Ecuaciones Diferenciales
September 20, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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PRIMERA TAV MATEM MA TEMÁTI ÁTICA CA II Mgter. FREUNDT SANTIMPERI SÁNCHEZ
ECUACIONES DIFERENCIALE DIFERENCIALES S VERIFICAR SOLUCIÓN DE UNA ED
DEFINICIÓN
CONCEPTOS PREVIOS
CLASIFICACIÓN
ORDEN DE
SEGÚN SU TIPO
UNA ED GRADO DE UNA ED
SEGÚN SU ORDEN SEGÚN SU LINEALIDAD
RESOLUCIÓN DE ED
EDO EN VARIABLES SEPARABLES REDUCTIBLES A V.S.
EDO
EDO EXACT E XACTAS AS
HOMOGÉNEAS REDUCTIBLES A
CON FACTOR INTEGRANTE
ED LINEALES ED DE BERNOULLI
HOMOGÉNEAS
ED DE RICCATI
APLICACIONES DE LAS ED
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
LEY DE DESCOMPOSICIÓN Y DECRECIMIENTO DECRECIMIENTO
DINÁMICAS DE EPIDEMIAS
TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICIÓN
CÁLCULO DE LA TLP
PROPIEDADES TLP DE LA DERIVADA TEOREMAS TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
TLP DE INTEGRALES
CONVOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE EDO PROPIEDADES
BREVE REVISIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL
DERIVADAS DERIV ADAS DE FUNCIONES SIMPLES DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS DERIVADAS DERIVADAS DERIV ADAS DE ORDEN SUPERIOR
DERIVADAS IMPLÍCITAS DERIVADAS PARCIALES
INTEGRALES DIRECTAS INTEGRALES NO DIRECTAS INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN INTEGRALES INDEFINIDAS
INTEGRALES POR PARTES INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA INTEGRALES RACIONALES
CÁLCULO DIFERENCIAL 1. f ( x)
ln x( x
4 x 6 )
SOLUCIÓN
f ' ( x ) (ln x)' ( x 4 x 6 ) ln x( x
f ' ( x) 2. f ( x)
x 4 x 6
x
1
4 x 6 )'
5
ln x( 2 x
24 x )
cos x 4 7 x x 9
SOLUCIÓN
f ' ( x)
(cos x 4)' (7 x x 9 ) (7 x x 9 )' (cos x 4) (7 x x 9 ) 2 ( senx)(7 x x 9 ) (7 9 x 8 )(cos x 4)
f ' ( x)
(7 x x 9 ) 2
x 1 3. f ( x ) x 2 1 2
3
SOLUCIÓN 2
x 2 1 x 2 1 f ' ( x ) 3 ' x 2 1 x 2 1 2
x 2 1 ( x 2 1)' ( x 2 1) ( x 2 1)' ( x 2 1) f ' ( x) 3 2 2 2 ( x 1) x 1 2 2 2 2 12 x ( x 1) x 1 4 x f ' ( x ) 3 f ' ( x ) ( x 2 1) 2 x 2 1 ( x 2 1) 4
4. f ( x) cos 3 x SOLUCIÓN
f ' ( x )
f ' ( x )
sen 3 x (3 x )'
3 x sen3 x ln 3
f ' ( x )
sen 3 x.3 x. ln 3
CÁLCULO INTEGRAL 1 n
1. (nx)
n
dx
Solución: n
1 n
1 n
1 n
n
n
x
1 n
dx
n
n
1 n
1 n
x
n
dx
n
x
1
1 n
n
n
1 n
c 1
n n
1
n
2.
n
nx
1 n
c
1
1
n
n
n x
( x 2 1)( x 2 2) 3 2
n
nx
c
dx
x
Solución: 10
13
4
3
43
3 x x 13
3 x
2
( x x 2 x )dx 3
c
3
3 x
7
x
63
3
13
23
x c
7
3 x 3 7
1
6 x 3
c
n
n
1
x n c 1 n
3. ( x 2 ) sen ( x 2 4 x 6)dx
Solución: Sea ( x 2
1
1
2
4 x 6) u
(2 x 4) dx du
2( x 2) sen ( x 2 4 x 6)dx
senu du 2 1
cos u c 2
1 2
2 cos( 6) c x 4 x
2( x 2) dx du
4.
