Ecuaciones Diferenciales

Eliminación de Constantes Arbitrarias Algunos ejercicios resueltos sobre eliminación de constantes y familias de curvas. Tomados del libro Ecuaciones diferenciales elementales de Earl D. Rainville Elaborado por Prof. José A. Siles Matagalpa

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Prof. José A. Siles

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Familia de Curvas

En cada uno de los ejercicios obténgase la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas y bosquéjese algunos miembros representativos de la familia. 1. Rectas que pasan por el origen. Solution 1 Recordemos la ecuación para la pendiente de una recta m=

y2 x2

y1 ; x2 6= x1 x1

sabemos que las rectas pasan por el origen, luego un punto de esas rectas es (0; 0) así la pendiente es y 0 x 0 y m = ó x y = mx ( ) m =

Derivando ( ) tenemos y

= mx ( ) ! dy = mdx dy ! =m ( ) dx

Sustituyendo ( ) en ( ) resulta y

ydx

= mx dy y = dx ydx = dyx dyx = 0

1

x

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y

15

10 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5 -10 -15

Familia de rectas que pasan por el origen 2. Rectas que pasan por el punto …jo (h; k) : Solution 2 Partiendo de la ecuación de la pendiente m = xy22 obtenemos y2 y1 m = x2 x1 y k m = ó x h (y k) = m (x h) ( )

y1 x1

y el punto …jo (h; k) ;

Derivando ( ) obtenemos (y

k) = m (x h) dy = mdx dy m = ( ) dx

Sustituyendo ( ) en ( ) resulta (y

(y

k) dx

k)

= m (x h) dy (y k) = (x h) dx (y k) dx = (x h) dy (x h) dy = 0 4 2

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y

20

10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-10

Familia de rectas que pasan por un punto …jo

3. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje y, iguales. Solution 3 La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación y = mx + b: Luego el intercepto con el eje y es b; i:e las rectas cortan al eje y en el punto (0; b) : Si la pendiente y la intercepción con el eje y son iguales, entonces x = b; luego podemos escribir y y y

= mx + b = mx + m = m (x + 1) ( )

Derivando ( ) obtenemos dy

= mdx dy ( ) m = dx

Sustituyendo ( ) en ( ) tenemos que

ydx

y

= m (x + 1)

y

= (x + 1)

(x + 1) dy

= 04 3

dy dx

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y

10

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

Familia de rectas con pendiente e intercepto con y iguales

4. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje x, iguales. Solution 4 Partiendo de la ecuación de la pendiente m=

y2 x2

y1 x1

además sabemos que la pendiente y la intercepción con el eje x son iguales. Si (x; 0) es el intercepto con el eje x entonces (x; 0) = (m; 0) : Evaluando este punto en la fórmula para la pendiente, obtenemos y 0 x m = m (x m)

m = y

( )

Derivando ( ) obtenemos dy

= mdx dy m = = y0 ( ) dx

4

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Sustituyendo ( ) en ( ) obtenemos y y

= m (x = y 0 (x

y

= y0 x

(y 0 )

2

= y0 x

y 4

(y 0 )

y -5

-4

-3

-2

m) y0 ) 2

5

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

-15

-20

Familia de rectas con pendiente e intercepto con el eje x iguales. 5. Rectas con la suma algebraica de los interceptos iguales a k: Solution 5 La recta cuyas intercepciones con los ejes x y y son a 6= 0 y b 6= 0; respectivamente, tiene por ecuación x y + =1 a b de aquí es fácil deducir que ay + bx = ab ( )

recordemos que a + b = k (la suma algebraica de los interceptos iguales a k), entonces escribamos a en términos de b y k; esto es a = k b; y sustituyamos en ( ) (k b) y + bx = (k b) b ( ) 5

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derivando ésta última ecuación b) y 0 + b = 0

(k

despejando para b ky 0

by 0 + b ky 0 b

Sustituyendo (

= 0 = b (y 0 1) ky 0 = ( (y 0 1)

)

