ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf

UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENIALES DE PRIMER ORDEN Índice……………………………………………………………………… 1 1.1 Teoría preliminar…………………………………………………. 2 1.1.1 Definiciones (Ec. D, orden, grado, linealidad)…………. 2 1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales…………... 4 1.1.3 Problemas del valor inicial……………………………….. 6 1.1.4 Teorema de existencia y unicidad………………………. 8 1.2 ED de variables separadas y reducibles………………………10 1.3 ED exactas y factor integrante…………………………………. 13 1.4 ED lineales………………………………………………………... 20 1.5 ED de Bernoulli…………………………………………………… 22 1.6 Aplicaciones………………………………………………………. 25 Bibliografía……………………………………………………………….. 25

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

1.1 TEORÍA PRELIMINAR. 1.1.1

DEFINICIONES.

Ecuación Diferencial.- Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes. Clasificación según el tipo Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación ordinaria. Por ejemplo,

(

)

Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo,

Son ecuaciones diferenciales parciales.

Samuel Betancourt Rojas

Página 1

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Clasificación según el orden El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo, (

)

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación diferencial puede llevarse a la forma

Dividiendo entre , es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La ecuación

Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden menudo mediante el símbolo (

se representa a

( )

)

El siguiente es un caso especial de (2). Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma ( )

( )

( )

( )

( )

Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades: (a) la variable dependiente junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada termino en es 1; y (b) cada coeficiente depende solo de la variable independiente . Una ecuación que no es lineal se dice no lineal. Las ecuaciones

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otra parte El coeficiente Depende de

El exponente no es 1

Son ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo y tercer orden, respectivamente.

1.1.2

SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Se dice que una función cualquiera, definida en algún intervalo , es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial (2) es una función ( ) que tiene por lo menos derivadas y satisface la ecuación. Es decir, ( Para todo Ejemplo 1 La función

( )

( )

( )

( ))

de . ⁄

es una solución de la ecuación no lineal ⁄

En

. Puesto que

⁄ Vemos que Para todo número real.

( )

⁄

A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo , se le denomina a menudo solución trivial. No toda ecuación diferencial tiene necesariamente una solución, como vemos en el ejemplo siguiente.

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Ejemplo 2 (a) Las ecuaciones diferenciales de primer orden. (

( )

)

No tienen soluciones reales. (b)

La ecuación de segundo orden ( solución real.

)

tiene solamente una

Soluciones explícitas e implícitas Se distingue además entre soluciones explícitas o implícitas de ecuaciones diferenciales. Ya vimos nuestra discusión inicial que es una solución ⁄ ⁄ explicita de . En y son soluciones explicitas de ⁄ ⁄ y , respectivamente. Se dice que una relación ( ) define implícitamente una ecuación diferencial en un intervalo , si define una o más soluciones explicitas en . Ejemplo 3 Para la relación ecuación diferencial

es una solución implícita de la

Derivando implícitamente se obtiene (

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)

(

)

( )

Página 4

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1.1.3

PROBLEMAS DEL VALOR INICIAL.

INTRODUCCIÓN Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una solución ( ) de una ecuación diferencial tal que ( ) satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una ( ) desconocida o sus derivadas. En algún intervalo que contiene a el problema (

(

)

) ( )

( )

( )

( )

Donde son constantes reales arbitrarias dadas se llama problema con valores iniciales (PVI). Los valores de ( ) y de sus primeras ( )( ) ( ) ( ) derivadas en un solo punto , se llaman condiciones iniciales.

PVI DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN El problema dado en (1) también se llama problema con valores iniciales de n-ésimo orden. Por ejemplo, (

) ( )

( ) (

Y ( )

) ( )

( )

Son problemas con alores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Estos dos problemas son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para la ecuación (2) estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contenga a , tal que su ). En la figura gráfica pase por el punto dado ( 1.2.1 se muestra en azul una curva solución. Para la ecuación (3) queremos determinar una solución ( ) de la ecuación diferencial ( ) en un intervalo que contenga a de tal manera que su ), grafica no solo pase por el punto dado ( sino que también la pendiente a la curva en ese punto sea el número . En la figura 1.2.2 se Samuel Betancourt Rojas

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 muestra en azul una curva solución. Las palabras condiciones iniciales surgen de los sistemas físicos donde la variable independiente es el ( ) tiempo y donde ( ) y representan la posición y la velocidad respectivamente de un objeto al comienzo o al tiempo inicial . Con frecuencia, resolver un problema con valores iniciales de n-ésimo orden tal como (1) implica determinar primero una familia nparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dad y después usando las n condiciones iniciales en determinar los valores numéricos de las n constantes en la familia. La solución particular resultante está definida en algún intervalo que contiene al punto inicial . Ejemplo 4 Mostrar que iniciales. (

