ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

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Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera /,,'

Cuarta edición

William E. :Boyce Richard C."DiPrima Rensselaer Polytechnic Institute

HLIMUSA WILEY @3

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VERSION AUTORIZADA EN E S P A ~ DE L LA OBRA PUBLICADA EN INGLCS CON EL T¡NLO:

ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUEPROBLEMS O JOHNWILEY& S O N S , INC. COLABORADOR EN LA TRADUCCION: HUGO VILLAG6MEZ VELAZQUEZ REVISION:

JOSE HERNAN PEREZ CASTELLANOS INGENIERO INDUSTRIAL POR LA ESCUELA MILITARDE INGENIEROS. PROFESOR DE WTEM~TICAS EN LA ESCUELA SUPERIOR DE INGENlERiA MECANICAY ELÉCTRIW DEL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL, MEXICO.

LAPRESENTACION

Y DISPOSICI~N EN CONIUNTO

DE

ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRONIC0 O MECANIW (INCLUYENDO ELFOTOCOPIADO, LA GRABACION o CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACION Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS: Q2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALMRAS 95,MCxlco, D.F. C.P. 06040 Z ' S? (5)521-21-05 Ol(800) 7-06-91-00 &Al(5)512-29-03 [email protected] bp www.no"ega.corn.rnx CANIEM

NUM.

121

TERCERA REIMPRESION DE LA CUARTA E D ~ C I ~ N

HECHOEN MEXICO ISBN 968-18-4974-4

224532

A la grata memoria de nuestros padres Ethel y Clyde DiPrima Marie y Edward Boyce

Prólogo

Un curso de ecuaciones diferenciales elementales esun medio excelente para que el estudiante comprenda la relación que hay entrelas matemáticas y las ciencias físicaso la ingeniería. Antes de que el ingenieroo el científico pueda aplicar con confianza las ecuaciones diferenciales, debe dominar las técnicas de resolucióny tener un mínimo de conocimiento de la teoría que las fundamenta. El estudiante de matemáticas recibeun gran beneficio al conocer algunas de las manerasen que el deseode resolver problemas específicosha estimulado el trabajo de naturaleza más abstracta. Escribimos este libro desde el punto de vista intermedio de quien se dedica a las matemáticas aplicadas, cuyo interés enlas ecuaciones diferenciales puede ser muy teórico e intensamente práctico. Buscamos combinaruna exposición sólida y precisa (pero no abstracta) de la teoría elementalde las ecuaciones diferenciales, con bastante material sobre métodos de resolución, análisis y aproximación que han probado su utilidad en una amplia variedad de aplicaciones. Pusimos atención especial en aquellos métodos de mayor aplicación y que pueden extenderse a problemas fuera del alcance de nuestroSelibro. hace hincapiéen que estos métodos tienenuna estructura sistemática y ordenada, y que no son sólouna coleccidn diversa de artificios matemáticos. Los métodos analizados en el libro no sólo incluyen técnicas analíticas elementales que dan soluciones exactas en ciertas clases de problemas, también incluyen aproximaciones basadas en algoritmos numéricos o en desarrollos en serie, así como métodos cualitativos o geométricos que a menudo permiten una mejor comprensión del comportamiento global de las soluciones. Estos últimos métodos se volestán viendo mucho más accesibles a los estudiantes, como resultado del uso común de computadoras personales o calculadoras de bolsillo poderosas. De hecho, con la amplia disponibilidad del enorme poder de cómputo, incluyendo los flexibles paquetes de cómputo simbólico, es razonable preguntarse si los métodos analíticos elementales para resolver ecuaciones diferenciales siguen siendo un tema de estudio que valga la pena. Creemos quesí, al menos por dos razones. Primera, resolverun proble-

8

Prólogo

ma dificil de ecuaciones diferencialesa menudo exige el empleo de diversas herramientas, tanto analíticas como numéricas. Poner en práctica un procedimiento numérico eficiente requiere de un considerable análisis preliminar: determinar las características cualitativas de la solución como guía para el cálculo, investigar los casos límite o especiales, o descubrir qué intervalos de las variables o parámetros requieren o ameritan atención especial. Segunda, comprender en cierta medida un proceso natural complicado a menudo se logra al combinar o partir de modelos más sencillos y más básicos. Estos últimos suelen describirse mediante ecuaciones diferenciales de un tipo elemental. Por tanto, el paso inicial e indispensable hacia la resolución de problemas más complejos un es conocimiento completo de estas ecuaciones, sus solucionesy los modelos que representan. Una de las metas de esta revisión es alentar a los estudiantes y maestros a explotar el poder de c6mputo con el que ahora cuentanpara que los estudiantes logren una comprensi6n m& profunda de las ecuaciones diferenciales y una apreciaci6nJX precisa IS de la manera en que pueden aplicarseal estudio de problemas importantes de las ciencias naturales o la ingeniería. En esta edición se incluyen muchas gr%lcas nueva5 generadas por computadora que ayudan a declararel comportamiento cualitativo de lasa menudo complicadas fórmulas que producen los métodos analíticos de resolución. Al mismo tiempo, en el texto se hace un análisis más ampliode las propiedades geométricaso asintóticas de las soluciones. Se presentan aproximadamente 275 problemas nuevos, en muchos de los cuales se requiere que el estudiante ejecute algún cálculo numérico, construya (con ayuda de algún paquete idóneo para trazar gráficas)la gráfica de una solución y, con frecuencia, llegue a conclusiones adecuadasa partir de esas acciones. Por último, se agregan dos nuevas secciones: una sobre ecuaciones en diferencias de primer orden en la que se destacala ecuación logística, y otra sobre las ecuaciones de Lorenz. En estas secciones se presentan algunas de las ideas básicas asociadas con bifurcaciones, caos y atractores extraños. Además de ser fascinante por sí mismo, este material puede usarse para terminar lacon creencia de que las matemáticas son una disciplina ya agotada, y no una enconstante crecimiento y renovación. Escribimos este libro principalmente para estudiantes que ya tienen conocimientos de cálculo obtenidosen un curso normal de doso tres semestres;el material de la mayor parte del libro es accesible a estos estudiantes. En el capítulo 7 se resume en dos secciones la información necesaria acerca de las matrices. Las secciones señaladas con un asterisco probablemente requieren mayor elaboración matemática (aunque, en términos escritos, no más conocimientos) queel resto del libro. Algunos problemas también están señalados con un asterisco, lo cual indica que son más difíciles quela mayoría y que, en algunos casos, rebasan el alcance del material presentado en el propio libro. Consideramos que este libro ofrece una flexibilidad mayor que el promedio para adaptarse a las necesidades deun curso. A partir del capítulo 4, los capítulos sonen esencia independientes entre sí, aunque el capítulo 11 sigue lógicamente al capítulo 10 y el capítulo 9 contiene citas del capítulo 7. De este modo,una vez quese completan las partes necesarias de los tres primeros capítulos (en términos generales, las secciones 1.1, 2.1, a 2.4 y 3.1 a 3.7), la selección de los temas adicionales, así como el orden y profundidad con los cuales se traten, quedanal criterio del profesor. Por ejemplo, aunquehay bastante material sobre aplicaciones de varios tipos, especialmente en los capítulos 2 , 3 , 9 y 10, la mayor parte de este material se presenta en secciones separadas, de modo un queprofesor puede elegir con facilidad las aplicaciones que desee incluir y las que quiera omitir. Otra posibilidad es combinar la presentación de las ecuaciones lineales de segundo orden y de orden superior

Prólogo

9 mediante el estudio concurrente de los capítulos 3 y 4. Todavía otra posibilidad es empezar la presentación del material sobre métodos numéricos del capítulo8 inmediatamente después, o incluso al mismo tiempo, que el material sobre problemas con valor inicial de primer orden del capítulo 2. Por último, aunque en esta revisión se supone que el estudiante dispone de una computadora o calculadora, es posible que algún profesor que no desee destacar este aspecto del tema lo logre, si selecciona con un poco más de atención los problemas asignados. Al final de cada sección del texto hay un conjunto de problemas para el estudiante. Estos problemas van desde los comunes hasta los que representan un reto; en algunos de estos últimos se amplían aspectos de la teoría o se introducenBreas de aplicación que no se trataron en el texto principal. Como ya se mencionó, en otros problemas es necesaria una investigación, con ayuda de computadora, de una ecuación diferencial mediante la aplicación de técnicas numéricas o gráficas. Al final del libro se dan las respuestas de casi todos los problemas. También,hay un manual de soluciones, compilado por Charles W. Haines delRochester Institute of Technology, que contiene soluciones detalladas de muchos problemas. Las secciones del libro están numeradasen forma decimaly, en cada sección,los teoremas y las figuras lo están consecutivamente. Así, el teorema 3.2.4 es el cuarto teoremala de sección 3.2. Al término de cada capítulo se proporciona una bibliografía general y, algunas veces, las más específicas aparecen como notas de pie de página. El alcance del libro puede juzgarse a partir del contenido, y los lectores que conocenla edición anterior encontrarán que ésta sigue el mismo patrón general. Sin embargo, esta revisión contiene muchos cambios menores y los más importantes se dan en seguida, algunos de los cualesya se mencionaron: 1. En correspondencia con la tendencia de crecimiento de la materia así como con la creación de paquetes amigables para construir gráficas por computadora, en esta edición se hace mayor hincapié en las propiedades geométricas de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. En comparación con las ediciones anteriores,hay más gráficas, más análisis de las propiedades y métodos geométricos y más problemas en los que el estudiante debe hacer gráficas u obtener conclusiones a partir de ellas. 2. En el texto se destaca másla obtención de conclusiones a partir de una solución, y no sólo la deducción dela solución en sí, y también se proponen más problemasen este sentido. Lo anterior refleja el hecho de que a menudo la motivación para resolver una ecuación diferencial particular es la necesidad de comprender algún proceso o fenómeno natural descrito por la ecuación. 3. Se han agregado secciones nuevas sobre ecuaciones en diferencias de primer orden y sobre las ecuaciones de Lorenz, introduciendo los conceptos de bifurcaciones, caos y atractores extraños. 4. El material básico acerca de las ecuaciones lineales de segundo orden del capítulo 3 se volvió a escribir para hacer más directala presentación y, en especial, para analizar la solución de algunos problemas simples antes de abordar la teoría general. 5. Se intercambiaron los capítulos 4 (ecuaciones lineales de orden superior) y 5 (soluciones en series de potencias) para facilitar la labor de los profesores que deseen combinar el tratamiento de las ecuaciones lineales de segundo ordeny las de orden superior. 6. Al capítulo 8 se le agregó un análisis más completo de los métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones. También se proponen aproximadamente 30 problemas nuevos en este capítulo.

10

Prólwo

7. El capítulo 9, sobre análisis de estabilidad y del plano fase, fue ampliado de manera considerable. Además de la nueva sección sobre las ecuaciones de Lorenz, ahora hay dos secciones en vez de una sobre la interacción de dos poblaciones, asi como una sección nueva sobre ciclos límite en la que se hace resaltar la ecuación de van der Pol. A medida que el tema de estudio de las ecuaciones diferenciales continúe creciendo, que nuevas tecnologías se vuelvan lugar común, que se amplíen los antiguos campos de aplicación y que surjan nuevos campos en este aspecto, así tendrán que evolucionar el contenido y los puntos de vista de los cursos y sus libros de texto. Esta fue la idea que pretendimos expresar en este libro.

William E. Boyce Troy, Nueva York

Agradecimientos

Durante la preparación de esta revisión recibimos la valiosa ayuda de varias personas. Es un placer expresar ahora nuestro agradecimiento sincero a todos y cada uno de ellos por su tiempo y dedicación. Mientras revisaba el manual de soluciones, CharlesW. Haines leyó el textoy comprobó las respuestas de muchos de los problemas. Gracias a su capacidad de observación se eliminaron numerosos errores e incoherencias. Richard Bagby, Bruce Berndt, PaulDavis y Thomas Otway revisaron todo el manuscrito e hicieron muchas sugerencias pertinentes; como resultado, el libro es considerablemente mejor de lo que hubiera sido sin su ayuda. A partir de la publicación de la edición precedente recibimos valiosos comentarios de varios usuarios. De ellos, merecen mención especial R. B. Burckel, Leah Edelstein-Keshet y Melvin Lax porlo detallado y amplio de sus sugerencias. Cathy Caldwell leyó la mayor parte del manuscrito, verificando los ejemplos y las respuestas dadas a los problemas nuevos. También fue de gran ayuda enla corrección de las pruebas. En esta edición se presentan figuras nuevas generadas por computadora. Algunas de éstas se trazaron originalmente con la aplicación del PHASER de Hiiseyin KoGak, mientras que otras se prepararon con ayuda del PHASE PORTRAITS de Herman Gollwitzer. Por último, y lo más importante de todo, agradezco a mi esposa Elsa no sólo su ayuda en actividades como la lectura de pruebas y la comprobación de cálculos, en especial por su apoyo moral, aliento y paciencia infatigables a lo largo de todo el proyecto.

W E. B.

. Contenido

Capítulo 1. Introducción

17

1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 17 Notas históricas 1.2 27

Capítulo 2. Ecuacionesdiferencialesdeprimerorden

31

2.1 Ecuaciones lineales 31 2.2 Otrasconsideracionesacercadelasecuacioneslineales40 2.3 Ecuaciones separables 47 2.4 Diferenciasentrelasecuacioneslineales y lasnolineales54 2.5 Aplicacionesdelasecuacioneslinealesdeprimerorden60 2.6 Dinámica de las poblaciones y algunos problemas relacionados 2.7 Algunos problemas de mecánica 87 2.8 Ecuacionesexactas y factoresintegrantes95 2.9 Ecuaciones homogéneas 103 2.10 Problemas diversos y aplicaciones 107 *2.11 Teoremadeexistencia y unicidad 111 2.12 Ecuacionesendiferenciasdeprimerorden121

Capítulo 3. Ecuacioneslinealesdesegundoorden

135

3.1 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 135 3.2 Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogéneas 3.3 Independencia lineal y wronskiano el 154 3.4 Raíces complejas de la ecuación característica 160 3.5 Raíces repetidas; reducción de orden 168 3.6Ecuacionesnohomogéneas;métododeloscoeficientesindeterminados177 3.7 Variaciónparámetros de 189

~._.._I. ......L. ..

~

. . . ...

71

144

14

Contenido

3.8 Vibraciones mecánicas Vibraciones 3.9 forzadas 210

y eléctricas 197

Capítulo 4. Ecuacioneslinealesdeordensuperior

219

4.1Teoríageneraldelasecuacioneslinealesden-ésimoorden219 4.2 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 225 4.3 Método de los coeficientes indeterminados 232 4.4 Método de variación de parámetros 236

Capítulo 5. Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden 241 5.1 Repaso de series de potencias 241 5.2Soluciones en seriecercade un puntoordinario,parte I 248 5.3 Solucionesenseriecercade un puntoordinario,parte I1 259 5.4 Puntos singulares regulares 266 5.5 Ecuaciones Euler de 271 5.6Soluciones en seriecercade un puntosingularregular,parte I 280 5.7Solucionesenseriecerca de un puntosingularregular,parte I1 286 *5.8 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular; rl = r2 y rI - r2 = N *5.9 Ecuación Bessel de295

Capítulo 6. LatransformadadeLaplace309 5.1 Definición de la transformada de Laplace 309 6.2 Solución de problemas con valor inicial 316 Funciones 6.3 escalón 327 6.4Ecuacionesdiferencialesconfunciones de fuerzadiscontinuas Funciones 6.5 impulso 339 Integral 6.6 convolución de 344

335

Capítulo 7. Sistemasdeecuacioneslinealesdeprimerorden353 Introducción 7.1 353 Repaso 7.2matrices de 361 7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores 371 7.4 Teoríabásicadelossistemasdeecuacioneslinealesdeprimerorden383 7.5 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 388 Eigenvalores 7.6 complejos 398 Eigenvalores 7.7 repetidos 405 Matrices 7.8fundamentales 413 7.9 Sistemas lineales no homogéneos 420

Capítulo 8. Métodos numéricos 429 8.1 Método de Euler o de la rectatangente429 8.2 Errores en los procedimientos numéricos 436 8.3 Mejoras en el método de Euler 444 Método 8.4 Runge-Kutta de 450 8.5 Algunas dificultades con los métodos numéricos

454

292

15

Contenido 8.6 Un método de pasos múltiples 460 8.7 Sistemas de ecuaciones de primer orden 467

Capítulo9.Ecuacionesdiferenciales

no lineales y estabilidad473

9.1 Plano fase: sistemas lineales 473 9.2 Sistemas autónomos y estabilidad 486 Sistemas 9.3 casi lineales 495 Especies 9.4competidoras 508 Ecuaciones 9.5 depredador-presa del 521 9.6 Segundo método Liapunov de 531 9.7 Soluciones periódicas y ciclos límite 541 9.8Caos y atractoresextraños:ecuacionesdeLorenz552

Capítulo 10. Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier 10.1 Separacióndevariables;conduccióndelcalor563 10.2 Series Fourier de 572 10.3 Teorema Fourier de 582 10.4 Funciones pares impares e 588 10.5Solucióndeotrosproblemasdeconduccióndelcalor597 10.6Ecuacióndeonda:vibracionesdeunacuerdaelástica608 10.7 Ecuación Laplace de 620 Apéndice A. Deducción de la ecuación de conducción del calor ApéndiceB.Deducciónde la ecuacióndeonda634

Capítulo 11. Problemas con valores en la frontera teoría de Sturm-Liouville 639

563

629

y

639 11.1 Ocurrencia de problemas con valores en la frontera en dos puntos 11.2 Problemas lineales homogéneos con valores en la frontera: eigenvalores y eigenfunciones 643 11.3ProblemasdeSturm-Liouvilleconvaloresenlafrontera652 11.4Problemas no homogéneosconvaloresen la frontera665 * 11.5ProblemassingularesdeSturm-Liouville681 * 11.6 Otras consideraciones sobre el método de separación de variables:un desarrollo en serie de Bessel 689 *11.7Seriesdefuncionesortogonales:convergenciaenlamedia695

Respuestasalosproblemas 751 Índice

705

Introducción

En este breve capítulo se proporciona una perspectiva del estudio de las ecuaciones diferenciales. Primero, se indican varias maneras de clasificar las ecuaciones, a fin de contar con una estructura organizada para el resto del libro. Luego, se presentan algunas de las figuras y tendencias más importantes en el desarrollo histórico dela materia. El estudio de las ecuaciones diferenciales ha llamado la atención de muchos de los matemáticos más grandes del mundo a lo largo de los tres últimos siglos. Sin embargo, sigue siendo un campo dinámico de la investigación actual, con muchas preguntas interesantes abiertas.

1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Cuando se plantean en terminos matemáticos muchos problemas importantes y significativos de la ingeniería, las ciencias físicasy las ciencias sociales, se requiere determinar una función que satisfaga una ecuación que contiene una o más derivadas de la función desconocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Quizá el ejemplo más conocido es la ley de Newton

para la posición u(r) de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F , yue puede ser una función del tiempo t, de la posición u(t) y de la velocidad du(t)/dr. Para determinar elmovimiento de una partícula sobre la que actúa una fuerza F es necesario hallar una función u que satisfaga la ecuación (1). El objetivo primordial de este libro es analizar algunas propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales y describir algunos de los métodos que han probado su eficacia para hallar las soluciones o, en algunos casos, dar aproximacionesde lasmismas. A fin de

18

Introducción

contar con un marco de referencia para la presentación, en principio se mencionarán varias maneras útiles de clasificar las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales ordinariasy parciales. Una de las clasificacionesmás evidentes se basa en el hechode si la función desconocida depende de una sola variable independiente o de varias variables independientes. En el primer caso en la ecuación diferencial sólo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es ecuación una ordinaria;En el segundo las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuación se denomina ecuación diferencial parcial. Además de la ecuación (l),dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son

para la carga Q(t) en un condensador en un circuito con capacitancia C, resistencia R, ínductancial, y voltaje aplicadoE(t), y la ecuación que rige el decaimiento con el tiempo de una cantidad R(t) de una sustancia radiactiva, como el radio,

dR(t)= ~

dt

-

kR(t),

en donde k es una constante conocida. Ejemplos típicos de ecuaciones diferenciales parciales son la ecuación del potencial

la ecuación de la difusión o conducción del calor

y la ecuación de onda

(Y'

en donde y a2 son ciertas constantes. La ecuación del potencial, de difusión y de onda surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasticidad y mecánica de fluidos. Cada una de ellas es típica de fenómenos físicos distintos (observe los nombres) y cada una es representativa de una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales.

Sistemas de ecuaciones diferenciales. Otra clasificación de las ecuaciones diferenciales depende del número de funciones desconocidas que intervienen. Si hay que determinar una sola función, entonces basta una ecuación. Sin embargo, si existen dos o más funciones desconocidas, entonces se requiere un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, son importantes en la creación de modelos ecológícos; estas ecuaciones tienenla forma

1.1

19

Clasificación diferenciales de las ecuaciones

dHldt = aH dPldt-cP

-

MHP,

(7)

+ yHP,

en donde H ( f ) y P ( f )son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantesa, (Y, c y y se basan en observaciones empíricasy dependen de las especies en estudio. En los capítulos7 y 9 se estudian los sistemas de ecuaciones;en particular, en la sección 9.5, se examinan las ecuaciones de Lotka-Volterra.

Orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en ella. así, las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y la (3) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. (4), (5) y (6) son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. De manera más general, la ecuación

F[x, u(x), u'(x), . . . , u'"'(x)]

=

o

(8)

es una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden. La ecuación (8) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas u', u", . . . , u@).En las ecuaciones diferenciales es convenientey se acostumbra escribir y en vez de u(x), así como y', y", . . . ,y(")en vez de u'(x), u"(x), . . . , u(")@); por tanto, la ecuación (8) se escribe como

F(x, y, y', . . . , y'"')

=

o.

(9)

Por ejemplo,

+ 2exy" + yy'

= x4

(10) es una ecuación diferencial de tercer orden paray = u@). En ocasiones seusan otras letras en lugar dey ; el resultado resulta evidente a partir del contexto. Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden más en alto una ecuación diferencial ordinaria daday obtener y"'

y'") = f ( x ,y", y', y,

. . . , y'"

- l)).

(1 1 )

Sólo se estudiarán las ecuaciones de la forma (11). Lo anterior se hace principalmente para evitar la ambigüedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuación de la forma (9) puede corresponder a varias ecuaciones de la forma (11). Por ejemplo, la ecuación y'2

+ xy' + 4y = o

da las dos ecuaciones

Solución. Una solución de la ecuación diferencial ordinaria (11) sobre el intervalo(Y < x < p es una función 4 tal que existen &, ..,4(n) y se satisface +'I,.

4'"'(x) = f [ x , 4(x),

4'6x1, . . . 4 @ -W] 7

(1 2 )

para toda x en (Y < x < p. Amenos de quese diga otra cosa,se supone que la función f de la ecuación (11) es una función de valores reales, y se tiene interésen obtener las soluciones y = +(x) de valores reales.

20

Introduccibn

Es fácil comprobar por sustitución directa que la ecuación de primer orden(3)

tiene la solución R = $ ( t ) = ceCkr,

-c c

< t < m,

(13)

en donde c es una constante arbitraria. De manera semejante, las funciones yl(x) = cos x y y,@) = sen x son soluciones de

y” + y

=

o

(13)

para toda x. Como un ejemplo un poco más complicado, se comprueba que$,(x) = x2 In x es una solución de .s2y”

-

3xy‘

+ 4y = o,

x > o.

(1 5 )

Se tiene

Al sustituir en la ecuación diferencial (15) se obtiene

+,(x) = x2In x es una solución dela (15). También es posible con lo cual se comprueba que demostrar que +?(x) = x’ es una solución de la ecuación (15); se deja esto último como ejercicio. Aunque para las ecuaciones (31, (14) y (15) es posible verificar que ciertas funciones sencillas son soluciones, en general no se tienen con facilidad esas soluciones. Por tanto, una pregunta fundamental es: dada una ecuación de la forma (11),jcómo esposible decirsi tiene una solución? Estaes la cuestiónde existencia de una solución. El hecho de que se haya escrito una ecuación de la forma (11)no necesariamente significa que exista una función y = &x) que la satisfaga. De hecho,no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones, ni su existencia esun asunto puramente matemático. Si un problema físico que tenga sentido, se plantea matemáticamente de manera correcta como una ecuación diferencial, entonces el problema matemático debe tener una solución. En este sentido, un ingeniero o un científico cuenta con un medio para comprobar la validez del planteamiento matemático. En segundo lugar, suponiendo que una ecuación dada tiene una solución, ¿tendrá otras soluciones? En caso afirmativo, ¿qué tipo de condiciones adicionales es necesario especificar para singularizar una solución específica? Esta es la cuestión de unicidad. Obsérvese que para la ecuación de primer orden (3) existen una infinidad de soluciones, que corresponden a la infinidad de posibilidades de elección la deconstante c de la ecuación(13). Si se especifica R en algún instante t, esta condición determinará un valor de c; sin embargo, aún así no se sabe todavía si la ecuación (3) no tiene otras soluciones que tambikn tengan el valor prescrito de R en el instante predeterminadot. Las cuestiones de existencia

1.1

21

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

y unicidad son difíciles de responder; a medida que se avance se analizarán estas dudas y otras relacionadas. Una tercera pregunta, más práctica, es: dada una ecuación diferencial la ecuación de (1l), jcómo se determina realmente una solución? Observe que si se encuentra una solución de la ecuación dada, al mismo tiempo se responde la pregunta de la existencia de una solución. Por otra parte, sin conocer la teoría de la existencia posible, por ejemplo, usar una computadora para hallar una aproximación numérica a una "solución" que no existe. Aunque fuese posible saber que existe una solución, puede ser que ésta no sea expresable en términos de las funciones elementales usuales: funciones polinomiales, trigonométricas, exponenciales, logaritmicas e hiperbólicas.No obstante, esto es lo que sucedepara la mayor parte de las ecuaciones diferenciales. Por tanto, al mismo tiempo que se analizan los métodos elementales que pueden aplicarse para obtener soluciones de ciertos problemas relativamente sencillos, también es importante considerar los métodos de naturaleza más general que puedan aplicarse a problemas más difíciles.

Ecuaciones lineales y no lineales. Otra clasificación decisiva de las ecuaciones diferenciales es si éstas son lineales o no linea!es. Se dice que la ecuación diferencial ordinaria

F(x, y, y', . . . , y'"') = O es lineal si F es una función lineal de las variables y, y', . . . , y("); se aplica una definición semejante para las ecuaciones diferenciales parciales. Por tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal general de ordenn es a,(x)y'"'

+ u,(x)y'"- + l'

' '

. + u,(x)y

= y(x).

(16)

Las ecuaciones(2) a (6), (14) y (15) son lineales. Una ecuación queno es de la forma(16) es no lineal. La (10) es no lineal debido al término yy'. Un problema físico sencillo que da origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante. El ángulo Oformado por un péndulo oscilante de longitud 1, con respecto ala vertical (ver la figura1.1.1)satisface la ecuación no lineal

d'Q dt'

+ y-- sen 0 = O. 1

La teoría matemáticay las técnicas para resolver ecuaciones lineales están bastante desarrolladas. Por el contrario, para las ecuacionesno lineales la situación no es tan satisfacto-

mg

FIGURA 1.1.1 Péndulo oscilante.

Introducción

22

ria. Faltan en gran parte técnicas generales para resolver las ecuaciones no lineales y la teoría no asociada con ellas también es más complicada que la correspondiente de las ecuaciones lineales. En vista de lo anterior, resulta conveniente que muchos problemas importantes originen ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o, por lo menos en una primera aproximación, ecuaciones lineales. Por ejemplo, para el problema del péndulo, si el ángulo t9 es pequeño, entonces sen 8 = 6 y la ecuación (17) puede sustituirse por la ecuación lineal

d20

y

-+"=0. dt2 1

Por otra parte, existen fenómenos físicos importantes, como los problemas ecológicos de las secciones 9.4 y 9.5, en los que no es posible dar una aproximación de las ecuaciones diferenciales no lineales rectoras por medio de lineales: lano linealidad es decisiva. En un texto elemental es natural hacer hincapié en el análisis de las ecuaciones lineales. Por consiguiente, la mayor parte de este libro está dedicada a las ecuaciones lineales y a diversos métodos para resolverlas. Sin embargo, los capítulos 8 y 9, así como una gran parte del capítulo 2, tratan de ecuaciones no lineales. Alo largo de todo el texto se intenta mostrar por qué las ecuaciones no lineales son, en general, más difíciles y por qué muchas de las técnicas útiles para resolver ecuaciones lineales no pueden aplicarse a lasno lineales.

Campos direccionales. A partir del próximo capítulo se analizarán con detalle muchos métodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, antes de proceder a ese análisis, vale la pena hacer algunos comentarios acerca ladeinterpretación geométrica de las ecuaciones diferencialesy sus soluciones. Un punto de vista geométrico es particularmente útil para las ecuaciones de primer orden,es decir, ecuaciones de la forma

Dado que una solución de la ecuación (19) es una función y = +(x), la representación geométrica de una solución es la gráfica de una función. Geométricamente, en la ecuación (19) se afirma que, en cualquier punto (x,y ) la pendiente dy/& de la solución en ese punto está dada porf(x, y). Esto pude indicarse sise traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto(x, y ) con la pendientef ( x , y). La colección de todos esos segmentos rectilíneos se llamacampo direccional de la ecuación diferencial (19).El campo direccional puede observarse si se trazan pequeños segmentos rectilíneos en algún conjunto representativo de puntos en el plano xy. Aunque hacer esto manualmente es tedioso, resulta una tarea sencilla para una computadora, ya que sólose requiere la evaluación repetida def(x, y ) para valores diferentes de x y y. Por lo general se elige alguna rejilla rectangular de puntos. Una vez que se obtiene un esquema del campo direccional, a menudo es posible ver de inmediato el comportamiento cualitativo de las soluciones, o quizá observar regiones del plano que tienen algún interés especial. Por ejemplo, en la figura1.1.2se tiene el campo direccional de la ecuación

s

de 1.1

23

Clasificación

FIGURA 1.1.2 Campo direccional de y' = (3 - y ) / 2 . Para esta ecuación,f(x, y) sólo depende yde , de modo que los segmentos rectilíneos tienen la misma pendiente en todos los puntos sobre cualquier recta paralela al x.eje Por ejemplo, sobre la rectay = 2 la pendiente de cada segmento rectilíneo es 1/2. Cualquier solución de la (20) tiene la propiedad de que, en todo punto, su gráfica es tangenteal elemento del campo direccional en ese punto. Por tanto, como puede observarse a partir de esta figura, el campo direccional proporciona una información cualitativa acerca de las soluciones. Por ejemplo, con base en la figura 1.1.2 parece evidente que las solucionesson funciones decrecientes cuandoy > 3, que son crecientes cuandoy < 3, y que, aparentemente, todas las soluciones tienden al valor 3 cuando x -+ CQ. En la sección 2.1 se estudia con mayor detalle esta ecuación; allí se encontrarán sus soluciones y se confirmarán estas conclusiones tentativas. Como otro ejemplo, considerela ecuación

Ahora la función f(x, y) = e-' - 2y depende tanto de x como de y, de modo que es una ecuación más complicada quela (20). En la figura 1.1.3se muestra el campo direccional de la ecuación (21). Una vez más, el patrón general de las curvas solución resulta evidente con base en esta figura y parece que todas las soluciones tienden a cero cuando x -+ m.

Empleo de las computadoras en las ecuacionesdiferenciales. Una computadora puede ser una herramienta bastante valiosa para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Durante muchos años se han utilizado las computadoras para ejecutar algoritmos numéricos, como los que se describen en el capítulo 8, a fin de construir aproximaciones numéricas para las soluciones de ecuaciones diferenciales. En la actualidad, estos algoritmos se han refinado hastaun nivel extremadamente superior de generalidad y eficiencia. Para resolver numéricamente una amplia variedad de ecuaciones diferenciales bastan unas cuantas líneas de código de computadora, escritas en un lenguaje de alto nivel, como FORTRAN, BASIC

"

.

,

,

...

"

24

. "

____."

Introducción

FIGURA 1.1.3 Campo direccional de y' = e-"- 2y.

o Pascal, y que se ejecuten (a menudo en unos cuantos segundos) en una computadora relativamente poco costosa. En la mayoría de los centros de cómputo se cuenta con las rutinas más complicadas. Estas rutinas combinan la capacidad de manejar sistemas muy grandes y complejos, con numerosas características de diagnóstico que alertanal usuario respecto a posibles problemas a medida que se presentan. La salida usual de un algoritmo numérico es una tabla de números enla que se listan valores seleccionados de la variable independiente y los valores correspondientes de la variable dependiente. Con medios idóneos para trazar gráficas con computadoras, también es fácil presentar gráficamente la solución de una ecuación diferencial, sin importar que la solución se haya obtenido numéricamente o como resultado deun procedimiento analítico de algún tipo. Esta presentación gráfica suele ser mucho más ilustrativa y útil, para comprender e interpretarla solución de una ecuación diferencial, que una tabla de números o una f ó p u l a analítica complicada. Por ejemplo, muchas delas figuras en estelibro se generaron por medio de una computadora, aunque hayan sido vueltas a trazar por un artista. Por supuesto, la amplia ahora disponibilidad de microcomputadoras poderosas ha puesto este tipo de capacidad de cómputo y gráfica al alcance de los estudiantes, quienes poseen sus propias computadoras personales o tienen acceso a laboratorios públicos de microcomputadoras. Un estudiante interesado en las ecuaciones diferenciales debe considerar,la aluz de sus propias circunstancias, la mejor manera de aprovechar los recursos de cómputo de que disponga. En el mercado existen varios paquetes de software bien diseñados para la investigación gráfica delas ecuaciones diferenciales y seguramente en el futuro aparecerán más. Al final de este capítulo, en la bibliografia, se listan algunos de los paquetes disponibles. Otro aspecto muy pertinente del uso de las computadoras para el estudio de ecuaciones diferenciales es la existencia de paquetes de software extremadamente poderosos y generales para efectuar cálculos simbólicos y numéricos. Entre éstos se encuentran Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, y Mathscribe, cada uno de los cuales puede utilizarse en

1.1

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

25

varios tipos de computadoras personales o estaciones de trabajo. Entre otras funciones, estos paquetes pueden efectuar las operaciones analíticas que intervienen en la resolución de muchas ecuaciones diferenciales, a menudoen respuesta a una sola instrucción.El empleo de manipuladores simbólicos o del álgebra por computadora aún es incipiente, pero quienquiera que pretenda abordar las ecuaciones diferenciales de forma no superficial debe familiarizarse por lo menos con un paquete de manipulación simbólica e investigar las maneras en que es posible aplicarlo. Para el estudiante, estos recursos diversos de cómputo tienen un efecto sobrela manera en que debe estudiarlas ecuaciones diferenciales. Sigue siendo esencial comprender cómo se aplican los diversos métodos de resolución, y esta comprensión se logra en parte al trabajar con detalleun número suficiente de empleos. Sin embargo, llegará el momento en que deba delegar tanto como sea posible los detalles sistemáticos (a menudo repetitivos) a una computadora para concentrar más la atención en el planteamiento adecuado del problema y en la interpretación de la solución. En especial, el estudiante debe esforzarse por combinar los métodos numéricos, gráficos y analíticos a fin de comprender mejor el comportamiento de la solución y del proceso subyacente modelado por el problema. Nuestro punto de vista es que siempre debe tratarusar de las mejores herramientas disponiblespara cada tarea. Algunas veces pueden ser lápiz y papel; otras, una computadora o una calculadora. A menudo lo mejor esuna combinación atinada.

En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden dela ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal

En cada uno delos problemas 7 a 14, verifique quela función o funciones que sedan son una solución de la ecuación diferencial. 7. y” 9. 10. 11. 12. 13. 14.

y

= O;

y , ( x ) = ex, y 2 ( x )= cosh x y l ( x ) = e - 3 x , y2(x) = ex xl’‘- y = x2; y = 3x x2 y”” 43”” 3 y = x: y , ( x ) = x/3, y J x ) = e - x x/3 2x2y” 3xy’ - y = O, x > O; yl(-x) = xI12, y2(x) = x” x2y” 5xy’ 43: = O , x > O; ~ ~ (=xx-’, ) y2(x)= . x - ~ 2In x J” y = sec x, O < x < n/2; y = (cos x) In cos x x sen x y‘ - 2 x ~ ’ =I ; y = ex‘ J”; e“‘dt ex’

8. y”

-

+ 2y’ +

+

+ +

-

34’ = O;

+

+

+

+

+

+

.

..

26

Introducción

En cada uno de losproblemas 15 a 18, determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = erx. 15. y ’ + 2 y = O y’ - 6y = O 17. y”

16. y” 18. y’”

+

-

y O 34”’ + 2y’ = O

En cada uno de losproblemas 19 y 20, determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = x “ , para x > O.

+ 4xy‘ + 2y = O

19. x2y”

20. x2y” - 4xy’

+ 4y = o

En cada uno de los problemas 21 a 26, determine el orden de la ecuación diferencialparcial dada; diga también si la ecuación es linealo no lineal. Lasderivadas parciales se denotan por medio de subindices.

+

+

21. ,u, U],], uzz = O 23. a2u,, = u,, 25. U,,,, 2~~~~~ uYYyg= O

+

22.

a‘u,,

24. U,, 26. U,

+

= u,

+ uyP+ UU, + uuS+ U = O + UU, = 1 + U,,

En cada uno de los problemas 27 a 32, verifique que la función o funciones dadas son una solución de la ecuación diferencial parcial correspondiente. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

+ uyy= O;

u,(x, y ) = cos x cosh y , u2(x,y ) = ln(x2 i .y2) u,(x, t) = e“*‘sen x, u2(x, t) = e-ozi2r sen i x , ies una constante real a2u,, = u!,; u,(x, t) = sen Ax sen ].ut, u2(x, t ) = sen(x - at), i es una constante real U,, + uYy+ U,, = O; U = (X’ y’ z’)-’“, (X, y , Z ) # (O, O, o) azu,, = u,; u = (71/t)112e-x214a2‘ , t>O U,,

a2u,, = U,;

+ + at) + g(x + at),

U =f(x en dondef y g son funciones doblemente diferenciables

a2u,, = U,‘:

En cada uno de los problemas 33 a 40 use una computadora, de ser posible, para hacer un esquema del campo direccional de la ecuación diferencial dada. Con base en el campo direccional, determine el comportamiento de y cuando x + m. 33. 35. 37. 39.

- 1 - 2y y‘ = -2 x -y y‘ = e-, y y’ = y(4 - y)

y’ =

+

+

34. 36. 38. 40.

