmente usando el Algoritmo de Euclides) los enteros r y s tales que 1=a ’ . r b ’ . s 3.- Hallar la solución general será de la forma: x=r.c’ −t.b’ . y=s.c ’ t.a ’ . Con t un número entero arbitrario. # Ejemplo.- Determinar las soluciones enteras de las ecuaciones 1.-
6 x10 y=20 .
2.-
127 x−52 y=−1
3. -
4329 X 132 Y =33 .
# Solución: 1.- Como 2=m.c.d.6, 10 , obtenemos la ecuación reducida 3.x5.y=10 . Hallando un r, s tal que
19
Ecuaciones Diofánticas.
1=3.r 5 . s . Será, r = 2; s = -1. Y obtenemos para cada entero t, la solución general x=20 – 5.t . y=−103.t . 2.- Como 1=m.c.d.127 ,−52 . Y obtenemos la ecuación reducida 127.x−52.y=−1 . Hallando un r, s tal que 1=127.r −52.s . Será r =−9 ;
s=−22 . Obtenemos para cada entero t, la solución general
x=952.t . y=22127.t . 3. Para calcular el m.c.d.a , b=m.c.d.4329 ,132=d . Utilizamos el algoritmo de Euclides: 32 132 27
4329 105
1 105 24
3 27 3
1 24 0
8 3
Que descomponiendo denominando será m.c.d. 4329,132=3 Además, denominando a=4329, b=132, x 1=105, x 2 =27, x 3=24, x 4=3 Podemos, descomponer
x 4 , con respecto a y b, mediante
a=32.bx 1
x 1=a−32.b
b=x 1 x 2
x 2=b−x 1=b−a−32 b=−a33 b
x 1=3 . x 2 x3
x 3= x1 −3. x 2 = = a−32 b−3 .33 b−a=4 a−131 b
x 2= x 3x 4
x 4 =x 2− x 3 = = 33 b−a−4 a−131 b=−5 a164 b
Luego: m.c.d 4329,132=3=−5 a164 b=r as b r =−5, s=164 Dividiendo todos los miembros de la ecuación por
3=m.c.d.4329,132 , la ecuación
reducida será. 1443.X44.Y=11 . a ' =1443, b' =44, c ' =11 Y como por la descomposición de Euclides es:
20
Ecuaciones Diofánticas.
r =−5 ;
s=164 .
La solución general será de la forma: X =r . c ' b ' .t=−5544. t.
Y =s . c ' −a ' . t=1804−1443.t Con t un entero cualquiera.
Análogamente se podría resolver por ejemplo al ecuación 54 î X 2î Y =1 . Siendo Donde,
X ,Y ∈ ℤ[î ]
ℤ [î ] es el anillo de los números complejos con las operaciones habituales de suma y producto,
definidas en C.
Ecuaciones lineales con más de dos incógnitas En el caso de ecuaciones diofánticas de la forma: B1 X 1 B2 X 2.. .B n X n= D ∈ ℤ[ X 1 ,... , X n ] Dicha ecuación tiene solución en ℤ n m.c.d. B 1, B 2 , . .. , B n | D . # Demostración: ⇒
) Sea
d =m.c.d. B1, B2 ,. . . , Bn | D . Entonces, existe
B1=d A1 , B 2=d A2, … , Bn=d An . Si
x 1 , x 2 ,... , x n
A1, A2 , … , An , tales
que
es solución de la ecuación,
entonces B1 x 1B 2 x 2. .. Bn x n= D
) Si
d A1 x1d A2 x 2.. .d An x n =D
d . A1 x1 d A2 x 2. ..d An x n= D
d =m.c.d. B1, B2, ... , B n | D
d =m.c.d. B1, B2 ,. . . , Bn | D . Como, por el teorema de Bezout, existen
x 1 , x 2 ,... , x n ∈ ℤ , tal que
∃ s ∈ ℤ tal que
d =B 1 x 1 B2 x 2…Bn x n . Y dado que
d|D ,
D=d.s . Es decir
D=d . s= B 1 x 1 B2 x 2…B n x n . s=B1 x 1 . sB 2 x 2 . s…B n x n . s Luego x 1 . s , x 2 . s , … , x n . s es solución de la ecuación.