( )

es una solución del problema con valores

)

( )

( )

⁄ Solución: Observe que ( ) ⁄ están definidas en ( ecuación diferencial tenemos (

)

( Que es válida para toda ecuación diferencial (10) en ( tenemos

(

y ). Al sustituir esto en la )

). Por tanto, ( ) es una solución de la ). Al verificar las condiciones iniciales

( ) ( ) Lo que cumple los requisitos de (10). Por tanto, problema con valores iniciales dado.

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( ) es una solución del

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1.1.4

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD.

Teorema 1. Dado el problema con valor inicial ( Supóngase que

y

⁄

)

( )

son funciones continuas en un rectángulo {(

)

}

). Entonces el problema con valor inicial tiene una Que contiene al punto ( única solución ( ) en algún intervalo , donde es un número positivo.

El teorema anterior nos dice dos cosas. La primera es que cuando una ecuación satisface las hipótesis del teorema1, tenemos la seguridad de que existe una solución al problema con valor inicial. Naturalmente, es bueno saber si la ecuación que tratamos de resolver realmente tiene la solución, antes de perder mucho tiempo tratando de resolverla. La segunda es que, cuando se satisfacen las hipótesis, existe una única solución del problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solución, entonces esta es la única solución para el problema con valor inicial. Gráficamente, el teorema dice que solo ). En otras palabras, para esta hay una curva solución que pasa por el punto ( ecuación de primer orden, no puede ocurrir que se crucen dos soluciones en algún punto del rectángulo. Observe que la existencia y unicidad de la solución solo es

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 ). Por desgracia, el teorema no nos indica válida en alguna vecindad ( el rango ( ) de esta vecindad (sólo que es distinto de cero). Al utilizar problemas con valores iniciales para modelar fenómenos físicos, muchas personas presuponen que las conclusiones del teorema 1 son válidas. De hecho, para que el problema con valores iniciales sea un modelo razonable, ciertamente esperamos que tenga una solución, pues desde el punto de vista físico “algo ocurre realmente”. Además, la solución debe ser única en aquellos casos en que la repetición del experimento bajo condiciones idénticas proporciona los mismos resultados. La demostración del teorema 1 implica la conversión del problema con valores iniciales en una ecuación integral y el uso del método de Picard para generar una sucesión de aproximación sucesivas que convergen a la solución. Ejemplo 5 (

Para el problema con valor inicial

)

( )

) ⁄ Solución: En este caso, ( y . Ambas funciones son continuas en cualquier rectángulo que contenga al punto ( ), de modo que se cumplen las hipótesis del teorema 1. Como consecuencia de este teorema, el problema con valor inicial (11) tiene una única solución en un ), donde es un numero intervalo con centro en de la forma ( positivo.

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1.2 ED DE VARIABLES SEPARADAS Y REDUCIBLES. Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden resolverse mediante integración es la clase de ecuaciones separables, ecuaciones como ( )

(

)

Que se pueden reescribir de modo que las variables y (junto con sus diferenciales y ) quedan aisladas en lados opuestos de la ecuación, como en ( ) Más formalmente, escribimos ( )

( ) ⁄ ( ) y presentamos la siguiente definición.

ECUACIÓN SEPARABLE Definición. Si el lado derecho de la ecuación (

)

Se puede expresar como una función ( ) que solo depende de , por una función ( ) que solo depende de , entonces la ecuación diferencial es separable.

En otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir en la forma ( )

( ) ( )

Por ejemplo, la ecuación

Es separable, pues (si uno está alerta para detectar la factorización) ( ) ( )

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Sin embargo, la ecuación

No admite tal factorización del lado derecho y, por tanto, no es separable. De manera vaga, las ecuaciones separables se resuelven realizando la separación y luego integrando cada lado. MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES SEPARABLES Para resolver la ecuación ( ) ( ) Multiplicamos por

y por ( )

⁄ ( ) para obtener ( )

( )

Luego integramos ambos lados: ∫ ( ) ( )

( )

∫ ( ) ( )

Donde hemos juntado las dos constantes de integración en un solo símbolo . La última ecuación proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial.