x
5 x 6 dx x 4
2
2
Solución: dx xdx 2 5 x dx 2 2 5 2 1 dx x 4 x 4 x 4 2
Sea x
dx 2
x
x
2 2
dx x
2
5
4 2
x arctg
2
2
x
5
2
2
arctg
5
ln u
ln x
2
du u
c
4
c
2
4
u
2 xdx
du
5.
xe
x
dx
Solución: I
L
A
T
x
Sea x
Sea dv
u
x
e dx
E
e
dx du x dv e dx
v e x
uv vdu
xe e x
x
x
dx
xe
x
e
x
c
6.
x
3
3 x 1 dx x 1 2
2
Solución: x 2 x 3 dx x 1 2
x 2 x 2
1
B
x 2
A( x 1) B ( x 1)
x 1
x 2
( A B) x ( A B )
A
x 1
A B 1 A B 2
3/ 2 1 / 2 x 3 dx x 1 x 1
xdx 3 dx x
2
2
3 x
3
dx
1
2 x 1 2 x 1
3 ln x 1
ln x 1
2
dx
c
2
A
3 ; B 2
1 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCIÓN •
En álgebra, se resolvían ECUACIONES ALGEBRAICAS 3 x
1
7 •
2 4 x 3
5 x
14
4
7x
x
6
580
2
x 0 TRIGONOMÉTRICAS cos x 3 sen Las palabras ECUACIONES y DIFERENCIALES, nos hacen pensar en ECUACIONES que contienen
"2 ' •
x 2
2
En trigonometría, se resolvían ECUACIONES 2
•
2
0
y y y DERIVADAS ENTONCES : To Toda ecuación que establece la
dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial
EJEMPLO E n C álcu cullo:
d a d a u n a f u n c i ó n f ( x ) , s e h a l l a b a s u derivada f’(x) y
x
e
2
y '
e
x
2
'
dy dx dy dx
Reemplazamos:
x
e x 2
x2
'
e .( x )'
2
dy dx
x2
2 xe
2
e por y
dy dx
2 xy
El objetivo es determinar la función desconocida quee sati qu tissfa faga ga la ec ecua uaci ción ón di dife fere renc ncia iall
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ec ecua uaci ción ón dife di fere renc ncia iall se llllam amaa ordinaria dy 2 x dx
Si la función desconocida depende de más de una variable, se llama v v ecuaci ecu ación ón dif difere erenci ncial al parcial 2 v 2
x
2
2
y
2
La frase de manera no trivial tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar qui uiéén se seaa la fu funnci cióón des esccono noci cida da sen dy cos dy 1 2
2
dx
dx
ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS
OR ORD EN DE A ECUA UACI CIÓN ÓN DIFE FERE REN NCIA IAL Es elDorden deUlaNderivada más altaDI que aparece enLla ecuación. Ejemplos: 3
dy dx
x y
2
d 2 y dx
2
dy dx
Orden 1
6 y 0
2
y ' ' ' y ' ' y ' y
Orden 2
3
sen3 x
2
4
d y dy 2 5 4 y e x Orden 2 dx dx 2
5
y 3 d y y e x d dx dx 4
Orden 3
3
2
Orden 4
GRAD GR ADO O DE UNA ECUACI CIÓN ÓN DI DIF FERE RENC NCIA IAL L
Esecuación la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la Ejemplos: dy
2 x y
1er Grado
d 2 y 2
dy dx
6 y 0
2
d y d y x 3 dx y e dx
1er Grado
3er Grado
dy 4 y e x d y2 5 2do Grado dx dx sen3 x
1er Grado
3
2
3
2
y ' ' ' y ' ' y ' y
5
2
4
dx dx
3
4
Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales 2
