Ecuaciones Diferenciales

 

26 2600

 E  Edu du ar do E sp in oz a R am os

CAPÍTULO V

5.

ECUACIONES ORDEN n

DIFERENC DIFERENCIALES IALES

LINEALES

DE  DE 

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son de la form a siguie siguiente: nte: a n  W

dnv d n_*1' — + a n - \  O ) — ~ r + + a0 ( X ) y = *(*) dx dx

donde a 0 , a l , a 2 , . . . , a n  y R son funcio funciones nes solo de x ó constante. La ecuación diferencial (1) se puede escribir en la forma: F { x , y \ y " , . . . , y (n)) =  0

... ( 2 )

La ecuación (2) nos indica que están relacionadas, la variable independiente x, la variable dependiente y, y las derivadas Si en la ecuación (1) la función R(x) = 0, se obtiene:  j n - \ d    v

a n ( * ) -- 7 + a n - 1 ( X )  

dxn

dx

¿ T  + - + a l ( x ) —

+ °0 

=

0

••• (3)

A la ecuación diferencial (3) se denomina ecuación diferencia diferenciall lineal homo homogénea. génea. Si en la ecuación (1), la función R (x) * 0, la ecuación diferencial (1) se denomina ecuación diferencial lineal lineal no homogénea. h omogénea. Si  y ¡ , y  2   son soluc soluciones iones de la ecuació ecuaciónn diferencial (3) y si c, y c 2  son constantes arbitrarias, entonces  y = ccll y¡   + c 2 y 2  es una solución de la ecuación ((3). 3). Como y,,  y 2  son sol soluciones uciones de la ecuación (3) entonces entonces::

 

261

 Ecu  E cu ac ion io n es D if ifer er en ci cial al es L in ea les le s de Or de den n n

. \ y-n ’  / \ \ i \ a„(x)y, +an_,(x)y,  + ...+ a ,( x) y ¡+ +...+ ¡+ a0(x)y¡/ = O

a„ (x) y2n + an an_{ _{(x (x )y 2' '

rv

a , ( x ) y ' 2+ a o( o( x ) y 2 = 0  

sumando y agrupando se tiene: ü „