Ejemplo 6

Resolver la ecuación no lineal

Solución: Siguiendo el método ya delineado, separamos las variables y escribimos la ecuación en la forma (

)

Al integrar tenemos ∫

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∫(

)

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Y al despejar

en esta última ecuación se tiene ⁄

(

)

Como es una constante de integración que puede ser cualquier número real, 3 también puede ser cualquier número real. Al reemplazar por el símbolo , tenemos ⁄

(

)

Si queremos apegarnos a la costumbre de seguir representando mediante a una constante arbitraria, podemos usar en vez de en la respuesta final. Esta familia de soluciones se grafica en la figura 2.3.

Como muestra el ejemplo 6, las ecuaciones separables se encuentran entre las más sencillas de resolver. Sin embargo, el procedimiento requiere una habilidad para el cálculo de integrales. Muchos de los procedimientos que serán analizados en el texto también exigen cierta familiaridad con las técnicas de integración.

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1.3 ED EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE. ECUACIONES EXACTAS ) representa cierta cantidad física, como Suponga que la función matemática ( ). Entonces, las curvas de nivel de , la temperatura, en una región del plano ( ) donde ( , puede interpretarse como isotermas en un mapa del clima, como se muestra en la figura 2.8 ¿Cómo se calcula la pendiente de la tangente a una curva de nivel? Fácil: ) como ( en la curva de nivel, la diferencia total de a lo largo de la curva es igual a cero: ( )

(

)

Así, la ecuación para su pendiente ( ( )

) en el punto (

(

) esta dada por

⁄ ⁄

)

Como la ecuación (2) tiene la forma de una ecuación diferencial, podríamos invertir esta lógica y obtener una técnica muy sencilla para resolver algunas ecuaciones diferenciales. Después de todo, cualquier ecuación diferencial de ( ) se puede escribir en la forma diferencial primer orden ⁄ ( )

(

)

(

)

(de varias formas). Ahora, si el lado izquierdo de la ecuación (3) se puede identificar como una diferencial total: (

)

(

)

(

)

Entonces sus soluciones están dadas (de manera implícita) por las curvas de nivel (

)

Para una constante arbitraria .

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Ejemplo 7

Resuelva la ecuación diferencial

Solución: Algunas de las opciones de formas diferenciales que corresponden a esta ecuación son ( )

Sin embargo, la primera forma es mejor para nuestros fines, pues es una ) diferencial total de la función ( : (

)

[

] (

)

(

)

Así, la soluciones están dadas de manera implícita por la formula Véase la figura 2.9

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.

Página 13

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 A continuación presentamos algo de terminología. FORMA DIFERENCIAL EXACTA ) Definición 2. La forma diferencial ( ) tal que rectángulo si existe una función ( ( )

(

Para toda (

)

(

(

)

)

(

)

)

)

(

) en . Es decir, la diferencial total de ( (

Si

(

(

)

(

es exacta en un

)

(

)

) satisface

)

es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación (

)

(

)

Es llamada ecuación exacta. Como es de sospechar, en las aplicaciones es raro que una ecuación diferencial se presente en la forma diferencial exacta. Sin embargo, el procedimiento de solución es tan rápido y sencillo para estas ecuaciones que les dedicaremos la presente sección. Del ejemplo 7, vemos que necesitamos (i) un ) ( ) es exacta y, criterio para determinar si una forma diferencial ( ). en tal caso, (ii) un procedimiento para determinar la propia función ( El criterio para la exactitud surge de la siguiente observación. Si (

)

(

)

Entonces el teorema del cálculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales mixtas continúas

Indica una “condición de compatibilidad” sobre las funciones (

)

(

y

:

)

De hecho, el teorema 2 indica que la condición de compatibilidad también es para que una forma diferencial sea exacta.

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 CRITERIO DE EXACTITUD Teorema 2. Suponga que las primeras derivadas parciales de son continuas en un rectángulo . Entonces ( Es una ecuación exacta en ( )

(

Se cumple para toda (

)

(

(

) y

(

)

)

si y solo si la condición de compatibilidad

)

(

)

) en

MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES EXACTAS ( ) (

Si es exacta, entonces ecuación con respecto de para obtener )

(

)

(

)

⁄

. Integre esta última

( )

( )

Para determinar ( ), calcule la derivada parcial con respecto de de ⁄ . Ahora ambos lados de la ecuación ( ) y sustituya en vez de ( ). podemos hallar

( )

Integre ( ) para obtener ( ) salvo una constante numérica. Al sustituir ( ) en la ecuación ( ) se obtiene ( ).

( )

La solución de

esta dada de manera implícita por (

)

⁄ (En forma alternativa, partiendo de , la solucion implícita se puede determinar integrando primero con respecto de .