Por tanto, para resolver la ecuación
B1 X 1 B2 X 2 .. .B n X n= D , si
d =m.c.d. B1, B2 ,. . . , Bn .
Existe
A1, A2 , … , An
ecuación diofántica
tales que
B1=d A1 , B 2=d A2, … , Bn=d An . Y resolveremos la
A1 x 1d A2 x 2. ..d An x n=D /d =C ∈ ℤ [ X 1 , X 2 , ... , X n ] .
21
Ecuaciones Diofánticas.
Si ∃ Ai , A j ,i≠ j de generalidad
tales que m.c.d. Ai , A j =1 , que podemos suponer, sin perdida
m.c.d. A1 , A2 =1 . Entonces
A1 X 1 A2 X 2=1 .C – An X n−...−A3 X 3 . Y si
x 1 , x 2 es una solución particular de la ecuación
A1 X 1 A2 X 2=1 . Entonces
x 1 .C – An X n −...− A3 X 3 , x 2 .C – An X n−...− A3 X 3
es una solución particular de la ecuación: A1 X 1 A2 X 2=1 .C – An X n−...−A3 X 3 . Y teniendo en cuenta la construcción de soluciones de las ecuaciones diofánticas de dos variables. La solución general será de la forma x 1 .C – An X n −...− A3 X 3 A2 . t , x 2 . C – An X n−...− A3 X 3− A1 . t
Si
m.c.d. Ai , A j ≠1, i≠ j ; d i =m.c.d.{ A1 , A2 , ... , An−{ Ai } } ; i , j ∈ { 1, 2,… , n } .
Podemos suponer sin perdida de generalidad que
d i=d n (pues en otro caso bastaría reordenar
las variables), y denominando H 1= Si
A1 ; dn
H 2=
A2 ;…; dn
∃ H i , H j , i≠ j , tales que
H n=
An . dn
m.c.d. H i , H j =1 , que podemos suponer sin perdida
de generalidad m.c.d. H 1 , H 2 =1 , entonces, la ecuación la podemos reducir a la ecuación H 1 X 1H 2 X 2 ...H n−1 X n−1= Y dado que
C− An X n . dn
C− An X n ∈ ℤ . Se resuelve la ecuación para dichos valores enteros. dn
# Ejemplo.1. Para resolver la ecuación
2 x 4 y−2 z3 u=4 ∈ ℤ[ x , y.z.u ] , como la ecuación se
puede poner como 2 x 3 u=4−4 y2 z . Que se comprueba, que
−1 ,1
es solución particular de la ecuación
2 x 3 u=1 .
Entonces, −1. 4−4 y2 z ,1. 4−4 y2 z =−44 y−2 z , 4−4 y 2 z Es solución particular de la ecuación. Y teniendo la construcción de soluciones para las variables x y u, la solución general será de la forma x , u=−44 y−2 z3. t , 4−4 y2 z−2. t ; t ∈ ℤ
22
Ecuaciones Diofánticas.