+

y‘ = 4’ 2 y’ = xe - 2 x - 2 y y‘ = X 2y y‘ = -y(5 - y )

+

Isóclinas. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación diferencial y’ = f(x, y ) , es útil observar que lapendiente y‘ de lasolución tiene el valor constante cen todos los puntos de la curvaflx, y) = c. Estas curvas se denominan isóclinas. Para ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccionaldibujando unas cuantas isóclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada una. Por ejemplo, las isóclinasde la ecuación (20) son rectas paralelasal eje x y las isóclinas de la (21) son las gráficas dela ecuación y = (e-x- c)/2 para varios valores dec. En cada uno de los problemas del 4 1 al 46,determine las isóclinasy después úselaspara trazar el campo direccional. Compruebe su dibujo usando una computadora, si es posible. 41. y’ = 3 - 2 y 43. y’ = (1 - y)(2 45. y‘ = x2 4’2

+

+

-

y)

42. y’ = -y(1 y’) 44. yr = 2x - 3y I - XY 46. y’

1.2

27

Notas

1.2 Notas históricas Si no se tienen algunos conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales y los métodos para resolverlas, es difícil apreciar la historia de esta importante ramade las matemáticas. Además, el desarrollo de las ecuaciones diferenciales está estrechamente relacionado con el desarrollo general de' las matemáticas, por lo que no es posible separarlo de éste. Sin embargo, para proporcionar una perspectiva histórica, se indican algunas de las tendencias más importantes en la historia de la materia y se identifican los primeros contribuidores más sobresalientes. En los piesde página dispersos en todo el libro y en la bibliografía que se encuentraal final de este capítulo se proporciona información histórica adicional. El estudio de las ecuaciones diferenciales se originó en los albores del cálculo con Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), en el siglo XVII. Newton creció en la campiña inglesa, estudió en el Trinity College de Cambridge y trabajó ahí como profesor de matemáticas a partir de 1669. Sus memorables descubrimientos del cálculo y las leyes fundamentales de la mecánica datan de 1665. Estos circularon en forma privada entre sus amigos, pues Newton era extremadamente sensible a la crítica y no COmenzó a publicar sus resultados hasta 1687 con la aparición de su libro más famoso, Philosophiae naturalisprincipia mathernatica. Aunque Newton trabajó relativamente POCO en las ecuaciones diferencialesper se, su desarrollo del cálculo y su aclaración de los principios fundamentales dela mecánica proporcionaron una base para la aplicaciónde aquéllas en el siglo XVIII, de modo más notable por Euler. Newton clasificó las ecuaciones diferenciales de primer orden según las formas dy dx = f(x), dyldx = fCy) y dyldx = f ( x , y). Para la última ecuación desarrolló un método de resolución, aplicando series infinitas, cuando f(x, y) es un polinomio en x y y. La larga carrera de investigación activa de Newton, terminó a principios de la década de 1690, salvo por la resolución de problemas ocasionales que constituíanun desafío. En 1695 fue designado guardián de la Casa de Moneda británica y algunos años después, renunció a su cátedra. Fue nombrado caballero en 1705 y al fallecer sus restos fueron depositados en la Abadía Westminster. de Leibniz nació en Leipzigy terminó su doctorado en filosofía a la edad de 20 años en la Universidad de Altdorf. Durante toda su vida se entregó a trabajos eruditos en varios campos. En matemáticas fue esencialmente autodidacta, ya que su interés en la materia se inició cuando tenía un poco más de 20 años. Leibniz llegó a los resultados fundamentales del cálculo de manera independiente, aunque un poco más tarde que Newton, pero los publicó primero, en 1684. Leibniz tenía plena conciencia del poder de una buena notación matemática, y la notación actual para la derivada (dyldx) y el símbolo de la integral se deben a él. Descubrió el método de la separación de variables (sección 2.3) en 1691, la reducción de ecuaciones homogéneas a ecuaciones separables (sección2.9) en 1691, y el procedimiento para resolver ecuaciones lineales de primer orden (secciones 2.1 y 2.2), en 1694. Fue embajador y consejero de varias familiasladerealeza alemana, lo que le permitió viajar mucho y mantener una amplia correspondencia con otros matemáticos, en espe-

28

Introducción

cia1 con los hermanos Bernoulli. En el curso de esta correspondencia se resolvieron muchos problemas de ecuaciones diferenciales durante la última parte del siglo XVII. LOShermanos Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748) Bernoulli de Basilea hicieron mucho por llegar a métodospara resolver ecuaciones diferenciales y ampliar el alcancede sus aplicaciones: Jakob empezó a trabaja: como profesor de matemáticas en Basilea en 1687, y Johann obtuvo la misma cátedra al morir su hermano en 1705. Fueron pendencieros, celosos y frecuentemente se enredaban en disputas, especialmente entre ellos. Sin embargo, los dos hicieron contribuciones importantes en varias áreaslasdematemáticas. Con la ayuda del cálculo plantearon y resolvieron varios problemas de la mecánica como ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Jakob Bernoulli resolvió la ecuación diferencial y’= [u3/(b2y- u3)]’/*en 1690 y en el mismo artículo aplicó el término “integral”en el sentido moderno. En 1694, Johann Bernoulli pudo resolver la ecuación dyldx= ylax, aun cuando todavía no se sabía que d(ln x) = &/x. Uno de los problemas a cuya solución colaboraron los dos hermanos,y que provocó bastantes fricciones entre ellos, fue elbruquuisf6cronu de la (la determinación de la curva de descenso más rápido). En el problema 17 dela sección 2.7 se verá que este problema da origen a la ecuación no linealde primer orden

en donde c es una constante. El problema de la braquistócrona también fue resuelto por Leibniz y Newton, además de los hermanos Bernoulli. Se dice, aunque quizá no sea cierto, que Newton supo del problema al final de una tarde un de fatigoso díaen la Casa de Moneda y que lo resolvió esa noche, después de la cena. Publicó la solución de manera anónima, pero Johann Bernoulli, alverla: exclamó: ‘‘iAh!, conozco al león por su zarpa.” Daniel Bernoulli (1700-1782), hijo de Johann, emigró en su juventud a San Petersburgo para ingresar a la recientemente creada Academia de San Petersburgo, en pero 1733 volvió a Basilea como profesorde botánica y, ,más tarde, de física. El tema que más le atrajo fue esencialmente el de las ecuaciones diferenciales ysus aplicaciones. Por ejemplo, su nombre es el que se asocia ala famosa ecuación de Bernoulli de la mecánica de fluidos. También fue el primero en descubrir las funciones que un siglo más tarde se conocieron como funciones de Bessel. El matemático más grande del siglo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), creció cerca de Basilea y fue alumno de Johann Bernoulli. En 1727 siguió a su amigo Daniel Bernoulli a San Petersburgo. Durante el resto de su vida estuvo relacionado con la Academia de San Petersburgo (1727-1741 y 1766-1783)y con la Academia de Berlín (1741-1766). Euler fue el matemático más prolífico de todos los tiempos; sus trabajos reunidos llenan más de 70 grandes volúmenes. Su interés se extendió a todas las áreas de las matemáticas y muchos campos de aplicación. Aun cuando quedó ciego durante los últimos 17 años de su vida, SU ritmo de trabajono disminuyó hasta el mismo día de su fallecimiento. De interés particular para estas notas essu planteamiento de problemas de mecánica en lenguaje matemático y su desarrollo de métodos para resolver estos problemas matemáticos. Refiriéndose al trabajo de Euler en mecánica, Lagranje dijo que “el era primer gran trabajo en el que se aplica el análisis a la ciencia del movimiento”. Entre otras cosas, Euler identificó las condiciones para la exactitud de las ecuaciones diferenciales de primer orden (sección 2.8) en 17341735, desarrolló la teoría de los factores integrales (sección 2.Q en el mismo documento, y dio la solución general de las ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes (secciones 3.1,3.4,3.5 y 4.2), en 1743. De 1750 a 1751 extendió estos últimos resulta-

29

1.2 Notas históricas

dos a las ecuaciones no homogéneas. Comenzando alrededor de 1750,Euler aplicó con bastante frecuencia las series de potencias (capítulo 5) para resolver ecuaciones diferenciales. De 1786 a 1769 también propuso un procedimiento numérico (sección 8.l),hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales y dio el primer tratamiento sistemático del cálculo de variaciones. Joseph-Louis Lagrange(1736-1813)se convirtió en profesor de matemáticas en su Turin natal a los 19 años. En 1776 ocupó la cátedra de matemáticas dejada por Euler en laAcademia de Berlíny en 1787 se desplazó a la Academia de París. Es más famosopor SU monumental trabajoMécanique analytique,publicado en 1788;un tratado elegantey extenso d e la mecánica newtoniana. Con respecto a las ecuaciones diferenciales elementales, Lagrange demostró en1762-1765que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo ordenes una combinación lineal de n soluciones independientes (secciones 3.2, 3.3 y 4.1). Más tarde, entre 1774 y 1775,dio un desarrollo completo del método de variación de parámetros (secciones 3.7y 4.4).Lagrange también es conocido por su trabajo fundamental en ecuaciones diferenciales parcialesy el cálculo de variaciones. El nombre de Pierre-Simon de Laplace(1749-1827)a menudo se asocia con el de Lagrange, aunque la naturaleza de su trabajo matemático fue bastante diferente. Laplace utilizó las matemáticas como un medio para comprender la naturaleza, mientras que Lagrange se dedicó a las matemáticas por sí mismas. Laplace vivió su juventud en Normandía, aunque en1768 se mudó a París, donde en poco tiempo dejosu sello en los círculos científicos, siendo elegido como miembro de la Academia de Ciencias en1773. Destacó en el campo de la mecánica celeste; su obra más importante, Traité de mécanique céleste,fue publicada en cinco volúmenes entre1799 y 1825.La ecuación

un t uYY

+ u,

= o,

en donde los subindices denotan derivadas parciales, se conoce como ecuación de Laplace o como ecuación del potencial.Es fundamental en muchas ramasde la física-matemática y Laplace la estudió ampliamente en relación lacon atracción gravitacional.La transformada de Laplace (capítulo6) también recibió ese nombre en honor é1, a aunque su utilidad en la resolución de ecuaciones diferenciales no se reconoció hasta mucho después. Alrededor de fines del sigloXVIII se habían descubierto muchos métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. En el sigloXIX el interés se dirigiómás hacia la investigación de cuestiones teóricas de existencia y unicidad, así como al desarrollo de métodos menos elementales, como los que se basan en métodos de series de potencias (ver el capítulo 5). También se empezaron a estudiar con intensidad las ecuaciones diferenciales parciales, en la medida en que se aclaraba su papel primordial en la físicamatemática. Las numerosas ecuaciones diferenciales que no podían ser resueltas por métodos analíticos originaron la investigación de métodos de aproximaciones numéricas (ver el capítulo 8). Ya por 1900 se habían ideado métodos de integración numérica bastante efectivos, aunque su aplicación estaba muy restringida por la necesidad de ejecutar los cálculos a manoo con equipo de cómputo bastante primitivo. Durante los últimos50 años el desarrollo de computadoras cada vez más poderosasy versátiles ha ampliado mucho la variedad de problemas que es posible investigar con eficacia por medio de métodos numCricos. Durante el mismo periodo se han creado integradores numéricos en extremo refinados y poderosos disponibles en casi todos los centros científicos de cómputo. Las versiones adecuadas para

."

"

.

.

. ...

30

Introducción

computadoras personales han puesto al alcance de los estudiantes la capacidad de resolución para un gran número de problemas significativos. Otra característica de las ecuaciones diferenciales en el sigloXX ha sido la creación de métodos geométricos o topológicos, específicamente para resolver ecuaciones no lineales. El objetivo en este caso es comprender por lo menos el comportamiento cualitativo de las soluciones desde un punto de vista geométrico, en vez de analítico. En el capítulo 9 se presenta una introducción a estos métodos. Durante los últimos quinceo veinte años se han unificado estas dos tendencias.Las computadoras, y en especial las gráficas por compufadora, han dado un nuevo impulso al estudio de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales. Se han descubierto fenómenos inesperados (sección9.8), a los que se lesha dado el nombre de atractores extraños, caos, y fractales, los cuales se están estudiando intensamente y están dando origen a nuevas concepciones en diversas aplicaciones. Aunque las ecuaciones diferenciales constituyen un tema antiguo acerca del cual se sabe mucho, a fines del siglo XX siguen siendo una fuente de problemas fascinantes e importantes queno se han resuelto.

BIBLioGRMh

Trespaquetesdesoftwaremuyadaptablesparapresentargráficamentelassolucionesdeecuaciones diferenciales son: Koqak, H., Differential and Difference Equations Through Computer Experiments (2a. ed.) (New YorU Berlín: Springer-Verlag, 1989). Este es un amplio manual de disquetes incluidos que contiene el programa PHASER, que puede ejecutarse en varias máquinas IBM y compatibles. Gollwitzer, H., Phase Portraits (Philadelphia: Drexel University, 1988). Este programa se corre en computadoras Macintosh y en la actualidad lo distribuye Intellimation Inc., Santa Barbara, California. Newman, D., Carosso, K., y Freed, N.,Mathlib (Claremont Cal.: Innosoft International, Inc.). Este software se ejecuta en máquinasVAX en las que se useVMS. Para más información acerca de la historia de las matemáticas pueden consultarse libros como los que se listan a continuación. De los cuatro que se mencionan,el más amplio es el de Kline. Bell, E. T., Men of Mathemafics (New York: Simon & Schuster). Boyer, C. B. y U. C. Merzbach, A History ofkfathematics(2a. ed.) (NewYork: Wiley). Eves, H., A n Introducfion to the History of Mathematics (5a. ed.) (Troy, Missouri: Saunders). Kline. M., Mathematical Throught from Ancient to Modern Times (New York Oxford University Press). En l a siguiente obra también aparece un índice histórico útil: Ince, E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans, Green, 1927; New York: Dover). En el mercado se encuentran varias antologías que incluyen material de fuentes originales, así como COmentarios explicativos e históricos; por ejemplo: Calinger, R., ed., Classics ofMathematics(Oak Park, Illinois: Moore Publishing Company Newman, J. R., ed., The IVorld ofMathemafics (4 vols.)(New York: Simon ¿? Schuster). Por último, una fuente enciclopédica de información sobre la vida y obra de matemáticos del pasado es Gillespie, C. C.,ed., Dictionary of Scientific Biography (15 vols.) (New York: Scribner’s).

224532

Ecuaciones diferenciales de primer orden

En este capítulo se estudian ecuaciones diferenciales de primer orden,

Sin embargo, parauna función arbitrariaf ,no existe un método general para resolver esta ecuación en términosde funciones elementales.En lugar de ello, se describen varios métodos, cada uno de los cuales es aplicable a cierta subclase de ecuaciones. En otras secciones de este capítulo se abordan algunas de las aplicaciones importantes de las ecuaciones diferenciales de primer ordeny algunas cuestiones teóricas relacionadas conla existencia y la unicidad de las soluciones.

2.1 Ecuaciones lineales Se empieza con las ecuaciones de la forma

'

en dondef es una función dada de dos variables. Cualquier función diferencial y = +(x) que satisface la ecuación (1) para toda x en algún intervalo se llama solución,y el objetivo es determinar si existen funciones de este tipo y, en caso afirmativo, desarrollar métodos para encontrarlas. En esta sección y en la siguiente se supondrá quela función f(x, y) depende linealmente de la variable dependientey. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse enla forma

32

Ecuaciones diferenciales de primer orden

y s e denomina ecuación lineal de primer orden. Se supondrá que p y g son funciones dadas y que son continuas en algún intervalo a < x < p. Por ejemplo, la ecuación diferencial

es una ecuación lineal particularmente simple en laque las funciones&) = 1/2 y g(x) = 3/2 son constantes. Recuerde que en la figura 1.1.2 de! capítulo anterior se dio el campo direccional de la ecuaci6n(3).

Ejemplo 1

Resolver la ecuacicin(3) y determinar el comportamiento de las soluciones para valores grandes de .Y. Tambih, determinar la solución cuya gráfica contiene el punto (O, 2). Para resolver la ecuacidn (3) se observa que si y # 3, entonces esa ecuación puede escribirse de nuevo como

Como el primer miembro de la ecuación (4) es la derivada de In y - 3 , se tiene

Entonces, se conciuye que

al tomar la exponencial en donde C es una constante arbitraria de integración. Por consiguiente, de ambos miembros, se obtiene ly

-

31 = &c-*

2.

o bien,

y, por último,

en dondec = t ec también es una constante arbitraria (diferente de cero). Observe que la solución constante y = 3 también está contenida en la expresión (S), si se permite que c tome el valor cero. En la figura 2.1.1 se muestran las gráficas de la ecuación ( 5 ) para varios valores de c. Nótese que poseen el carácter inferidocon base en el campo direccional dela figura l . 1.2; por ejemplo, a partir de la ecuación ( 5 ) resulta evidente que y -+ 3 cuando x -+ m. Para un valor particular dec la gráficacorrespondiente contiene el punto (O, 2). Para hallar estevalor de c, en la ecuación ( 5 ) se sustituyex = O y y = 2 y se encuentra que c = -1. Por tanto,

2.1

Ecuaciones lineales

"_____

FIGURA 2.1.1. Soluciones de y'

33

+ (1/2)y = 3/2.

de la ecuación diferencial del Factores integrantes. Al volver a examinar la solución ejemplo 1, es posible encontrar un indicio que conduzca a un método para resolver ecuaciones lineales de primer orden más generales. En primer lugar, la ecuación(5) se escribe en la forma

y luego, al derivar ambos miembros con respecto xa se obtiene

lo que es equivalente a la ecuación original(3). Observe ahora que la ecuaci6n (3) puede resolverse si se inviertenlos pasos precedentes. Es decir, si se multiplica primerola ecuación (3) por ex/2,con lo que se obtienela ecuaciGn (8). Luego, note que el primer miembro de la ecuación (8) es la derivada de yeXl2,de modo quela ecuación queda

Por último, al integrar ambos miembros de la ecuación (9) se obtiene la ecuación(7) y, por tanto, l a solución de la ecuación(5). En otras palabras, una manera de resolver la ecuación (3) es multiplicarla primero por la función ex/2.Como esta multiplicación reduce l a ecuación a una forma que es integrable de manera inmediata, la función exi2 se denomina factor

34

~-

Ecuaciones dgerenciales de primer orden

integrante (o de integración) de la ecuación (3). Por supuesto, para que este método sea eficaz debe ser posible calcular el factor integrante directamente a partir de l a ecuación diferencial. Acontinuación, se aborda esta cuestión en el contexto de la ecuaciónmás general (2). Ei anrilisis anterior sugiere que una manera posible de resolver l a ecuación lineal general de primer order (21, y’

+ p(x)J;= gb),

es multiplicar por un factor integrante adecuado y llevarla en consecuencia a una forma integrable. Para encontrar ese factor integrante primero se multiplica la ecuación (2) por u n a funci6n p(x), que por el momento no está determinada. Entonces,se tiene P(-X)Y’+ P(X)P(X)Y= P(X)Y(X).

( 1O)

1 3 objetivo es elegirp ( x ) de modo queel primer miembro dela ecuación (10) sea la derivada de alguna función.El tirmino p(x)y’ sugiere quela función deseada podría ser el product o p ( s ) y .A fin de obtener la combinación [ p(x)y]’ = p’(x)y + &)y’ es necesario sumary restar el término p’(x)y en el primer miembro de la ecuación (10); al hacerlo y agrupar los términos de manera conveniente, se obtiene [p’(x)g

+ P(X)P’]

”

[@‘(X) -

P(..c)P(X)lY = P

W ( X ) .

(1 1)

Ahora, si el segundo término del primer miembro de la ecuación (11) fuese cero, entonces esta ecuación tendrá la forma IP(X,Yl’ = P ( X M X ) ,

(1 2)

y el primer miembro (por lo menos) sería fácilmente integrable.Afin de lograrlo anterior, debe elegirse p de modo que PYX) - P(X)PL(X)=

o.

(13)

Si, por el momento, se supone quep e s positiva, entonces la ecuación (13) puede escribirse como

o bien,

d In p(x) = p ( x ) . dx

--

Por tanto,

Al elegir la constante k como cero se obtiene la función más simple posible para p, a saber

S

p(x) = exp p(x) dx. Observe que p ( x ) es positiva para toda x, como se supuso.

(16)

2.1

Ecuaciones lineales

35

Una vez que seha encontrado la función ,u, se regresa ala ecuación (2) y se multiplicapor p ( x ) , obteniéndose asíla ecuación (12). Al integrar ambos miembros de la ecuación (12) se

obtiene

o bien,

Como y representa cualquier solución de la ecuación (2), se concluye quetoda soluci6n de la ecuación (2) está incluida en la expresión del segundo miembro de la ecuación (17). Por consiguiente, esta expresiónse conoce comosolución generalde la ecuación (2). Observe que para encontrar la solución dada por la ecuación (17) se requieren dos integraciones: una para obtener p ( x ) a partir de la ecuación (16) y otra para determinar y a partir de la ecuación (17). También, observe que antes de calcular el factor integrantep ( x ) a partir de la ecuación (16), es necesario asegurarse de que la ecuación diferencial esté exactamente en la forma (2); específicamente, el coeficiente dey’ debe ser uno.En caso contrario,la p ( x ) usada para calcular p será incorrecta. En segundo lugar, después de encontrarp ( ~ y) multiplicar la ecuación (2) por ella, es necesario tener la certeza de que los términosen los que aparecen y y y’ son, en efecto la derivadap(x)y, como debe ser. Con lo anterior se obtieneuna comprobación del cálculo dep . Por supuesto, una vez que se ha encontrado la solución y , también puede verificarse sustituyéndola en la ecuación diferencial. La interpretación geométrica de la ecuación (17) es una familia infinita de curvas, una para cada valor dec, de la misma manera en que las gráficasde la figura 2.1.1 representan las soluciones (5) de la ecuación (3). A menudo, a estas curvas se les da el nombre de curvas integrales.Algunas veces es importante elegir un elemento específico de la familia de curvas integrales. Lo anterior se lleva a caboal identificar un punto particular(xo,yo) por el que se requiera que pase la gráfica de la solución. Este requisito suele expresarse como Y(%) = Y,,

(18)

y se denomina condición inicial.Una ecuación diferencial de primer orden, comola (I) o (2), junto con una condición inicial, como la (IS), constituyen un problema con valor inicial.

Ejemplo 2

Determinar la solución del problema con valorinicial y’

+ 2 y = e-*, ~ ( 0= ) 0.75.

(191

(20)

En la figura 1.1.3 se muestra el campo direccional de la ecuación (19), de donde es posible deducir el perfil general de las curvas integrales. Para resolverla ecuación (19), observe que&a es dela forma de la ecuación (2), con p ( x ) = 2 y g(x) = c X . Por tanto, el factor integrante es

36

" "

. .

Ecuaciones diferenciales de primer orden

,

y a l multiplicar la ecuacih (19) por esta cantidad, se obtiene c z J v ' + 3(,2'). =

.*

El primer micmbro de la ecuaci6n (21) es la derivada de de modo que esta escrihirse como p , , ) ' =

i_

(21 i

( 2 ,

ecuación puede

pr.

y por integracih se concluyc que

en donde c es una constantc arbitraria. Por lo tanto,

Y I

es la soitici6n general de l a ecuación (19). En la figura 2.1.2 se muestran algunas curvas integrales del a ecuaci6n (79); obscrve que siguen el patrón que resulta evidente basándose en el campo direccional de la figura 1.1.3. Con más precisión,para x grande el segundo término del segundo miembro de la ecuacih (22) es despreciable en comparación con el primer térnmino; por tan~n,las gráficas de todas las soluciones tienden a la gráfica dey = exp(-x) cuando X "* m. Para satisfacer la condición inicial (20), se sustituyenx = O y y = 0.75 en la ecuación (22); esto da = -0.25, de modo que la soluci6n del problema con valor inicial dado es

,' '

' - 0.25'1

(731

21,

En la figura 2.1.2 semuestra l a gráfica de esta solución, por medio de la curva de trazo grueso.

FIGURA 2.1.2 Curvas integrales de y'

+ 2y = e-*

2.1

37

Ecuaciones lineales

Ejemplo 3

Determinar la solución del problema con valor iniciai y' - ? s y = x,

y(0) .=

o .

(24)

y se concluye que y =

-;+

(."X2

(3!

es la solución del problema con valor inicial (24). En la figura 2.1.4 se muestran algunas curvas integrales y l a solución particular que pasa por el origen.

38 _ "

Ecuaciones diferenciales de primer orden

a

FIGURA 2.1.4 Curvas integrales de

"

E ;;

y'

-

2xy = x.

En cada uno delos problemas 1 a 8, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. 1. y'

3. y'

+ 3y = x + + y = xe"' + 1

2, y' - 24' = x"=" 4. y' ( l / S ) J ' = 3 cos 2x, x >o 6. xy' 21' = senx, S >o 8. (1 x2)y' 4xy = (1 2 -

e-2x

+ +

y' - y = 2e" 7. y' 2xy = 2 x e ~ ~ ~

S.

+

+

+

+

En cada uno de los problemas 9 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial dado. Y. y'

-

y = 2xeZX,

10. y' + 2 y = xe 2x, 11. xy' + 2 y = x2 - x 2 cos x 12. y' + - y X

13. 14. IS. 16.

= __ x2 1

y(O) = I y(1) = o 1, y(1)

+

.y(7T) =

=f. x > o

o,

x

>o

y' - 2 y = y(0) = 2 xy' 2 y = senx, y(n/2)= 1 x3y' 4 x 2 y = e-", y( - 1) = O xy' (x -tl)y = x, y(ln 2) = 1

+ + +

En cada uno de los problemas 17 a 20, use unacomputadora para graficar el campo direccional. Obtenga una conclusión acerca del comportamiento de las soluciones cuando x --t m. Para comprobar la conclusión a la que llegó, resuelva la ecuación diferencial y después tome el límite cuando x + m. 17. y' t 3y = x t e-zr 18. y' + y = xe-' + 1

(Problema 1) (Problema 3)

s

39 -

Ecuaciones

2.1

19. xy’ t 2y = sen x (Problema 6) (Problema 8) 20. (1 t x2)y’ t 4xy = (1 + 21. Encuentre la solución de

Sugerencia: Considere x como variable independiente, en vez dey . 22. a) Demuestre que &(x) = ezr es una solución de y’ - 2y = O y que y = c ~ ( x tambiin ) es una soIución de esta ecuación para cualquier valor de l a constante c. b) Demuestre que &(x) = l/x es una solución de y’ + y 2 = O, para .Y > O, pero que y = c ~ ( x no ) es una solución de esta ecuación, a menos de quec = O o c = 1. Obseme que l a ecuación del inciso b) es no lineal, mientras que la del inciso a) es lineal. 23. Demuestre que si y = 4(x) es una solución de y’ + p(x)y = O, entonces y = c$(s) también es una solución para cualquier valor de la constante c. 24. Sea y = y l ( x ) una solución de

Y’ + P ( 4 Y = O,

(i)

y sea y = y2(x) una solución de

Demuestre que y = y l ( x ) t y2(x) también es una solución de la ecuación (ii).

* 25 Variación de parámetros. Considere el siguiente método para resolver la ecuación lineal general de primer orden: Y’

+ P ( X ) Y = dx).

(i)

a) si g(x) es idénticamente cero, demuestre que la solución es

en dondeA es una constante. b) Si g(x) no es idénticamente cero, suponga que la solución es de la forma

[ S

1

y = A ( x ) exp - p(x) dx ,

(iii)

en donde ahora A es una función de x. Por sustitución de y en la ecuílción diferencial dada, demuestre que A(x) debe satisfacer la condición.

N-4= g(x) exp [ J P ( X )

4 ’

(iv)

c) DetermineA(x) a partir de la ecuación (iv); luego sustituyaA(x) enla ecuación (iii) y determine y . Compruebe quela solución obtenida de esta manera concuerda con la de la ecuación (17) del texto. Esta técnica se conoce como método de variación de pariimetros y se analiza con detalle en la sección 3.7 en relación con las ecuaciones lineales de segundo orden.

.”-

^.

.

.i

.”

. .

40

___

de

diferenciales Ecuaciones

primer orden

En cada uno de ios problemas 26 y 27, aplique el método del problema 25 para resolver la ecuación diferencial dada. *76 . p' -I

-

2p

= x2e2'

*27. y'

+ (1jx)y = 3 cos 2x,

X

>O

2.2 Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales En la sección 2.1 se mostró cómo construir soluciones de problemas con valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el uso de un factor integrante para cambiar la ecuación diferencial por una forma integrable. A continuación se abordarán algunas cuestiones de caráctermás general, a saber,

1. 2.

3.

¿,Un problema con valor inicial de este tipo siempre tiene una solución? ¿Es posible que tenga más de una solución? ¿Es vilida la solución para toda x o sólo para algún intervalo restringido alrededor del punto inicial?

El siguiente teorema fundamental da respuesta a las preguntas anteriores.

Observe que el teorema2.2.1 establece que el problema con valor inicial dado tiene una solución y también que el problema tiene sólo una solución. En otras palabras, el teorema asegura la existencia y la unicidad de la solución del problema con valor inicial (I), (2). Además establece que la solución existe en toda la extensión de cualquier intervalo I que contenga al punto inicial x. en el que los coeficientes p y g sean continuos. Es decir, la solución puede ser discontinuao no existir sólo en los puntos en los que porlo menos una de p y g sea discontinua.A menudo estos puntos se identifican a primera vista. La demostración de este teorema está parcialmente contenida en el análisis de la sección anterior que llevó a la fórmula

224532 2.2

41

Otras consideracionesacerca de las ecuaciones lineales

en donde p ( x ) = exp

Sp ( x )

dx.

En la sección 2.1 se demostró que si

la ecuación (1) tiene una solución, entonces ésta debe estar dadapor la ecuación(3). Al observar con más cuidado esa deducción, también puede concluir que, en efecto, la ecuación diferencial (1) debe tener una solución. Dado quep escontinua para a < x < p, se concluye que está definida en este intervalo y que es una función diferenciable diferente de cero. Al multiplicar la ecuación (1) por p(x) se obtiene

En virtud de quep y gson continuas,la función M e s integrable, y la ecuación (3) se deduce de la (5). Además, la integral de es diferenciable, de modo que y , dada por la ecuación (3), existe y es diferenciable en todo el intervalo a < x < p. Al sustituir la expresión dada para y por la ecuación (3), en (1) o en ( 9 , es fácil verificar que esta expresión satisfacela ecuación d i f e r e n c i a b todo el intervalo (Y < x < p. Por último, la condición inicial (2) determina de manera únicala constante c, de modo que existe sólo una solución del problema con valor inicial, con lo que se completa la demostración. Dado que la ecuación (3) contiene todas la soluciones dela ecuación (l), esta expresión se llama solución general de la ecuación (1). La ecuación(4) determina el factor de integración p(x) solo hastaun factor multiplicativo que depende del límite inferior de integración. Si se elige este límite inferior como x,, entonces

y se concluye quep(x,,) = 1. Al utilizar el factor integrante dado lapor ecuación (6) y elegir el límite inferior de integraciónlade ecuación (3) también igual axo, se obtienela solución general de la ecuación (1) en la forma n

..

Para satisfacerla condición icicial(2) debe elegirse c =yo. Por tanto,la solución del problema con valor inicial (l), (2) es

en donde p(x) está dada por la ecuación (6).

42

diferenciales Ecuaciones

"

Ejemplo 1

de primer orden

Resolver el problema con valor inicial xy'

+ 2y = 4x2,

(8)

Y ( 1 ) = 2,

(9)

y determinar el intervalo en el quel a solución es válida. Si seprocede como en la sección 2.1, la ecuación (8) se reescribe como y'

+2 ~~~

I: =

4x

X

(10)

y se busca una solución en un intervalo que contengaa x = 1. Dado quelos coeficientes en (10) son continuos excepto en x = O, por el teorema 2.2.1 se concluye que el problema con valor inicial dadotiene una solución válida por lo menos en el intervalo 0 < x < p. Para encontrar esta solución en primer lugar se calcula p(x):

Al multiplicar la ecuación (10) por p(x) = x2, se obtiene x2y'

+ b y = (x2y)'

= 4x3.

y, por consiguiente, x2y = x4 + c,

en donde c es una constante arbitraria. Se concluye que

es la solución general de la ecuación (8). En la figura 2.2.1 se tiene un esquema de las curvas integrales de (8) para varios valores de c. Para satisfacer l a condición inicial (9) es necesario elegir c = 1; por tanto,

es l a solución del problema con valor inicial (8), (9). Esta solución se muestra en la figura 2.2.1 por medio de l a curva de trazo grueso. Observe que l a función y = x2 + (1/x2), para x < O, no forma parte de l a solución de este problema con valor inicial. La solución (13) se hace no acotada cuando x "+ 0. Este hecho no essorprendente, ya que x = O es un punto de discontinuidad del coeficiente dey en la ecuación diferencial (10). Sin embargo, si secambia la condición inicial (9) por A l ) = 1,

(14)

entonces por la ecuación (12) se concluye que c = O. De donde, l a solución del problema con valor inicial (S), (14) es y = x2, '?

quc v acotada y continua incluso en Irl vecintlad tie .Y = O. I

(1.5)

nnt?rior demuestra que el t e o r m a

2.2.1 no asegura que la solución de un problema con valor inicial debe volverse discontinua P siempre quep o g se hagan discontinuas: en lugar de ello, establece que l a solución no puede $# . hacerse discontinua en otros puntos.

t

FIGURA 2.2.1 Curvas integrales

~

de xy’

+ 2y = 4x2.

El comportamiento posible de las soluciones de problemas con valor inicial de ecuaciones lineales de primer orden en la vecindad de un punto en el que p o g es discontinua es más variado que lo que puede sugerir el análisis anterior. Las posibilidades se examinanen cierta medida en los problemas del 13 al 16 y en el problema 16; en el capítulo5 se presenta un tratamiento más detallado en relación con las ecuaciones lineales de segundo orden.

Ejemplo 2

Y ye-x2 = J e i

dx

+ c.

(17)

Para evaluarc es conveniente tomarel límite inferior de integración comoel punto inicial X = o.

II Luego, al resolver para y la ecuación (17), se obtiene

! 1

y = ex2 Jox e“’ d t

.

(18)

que es la solución general de la ecuación diferencial dada. Para satisfacer la condición inicial

1 y(0) = -0.5, debe elegirse c = -0.5; de donde, .. .

+ cex2,

44

primer

de

diferenciales

Ecuaciones

orden

FIGURA 2.2.2 Curvas integrales de y' - 2xy = 1.

es la solución del problema convalor inicial dado. En la figura 2.2.2 se muestran algunasde las curvas integrales y la solución particular que pasa por (O, -0.5).

En la solución del ejemplo2, la integral de exp(-x2) no es expresable como una función elemental. Esto ilustrael hecho de que puede ser necesario dejar en forma de integral incluso la solución deun problema muy sencillo. Sin embargo, una expresión integral comola ecuación (19) puede ser un punto de partida para el cálculo numérico de la soluciónde un problema con valor inicial. Para un valor fijox,de la integral de (19) es una integral definida, y su valor puede obtenerseen forma muy aproximada porla regla de Simpson o algún otro método de integración numérica.AI repetir la integración numérica para valores diferentes de x, es posible elaboraruna tabla de valores,o construir una gráfica, dela solución y. También existen otros procedimientos numéricos en los que se utiliza la ecuación diferencial directamente para calcular valores aproximados de la solución, para un conjunto dado de valores dex; en el capítulo 8 se estudian algunos de estos métodos. En el caso dela ecuación (19), tambi6n sucede que la función

llamada función de error, ya se ha tabulado con amplitud y a menudo se considera como una función conocida. Por tanto,en vez de la ecuación (19) es posible escribir

2.2

45

Otras consideraciones lineales ecuacioneslas acerca de

A fin de evaluar el segundo miembro de la e c u a c i h (21) para un valor dado de x es posible consultar una tabla de valores dela función deerror, o bien, apoyarse en un procedimiento numérico como se sugirió antes. En principio, trabajar con la función de error no es más difícil que trabajar con la función exp(x2). La diferencia más importante es que muchas calculadoras tienen rutinas integradas para evaluar la función exponencial, mientras que no cuentan con rutinas semejantes para evaluar la funcidn de error u otras funciones integrales que pudieran presentarseen la resolución de una ecuación diferencial. Esta sección termina con un resumen de algunas de las propiedades más importantes de las ecuaciones lineales de primer orden y sus soluciones. 1.

Existe una solución general, que contiene una constante arbitraria, que incluye todas las soluciones de la ecuación diferencial. Al elegir el valor adecuado pata la constante arbitraria es posible seleccionar una solución particular que satisfaga una condición inicial dada. Existe una fórmula para la solución; a saber, la ecuación (3) o la (7). Además, aunque comprende dos integraciones, la fórmulaes explícita para la solución y = 4(x), en vez de ser una ecuación que defina 4. Los puntos posibles de discontinuidad, o singularidades, de la solucióa pueden identificarse (sin resolver el problema), simplementeal hallar los puntos de discontinuidad de los coeficientes.Por tanto, si los coeficientes son continuos para toda x,entonces la solución también existe y es continua para todax.

2. 3.

Problemas

‘Y”

En cada uno delos problemas 1 a 4, halle la solución generalde la ecuación diferencial dada. 1. y’

+ ( I / x ) y = senx,

x >O

2. . x 2 $ + 3x4 = (senx)/x, 3. y’ + (tan x)y = x sen 2x, 4. xy‘ + 24’ = e‘, x >O

x O y describa el comportamiento dela solución cuandox + O, para varios valores de la constante de integración. Trace varios miembros de la familia de curvas integrales.

46 __

-._

de diferenciales Ecuaciones

"

primer orden

En cada uno de los problemas 17 a 20, determine (sin resolverel problema) un intervalo en el que se tenga la certeza de que lasolución del problema con valor inicial dado n o existe. 17. (.Y -- 3 ) ~ +" ( I n X))' = 2.x. 19. (4 -- .Y')J>' 2.uy = 3.x2,

+

~ ( 1= ) Z y( - 3) = 1

1X.

J,'

+ (tan x ) y = sen x,

20. (In ~ ) y +'

1' =

cot

Y.

y(n) = O y(?) = 3

21 Para el problema con valor inicial y ' - y = 2, y(0) = yo, determine de quémanera el valor límite dey cuando x + oc depende de y,. 22. Aplique la regla de Simpson (o cualquier otro procedimiento de integración numérica que ellector conozca)para evaluar y a partir de la ecuación (19) para x = 1. Asegúrese de que la respuesta es correcta por lo menos hasta tres cifras decimales. 23. a) Demuestre que la solución de y' - 2xy = 1, y ( 0 ) = y,, (ver el ejemplo 2) puede escribirse en la forma

L

b) Con base en la figura 2.2.2 parece que cuando x -+ ic la solución crece sin límiteen la

direccicin positiva para algunos valores deyo, y en la dirección negativa para otros valores dey,. También se sabe que erf(x) -+ 1 cuando x -+ X I Aplique . este hecho para hallar el valor crítico dey,, que separa las soluciones que crecen positivamente de aquellas quelo hacen negativamente. 24. a) Demuestre que l a soiución (3) de la ecuación lineal general (1) puede escribirse en la forma Y = CY,(.)

+Y,@>>

(i)

en donde c es una constante arbitraria. Identificarlas funciones y1 y y z . b) Demuestre que y , es una solución de la ecuación diferencial

Y'

f

m y = o,

(ii)

correspondiente a g(x) = O. Demuestre que y? es una solución de la ecuación lineal completa(1). Después severá (por ejemplo, en la sección 3.6) que las soluciones de las ecuaciones lineales de orden superior tienen un patrón semejante al de la ecuación (i). 25. Demuestre que si a y L son constantes positivas y b es cualquier número real, entonces toda solución de la ecuación C)

y'

+ ay = be-Ax

tiene la propiedad de que y -+ O cuando x m. Sugerencia: Considere por separado los casos a = A y a f -+

h.

26. Coeficientes discontinuos.Algunas veces se presentan ecuaciones diferenciales lineales enlas que una o las dos funcionespy g tienen discontinuidades por salto. Sixoes uno

de esos puntos de discontinuidad, entonces es necesario resolver la ecuación por separado para x < x. y para x > xo.Después, las dos soluciones se acoplan de modo quey sea continua en x"; esto se logra al hacer una elección adecuada de lasconstantes arbitrarias. Esta situación se ilustra mediante los dos ejemplos siguientes. Observe en cada caso que también es imposible hacer continua y' en xo.

2.3

47

Ecuaciones separables

a) Resuelva el problema con valor inicial

Y' + 2Y = g(4,

Y@) = 0

en donde 1,

O l X l l .

g(x) =

b) Resuelva el problema con valor inicial y' +P(X)Y = o,

Y(0) = 1

en donde

*Ecuaciones de Bernoulli. Algunas veces es posible resolver una ecuación no lineal al realizar un cambio de la variable dependiente que la convierta en una ecuación lineal. La clase más importantede estas ecuaciones es de la forma

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Bernoulli, en honor de Jakob Bernoulli. Los problemas 27 a 31 tratan de las ecuaciones de este tipo.

27. a) Resuelva la ecuación de Bernoulli cuandon = O; cuando n = 1. b) Demuestre que sin # O, entonces la sustitución u =y1-"reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal. Este método de resolución fue descubierto por Leibnizen 1696. En cada uno de los problemas 28 a 31, la ecuación dada es una de Bernoulli. En cada caso, resuélvala aplicando la sustitución mencionadaen el problema 27 b).

28. x2y' + 2xy - y 3 = O, x >O 29. y' = ry -ky2, r > O y k > O. Esta ecuación es importante en la dinámica delas poblaciones y se analiza condetalle en la sección 2.6. 30. y' = €y - a y 3 , E > O y (T > O. Esta ecuaciónse presenta en el estudio de la estabilidad del flujo de fluidos. 31. dyldt = (l?cos t t T ) y - y3, en donde r y T son constantes. Esta ecuación también se presenta en el estudio de la estabilidad del flujo de fluidos.