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES Si consideramos la forma canónica de la ecuación diferencial lineal ( )

( )

Y la reescribimos en forma diferencial multiplicándola por [ ( )

, obtenemos

( )]

Es claro que esta forma no es exacta, pero se vuelve exacta al multiplicarla por el ∫ ( ) . Tenemos que la forma es factor integrante ( ) [ ( ) ( )

( ) ( )]

( )

( ). Y la condición de compatibilidad es precisamente ( ) ( ) Esto conduce a generalizar el concepto de factor integrante. FACTOR INTEGRANTE Definición 3.

Si la ecuación

( )

(

)

(

)

No es exacta, pero la ecuación ( )

(

) (

)

(

) (

)

Resultante de multiplicar la ecuación (1) por la función ( ) es un factor integrante de la ecuación (1). entonces ( Ejemplo 8 ( )

Mostrar que ( (

)

)

) sí es exacta,

es un factor integrante de

(

)

Utilice este factor integrante para resolver la ecuación. Solución: Dejaremos al lector la verificación de que ( ) no es exacta. Al multiplicar ( ) por ( ) , obtenemos ( )

(

)

Para esta ecuación tenemos que Samuel Betancourt Rojas

(

) y

. Como Página 16

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 (

)

(

)

) La ecuación ( ) es exacta. Por tanto, ( es en realidad un factor ( ). integrante de la ecuación Ahora resolveremos la ecuación ( ) mediante el procedimiento de la ), primero integramos sección de ecuaciones exactas. Para hallar ( con respecto de : (

)

)

∫(

( )

( )

Al considerar la derivada parcial con respecto de (

)

(

y sustituir en

, tenemos que

)

( ) Así, ( ) ( ) implícita por

, de modo que podemos considerar ( ) . Por tanto, y la solución de la ecuación ( ) esta dada de manera

Aunque las ecuaciones ( ) y ( ) tienen esencialmente las mismas soluciones, es ). En este caso, posible que se pierdan o ganen soluciones al multiplicar por ( es una solucion de la ecuación ( ) que no lo es de la ecuación ( ). La solución extraña surge debido a que, al multiplicar ( ) por para obtener ( ), en realidad multiplicamos ambos lados de ( ) por cero si . Esto nos proporciona como solucion de ( ), aunque no sea solución de ( ). En general, al usar factores integrantes, usted debe verificar si cualquier ) solución de ( es en realidad una solución de la ecuación diferencial original. ) es un factor integrante de ( ) ¿Cómo hallar un factor integrante? Si ( con primeras derivadas parciales continuas, para verificar la exactitud de ( ) debemos tener [ (

) (

)]

[ (

) (

)]

Al usar la regla del producto, esto se reduce a la ecuación ( )

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(

)

Página 17

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 Pero resolver la ecuación diferencial parcial (5) en términos de es por lo general más difícil que resolver la ecuación original (1). Sin embargo, hay dos excepciones importantes. FACTOR INTEGRANTE ESPECIALES Teorema 3. - Si (

⁄

⁄

( )

)⁄

( )

es continua y solo depende de , entonces [∫ (

⁄

⁄

)

]

Es un factor integrante para la ecuación ( ). -

Si (

⁄

⁄

( )

( )

)⁄

es continua y solo depende de , entonces [∫ (

⁄

⁄

)

]

Es un factor integrante para la ecuación ( ). El teorema 3 sugiere el siguiente procedimiento. MÉTODO PARA HALLAR FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES Si

(

⁄ )

⁄

⁄ ⁄ . Si no es separable ni lineal, calcule y , entonces la ecuación es exacta. Si no es exacta, considere ⁄

(

⁄

)

Si ( ) solo depende de , entonces un factor integrante esta dado por la formula ( ). En caso contrario, considere (

)

(

⁄

Si ( ) solo depende de formula ( ).

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⁄

)

, entonces un factor integrante esta dado por la

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1.4 ED LINEALES. Las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son: ) la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, y ) cada coeficiente depende solamente de la derivada independiente (o constante). Definición. ( ) ( ). La forma general de una ecuación lineal de primer orden es Si ( ) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si ( ) entonces es lineal no homogénea. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Si ( )

es de variables separables.

Si ( )

1. Método del factor integrante. 2. Método de variación de parámetros.

Y la forma de la solución es: Para ( )

( )

Para ( )

∫ ( )

Se obtendrá la solución para ( ) de variación de parámetros. 1.

[∫

∫ ( )

( )

]

, usando el método de factor integrante y el

Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos ( ) ( ) en exacta y se convierta la ecuación diferencial resolverá por el método de las exactas.