2. Para resolver la ecuación
6 x10 y15 z =8 ∈ ℤ[ x , y , z ] . Teniendo en cuenta que
no hay coeficientes primos entre si, dos a dos, y que m.c.d.6,10=2 . Tomando la ecuación
6 10 8−15 z x y=3 x5 y = 2 2 2
8−15 z ∈ℤ 2
Y resolviendo la ecuación u=
8−15 z . 2
≡2 u15 z=8
Obtenemos la solución particular
z 0 , u0 = 0 , 4 . Por lo que la solución general de
z ,u , será de la forma z ,u =−2 t , 415 t ; t ∈ ℤ . Luego, sustituyendo obtenemos la ecuación 3 x5 y=415 t . Y resolviendo: 3 x5 y=1 . Se obtiene como solución 2 ,−1 . Luego, una solución particular es x 0 , y 0 = 2 .415t ,−1. 415t =830 t ,−4−15 t ; t ∈ ℤ . Y la solución general, será de la forma x , y = 2. 415 t5 s ,−1. 415 t −3 s ; t , s ∈ ℤ O bien x , y =815t5 s ,−4−15t−3 s ; t , s ∈ ℤ ( x , y , z ) = ( 8 + 30 t + 5 s , - 4 - 15 t - 3 s , z ) ; t , s ∈ Z.
Sistema de ecuaciones lineales Si tenemos el sistema de ecuaciones lineales en ℤ [ X 1 , ... , X n ] . P 1≡ A11 X 1 A12 X 2... A1n X n=C 1 . P 2≡ A21 X 1A22 X 2... A2n X n=C 2
.............................................................. P m≡ Am1 X 1 Am2 X 2...Amn X n=C m Es evidente, que para que dicho sistema tenga solución en
ℤ , debe de tener solución en
ℝ . Es decir, debe de cumplir el teorema de Roche rango A=rango A ,C ,
A=Matriz de coeficientes ; A , C =Matriz ampliada
Y para que sean enteras, cada ecuación m.c.d. Ai1 , Ai2 ,... , Ai n | C i
P j , debe de cumplir ∀ i=1, 2 ,... , m .
23
Ecuaciones Diofánticas.
Luego, para que existan soluciones enteras, son condiciones suficientes
rango A=rango A ,C .
m.c.d. Ai1 , Ai2 ,... , Ai n | C i
∀ i=1, 2 ,... , m .
Teniendo en cuenta ambas condiciones, si
es el menor de orden r de la matriz de
coeficientes A. Entonces, es condición suficiente para que exista solución que =±1 . # Ejemplo.1. Resolver en
ℤ el sistema
2 x yz −2 t=5 3 x2 y −z4 t=1 Como podemos poner, como
2 x y=5− z2 t 3 x2 y =1z −4 t Y como y
m.c.d.2,1=1=m.c.d. 3,2
Por la regla de Cramer, se obtiene: x=9−3 z 8t
y=−135 z−14 t . O bien: x , y , z ,t =9−3 z8 t ,−135 z−14 t , z ,t . 2. Resolver en ℤ el sistema:
2 x y3 z=7 8 x−5 y−3 z=11 Como,
rango A=rango A ,C =2 m.c.d 2,1 ,3=m.c.d 8,−5,−3=1| { 7,11} .
Poniendo
2 x y=7−3 z 8 x−5 y=113 z Por la regla de Cramer, se obtiene: x=
23 – 6 z 9
y=
17 – 15 z 9
24
Ecuaciones Diofánticas.
O bien 9 x6 z=23
9 y15 z=17 Y como
m.c.d 9,6=6
no divide a 23. No se cumple la condición necesaria, de
existencia de soluciones enteras. Luego dicho sistema no tiene solución en ℤ . 3. Resolver en ℤ el sistema: 2 x4 y−5 z=17
3 x−7 y4 z=2 Estudiando los rangos de los menores principales de orden 2, de la matriz de coeficientes, obtenemos
Si elegimos, y, z como variables principales, obtenemos 4 y−5 z=17−2 x −7 y4 z=2−3 x
Cuya solución es y=
23 x – 78 19
z=
26 x – 127 19
O bien
23 x – 19 y=78 26 x – 19 z=127 Que probando se obtiene una solución particular x 0 , y 0 , z 0 =10,8,7 . Luego, la solución general es
x , y , z= 1019.t ,
23 .1019 – 78 26 .1019 – 127 , , t ∈ℤ 19 19
Es decir x , y , z =1019.t , 23 t8 ,26 t7 , t ∈ℤ
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