1) d y dx 2
5 x
dy dx
2) y ' 3 y ' '
2
3y
0
5 y 3 x 2
3)( x y )dx y x dy 2 d y dy x senx x 4) e 2 dx dx 3
2
4
5) dy xy 0 d y3 2 dx dx 3
d y dy tgx 6) 3 2 2 dx dx dx 3
d y
2
d 2 y
dy 4 7) 2 y dx dx
2
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN SU TIPO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO ECUACIONES EN DERIVA D ERIVADAS DAS PARCIALES
SEGÚN SU ORDEN ECUACIÓN DIFERENCIAL DE 1er ORDEN ECUACIÓN DIFERENCIAL DE 2do ORDEN ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN n
SEGÚN SU LINEALIDAD ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EDO Son ecuaciones dififeeren enccia iale less que contie iennen una o más derivadas de una función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo so lo de deriv rivad adas as or ordi dina naria riass
Ejemplos: 2
dy dx
10 y e x
dy 6 y 0 d y 2 dx dx
y ' ' y ' xy
cos x
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES S osnpe eccto uaacio ion neso dmá ife fersreva ncria iale ia sesqin uedep coendi ntitie enente entesslas derivadas parciale less res re pec dos más vari ales ble bl ind epen dien
Ejemplos: u
x x
u
y y
u u u x t 4 t 3
u
2
3
2
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Son ecuacion onees diferencia iale less que se pueden expresar de la sig iguuien ente te forma:
d n y an ( x) n dx
d n 1 y dy an 1 ( x ) ... a1 ( x ) dx n 1 dx
a0 ( x) y g ( x)
CONDICIONES:
La función desconocida (y) y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es decir, de potencia 1.
Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen depe nden solo de la variab variable le independie independiente nte (x).
NOTA: Las funciones
seny ; e
y
no pueden aparecer en una
ecuaci ecua ción ón di dife fere renc ncia iall liline neal al En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la ecuación diferencial es no lineal .
loss: indicar qué ED son lineales Ejemplo y ' ' '2 xy ' ' x 1
d 4 y dx
4
y ' '( y
x
3
cos x 2
d 3 y dx 3
dy dx
y0
1) y ' x
dy
dx
6 y
e x
d 3 y
dy 2 x y 0 3 dx dx dx 1 2 sen3t 5t x 3 dt t
y x dx 4 xdy 0
SOL OLU UCI CIÓN ÓN DE UN UNA A ECUA UAC CIÓ IÓN N DI DIFE FERE RENC NCIA IAL L Cuando una función f, definida en un intervalo I, se sustituye en una ecuación dife ferrencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo
VERI VE RIFI FICA CACI CIÓN ÓN DE SO SOLU LUCI CION ONES ES P dipferorebnacriasli esarnaevceersiaficriaor ssui sutintuairflaunjucinótno ecosnsotoludcaisónsudseduenraivaedcausacyiócnom la igualdad se cumple.