En este estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden,

a continuación setratan las ecuaciones que pueden ser no lineales, es decir, ecuaciones en las quef depende de una manera no lineall a de variable dependientey. Amenudo es conveniente reescribir l a ecuación (1) en la forma

c.

48

Ecuaciones diferenciales de primer orden

" "

Siempre es posible hacerlo anterior estableciendo queM(x, y ) = -$(x, y ) y N(x, y ) = 1,pero pueden existir otras maneras. En caso de que M sea una función sólo de x y N sea una función sólo de y, entonces (2) queda

dY M ( x ) -t N ( y ) = o. dx

separable, porque si se escribe en la forma

Se dice que una ecuación de ese tipo es diferencial

entonces cada miembro dela ecuación depende solamente de una de las variables.

Ejemplo 1

Demostrar que la ecuación dy - x' - - ___ dx 1 - y2

es separable y, a continuación, encontraruna ecuación para sus curvas integrales. Si la ecuación {S) se escribe como -x2

+ (1 - y')

dY - = o, dx

entonces tiene la forma (3) y, por consiguiente, es separable. En seguida, observe queel primer término de la ecuación (6) es la derivada de -x3/3 y que el segundo término, por medio de la regla de la cadena, es la derivada con respecto a x de y - y3/3.Por tanto, la ecuación (6) puede escribirse como

o bien,

Por lo tanto, -x3 f

3 y - y 3 = c,

(7)

en donde c es una constante arbitraria, es una ecuación para las curvas integrales dela ecuación (5). En la figura 2.3.1 se muestran el campo direccional y varias curvas integrales. Es posible hallar una ecuación de la curva integral que pasa por un punto particular(xo, yo) al sustituir x y y por x, y y,, respectivamente, en la ecuacidn (7) y determinar el valor correspondiente de c. Cualquier función diferenciable y = $(x) que satisfaga la ecuación (7) es una solución de la ecuación (S).

49

2.3 Ecuaciones separables

I

I

FIGURA 2.3.1 Campo direccional y curvas integrales de y' = x2i(l - y 2 ) .

H;(x)

+ H;(y)

dY

-=

dx

o.

Según la regla de la cadena,

Por consiguiente, (9) se transforma en 1

H;(x)

+ dxd H A Y ) = o, -

Al integrar la ecuación(11) se obtiene

y = $(x) que satisen donde c es una constante arbitraria. Cualquier función diferenciable faga la ecuación (12) es una solución de la ecuación (3); en otras palabras, (12) define la

5o

diferencialesEcuaciones primer

de

orden

solucicin implícita, en vez de explícitamente. Las funciones H I y H2 son antiderivadas deM y N , respectivamente. En la práctica, la ecuación (12) se obtiene casi siempre a partir de(4) a l integrar el primer miembro con respecto ax y el segundo con respecto ay . Si, además de la ecuación diferencial, se prescribe una condición inicial Y(.qJ =Y"

(13)

entonces la solucicin de (3) que satisface esta condición se obtiene al hacer x = xu y y = y o en la (12). Con lo anterior se obtiene

c = N,(x,) + H,Cv,). AI sustituir este valor de c en (12) y al observar que

se obtiene

L A ecuacibn (15) es una representación implícita de l a solución de la ecuación diferencial (3) que también satisfacela condición inicial (13). Es necesario tener presente que la determinación de una fórmula explícita para la solución requiere que en (15) se despejey como una función de S ; esto puede presentar enormes dificultades.

Ejemplo 2

'

Resolver el problema con valor inicial

L a ecuacicin diferencial puede escribirse como ;'

201 - 1) dy = (3x2 + 4x + 2) h. Al integrar el primer miembro con respecto a y y el segundo con respecto a x d2 en donde c es una constante arbitraria. Para determinar la solución que satisface la condición inicial prescrita, en la ecuación (17) se sustituyen x = O y y = -1, con l o que se obtiene c = 3. Por tanto, la solución del problema con valor inicial está dada implícitamente por

-2 A fin de obtener la solución de manera explícita, es necesario despejary en l a ecuaci6n (18), en tirminos de x. En este caso, es fácil, ya que la ecuación (18) es cuadrática en y , por lo que se =''obtiene I' =

I

*,

.\r3

+ 2.Y + 4 . ~~

-t2.u'

(191

3. La ccuación (19) da dos soluciones de l a ecuación diferencia, sin embargo, sólo una de ellas

3; satisface la condición inicial dada. ÉSta es l a solución correspondienteal signo negativoen (19), ,~. de modo que por último se obtiene

224532 2.3

51

Ecuaciones separables

FIGURA 2.3.2 Curvas integrales de y' = (3x2 t 4x + 2)/2@ - 1).

como lasolución del problema con valor inicial (16). Observe que si por error se eligeel signo positivo en (19), entonces se obtiene la solución de la misma ecuación diferencial que satisface la condición inicialy(0) = 3. Finalmente, para determinar el intervalo en quela soluci6n (20) es válida, debe hallarse el intervalo en el que el radicando es positivo. El Único cero real de esta expresión es x = -2, por lo que el intervalodeseado es x > -2. En la figura 2.3.2 se muestran la solución del problema con valor inicial y algunas otras curvas integrales de la ecuación diferencial. Observe que la frontera del intervalo de validez de lasolución (20) está determinada por el punto (-2, I), en el que la recta tangente es vertical.

Ejemplo 3

Encontrar la solución del problema con valor inicial dy

y cos x

dx

1

" - y(0) -

+ 2y2'

= 1.

Primero se escribe la ecuación diferencial en la forma 1

+ 2y2 dy = COS

X

dx.

(22)

Y

Luego, al integrar elprimer miembro con respecto a y y el segundo conrespecto a x, se obtiene In y t y * = s e n x + c .

(23)

Para satisfacer la condición inicial se sustituyen x = 0 y y = 1 en la ecuación (23); así seobtiene c = 1. De donde,la solución del problema con valor inicial (21) queda dadaimplícitamente por

52 -____

Ecuaciones diferenciales de primer orden 3..

+,

In y t y 2 = s e n x + 1.

(24)

Ya que en La (24) no se despeja con facilidad y como funciónde x,el análisis ulterior de este problema se vuelve más delicado. Un hecho bastante evidentees que ninguna soiución cortael eje x. Para veresto, observe queel primer miembrode la ecuación (22) se vuelveinfinito si y = O; sin embargo, el segundo mlembro jamáses no acotado, de modo que ningún puntodel eje x satisface la ecuación (24). Por tanto, se concluye que para l a solución de las ecuaciones ( 2 1 ) siempre y > O. Por consiguiente, para este problema pueden eliminarse las barras de valor absoluto en la ecuación (24). También es posible demostrar que el intervalo de definición de la solución del problema con valor inicial (21) es todo el eje x. En el problema 23 se indica cómo hacerlo. En la figura 2.3.3se muestran algunas curvas integraies de l a ecuación diferencial dada, incluyendo l a solución del problema con valor inicial (21).

En el ejemplo 2 no fue difícil despejary explícitamente como función de x y determinar el intervalo exacto en que la solución existe. Sin embargo, esta situación es excepcional, y a menudo será necesario dejar la solución en forma implícita, como en los ejemplos 1 y 3. Por tanto, en los problemas de esta y de otras secciones en los que aparezcan ecuaciones no lineales, la expresión “resolver la siguiente ecuación diferencial” significa hallar l a solución explícitamente, en caso de ser conveniente, delo contrario, hallar una fórmula implícita para la solución.

FIGURA 2.3.3 Curvas integrales de y’ = (y cos x)/(l + 2Y2).

En cada uno de los problemas 1 a 8, resuelva la ecuación diferencial dada.

+ + x + y2 + .uyL

2. y‘ = 2 / y ( l 4. y’ = 1

x3)

2.3

53

Ecuaciones separables 5. y'

= (cos2 x)(cosZ

6.

2y)

XY'

= (I

-

y')"'

Para cada uno delos problemas 9 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial dado en forma explícita y determine (por lo menos aproximadamente) el intervalo en que está definida. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

+ y e e " d y = O,

y(0) = 1 r(1) = 2 J+ = 2x/(y x2y), y(0) = - 2 y' = xy3(1 x2)- 112, y(o) = 1 y' = 2 ~ /I ( 2y), y(2) = O y' = x(x2 1)/4y3, y(0) = - l/J2 sen2x dx COS 3 y dy = O, ~ ( 4 2= ) 4 3 y' = 2( 1 -1 X)( 1 y*), y(0) = O xdx

dr/dO

= r2/0,

+

+ + + +

+

17. Resuelva el problema con valor inicial y' = (1 t 3x2)/(3y2- 6y),

y ( @ )= 1

y determinar el intervalo enque la solución es válida. Sugerencia: Para encontrar el intervalo de definición, busquelos puntos enlos que dxldy = O. 18. Resuelva el problema con valor inicial y ( 1) = o

y' = 32/(3y2 - 4),

y determine el intervalo en quela solución es válida. Sugerencia: Para encontrar el intervalo de definición, busque los puntos enlos que dx/dy = O. 19. Resuelva la ecuación

y2 = (1 - x2)112dy = arcsen x du en el intervalo -1 < x < 1. 20. Resuelva la ecuación dy --

ax

+b

_"

+d'

dx cx

en donde a, b, c y d son constantes. 21. Resuelva la ecuación dy dx

-

"

+

uy b c y + d' ~

en donde a, b, c y d son constantes. *22 Demuestre que la ecuación dy dx

-

y - 4~ ~ - y

no esseparable pero que, si se reemplaza la variable y por una nueva variable u definida por u = y/x, entonces la ecuación es separable en x y u. Encuentre de esta manera la solución de la ecuación dada. Ver la sección 2.9 para un análisis más detallado de este método.

S4

Ecuaciones ordendiferenciales de primer *23 Considere de nuevo el problema con vaior inicial (21) del texto. Denote mediante f(x,y) el segurldo micmbro de la ecuación diferencial y observe que

a> Mediante la determinación de los valores máximo y mínimo de y/(l tre que

+ 2y2),demues-

1

para toda y y, por tanto, que (f,.i y ) 5 1/2.\12 para toda x y y . b) Si y = d(x) es la solucicin del problema con valor inicial(21), aplique el resultado delinciso a) para demostrar que¡#+) - 1 5 jx 112 & para toda x. De donde, se concluye que el intervalo de definición de la solución 4 es - m < x < x . ~

Al estudiar el problema con valor inicial

si existe una solución, si ésta es única, sobre las cuestlones fundamentales a considerar son qué intervalo está definida y cómo obtener una fórmulaútil para esa solución. Si la ecuación diferencial (1) es lineal, entonces existe una fórmula general para l a solución y, con base en ella, enlas secciones 2.1 y 2.2 se dio respuesta, con relativa facilidad,a las cuestiones antes indicadas. Además,para las ecuaciones lineales existe una solución general (que contiene una constante arbitraria) que incluye todas las soluciones y los puntos posibles de discontinuidad de la solución pueden identificarse mediante la simple localización de los puntos de discontinuidad de los coeficientes. Sin embargo,para las ecuaciones no lineales no existe fórmula correspondiente, de modo que es más difícil establecer propiedades generales semejantes de las soluciones.En esta sección se investigan algunas de las diferencias entre las ecuaciones linealesy las no lineales.

Existencia y unicidad. El siguiente teorema de existencia y unicidad es análogo al teorema 2.2.1 para las ecuaciones lineales. Sin embargo, su demostración es bastante más complicada y se pospone hasta la sección2.11.

2.4

Diferenciasecuaciones entre lineales las

Y las no lineales

55

Las condiciones que se dan en el teorema 2.4.1son suficientes para garantizarla existencia de una solución única del problema con valor inicial (l),(2) en algÚ11iniervalo x,, - /¡ < x < .x + 12. Sin embargo, la determinación de un valor h puede ser difícil. Incluso si f no satisface las hipótesis del teorema, todavía es posible que pueda existir una solución única. De hecho,la conclusión del teorema sigue siendo válida si se reemplazala hipótesis acerca de la continuidad deaf/ay por ciertas condicionesmis débiles. Adernis, puede estahlecerse la existencia de una solución (pero no su unicidad) sólo con base en la continuidad de!: A pesar de lo anterior, la forma de teorema que acaba de darse es satisfactoria para casi todos los propósitos. Mediante ejemplos es posible hacer ver que para obtener el resuitado que se enuncia en el teorema algunas condiciones sobrefson esenciales. De este modo, en el siguiente ejemplo se hace ver que el problema con valor inicial(l), (2) podría tener más de una s o l u c i h en caso de que se violen las hipótesis del teorema 2.4.1.

Ejemplo 1

Resolver el problema con valor inicial y' = y l,3

y(0) = o

3

para x 2 O. Por t m t o , Este problemase resuelve con facilidad ya que la ecuación diferencial es separahle. se tiene = &,

y"!'dy

de modo que 3 ,283 = 2J

x +

Y y=

[$(x + 4 1 3

La condición inicial se satisface si c = O, por lo que

satisface ambas ecuaciones(3). Por otra parte, la función y = (b,(xj =

-($x,3

x 2o

2,

también es una solución del problema con valor inicial dado. Es más, la funcicin y = y(.) = o,

x2

o

(6)

todavía esotra solución. De hecho, no es difícil demostrar que,para un positivoxo arbitrario, las funciones

son continuas, diferenciables (en particular en x = x(,)y soluciones del problema c m valor inicial ( 3 ) . Por tanto, este problema tiene una familia infinita de soluciones: ver la figura 2.4.1, en donde se muestran unas cuantasde estas soluciones.

.

56

Ecuaciones diferenciales de primer orden

o j@

FIGURA 2.4.1 Varias soluciones del problema convalor inicial y' = y lI3, y(0) = O. La no unicidad de las soluciones del problema (3) no contradice al teorema de existencia y unicidad, ya que

y esta función no es continua, incluso ni está definida, en cualquier punto en donde y = O. De donde, el teoremano es aplicable en Cualquier región que contenga parte del eje x. Sin embargo, si (xo, yo) es cualquier punto que no sea del eje x, entonces existe una solución única de la ecuación diferencialy' = y1I3 que pasa por (xo,yo).

Intervalo de definición. La solución de la ecuación lineal sujeta ala condición inicial(2) existe alo largo de cualquier intervalo alrededor de x = x o en el que las funciones p y g sean continuas. Por otra parte, para un problema no lineal con valor inicial puede ser difícil determinar el intervalo el en que existe una solución. Este hecho se ilustra con algunos de los ejemplos de la sección 2.3. En realidad, la solución y = 4(x) existe siempre queel punto [x, 4(x)] permanezca dentro dela región en la que se cumplen las hipótesis del teorema2.4.1; sin embargo, como+(x) en general nose conoce, puede ser imposible localizar el punto [x, +(x)] con respecto a esta región.En todo caso, el intervalo en el que existe una solución puede no estar relacionado en forma sencillal acon funciónf de la ecuación (1). Esto se ilustraen el siguiente ejemplo. Resolver el problema con valor inicial y' = y2,

y(0) = 1,

i y determinar el intervalo en el que existe la solución.

2.4

57

Diferencias entre las ecuaciones lineales y las no lineales

El teorema2.4.1 garantiza que este problema tiene una solución única,ya quef(x,y) =Y2 Y af/ a y = 2y son continuas en todo punto. Para encontrarla solución, primerose escribe la ecuación diferencial en la forma y-* d y = dx

(10)

Luego -y-1 = x t c

Y y =

1 x+c

Para satisfacer la condición inicial debe elegirse c = -1, de modo que 1 y="--I-x

es la solución del problema con valor inicial dado. Es evidente que la solución se vuelve no acotada cuandox + 1; por consiguiente,la solución existe sólo en el intervalo --x < x < I . Sin embargo, la ecuación diferencial porsí sola no indica que el punto x = 1 sea de alguna manera notable. Es más, si se reemplaza la condición inicial por Y (0) = Y,,

(13)

la constante c de la (11) debe elegirse comoc = -l/yo, y se concluye que

es la solución del problema con valor inicial con la condición inicial (13). Obsérvese que la solución (14) se vuelveno acotada cuandox + l/y,, de modo que el intervalode existencia de la solución es - 30 < x < l/y, si y , > O, y es l/yo < x < w si y , < O. Este ejemplo ilustra una característica que provoca dificultades de los problemas con valor inicial para ecuaciones no lineales; a saber, las singularidades de la solución pueden depender de manera esencial de las condiciones iniciales, así como dela ecuación diferencial.

Solución general. Otra manera en la que difieren las ecuaciones lineales y las no lineales es con respecto al concepto de solución general. Para una ecuación lineal de primer orden es posible obtener una solución que contenga una constante arbitraria, a partir de la cual se obtengan todas las soluciones posibles al especificar valores para esta constante. Para las ecuaciones no lineales éste puede no ser el caso; aun cuando pueda hallarse una solución que contenga una constante arbitraria, es posible que no puedan obtenerse otras soluciones al dar valoresa esta constante. Por ejemplo, parala ecuación diferencialy' = y 2 del ejemplo 2, la expresión de la(11) contiene una constante arbitraria, perono incluye todas las soluciones de la ecuación diferencial. Para hacer ver lo anterior, obsérvese que, evidentemente la función y = O para toda x es una solución de la ecuación diferencial, pero no puede obtenerse de la (11) al asignar un valor a c. En este ejemplo será factible anticipar que algo como esto podría ocurrir debido a que para reescribir la ecuación diferencial originalen la

58

diferenciales

primer Ecuaciones

de

orden

forma (10) debe requerirse que y sea diferente de cero. Sin embargo,la existencia de soluciones “adicionales” no es extraña para las ecuacionesno lineales; en el problema14 se da un ejemplo menos obvio. Por tanto, se usará la expresión “solución general” solamente al analizar las ecuaciones lineales.

Soluciones implícitas. Recuérdese una vez más que para una ecuación lineal de primer orden existe una fórmula explícita [ecuación (17) de la sección 2.11 para la solución de y= $(x). En la medida en que es posible encontrar las antiderivadas necesarias, puede determinarse el valor de la solución en cualquier punto simplemente al sustituir el valor adecuado de x en la fórmula. La situaciónpara las ecuaciones no lineales es mucho menos satisfactoria. Por lo general, lo mejor que puede esperarsees hallar una ecuación

en la que intervenganx y y que sea satisfecha por la solución y= $(x). Incluso sólo se puede hacer esto para ecuaciones diferenciales de ciertos tipos particulares,de las cuales las más importantes son las ecuaciones separables. La ecuación (15) se conoce como integral, o primera integral, de la ecuación diferencial y (como ya se hizo notar) su gráfica es una curva integral, o quizá una familia de curvas integrales. La ecuación (15), en caso de que pueda hallarse, definela solución implícitamente; es decir, para cada valor de x es necesario resolver la (15) para hallar el valor correspondiente de y. Si la (15) es suficientemente sencilla, puede que sea posible despejary por medios analíticos y, en consecuencia, obtener una fórmula explícitapara la solución. Sin embargo, con mayor frecuencia esto no es posible y habrá que apoyarse en un cálculo numérico para determinar el valor de y, para un valor dado de x. Entonces, el cálculo tendrá que repetirse para cada valor diferente de x. Una vez que se han calculado varias parejas de valores de x y y, a menudo es de utilidad situarlas en un plano coordenado y, a continuación, trazarun esquema de la curva integral que pasa por ellas. En caso de ser posible, el estudiante debiera usar una computadora para que realice ese trabajo. Los ejemplos de esta sección y el ejemplo 2 de la sección 2.3 son problemas no lineales en los que es posible resolverlos con el fin de hallar una fórmula explícita la para solución y = $(x). Por otra parte, los ejemplos 1 y 3 de la sección 2.3 son casos en los que es mejor dejar la solución en forma implícita y aplicar medios numéricos para evaluarla, para valores particulares dela variable independiente. Esta última situaciónes más común; a menos que la relación implícita sea cuadrática en y o que tenga alguna otra forma especialmente simple, es improbable que pueda resolverse de manera exacta por medios analíticos. De hecho, incluso con bastante frecuenciaes imposible encontraruna expresión implícita para la solución de una ecuación no lineal de primer orden.

Construcción gráfica o numérica de curvas integrales. Debido a la dificultad de obtener soluciones analíticas exactas de ecuaciones diferencialesno lineales, los métodos que producen soluciones aproximadas u otra información cualitativa sobre las soluciones tienen de manera correspondiente, una mayor importancia. En la sección l .1ya se describióla manera en que puede construirse el campo direccional de una ecuación diferencial. El campo direccional a menudo puede mostrar la forma cualitativa de las soluciones y también puede ser útil para identificar regiones del plano xy en donde las soluciones exhiben carac-

2.4

59

Diferencias entre las ecuaciones lineales lineales y las no

teristicas interesantes que ameritan una investigación analíticao numérica más detallada. En la sección 2.6 se analizan con más detalle los métodos gráficos para las ecuaciones de primer orden. En el capítulo 8 se presenta un análisis sistemático de 10s métodos numéricos. Si el estudiante desea obtenerun panorama equilibrado de los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en especial de las no lineales, entoncesen este momento es posible que desee leer por lo menos unas cuantas de las primeras secciones del capítulo8.

En cada uno de los problemas 1 a 8, dé la región del plano x y en la que se satisfacen las hipótesis del teorema 2.4.1; por tanto, existe una solución única que pasa por cada punto inicial dado en esta región.

3. y' = 2xy/(l

+ y2)

4. y'

8.

= 3(x

+ y)- *

x)y dy == (cot __-dx 1 I'

"

+

En cada uno de los problemas 9 a 12, resuelva el problema con valorinicial dado y determine de qué manera el intervalo en el que la solución existe depende del valor inicial y,. 9. y' = -4x/y, 11. y' y3 =o,

+

10. y' = 2 x 9 , 12. y' = x"y( 1

y(0) = y, y(0) = yo

+

y(0) = yo x3),

y(0) = y,

13. Considere el problema con valor inicial y' = y1'3, y(O) = O que se analizó en el ejemplo 1 del texto. a) ¿Existe una solución quepase por el punto (1, l)? En caso afirmativo, halle esa solución. b) ¿Existe una solución quepase por el punto (2, l)?En caso afirmativo, halle esa solución. c) Considere todas las soluciones posibles del problema con valorinicial dado. Determine le conjunto de valores que tienen estas solucionesen x = 2. 14. a) Verifique que yl(x) = 1 = -x y y2(x) = -x2/4 son soluciones del problema con valor

inicial y' =

"x

+ (x2 + 4y)"2 , 2

y(2) = -1.

¿En dónde son válidas estas soluciones? b) Dé una explicación de por qué la existencia de dos soluciones del problema dadono contradice la parte de unicidaddel teorema 2.4.1. c) Demuestre quey = cx + c2,en donde c es una constante arbitraria, satisface la ecuación diferencial del inciso a) para x 2 -2c. Si c = -1, también se satisface la condición

60

Ecuaciones diferenciales de primer orden

inicial y se obtiene la solución y = y,(x). Demuestre que no existe c que dé la segunda solución y = y&). ..-e

-e.

2.5 Aplicaciones de las ecuaciones lineales de rimer orden Las ecuaciones diferenciales son interesantespara los no matemáticos principalmente debido a la posibilidad de utilizarlas para investigar una amplia variedadde problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. Eneste proceso se presentan tres pasos identificables, sin importar cuál seael campo específico de aplicación. En primer lugar, es necesario traducir la situación física en términos matemáticos. Suele llevarse a cabo esto al establecer hipótesis acerca delo que está sucediendo que parezcan ser coherentes con los fenómenos observados. Por ejemplo, ha se observado que los materiales radiactivos decaen con una rapidez proporcional a la cantidad de material presente, que el calor pasa de un cuerpo caliente hacia uno más frío con una rapidez proporcional a la diferencia de temperaturas, que los objetos se mueven según con las leyes de Newton del movimiento y que las poblaciones aisladas de insectos crecen con una rapidez proporcional a la población existente. Cada una de estas proposiciones comprende una razónde cambio (derivada) y, en consecuencia, al expresarse matemáticamente, tomala forma de una ecuación diferencial. Es importante tener en cuenta que las ecuaciones matemáticas casi siempreson sólo una descripción aproximada del proceso real, porque se basan en observaciones que porsí mismas son aproximaciones. Por ejemplo, los cuerpos que se mueven a velocidades comparables a la de la luz no cumplen con las leyes de Newton, las poblaciones de insectos no crecen indefinidamente como se afirmó, debido a posibles limitaciones en el abastecimiento de alimento, y la transferencia de calor es afectada por otros factores distintos a la diferencia en las temperaturas. Es más, el proceso de plantear matem6ticamente un problema físico suele comprender el reemplazo conceptual de un proceso discreto por uno continuo. Por ejemplo, el número de miembros en una población de insectos cambia en cantidades discretas; sin embargo, si la población es grande, parece razonable considerarla como una variable continua e incluso hablar desu derivada. De manera alternativa, puede adoptarse el puntode vista de que las ecuaciones matemáticas describen con exactitud la operación de un modelo simplificado que se ha construido (o concebido) de modo que comprenda las características más importantes del proceso real. En todo caso, una vez que el problema se ha formulado matemáticamente, a menudo debe encararse el problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales O, si falta el procedimiento, averiguar tanto como sea posible acerca de las propiedades de la solución. Puede suceder que este problema matemático sea bastante difícil y, de ser así, en esta etapa pueden indicarse aproximaciones adicionalesque hagan el problema matemáticamente tratable. Por ejemplo, una ecuaciónno lineal puede aproximarse con una!heal, O una función que varíe con lentitud puedereemp!azarse por s u valor promedio. Por supuesto, cualquier de esas aproximaciones también debe analizarse desde el punto de vista físico a fin de tener la certeza de que el problema matemático simplificado sigue reflejando las características esenciales del proceso físico en estudio. Al mismo tiempo, un conocimiento profundo de la física del problema puede sugerir aproximaciones matemáticas razonables que hagan el

2.5

Aplicaciones dedelas lineales ecuaclones

61

primer orden

problema matemático más tratable en el análisis. Esta mreracción entre la comprensión de los fenómenos fisicos y el conocimiento de las técnicas matemáticasy sus lirnitaciones es característica de la esencia de las matemáticas aplicadas, y es indispensable para construir con éxito modelos matemáticos de procesos físicos intrincados. Por último, una vez que se ha obtenido la solución (o al menos alguna información acerca de ella), debe interpretarse en términos del contexto en el que surgió el problema. En particular siempre debe comprobarse si la solución matemática parece físicamente razonable. Esto exige, por lo menos, que la solución exista, sea única y dependa en forma continua de los datos del problema. Esta última consideración es importante porquelos coeficientes de la ecuación diferencialy de las condiciones iniciales suelen obtenerse como resultado de mediciones de alguna cantidad física y, por consiguiente, son susceptibles de experimentar pequeños errores. Si estos pequeños errores conducen a cambios grandes(o discontinuos) en la solución del problema matemático correspondiente, que nose observan físicamente, entonces debe reconsiderarse siel modelo matemáticoes el adecuado parael problema físico. Por supuesto, el hecho de que la solución matemática parezca razonable no garantiza que sea correcta; sin embargo, si es seriamente incoherente con observaciones cuidadosas del sistema físico que pretende describir, sugiere que se han cometido errores al resolver el problema matemático o que el propio modelo matemático es demasiado rudimentario. Los ejemplos de esta sección son aplicaciones tipicas en las que surgen ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Ejemplo 1

Decaimiento radiactivo. El isótopo radiactivotorio 234 se desintegra conuna rapidez proporcional a la cantidad presente del mismo. Si 100 mg de este material se reducen a 82.04 mg en una semana, encontraruna expresión para la cantidad presente en cualquier instante. TambiCn, hallar el intervalo de tiempo que debetranscurrir para que la masa decaiga hasta la mitad de su valor original. Sea Q(t) la cantidad de torio 234 presente en cua!quier instante !, en donde Q se mide en miligramos y t, en días. La observación física de que el torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente significa que la razón de cambio con el tiempo dQldt es proporcional a Q; por tanto, Q satisface la ecuación diferencial. I

dQ/dt = - r e ,

(1)

en dondela constante r > O se conoce como razónde decaimiento. Se busca la solucion dela (1) i que también satisfaga la condición inicial

1

1I

Q(0) = 100

(2)

Q(7) = 82.04

(3)

así como la condición

I

La ecuación (1) es lineal y también separable; su solución general es Q(t) = 100e-",

I

(4)

I en donde c es una constante arbitraria. La condición inicial (2) requiere que c = 100 y, por lo I

tanto, Q(t) = 100e"'.

(5)

62

diferenciales

Ecuaciones

de primer orden

de satisfacer la (3), se hace t = 7 y Q = 82.04 en la (5); esto da

entonces,

Por tanto, se ha determinado la razón de decaimiento r. Si se usa este valor de r en la (S), se obtiene

con lo que se obtiene el valor de Q(t) en cualquier instante. El lapso durante el que la masa se reduce a la mitad de su valor original se denomina vida media del material. Sea zel tiempo en que Q(t) es igual a SO mg. Entonces, por la (S), SO = 100 e-", o bien, r z = In2.

La relación (8) entre la razón de decaimiento y la vida media es válida no sólo para el torio 234, sino para cualquier material que obedezca la ecuación diferencial (1); al usar el valor de r dado por la ecuación (6), se encuentra que, para el torio 234, in 2

z = __--

1

0.02828 -

24.5 días

Interés compuesto Supóngase que, en un banco, se deposita una cantidad de dinero o fondo, que paga interés a una tasa anual r. El valor S(t) de la inversión en cualquier instante t depende de la frecuencia con la que se componga el interés, así como dela tasa de éste. Las instituciones financieras tienen varias políticas sobre la composición: en algunas se compone mensualmente; en otras, semanalmente, y en otras, incluso diariamente. Si se supone que la composición se lleva a cabocontinuamente, entonces es posible plantearun problema sencillo convalor inicial que describa el crecimiento de la inversion. La razón de cambio delvalor de la inversión esdS/dt, y esta cantidad es igual a larapidez con l a que se acumula el interés, que es la tasa de interés r multiplicada por el valor actual de la inversión S([). Por tanto, dSldt = rS

(1 0)

es la ecuación diferencial que rige el proceso. Supóngase quetambién se conoce elvalor de la inversión en algún instante particular, por ejemplo, S(0) =S,.

(11)

Entonces, la solución del problema con valor inicial (lo), (ll),da el balance S(t) de la cuenta en cualquier instante t. Este problema con valor inicial se resuelve con facilidad. De hecho, es el mismo, salvopor el signo de la constante de proporcionalidad, que el problema con valor inicial del ejemplo1, que describe el decaimiento radiactivo. Comoconsecuencia, al resolver las ecuaciones (10) y (11) se encuentra que

2.5

63

Aplicaciones de las ecuaciones lineales de primer orden

(1 2)

s(t) = S,e".

Por tanto, una cuenta bancaria con interés compuestoen forma continua crece exponencialmente. Compárense ahora los resultados delmodelo continuo que acaba de describirse con la situación enla que la composición ocurre a intervalos de tiempo finitos. Si elinterés se compone una vez al año,entonces al cabo de t años, S(t) = S,(1 t r)'.

Si el interés se compone dos veces al año, entonces al término de seis meses el valor de la inversión es S,[1 t (r/2)], y al cabo de un año esS,[1 t (r/2)]*. Entonces, después det años se tiene S(t) = so( 1 +

;)

2:

En general, si el interés se compone m veces al año, entonces S(t) = S(,

1

+

6)

mf

L a relación entre lasfórmulas (12) y (13) se aclara si se recuerda de lo visto en cálculo que

En la tabla 2.5.1 se muestra el efecto decambiar la frecuencia de composición para una tasa de interés r del 8%. La segunda y tercera columnas secalcularon con base en laecuación (13) para una composición trimestral y diaria, respectivamente, y la cuarta se calculó con base en la (12) para una composición continua. Los resultados muestran que, en la mayor parte de los casos, la frecuencia de composición no tiene una importancia particular. Por ejemplo, durante un periodo de 10 años la diferencia entre la composición trimestral y la continua es de $17.50 por cada $1O00 invertidos, o sea, menosde $2anuales. La diferencia seríaun tanto mayorpara tasas de interés máselevadas y sería menorpara tasas más bajas.

TABLA 2.5.1 Crecimiento del capital a una tasa de interés de r = 8%, para varios modos de composición

Años

1 2 5 10 20 30 40

S(t)/S(t,) de la ec. (13) m=4 m =de365 1.O824 1.1716 1.4859 2.2080 4.8754 10.7652 23.7699

1.0833 1.1735 1.4918 2.2253 4.9522 11.o202 24.5238

s(t>/s(t,>

de(12) la ec.

1.0833 1.1735 1.4918 2.2255 4.9530 11.O232 24.5325

s(t>/s(t,> (14) la ec.

1.0845 1.1761 1.5001 2.2502 5.0634 11.3937 25.6382

64 I_.

Ecuaciones dijerenciales de primer orden Con base en el primer renglón de la tabla se ve que, para la tasa de interés r = 8%, el rendimiento anual para una composición trimestral es de 8.24% y para una composición diaria o continua es de 8.33%. Algunos bancos anuncian un rendimiento anual incluso más altoque el que seobtiene con composición continua. Estose logra al calcularuna tasa de interés diaria con el uso de un año nominal de 360 días y luego al componer estatasa al o largo del año natural real. AI aplicar este método para una tasa de interés r, e ignorar los años bisiestos, se encuentra que

En l a última columna de la tabla 2.5.1 se dan los resultados dela ecuación (14), para una tasa de interés del 8%. Obsérvese que el rendimiento anual efectivo es del 8.45%. Si se vuelve ahora al caso de la composición continua, supóngase que ademásde la acumulación de interés pueden hacerse depósitos o retiros. Si se supone que los depósitos o retiros se efectúan con una cuota constante k, entonces la (10) se sustituye por dS/dt = rS

+ k,

(15)

en dondek es positiva para los depósitos y negativa para los retiros. L a solución general de a l (15) es S(t) = ce" - (k/r),

en dondec es una constante arbitraria. Para satisfacer la condición inicial (11) debe elegirsec = S, + (kir). Por tanto, la solución del problema con valor inicial (15), (11) es S(t) = Soerr+ (k/r)(erf- 1).

(16)

El primer término de la expresión (16) es la parte de S(t) debida al interés pagado sobre la cantidad inicial S,, mientras que el segundo es la parte debida a l a cuota de depósito o retiro k. Lo atractivo de plantearel problema de estamanera general, sin valores específicos de S,, r o k , reside en la generalidad de la fórmula resultante (16) para S(r). Con esta fórmula es fácil comparar los resultados de diferentes programas de inversión o tasas de interés. Por ejemplo, supóngase que se abre una cuenta individual de retiro (CIR)a la edad de 25 años, con una inversión inicial de $2 O00 y que, a partir de esemomento se efectúan depósitos anuales de $2000, de manera continua. Sise suponeuna tasa de interés del8%, ¿cuál será elbalance de la CIR a l a edad de 65 años? Se tiene S, = $2 000, r = 0.08 y k = $2 000, y se desea determinar S(40). Con base en la ecuación (16), se tiene S(40) = (2000)e3.' + (25 000)(e3.' - 1) = $49 065

+ $58P 313 = $637 378.

Es interesante observar que la cantidad total invertida es de $ 82 000, de modo que la cantidad restante de $555 378 resulta del interés acumulado. Examínense ahora las hipótesis establecidas en el modelo. En primer lugar, se ha supuesto que el interés se compone continuamente y c,ue el capital adicional se invierte continuamente. En una situación financierareal ninguna de estas hipótesises verdadera, aunque lasdiscrepancias no suelen ser significativas. Lo más importante es que se ha supuesto que la tasa de interés r es constante durante todo el periodoconciderado, mientras que, de hecho, las tasas de interés fluctúan demanera considerable. Aunque es imposible predecir de modoconfiable las tasas futuras de interés, puede aplicarsela expresión (16)para determinar el efecto aproximadode las proyecciones de diferentes de esas tasas. También es posible considerar que r y k de la (15)

2.5

65

Aalicaciones de las ecuaciones lineales de arimer orden

son funciones de t, en vez de constantes;por supuesto, en ese caso lasolución puede ser mucho más complicada que la ecuación (16). Asimismo, vale lapena hacer notar que elproblema con valor inicial (15), (1 1) y la solución (16) también pueden aplicarse para analizar otras diversas situaciones financieras,incluyendo anualidades, hipotecas y préstamos para adquirir automóviles, entre otras.

Ejemplo 3

Mezclas En el instantet = O, un tanque contiene Q, lb de sal disueltas en100 gal de agua; ver la figura 2.5.1. Supóngase que al tanque está entrando agua que contiene lb de sal-por galón, a razón de 3 gal/min, y que lasolución bien revuelta está saliendo del tanque con la misma rapidez. Encontrar una expresión para la cantidad de sal Q(t) quehay en eltanque en el instante t . La razón de cambio de la sal en el tanque, en el instantet, Q'(t), debe serigual a la razón a la que la salentra ai tanque menos la razón a la que sale. La razón a la que la sal entra es Ib/gal multiplicado por 3 gal/min. La razón a la que la sal sale es (Q(t)/lOO) lb/gal multiplicado por 3 gal/min; por tanto, Q'(t)= 2 - I&Q(t)

es la ecuación diferencial que rige este general es

(1 7)

proceso. La ecuación (17) es lineal y su solución

Q(t)= 25

+~

e - ~ , ~ ~ ~ ,

(18)

en dondec es arbitraria. A fin de satisfacer lacondición inicial

Q= Qo

(19)

debe tomarse c = Q, - 25; de donde, Q(t)= 25(1 -

t QOe-0.02',

(20)

El segundo término del segundo miembro de(20) representa la porción de la sal original que resta en el tanque en el instante t. Este término se hace muy pequeño con el transcurso del tiempo, a medida que la solución original se extrae del tanque. El primer término del segundo

1 3 gal/min,q 3 Ib/gal

FIGURA 2.5.1 Tanque de agua del ejemplo 3.

66

Ecuaciones diferenciales de primer orden

__““__I

miembro de (20) da la cantidad de sal que hay en eltanque en elinstante t debido a la acciónde los procesos de flujo. A medida que t crece, estetirmino tiende al valorconstante de 25 (libras). is‘‘ Físicamente, también es obvio que este debe serel valor límite de Q, a medida que la solución eoriginal en el tanque se reemplaza cada vez más completamente por la que entra con una concentración de f lbigal.

’S g g

Ejemplo 4

Determinación del momento de la muerte’ En la investigación de un homicidio o una muerte accidental, a menudo es importante estimar el momento de la muerte. A continuación se describe un método matemático para enfocar este problema. A partir de observaciones experimentales se sabe que, con una exactitud satisfactoria en muchas circunstancias, la temperatura superficial de un objeto cambia con una razón proporcional a la diferencia entrela temperatura del objetoy la de su entorno (temperatura ambiente). Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. Por tanto, si O(t) es la temperatura del objeto en el instante t y T es la temperatura ambiente constante, entonces 8 debe satisfacer la ecuación diferencial lineal deldt = -k(8- T), (21 ) en donde k > O es una constante de proporcionalidad. El signo negativo de la ecuación (21) se debe al hecho de que siel objeto está más caliente quesu entorno ( 0 > 0,entonces se enfriará con el tiempo. De donde, dO/dr iO cuando 8 - T > O. Supóngase ahora que enel instante t = O se descubre un cadáver y que su temperatura es O(,, Se supone que enel instante del fallecimientotd la temperatura del cuerpo 0, tenía el valornormal de 98.6”F,o sea 37°C. Si se supone que la ecuación (21) es válida en esta situación, entoncesla tarea es determinar td. La solución de la ecuación (21) sujeta a la condición inicial @(O) = 6, es 8(r> = T + (e, - T ) e - k r (22) Sin embargo, la razón de enfriamiento k que aparece en esta expresión hasta ahora desconocida. Es posible determinar k al hacer una segunda medición de la temperatura del cuerpo en algún instante posterior t,; supóngase que 6 = e, cuanto t = t,. Al sustituir estos valores en (22) se encuentra que 8, - T = (e,- T)e+“, por lo cual

en donde eo,O,, T y 1, son cantidades conocidas. Por último, para determinar td se sustituyet = t d y O = 0, en la ecuación (22) y luego se despeja t,; se obtiene

en dondek está dada por la ecuación (23).