El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea ∫ ( ) , sugiere la posibilidad de que un factor para la correspondiente sea no homogénea sea de la forma ∫ ( ) . Se probara esto. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos: ∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

Al observar el primer miembro de la ecuación, se ve que esta en un término, su derivada en otro y la exponencial que acompaña a la es la derivada de la exponencial que acompaña a , realmente se puede expresar como la derivada de un producto de funciones: Samuel Betancourt Rojas

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Entonces:

(

∫ ( )

)

(

∫ ( )

( )

∫ ( )

Integrando con respecto a :

∫ ( )

)

∫ ( )

∫ ( ) [ Despejando ∫ ∫ ( ) ya indicada y satisface a la ecuación lineal.

( )

∫ ( )

] que es la solución general

Como ∫ ( ) nos llevó a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas. 2.

Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual en matemáticas introducir cambios de variables, hacer sustituciones o reemplazar funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo.

Sabe que la solución general de la ecuación general para la ecuación ∫ ( ) ( ) diferencial homogénea de primer orden , es: Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial lineal no homogénea: ( ) ( ) Se realizara la siguiente variación de parámetros en la solución general de la homogénea: ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) será una solución de la no homogénea, siempre Entonces, ( ) y cuando podamos encontrar una función ( ) tal que dicha solución satisfaga a la ecuación. Si es solución, lo cual se supondrá de momento, entonces derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, se tiene:

(

)

Como es la solución de la homogénea, el paréntesis se hace idénticamente cero, ya que siempre que se sustituye la raíz o solución en una ecuación, esta se hace cero. Se obtiene entonces: de donde . Integrándola,

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∫

.

Página 20

[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 La función existe porque es solucion, entonces línea no homogénea y toma este aspecto: ∫ ( )

Es decir,

∫ ( )

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[∫

∫ ( )

( )

[∫

( ) ∫ ( )

es solución de la

]

], que es hacia donde se quería llegar.

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1.5 ED DE BERNOULLI. Es una ecuación de la forma: ( ) Para

( )

la ecuación es lineal.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN: 1. 2. Ejemplo 9

1.

Convertirla en lineal mediante la sustitución: sin convertirla en lineal, mediante la sustitución:

( ) ( )

Resolver la ecuación:

Aquí: Entonces, Sustituyendo, Dividiendo entre

y :

Que ya es una ecuación lineal en la variable , con solución:

Como

, entonces:

2.

Sea

Sea ( ) la solución de ecuación dada se transforma en: (

, es decir, ( )

la

)

Sustituyendo ( ), después de haber dividido la ecuación:

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[UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.] 3 de febrero de 2014 (

)

Como (

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)

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1.6 APLICACIONES. Muchos de los problemas de la física como el movimiento de un sistema de masas unidos a resortes, como también algunos otros problemas prominentes de la ingeniería, etc. incluyen las ecuaciones diferenciales de orden superior para representar el estado de tal sistema. Para tú asombro, incluso las actividades deportivas como el paracaidismo incluyen los conceptos de las ecuaciones diferenciales de orden superior para describir el movimiento de un cuerpo en el aire, su velocidad, aceleración, etc. Algunos de los ejemplos prominentes que toman en cuenta las ecuaciones diferenciales de orden superior son los siguientes. 1. Paracaidismo: Es uno de los deportes de aventura más famosos y reconocido en todo el mundo. Pero muy pocas personas son conscientes de que incluye los conceptos de ecuaciones diferenciales con el fin de rastrear los objetos volando en el aire. Es muy importante hacer esto, porque que la velocidad del objeto debe estar dentro de los límites especificados mientras se aproxima al suelo. Para ello se presta especial atención a la velocidad dentro del tiempo de proyección para un aterrizaje seguro. Velocidad, aceleración y posición son las cantidades principales que demuestran el movimiento de un cuerpo. Desde el principio, la física ha demostrado que la aceleración es el diferencial de la velocidad respecto al tiempo y que la velocidad que es el diferencial de la posición con respecto al tiempo. Esto implica que si de alguna manera nos las arreglamos para obtener una de las cantidades, entonces también podemos obtener las otras dos cantidades.

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Bibliografía

• • • • •

Ecuaciones diferenciales – 4a Edición – R. Nagle, E.saff y A. Snider Ecuaciones Diferenciales – 5a Edición – Carmona Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones – 2a Edición – Denniz G. Zill Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones – M. Braun Ecuaciones Diferenciales – D. Zill – 8ª Edición

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