Ejemplos: 1. Verificar que y
es la solución de la ecuación diferencial
16
dy dx
x 4
xy1/ 2
Solución: y ' xy
1/ 2
x 3
Como : y '
Re emplazando :
x 3
4
x
4
x 3 4
x 4 16
x 3 4
2. Verific erificar ar que
y
e
3 x
10e
2 x
Solución: y ' 2 y
e3
x
es la solución de la ED dy dx
Como : y ' 3e 3 x
Re emplazando : 3e
3 x
20e 2 x
2
e 2 x
20
e 3 x
e 2 x
10
e
3 x
e3 x
e
3 x
3. La función y xe x es una solución de la ED d 2 y dy 2 y 0 2 dx dx
Solución:
y ' '2 y ' y 0
x
Como : y ' e
Re emplazando : 2e x
x
e x y ' ' 2e x
e x x 2e x e x x xe x 0
e x x
0
0
2 y
e3 x
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMERDIFERENCIALES ORDEN
VARIABLES SEP SEPARABLES ARABLES ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES Trabajamos con ecuaciones diferenciales dif erenciales ordinarias de primer orden y de primer grado, cuya forma es la siguiente: dy
F x, y, 0 dx
g ( x , y ) Despejamos la derivada: dy dx
Si esta ecuación diferencial se puede expresar de la forma: M ( x)dx N ( y )dy 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de variable separable Para hallar la solución, se integra:
M ( x)dx N ( y)dy C
EJEMPLOS: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales dy
2 x
Resolución de integrales ( 1 e 2 x )dx dx e
1) dx 1 e
Solución:
2x
dy (1 e )dx
u
2 x
(1 e ) dx dy 0
(1 e )dx
2 x
x
y
e 2 x
2 e
2 x
1
dy 0 y
c
2 x 2c 2
2x
dx
2 x
2 x du
e du 2
e
2dx
2 x
2
dx
e dx
u
e
2x
e
dx
x
2 x
2
NOTA : e3 x 2 y e 3 x .e 2 y
dy
2)
dx
e 3 x
2 y
Resolución de integrales 2 y
Solución: dy e
2 y
e 3 x dx
2
e
y
e
e
y 3e 2
3
2 y du
e du
u
e
x 2e 3
2dy
u
e
2
ln( x 1) c e
c
2
x
c
e
c 1
2 2e 3 x y ln k 3
y
2
3 x
2e 3
k
2e 3 x ln 3 k 2 y 3 x 1 2e
2 ln
3
k y
1
2 y
3 x
2
Explicación del ln
dy e x dx 0
2 y
1
dy u
2 3
e
3)
dy dx
x 2 1 2 y
Encuentra la solución general y la particular para la cual y = 4 cuando x = -3 Solución:
(2 y )dy ( x
(2 y )dy
y 2 y
42
2
2
1)dx
2(4)
2
( x 2 1)dx 0 2
x) c
Solución General
3)
c
3
x 2 ( 3
( 3) 3 ( 3
c
12
3
2 y y ( x 2 3
x)
Solución Particular
12
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCTIBLES A VARIABLES SEPARABLES Trabajamos dif erenciales de la siguiente forma: f orma: dy con ecuaciones diferenciales f ( ax by c ) donde a, b, c, son constantes dx
Para resolver se aplica el siguiente modelo: z ax c dy 1 dz z ax by c y
b
b dx a f ( z ) 1 dz
dz dx
a bf ( z )
dz
dx
dx
a b dx
a bf ( z )
EJEMPLOS: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1) y 'e x e y
1
Solución: dy dx
1
x y
e
z
e
dz
z x y y z x
dy dx dz dx
dz dx
1 1
dz z
e
e
dx
1 z
e
dx
0
z
e
x y
c
ln(c
x
c
x c
x
x )
e
x y
x
y
y
x ln(c x)
y x ln(c x )
2) ( x y ) 2 y ' a 2
Solución: 2
( x y )
dy dx
a
z
dx
z x y y
z
dy dx
a
2
2
z
y
dx
2 a 2 z
x
dx
1
( a arc tg
arc tg (
a
2
z
y c
z 2 dz
dz
dz
2
2
dz 2 2 a z
dx
0
x y
)c
a
x y
)
a tg (
y c a
)
x y a
y z 2 ( dz 1) a 2 dx 2
z
dz dx
2
z
a
2
z
a arc tg z a
( x y a arc tg
x
x y a
c
x y a tg ( a k )
) x c
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 2 x 1
dy
3
1) dx 2)
dy dx
3 y
2
y
2
x
y
( senx )y 0
x
ke
c x
cos
x x 3) (1 e x ) yy ' e
Sujeta a y(0) = 1
y
e 1 1 2 ln 2
x 4) e x sec ydx 1 e sec ytgydy 0
1 e x
2(1 e3 ) cos y
y = 60° si x = 3 5) y '1
( x y ) m ( x y ) ( x y ) n
( x y ) n m 1 n m 1
p
( x y ) p
m 1
p m 1
x c
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