~

8

Consdltese la obra de J. F. Hurley, “An Application of Newton’s Law of Cooling”, Mathematics Teacher 67 (1974), pf. 141-142 y la de David A. Smith, “The Homicide Problem Revisited”, The Two Year College Malhernatics Journal 9 (1978),pp.141-345.

2.5

Aplicaciones dede las lineales ecuaciones

67

primer orden

k

t,

=

1

2

In

1

-~

0.5207

74 - 68 N 0,5207 h 85 - 68

In

98.6 - 68 85 - 68

-

1. I29 h

De donde se concluye que el cuerpo se descubrió aproximadamente 1 hr. 8 min. después del

I fallecimiento.

1. El isótopo radiactivo plutonio 241 decae de forma que se satisface la ecuación diferencial

dQldt = -0.0525Q

2. 3.

4.

5.

en dondeQ se mide en miligramos y t en años. a) Determine la vida media zdel plutonio 241. b) Si en estemomento se cuenta con 50 mg de plutonio, ¿cuánto quedará en 10 años? El einstenio253 decae con una rapidez proporcional a la cantidad que setenga. Determine la vida media z si este material pierdeun tercio de su masa en 11.7 días. El radio 226 tiene una vida media de 1 620 años. Encuéntrese el periodo en el que un cuerpo de este materia! se reduce a tres cuartas partesde su tamaño original. Suponga que inicialmentese encuentran 100 mg detorio 234 enun recipiente cerrado y que a éste se le agrega torio 234 conuna rapidez constante de 1 mg/día. a) Halle la cantidad Q(t)de torio 234 que hay en el recipiente en cualquier instante. Recuerde que, en el ejemplo 1, se encontró la razón de decaimiento para el torio 234. b) Halle la cantidad límite Q , de torio 234 queexistiría en el recipiente cuandot -+ co. c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir antesde quela cantidad de torio 234en el recipiente disminuya hasta ser 0.5 mg como máximomás del valor límite Ql? d) Si alrecipiente sele agrega torio 234 conuna rapidez de k mgidía, encuentre el valor de k que se requierea fin de mantener un nivel constante de 100 mg detorio 234. Determinación de fechas por radiocarbono.Un instrumento importante en la investigación arqueológica es la determinación de fechas por radiocarbono, que es un medio para determinar la antigüedad de ciertosrestos de madera y plantas y, por tanto, de huesos humanos o de animales o artefactos encontrados a la misma profundidad. El procedimiento fue desarrollado por el químico estadounidense Willard Libby (1908-1980) a principios de la década de 1950, por lo que fue galardonado con el Premio Nobel de Química en 1960. La determinación de fechas por radiocarbono se basa en el hecho de que algunos restos de madera o plantas, siguen conteniendo cantidades residuales de carbono 14,un isótopo radiactivo del carbono. Este isótopo se acumula durante la vida de la planta y comienza a decaer a la muerte de ésta. Como lavida media del carbono14

68

primer Ecuaciones dqerenciales de

6.

7.

8.

9.

10.

orden

es larga (aproximadamente de 5 S68 años2), despuésde muchos miles de años permanecen cantidades mensurables de carbono 14. Libby demostró quesi incluso está presente una dlminuta fracci6n de la cantidad original de carbono 14, entonces por medio de mediciones adecuadas de laboratorio puede determinarse con exactitud la proporción de la cantidad original de carbono14 que resta. En otras palabras,si Q(t)es la cantidad de carbono 14en el instante t y Q, es l a cantidad original, entonces puede determinarse la razón Q(t)/Q,, por lo menos siesta cantidad no es demasiadopequeña. Las técnicas de medición actuales permiten ia aplicacicin de este método para periodos de hasta alrededor de 100 O00 años, después delos cuales la cantidad de carbono 14restante es de sólo poco más o menos 4 x lo4 de la cantidad original. a) Si supone que Q satisface la ecuación diferencial Q' = -rQ, determinar la constante de decaimiento r para el carbono 14. b) Halle una expresicin para Q(t) en cualquier instante t, si Q(0) = Q,. c) Suponga que se descubren ciertos restos en los que la cantidad residual presente de carbono 14 es el20% de la cantidad original. Determine la antigüedad de estos restos. Suponga que se deposita una suma S , en un banco que paga interés a una tasa anual r, compuesto continuamente. a) Halle el tiempo T necesario para duplicar el valor de la suma original, como una función de la tasa de inter& r. b) Determine T si r = 7%. c) Encuentre la tasa de interés que debe pagarse si la inversión inicial tiene que duplicarse en ocho años. Una persona joven sin capitalinicial invierte k dólares anuales auna tasa de interés anual r . Suponga que las inversionesse hacen continuamente y que el interés también se compone de manera continua. a) Determine la suma S([) acumulada en cualquier instante t . b) Si r = 7.S%, determine k de modo que se disponga para su retiro de un millón de dólares en 40 años. c) Si k = $2 GO0 anuales, determine la tasa de interésr que debe obtenerse a finde contar con un millón de dólares disporlibles en 40 años. Sugerencia: Aplique el método de Newton o algún otro procedimiento numérico apropiado en el inciso c). El efecto de un pequeño cambio en la tasa de interés puede ser sustancial para un plazo largo de inversicin. Confirme lo anterior al calcular el resultado del programa de inversión CIR del ejemplo 2 si a) r = 7.5%; b) r = 9%. Una persona solicita un préstamo de $8 O00 para comprar un automóvil. El prestamista carga el interés a una tasa anual del 10%. Si se supone que el interés se compone de manera continua y que el deudor efectúa pagoscontinuamente con una cuota anual conslante k, determine la cuota de pago k necesaria para cubrir el adeudo en tres años. Determine también cuánto interés sepaga durante el periodo de tres años. El comprador de una casa no puede pagar más de $800 mensuales por la hipoteca. Suponga que la tasa de interés es de 9% y que el término de la hipoteca es de 20 años. Suponga que el interés se componecontinuamente y que también los pagos se hacen en la misma forma. a) Determine la cantidad máxima que este comprador puede solicitar en préstamo. b) Determine el interés total que se paga durante el término de la hipoteca.

' La vida media internacionalmente aceptada del carbono13 es S568k 30 años, según seindica en la McCrawHillEncyclopedio o f S c i e ~ or w f Trchnology (511 ed.) (New York: McCraw-Hill, 1982), Vol. 11, pp. 328-335.

2.5

Aplicaciones de las lineales ecuacionesprimer de

orden

69

11. ¿Cómo varían las respuestas delproblema 10 si el término de la hipoteca es de30 anos? 12. Un jubilado tiene invertidauna suma S(t) de modo que obtenga interés a una tasa anual r , compuesto continuamente. Los retiros para sus gastos se hacen a razón de k dólares anuales; suponga quelos retiros se hacen continuamentc. a) Si el valor inicial de lainversión es S,, determínese S(t) en cualquier momento. b) Si se supone queS, y r son fijos, determine la cuota de retiro k, a la que S(f)permanecerá constante. c) Si k sobrepasa el valor k, hallado en elinciso b), entonces S(t) disminuirá y, finalmente, será cero. Encuentre el tiempo Ten el que S(t) = O. d) Determine T si r = 8% y k = 2 k,. e) Suponga que una persona que se jubila conun capital S , desea retirar fondos a una cuota anual Ir por no más de T años. Determine la cuota máxima posible de retiro. f) ¿De cuánto debe ser una inversirin inicial para permitir un retiro anual de $12 O00 durante 20 años, si se suponeuna tasa de interés del8%? 13. Suponga que la población de la Tierra cambia con una rapidez proporcional a la población actual. (En la sección 2.6 se considera una hipótesis más exacta referente al crecimiento de la población.) Además, se estima que en el instante t = O (1650 de nuestra era), la población de la Tierra era de 600 millones (6.0 X 10"; en el instante f = 300 (1050 D.C.), la población era de 2.8 miles de millones (2.8 x lo9). Encuentre una expresión que dé lapoblación de la Tierra encualquier instante. Si se supone que la población máxima que la Tierra puede sostener es de25 miles de millones (2.5 X lo''), ¿cuándo se alcanzará este limite? 14. Suponga que la temperatura de una taza de café obedece la ley de Newton del enfriamiento. Si el café tiene una temperatura de 200°Fcuando acaba de servirsey un minuto después se ha enfriado hasta 190°F en un recinto cuya temperatura es de 70"F, determine cuándo el caféalcanza una temperatura de 150°F. 15. Encuentre el intervalo entreel momento dela muerte y el instante en quese descubre un cadáver, si las circunstancias son las mismas que las del ejemplo4, excepto que latemperatura ambiente es de32°F. 16. Suponga que, a medianoche, se descubre un cuerpo con una temperatura de 85"F, y que la temperatura ambiente es constantz de 70°F. El cuerpo se envía rápidamente (suponga que instantáneamente) a la morgue, en donde la temperatura ambiente se mantiene a 40°F. Al cabo deuna hora se encuentra que la temperatura del cuerpoes de 60°F. Estime el momento de la muerte. 17. Suponga que una gota de lluvia esférica se evapora con una rapidez proporcional a su área superficial. Sioriginalmente su radio mide 3 mm y media hora después seha reducido hasta 2 mm, encuentre una expresión para calcular el radio de l a gota de lluvia en cualquier instante. 18. Inicialmente un tanque contiene 120 litros de agua pura. Al tanque entra a razón de 2 litros/min, una mezcla que contiene una concentración de ygllitro de sal y lamezcla bien revuelta sale deltanque a la misma razón. Encuentre una expresión en términos de ypara la cantidad de salen el tanque en cualquier instante t. Halle también l a cantidad límite de sal en el tanque t m. 19. Considere un tanque usado en ciertos experimentos de hidrodinámica. Después de realizar un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución de colorante con una concentración de 1 g/litro. A fin de preparar el siguiente experimento, el tanque debe lavarse con agua limpia que fluye a razón de 2 litros/min y la solución bien revuelta sale a la misma razón. Halle el tiempo que transcurrirá antesde quela concentración de colorante en el tanque alcance el 1% de su valor original. "+

-70 ~"._____"I__"

Ecuuciones diferenciales

primerde

orden

20. Un tanque contiene originalmente 700 gal de agua limpia; a continuación se vierte en el tanque agua que contiene { lb de sal por galón, a razón de 2 galimin y se deja que l a mezcla abandone el tanque a la misma razón. Al cabo de 10 minutos se detiene el proceso y se introduce al tanque agua limpia a razón de 2 galimin y nuevamente se deja que la mezcla abandone el tanque a la misma razón. Encuentre l a cantidad de sal en eltanque al cabo de 20minutos. 21. Un tanque con una capacidad de 500 gal contiene originalmente 200 gal deagua con 100 lb de sal en solución. hace Se entrar agua que contiene 1lb de sal por galón, a razón de 3 galimin, y se deja que la mezcla salga del tanque a razón de 2 galimin. Encuentre la cantidad de sal enel tanque en cualquier instante antes del momento en que la solución comienza a derramarse. Encuentre la concentración (en libras por galón) de sal en el tanque cuando seencuentra en el punto en que sederrama. Compare esta concentración con la concentración límite teórica, si la capacidad del tanque fuera infinita. 22. Suponga que un recinto que contiene 1 200 pies3 de aire originalmente está libre de monóxido de carbono. A partir del instante t = O, se introduce al recinto humode cigarro, que contiene 4% de monóxido de carbono, a razón de 0.1 pies3/min y se permite que la mezcla bien circulada salga a la misma razón. a) Halle una expresión para la concentración x(t) de monóxido de carbonoen el recinto, en cualquier instante t > 0. b) La exposición prolongada a una concentración de monóxido de carbono no tan baja como 0.00012 es dañina para el organismo humano. Halle el instante z en el que se alcanza esta concentración. 23. Considere una lago de volumen constante V que contiene en un instante t una cantidad Q(t)de contaminante, distribuido demanera uniforme en todo el lago con una concentración c(t),en donde c(t) = Q(t)/V.Suponga que al lago entra agua que contiene una concentración k de contaminante a una razón r, y que del mismolago sale el agua a la misma razón. Suponga que al lago también se le agregan directamente contaminantes a una razón constante P. Note que en las hipótesis establecidas se desprecian varios factores que pueden, en algunos casos, ser importantes; por ejemplo, elagua agregada o perdida por precipitación, absorción y evaporación; el efecto estratificantede l a diferencia de temperaturas en un lago profundo; la tendencia de que las irregularidades del a costa produzcan bahías protegidas; y el hecho de que los contaminantes no se depositan de manera uniforme en todo el lago, sino que (por lo general) l o hacen en puntos aislados de su periferia. Los resultados que se dan en seguida deben interpretarse a la luz de que sehan despreciado factores como &os. a) Si en el instante t = 0 la concentración de contaminantes es co, halle una expresión para la concentracihc(t) en cualquier instante. ¿Cuál es l a concentración límite cuando t-m?

TABLA 2.5.2 Datos del volumen y el flujo de los Grandes Lagos

Lago Superior Michigan Erie 209 Ontario

V ( km3 x

12.2

4.9 0.46 1.6

r (km3/año)

65.2 158 175

2.6

Dinámica de las poblaciones y algunos problemas relacionados

71

b) Si se terminala adición de contaminantesal lago ( k = 0 y p = o) para t > o), determine el intervalo de tiempo T quz debe transcurrir antes de que la concentración de esos contaminantes se reduzcaal SO% de su valororiginal; al 10% de SU valor original. c) En la tabla 2.5.2 están contenidos datos3 de varios de los Grandes Lagos. Con la aplicación de estos datos, determinecon base en el inciso b) el tiempo T necesario para reducir la contaminación de cadauno de estos lagos hastael 10% del valor original.

2.6 Dinámicadelas

oblaciones

al unos roblemas relacionados

En varias aplicaciones, que van desde la medicina hasta la ecología y hasta por la economía global, resulta conveniente predecir el crecimiento o descenso de la población de una especie dada. En diferentes situaciones puede haber interés en una población de bacterias, insectos, mamíferos o incluso de personas. Ecuaciones semejantes también rigen muchos otros tipos de fenómenos y en los problemas se mencionan algunos de éstos; por ejemplo, la cosecha de un recurso renovable (problemas 18 y 19); epidemias (problemas 20 a 22); bifurcación de fluidos (problema 23), y reacciones químicas (problema 24). El prop6sito principal de esta sección es mostrar cómo es posible aplicar métodos geométricos para obtener información cualitativa importante directamente de la ecuación diferencial, sin resolverla. Esto lleva de inmediato a muy los importantes conceptosde estabilidad e inestabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Estas ideas se presentan aquí y se analizan con mayor profundidady en un planteamiento más general en el capítulo9.

Crecimiento exponencial. Sea N(t) la población de la especie dada en el instante t. La hipótesis más simple referente a la variación de N(t) es que la razón de cambio de N es proporcional4 al valor actual deN , es decir,

en donde r e s la constante de proporcionalidad. La constanter se denomina raz6n de crecimiento o disminución, dependiendo de si es positiva o negativa. Si r < 0, entonces el problema matemático es el mismo que el correspondiente al decaimiento radiactivo que se analizó enla sección 2.5. Aquí se supone que>r O, de modo quela población esti creciendo. Al resolver la ecuación (1) sujeta a la condición inicial

N(0) = N ,

(2)

N(t) = Noert.

(3)

se obtiene

Este problema se basa en el artículo de R. H. Rainey “Natural Displacement of Pollution from thc Great Lakes”, Science 155 (1967), pp. 1242-1243; la información de la tabla se tomó de esa fuente. Aparentemente fue el economista británicoTomas Malthus (1766-1834) quien primero observci que muchas poblaciones biológicas crecen auna razón proporcional a la población. Su primer artículo sobre poblaciones apareció en 1798.

72

diferenciales

Ecuaciones

de primer orden

, t

I

FIGURA 2.6.1 Crecimiento exponencial:N contra t para dNldt = rN. Por tanto, el modelo matemático que consta del problema con valor inicial (l),( 2 ) con r > O predice quela población crecerá exponencialmente durante todo el tiempo, como semuestra en la figura2.6.1. En condiciones ideales, se ha observado que (3) la es razonablemente exacta para muchas poblaciones, al menos para periodos limitados. Sin embargo, resulta evidente que estas condiciones ideales no pueden continuar de manera indefinida; llega el momento en que las limitaciones de espacio, abastecimiento de alimentos u otros recursos reducen el índice de crecimiento y hacen que termine el crecimiento exponencial no inhibido.

Crecimiento logístico. Para tomar en cuenta el hecho de que la tasa de crecimiento en realidad depende de la población, en la ecuación (1) se reemplaza la constante r por una función f(N), con lo que se obtiene la ecuación modificada dNld t = f ( N ) N .

(4)

Ahora se desea elegirf(N) de modo quef(N) r > O cuando N sea pequeño,f(N> decrezca cuando N aumenta, y fíN) < O cuando N sea suficientemente grande. La función más sencilla que tiene estas propiedades es f(N) = r - aN, en donde a también es una constante positiva. Si se usa esta función en la(4), se obtiene dN/dt = (r - uN)N.

(5)

La ecuación (5) se conoce como ecuación de Verhulst5 o ecuación logística. A menudo resulta conveniente escribirla ecuación logística en la forma equivalente

P. F. Verhulst (1804-1849) fue un matemático belga que introdujola ecuación (5) como modelo para el crecimiento de la población humana, en 1838;lo mencionó como crecimientoIogístico, por lo cual (5) a menudo se le denomina ecuación logística.No pudo probar la exactitud de su modelo debido a los datos inadecuados R.Pearl (1930) demostró que existía de censo, y no se leprestó mucha atención hasta muchos años después. una concordancia razonable con los datos experimentales para las poblaciones de Drosophila melanogaster (mosca de la fruta), así comoC. E Cause (1935) para poblaciones de Paramecium y Tribolium (escarabajos de la harina).

2.6

Dinámica de

73

l a s poblaciones yproblemas relacionados algunos

\ FIGURA 2.6.2 dNldt contra N para dNldt = r ( l -NIK)N. en dondeK = r/a. La constante r se denominarazón de crecimiento intrínseco, es decir,la razón de crecimiento en ausencia de todo factor limitante. Un poco más adelante se aclarará la interpretación de K . La solución de la ecuación logística (6) puede encontrarse fácilmentepor el método de separación de variables,6y la solución se obtendráun poco después. Sin embargo, ahora se mostrará que al aplicar un razonamiento geométrico es posible descubrir directamente las características principales dela solución a partir de la propia ecuación diferencial sin resolverla. Esto es importante porque a menudo pueden aplicarse los mismos métodos en ecuaciones más complicadas, cuyas soluciones son más difíciles de obtener. En la figura 2.6.2 se muestrala grhfica de&/dt contra N , en dondedNldt está dada porel segundo miembro de la ecuación (6). La grhficaes una parábola que se interseca con el eje N en (O, O) y (k,O), y con vértice en(kl2, rkl4). Para O < N < K se ve quedNldt > O y, por lo tanto N es una función creciente de t; esto se indica por la flecha que apunta hacia la derecha cerca del eje N . De manera semejante, siN > K , entonces dN/dt < O; de donde, N ( t ) es decreciente, como se indica por la flecha que apunta hacia la izquierda. N = OSio N = K, entonces dNldt = O y N(t) no cambia. Las soluciones constantes N = + , ( t ) =O y N = +2(t) = K soluciones de equilibrio; a las cuales corresponden los puntos N = O y N = K del eje N que se denominanp;lntos de equilibrioo puntos críticos. A continuación se desea trazar las gráficas de las soluciones N ( t ) contra t para t > O, N > O y para diferentes valores iniciales N(0). Con este fin resulta útil conocer la relación entre las propiedades dela gráfica de dN/dt contra N y las de la gráfica deN contra t para cualquier ecuación de la forma dN1dt = F(N).

En la tabla 2.6.1 se resume esta información. La explicación de las entradas la detabla 2.6.1 es la siguiente: la gráfica deN(t) contra t es crecienteo decreciente, dependiendo de sidNl dt es positiva o negativa. Para investigar la concavidad, nótese que si dN/dt es positiva, entonces N y t crecen o decrecen simultáneamente. Por consiguiente, si dN/dt es positiva y creciente como funciónde N , entonces también es creciente como función de t, y la gráfica La ecuación logística también es una ecuación de Bernoulliy puede resolverse por la sustitución indicada en el problema 27 de la sección 2.2.

74

diferenciales

de urimer orden

Ecuaciones

TABLA 2.6.1 RELACIóN ENTRE LAS GRÁFJCAS DE dNldt CONTRA N Y DE N CONTRA t, RESPECTIVAMENTE. Si dNidt [o F(N)] es

Positiva y creciente Positiva y decreciente Negativa y creciente Negativa y decreciente

entonces

N(t) es

d Creciente y cóncavahaciaarriba rCreciente y cóncavahaciaabajo Decreciente y cóncava hacia abajo "-, Decreciente y cóncava hacia arriba L

de N contra t es cóncava hacia arriba. De manera semejante, sidN/dt es positiva y decreciente, entonces la gráficade N contra t es cóncava hacia abajo. La situación se invierte dN/dt si es negativa, porque entoncesN decrece cuandot crece y viceversa. Por lo tanto si dNldt es negativa y creciente como función de N , entonces es decreciente como función de t y la gráfica de N contra t es chncava hacia abajo.De manera semejante, si dN/dt es negativa y decreciente, entonces la gráfica de N contra r es cóncava hacia arriba. Estos resultados significan que las gráficas de las soluciones de la ecuación (6) deben tener la forma general que se indica en la figura 2.6.3, sin importar los valores deY y K. Las rectas horizontales son las soluciones de equilibrio &(c) = O y A ( t ) = K. En la figura 2.6.2se nota que dN/dt es positiva y creciente para O < N < Kl2, de modo que allí, la gráfica N(t) de es creciente y cóncava hacia arriba. De modo semejante, dNIdt es positiva y decreciente paraK/2 < N < K, de modo que, en este intervalo, la gráfica N(t)de es creciente y cóncava hacia abajo. Por tanto, las soluciones que se inician por debajo Kl de 2 tienen la formade S o carácter sigmoide que se muestraen la figura 2.6.3. Por otra parte, para N > K, &/dt es negativa y decreciente, de modo que, para estos valores de N , la gráfica deN(t) es decreciente y cóncava hacia arriba. Por último, recuérdese que el teorema 2.4.1, el teorema fundamental de existencia Y unicidad, garantiza que dos soluciones distintas jamás pasan porel mismo punto. De don-

> t

FIGURA 2.6.3 Crecimiento logistico: N contra r para dN/dt = r ( l - N I W .

2.6 Dinámica poblaciones de las

I5

y algunos problemas relacionados

de, aunque las soluciones tienden a la solución de equilibrio N = K cuando t -+ m, no alcanzan este valor en ningún tiempo finito. Dado que K es la cota superior a la que se tiende, pero que no se sobrepasa, al crecer las poblaciones que se inician por debajo de este valor, es natural referirse a K como el nivel de saturación,o como la capacidad cinegética del ambiente, para la especie dada. Una comparación de las figuras 2.6.1 y 2.6.3 revela que las solucionesde la ecuación no lineal (6) son sorprendentemente diferentes de las de la ecuación (l),al menos para grandes valores de t. A pesar del valor de K , es decir, sin importar cuán pequeiio sea el término no lineal de (6), sus soluciones tienden a un valor finito cuando t m, mientras que las soluciones de(1) crecen (exponencialmente) sin cota cuando t -+ m. Por tanto, inclusoun término nolineal diminutoen la ecuación diferencial tiene un efecto decisivo en la solución, para t grande. En muchas situaciones basta con tener la información cualitativa acerca de la solución N ( t ) de la ecuación(6) que se muestra enla figura 2.6.3. Se recalca que esta información se obtuvo por completo a partir de la gráfica de dN/dt contra N y sin resolver la ecuación diferencial (6). Sin embargo, sise desea tener una descripción más detallada del crecimiento logístico -por ejemplo, si se desea conocer al valor de la población en algún instante específico- es necesario resolver la ecuación (6) sujeta a la condición inicial (2). En el supuesto de queN f O y N # K (6) puede escribirse en !a forma --f

.'(

1 -' I N K /K

N

)dN

=rdt.

Al aplicar un desarrollo en fracciones parciales en el primer miembro, se tiene

(S

-

dN = r dt. N/K)N

Luego, al integrar ambos miembros se obtiene

I I:

lnlNi - In 1

-

~

= rt

+ c,

en dondec es una constante arbitraria de integración que debe determinarse con base en la condición inicialN ( 0 ) = N ,Ya . se hizo notar queO si < N o < K, entonces N(t) permanece en este intervalo todo el tiempo. Por consiguiente, en este caso es posible eliminar ias barras de valor absolutoen la (7) y, al tomar la exponencial de ambos miembros, se encuentra que

en donde C = e'. Para satisfacer la condición inicialN ( 0 ) = N oes , necesario elegirC = N d [l - ( N & ) ] .Si se usa este valor de C en (8) y se despeja N , se obtiene N ( ¿ )=

NOK

No

+ ( K - N,)e-"'

orden 76

primer

de

diferenciales

Ecuaciones

La solución (9) se obtuvo a partir de la hipótesis de queO < N , < K. Si No > K, entonces los detalles para tratar la ecuación (7) difieren sólo un poco, y se deja al estudiante que demuestre que la (9) también es valida en este caso. Por último, nótese que (9) también contiene las soluciones de equilibrioN = +,(t) = O y N = +2(t) = K correspondientes a las condiciones inicialesN , = O y N,, = K , respectivamente. Todas las conclusiones cualitativas a las que se llegó antes mediante un razonamiento geométrico pueden confirmarse al examinar la solución (9). En particular, siNo = O, entonces la (9) requiere que N(t) O para toda t. Si N , > O y si en la(9) se hace t 4 m, entonces se obtiene lím N ( t ) = N o K / N o = K . t ”* T:

Por tanto, para cadaN , > O la solución tiende asintóticamente a la solución de equilibrio N = +2(t)= K (de hecho, lo hace exponencialmente) cuando t -+ OO. De donde, se dice que la solución constante+2(t) = K es unasolución asintóticamente estable de la ecuación(6), o que el puntoN = K es un punto de equilibrio asintóticamente estable o punto crítico. Esto significa que después de un tiempo largo la población está próxima al nivel de saturación K, sin importar el tamaño inicial de la población, en tanto sea positivo. Por otra parte, la situación para la solución de equilibrioN = +,(t) = O es bastante diferente. Incluso las soluciones que parten muy cerca de cero crecen cuando t aumenta y, como se ha visto, tienden a K cuando t -+ m. Se dice que +,(t)= O es una solución de equilibrio inestable o que N = O es un punto de equilibrio inestable o punto crítico. Esto significa que la única manera de garantizar que la solución permanezca próxima a cero es asegurar que su valor inicial sea exactamente igual a cero. Estos dos casos pueden visualizarse como sigue. En primer lugar, suponga que se está intentando efectuar un experimento libre de bacteriasunen medio en que el crecimiento de las bacterias lo rigela ecuación ( 6 ) .Además, suponga que se ha logrado reducirla población de bacterias hasta un nivel extremadamente bajo, pero diferente de cero. ¿Es seguro efectuar un experimento durante un periodo largo, con la hipótesis de que la población de bacterias permanecerá baja?No, siempre que la población inicial N , sea diferente de cero, el tamaño de la población terminará por tender al nivel de saturación K. Por supuesto, si el experimento no dura demasiadoy si N , es suficientemente pequeño, entonces la población de bacterias permanecerá dentro de límites aceptables para la duración de ese experimento. En segundo lugar, suponga que se está intentando realizar un experimento a un nivel K de bacterias, aunque de vez en cuando se introducen contaminantes que matan unas cuantas bacterias. ¿Es posible que esto haga que la población de bacterias sigasdecreciendoy termine por extinguirse?No. Si el nivelde la población varía ligeramente con respecto K,a hacia arriba o hacia abajo, tenderá a volver Ka al crecer t.

Ejemplo 1

Se ha aplicado el modelo logistic0 al crecimiento natural de la población de hipoglosos en ciertas regiones del Oc6ano Pacífico.’Sea N($ medida en kilogramos, la masa total, o biomasa,

’Una buena fuentede información sobre la dinámica de las poblaciones y los aspectos económicos relativos al hacer un uso eficiente de un recurso renovable, con especial atención ala pesca, es el libro de Clark (ver la bibliografía al final del capitulo). Los valores de los parámetros que se usan en este ejemplo se dan en la página 48 de este libro y fueron obtenidos como resultado deun estudio efectuado por M.S. Mohring.

2.6

Dinámica poblaciones de las

77

yproblemas relacionados algunos

NIK

+

1.5

n

1.25

1

0.75 0.5 0.25

-

I

2

7

4

6

t

FIGURA 2.6.4 NIK contra t para el modelo de población de hipoglosos en Océano Pacífico.

el

de la población de hipoglosos en el instante t. Se estima que los parámetros de la ecuación logística tienen los valores r = 0.71/año y K = 80.5 X lo6kg. Si la biomasa inicial esNo = 0.2SK, encontrar la biomasa dos años después. También, hallar el tiempo zpara el que N(7) = 0.7SK. Es conveniente reducir la solución (9) a escala de la capacidad de portación K, por tanto, la ecuación (9) se escribe en la forma

Al usar ios datos dados en el problema se encuentra que

Como consecuencia, N(2) 46.7 X lo6 kg. Para hallar z primero puede despejarseen la (10); se obtiene = (N,/K)[1 - ( N / K ) I ,

(N/K)CI - (No/Wl'

de donde,

Al usar los valores dados der y N OIK y hacer NIK = 0.75, se encuentra que 7=

1

IR 0.71

(0.25)(0.25) 1 In 9 z 3.095 años. (0.75)(0.75)-

0.71

En la figura 2.6.4 se muestran las gráficas de N(t) contra t para los valores dados de parámetros y para varias condicionesiniciales.

los

78

primer Ecuaciones diferenciales de

orden

dNIdt

-

-rT 1 4

( T I 2, -rT I 4)

FIGURA 2.6.5 dNldt contra N para d-V/dt = -r (1 - N/T)N.

Un umbral critico. Considérese ahora la ecuación

en donde r y T son constantes positivas dadas. Obsérvese que (excepto por la sustitución del parámetroK por T ) , esta ecuación sólo difiere de la ecuación logística (6) por la presencia del signo negativo en el segundo miembro. Sin embargo, como se verá, las soluciones de la ecuación (12) se comportan de manera muy diferente a las de la (6). Para la ecuación (12), la gráfica de dN/dt contra N es la parábola que se muestra la enfigura 2.6.5. Las intersecciones conel eje N sonlos puntos críticos N= O y N = T, correspondientes a las soluciones de equilibrio$,(t) = O y ~ $ ~ (=t T. ) Si O < N < T, entonces dNldz < O y N(t) decrece cuando t aumenta. Por otra parte, si N> T, entonces dNldt > O y N(t) crece cuandot aumenta. Por tanto,$,(t) = O es una soluciónde equilibrio asintóticamente estable y $2(t) =T es inestable. Además, dN/dtes decreciente paraO < N < T/2 y creciente para TI2 < N < T, de modo que Ia gráfica de N(t) es cóncava hacia arribay cóncava hacia abajo, respectivamente, en estos intervalos (verla tabla 2.6.1). Asimismo, &/dt es creciente paraN > T, de modo que la gráfica de N ( r ) también es cóncava hacia arribaallí. Al usar toda la información obtenida de la figura 2.6.5, se concluye que las gráficas de las soluciones de la ecuación (12), para valores diferentes de N,, deben tener la apariencia cualitativa que se muestra en la figura 2.6.6. Con base en esta figura resulta evidente que cuando el tiempo crece, N(t) tiende a cero N

T

4

Tí2 _.

FIGURA 2.6.6 N contra t para dNldt = -r(l - NIT)N.

2.6

79

Dinámica de las poblaciones yproblemas relacionados algunos

o crece sin cota, dependiendo de si el valor inicial N , es menoro mayor que T. Por tanto, T es un nivel de umbral, por debajo del cualno ocurre crecimiento. Las conclusiones a las que se llega mediante razonamiento geométrico pueden confirmarse si se resuelve la ecuación diferencial (12). Esto puede hacerse al separar las variables e integrar, precisamente como se hizo para la ecuación (6). Sin embargo, si se nota que (12) puede obtenerse de (6) al sustituir K por T y r por -r, entonces es posible efectuar las mismas sustituciones enla solución (9) y obtener N(t)=

NOT

N,

+ ( T - No)er"

que es la solución de (12) sujeta ala condición inicialN(0) = N,. Si N , < T, entonces de la (13) se concluye que N(t) -+O cuanto t + to.Esto concuerda con el análisis geométrico cualitativo. Si N , > T, entonces el denominador del segundo miembro de (13) es cero para cierto valor finito de t. Se denota este valor por t* y se calcula a partir de

N , - ( N , - T)er'*= O, lo que da

Por tanto, si la población inicial N,, está por arriba del umbral T, entonces el modelo de umbral predice quela gráfica deN(t) tieneuna asíntota vertical ent = t*;en otras palabras, la población se vuelveno acotada enun tiempo finito, que depende del valor inicial No y del valor de umbralT. Con base en el análisis geométrico no resultaron evidentes la existencia ni la ubicación de esta asíntota, de modo que en este casola solución explícita da lugar a importante información adicional cualitativa, así como cuantitativa. Las poblaciones de algunas especies presentan el fenómeno de umbral. Si existen demasiado pocos,la especie no puede propagarse con buen éxito y la población se extingue. Sin embargo, si es posible reuniruna población mayor que la de nivel de umbral, entonces se presenta un crecimiento adicional. Por supuesto, la población no puede llegar a ser no acotada de modo que, finalmente, será necesario modificar la ecuación (12) para tomar en consideración este hecho. En mecánica de fluidos, ecuaciones de la forma (6) o (12) a menudo rigenla evolución de una pequeña perturbaciónNen flujo laminar (o suave) deun fluido. Por ejemplo, si se cumple la ecuación (12)y si N < T, entonces se amortiguala perturbación y persiste el flujo laminar. Sin embargo, siN > T entonces la perturbaciór, crece y el flujo laminar se fragmenta en uno turbulento. En este caso, T suele mencionarse comoamplitud crítica. Los experimentadores hablan de mantener el nivel de perturbación en un túnel de viento lo suficientemente bajo de modo que puedan estudiar el flujo laminar sobreun perfil aerodinámico, por ejemplo. El mismo tipo de situación puede ocurrir con los dispositivos de control automático. Por ejemplo, supóngase que N corresponde a la posición de una aleta del ala de un avión que se regula por medio de un control automático. La posición deseada e s N = O. En el movimiento normal del avión, las fuerzas aerodinámicas cambiantes sobre la aleta harán que ésta se

80

diferenciales

Ecuaciones

de primer orden

FIGURA 2.6.7 dNldt contra N para dN/dt = -r(l - N/T)(1 - N/K)N. mueva respecto de su posición de ajuste, pero entonces el control automático entrará en acción para amortiguar a la pequeña desviación y colocar nuevamente la aleta enla posición deseada. Sin embargo, si el avión queda atrapado en una fuerte ráfaga, entonces la aleta puede desviarse tanto que el control automático no pueda regresarla a la posición de ajuste (esto correspondería a una desviación mayor que TJ. En tal caso, probablemente el piloto asumiría el control y contrarrestaría en forma manualel sistema automático.

Crecimiento logistic0con un umbral. Como se mencionóen la última subsección, puede ser necesario modificar el modelo de umbral (12) de modo que no ocurra crecimiento no acotado cuando N esté arriba del umbral T. La manera más simple de lograrlo es con la introducción de otro factor que tendrá el efecto de hacer a dNldt negativa cuando N es grande. Por tanto, se considera

dt en donde r > O y O < T < K. En la figura 2.6.7 se muestra la gráfica de m/dtcontra N . En este problema existen tres puntos críticos:N = O, N = T y N = K,correspondientes a las soluciones de equilibrio cPl(t) = O, cP2(t)= T y &(t) = K, respectivamente. Con base en la figura 2.6.7 es evidente que dNl dt > O para T < N < K y, por consiguiente,N(t) es creciente allí. La inversa es cierta para N < T y para N > K. Como consecuencia, las soluciones de equilibrio 4,(t) y &(t) son estables y la solución cP2(t) es inestable. Las grtificas de N ( t ) contra t tienen el aspecto cualitativo que se muestra enla figura 2.6.8. SiN se inicia por debajo del umbral T, entonces N decrece hasta su extinción final. Por otra parte,si N se inicia por arriba T, deentonces N(t) terminará por tender a la capacidad de portación K . L o s puntos de inflexión de las gráficas de N(t) contra t de la figura 2.6.8 corresponden los a puntos máximoy mínimo, N , y N2, respectivamente, de la gráfica de dN/dt contra N de la figura 2.6.7. Estos valores pueden obtenerse al derivar con respecto a N el segundo miembro de la ecuación (15), igualar el resultado a cero y despejar N . Se obtiene

NI.*

=(K

+ T +_ J K 2 - K T + T 2 ) / 3 ,

en donde el signo positivo da lugara N , y el signo negativo, a N2.

(16)

2.6

Dinámica de

las poblaciones yproblemas relacionados alaunos

81

FIGURA 2.6.8 N contra t para dNldt = -r(l - N/T)(1 - N/K)N. Aparentemente, un modelo de esta clase general rigió la población de palomas viajeras,’ que existíaen Estados Unidosen grandes números hasta fines del siglo XIX. Estas palomas fueron intensamente cazadas para alimentación y por deporte y, como consecuencia, el número de ellas se redujo drásticamente hacia la década 1880. de Sin embargo, parece que esta paloma pudo multiplicarse bien sólo cuando existió en grandes concentraciones, lo cual corresponde a un umbral T relativamente alto. Aunque a fines de la ciécada de 1880 permanecían vivos un número razonablemente grande de estos pájaros por separado, no existían los suficientes en algún lugar como para permitir que se reprodujeran con éxito, por lo que la población disminuyó con rapidez hasta extinguirse. La última sobreviviente murió en 1914. La disminución precipitada de la población de la paloma viajera desde grandes cantidades hasta la extinción en poco mds de tres décadas fue uno de los primeros factores que contribuyeron al interés por la conservación en Estados Unidos.

En cada uno de los problemas del 1 al 6, trace la gráfica de dN/df contra N, determine los puntos críticos (de equilibrio) y clasifique cada uno como estable o inestable. 1. d N / d t = U N + b N 2 , U >O, b >O, N , 2 O 2. d N J d t = a N + b N 2 , a > O, b > O, - m < N , < m 3. d N / d t = N ( N - 1)(N - 2), N, 2 O 4 . d N l d t = eN - 1, “x < N , < m 5. d N l d t = e - ) ’ - I , - m < N , < cc 6. d N J d t = - 2 (arctan N)/(1+ N’), -m < N , < m

Ver, por ejemplo, la obra de Oliver L. Austin, Jr., Birds of the World (New York: Golden Press, 1983), pp. 143-145.

”

.

