Ecuaciones Diferenciales

 

 

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m 3/s que vierten sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días). Primero extraemos los datos del enunciado anterior:

  Volumen del lago = 10000 millones de



     Caudal saliente del lago = 8000     Sustancia contaminante = 2   

  

  Caudal entrante al lago = 6000



 



 



Hallamos una ecuación diferencial para calcular la concentración de contaminación en el transcurso del tiempo, lo cual significa que la ecuación estaré en la función del tiempo (t).

     B = 8000     C1 = 2   

  Taza de entrada al lago, A = 6000



  Taza de salida del lago,



  Concentración entrante,



  Concentración saliente dependiente del tiempo C (t)?



V (t) es el volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo. Q (t) es la cantidad contaminante en cualquier instante de tiempo. C (t) es la concentración que hay en cualquier instante de tiempo.

( )  () = ()  Analizamos  Analizamo s las variables variables anteriores: anteriores: La variación del volumen depende del tiempo.

 

 

 =  −    La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale:    = (    −  )  Integramos ambos lados de la ecuación:

∫=∫(  − )  Solucionando las integrales nos queda:

 = (  − )()() +   Para hallar C partimos de la condición inicial de volumen t = 0

(0)= (  − )()(00) +   (0)=  Como A y B no son iguales, el volumen es dependiente de los contaminantes bombeados con tendencia al bajo volumen en el lago, lo que ingresa es menor a lo que sale. V(t) = (A-B)(t) + C

Y para Q

  =1−2 

 

  R1 = razón de entrada = A * C1 R2 = razón de salida =

 ∗ () = ∗()()

Entonces

 =∗−  ∗ ()  ()  =∗−  ∗ ()  () Si se bombean contaminantes a razón de 2m3/s entre las 04:00am a 06:00am y de 04:00pm a 06:00pm, lo anterior quiere decir que se emplean 4 horas diarias de bombeo de contaminantes lo que significa que por día, se bombean 28800m3; así: Entonces, se puede establecer que de 04:00am a 06:00am vierte 7200m3 de contaminantes y que la misma cantidad vierte de 04:00pm a 06:00pm. 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos. 7200m3 a razón de 2m3/s

 Ahora bien, después de 1 mes tendríamo tendríamos: s: Si se vierten 28800m3 por día multiplica multiplicados dos por 30 días (1 mes) sería:

3 ∗ 30 íí (1 ) 3   28800 í ) = 86 8640 4000 00  3   ∗ 36 3   28800 í 3655 í í (1 ñ) ñ) = 10 1052 5210 1000 00 ñ