) en ( ) y resolviendo, obtenemos (k

b) y + bx ky ky 0 k y + x (y 0 1) (y 0 1) ky 0 ky 0 k ky 0 y + x (y 0 1) (y 0 1) ky ky 0 x + 0 0 (y 1) (y 1) ky + ky 0 x (y 0 1) 0

= (k =

ky 0

k

ky 0

(y 0 1) (y 0 1) 0 ky k ky ky 0 (y 0 1) (y 0 1) 0 k ky (y 0 1) (y 0 1) k2 y0 0

= = =

b) b

(y 0

2

1)

k ( y + y 0 x) (y 0 1) = k2 y0 (y 0 x y) (y 0 1) + ky 0 = 0 4

y 20

10

-5

-4

-3

-2

-1

1

-10

6

2

3

4

5

x

Prof. José A. Siles

Familia de rectas con la suma algebraica de los interceptos iguales a k

6. Rectas a la distancia p del origen. Solution 6 La distancia dirigida d de la recta dada Ax + By + C = 0 al punto p1 (x1 ; y1 ) se obtiene por la fórmula d=

Ax1 + By1 + C p A2 + B 2

El punto a considerar es el origen esto es p1 (0; 0) ; evaluando este punto en la fórmula anterior obtenemos p

=

p

=

A (0) + B (0) + C p A2 + B 2 C p A2 + B 2

Despejando C p

=

C

=

C A2 + B 2 p (p) A2 + B 2 ( )

p

Sustituyamos ( ) en la ecuación de la recta, como sigue

Ax + By +

Ax + By + C p (p) A2 + B 2

Derivando ( ) y despejando A tenemos p Ax + By + (p) A2 + B 2

=

= 0 ( )

= 0

Adx + Bdy

= 0

A = A =

7

0

dy dx By 0 B

Prof. José A. Siles

Sustituyamos A =

By 0 en ( )

p A2 + B 2 (p) q 2 (p) ( By 0 ) + B 2

Ax + By + ( By 0 ) x + By +

0

( By ) x + By

=

0

=

0

=

q 2 (p) ( By 0 ) + B 2

p B 2 (y 02 + 1) p B(y 0 x y) = (B) (p) (y 02 + 1) p 2 (y 0 x y)2 = (p) (y 02 + 1) B(y 0 x

(y 0 x

y) =

y)2

(p)

= p2 y 02 + 1

4

7. Circunferencias con centro en el origen. Solution 7 La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación x2 + y 2 = r2

8

Prof. José A. Siles

Derivando la ecuación anterior tenemos 2xdx + 2ydy xdx + ydy

= 0 = 0

x = y0 y

=

9

dy ó dx x4 y

Prof. José A. Siles

8. Catenaria y = c cosh

x (0) c

Solución 8 Derivando la ecuación original, resulta x c x 1 = c sinh c c x = sinh (1) c

y

= c cosh

dy dx dy dx

1

Multiplicando ambos lados por sinh sinh

1

sinh

1

dy dx dy dx

para despejar c

=

sinh

=

x c

1

sinh

x c

Podemos aplicar, en la última expresión, la identidad p sinh 1 x = ln x + x2 + 1 Luego c es igual a sinh

1

dy dx

=

c= ln

dy dx

+

x x !c= c sinh 1

x r

dy dx

1

2

!

+1

dy dx

(2)

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Por otro lado consideremos la identidad cosh2 x

sinh2 x = 1 sinh2 x = cosh2 x

1 (3)

Comparemos (3) con (1) x c x = cosh2 c

dy dx dy dx

s

dy dx

2

dy dx

2

=

2

sinh

+1

= cosh2

+1

= cosh

1

x c

x (4) c

Sustituyendo (2) y (4) en (0) resulta y

y 2 0

dy y 4ln @ + dx

s

dy dx

2

13

x = c cosh c 2 6 6 = 6 6 4

ln

dy dx

+

s

dy dx

2

+ 1A5 = x

(5) Es la ecuación buscada.

2

x r +1

3

dy dx

2 7 s 7 dy 4 !7 7 dx 2 5 +1 (5)

2

3

+ 15

Prof. José A. Siles

Familia de Catenarias

y

10

8

6

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1 -2

3

2

3

4

5

x