82

diferenciales Ecuaciones

I

>

I

(a)

>

I

t

de primer orden

t

(b)

FIGURA 2.6.9 En los dos casos la solución de equilibrio#(t) = k es semiestable. a) dNldt 5 O; b) dNldt 2 O. 7. Soluciones de equilibrio semiestable. Algunas veces una solución de equilibrio constante tiene la propiedad de que las soluciones que están hacia uno de los lados de la solución de equilibrio tienden hacia ésta, en tanto que las soluciones que se encuentran en el otro lado se alejan de ella (verla figura 2.6.9); en este caso, se dice que la solución de equilibrio es semiestable. a) Considere la ecuación dN,ldt

=

k(1

-

N)2,

(ii

en dondek es una constante positiva. Demuestre que N = 1es elÚnico punto crítico, con la solución de equilibrio correspondiente $(t) = 1. b) Trace la gráfica dedN/dt contra N . Demuestre que N es creciente como función det, para N < 1 y también para N > 1. Por tanto, las soluciones que están debajo de la solución de equilibriotienden a ésta, mientras que las que están arriba crecen alejándose de ella. De donde, Ip(t) = 1 es semiestable. c) Resuelva la ecuación (i) sujetaa la condición inicial N(0) =N,,y confirme las conclusiones a las que se llegó en el inciso b). En cada uno de los problemas del 8 al 13, trace la gráfica dedN/dt contra N y determine los puntos críticos (de equilibrio). Clasifique también cada punto de equilibrio como estable, inestable o semiestable (ver el problema 7). 8. d N / d t = -k(N -- 1)2, 9. d N f d t = N 2 ( N 2- l), IO. d N / d t = N(l - N 2 ) , 11. d N / d t = aN - bJ%, 12. d N / d t = N 2 ( 4 - N’), 13. d N / d t = N ’ ( 1 - N)’,

-a: < N , < SO < N , < SO -SO < N , < 00 a > O, b > O, N , 2 O - a < N , < 00 - a < N , < 00

k > O,

-a

14. Considere la ecuación N / d t = F(N) y suponga que N , es un punto crítico; es decir,que F(N,) = O. Demuestre que la solución de equilibrio constante 4(t) = N , es estable si F’(N,) < O e inestable si F’(N,) > O. 15. Suponga que cierta población obedece la ecuación logística N l d t = rN[1 -(N/K)]. a) Si N,, = K/3, halle el tiempo t en el que seha duplicado la población inicial. Encuentre el valor de z correspondiente a r = 0.025 por año. b) Si NdK = a, encuentre el tiempo T en el que N(T)/K = p, en donde O < a, p < 1.

poblaciones las 2.6 Dinámica de

83

yproblemas relacionados algunos

Observe queT - t M cuando (Y + O o cuando fi -t 1. Encuentre el valor deT para r = 0.025 por año, (Y = 0.1, y fi = 0.9. 16, Otra ecuación que seha utilizado como modelo de crecimientode las poblaciones esla ecuación de Gompertz: dNldt = rN ln(KlN),

en donde r y K son constantespositivas. a) Trace la gráfica de dNldt contra N, encuentre los puntos críticos y determine si cada uno es estableo inestable. b) Para O 5 N 5 K , determine en dóndela gráfica de N contra t es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia abajo. c) Para cadaN en O < N 5 K, demuestre quedNldt, según se expresa por la ecuación de Gompertz, nuncaes menor que dN/dt según se expresa porla ecuación logística. 17. a) Resuelva la ecuación de Gompertz dNldt = rN In(KIN),

sujeta ala condición inicial N(0) = N,. Sugerencia: Es conveniente haceru = ln(N1K). b) Para los datos del ejemplo 1 del texto [r = 0.71 por año, K = 80.5 X lo6 kg. N,IK = 0.251, aplique el modelo de Gompertz para encontrar el valor predicho de N(2). c) Para los mismos datos del inciso b), use el modelo de Gompertz para encontrar el tiempo z en el que N( z) = 0.75 K.

Aprovechamiento de un recurso renovable. Supóngase que la población N(t) de cierta especie de peces (por ejemplo, atún o hipogloso) en una región dada del océanose describe por la ecuación logística. dNldt = r ( l - N/K')N.

Aunque es deseable utilizar esta fuente de alimento, de manera intuitiva es evidente quesi se pescan demasiados peces, entonces su población puede reducirse a menos de un nivel útil y, posiblemente, inclusose la lleve a la extinción. En los problemas 18 y 19 se examinan algunas de las preguntas relacionadas conel planteamiento de una estrategia racional para administrar la pesca.g 18. A cierto nivel de esfuerzo,resulta razonable suponer quela rapidez a la que se capturen los peces dependede la población N: mientras más peces haya, más fácil es atraparlos. Por tanto, se supone quela razón a la que se capturanlos peces, es decir, el rendimiento Y de la pesca, queda definidapor Y = EN, en donde E es una constante positiva, cuyas unidades son l/tiempo y que mide el esfuerzo total realizado para aprovechar la especie dada de peces.A fin de incluir este efecto, la ecudción logística se sustituye por dNldt = r ( l - NIK')N - EN,

(9

Esta ecuación se conoce como modelo de Schaefer, en honor delbiólogo M. B. Schaefer, quien lo aplicóa las poblaciones de peces. Un excelente tratamiento de este tipo de problema, que va más allá de lo que aquíse presenta, puede encontrarse en el libro deClark ya mencionado, especialmente enlos dos primeros capítulos.Allí se dan numerosas referencias adicionales.

Ecuaciones diferenciales de primerorden

84 ~

-

I

_

"

Demuestre quesi E < r, entonces existen dos puntosde equilibrio, N , = O y N?= K ( l EJ'v)> 0. b) Demuestre queN = N , es inestable y que N = N, es estable. c) Halle el rendimiento sostenible Y como función del esfuerzo E; l a gráfica de esta función se conoce como curvarendimiento-esfuerzo. d) Determine E a fin de hacermáxima a Y y , en consecuencia encuentre elrendimiento máximo sostenibleY,. 19. En este problema se supone quelos peces se capturan a una razón constante h independiente del tamaño de la población de los mismos; entoncesN satisface a)

dNldt = r ( l -NJK).V--h.

(i)

L a hipótesis de una razón constante de capturah puede ser razonable cuandoN es grande, aunque se vuelve menos razonable cuando N es pequeña. a) Si h < rKJ4,demuestre que la ecuación (i)tiene dos puntosde equilibrio N , y N2 con < .V2; determinar estos puntos. b) Demuestre que N , es inestable y que N 2 es estable. c) A partir de una gráficade dNldt contra N , demuestre quesi l a población inicial N, > Ni, entonces N i t ) + cuando t + M,pero que si N, < N , , entonces N ( t ) decrece cuando t crece. Note queA; = O no es un punto de equilibrio, de modo que si N, < N , , entonces se llega a la extinción en un tiempo finito. d) Si h > rk/4, demuestre que N(t) decrece hasta cero cuando t crece, sin importar el valor de N,. e) Si h = rk/4, demuestre que existe un sólo punto de equilibrio N = Ki2, y que este punto es semiestable(ver el problema 7 ) .Por tanto, el rendimiento máximo sosteniblees h,,, = &/4, correspondiente al valor de equilibrio N = K/2. Observe quehmtiene el mismo valor que Y,,, del problema 18 d). Se considera que la pesca está sobre explotada si N se reduce hasta un nivel por debajo de Kl2.

N,

N ,

Epidemias. El empleo de los métodos matemáticos para estudiar la propagación de enfermedades contagiosas se remonta por lo menos hasta algunas trabajos de Daniel Bernoulli sobre l a virueia, en 1760. En anos másrecientes se han propuesto y estudiado muchos modelos matemáticos para muchas enfermedadesdiferentes." En los problemas 20 al 22se tratan algunos de los modelos más sencillos y las conclusiones que es posible obtener de ellos. También se hanutilizado modelos semejantes paradescribir l a propagación de rumores y de productos para el consumidor. 20. Snponga queuna población dada puede dividirse en dos partes: aquellos que tienen una enfermedad dada y pueden contagiar a los demás, y aquellos que no la tienen pero son susceptibles de adquirirla. Sea x la proporción de individuos susceptiblesy y la proporción de individuos infectados; entonces x + y = l . Suponga quela enfermedad se propaga por contacto entre los miembros enfermosy los sanos dela población y que la razón de propagación dyldt es proporcional al número de esos contactos. Además, suponga que los miembros delos dos grupos sedesplazan libremente entresí, de modo que el número de contactos esproporcional al productode x y y. Como x = 1-y, se obtieneel problema con valor inicial dl'.'dr Io

=

xy(1

-

y),

y(0) = Yo>

(i)

Una fuente comúnes el libro de Bailey que se lista en la bibliografía. Los modelos de los problemas 20 al 22 son analizados por Bailey en los capítulos 5, 10 y 20, respectivamente.

2.6

Dinámica de

85

las poblaciones yproblemas relacionados algunos

en donde (Y es un factor de proporcionalidad positivo y yo es la proporción inicial de individuos infectados. a) Encuentre los puntos de equilibrio de la ecuación diferencial (i) y determine si cada uno es estable o inestable. b) Resuelva el problema con valor inicial (i) y verifique que las conclusiones a las que llegó enel inciso a) son correctas. Demuestre que y (t) + 1cuando t -+ m,l o cual significa que laenfermedad terminará por propagarse en toda la población. 21. Algunas enfermedades (como la fiebre tifoidea) son propagadas en gran medida por portadores, individuos que pueden transmitir la enfermedad aunque no presentan síntomas evidentes. Seanx y y, respectivamente, la proporción de individuos susceptibles y portadores en la población. Suponga quese identifican los portadores y se retiran de la población a una razón p, de modo que dyfdt = py.

Suponga también que la enfermedad se propaga a una razónproporcional al producto de x y y ; entonces,

d d d t = -CUXY.

(ii)

a) Determine y en cualquier instante t al resolver la ecuación (i) sujeta a la condición inicial y(0) = y,. b) Aplique el resultado del inciso a) para hallar x en cualquier instante al resolver la ecuación (ii) sujeta a la condición inicial x(0) = x., c) Encuentre la proporción de la población que escapa de la epidemia, al hallar el valor límite dex cuando t + m. 22. El trabajo deDaniel Bernoulli en 1760 tuvo como meta valorar la eficacia deun polémico programa de inoculación en contra de la viruela, que en esa época representaba una importante amenaza para la salud pública. Su modelo se aplica con igual propiedad a cualquiera otra enfermedad que, una vez contraída y haber sobrevivido, confiere inmunidad de por vida. Considere el grupo de individuos nacidos un año dado(t = O), y sean n(t) el número de estos individuos que sobreviven t años después. Sea x(t) el número de miembros de este grupo que para el año t no han tenido viruela y que, por consiguiente, siguen siendo susceptibles. Seanp la razón a la que los susceptibles contraen la viruela, y ,H la razón a l a que quienes contraen la viruela fallecendebido a ésta. Por último, seap ( t ) el índice de mortalidad debido a todas las causas diferentes la deviruela. Entoncesdrldt, la razón ala que disminuye el número de susceptibles, seexpresa por dx/dt =

-[p

+ p(t)]x;

(i)

el primer término del segundomiembro de la ecuación (i) esla razón a la que los sujetos susceptibles contraen la viruela, mientras que el segundo término es la razón a la que fallecen debido a otras causas. También, dnldt = -vgx

-

p(t)n,

(¡¡J

en donde dnldt es el indice de mortalidad de todo el grupo, y los dos términos del segundo miembro son los indices de mortalidad debido a la viruela y otras causas, respectivamente.

-...-

,

I

.... .

....

..

. .

86

deEcuaciones orden diferenciales

primer

a) Haga z = xín y demuestre quez satisface el problema con valorinicial (iii)

Observe que el problema con valorinicial (iii) no depende de ,u(t). b) Encuentrez(t) al resolver la (iii). c) Bernoulli estimó que v = p = f Usando estos valores, determine la proporción de personas de 20 afios de edad queno han tenido viruela. Nota: Con base en el modelo antes descrito y en los mejores datos sobre mortalidad disponibles en ia época, Bernoulli calculó que si pudieran eliminar los fallecimientos debidos ala viruela (v = O), entonces ala esperanza media devida (en 1760) de 26 años 7 meses podrían sumarse aproximadamente 3 años; por consiguiente, apoyó el programa de inoculación. 23. Teoría de la bifurcación. En muchos problemas físicos alguna cantidad observable, como una velocidad, formade onda o reacción química, depende deun parámetro que describe el estado físico. A medida que aumenta este parámetro, se alcanza un valor crítico en que la velocidad, forma de onda o reacción cambia repentinamente su carácter. Por ejemplo, al aumentar la cantidad de uno de íos compuestos químicos de una mezcla, en un fluido originalmenteestático, repentinamente surgen patronesde onda enespiral de color cambiante. En muchos de estos casosel análisis matemático produce finalmente una ecuación" de la forma

dxldt = (R - R,)x - a x 3 .

6)

Aquí a y R, son constantes positivasRyes un parámetro que puede tomar varios valores. Por ejemplo, R puede medir la cantidad de cierto compuesto químico y x puede medir una reacción química. a) Si R < Rc,demuestre quesólo existe una solución de equilibriox = O y que esestable. b) Si R > Rc,demuestre que existen tres soluciones de equilibrio, x = 0 y x = rfi y que la primera solución es inestable, en tantoque las otras dos son estables. c) Trace una gráfica en el plano Rx que muestre todas las soluciones de equilibrio e identifique cada unade ellas como estableo inestable. El punto R = Rc se llamapunto de bifurcación.Para R < R,, se observala solución de equilibrio estable x = O. Sin embargo, esta solución pierde su estabilidad al pasar R por el valor Rc, y para R > R, las soluciones estables (y por tanto las observables) son x= y x =- d m . Debido a la manera en la que las soluciones se ramifican en Rc, este tipo de bifurcación se le conoce como bifurcación de horquilla; su gráfica debe sugerir queeste nombre resulta adecuado. 24. Reacciones químicas. Una reacción química de segundo orden comprende la interacción (colisión) de una molécula de una sustancia P con una molicula de una sustancia Q para producir una molécula de una nueva sustanciaX, esto se denota por P + Q -+ X. Suponga quep y q, en dondep # q, son las concentraciones iniciales de P y Q, respectivamente, y sea x(t)la concentración deX en el instante t. Entonces p -x ( t ) y q -x ( t ) son las concentraciones deP y Q en el instante t, y la rapidez ala que ocurrela reacción se expresa porla ecuaci6n

m

m

I'

En mecánica de fluidos, la ecuación (i) surge en el estudio dela transición del flujo laminar al turbulento; en esos estudios a menudo sele menciona como ecuación de Landau. L.D. Landau (1908-1968) fue un fisico ruso que recibio el premio Nobel en 1962por sus contribuciones al conocimiento delos estados condensados, en especialel helio líquido. También fue coautor, conE. M. Lifschitz, de una serie bastante conocida de libros de texto de física.

problemas

2.7

Algunos

de mecánica

87

en donde (Y es una constante positiva. a) Si x(0) = O, determine el valor límite de x(r) cuanto t m, sin resolver la ecuación diferencial. Luego, resuelva el problema con valor inicial y encuentre x(t) para cualquier t. b) Si las sustanciasP y Q son las mismas, entoncesp = q y la ecuación (i) se sustituye por -+

&dt

= (Y(P- X)',

(ii)

Si x(0) = O, determine el valor límite de x(t) cuando t -+ m, sin resolver la ecuación diferencial. Luego, resuelvael problema con valorinicial y determine x ( t ) para cualquier t.

2.7 Alaunos Droblemas de mecánica Algunas de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferenciales de primer orden se encuentranen el dominio dela mecánica elemental. En esta sección se considerarán algunos problemas en los que interviene el movimiento deun cuerpo rígido a lo largo de una recta. Se supondrá que estos cuerpos obedecen la ley de Newton del movimiento:el producto dela masa y la aceleración es igual a la fuerza externa. En símbolos,

en donde F es la fuerza externa, m es la masa del cuerpo y a es la aceleración en la dirección de F. Hay tres sistemas de unidades que se usan comúnmente. En el sistema cgs, las unidades básicas son el centímetro (longitud), el gramo (masa) y el segundo (tiempo). La unidad de fuerza, la dina, se define mediante la ecuación (1) como la fuerza necesaria para impartir una aceleración de 1 cm/s2 a una masa de 1 g. Como una dina es una fuerza muy pequeña, a menudo es preferible usar el sistema mks en el que las unidades básicas son el metro (longitud), el kilogramo (masa) y el segundo (tiempo). La unidad de fuerza, el newton(N), se define mediante la ecuación(1) como la fuerza necesaria para impartir una aceleración de 1m/s2 a una masade 1kg. Por último, en el sistema inglés,o de ingeniería, las unidades básicas son el pie (longitud), la libra (fuerza) y el segundo (tiempo). La unidad de masa, el slug, se define por la ecuación(1) como la masa a la que una fuerza de 1lb le da una aceleración 1 depie/s2. Para comparar los tres sistemas, observe que 1 N es igual a lo5 dinas y a 0.255 lb. Considérese ahora un cuerpo que cae libremente enun vacío y lo suficientemente cerca de la superficie terrestre, de modo que la única fuerza significativa que actúa sobre ese cuerpo es su peso debido al campo gravitacional de la Tierra. Entonces, la ecuación (1) toma la forma

y g denota su aceleración debida a la gravedad. en donde w es el peso del cuerpo Aunque la masa del cuerpo permanezca constante, su peso y aceleración gravitacional cambian con la distancia al centro del campo gravitacional de la Tierra. Al nivel del mar, se ha determinado experimentalmente que el valor deg e s 32 pies/s2 (sistemainglés), 980 cm/s2 (sistema cgs) o 9.8 m/s2 (sistema mks).Se acostumbra denotar por gla aceleración gravita-

88

diferenciales

"

Ecuaciones

de primer orden

cional al nivel del mar; por tanto, g e s una constante. Con esta aclaración, la ecuación (2) sólo es exacta al nivel del mar. La expresión general para el peso de un cuerpo de masa m se obtiene a partir de la ley de Newton del cuadrado inverso de la atracción gravitacional. RSies el radio dela Tierra y x es la altitud por encima del nivel del mar, entonces .'(4 = (R

K

en donde K es una constante. En x = O (nivel del mar), w = mg;de donde, K = mgR y

Al desarrollar (R -+

en una serie de Taylor en torno a x = O se llega a /

w(x) = nlyj 1 \

x 2-+.. R

Se concluye que si, en comparación con la unidad, se pueden despreciar los términos del orden de magnitud dex/R, entonces la ecuación (4) puede sustituirse por la aproximación más simple (2). Por tanto, para movimientos en la vecindad de la superficie terrestre, o en caso de que no se requiera una exactitud extrema, por lo general basta con utilizar la (2). En otros casos, comoen los problemas relacionados con vuelos espaciales, puede ser necesario usar la(4) o por lo menos una mejor aproximación que la (2). En muchos casos, la fuerza externa F incluye los efectos que no son el peso del cuerpo. Por ejemplo, es posible que sea necesario considerar las fuerzas de fricción debidas a la resistencia presentada por el aire o algún otro medio circundante. De manera semejante, pueden ser importanteslos efectos de los cambios de masa, como en el caso deun vehículo espacial que consume su combustible durante el vuelo. En los problemas quese consideran aquí resultaútil describir el movimiento del cuerpo con referencia a algún sistema convenientede coordenadas. Siempre se elige el xeje como la recta a lo largo dela cual se efectúa el movimiento; la dirección positiva del eje x puede

X

FIGURA 2.7.1 Una masa que cae en un medio que opone resistencia ( u > O).

2.7

89

Algunos problemas de mecánica

elegirse de manera arbitraria. Una vez que se especifica la dirección x positiva, un valor positivo de x indica un desplazamiento en esta dirección, un valor positivo de U = d d d t indica que el cuerpo se desplaza en la dirección del eje x positivo, un valor positivo de una fuerza F indica que ésta actúaen la dirección x positiva, etcétera. Los siguientes ejemplos tratan algunos problemas comunes.

Ejemplo 1

Se deja caer desde el reposo un objeto de masa m en un medio que presenta una resistencia proporcional a u , la magnitud de la velocidad instantánea del objeto.12 Si se supone que la fuerza gravitacional es constante, determinarla posición y la velocidad del objetoen cualquier instante t. En este caso es conveniente trazarel eje x positivo hacia abajo con el origen en la posición inicial del objeto (verla figura 2.7.1). El pesomgde! objeto actúa entoncesen la dirección hacia abajo (positiva), pero la resistencia k ' u ,en dondek es una constante positiva, actúa para impedir el movimiento. Si u > O, la resistencia es en la dirección hacia arriba (negativa)y, por tanto, se expresa por -kv. Si u < O, la resistencia actúa hacia abajoy todavía se expresapor --kv. Por tanto, en todos los casos es posibleescribir la ley de Newton como

dv dt

m-

= mg -

dv dt

m

kv

o bien,

k

-+-u==.

La ecuación (6) es una ecuación lineal de primer orden y tiene el factor integrante solución de (6) es

ekrim. La

La condición inicial v(0) = O requiere que c1 = -mg/k; por tanto,

Para obtener la posición x del cuerpo, en la ecuación (8) se sustituye u por dxldt; al integrar y aplicar la segunda condicióninicial x(0) = O da

La posición y la velocidad del cuerpoen cualquier instantet quedan dadas porlas ecuaciones (9) y (€9,respectivamente. l2 En

general,la resistencia esuna función dela velocidad, es decir, dela magnitud dela velocidad. La hipótesis de una relación lineal es razonable sólopara velocidades comparativamente bajas. Sise tienen velocidades mayores puede ser necesario suponer quela resistencia es proporcional a alguna potencia superior de u o incluso que se expresa por alguna función polinomial de u . ~

90

orden

primer Ecuaciones dg$erenciales de

Vale la pena hacer notar que cuando t -+ m en la ecuación (71, la velocidad tiendeal valor límite u, = mglk

(10)

La velocidad límite también puede obtenerse directamente partir a de la ecuación diferencial (6) al hacer dvldt = O y luego despejarv en (6). La velocidad límitevl no depende de las condiciones iniciales, sino sólode la masa del objeto y del coeficiente de resistencia del medio. Dada vl o k, la ecuación (1 O) proporciona una fórmula para calcular la otra. Cuando k tiende a cero (es decir, que la resistencia disminuye),la velocidad límite aumenta indefinidamente.

Ejemplo 2

Desde la superficie de la Tierra se proyecta hacia arriba un cuerpo de masa constantem con una velocidad inicial vo. Si se supone que no hay resistencia del aire, pero se toma en cuenta la variación del campo gravitacional terrestre con la altitud, encontrar una expresión parala velocidad duranteel movimiento subsecuente. Encontrar también la velocidad inicial necesaria para que el cuerpo alcance una altitud máxima dada5 por encimade la superficie terrestre y la menor velocidad inicial para queel cuerpo no regrese laa Tierra; esta ú!tima velocidad es la velocidad de escape. Tome el eje x positivo hacia arriba, con el origen en la superficie de la Tierra; ver la figura 2.7.2. El peso del cuerpo actúa hacia abajo y está dado por w(xj =

mg R 2

(R

+ x)’’

en dondeel signo negativo significa que w(x) está dirigido enla dirección x negativa. En virtud de que no existen otras fuerzas que actúen sobre el cuerpo, la ecuación del movimientoes

FIGURA 2.7.2 Un cuerpo en el campo gravitacional de la Tierra.

2.7

91

Algunos problemas de mecánica y la condición inicial es v(0) = u().

(1 3 )

Dado que el segundo miembro de (12)sólo depende de x, es conveniente considerar a x , en vez de t , como la variable independiente. Esto requiere que se exprese duldt en términos de d u l h por la regla de la cadena; de donde, d vd xd vd" v ~- u-, dt - ddxtx

y (12) se reemplaza por dv d( R x

9R2 x)"

U"=

-____

+

Al separar las variables e integrar se obtiene u2 - SR2 c. "

(1 5 )

+

2

R + x

Como x = O cuando t = O, entonces la condición inicial (13) en t = O puede sustituirse por la condición de queu = u. cuando x = O. De donde, c = ( r $2) - g R y

r""' vi-2gRf"-

U =

R

+

x '

(16)

Observe quela ecuación (16) da lavelocidad como una función de la altitud, en vezde comouna función deltiempo. Debe elegirseel signopositivo si elcuerpo está ascendiendo y el negativo si el cuerpoestá cayendo deregreso a la Tierra. Para determinar la altitud máxima 5 que el cuerpo alcanza, se hace u = O y x = 6 en la (16) y luego se despeja 5, con lo que se obtiene viR

O 11. (x In y x y ) dx ( y In x xy) dy = 0; x > O, y > O

+

+

+

+

+

En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valor inicial dado y determine, por lo menos aproximadamente, en dónde es vilidala solución.

13. ( 2 -~y) dx + ( 2 -~ X) dy = O, 14. (9x2 t y - 1) dx - (4)) - X) dy

~ ( 1= ) 3 ~ ( 1= ) O

= O,

En los problemas 15 y 16, encuentre el valor de b para el que la ecuación dada esexacta y, después, resuelva esa ecuación al utilizar ese valor de b.

+

+ +

15. (xy2 hx'y) dx (x y ) x' d y = O 16. ( y e Z x Y+ X) dx + b , d x Y d y = O

17. Considere la ecuación diferencial exacta M(x, y ) d x

+ N ( x , y ) d y = o.

Encuentre una fórmula implícita I&, y ) = c para la solución, análoga a la ecuación (14), si se integra primero vl, = N , en vez de v, = M , como en el texto. 18. Demuestre que cualquier ecuación separable; es decir, de la forma M(x) + NYlY' = o,

también es exacta. Demuestre que lasecuaciones de los problemas 19 a 22 no son exactas, aunque se transforman enexactas si semultiplican por el factor integrantedado. En seguida, resuelva las ecuaciones.

20.

(-sen

y

Y 21. y dx (2x - yeyj d y = o; p(x, y ) = y 22. (x 2) sen y dx x cos y dy = O p(x, y ) = xex

+

+

+

23. Demuestre que si (N, - M,)/M = Q, en donde Q es una función sólo de y , entonces la

ecuación diferencial M+Ny'=O tiene un factor integrante dela forma A Y ) = ~ Xf Q P ( y ) dy. *24. Demuestre que si (N, -M,)/(xM-yN)= R, en dondeR depende solamente de la cantidad

xy, entonces la ecuación diferencial

MtNy'=O

2.9

103

Ecuaciones homogéneas

tiene un factor integrante de la forma p(xy). Encuentre una fórmula general pard este factor integrante. En cada uno de los problemas 25 a 31, encuentreun factor integrantey resuelva la ecuación dada. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

+

+

(3x2y 2xy y3) dx y' = e2x y - 1

+

+

+ (xz + y') dy = O

dx (x/y - sen y) dy = O y dx (2xy - eKZy)dy = O ex dx (ex cot y 2 y csc y) dy = O [4(x3/y2) (3/y)] dx [3(x/yZ) 4y] dy = O

+ +

+

+

+

+

Sugerencia: ver el problema 24. *32. Resolver la ecuación diferencial (3xy

+ y 2 ) + (x2 + xy)y' = o

si se usa el factor integrante p(x, y) = [xy (2.x t y)]". Compruebe que la solución es la misma que la obtenida en el ejemplo 4 con un factor integrantediferente.

Los dos tipos más importantes de ecuaciones no lineales de primer orden que se pueden resolver mediante procesos directos de integración son las ecuaciones separables y las exactas. En esta sección se verá cómo algunas veces es posible unaplicar cambio de variablepara simplificar una ecuación diferencialy por tanto hacer que sea posible(o más conveniente) su resolución. En términos generales, la sustitución idónea debe ser sugerida por la aparición repetida de alguna combinación de las variables o por alguna otra peculiaridad en la estructuras de la ecuación. La clase más importante de ecuaciones para las cuales es posible establecer una regla definitiva es la clase de las ecuaciones diferenciales homogéneas."Se dice que una ecuación de la forma dylh = f(x, Y)

es homogénea siempre que la función f no dependa por separado de x y y, sino solamente de SU razón ylx o xly ; por tanto, las ecuaciones homogéneasson de la forma dyldx = FOJx).

l6

El término homogéneas se usa de más de una manera en el estudio de las ecuaciones diferenciales. necesario estar alerta para distinguir estos usos cuando se presenten.

(1)

Es

104

diferenciales Ecuaciones

de primer orden

Considérense los ejemplos siguientes:

(c)

dy

y3

+ 2xy

(e)’ + ~

xd=x

2

y

-.

X

L a s ecuaciones a) y b) son homogéneas, ya que el segundo miembro de cada una puede expresarse como una función dey/x; dado quela c) no puede escribirse así, no es homogénea. Por lo general, es fácil decir por inspección una si ecuación dada es homogéneao no; para ecuaciones complicadas puede ser de utilidad el criterio que se en dael problema 15. La forma de una ecuación homogénea sugiere que es posible simplificarla mediante la introducción de una nueva variable, que se denotará por u, con el finde representar la razón de y a x. Por tanto,

y la ecuación (1) se transforma en dyldx = F(v).

(3)

Si setoma vcomo la nueva variable dependiente (en sustitución dey), es necesario considerar a u como una función de x y reemplazar dyldx de la ecuación (3) por una expresión conveniente en términos de v. Al derivar la ecuación ( 2 ) da dy -=xdx

dv dx

+ u,

y, de donde, ( 3 ) queda x

do ~

dx

+ u = F(u).

El hecho más importante acerca dela ecuación (4) es que las variablesx y den separarse, sin importarla forma de la función F; en efecto,

U

siempre pue-

( 5 ) y después sustituirvporylx se obtiene la solución ladeecuación Al resolver la ecuación original. Por tanto, cualquier ecuación homogénea puede transformarse a una cuyas variables se separan por la sustitución (2). Por supuesto, en la práctica, al resolver (5) puede o no ser posible evaluar la integral requerida por métodos elementales. Es más, una ecuación homogénea también puede pertenecer a una de las clases ya analizadas; puede ser exacta o incluso lineal, por ejemplo. En esos casos, puede elegirse entre varios métodos para hallar su solución.

2.9

105

Ecuaciones

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial

+

dy y2 2xy dx x2 '

Al escribir estaecuación como

;=(:)*+2-

YX

se demuestra que eshomogénea. Las variables no pueden separarse, la ecuación no es exacta ni tiene factor integrante obvio. Por tanto, se ve unoconducido a la sustitución ( 2 ) , que transforma la ecuación dada en

De donde, dv

x-=v2+v dx

o bien, al separar las variables, dv

dx

-~ -

x

v(u

+ 1)'

Si sedesarrolla el segundomiembro por fracciones parciales, se obtiene dx

-=

X

(i x) 1

-

dv.

Al integrar los dosmiembros, se llega a Inlxl

+ Inlc/ = Inlu

-

Injv

+ 11,

en dondec es una constante arbitraria. Así, al combinar los logaritmos y tomar la exponencial de ambos miembros, se obtiene cx =

U ~

c + 1'

Por último, al sustituir ven términos de y da la solución de la ecuación (6) en la forma YlX cx=--"----=-

Y

(YlX) + 1

Y

+ x'

Al despejar y se obtiene y = ~,

cx2

1 - cx

(7)

106

diferenciales

Ecuaciones orden

de vrimer

Problemas Demuestre que lasecuaciones de losproblemas 1 a 8 son homogéneasy encuentre sus soluciones. 1.

2. 2y dx dy dx

-

x’

+ xy + y’

3.

”

5.

” -

dy

dx

dy = O

+

dy x’ 34’’ 4. -=dx 2xy

X2

-

-X

4y - 3~

+ 3y +y + 3xy + y’) dx

dy = 6, dx

2x - y

7.

8.

(X’

4x 2x

-____

- X’

dy = O

9. a) Encuentre la solución de la ecuación dy

2y - X -~ 2x - y ’

”

dx

b) Encuentre la solución de la ecuación d y -

dx

2 ~ - ~ + 5 2x - y - 4 ’

Sugerencia: Para reducir la ecuación del inciso b) a la del inciso a), considérese una sustitución preliminar de la forma x = X - h, y = Y - k. Elija lasconstantes h y k de modo que laecuación sea homogénea en las variablesX y Y . 10. Resuelva

11. Resuelva

dY ~

~

dx

--

dy --

dx

4 x + 3 y + 15 2x+y+7

.

Vea la sugerencia del problema 9 b).

4x + 3y + 5 2x+y+7

Vea la sugerencia del problema 9 b).

.

12. Encuentre la solución de la ecuación (3xy

+ y’) dx +

(X’

+ x y ) dy = O

al aplicar el método de esta sección y compárela con la solución obtenida por otros métodos en el ejemplo4 y el problema 32 de la sección 2.8. *13. Demuestre que si M ( x , y) dx

+ N(x, y) dy = O

es una ecuación homogénea, entonces uno de sus factores integrantes es !& Y) =

1 X M k

Y)+ Y N k Y)

* 14. Aplique el resultado del problema 13 para resolver cada una de guientes: a) La ecuación del problema 2. b) La ecuación del problema 4.

las ecuaciones si-

2.10

107

Problemas diversos Y adicaciones

* 15. Demuestre que la ecuación y‘ = f(x, y ) es homogénea si f(x, y ) es tal que f(X>

= f(1,

0,

en donde t es un parámetro real. Aplique este hecho para determinar si cada una de las ecuaciones siguienteses homogénea. a) y‘

=

c) Y ’ =

+ xy + y3 + xy2 (x’ + 3xy + 4

x3

x

+

2y

X + Y

b) y ’ = I n x - h y + -

x’y

y y

d) y‘ =

x-y

sen (xy) x’ ~

+ y’

Esta sección consta de una lista de problemas.Los primeros 32 pueden resolverse por los métodos de las secciones anteriores. Se presentan de modo que el lector pueda practicar la identificación del método o los métodos aplicables a una ecuación dada. En seguida, se tienen algunos problemas que sugieren técnicas especializadas, de utilidad para ciertos tipos de ecuaciones. En particular, los problemas 35 a 37 tratan de las ecuaciones de Riccati. Los problemas del38 al 43 están relacionados con algunas aplicaciones geométricas, mientras que los demás problemas abordan otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

Problemas 1.

2.

3.

4. (x

5.

dy -dx

7 . dY

-

-

2xy x’

+ y’ + 1 + 2xy

X

+ y3

” -

dx

9.

2xy dy - -~ dx x’ ”

11. (x’ 13.

x’y

X

Sugerencia: Sea u = x2

+1

+ 2y

+ y) dx + (x + e’) dy = O

dy - y dx = (xY)”’ dx

15. (ex

dY + 1)-dx =y

+ e’)

dy

-

dx = O

6.

sen x dY + 2y = -, 8. x dx

X

1o. ( 3 ~ ’

y(2) = 1

+ 2xy) dx (2xy + x’) dy = O dY 1 12. & + Y = 1 + ex 14. (x + y) dx + (X + 2y) dy =O, ~ ( 2= ) 3 dy x’ + y’ 16. dx

-

x’

+3

17.

18. (2y

19.

20. y’ = ex+’

~dx)

= --X dy

108

diferenciales Ecuaciones

de primer orden

d y x2 - 1 = dx y* I'

21. xy'

=

y

+

XeY'x

22.

23. xy'

+y

-

y*P*" = o

24. 2 s e n y c o s x d x + c o s y s e n x d y = O

25. (2:

-

2$j7)dx +

$- 1) dx

26. (2y

+

(%I

(GS) -

"

~

+

y(-1)=

1

dy=O

d y -=0

21. ( c o s 2 y - s e n x ) d x - 2 t a n x s e n 2 y d y = O 28.

dy

-

3x2

-

"

dx

2x

2y

-

y3

29.

+ 3xvz

dy dx

-=

2y

+4 2x

30. 31. 32.

dy

"

--

dx

+ +

3 x 5 y* 2x3 3xy'

v(1) = -2 .

33. Demuestre que una ecuación de la forma Y = G@), en donde p = dyidu, puede resolverse de la siguiente manera. a) Derive con respecto a x. b) Integre la ecuación del incisoa) para obtener x como función de p . Esta ecuación y la ecuación originaly = C@)forman una representación paramétrica de la solución. 34. Resuelva la ecuación diferencial y - i n p = O, en dondep= dyidr, por el método del problema 33. Resuelva también la ecuación directamente y verifique que lassoluciones son las mismas. 35. Ecuación de Riccatti. La ecuación

se conoce como ecuación de Ri~cati.'~Suponga que seconoce alguna solución particular y1 de esta ecuación. Mediante la sustitución

es posible obtener una solución más general que contenga una constante arbitraria. Demuestre que v(x) satisface la ecuación lineal de primer orden

observe que u(") contiene una sola constante arbitraria. Francesco Riccati(1676-1754), noble veneciano, declinó nombramientos académicos universitarios en Italia, Austria y Rusia para continuar sus estudios matemáticos de manera privada en su hogar. Estudió ampliamente la ecuación diferencial que ahora lleva su nombre; sin embargo, fue Euler (en 1760) quien descubrió el resultado que se da en este problema.

l7 Jacopo

diversos 2.10

Problemas

109

y aplicaciones

36. Con la aplicación del método del problema 35 y la solución particular dada, resuelva cada una de las siguientesecuaciones de Riccati. a) y’

c)

dy

=1

-=-

dx

+ x‘

-

’

2 cos x

2xy

-

+ y’;

sen2 x

2 cos x

yl(x)= x

+ y’-;

~ ~ (= xsenx )

37. La propagación de una simple acción en una población grande (por ejemplo,los conductores que encienden los faros desu automóvil al atardecer) a menudo depende parcialmente de circunstancias externas (que oscurezca) y parcialmente de una tendencia a imitar a los demás queya han realizado laacción en cuestión. En este caso,la proporción y(t) de personas que ya han realizado la acción pueden describirse por la ecuación

’*

en dondex([) mide el estímulo externo y b es elcoeficiente de imitación. a) Observe que la ecuación (i) es una ecuación de Riccati y que y, ( t ) = 1 es una sohción. Aplique la transformación sugerida en el problema 35 y halle la ecuación lineal que satisface ~ ( t ) . b) Halle ~ ( ten) el caso de que x(t) = at, en donde a es una constante. Deje la respuesta en la forma de una integral. 38. Trayectorias ortogonales.Un problema geométrico bastante común eshallar la familia de curvas que se intersecan ortogonalmente en cada punto con una familia dada de curvas. Se dice que cada una de estas familias de curvas constituyen las trayectorias ortogonales de la otra. a) Considere la familia de parábolas y = kr2,

(9

en donde k es una constante. Trace la gráfica dela ecuación (i) para varios valores de k. Encuentre una expresión para la pendiente de la parábola que pasa por un punto dado, de modo que esa expresión contenga lascoordenadas (x, y) del punto,pero no el parámetro k. Sugerencia: Derive la ecuación (i) y elimine k. b) Al aplicar el hecho de que laspendientes de curvas ortogonales son recíprocas negativas, escriba la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonalesde (i). c) Resuelva la ecuación a la que llegó en el inciso b) y determine las trayectorias ortogonales. Trace varios miembros de esta familia de curvas. 39. En cada uno de loscasos siguientes, aplique elmétodo del problema 38 para encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia dada de curvas. Trace la gráfica de la familia dada y de sus trayectorias ortogonales. a) La familia de hipérbolas x y = c . b) La familia de circunferencias (x - c ) + y = c 2 . c) La familia de elipses x2- xy + y 2 = c z. d) La familia de parábolas 2cy + x 2 = c 2 ,c > O. Ver el artículo de Anatol Rapoport, “Contribution to the Mathematical Theory of Mass Behavior: 1. The Propagation of Single Acts”,Bulletin ofMathematica1 Biophysics14 (1952), pp. 159- 169, y el de John Z. Hearon, “Note on the Theory of Mass Behavior”,Bulletin ofMarhematicalBiophysics 17 (1955), pp. 7-13.

.

_,.

”

110

Ecuaciones primer diferenciales de

orden

40. Si dosrectas en el planoxy, cuyas pendientes son ml y m2,respectivamente, se intersecan formando un ángulo 6, demuestre que (tan @(I

41. 42. 43. 44.

45.

+ m,m,)= m z

-

m,.

Aplique este hecho para encontrar la familia de curvas que se intersecan con cada una de las siguientes familias formandoun ángulo de 45”. Encada caso trace la gráfica de las dos familias de curvas. a) x - 2 y = c b) x’ t y’ = c2 Encuentre todas las curvas planas cuya tangente en cada punto (x, y) pasa por el punto fijo (a,b). La recta normal a una curva dada encada punto (x, y ) de la curva pasa por el punto (2, O). Si la curva contiene el punto (2,3), encuentre su ecuación. Halle todas las curvasplanas en las que,para cada punto de la curva,el eje y biseca esa parte de la recta tangente entre el punto de tangencia y el eje x. Una persona tiene una fortuna que aumenta a una razón proporcional al cuadrado de su riqueza actual. Si hace un año tenía un millón de dólares y en la actualidad tiene dos millones ¿cuánto valdrá en 6 meses?, ¿y en 2 años? Se forma un estanque al acumularse agua en una depresión cónica de radioa y profundidad h. Suponga que elagua entra a unarazón constante k y que sepierde por evaporación a una razón proporcional al área superficial. a) Demuestre que el volumen V(t)de agua en el estanque en el instante t satisface la ecuación diferencial dVldt

=

k

-

ctn(3~/nh)~’~V’’~,

en donde (Y es el coeficiente de evaporación. b) Halle la profundidad de equilibrio delagua en el estanque. ¿Es estable el equilibrio? c) Encuentre una condición que sedeba satisfacer para que el estanqueno se desborde. 46. Considere un tanque cilíndrico de agua con sección transversal constante A . Se bombea agua al tanque a una razón constante k y el agua se fuga por un pequeño orificio de área a que seencuentra en elfondo del tanque.Con base en elteorema de Torricellide la hidrodinámica, se concluye que la razón ala que el aguafluye a través del orificioes ( ~ a en dondeh es la profundidad instantánea del aguaen el tanque, ges la aceleración debida a la gravedad y (Y es un coeficiente de contracción que satisface0.5 5 (Y 5 1.0. a) Demuestre que laprofundidad del agua en el tanque en cualquier instante satisfacela ecuación

e,

dhjdt

= (k

-

~taJZqh)/A.

b) Determine la profundidad de equilibrio he del agua y demuestre que es estable. Observe quehe no depende de A . 47. El crecimiento de una célula depende del flujo de nutrientes a través de su superficie. Sean W(t)el peso de la célula en el instante t y Wosu peso en t = O, y suponga que d Widt es proporcional al área de la superficie de la célula. a) Dé un argumento que apoye la proposición de que dWldt = (YW’’~, en donde(Y es una constante de proporcionalidad. b) Halle el peso de la célula en cualquier instante t .

*2.11

111

Teorema de existencia y unicidad

48. Cierto negocio aumenta suvalor a una razón proporcional a la raíz cuadrada de su valor actual. Si este negocio valía un millón de dólares hace un año y, en la actualidad, vale 1.44 millones, determínese cuándo valdrá dos millones de dólares.

E n esta sección se analiza la demostración del teorema 2.41, el teorema fundamental de existencia y unicidad para los problemas con valor inicial de primer orden. Este teorema afirma que, en ciertas condiciones sobre f (x, y), el problema con valor inicial Y' = f( x , Y), Y(X0)= Yo

(14

(1 b)

tiene una solución única en algún intervalo que contenga el punto xo, En algunos casos (porejemp!o, si la ecuación diferencial es lineal) la existencia de una solución del problema con valor inicial (1) puede establecerse de manera directa al resolver realmente el problema y exhibir una fórmula para esa solución. Sin embargo, en general, este enfoqueno es factible porqueno existe un método para resolver la (la) que se aplique en todos los casos. Por consiguiente, para el caso general es necesario adoptar un enfoque indirecto que establecela existencia de una solución de las ecuaciones (l),pero que, por lo general no proporcionaun medio práctico para hallarla. El meollo de este método es la construcción de una sucesión de funciones que converja a una función límite que satisfaga el problema con valor inicial, aunque los miembros por separado de la sucesión no lo hagan. Como regla, es imposible calcular explícitamente más de unos cuantos miembros de la sucesión; por lo tanto, la función límite sólo puede encontrarse en forma explícita en casos raros. Empero, dadas las restricciones sobre f(x, y) que se enuncian en el teorema 2.4.1, es posible demostrar que la sucesión en cuestión converge y que la función límite tiene las propiedades deseadas. La argumentación es bastante intrincada y depende, en parte, de técnicasy resultados que suelen encontrarse por vez primeraunen curso de cálculo avanzado. Como consecuencia, no se exponen todos los detalles la dedemostración; sin embargo, se indican las características principales y se señalan algunas de las dificultades que se encuentran. Antes que nada, nótese que basta con considerar el problema enel que el punto(xo,yo) es el origen; es decir,el problema Y ' = f(x, Y ) ,

(2a)

y(0) = o.

(2b)

Si se da algún otro punto inicial, entonces siempre es posible un cambio hacer preliminar de variable, correspondiente a una traslación de los ejes de coordenadas que lleve el punto (xo, yo) al origen. En concreto, se introducen las nuevas variables dependientes e independientes w y S, respectivamente, definidas por las ecuaciones

w=y-y,,

s=x-xo.

(3)

112

Ecuaciones diferenciales de primer orden Al considerar w como función deS, por la regla de la cadena se tiene que

dw ds

~~

dx - - (dy dx ds dx

dw

- ~-

"~

dy - y o ) dx = -, ~

ds

dx

AI denotarf(x, y ) =.f(s + xo,w +yo)por F(s,w>, el problema con valor inicial (1) se lleva a la forma w'(s) = F [ s , w(s)],

w(0)

=

o.

(4b)

Excepto por la denominación de las variables, las ecuaciones (4) son las mismas que las (2). De aquí en adelante, se considerará el problema ligeramente más sencillo (2), en vez del problema original (1). Ahora es posible enunciar el teorema de existencia y unicidad de la siguiente manera:

Para probar este teorema es necesario transformar el problema con valor inicial (2) en y = +(x) una forma más conveniente. Si por un momento se supone que existe una función que satisface el problema con valor inicial, entonces f [ x , +(x)] es una función continua sólo de x. De donde, es posible integrar la ecuación (2a) desde el punto inicialx = O hasta un valor arbitrario de x, con lo que se obtiene

en donde se utilizóla condición inicial 4(O)= O. Dado que la ecuación (5) contiene una integral de la función desconocida +,se denomina ecuación integral. Esta ecuación integral noes una fórmula para la solución del problema con valor inicial, sino que proporciona otra relación que satisface cualquier solución de las ecuaciones (2).A la inversa, suponga que existe una función continua y = +(x) que satisface la ecuación integral (S); entonces esta función también satisface el problema con valor inicial ( 2 ) . Para demostrar esto, primero se sustituye x por cero en la ecuación (S), con lo que se obtiene la ecuación (2b). Además, dado que el integrando de la ecuación (5) es continuo, por el teorema fundamental del cálculo se deduce que @(x) = f[x, (x)]. Por lo tanto, el problema con valor inicialy la ecuación integral son equivalentes en el sentido de que cualquier solución de uno de ellos también es una solución del otro. Es más conveniente demostrar que existeuna solución única de la ecuación integral en cierto intervalo/xi5 h. Entonces la misma conclusión se cumplirá para el problema con valor inicial.

+

*2.11

113

Teorema de existencia y unicidad

Un método para demostrar que la ecuación integral (5) tiene una solución única se conoce como método de aproximaciones sucesivas,o método de interacciónde Picard.” Al aplicar este método se empieza por elegir una función inicial +o, arbitrariamente o aproximando de alguna manerala solución del problema con valor inicial. La selección más sencilla es = o;

(6)

entonces &o sat1sIacL-$or lo menos la condición inicial (2b), aunque quizá no la ecuación diferencial (2a). La siguiente aproximación se obtiene al sustituir +o(t)por + ( t ) en el segundo miembro de la ecuación (5) y al nombrar como +,(x) el resultado de esta operación. Por tanto,

+* se obtiene a partir de 41:

De manera semejante,

y, en general,

De esta manera es posible generar la sucesión de funciones{+n} = $o, +1 . . . , +,,, . . . Cada miembro de la sucesión satisface la condición inicial (2b), pero en general ninguno satisface la ecuación diferencial. Sin embargo, si en alguna etapa, por ejemplo para n = k, se encuentra que +k l(x) = +k(x), entonces se concluye que +k es una solución de la ecuación integral (5). De donde, +k también es una solución del problema con valor inicial(2) y en este punto se terminala sucesión. En general esto no ocurre y es necesario considerar toda la sucesión infinita. A fin de establecer el teorema 2.11.1 es necesario dar respuesta a cuatro preguntas primordiales: +

1.

2. 3. 4.

l9

¿Existen todos los miembros de la sucesión{ c $ ~ }o, es posible que el proceso se interrumpa en alguna etapa? ¿Convergelasucesión? ¿Cuáles son las propiedades de la función limite? En particular, isatisface la ecuación integral (5) y, por tanto, el problema con valor inicial (2)? ¿Es la única solución o puede haber otras?

Charles-Émile Picard (1856-1914), excepto por Henri Poincaré, quizá el matenatico francésmás distinguido de su generación, fue designado profesor en la Sorbona antes de canplir 30 años. Es conocido por teoremas importantesde la variable complejay la geometría algebraica, así como de las ecuaciones diferenciales. Un caso especialdel método delas aproximaciones sucesivas fue publicado primero por Liouville en 1838;sin embargo,el método suele acreditarsea Picard, quien lo estableció en forma general y ampliamente aplicable en una serie de artículos iniciadaen 1890.

114

de Ecuaciones diferenciales

primer orden

En primer lugar se demostrará cómo pueden contestarse estas preguntas mediante un ejemplo específico y relativamente sencillo, y luego se harán algunos comentarios sobre algunas de las dificultades que pueden encontrarse en el caso general.

Considérese el problema con valor inicial

y

$!

=

2x(1 + y),

y(0) = o.

(10)

Para resolver este problema por el método de aproximaciones sucesivas, primero se observa que si y = 4(x), entonces la ecuación integral correspondiente es

9

para cada n 2 1, y este resultadopuede establecerse por inducción matemática. Resulta evidente que l a ecuación (15) es verdaderapara n = 1 y es necesario demostrar que sies cierta para n = k , entonces también se cumple para TI = k + 1. Se tiene d ) k + I(x)

=

Jox

2t[1

+ 4dt)l

x4 -u2+""1-...+-

2!

x6

3!

x2k

+2

( k + l)!'

y queda completa la demostración inductiva. Con base en la ecuación (15) se deduce que +&) es la n-ésima suma parcial de la serie infinita

de

*2.11

Teorema

Y

115

unicidad

de donde, +,,(x) existe si y sólo si la serie (17) converge.Al aplicar la prueba de la razón, se ve quepara cada x X2

-+ O

cuando k

-+

CO;

por tanto, la serie(17) converge para todax, y su suma +(x) es ellímitez0 dela sucesión {+,,(x)}. Además, como la serie (17) es una serie de Taylor, es posible derivarla o integrarla término a término, siempre que x permanezca dentro del intervalo de convergencia, que en-este caso es m

es una todoeleje x. Por lo tanto, es posible verificar por cálculodirectoque +(x) =k = 1 solución de la ecuación integral (11). De manera alternativa, al sustituiry por +(x) en la ecuación (10) puede verificarse que estafunción también satisface el problema con valor inicial. Por último, para abordar la cuestión de la unicidad, supóngase que el problema con valor inicial tienedos soluciones y y.Dado que y ysatisfacen la ecuación integral( I l ) , al restar se obtiene que

+

+

m - $(x) = S," 2t[4(t) - W l d t . Si setoman valores absolutos de los dos miembros se tiene, si x > O,

Si x se restringe a estar en el intervalo O 5 x

5 A/2,

en dondeA es arbitraria, entonces 2t

5

A y

En este punto es conveniente introducir la función U definida por

Entonces, de inmediato se concluye que U(0) = o,

(21)

U ( x )2 O, para x 2 O. Además, U es diferenciable y U'@) = +(x) - I&). De donde, por la ecuación (19), U ' ( X )- A U ( x ) 2 O.

Al multiplicar la ecuación (23) por la cantidad positiva

(22)

(2.3)

e-Ax da

[e~~"U(x)I ] ' O.

(24)

Luego, al integrar la ecuación (24) desde cerohasta x y aplicar la (21) se obtiene

*O

En este caso es posible identificar 4 en términos de funciones elementales; a saber, embargo, esto es irrelevante para el análisis de la existencia y unicidad.

.. .

$(x) = e'*

- 1. Sin

116

Ecuaciones primer diferenciales de

(-a,

- b)

I

orden

(a, - b)

FIGURA 2.11.1 Región de definición para el teorema 2.11.1. De donde, U(x) 5 O para x 2 O y, junto con la ecuación (21), esto requiere que U(x) = O para cada x 2 O. Por tanto, U'(x) = O y, por consiguiente, ~ ( x=) H x ) , lo que contradicela hip6tesis original. En consecuencia, no puede haber dos soluciones diferentes del problema con valor inicial para x 2 O. Una ligera modificación de este argumento producela misma conclusión para x

5

o.

Si se regresa ahora al problema general de resolverla ecuación integral (5), considérense brevemente cada una de las preguntas planteadas antes.

1.

¿Existen todos los miembros de la sucesión {+,*I?En el ejemplo f y dfldy fueron continuas en todo el plano xy y cada miembro del a sucesión pudo calcularse explícitamente. Como contraste, en el caso general se supone quefy df/ay sólo son continuas en el rectángulo R: x 5 a, ~ ~ 51 b' (ver la figura 2.1 1.1). Además, como regla, los miembros de la sucesión no pueden determinarse explícitamente. El peligro es que en alguna etapa, por ejemplo para11 = k, la gráfica de y = Cb,(x) puede contener puntos que estén fuera del rectánguloR. De dónde, en la siguiente etapa-en el cálculo de +k seria necesario evaluarf(x, y) en puntos en los que se ignora si es continua e incluso si existe. Por tanto, el cálculo de +k podría ser imposible. Para evitar este peligro puede ser necesario restringir xun a intervalo máspequeño que ' x 5 ~ a. Para encontrar ese intervalo se aplicael hecho de que una función continua en una región cerrada es acotada. De donde,f e s acotada sobre R; por tanto, existe un número positivo M tal que +

+

x =-a

x=a

x=a (a)

fb)

FIGURA2.11.2 Región en la que se encuentranlas iteraciones sucesivas.a> biM < a ; b) blM > a.

*2.11

117

Teorema de existencia y unicidad

Ya se mencionó que

para cada n. Dado que f[x, ~$~(x)] es igual a +'k ,(x), entonces la pendiente máxima absoluta de la gráfica de la ecuación y = l(x) es M . Como esta gráfica contiene el punto (O, O), debe estar enla región con forma de cuña de la figura 2.11.2 De donde el punto [x, +k I(x)] permanece en R por lo menos en tanto queR contenga la región en forma de cuña, lo cual se cumple para xi 5 b/M. De aquí en adelantesólo se considerará el rectángulo D: 1x1 5 h, 'y1 5 b, en donde h es igual a a o a blM, el que sea menor. Con esta restricción, todos los miembrosde la sucesión {+,,(x)} existen. Nótese que sib/M < a, entonces puede obtenerseun valor mayor de h al hallar una mejor cota para y)l, en el supuesto de queM no sea ya igual al valor máximo de if(x, y)l. ¿Converge la sucesión {+,,(x)}? Como en el ejemplo, es posible identificar +,,(x) = +,(x) t [&(x) - +,(x)] t . . . t [4,1(x),(x)] como la n-ésima suma parcial de la serie +

+

+

2.

+,,-

La convergencia de la sucesión [+,,(x)] se establece al demostrar que la serie (26) converge. A fin de lograr esto es necesario estimar la magnitud ~ + k - $k(x)!del término general. En los problemas 11 a 14 se indica el argumento mediante el que se logra esto, por lo que se omite aquí. Si se supone quela sucesión converge, la función límite se denota por 4, de modo que +

4(x) = lim n-m

3.

4n(~).

¿Cuáles son las propiedades dela función límite 4?En primer lugar, sería conveniente saber que es continua. Sin embargo, esto no es una consecuencia necesaria de la convergencia de la sucesión {+,,(x)}, aun cuando cada miembro de la sucesión sea continuo. Algunas veces una sucesión de funciones continuas converge a una función límite que es discontinua. En el problema 9 se da un ejemplo sencillo de este fenómeno. Una manera de demostrar que es continua es demostrar no sólo que la sucesión { +,,(x)} converge, sino que lo hace de cierta manera, quese conoce como convergencia uniforme. Aquí, no se abordará esta cuestión, sólo que el argumento mencionado en el párrafo 2 es suficiente para establecer la convergencia uniforme de la sucesión {4,,} y, de donde, la continuidad de la función límite 4 en el intervalo 1x1 S h. Ahora, se volverá ala ecuación (S),

+

+

Si se permite queen ambos miembros tt tienda a m, se obtiene

118

Ecuaciones diferenciales de primer orden

'Sería conveniente intercambiar las operaciones de integrary tomar el límite en el segundo miembro dela ecuación (28) para obtener

10, por ejemplo) pero, En general, este intercambio no es permisible (ver el problema una vez más, el hecho de que la sucesión { $,,(x)} no sólo converja, que también lo haga de manera uniforme, permite realizar la operación de tomar límite dentro del signo de la integral. Acontinuación, se quiere tomar el límite dentro la función de f; lo que daría

(30)

y, de donde,

4.

Laafirmacióndeque f[t, 4n(t)] =f[t, límn+m4,,(t)]esequivalentealaafirmación de quefes continua en su segunda variable, quese sabe es la hipótesis. De donde, la (31) es válida y la funcion 4 satisface la ecuación integral (S). Por lo tanto, 4 también es una solución del problema con valor inicial (2). ¿Existen otras soluciones de la ecuación integral (5) además dey = 4 (x)? Para demostrar la unicidad de la solución y = $(x) se puede proceder casi como se hizo en el ejemplo. En primer lugar se supone la existencia de otra solucióny = y(x). Entonces, es posible demostrar (ver el problema 1.5) que la diferencia $(x) - y(x) satisface la desigualdad

para O 5 x 5 h y para un número positivo adecuado A . A partir de este punto, el argumento es idéntico al que se da en el ejemplo y se concluye que no existe otra solución de¡ problema con valor inicial (2) que no sea la obtenida por el método de aproximaciones sucesivas.

Problemas En los problemas 1 y 2, transforme el problema con valorinicial dado en un problema equivalente con el punto inicial en el origen. I . dy@x

= x2

+ 4.2,

y(1) = 2

2. d y / d x

= 1-

y3,

y(-1)

=

3

En cada uno de los problemas 3 a 6 aplique el método de aproximaciones sucesivas para resolver el problema con valor inicial dado. Haga 4,(x) = O y determine +,,(x) para un valor arbitrario de n. Si es posible, exprese limn x 4,,(x) en términos de funciones elementales. +

3. y' = 2 ( y + I ) , 5. y' = sy + I .

v(0) = o

y(0) = o

4. v' = - y 6. y' = x'y

-

1,

- X,

y(0) = o y(0) = o

de

*2.11

Teorema

119

existencia y unicidad

En los problemas 7 y 8 aplique el método de aproximaciones sucesivas para obtener una aproximación de la solución del problema con valor inicial dado. Haga +,(x) = O y calcule +1(Xh + 2 w Y +,(x) 7. y' = x2

+ y2,

y(0) = o

9. Haga +n(x) = x" para 0

8. y' = 1 - y 3 ,

Ix 5

-

1 y demuestre que

lím + n ( ~=) n

y(0) = O

II,

o,

O

4’ en este punto y se

Yb = d’(x0).

A continuación, considérese el problema con valorinicial y”

+ p(x)y’ + q(x)y = o,

y(x,)

= y,,

L”(x,) = Y;.

(13)

La función 4 evidentemente es una solución de este problema con valor inicial. Por otra parte, comoW(yl,y,)(x,) es diferente de cero,es posible (por el teorema 3.2.3) elegir c1 y C , de modo quey = c l y , t c2y, también sea una solución del problema con valorinicial (13). En efecto, los valores adecuados de c1 y c2 los dan las ecuaciones (10) u (1 1). La parte de unicidad del teorema 3.2.1 garantiza que estas dos soluciones del mismo problema con valor inicial en realidad son la misma función; portanto, para la elección adecuada dec, y c,,

4(x) = CIYl(4

5Y,(4>

y por lo tanto, 4 está incluida enla familia de funcionesc l y l t czy2.Por último, como 4 es una solución arbitraria de (2), se concluye quetoda solución de esta ecuación está incluida en esta familia. Esto completala demostración del teorema 3.2.4. El teorema 3.2.4 afirma que, en tanto que el wronskiano yde] y y, sea diferente de cero, la combinación linealy = c l y l ( x )t c2y2(x)contiene todas las soluciones dela ecuación (2). Por consiguiente, es natural( y ya se hizo esto enla sección precedente) llamar a la expresión Y = C,Y,(X) t C,Y,(4? con coeficientes constantes arbitrarios, solución general de (2). Se dice que las soluciones y , y y,, con wronskiano diferente de cero, formanun conjunto fundamental de soluciones de (2). Puede reenunciarse el resultado del teorema3.2.4 en un lenguaje ligeramente diferente: para encontrar la solución general y, por lo tanto, todas las solucionesde una ecuación de la forma (2), basta hallar dos soluciones de la ecuación dada cuyo wronskiano sea diferente de cero. Esto fue precisamente lo que se hizo en varios ejemplos de la sección 3.1, aunque ahí no se calcularon los wronskianos. Ahora el lector debe regresar y calcularlos y comprobar de esta manera que todas las soluciones de la sección 3.1 a los que se llamó “soluciones generales” en realidad satisfacen la condición necesaria del wronskiano. De manera alternativa, en el siguiente ejemplose incluyen todos los que se mencionaron en la sección 3.1, así como muchos otros problemas de tipo semejante.

Ejemplo 4

Supóngase que y,(x) = erP y y2(x) = erzX son dos soluciones de una ecuación de la forma (1). Demostrar que formanun conjunto fundamental de soluciones si rl # r,. Calcule el wronskiano de y , y y2:

w = r,erlX

erzx

r2e’lX

1

= (r2 - r,)exp[(r,

+ r,)xl.

Dado que la función exponencial nunca es cero y como r2 - r1 # O por la proposición del problema, se deduce que Wes diferente de cero para todo valor dex. Como consecuencia,y , y y , forman un conjunto fundamentalde soluciones.

150

Ejemplo

segundo , '

de

lineales

Ecuaciones

orden

Demostrar quey,(x) = xli2 y y2(x) = x" forman un conjunto fundamental de soluciones de

4

2x2y" t 3xy"y = o, x > o. (1 4) En la sección 5.5 se mostrará cómo resolver la ecuación (14); ver también el problema 32 en :? la sección 3.4. Sin embargo, en esta etapaes posible comprobarpor sustitución directaque y1 y y , son soluciones de la ecuación diferencial. Dado que y;(x) = y y;@) = - - $ x - ~ / se ~ , tiene g ., c" 2x2(-ix-3/2) + 3x(+x-112) - x 1 / 2 = (-3 + + - l ) x 1 / 2 = 0.

+'

-:

f

;*i

Demodosemejante, y i ( x ) = 2x2(2x--3) ,~

y y;(x) = 2 ~ -así ~ ,que

+ 3x(-x-2)

- x -= -l (4 - 3

- 1 ) ~ - 1=

o.

A continuación calcule el wronskiano Wde y , y y,:

,)

', b,

,:f Como W

# O para x

> O, se concluye que y, y y, forman un conjunto fundamental de solu-

ciones allí.

En varios casos ha sido posible hallar un conjunto fundamental de soluciones y, por lo tanto, la solución general de una ecuación diferencial dada. Sin embargo, a menudo esto es una tarea difícil y puede surgir la pregunta de si una ecuación diferencial de l a forma (2)

siempre tiene un conjunto fundamental de soluciones.El siguiente teorema da una respuesta afirmativa a esta pregunta.

Primero, observe quela existencia de las funcionesy , y y , está asegurada por parte dela existencia del teorema3.2.1.Para demostrar que formanun conjunto fundamental desoluciones, basta calcularsu wronskiano en x(,:

3.2

151

Soluciones fundamentales homogéneas ecuaciones lineales de las

Ya que su wronskiano es diferente de cero en punto el xo, las funcionesy , y y 2 forman un conjunto fundamental de soluciones, con l o que se completa la demostración del teorema 3.2.5. Observe que se justifica la parte difícil de esta demostración, demostrar la existencia de un par de soluciones, con referencia al teorema 3.2.1. Observe también que el teorema 3.2.5 no está dirigido a cómo resolver los problemas con valor inicial especificados, de modo que puedan encontrarse las funciones y , y y , indicadas en el teorema. Empero, puede ser tranquilizador saber que siempre existeun conjunto fundamental de soluciones.

Ejemplo 6

Encuentre el conjunto fundamental de soluciones especificado por el teorema 3.2.5, para la ecuación diferencial \>" - I' =

o,

(16)

si se utiliza el punto inicial x" = O. En la sección 3.1 se señaló que dos soluciones de la ecuación (16) son y,@) = e"yy2(x) = o"". El wronskiano de estassoluciones es W = -2 # O, de modo que forman un conjunto fundamental de soluciones.Sin embargo, no son las soluciones fundamentales indicadas por el teorema 3.2.5 porque no satisfacen las condiciones iniciales mencionadas en ese teorema en el punto x = O. A fin de encontrar las soluciones fundamentales especificadas por el teorema es necesario hallar las soluciones que satisfacen las condiciones iniciales adecuadas. Se denota por y3(x) la solución de la ecuación (16) que satisface las condiciones iniciales y(0) = 1,

y'(0) = o.

(1 7)

La solución general de la ecuación (16) es y = c,eX+ c2e-X,

(18)

y se satisfacen las condiciones iniciales (17) si c1 =1/2 y c2 = 112. Por tanto y3(x) = t e x

+ re-.

= cosh x.

De manera semejante, si y,(x) satisface las condiciones iniciales

Y@) = o,

Y'(0)= 1,

entonces y4(x)= t e x

-

t e - x = senh x.

Como el wronskiano de y3 y y , es W=cosh2x-senh2x= 1, entonces estasfunciones también forman un conjunto fundamental de soluciones, como seafirma en el teorema 3.2.5. Por lo tanto, la solución general de (16) puede escribirse como y = k , cosh x

+ k, senh x,

(20)

así como en la forma (18). Se han usado k, y k2 para denotar las constantes arbitrarias de (20) porque no son las mismas que las constantes c1 y c2 de (18). Una de las finalidades de este ejemplo es aclararque una ecuación diferencial dada tiene más de un conjunto fundamental de soluciones; dehecho tiene una infinidad. Comoregla, debe elegirse el conjunto que resulte m b conveniente.

152

lineales

Ecuaciones

de segundo orden

El análisis de esta sección puede resumirse como sigue. Para encontrar la solución general de l a ecuación diferencial y” t p(x)y’

+ q(x)y = o,

3

< x < (3,

primero es necesario hallar dos funciones y , y y, que satisfagan la ecuación diferencial en el intervalo a < x < p. En seguida, debe tenerse la seguridadde que existe un punto en el intervalo en el que el wronskiano dey , y y , es diferente de cero. En estas circunstancias,y , y y , forman un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es Y =ClYl(4

+ C,Y,(X),

en donde c, y c, son constantes arbitrarias. Si se prescriben condiciones iniciales en un punto de a < x < j3, entonces pueden elegirsec, y c, de modoque satisfagan estas condiciones.

En cada uno de los problemas 1 a 6, encuentre el wronskiano del par dado de funciones 2. cos x,sen x 4. x,xeX 6. cos2 x, 1

+ cos 2x

En cada uno de los problemas 7 a 12, determine el mayor intervalo en el que se tiene la certeza de que el problema con valor inicial dado posee una solución única dos veces diferenciabie. No intente hallar la solución. 7. xy” + 31’ = x, y(1) = 1, y’(1) = 2 X. (x - 1)y”- 3 x y ‘ + 4y =senx, y(-2) = 2, y’(-2) = 1 9. x(x - 4)y” + 3xy’ + 4y = 2. y ( 3 ) = o, y’(3) = - 1 IO. y” + (cos x)y’ 3(ln (x()y= O, y(2) = 3, y’(2) = 1 11. (x - 3)y” + xy’ + (In 1x1)~= o, y ( ~= ) O, ~ ’ ( 1 = ) 1 12. (x - 2)y” y’ + (x - 2)(tan x)y = O, y(3) = 1, y’(3) = 2

+

+

13. Compruebe que y,(x) = x * y y2(x) = x” son dos soluciones de la ecuación diferencial x2y“ - 5 = O para x > O. A continuación, demuestre que c1x2+ c2x-’ también es una solución de esta ecuaciónpara cualesquiera c1 y c2. 14. Compruebe que y,(x) = 1 y y&) = x1I2son soluciones de la ecuación diferencial yy” + ( y ‘ ) 2= O para x > O. En seguida demuestre que c , + C,X no es, en general, una solución de esta ecuación.¿Por qué no? 15. Demuestre quesi y = 4(x) es una solución de la ecuación diferencialy ” + p(x)y’ + &)y = g(x), en donde g(x) no siempre es cero, entonces y = c+(x), en donde c es cualquier constante diferente de uno, no es una solución. ¿Por qué? 16. ¿Es posible que y = sen(x2) seauna soluckjn sobre un intervalo que contenga ax = O de una ecuación y ” + p(x)y’ + q(.r)y = O con coeficientes continuos? Dé una explicación

’’*

de la respuesta. 17. Si el wronskiano Wdef y ges 3e4* y si f(.x) = halle g(x). 18. Si el wronskiano W de f y ges x2eX y si f(x) = x, halle g(x). 19. Si W ( J g) es el wronskiano def y g y si u = 2f- g, v = f + 29, halle el wronskiano W(u, u) de u y ven términos de W ( f ;g),.

3.2

Soluciones fundamentales ecuaciones lineales de las

153

homogéneas

20. Si el wronskiano de f y g es x cos x - sen x y si u = f + 3g, Y = f - 9, halle el wronskiano de u y u. En los problemas 21 y 22, encuentre el conjunto fundamental de solucionesespecificado por el teorema 3.2.5 para la ecuación diferencial y el punto inicial dados. 21. y”

+ y‘ - 2y = o,

xg = o

22. y”

+ 4y’ + 3y = O,

=1

X(,

En cada uno delos problemas 23 a 26, verifique que lasfunciones y1 y y z son soluciones de la ecuación diferencial dada. ¿Constituyen un conjunto fundamental de soluciones? 23. 24. 25. 26.

+

y” 4y = O yl(x) = cos 2x, y2(x) = sen 2x y” - 2y’ y = O; yl(x) = ex, y2(x)= xex x2y” - x ( x 2)y‘ ( x 2)y = O, x > 0; y,(x) = x, y2(x)= xex (1 - x cot x)y” - xy’ y = O, O < x < rr; y,(x) = x, y2(x) = senx

+

+

+ + +

*27. Ecuaciones exactas. Se dice que la ecuaciónP(x)y” + Q(x)y’ t R(x)y = O es exacta si es posible escribirla en la forma [P(x)y’]’t [ f(x)y]’ = O, en donde f(x) debe determinarse en términos deP(x), Q ( x ) y R(x). La última ecuación puede integrarse una vez inmediatamente, con lo que se obtieneuna ecuación lineal de primerorden para y que

es posible resolver como en la sección 2.1. AI igualar los coeficientes de las ecuaciones precedentes y después eliminar f(x), demuestre que una condición necesaria para la exactitud es P ” ( x )- Q’(x) + R(x) = O. Es posible demostrar que ésta también es una condición suficiente.

En cada uno de losproblemas 28 a 31, aplique el resultado del problema 27 para determinar si la ecuación dada es exacta. En caso afirmativo, resuélvala.

+ -

*28. Y’’ XY’ + y = O *30. xy” (cos x)y’ +(sen x)y = O,

+

x >O

+

*29. y“ 3x2y‘ XY = O *31. x2y” xy’ - y = O, x

+

>O

*32. La ecuación adjunta.Si una ecuación lineal homogénea de segundoorden no es exacta, es posible hacerla exacta si se multiplican por un factor integrante apropiado p(x). Por tanto, se requiere que p(x) sea tal que p(x)P(x)y” + p(x)Q(x)y’ + p(x)R(x)y = O pueda escribirse en la forma [ p(x)P(x)y’] + [ f(x)y]’ = O. Al igualar los coeficientes de estas dos ecuaciones y eliminar f(x), demuestre que la función p debe satisfacer P,u”

+ (2P’ - Q)p’ + ( P ” - Q’ + R)p = O.

Esta ecuación se conoce como la adjunta de la ecuación original yes importante en la teoría avanzada de lasecuaciones diferenciales. En general, el problema de resolver la ecuación diferencial adjunta es tan difícil como el deresolver la ecuación original, de modo que sólo enocasiones es posible hallar un factor integrantepara una ecuación de segundo orden. En cada uno de los problemas 33 a 35, aplique el resultado del problema 32 para hallar la adjunta de la ecuación diferencial dada. *33. x’y” + x y ’ t (x2- v2)y = O, Ecuación de Bessel “34. ( 1 -x2)y” - 2xy‘ + .(a + 1)y = O, Ecuación de Legendre *35. y” -xy = O, Ecuación de Airy

*36. Para la ecuación lineal de segundo orden P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = O demuestre que la adjunta de la ecuación adjunta es la ecuación original.

154

lineales

Ecuaciones

de segundo orden

*37. Se dice que una ecuación lineal de segundo orden P(x)y" t Q(x)y' + R(x)y = O es autoadjunta si su adjunta esla misma quela ecuación original. Demuestre queuna condición necesariapara que esta ecuación sea autoadjuntaes que P'(x) = Q(x). Determine si cada una de las ecuaciones de los problemas 33 a 35 es autoadjunta.

. . L a representación de l a solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden como una combinación lineal de dos soluciones cuyo wronskiano es diferente de cero está estrechamente relacionada con el concepto de independencia lineal de dos funciones. Ésta es una idea muy importante y tiene un significado que rebasa con mucho el contexto actual; en esta sección se le analizará brevemente. Se dice que dos funciones f y g son linealmente dependientes sobre un intervalo si existen dos constantesk, y k, no ambas cero, tales que

f y g son linealmente independientes para todax en el intervalo. Se dice que las funciones sobre un intervalosi no son linealmente dependientes;es decir, si l a ecuación (1) se cumple para todax en el intervalosólo si k, = k, = O. En la sección 4.1 estas definiciones se extienden a un número arbitrario de funciones. Aunque puede ser difícil determinar siun conjunto grande de funciones es linealmente dependiente o independiente, suele ser fácil dar respuesta a esta pregunta para un conjunto sólo de dos funciones: son linealmente dependientes si son proporcionales entre sí y linealmente independientes en caso contrario. Los siguientes ejemplos ilustranla aplicación de las definiciones que acaban de darse.

x y cos (x - IC/ 2 ) son linealmente independienteso linealmente Determinar si las funciones sen dependientes sobre un intervalo arbitrario. Las funciones dadas son linealmente dependientes sobre cualquier intervalo ya que

k , senx

+ k , cos

para toda x si se eligenk, = 1 y k2= -1.

i3

x -- =O

Demostrar que las funciones e X y son linealmente independientes sobre cualquier intervalo. A fin de establecer este resultado, se suponeque k,e"

..

+ k,e2" = O

(2)

para todax en el intervalo; entonces, es necesario demostrar que k, = k, = O. Elija dos puntosx,, y x, en el intervalo, en donde xI # xo. Si se evalúa(2) en estos puntos, se obtiene klero + k2eZxo= O, k,erl

+ k,e'"'

= O.

3.3

155

Independencia lineal y el wronskiano

El determinante delos coeficientes es eXoe2X,

- e2XoeXl

= exoexl(exl

-

Dado que el determinante es diferente de cero, se concluye la única que Solución de la ecuación (3) es k, = k, = O. De donde, ex y ezr son linealmente independientes.

El siguiente teorema relaciona la independencia y dependencia lineales con el wronskiano.

Para probar la primera proposición del teorema 3.3.1 considérese una combinación lineal

k,f(x) + k2g(x) y supóngase que esta expresión es cero en todo el intervalo.Si se evalúan la expresión y su derivadaen xo, se tiene

El determinante de los coeficientes delas ecuaciones (4) es precisamenteW( f; g)(x,,), que por hipótesis es diferente de cero. Por lo tanto, la única solución de las ecuaciones (4) es k , = k, = O, de modo que f y g son linealmente independientes. La segunda parte del teorema3.3.1 se deduce de manera inmediata a partir de la primera. Sean f y g linealmente dependientes y supóngase que la conclusión es falsa; es decir, W(f; g) no es ceroen todo punto deI. Entonces, existe un puntox,,tal que W( f; g ) ( x o ) # O; por la primera parte del teorema 3.3.1, esto significa que f y g son linealmente independientes, lo cual esuna contradicción, con lo que se completa la demostración. Este resultado puede aplicarse a las dos funciones f(x) = ex y g(x) = e h analizadas en el ejemplo 2. Para cualquier puntox,, se tiene

Por consiguiente, las funciones ex y eh son linealmente independientes sobre cualquier intervalo. Es necesario tener cuidado en no leer demasiadoen el teorema 3.3.1. En particular, dos funciones f y g pueder ser linealmente independientes aun cuando W(f; g)(x)= O para toda x en el intervalo I. Este hecho se ilustra en el problema 23. Ahora se analizarán todavía más las propiedades del wronskiano de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El siguiente teorema, que quizá sorprenda, da una fórmula explícita simple para el wronskiano de dos soluciones cualesquiera de cualquiera de esas ecuaciones.

156

Ecuaciones lineales de segundo orden

Para probar el teorema de Abel, nótese en principio y1 quey yz satisfacen

Si se multiplica la primera ecuación por-y2, la segunda por y1 y se suman las ecuaciones resultantes, se obtiene (YlY;’ - YYY,) + P ( Y & - Y ; h ) = 0. Si sehace W(x) = W(y,,y&) y se observa que

W‘ = Y,Y‘; - $Y,, es posible escribirla ecuación (9) en la forma W’tpW=O. La ecuación (11) puede resolverse de inmediato, ya que es tanto una ecuación lineal primer orden (sección 2.1) como una separable (sección2.3). Por tanto,

~ ( x=) c exp

[

-

de

j p ( x ) dx] ,

en donde c es una constante. El valor de c depende del par de soluciones de (6) que intervengan. Sin embargo, dado que la función exponencial nunca es cero, W(x) no es cero a menos quec = O , en cuyo caso W(x)es ceropara toda x, con lo que se completala demostración del teorema3.2.2. Observe que los wronskianos de dos conjuntos fundamentales cualesquiera de soluciones dela misma ecuación diferencial sólo pueden diferir en una constante multiplicativa y

El resultadodel teorema 3.3.2 fue deducido por el matemático noruego Niels H. Abel(1802-1829) en 1827 y se conoce como fórmula de Abel. Abel también demostró que no existe fórmula general para resolver una ecuación de quinto grado en términos de operaciones algebraicas explícitas sobre los coeficientes del polinomio, resolviendo así una interrogante que había permanecido sin respuesta desde el siglo XVI. Sin embargo, sus contribuciones más importantes fueron enel análisis, en particular en el estudio de las funciones elípticas. Su trabajo no fue reconocido con amplitud hasta después de su muerte. El distinguido matemático francés Legendre Io llamó “monumento más duradero que el bronce”.

lineal 3.3

Independencia

157

y el wronskiano

que puede determinarse el wronskiano de cualquier conjunto fundamental de soluciones, hasta una constante multiplicativa, sin resolver la ecuación diferencial.

Ejemplo 3

En el ejemplo 5 de la sección 3.2 se comprobó quey,(x) = x1I2y y2(x)= x-l son soluciones dela ecuación 2x2y"

~

+ 3xy'

-

y = o,

x > o.

(13)

Comprobar que el wronskiano de y 1 y y 2está dado por la ecuación (12). Con base en el ejemplo que acaba de citarse se sabe que W(y,, y2)(x) = - ( 3 / 2 ) ~ - ~ ' Para ~. utilizar la ecuación (12) es necesario escribir la ecuación diferencial (13)en la forma estándar con el coeficiente dey" igual a uno. Por tanto, se obtiene

-

cx - 312,

La ecuación (14) da el wronskiano de cualquierpar de soluciones de (13). Para las soluciones particulares dadas en este ejemplo es necesarioelegir c = -312.

Puede establecerse una versión más poderosa del teorema 3.3.1si lasdos funciones que intervienen son solucionesde una ecuación diferenciallineal homogénea de segundo orden.

Por supuesto, por el teorema 3.3.2 se sabe que W(y,, y2)(x) es cero en todo punto I, o de bien, no es cero enningfin punto de I. AI probar el teorema 3.3.3, observe en primer lugar que siy 1 y y 2 son linealmente dependientes, entoncesW ( y , , y 2 ) ( xes) ceropara toda x en I, por el teorema3.3.1. Queda por demostrarla inversa; es decir, siW ( y , , y 2 ) ( es x ) cero en todo elintervalo I, entonces y 1 y y , son linealmente dependientes. Sea x. cualquier punto en I; entonces necesariamente W( y,, y2)(xo) = O . Como consecuencia, el sistema de ecuaciones

158

orden

segundo Ecuaciones lineales de

para c , y c, tiene una solución no trivial. Si se usan estos valores de c, y c, sea 4 ( x ) = cly,(x) t czy,(x).Entonces 4 es una solución dela ecuación (6), y, por las ecuaciones(15), también satisface las condiciones iniciales

$(xo) = o,

#(x,) = o.

(16)

Por consiguiente, por la parte de unicidad del teorema 3.2.1, o por el ejemplo 2 de !a sección 3.2, 4 ( x ) = O para todax en I. Ya que +(x) = cly,(x) t c,y,(x), en donde c1 y c, no son cero las dos, esto significa que y1y y , son linealmente dependientes. La proposición alternativa del teorema se deduce de inmediato. Ahora es posible resumir los hechos acerca de los conjuntos fundamentales de soluciones, wronskianos e independencia lineal de la siguiente manera: seany1 y y , soluciones de la ecuación (6), Y”

+ P(X)Y’ + 4 ( X b = o,

en donde p y q son continuas sobreun intervalo abierto I. Entonces, las cuatro proposiciones siguientes son equivalentes,en el sentido de que cadauna incluye a las otras tres.

1. 2. 3. 4.

Las funciones y1 y y , son un conjunto fundamental de soluciones sobre I. Las funciones y , y y z son linealmente independientes sobre I. W(yl,y z ) # O para algún x. en I. W b l , y,)@) # O para toda x en I.

Es interesante observarla semejanza entre la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden y el álgebra vectorial bidimensional. Se dice que dos vectores a y b son linealmente dependientes si existen dos escalares k, y k, no ambos cero, tales que k , a t k,b = O; en caso contrario, se dice que son linealmente independientes. Sean i y j vectores unitarios dirigidos alo largo de los ejes positivosxy y , respectivamente. Como k,i t k2j = O sólo si k, = k, = O, los vectores i y j son linealmente independientes. Además, se sabe que cualquier vectora con componentes a , y a2 puede escribirse comoa = a,i + a2j;es decir, como una combinación lineal de los dos vectores linealmente independiente i y j. No es difícil demostrar que cualquier vector en dos dimensiones puede representarse como una combinación lineal de dos vectores bidimensionales linealmente independientes cualesquiera (ver el problema 12). Se dice que ese par de vectores linealmente independientes forman una base para el espacio vectorialde los vectores bidimensionales. La expresión espacio vectorial también se aplica a otras coleccionesde objetos matemáticos que obedecen las mismas leyes dela adición y la multiplicación por escalares de10s vectores geométricos. Por ejemplo, es posible demostrar que el conjunto de funciones que son dos veces diferenciables sobre el intervalo abierto I forma un espacio vectorial. De modo semejante, el conjunto V de funciones que satisfacen la ecuación (6) también forma un espacio vectorial. Dado que todo miembro de V puede expresarse como una combinación lineal de dos miembros linealmente independientes y1 y y,, se dice que ese par forma una base paraV. Por esto se concluye que Ves bidimensional; por lo tanto, es análogo en muchos aspectos al espacio de los vectores geométricosen un plano. Después se verá que el conjunto de sohciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden forma un espacio vectorial de dimensión n y que cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial forma una base para el espacio. Esta relación entre las

3.3

159

Independencia lineal y el wronskiano

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 6 , determine si el par de funciones dado eslinealmente independiente o linealmente dependiente. 1. f(x) = x2 + 5x, g(x) = x2 - 5x 2. f(x) = COS 3x, g(x) = 4 cos3 X - 3 COS X 3. f(x) = e’lXcospx, g(x) = eAxsenpx, p 4. f(x) = e3x, g(x) = e3(x-1) 5. f(x) = 3~ - 5, g(x) = 9~ - 15 6. f(x) = X, g(x) = X -

+O

7 El wronskiano de dosfunciones es W(x) = x sen2x. ¿Las funciones sonlinealmente independientes o linealmente dependientes? ¿Por qué? 8. El wronskiano de dosfunciones es x2 - 4. ¿Las funciones son linealmente independientes o linealmente dependientes? ¿Por qué? 9. Si lasfunciones y, y y, son soluciones linealmente independientes de y” t p(x)y’ + q(x)y = O, demuestre que cly, y c2y, también son soluciones linealmente independientes, siempre que ninguna de c, o c, sea cero. 10. Si lasfunciones y, y y, son soluciones linealmente independientes de y” + p(x)y’ + &)y = O , demuestre que y, = y, + y, y y, = y, -y, también forman un conjunto linealmente independiente de soluciones.A la inversa, siy, y y, son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial, demuestre que también y, y y, lo son. 11. Si las funciones y, y y, son soluciones linealmente independientes de y” +p(x)y‘ + &)y = O, determine en qué condiciones las funciones y, = u p , + u, y, y y, = b,y, + b,y, también forman un conjunto linealmente independiente de soluciones. 12. a) Demuestre que cualquier vector bidimensional puede escribirse como una combinación lineal de ¡t j e i - j. b) Demuestre que si los vectores x = x,¡ t x 2 j y y = y,i t y,j son linealmente independientes, entonces cualquier vector z = z,¡ + z 2 j puede expresarse como una combinación lineal dex y y. Observe que si x y y son linealmente independientes, entoncesx,y, -x2y2 # O. ¿Por qué?

En los problemas 13 y 14, encuentre el wronskiano de soluciones de la ecuación diferencial dada sin resolver esta 13. x2y” - x(x 14.

(COS X)Y”

+ 2)y‘ + (x + 2)y = O

+(sen x)y”

XY

=O

15. Demuestre que si p es diferenciable y p(x) > O, entonces el wronskiano W(x) de dos soluciones de [p(x)y’]’ + q(x)y = O es W(x) = c/p(x),en donde c es una constante. 16. Si y, y y, son soluciones linealmente independientes de xy” t 2y’ + xeXy = O y si W(yl, y,)(l) = 2, halle el valor de W(y,, y,)(5). 17. Si y: y y, son soluciones linealmente independientes de x 2 y ” - 2y’ t (3 + x)y = O y si W(y,, y,)(2) = 3, encuentre el valor de W(yl, y,)(4).

I60 ~ _

Ecuaciones lineales de segundo orden

_ 18. Si

g y h son funciones diferenciables, demostrar que W(fg,fh) = f2W(g,h,).

En los problemas 19 a 21 suponga quep y q son continuas y que las funciones y , y y, son soluciones de la ecuación diferencialy" + p(x)y' + p(x)y = O sobre un intervalo abiertoI. 19. Demuestre que si y , y y z son cero en el mismo punto en I, entonces sobre ese intervalo

no pueden ser un conjunto fundamental de soluciones. 20. Demuestre que si y , y y, tienen máximos y mínimos en el mismo punto en I, entonces sobre ese intervalono pueden ser un conjunto fundamental de soluciones. *21. Demuestre que siy , y yz tienen un punto de inflexión comúnx. en I, entonces no pueden ser un conjunto fundamental de soluciones. 22. Dernuestre que x y x2 son linealmente independientes sobre-1 < x < 1; de hecho, son linealmente independientes sobre todo intervalo. Demuestre también que W(x, x2) es cero en x = 0. ¿Qué se puede concluir a partir de esto acercade la posibilidad de que x y x2 sean soluciones de la ecuación y" + p(x)y' + p(x)y = O? Verifique que x y x 2 son soluciones de la ecuación x2y"-2xy' + 2y = O. ¿Contradice estola conclusión ala que se llegó? ¿El comportamiento del wronskiano dex y x 2 contradice el teorema 3.3.2? 23. Demuestre que las funcionesf(x) = x x y g(x) = x2 son linealmente dependientes sobre O < x < 1 y sobre -1 < x < O. Aunque f y g son linealmente independientes allí, demuestre que W ( j g) es cero para toda x en -1 < x < l. De donde, f y g no pueden ser soluciones dela ecuación y" +p(x)y' + &)y = O conp y q continuas sobre-1 < x < 1.

.,

I

.

En esta sección se continúael análisis de la ecuación ay''

+ by' + c y = O,

(1)

en donde a, b y c son números reales dados. En l a sección 3.1 se vio que si se buscan soluciones de l a forma y = erx,entonces r debe ser una raíz dela ecuación característica

ar2 + hr

+ c = O.

(2)

Si las raíces r , y r2 son reales y diferentes, lo que ocurre siempre que el discriminanteb24ac es positivo, entonces la solución general de (1) es

y = clerIX+ c2er2x.

(3)

Ahora, suponga que b 2- 4ac es negativo; entonces las raíces de (2) son números complejos conjugados; se les denota por

+

r l = i ip,

Y2

= 1"- i p ,

en donde A y p son reales. Las expresiones correspondientes paray son

(4)

3.4

161

Raíces complejas característica de la ecuación

La primera tarea es examinar el significado de estas expresiones, lo cual comprende evaluación de la función exponencial para un número complejo. Por ejemplo,si A = -1, 2 y x =3; entonces, por la ecuación (5),

y,(3) = e - 3 + 6 i .

la U

=

(6)

¿Qué significa elevarun número, comoe, a una potencia compleja? La respuesta es proporcionada por una importante relación conocida como fórmula de Euler.

Fórmula de Euler. Para dar significado a las ecuaciones(5) es necesario contar con una definición de la función exponencial compleja. Por supuesto, se desea que la definición se reduzca a la función exponencial real conocida cuando el exponente es real. Existen varias maneras de realizar esta extensión de la función exponencial. Aquí se aplica un metodo basado en series infinitas, enel problema 24 se bosqueja un método alternativo. Recuerde, por lo visto en cálculo elemental, que la serie de Taylor parae‘ en torno a x=Oes

Si ahora se supone que x puede sustituirse por ix en (7), se tiene

en donde la suma seha separado en sus partesreal e imaginaria, aplicando el hecho de que i*=-1 i3,-. 1, i4 = 1, etcétera. La primera serie dela ecuación (8) es precisamente la serie de Taylor para cos en x torno ax = O y la segunda esla serie de Taylor para senx en torno a x = O. Por tanto, se tiene elx = cos x

+ i sen x.

(9)

La ecuación (9) se conoce como fórmula de Euler y es una relación matemática extremadamente importante. Aunquesu deducción se basa en la suposición no verificada de que se puede usar la serie (7) para valores complejos, así como para valores reales, la devariable independiente, la intención es utilizar esta deducción solamente para que la ecuación (9) parezca razonable. Ahoralos hechos se colocan sobre una base firme al adoptar la ecuación (9) como la definicih de eiX. En otras palabras, siempre que se escribe erx se refiere a la expresión del segundo miembro de (9). Existen algunas variantes de la fórmula de Euler que también vale la pena hacer notar. Si en (9) se sustituye x por-x y se recuerda que cos(-x) = cos x y sen(-x) = -sen x, se tiene e - i x = cos x - i senx.

(10)

Además, si en la ecuación (9) se sustituyex por px, entonces se obtieneuna versidn generalizada de la fórmula de Euler; a saber,

162

Ecuaciones lineales de segundo orden

A continuación, se desea ampliar la definición de la función exponencial hacia exponentes complejos arbitrarios de la forma (A + ip)x Dado que se desea que las propiedades acostumbradas de la función exponencial se cumplan para los exponentes complejos, es evidentc que se desea que exp[(A t i&] satisfaga e ( l + i @ ) x=

e Ax eips. Entonces, si se sustituye esta expresiónpor e i p en (ll), se obtiene

(12)

+ i sen 1") = elx cosp x + ieAX sen p.

e('+'p)" = eax(cos p x

(13)

Ahora se tomará a la ecuación (13) como la definición de exp[(h + i&]. El valor de la función exponencial con un exponente complejo esun número complejo cuyas partes real e imaginaria están dadas por los términos del segundo miembro de(13). Observe que las partes real e imaginaria de exp[(A t ip)x] se expresanpor completo en términos de funciones elementalescon valores reales.Por ejemplo, la cantidad de la ecuación (6) tiene el valor p-3+6i

- eC3 cos 6 -

+ ieC3 sen 6 z 0.0478041 - 0.0139113i.

Con las definiciones (9) y (13) resulta directo demostrar que las leyes usuales de los

exponentes son válidas para la función exponencial compleja. También es fácil verificar que la fórmula de derivación d

-

dx

(er") = yerx

también se cumplepara valores complejos r.

Soluciones con valores reales. Las funcionesy,(x) y y,@) dadas por las ecuaciones( 5 ) y con el significado expresadopor la (13), son soluciones de la ecuación (1) cuando las raíces de l a ecuación característica (2) son los números complejos A iF Desafortunadamente, las soluciones y, y y , son funciones con valores complejos, mientras que en general sería preferible tener soluciones con valores reales, en caso de ser posible. Pueden encontrarse estas soluciones como una consecuencia del teorema 3.2.2, el que afirma que y, si y y, son soluciones de (l), entonces cualquier combinación lineal de y, y y, también es una solución. En particular, al formar la suma y después la diferencia de y, y y,, se tiene

+

yl(x) + y2(x) = eiX(cos px i sen p) + e"(cos p x - i sen p) = 2eAx cosp x Y y,(x)

-

+

y 2 ( x ) = elx(cos p x i sen pa-)- eAX(cos px = sen p.

-

i sen px)

De donde, si se desprecian los factores constantes 2 y 2i,respectivamente, se obtiene un par de soluciones con valores reales.

de

complejas 3.4 Raíces

163

característica la ecuación

Observe que u y u son tan sólo las partes reale imaginaria, respectivamente, dey,. Por cálculo directo es posible demostrar que el wronskiano udey v es

W(u,u)(x) = pe22x.

(16)

Por tanto, mientras y $. O, el wronskiano W no es cero, de modo que u y U forman un conjunto fundamental de soluciones.(Por supuesto, siy = O , entonces las raícesson reales y no es aplicable el análisis de esta sección). Como consecuencia, si las raícesde la ecuación característica son los números complejos A -c iu con ,u # O, entonces la solución general de la ecuación (1) es y

= c,elX cos

px

+ c2eLXsen px,

(1 7 )

en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Observe que la solución (17) puede escribirse tan pronto como se conocen los valores deh y p.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de y"

+ y' + y = o.

(18)

La ecuación característica es r2+r+1=0,

y sus raíces son r=

-1

*

(1 - 4 ) 1 ' 2

2

1

&

2-

2

= --+i-.

Por tanto, A. = -1/2 y p= &/2, de modo quela solución general dela ecuación (18) es J3x

Ejemplo 2

Encontrar general la solución

y = cle-x12 cos

J3x ~

2

+ c2e-x12 sen-.

de

2

I

y"

+ 9y = o.

,

(20)

La ecuación Característica es r 2 + 9 = O con las raíces r = +32; por tanto, A. = O y p = 3. La solución general es y = c1 cos 3x

+ c2 sen 3x;

(21)

observe que si la parte real de las raíces es cero, como eneste ejemplo, entonces no hay factor exponencial en la solución.

Encontrar la solución del problema con valor inicial 16.~"- 8 ~ +' 1 4 5 ~ = O, y(0) = -2, ~ ' ( 0= ) 1. (22) La ecuación característica es 16r2 - 8r + 145 = O y sus raíces son r = 1/4 2 3i. Por tanto, la solución general dela ecuación diferenciales \

$,

,

y = cleXI4 cos 3x

*"

.

+ c2eXI4sen 3x.

(23)

164

Ecuaciones lineales de segundo orden

" _I___"

Para aplicar la primera condición inicial se hace x = O en l a ecuación (23); esto da y(0) = c, = - 2.

Para la segunda condición inicial es necesario derivar la (23) y después hacer x = O. Así, se encuentra que y'(0) = :cl

+ 3c,

= I,

de lo cual c 2 = 1/2. Si se usan estos valores de cI y c2 en la (23), sc obtiene ,y

= -2rx14cos 3x

+

sen 3x

como la solución del problema con valor inicial (22).

En la sección 3.8 se analizarán con más detalle las propiedades geométricas de lassoluciones como estas,por lo que aquí sehará de manera muy breve. Cada una de las soluciones u y u de las ecuaciones (15) representa una oscilación, debido a los factores trigonométricos, y también crece o decae exponencialmente, dependiendo del signo hde(a menos que A = O). En en ejemplo 1 se tiene J. = -112 < O, por lo que las soluciones son oscilaciones que se extinguen. En la figura 3.4.1 se muestra la gráfica de una solución típica de l a ecuación (18). Por otra parte, A = 114 > O en el ejemplo 3, por lo que las soluciones de la ecuación diferencial (22) son oscilaciones crecientes. En la figura 3.4.2 se muestra la gráfica de la solución (24) del problema con valor inicial dado. El caso intermedio se ilustra en el ejemplo 2, en el que h = O. En este caso la solución no crece ni decrece exponencialmente, oscila de manera estable; en la figura 3.4.3 se muestra una solución típica de la ecuación (20).

Figura 3.4.1 Una solución típica de y"

+ y' + y = O.

165

3.4característica Raíces ecuación complejas de la Y’

10

5

-5

-1

o

FIGURA 3.4.2 Solución de 16y” - 8y’ t 145y = O, y(0) = -2, y’(0)

Y

2

1

-1

-2

FIGURA 3.4.3 Una solución típica de y” t 9y = O.

= 1.

166

de

lineales

Ecuaeiones

segundo orden

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 6, aplique la fórmula de Euler para escribir la expresión dada en la forma a + ih. 1. exp( 1 3. e‘= 5, ‘2 i

+ 24

En cada uno de los problemas 7 a 16, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada 8. y“ - 2y’ hy = o 10. J ’ ’ + 2y’ + 2y = o 12. 4J” 9y = o 14. 9 ~ : ” 9 ~ -’ 4y = O 16. y” 441‘ 6 . 2 5 ~= O

7. y r r 2yr + 2p = o 9. p” + 24” - 81’= o I I . y” + 6y‘ + 13y = O 13. y‘’ + 24” + I . 2 5 = ~O 15. y” + y’ + I .25y = o

+

~

+ +

+

+

En cada uno de los problemas 17 a 22 halle la solución del problema con valor inicial dado. Trace la gráfica de la soluci6n y describa su comportamiento para x creciente. 17. Y” 18. y” 19. y”

20. y” 21. y” 22. y”

+ 4 ~ 1= O, ~ ( 0=) O, ~ ‘ ( 0=) 1 + 4p’ + 5y = o, y(0) = I , y’(0) = o

+ 54’ = O, y ( ~ / 2=) O, ~ ’ ( 7 ~ 1=2 2) y(n/3) = 2, J”(7Ii3) = - 4 + y’ + 1.2s)’= o, J’(0)= 3, p’(0) = 1 -

2y’

+ y = o,

+ 2y‘ + 2y = o,

y(ni4)

=

2, y‘(n/4) = - 2

23. Demuestre que W(ehxcos ,m,ehxsen p)= vezAx. 24. En este problema se bosqueja una deducclón diferente de la fórmula deEuler. a) Demuestre que yi(x)= cos x y y,(x) = sen x son un conjunto fundamental de soluciones dey ” + =y O; es decir, demuestre que son soluciones y que su wronskiano no es cero. b) Demuestre (formalmente) que y = e k también es una solución de y” + y = O. Por consiguiente, elx = c,

cos x

+ c 2 senx

(1)

para algunas constantes c1 y c2. $or qué es así? c) Haga x = O en (i) para demostrar que c, = 1. d) Si se supone que(14) es verdadera, derive (i)y luego haga x = O para concluir que c, = i. Use los valores de c1 y c, en (i) para llegar a la fórmula de Euler. 25. Con la aplicación de la fórmula de Euler demuestre que cos x = (eix+ C‘~),Q,

sen x = ( e L X- e - ‘”)/2i. 26. Sean las funciones con valoresrealesp y q continuas sobre el intervalo abiertoI y se2 y = 4 ( x ) = u(x) + iv(x) una solución con valores complejos de y”

+ p(x)y’ + &)y

=

o,

ii)

en donde u y u son funciones con valores reales. Demuestre que u y U también son soluciones de (i). Sugerencia: Sustituyay = 4(x) en (i) y separe laspartes real e imaginaria. *27. Si las funciones y, y y , son soluciones linealmente independientes de y “ + p ( x ) y’ + q(x)y = O, demuestre que entreceros consecutivos de y , existe uno y sólo un cero dey,. Obser-

de

complejas 3.4 Raíces

la ecuación característica

167

ve que este resultadoqueda ilustrado por las soluciones yl(x) = COS x y y2(x) = sen X de la ecuación y“ + y = O.

Cambio de variables. A menudo una ecuación diferencial con coeficientes variables, y”

+ p(x)y’ + q(x)y = o,

(1)

puede escribirse en una forma más adecuada para hallar una solución al hacer un cambio de las variablesindependientes o de ladependiente o las dos cosas. Estas ideas se examinan en los problemas 28 a 36. En particular, en el problema 28 sedeterminan las condiciones en las que la ecuación (i) puede transformarse en una ecuación diferencial con coeficientes constantes, con lo cual se puede resolver con facilidad. En los problemas 29 a 36 se dan aplicaciones específicas de esteprocedimiento. *28. En este problema se determinan condiciones sobre p y q tales que, por un cambio de la variable independiente, l a ecuación (i) puede transformarse en una ecuación con coeficientes constantes. Seaz = u(x) la nueva variable independiente, con la relación entre z y x que seespecificará posteriormente. a) Demuestre que dy dx

dz - dx dz’

“ ”

dy _ d2y-dxdx2

(e)’”’ + d2z dy dz2 dX2 dz

b) Demuestre que la ecuación diferencial (i) queda

2 + (e+ dx

($)2

p(x)

(ii)

c) Para que laecuación (ii) tenga coeficientes constantes, los coeficientes de d2yldz2 y de y deben ser proporcionales. Si q(x) > O, entonces es posible elegir quela constante de proporcionalidad sea uno; de donde z = u(x) = J[~(X)]”’

dx.

(iii)

demuestre que el coeficientede dyldz de (ii)también d) Con la z elegida en el inciso c), es una constante, siempre que la expresión

sea constante.Por tanto, (ii)puede transformarse en una ecuación con coeficientes constantes por un cambio de la variableindependiente, suponiendo que lafunción (4’ + 2pq) /q3I2es constante. ¿Cómo debemodificarse este resultado si q(x) < O? En cada uno de los problemas 29 a 31, intente transformar la ecuación dada en una con coeficientes constantes por el método del problema 28. En caso de ser posible, halle la solución general de la ecuación dada.

+ xy’ + e-+y = O, 00 < x < 03 + 3xy’ + x2y = O, - m < x < co *31. XY” + - 1 ) ~+ ’ x3y = O, O < X < co *29. y” *30. y‘’

-

(X’

*32. Ecuaciones de Euler. En una ecuación de la forma x2y”

+ axy’ + /?y = o,

x > o,

168

lineales

”

Ecuaciones orden

de segundo

en donde LY y p son constantes reales, se conoce como ecuación de Euler. Demuestre que la sustitución z = I n x transforma una ecuación de Euler en una ecuación con coeficientes constantes. Las ecuaciones de Euler se analizan con detalle en la sección 5.5. En cada uno delos problemas 33 a 36 aplique el resultado del problema 32 para resolver la ecuación dada, para x > O. *34. x2y“ + 4xy‘ + 2y = o *36. x2y” - 4xy‘ - 6y = 0

En secciones anteriores semostró cómo resolver la ecuación

ay”

+ by‘

t cy = O

cuando las raíces de la ecuación característica

arz t br

+c =O

(21

la tercera posison reales y diferentes, o bien, complejas conjugadas. Ahora se considerará bilidad; a saber, que las dos raíces rl y r2son iguales. Este caso se presenta cuando el discriminante 6’ - 4ac es cero y, por l a fórmula cuadrática, se deduce que

r1 = r2 = -h/2a.

13)

La dificultad salta ala vista inmediatamente; las dos raíces dan la misma solución y l ( x ) = ,-bxi2a

(4)

de l a ecuación diferencial (I), y no es obvio cómo hallar una segunda solución.

Ejemplo 1

*% Resolver

la ecuacióndiferencial

I

y”

tf.

B

+ 4y’ + 43’ = O.

’

(5)

?i L a ecuación característica es

5

9

rz + 4r

+ 4 = (r + 212 = O,

=._

‘3de modo que r , = r2 = -2. Por lo tanto, una solución de

l a ecuación (S) es y,@) = e-2x. Para encontrar l a solución general de(S) se necesita una segunda solución que no sea un múltiplo de y l . Puede hallarse esta segunda solución por un método ideado por D’Alernbert6 en el siglo XVIII. Recuerde que como y , @ ) es una solución de (l),también lo es cyl@) para cualquier Jean D’Alembert (1717-1783), matemático francés, fue contemporáneo de Eulery de Daniel Bernoulli, y se It: conoce principalmente por su trabajo en la mecánica y las ecuaciones diferenciales. El principio de D’Alembert dela mecánica y l a paradoja de D’Alembert dela hidrodinámica recibieron su nombre en honor a éI y la ecuación de onda apareció por primera -vez en su artículo sobre cuerdas vibrantesen 1747. En sus últimos años se dedicóesencialmente a la filosofía y a sus actividades como editor de ciencias de IaEncyclopédie dc Dideror.

cción

repetidas; 3.5

Raíces

169

orden

constante c. La idea básica es generalizar esta observaciónal sustituir c por una función v(x) Y luego intentar determinar v(x) de modo que el producto v(x)yl(x) sea una solución de la ecuación (1). A fin de realizar este procedimiento se sustituye y = v(x)yl(x) en (1) y se usa la ecuación resultante para hallar v(x). Si parte de y = u(x)y,(x) = Lg(x)e-

(6)

se tiene y' = u'(x)e-2X- 2u(x)r-

(7)

2x

Y y" = u"(x)e-

- 4u'(x)e

2x

+ 4u(x)e

2x.

(8)

Al sustituir las expresiones delas ecuaciones (6), (7) y (8) en (5) y agrupar términos,se obtiene [ú'(x) - 4u'(x)

+ 4u(x) + 4u'(x)

-

84x)

+ 4 ~ ( x ) ] e - ~=" O,

que se simplificaa v"(x) = o.

Por consiguiente, v'(x) = c1

Y u(x) = c1x

+ c2,

(10)

en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Por último, al sustituir v(x) de la ecuación (6) por la expresión dada en la (lo), se obtiene y = c1xe-2x -t c2e-2x.

(11)

El segundo término del segundo miembro de la ecuación (11) corresponde a la solución original y l ( x ) = exp(-k), pero el primer término surge de una segunda solución a saber, y2(x) = x exp(-2x). Es evidente que estas dos soluciones no son proporcionales, pero puede verificarse que son linealmente independientesal calcular su wronskiano:

1

Y Y I , Y2)(X) = - 2 e - 2 X

xCZx

(1 - 2x)e-'" -2 ~ e - + ~ "2xe-4x = e-4x # O.

e-2x

- e-4x

Por lo tanto, yl(x) = e-2x,

y2(x) = xe-2X

(12)

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (5), y la solución general de esa ecuación queda dada por(11).

El procedimiento utilizado en el ejemplo 1 puede extenderse a una ecuación general cuya ecuación característica tiene raíces repetidas.Es decir, se supone quelos coeficientes de la ecuación (1) satisfacen b 2 - 4ac = O, en cuyo caso

170

segundo

de

lineales

Ecuaciones

orden

Y l ( X ) = e-bxi2a

es una solución. Entonces se supone que y = v ( x ) y l ( x ) = u(x)e-bx’2a

y se sustituye en (1) para determinar v(x). Se tiene

Y

Entonces, al sustituir en (1) se obtiene

b Ú(X)

+2 4a b2

]+ [

b v’(x) -

U(X)

2a

y se reagrupan los demás

Si se cancela el factor exp(-bx/2a), que es diferente de cero, términos, se encuentra que UU”(X)

+ (- b + b ) d ( x ) +

(:: ;:+ ) -

-- c

U(X) = O.

Es obvio que el términoen que aparece v’(x) es cero. Además,el coeficiente de v(x) es c - (b2/4a), que también es cero porque b2- 4ac = O en el problema que se está considerando. Por tanto, como enel ejemplo 1, la ecuación (17) se reduce a v”(x) = o;

por consiguiente, u ( x ) = c1x

+

c2.

De donde, por la ecuación (13), se tiene y = Clxe-bx/2a+ c2e- b x / Z a

Por tanto, y es una combinación lineal de las dos soluciones

yl(x)=

(19)

y2(x)= xe-bx’2a.

El wronskiano de estas soluciones es e - bxj2a

xe - bx/Za

W Y , ,Y 2 ) ( X ) =

-_

2a

e-bx/2a

(1

-E)

- e - bxia

(20)

e-bxi2a

Dado que W(yl, y2)(x) nunca es cero, las solucionesy1 y y 2 dadas por la ecuación (19) son un conjunto fundamental de soluciones. Además, la ecuación (18) es la solución general de

repetidas: 3.5

Raíces

171

reducción de orden

(1) cuando las raíces de la ecuación característica son iguales. En otras palabras, en este caso existe una solución exponencial correspondiente a la raíz repetida, mientras que se obtiene una segunda solución al multiplicar la solución exponencial por x . En los problemas 15 a 17 se describen otros métodos que conducen a la formade la segunda solución.

Ejemplo 2

Encontrar la solución del problema con valor inicial y" - y'

+ 0 . 2 5 ~= O,

y(0) = 2,

~ ' ( 0= )

4.

(21)

La ecuación característica es r2 - r

+ 0.25 = O,

de modo que las raíces son rl = r2 = 1/2. Por tanto, la solución general dela ecuación diferenciales y = c,ex12

+ c2xexIz.

La primera condición inicial exige que y(0) = c1 = 2.

Para satisfacer la segunda condicióninicial en primer lugar se derivala ecuación (22) y se hace x = O; esto da y'(0)

= IC1

+ c2 = +,

de modo quec2 = -2/3. Por tanto, la solución del problema con valorinicial es y =

- +,@2,

(23)

En este caso, el comportamiento geométrico de las soluciones es semejante al del caso en el que las raíces son reales y diferentes. Si los exponentes son positivos o negativos, entonces la magnitud de la solución creceo decrece en consecuencia; el factor lineal x tiene poca influencia. En la figura 3.5.1 se muestra una solución decreciente,en donde se ha trazado la gráfica de una solución típica de la ecuación (5). Una solución creciente queda ilustrada por la solución del problema con valor inicial del ejemplo 2, cuya gráfica se muestra en la figura 3.5.2. Por último, si la raíz repetida es cero, entonces la ecuación diferencial es y'' = O y la solución general es una función lineal x. de

Resumen. Ahora es posible resumir los resultados que se obtuvieron para las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, ay''

+ by' + CY

=

O.

Sean rI y r2 las raíces del polinomio característico correspondiente

urz + br

+ c = O.

(2)

Si r , y r2 son reales pero no iguales, entonces la solución general de la ecuación diferencial (1) es y = clerlX

+ c2erZx.

(24)

orden172

segundo

de

lineales

Ecuaciones

FIGURA 3.5.1 Una solución típica de y”

+ 4y’ + 4y = O.

1

-l

t

FIGURA 3.5.2 Solución de y”

y’

+ 0 . 2 5 ~= O, y(0) = 2, y’(0)

= 113.

repetidas; 3.5

Raíces

173

reducción de orden

Si rl y r2 son complejas conjugadas,ilrt ip, entonces la solución general es y = c l epcAxoXs

+ c2eAXsen p x .

(25)

+~ ~ x e ' " ~ .

(26)

Si r , y r2, entonces la solución general es y = clerLX

Reducción de orden. Vale la pena hacer notar que el primer procedimiento utilizado en esta sección para las ecuaciones con coeficientes constantes es de aplicación más general. Supóngase que se conoce una solución y,@), que no sea cero en todo punto, de

y"

+ p(x)y' + q(x)y = o.

(27)

Para encontrar una segunda solución, sea

Y

(28)

= 4X)Ylb);

entonces Y' = 4 X ) Y l ( X )

+ v(X)Y;(x),

+

+

y" = u"(x)y1(x) 2v'(x)yi(x) u(x)y;'(x). Si se sustituyeny, y' y y" de la ecuación (27) por sus expresiones que acaban de darse y s e agrupan los términos, se encuentra que YlU"

+ (2Y; + PYJU' + (Y: + PY; + qYJ0 = o.

(29)

Dado que y 1 es una solución de (271, el coeficiente de u en la (29) es cero, de modo quela ecuación (29) queda

+ (2.4 + py,)v' = o.

y,ú'

(30)

A pesar de su apariencia, la ecuación(30) es en realidad una ecuación de primer orden para la función u' y es posible resolverla como una ecuación lineal de primer orden o como una ecuación separable. Una vez que se encuentra u', entonces se obtiene u por integración. Finalmente, y se determina a partir de la ecuación (28). Este procedimiento se llama método dereducción de orden porque el paso decisivo es la solución de una ecuación diferencial de primer orden parau', en vez de la ecuación original de segundo orden paray. Aunque es posible escribir una fórmula parav(x), en vez de ello se ilustrará la manera en que funciona este método con algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Dado que y l ( x ) = x ? es una solución de 2x2y"

+ 3xy'

-

y = o,

x >o

hallar una segunda solución linealmente independiente. Se hace y = u(x)x"; entonces =

vIx-l

- vx-2,

y"

= u"x-' - 2v'x-2

+ 2vx-3.

Si se sustituyeny, y' y y'' de la ecuación (31) y se agrupan términosse obtiene

174

Ecuaciones lineales de segundo orden 2x2(u”x-

-

2v’x-

=

2xv” + ( - 4

z=

2xv“

- 0’

+ 2vx- + 3x(u’x+ 3)u’+ (4x“ 3x-1 o. 3)

-

-

ux- 2)

-

ux -

’

- X”)V

(32)

Observe que el coeficiente de u es cero, como debe ser; esto permite teneruna útil comprobación de los pasos algebraicos. Si se separan las variables en la ecuación (32) y se despejau’@), se encuentra que u’(x) = cx1‘2

entonces U(X)

=

=$x”” + k.

Se concluye que y = 2cx1/2

+ kx-’,

(33)

en donde c y k son constantesarbitrarias. El segundo término del segundo miembro de (33) es un múltiplo de yl(x) y se puede cancelar, pero el primer término proporcionauna nueva solución independiente. Si se desprecia la constante multiplicativaarbitraria, se tiene y&) = x

Ejemplo 4

Comprobar queyl(x) = x es una solución dela ecuación de Legendrede orden uno, (1 - x2)y” - 2xy’

+ 2y = o,

-1 < x

< 1,

(34)

y encontrar una segunda solución linealmente independiente. Si y = x, entoncesy’ = 1 y y” = O. Si se sustituyenestas cantidades en la ecuación (34) se ve que y = x es una solución de esa ecuación. Para encontrar una segunda solución, sea y = xu(x); entonces y’ = xu?

+ u,

y“ = xu’l

+ 20’.

Entonces, si se sustituyen y, y‘ y y” de la ecuación (34), se obtiene (1 - x’)(x”’

+ 2 4 - 2x(xv’ + u) + 2x0 = o,

o bien, x ( l - XZ)V”

+ (2 - 4xZ)u’ = o.

Al separar las variables,es posible escribir la ecuación (35) en la forma (u‘)’

-

2

” ” .

ti‘

x

2x - .~ 1 - x2’

de lo cual se deduce que v‘(x) =

C

x2(1 - x2)’

en donde c es una constante arbitraria. Como consecuencia, u(x) = c

1 - 2

2

x

1-x

3.5

175

Raíces repetidas; reducción de orden

Por lo tanto, si se suprimeel multiplicador constante, se encuentra que una segunda solución de (34) es x l + x y2(x) = xv(x) = 1 - -- In -. 2 1-x

(37)

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 10, encuentre la solución generalde la ecuación diferencial dada. 1. 3. 5. 7. 9.

+ + + + + + + + +

y” - 2y’ y = o 4y“ - 4y‘ - 3 y = o y” - 2y’ 1oy = o 3y“ 1 7 ~ ‘ 4y = O 2 5 ~” 2 0 ~ ’ 4y = O

+

+

+

2. 9y” 6y’ y = O 4. 4y“ 12y‘ 9y = o 6. y” - 6y‘ 9y = O 8. 16y” 24y’ 9y = O 10. 2y” 2y’ y = o

+ +

En cada uno de los problemas 11 a 14,resuelva el problema con valorinicial dado. Tracela gráfica de la solución y describa su comportamientopara x creciente.

+ + + +

o,

11. 9y” - 12y’ 4y = 12. y” - 6y’ 9y = O, 13. 9y” 6y’ 82y = O, 14. y ” + 4 y f + 4 y = 0 ,

y(0) = 2, y’(0) = - 1 ~ ( 0= ) O, ~’(0)= 2 ~ ( 0= ) -1, ~ ‘ ( 0= ) 2 y(-1)=2, y’(-l)= 1

En los problemas 15 a 17 se indican otras maneras de encontrar la segunda solución cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas. 15. a) Considere la ecuación y” + 2ay’ + a2y = O. Demuestre que las raíces de la ecuación característica son rl = r2 = -a, de modo queuna solución de la ecuación es b) Aplique la fórmula de Abel [ecuación (7) de la secci611 3.31 para demostrar que el wronskiano de dos soluciones cualesquiera de la ecuación dada es W(x) = ~ ~ ( x ~ Y ’A xy;(x)y,(x) )

= cle-2“x,

en donde c1 es una constante. c) Haga yl(x) = e-ax y aplique el resultado del inciso b) para demostrar que una segunda solución es y2(x) = e-ax. *16. Suponga que rl y r2 son raíces de a r 2 + br + c = O y que rl # r2; entonces exp(rlx) y exp(r2x) soluciones dela ecuación diferencial ay”+ by’ + cy = O. Demuestre que +(x; rl, r2)= [exp(r,x) - exp(r,x)]/(r, - rl) también es una solución de la ecuación para r2 # rl. Entonces considererl como fija y aplique la regla de L‘Hospital para evaluar el límite de 4(x; r l , 12)cuando r2 + rl, obteniéndose de esta manera la segunda solución en el caso de raícesiguales. *17. a) Si ar2 + br + c = O tiene las raíces igualesrl, demuestre que

+

L [ P ] = a(erx)” b(erx)’

+ ce‘” = a(r - r1)2erx.

(1)

Dado que el segundo miembro de(i) es cero cuando r = rI, se concluye que exp(r,x)es una solución de L[y]= ay“ + by‘ + cy = O.

.

..

..

.”

176

Ecuaciones lineales de segundo orden

b) Derive (i) con respecto a r e intercambie la derivación con respectoa r y con respecto a x demostrando en consecuencia que = L[xerx] =

axerx(r- rl)*

+ 2aerX(r- rl).

(ii)

Dado que el segundo miembro de (ii) es cero cuando r = ri, concluya que x exp(r,x) también es una solución de L [ y] = O. En cada uno de los.problemas 18 a 25, aplique el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución de la ecuación diferencial dada.

+ +

18. X*Y” 2xy’ = O, X > O; y,(x) = 1 19. X’Y” 2xy’ - 2 y = O, X >O yl(x) = X 20. “*y‘’ + 3xy’ y = o, x > o; yl(x) = x 21. x2y” - x(x 2)y’ (x 2)y = o, x >O yl(x) = x 22. xy” - y‘ 4x3y = O, x > O; y , ( x ) = senx2 23. (x - 1)y” - xy‘ + y = O, x > 1; y l ( x ) = e+ 24. xZp” - (X - 0.1875)~= O, x >O yl(x) = 25. X*Y” xy‘ (x* - 0.25)~= O, x > O; yl(x) = x-‘’’ sin x

+

+

+ +

+ +

+

26. La ecuación diferencial -

(x

+ N)y’ + N y = o,

en dondeN es un entero no negativo, ha sido analizada por varios autores.’ Una de las razones por las que resulta interesante es que tiene una solución exponencial y una solución polinomial. a) Verifique que una solución es yl(x) = ex. b) Demuestre que una segunda solución tiene la forma y+) = ce“ xNe-x h.Calcule y2(x) paraN = 1 y N = 2; compruebe que, con c = -UN!$

Observe que y-&) es exactamente los N t 1 primeros términos de la serie de Taylor en torno a x = O para ex, es decir, para yl(x). 27. La ecuación diferencial y”

+ S(xy’ + y ) = o

se presenta en el estudio del flujo turbulento deuna corriente uniforme que pasa en torno a un cilindro circular. Verifique que yl(x) = exp(-6x2/2) es una solución, y luego encuentre la solución general en forma de integral. 28. El método del problema 15 puede extenderse a las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables. Si y1 es una solución conocida que no se anula de y ” + &)y’ t q(x)y = O, demuestre que una segunda soluciónyz satisface (y,/yl)’ = W(y,, y2)/y:, en donde W(yl, y,) es elwronskiano de y1 yy,. A continuación, aplique la fórmula de Abel [ecuación (7) de la sección 3.31 para determinar y,.

’T. A . Newton, “On Using a Differential Equation to Generate Polynomials”, An~ericanMarhemafical Monrh(y 61 (1974), pp. 592-601. Ver tambien la bibliografia ahí proporcionada.

3.6

Ecuaciones no homoaéneas: método

177

de los coeficientes indeterminados

En cada uno de los problemas 29 a 32, aplique el método del problema 28 para hallar una segunda solución independientede la ecuación dada.

+

+

29. x2y” 3xy’ y = O, x > 0; yl(x) = X” 30. xy” - y 4x3y = O, x >O y,(x) = sen (x2) 31. (X - 1)y” - xy’ y = O, x > 1; yl(x) = ex 32. x2y” xy’ (xz - v2)y = O, X > O; yl(x) = X -

+

+

+

+

lI2

sen x

Comportamiento de las soluciones cuando x --t OO.Los problemas 33 a 35 se refieren al comportamiento de las soluciones en el límite cuando x + OO. 33. Si a, b y c son constantes positivas, demuestre que todaslas soluciones deay” t by‘ + cy = O tienden a cero cuandox + 00. 34. a) Si a > O y c > O, pero b = O, demuestre que el resultado del problema 33 dejade ser verdadero, pero que todaslas soluciones son acotadas cuandox + m. b) Si a > O y b > O, pero c = O, demuestre que el resultado del problema33 deja de ser cierto, pero que todaslas soluciones tienden a una constante que depende delas condiciones iniciales cuando x + X . Determine esta constante para las condiciones iniciales Y@) = Y, Y’(0) = Y.; 35. Demuestre quey = sen x es una solución de y”

+ (k sen2x)y‘ + (1

-

k cos x sen x)y

=O

para cualquier valorde la constante k . Si O < k < 2, demuestre que 1 - k cos x sen x > O y k2 sen2 x 2 O. Por tanto, observe que aun cuando los coeficientes de esta ecuación diferencial con coeficientes variables son no negativos (y el coeficiente dey’ es cero sólo en los puntos x = O, x, 2rr, . . .), tiene una solución que no tiende a cero cuandox --t x . Compare esta situación con el resultado del problema 33. Por tanto, se observa una situación queno es extraña enla teoria de las ecuaciones diferenciales: ecuaciones aparentemente muy semejantes pueden tener propiedades bastante diferentes.

Ecuaciones deEuler. Aplique la sustitución presentadaen el problema 32 de la sección 3.4 para resolver cada una de las ecuaciones de los problemas 36 y 37. 36.

X*Y”

- 3xy‘

+ 4y = O,

X

>O

31.

X*Y“

+ 2xy’ + 0.25~= O,

X

>O

Ahora se regresará ala ecuación no homogénea

L[Yl

= Y”

+m

y ’

+ q(X)Y

= Y(XL

(1)

en dondep, q y g son funciones (continuas) dadas sobre el intervalo abiertoI. La ecuación

LCY] = Y” + P W Y ’ + &)Y = o, (2) en la que g(x) = O y p y q son las mismas de (l), se llama ecuacih homogénea correspondiente a la ecuación(1). Los dos resultados siguientes describen la estructura de las soluciones de l a ecuación no homogénea (1) y proporcionan una base para construir su solución general.

I78

Ecuaciones lineales de segundo orden

Si se resta la segunda de estas ecuaciones de la primera, se tiene

LIY,])(-x)

~

L[Y,](.4

=

g(xj - g(x) = 0

Sin embargo,

L [ Y , ] -- L[ Yz] = L.[ Y,

~~

YZJ

porque L es un operador lineal, de modo que (5) queda

L[Y,

-

Y,](.xj = o.

(6)

La ecuación (6) establece queY , y Y2 es una solución dela ecuación (2). Por último, dado que todas las soluciones de(2) pueden expresarse como combinaciones lineales deun conjunto fundamenta1 de soluciones, porel teorema 3.2.4, se deduce quel a solución Y , - Y2puede escribirse de esa manera. De donde, la ecuación (3) se cumpley demostración queda completa.

La demostración del teorema3.6.2 se deduce de inmediato a partir del teorema precedente. Observe que(3) se cumple siY , se identifica con unasolución arbitraria de (1) y Y2se identifica con la solución específica Y. A partir de (3) se obtiene en consecuencia

+

4(.Yj - Y ( s j = c,y,(x)

+ c2y2(x),

(8)

que es equivalente al a ecuación (7). Dado que 4 es una solución arbitraria de (l), la expresión del segundo miembro de (7) incluye todas las soluciones de (1); por tanto, es natural darle el nombre de solucirin general de la ecuación (1).

3.6

Ecuaciones no homogéneas; método de los coeficientes indeterminados

179

En palabras algo diferentes, el teorema 3.6.2 afirma que para resolver la ecuación no homogénea (1) es necesario realizar tres cosas: 1.

2. 3.

Hallar la solución general c,y,(x) t c2y2(x)de la ecuación homogénea correspondiente. Esta solución suele denominarse solución complementaria y puede denotarse por Y,(X).

Encontrar alguna solución sencilla Y(x) de la ecuación 110 homogénea. A menudo a esta solución se le menciona como soluciónparticular. Sumar las funciones encontradas en los dos pasos precedentes.

Ya se analizó cómo hallar y,(x), por lo menos cuando la ecuación homogénea (2) tiene coeficientes constantes. Por lo tanto, en el restode esta seccióny en la siguiente, se enfocará la atención en encontrar una solución particular Y(x) de la ecuación no homogénea(1). Son doslos métodos que se analizarán.Se conocen como método de los coeficientes indeterminados y método de variación de parámetros, respectivamente. Cada uno tiene algunas ventajas y algunos defectos posibles.

Método de los coeficientes indeterminados. Este método requiere que se haga una suposición inicial acerca de la forma de la solución particular Y@), pero se dejan los coeficientes sin especificar. La expresión supuesta se sustituye en la ecuación (1) y se intenta determinar los coeficientes de manera que esa ecuación se satisfaga. En caso de buen resultado se encontró una solución de la ecuación diferencial (1) y es posible usarla como la solución particular Y(x).Si no es posible determinar los coeficientes, significa queno existe solución de la forma supuesta. En este caso puede modificarse la suposición inicial e intentar una vez más. La ventaja más importante del método de los coeficientes indeterminados es que su ejecución es directauna vez que se hace la suposición acercalade forma deY(x).Su principal limitación es que es útil fundamentalmente para ecuaciones en las que es fácil escribir de antemano l a forma correcta de la solución particular. Por esta razón, este método suele usarse sólo para problemas en los que la ecuación homogénea tiene coeficientes constantes y el término no homogéneo se restringe unaa clase relativamente pequeñade funciones. En especial, só!o se consideran términos homogéneos que constan de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos. A pesar de estas limitaciones, el método delos coeficientes indeterminados es útil para resolver muchos problemas que tienen aplicaciones importantes. Este método se ilustrará con varios ejemplos y luego se resumirán las reglas para aplicarlo.

Ejemplo 1

Encontrar una solución particularde y"

-

3y' - 4y = 3e2".

(9)

Se busca una función Y tal que la combinación Y"(x)- 3Y'(x) - 4Y(x) sea igual a3e2X.Como la función exponencial se reproduce por medio de la derivación, la forma más razonable de lograr el resultado que se deseaes suponer que Y(x) es algún múltiplo dee2x; es decir, Y ( x ) = Ae2", $3 en donde el coeficiente A aún está por determinarse. Para encontrarA se calculan

Y ' ( x ) = 2Ae'".

Y " ( x ) = 4Ae2",

180

Ecuaciones lineales de segundo orden

y se sustituye en lugarde y, y' y y" en la ecuación (9). Se obtiene (4A

6A

--

-

4A)e2" = 3e2".

De donde, -64 = 3, de modo queA = -112. Por tanto, una solución particular es Y ( x )=

Ejemplo

-y*.

Encontrar una solución particular de y"

Q

%

-

(1 1)

34" - 4y = 2 senx.

8

Por analogía con el ejemplo 1, suponga primero que Y(x) = A sen x, en dondeA es una constante por determinar. AI sustituir en (11) y reordenar los términos se obtiene

c

-5Asenx

A .

-

3 A cos x = 2 senx.

(12)

:* 9

No existe elección de la constanteA que satisfaga la ecuación (12) para toda x, por lo que se concluye que la suposición referente a Y(x) es incorrecta. La aparición del término coseno en (12) sugiere modificar la suposición original para incluir un término cosenoidal en Y(x);es decir, 4 % ;

$ -%

Y(x) = A senx

S&

2* en dondedeben determinarse

"-i

E 'l %&

9.

Y(x)= A

+ R cos x,

A y B. Entonces,

COS

x

-

Y"(u) = - A sen x

R sen x,

2 Al sustituir estas expresiones en lugar de y, y' y y" $ obtiene -j,

-

R cos x.

en la ecuación (11) y agrupar términos se

(-A+38-4A)senx+(-B-3.4-4B)cosx=2senx.

(13)

* S

2Para satisfacer la ecuación (13) es necesario hacer corresponder los coeficientes de sen x y cos x 3de cada miembro de la ecuación; por tanto, A y B deben satisfacer lasecuaciones G;L -5A 3 8 = 2, -3A SR = O .

**

$-

-

y"a De donde,A = -5117 y B = 3/17, de manera que una solución particular de la ecuación (11) es r &

Y(x) =

-

senx +

cos x

Ejemplo 3 2 Encontrar una solución particular de %

'% W T

y" - 3y' - 4y = 4x2.

(14)

S*

Como el segundo miembro de la ecuación (14) es un polinomio, es natural suponer que Y también es un polinomio del mismo gradoo superior. En esta sección se demostrará después que g $ (con ciertasexcepciones) basta suponer que Yesun polinomio del mismo grado queel término no homogheo;por lo tanto, sesupone que

%* "-

8 % m

Y ( x )= Ax2 + Bx

+ C.

%

3 Se sigue que e.

""

Y'(x)= 2 A x

+ B,

Y"(.Y)

=

2A

3.6

Etuaciones no homogéneas:de método

181

los coeficientes indeterminados

Si sesustituyen estas expresiones en lugar y, dey' y y" en la ecuación (14) y se agrupan términos, se obtiene -4Ax2

+ (-6A

-

4B)x

+ (2A - 3B - 4C) = 4x'.

Al igualar los coeficientes de potencias iguales x, dese encuentra queA, B y C deben satisfacer 2A - 3B - 4C = O.

-6A - 4 8 = O,

-4A = 4,

Por tanto, A = -1, B = 3/2 y C = -13/8; de donde, una solución particular de(14) es Y ( x )= -x2

+ ;x

-

9

Los resultados de los ejemplos anteriores sugieren el siguiente principio: si el término no homogéneo g(x) de la ecuación(11) es una función exponencialde eax,supóngase queY(x) es proporcional a la misma función exponencial;si g(x) es sen /1. o cos /1.,supóngase que Y(x) es una combinación lineal de sen y cos fix; si g(x) es un polinomio, supóngase que Y(x)es un polinomio del mismo grado.El mismo principio se aplicaal caso en el que g(x) es un producto de cualesquiera dos o de los tres, de estos tipos de funciones, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Hallar una solución particularde y" - 3y' - 4y =

-

8e" cos 2 x .

(15)

En este casose supone que Y(x) es el producto de ex y una combinación lineal de cos 2.x y sen es decir,

2u;

Y(x) = Ae" cos 2x

+ Be" sen 2x.

En este ejemplo el álgebra es más tediosa, pero se concluyeque Y(x) = (A

+ 2B)e" cos 2x + ( -

Y Y'(x) = ( - 3 A

2A

+ 4B)e" cos 2x + (-4A

+ B)ex sen 2x -

3B)e" sen 2x.

Al sustituir estas expresionesen la ecuación (15) se encuentra queA y B deben satisfacer 1OA + 2B = 8,

2A - 1OB = o.

De donde,A = 10/13 y B = 2/13; por consiguiente, una solución particular de (15) es Y(x) = s e x COS 2x

+ &ex

sen 2x.

Ahora se supondrá que g(x) es la suma de dos términos, g(x) = gl(x) + g&) y que Yl y Y, son soluciones de las ecuaciones ay"

+ by' + cy = g,(x)

(1 6)

ay"

+ by' + cy = g2(x),

(1 7 )

Y

182

Ecuaciones lineales de segundo orden

respectivamente. Entonces,

Y, t Y, es una solución de la ecuación + by' -tcy = g(.x,.

ay"

Y S l)

Para probar esta proposición sustituyay por Y,(.) t Y&) en l a ecuación (18) y aplíquense las ecuaciones (16) y (17). Se cumple una conclusión semejante si g(x) es la suma de cualquier nfimero finito de términos. El significado practico de este resultado es que para una ecuación cuya funciónno homogénea g(x) pueda expresarse como una suma, en vez de ella se pueden considerar varias ecuaciones más simples y después sumar los resultados. El siguiente ejemplo ildstra este procedimiento.

Ejemplo 5

Encontrar una solucih particular de a"

_"

v''

"

8

--

3v'

-

4y

3e'"

=

+ 2 sen x - Se'

(19)

cos 2s.

Al descomponer el segundo miembro de la ecuación (lY) se,obtienen las tres ecuaciones

En los ejemplos 1, 2 y 4, respectivamente, se han encontrado las soluciones de estas tres ecuaciones. Por lo tanto, una solución particular de (19) es su suma; a saber,

i'

Y(s) =

-

:e2'

+ i?; COS

Y - +?

sen x +

cos 2x

+ ,$ex

sen 2 x.

El procedimiento que acabade describirse e ilustrarse en los ejemplos anteriores permite resolver una gran clase de problemas de manera razonablemente eficiente. Sin embargo, existe una dificultad que se presenta algunas veces. En el siguiente ejemplo se ilustra cómo surge esta dificultad.

Ejemplo 6

Hallar una soluciónparticularde 2-

-

S

' if i

,,

~- 4

=

(3

~ x ,

(20)

Procediendo comoen el ejemplo 1, se supone queY(x)= Ae-*. Al sustituir en la ecuación (20),

9-

d_

3y

(A

+ 3.4

- 4 . 4 ) ~ ~=~P - .'.

(21)

Dado que el coeficiente de e-* del primer miembro de (21) es cero, es imposible resolver esta ecuación para A . Por consiguiente,se concluye que no existe solución dela ecuación (20) conla forma supuesta. Se aclarala razón de este resultado posiblemente inesperado si se resuelve la ecuación homogénea

2-

'.L

I B

-

3y'

-

4y = o

122)

que corresponde la a (20). Las raíces de la ecuación característica asociada son ri = 4 y r2 = -1, por lo que un conjunto fundamentalde soluciones de la ecuación (22) son y,(.x) = e4* y y2(x>= P .

<

3.6 Ecuaciones no homogéneas;de método

los Coeficientes indeterminados

183

' 4 Ahora seve que la solución particular supuesta de l a ecuación no homogénea (20) es en realidad S !? ,- una solución de la ecuación homogénea (22). Como se vio, l a sustitución de esa función en el 2 primer miembro del a ecuación (20) da cero, lo que imposibilita balancear el tCrmino diferente de cero del segundo miembro de la (20). Por l o tanto, para encontrar una solución de (20) se necesita considerar funciones de una forma algodiferente. L a función más simple, apartede la propia e-' que al ser derivada product: ;;: un término e'%, es ex-x.Por tanto, podría intentarse con Y(x)= (Ax + B)e". Sin embargo, no es 9 # necesario el término B O , ya que es una solución de la ecuación homogénea correspondientey & no ayuda a resolver la ecuación no homegénea. De donde, se supone queY(.r)=Axe-'. Entonces,

$ '%

'_

6

2,Si se sustituyen estas expresiones en la ecuación (20) y se agrupan términos,se cwuentra que :j. [(AX + 3 A x - 4A.y) + ( - 2 4 - 3.4)Ie = Y & !"

',

@

Por consiguiente,A = -1/5 y una solución particularde (20) es

?%!

p

Y ( x )=

-:.Ye

x.

El resultado del ejemplo 6 sugiere una modificación del principio antes enunciado: si a1 forma supuesta dela solución duplica a una solución dela ecuación homogénea correspondiente, entonces modifiquel a solución particular supuesta multiplicándola porx . Algunas veces esta modificaciónes insuficiente para eliminar todaslas duplicaciones de las soluciones de la ecuación homogénea, en cuyo caso es necesario multiplicar por x por segunda vez. Para una ecuaciónde segundo orden, jamás será necesario llevarel proceso m8s adelante de lo expuesto. A continuación se resumen los pasos que intervienen enla solución general deuna ecuación no homogénea de la forma ay"

+ by' + c y = g(x),

423)

en donde los coeficientes a, b, y c son constantes.

1. 2.

3.

Encontrar la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. Comprobar que la función g ( x ) de la ecuación (23) pertenece a la clase de funciones analizadas en esta sección; es decir, que sólo contenga funciones exponenciales, senos, cosenos, polinomios o sumas o productos de estas funciones.Si este no es el caso, aplicar el método de variación de parámetros (que se analiza enla siguiente sección). Si g ( x ) = gl(x) t .. . t g,(x); es decir, sig(x) es una suma de n términos, entonces forma n subproblemas, cada uno de los cuales contengesólo uno de los términos g,(.x), , . . g,,(x). El i-Csimo subproblema consiste en la ecuacidn ay"

4.

+ by' + cy = gi(x),

en donde i va de 1 hasta n. Para el i-ésimo subproblema, suponer una solución particular Y,(x) que conste de l a función exponencial, seno, coseno, polinomio adecuadoo una combinación dc ellos. Si enl a forma supuesta de?(x) existe alguna duplicacibn de las soluciones de la ecuación homogénea (halladas en el pasol),multiplicar Y,(.) por x, o (si es necesario) por x2,para eliminar la duplicación. Ver la tabla 3.6.1.

184

Ecuaciones lineales de segundo orden

+ by' + c y = g;(x)

TABLA 3.6.1 SOLUCIóN PARTICULAR DE ay"

P,(x)e"

sin fix cos px

+

+ + + +

xS[(AOxn A1x'"' . . . A,)ea" cos fix (Box" Blx"-l . . . &)eu sin j x ]

+

+

Notas: Aquí es el menor entero no negativo (S = O, 1 ó 2) que asegura que ningún término de Y,(x) sea una solución de la ecuación homogénea correspondiente. De manera equivalente, para los tres casos, S es el número de veces que O es una raíz de la ecuación característica, (Y es una raíz de esa ecuación y (Y + ip es una raíz de la misma, respectivamente.

5.

6.

Hallar una solución particularY ; ( . )para cada uno delos subproblemas. Entonces, la suma Yl(x)+ . . * t Y,,@)es una solución particularde toda la ecuacicin no homogénea (23). Formar la suma de la solución general de la ecuación homogénea (paso 1) y la solución particular dela ecuación no homogénea (paso5). Esta es la solución general de la ecuación no homogénea.

El método delos coeficientes indeterminados es autocorrectivo en el sentido de que sise supone demasiado poco respecto Y@), a pronto se llega a una contradicción que suele indicar el camino hacia la modificación necesaria en la forma supuesta. Por otra parte, si se supone demasiado, entonces se realiza innecesariamente algún trabajo adicional y algunos coeficientes resultan ser cero, pero porlo menos se obtiene la respuesta correcta.

Ejemplo 7

Escribir la forma de una solución particularde y''

"i

+ 4y = x 2 e -

3x

sen x

-

x sen 2x.

(24)

En primer lugar se observa quela solución de la ecuación homogénea correspondiente y'' y = c1 cos 2x

+ c2 sen 2x.

+

(25)

Luego se observa que el segundo miembro dela ecuación (24) cae en lo que cubre el métodode los coeficientes indeterminados, como se presentó en el texto. Se forman los dos subproblemas y"

*

y"

+ 4y = x2e"x

sen x

+ 4 y = "x sen 2x.

El segundo miembro de la (26) consta de un producto de un polinomio cuadrático, la misma función exponencialy un seno, por lo que se suponeuna solución particularYl(x)en l a forma de un producto de un polinomio cuadrático, la misma función exponencial y una combinación lineal de los correspondientes seno y coseno. Por tanto, se supone que Y,(x)= (Ax' + Bx + C)e-3x cos x + (DX' + Ex + senx. (28) Ninguno de estos términos duplicala solución (25) de la ecuación homogénea,por lo que no es necesario modificar la suposición inicial.

3.6 Ecuaciones no homogéneas;de método

185

los coeficientes indeterminados

El segundo miembro dela ecuación (27)es un producto deun polinomio de primer grado y

un seno, de modo que inicialmente se supone una solución particular Y2(x) para esta ecuación de la forma Y2(x)= (Gx

+ H)cos 2x + (Jx + K)sen 2x.

(29)

Sin embargo, algunosde los ttrminos deesta Y2(x)son los mismos quelos de la solución (25) de la ecuación no homogknea, de manera que es necesario multiplicar por x a fin de obtener la forma correcta para la solución particular dela ecuación (27); a saber,

+ Hx)cos 2x + (Jx2 + Kx)sen 2x.

Y2(x) = (Gx2

(30)

Los coeficientes A, . . ., K de Yl(x) y Y#) se encuentran como de costumbre, al sustituir las expresiones de las ecuaciones (28) y (30) en las (26) y (27), respectivamente. Una vez que se han determinadolos coeficientes, la solución general dela ecuación (24) es la suma de las funciones dadas porlas ecuaciones (25), (28) y (30). Pueden elegirselas constantes arbitrarias c1 y c2 de esta solución de modo que satisfagan cualquiera de las condiciones iniciales dadas.

Demostración del método de los coeficientes indeterminados. En el análisis anteriorse describió el método de los coeficientes indeterminados con base en varios ejemplos. Para probar que el procedimiento siempre funciona como se afirmó, a continuación se da un argumento general en el que se consideran varios casos correspondientes a formas diferentes del término no homogéneog(x). g(x) = P,,(x) = aoxn+ a,x""

+

t a,,. En este caso, la ecuación

+ .

ay" t by' t cy = U,X" t a 1 P *

*

*

(23) queda

t U,.

(31)

Para obtener una solución particularse supone que Y ( x ) = Aox"

+ Alxn"' + . + A , - 2 ~ +2 A , - l x + A,. 1

.

(32)

Si se sustituye en la ecuación (31), se obtiene

+ b(nA,x"-' + . . . + A,- ,) + c(A,x" + A 1 x " - l + ' . . + A,) = a0xn+ . . . + a,.

a[n(n - ~ ) A , X " + - ~ . + 2A,-,]

(33)

Si se igualan los coeficientes de las potencias iguales da CA, = a,, cA,

cA,

+ nbA, = U , ,

+ bA,- + 2aA,-

= a,.

Siempre quec # O, la solución de la primera ecuación Aes, = a,/c, y las ecuaciones restantes determinanA,, . . . , A , de manera sucesiva. Sic = O, pero b # O, entonces el polinomio del primer miembro dela ecuación (33) es de gradon - 1 y no es posible que esta ecuación se satisfaga. A fin de tener la certeza de queaY"(x) t bY'(x) es un polinomio de gradon, debe elegirse Y(x) para que seaun polinomio de gradon + 1. De donde, se supone

Y ( x )= x(A,x"

+ . . . + A,).

186

Ecuaeiones orden lineales de seaundo

En esta expresión no hay término constante para Y(x),pero no es necesario incluir ese término, ya que, cuando c = O, una solución de la ecuación homogénea es una constante. Como b # O, se tiene que A, = ao/b(n+ l), y pueden determinarse los demás coeficientes A,, . . . , A,, de manera semejante. Si c y b son cero, se supone que Y(.) = X2(A0X"

+

' '

.

+

/Ifl).

El término aY"(x) da lugar a un término de gradon y es posible proceder como antes. Una vez más, se omitenlos términos constante y lineal deY@), ya que en este casolos dos son soluciones de la ecuación homogénea. g(x) = e""P,(x). El problema de determinar una solución particular de ay"

+ by' + cy = eaxPn(x)

puede reducirse al caso precedente por simple sustitución. Sea

Y ( x )= eaxu(x); entonces

+

Y'(.) = e a x [ u ' ( x ) cxu(x)]

Y

+

Y " ( x )= eux[u"(x) 2xu'(x) + a2u(x)]. Si se sustituyen en lugar de y, y' y y'' de la ecuación (34), se cancela el factor eax y se agrupan términos, se obtiene UU"(X)

+ ( 2 ~ +a b)u'(x)+ (aa2 + ba + C ) U ( X ) = P,(x).

(35)

La determinación de una solución particular de la ecuación (35) es precisamente el mismo problema, excepto por las denominaciones de las constantes, que de el resolver la (31). Por 10 tanto, si a a 2 + b a + c es diferente de cero, se supone que u(x) = Aoxn + . . . + A,,; de donde, una solución particular de la ecuación (34) es dela forma

+

+

Y ( x ) = enx(AOxn A,x""

+ An).

.

(36)

Por otra parte, usia 2 + ba + c es cero, pero2 u a t b no lo es, debe tomarseu(x) con la forma x(Aox" + . * . +A,). La forma correspondiente deY(x) es x veces la expresión del segundo miembro de(36). Debe hacersenotar que siacy2 t ba t c es cero, entonceserrxes una solución de la ecuación homogénea. Si tanto a a 2 + ba + c como 2 a a + b son cero(y esto implica que eax y xe" son soluciones dela ecuación homogénea), entonces la forma correcta u(x) de es x2(Aoxn+ . . t A n ) ;de donde, Y(x)es x 2veces la expresión del segundo miembro de(36). g(x) = emxPn(x)cosj?x o emxP,(x)senBx. Estos dos casos son semejantes, de modo que

sólo se considerará el último. Este problema puede reducirse al precedente si se observa que, como consecuencia de la fórmula deEuler, sen P x = - e"px)/2i. De donde, g(x) es de la forma y(x) = p n (x) -

e(a + iOJx

- e(*- iPJx

~." _ ~~~

2i

~~

3.6

187

de los coeficientes indeterminados

Ecuaciones no homogéneas; método

y debe elegirse y ( x ) = ,(a+ig)x(Aoxn+ . . . + A,) + g('"S)'(B,x"

+.. + B

)

n r

o, de manera equivalente, y ( x ) = eax(Aoxn + . . . +

cos px + eax(B,xn + . . + B , , W Px.

Por lo general, se prefiere la última forma. Si (Y k ip satisface al ecuación característica correspondiente a la ecuación homogénea, por supuesto es necesario multiplicar cada uno de los polinomios porx para incrementar sus grados en uno. Si la función no homogénea comprende tanto a cos fix como a sen fix, suele ser conveniente tratar juntos estos términos, ya que cada uno por separado puede dar a lugar a la misma forma de una solución particular. Por ejemplo, si g(x) = x + 2 cos x, p(entonces la forma de Y(x) sería Y ( x ) = (Aox

+ A , ) s e n x + ( B o x + B,)cos x ,

en el supuesto de que senx y cos x no sean soluciones dela ecuación homogénea.

En cada uno de los problemas 1 a 12, halle la solución de la ecuación diferencial dada.

+ + + + + + + + + +

1. y" - 2y' - 3y = 3e2" 2. y" 2y' 5y = 3 sen 2x 3. y" - 2y' - 3y = - 3 ~ e - ~ 2y' = 3 4 sen 2x 4. y" 5. y" 9y = x2e3" 6 6. y" 2y' y = 2e-" 7. 2y" 3y' + y = x z 3 senx 8. y" y = 3 sen 2x x COS 2x 9. u/' w;u = cos wx, u2 # w; 10. u" wu ; = cos o c x 11. y" Y' 4y = 2 senh x Sugerencia: senh x = (ex - e-")/2 12. Y" - y' - 2y = cash 2x Sugerencia:cosh x = (e" e.-")/2

+ + +

+

+

+ +

En cada uno de los problemas 13 a 18, encuentre la solución del problema con valor inicial dado. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

+ +

y" y' - 2y = 2x, y(0j = O, ~ ' ( 0 = ) 1 y" 4y = x2 3e", y(0) = O, y'(0) = 2 y" - 2y' y = xe" 4, y(0) = 1, y'(0) = 1 y" - 2y' - 3y = 3xe2", y(0) = 1, y'(0) = O y" 4y = 3 sen 2x, y(0j = 2, y'(0) = - 1 y" 2y' 5y = 4e-" cos 2x, y(0) = 1, y'@) = O

+ +

+

+

+

+

En cada uno de los problemas 19 a 26, determine una forma adecuada para Y(x) si ha de aplicarse el método de los coeficientes indeterminados.No evalúe las constantes. 19. y" 20. 21. 22. 23. 24.

+ +

+

+

3y' = 2x4 x2e - 3 x sen 3x y" y = x(1 senxj y" - 5y' 6y = ex cos 2x e2"(3x 4)senx y" 2y' 2y = 3e-" 2e-" cos x 4e-"x2 sen x y" - 4y' 4y = 2x2 4xe2" x sen 2x 4y = x 2 sen 2x (6x 7)cos 2x y"

+ +

+ + +

+

+

+ + + + +

+ +

188

Ecuaciones lineales de segundo orden 25. y” 26. y“

+ 3y’ + 2y = ex(x2 + 1)sen 2 x t 3e-” cos x + 4ex

+ 2y‘ + 5y = 3xe-” cos 2x

-

2 x e ~ cos ~”x

27. Determine la solución general de

+ A2y = 1 a , sen m m , N

y”

m= 1

e n d o n d e l > O y A # m n p a r a m = l , ..., N. 28. En muchos problemasfísicos la función de entrada(es decir, el término no homogéneo) puede especificarse mediante diferentes fórmulas en distintos periodos. Como ejemplo, determine la solución y= 4(t)de

que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = O y y‘(0) = 1. Suponga quey y y‘ también son continuas en t = n. Trace la gráfica del términono homogéneo y de solución como funciones del tiempo.Sugerencia: Primero resuelva el problemacon valor inicial para t 5 A ; luego paray > n, determinando las constantes dela última solución apartir de las condiciones de continuidaden t = n. 29. Aplique el método indicado enel problema 28 para resolver la ecuación diferencial

con las condiciones iniciales y(0) = O y y’@) = O.

Comportamiento de las soluciones cuandox -+ M. En los problemas 30 y 31 se continúael análisis iniciado con los problemas 33 a 35 de la sección 3.5. Considere la ecuación diferencial ay”

+ by’ + c y = g(x),

(i)

en donde a , b y c son positivos. 30. Si Y,(x)y Y2(x)son soluciones de la ecuación (i), demostrar queYl(x)- Y2(x) O cuando x --$ m. ¿Es verdadero este resultado si b = O? 31. Si g(x) = d, una constante, demostrar que toda solución (i) de tiende adlc cuando x m. ¿Qué sucede si c = O? ¿Qué sucede si también6 = O? 32. En este problema se indicaun procedimiento alternativo’para resolver la ecuación diferencial +

-+

y”

+ by’ + CY

=

(O2+ bD

+ c ) y = g(x),

(i)

en donde b y c son constantes y D denota derivación con respecto ax. Sean r , y r2 los ceros del polinomio característico la deecuación homogénea correspondiente. Estas raíces pueden ser números reales y diferentes, reales e igualeso complejos conjugados.

* R. S. Luthar, “Another

Approachto a StandardDifferential Equation”, Two Year CollegeMathemaricsJournal 10 (1979), pp. 200-201; ver t a m b i h el artículo de D. C. Sandell y F. M. Stein, “Factorizationof Operators of Second Order Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations”, Two Year College Marhematics Journal 8 (1977), pp. 132-141, respecto a un análisismás general de la factorizaci6n de operadores.

ámetros

3.7

189

Variación de

a) Compruebe que (i) puede escribirse enla forma factorizada

(D- '1)P

- 'AY = g ( 4 ,

en donde r , + r2 = - b y r1r2 = c. b) Sea u = (D- r2)y. Demuestre que la solución (i) de puede encontrarse al resolver las dos ecuaciones de primer orden siguientes:

(D - rl)u = g(x),

(D- ,')y = u(x).

En cada uno de los problemas 33 36,aaplique el método del problema 32 para resolver la ecuación diferencial dada. 33. y" - 3y - 4y = e2* (ver el ejemplo 1) 34. 5"+ 3y' + y = x 2 t 3 sen x (ver el problema 7) 35. y" + 5' t y = 2 c X (ver el problema 6 ) 36. y" + 2y' = 3 + 4 sen 2x (ver el problema 4)

3.7 Variación de parámetros En esta sección se describe otro método para hallar una solución particular de una ecuación no homogénea. Este método, conocido como variación de parhmetros, se debea Lagrange y complementa bastante bien el método de los coeficientes indeterminados. La ventaja más importante de la variación de parámetros es que se trata demétodo general; en principio, por lo menos,es posible aplicarlo a cualquier ecuacióny no requiere suposiciones detalladas respecto a la forma de la solución. De hecho, más tarde en esta sección se aplica este método con el fin de obtener una fórmula para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea arbitraria de segundo orden. Por otra parte, el método de variación de parámetros al final requiere la evaluación de ciertas integrales en las que interviene el término no homogéneo de la ecuación diferencial, lo cual puede presentar dificultades. Antesde considerar este método en el caso general, se ilustrará su aplicación con un ejemplo.

Ejemplo 1

Encontrar un solución particular de y"

+ 4y = 3 csc x.

Observe que este problema no cae dentro de los límites del método delos coeficientes indeterminados porque el término no homogéneo g(x) = 3 csc x contiene un cociente (en vez de una suma o un producto) de sen x o de cosx. Por consiguiente, se necesita un enfoque diferente. Observe también quela ecuación homogénea correspondiente (1) a es y"

+ 4y = o,

y que la solución general de(2) es y,(x) = c1 cos 2x

+ c2 sen2x.

(2)

orden190

segundo

de

lineales

Ecuaciones

La idea básica en el métodode variación de parámetros es sustituir las constantesc1 y c 2 de la ecuación (3) por las funciones ul(.x) y u,@), respectivamente, y después determinar estas funciones de modo quela expresión resultante

Y = uL(x)cos Zx

+ u z ( x )sen 2x

(4)

sea una solución de la ecuación no homogénea (1). Para determinar ul y .u2es necesario sustituir y de la ecuación (1) por su expresión dada en (4). Sin embargo, inclusosln llevar a cabo esta sustitución es posible anticipar que el resultado será una sola ecuación que comprenda alguna combinación de u1y u2 y sus dos primeras derivadas. Dado que se tiene una sola ecuación y dos funciones desconocidas, es de esperar que existan muchas posibilidadespara uI y u2 que satisfagan las necesidades.Un punto devista alternativo es quepuede imponerse una segunda condición que se desee,para obtener así dosecuaciones para las dos funciones desconocidas uI y u2. Pronto se demostrará (siguiendo a Lagrange) que esposible elegir estasegunda condición de una manera que se hagan a los cálculos marcadamente más eficientes. Si se regresa ahora a la ecuación (4), se deriva y se reagrupan los términos, se obtiene

#

,p-+

~

~- u ,(x)

2

sen 2x -t2u2(x)COS 2x

+ u',(x) C O S 2~ + u;(x) sen 2x

(5)

Si setiene presente la posibilidad de elegir una segunda condición sobre ul y u2, se requiere que los dos últimos términos del segundo miembro de(5) sean cero; esdecir, que u;(x) COS

2x

+ u;(x)sen

2x = O.

(6)

Entonces, de la ecuación (5) se concluye que 4' = - ~ u , ( x sen ) 2x

+ ZU,(X) COS 2

~ .

(7)

Aunque el efecto final de la condición (6) aún no es evidente, por lo menos se simplifici, la expresión para y'. Además, al derivar la ecuación (7) se obtiene

Y" = - ~ u , ( x ) COS 2x

-

~ u , ( x sen ) 2.x - ~ U ' , ( X ) sen 2x

+ ~u;(x)COS 2x.

(8)

Entonces, si se sustituyen y y y" de la ecuación (1) por sus expresiones dadas en (4) y (8) respectivamente, se encuentra que u1 y u2 deben satisfacer 2x

-2u',(x) sen

+ ~u;(x)COS 2~ = 3 csc X.

(9)

Resumiendo los resultados hasta este momento, se desea elegir u , y u2 de modo que sesatisfagan las ecuaciones (6) y (9). Estas ecuaciones pueden considerarse como un par de ecuaciones 3; algebraicas lineales para las dos cantidades desconocidas .;(x) y .;(x). (6) y (9) pueden resol$ verse de varias maneras. Por ejemplo, si se despeja .;(x) en (6), se tiene *?

1"

U>(.)

Luego, si sesustituye .;(.x)

= "u' l b )

COS

2.u

"

sen 2x

de la (9) por esta expresión y se simplifica, se obtiene u;(.u) =

~

3 csc x sen 2x = 2

-

3 cos s .

I11 )

Además, si se sustituye esta expresión para u;(x) en la ecuación(10) y se aplican las fórmulas para el doble de un ángulo, se encuentra que

3.7

191

Variación de parámetros 3 cos x cos 2x sen 2x

u;(x) = ___

-

3( 1 - 2 sen2x) 3 - - csc x - 3 sen x 2 sen x 2

Una vez que se obtuvieron u;@) y u;(x), .;(x). El resultado es uI(x)=

el paso siguiente es integrar para obtener .;(x) y -3senx+cl

(13)

Y u2(x)=

3 In lcsc x - cot x[ + 3 cos x + c2.

(14)

Por último, al sustituir estas expresiones en la ecuación (4), se tiene y =

-3

sen x cos 2x

+ c,

COS

2x

+ 2 Inlcsc x

-

cot x/sen 2x

+ 3 COS x sen 2x

+ c2 sen 2x

(15)

Los términos de la ecuación (15) en los que aparecen las constantes arbitrarias c1 y c2 son la solución general dela ecuación homogénea correspondiente, mientras quelos demás términos son una solución particular de la ecuación no homogénea (1). Por lo tanto, (15) es la solución general de la ecuación (1).

En el ejemplo anterior pudo aplicarse bien el método de variación de parámetros en la determinación de una solución particulary, por lo tanto, de la solución general de la ecuación (1). La siguiente pregunta es si este método puede aplicarse de manera eficaz a una ecuación arbitraria. Como consecuencia. se considera Y ’ $+ P W Y ’

+ &)Y

=Y

W

(16)

9

en dondep , q y g son funciones continuas dadas. Como punto de partida, se supone que se conoce la solución general

Y b ) = C,Y,(X)

+ C2Y,(X)

(1 7 )

de la ecuación homogénea correspondiente

y”

+ p(x)y’ + q(x)y = o.

(18)

Esta es una suposición importante porque hasta el momento se ha mostrado cómo resolver la ecuación(18) sólo si tiene coeficientes constantes. Si tiene coeficientes que dependen de x entonces, por lo general, para obtener y,(x) deben aplicarse los métodos se que describen en el capítulo5. La idea decisiva, como se ilustra en el ejemplo 1,es sustituir las constantesc1 y c2 de la ecuación (17) por las funciones ul(x)y u2(x), respectivamente; esto da Y = U l ( X ) Y l ( X ) + UZ(X)Y2(X).

(19)

A continuación se intenta determinaru,(x) y u&) de manera que la expresión de (19) sea una solución dela ecuación no homogénea (16), en lugar de serlo de la ecuación homogénea (18). Por tanto, se deriva la (19) y se obtiene

”

Y’ = u;(x)Yl(x) ul(X)Y;(x)+ u;(x)Y,(x)

.

+ uz(X)Y;(x).

(20)

192

lineales

Ecuaciones orden

de segundo

Como en el ejemplo 1, ahora se igualan a cerolos términos de la ecuación (20) en los que aparecen .;(x) y uS(x); es decir, se requiere que u;(x)Yl(x)+ u;(x)Y,(x) = 0.

(21)

En seguida, con base en(20), se tiene

Además, al derivar una vezmás se obtiene

+ U l ( X ) Y ; ‘ ( X ) + u>(x)yL(x)+ u,(x)yY(x).

Y” = u;(x)y;(x)

(23)

Ahora se sustituyeny,y’ y y” de la ecuaci6n (16) por sus expresiones dadas en(19), (22) y (23), respectivamente. Después de reordenar los términos de la ecuación resultante se encuentra que

Cada una de las expresiones entre corchetes de la ecuación (24) es cero porque tanto yI como y 2 son soluciones dela ecuación homogénea (18). Por consiguiente, (24) se reduce a u;(x)Y;(x)+ u;(.)y;(x) = g(4.

(23

Las ecuaciones (21) y (25) forman un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales para las derivadas U;(X) y u@) de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones corresponden exactamente a las(6) y (9) del ejemplo 1. Al resolver el sistema (21), (25) se obtiene

y, y y2. Observe que es permisible dividir entre W, en donde W(y,, y a ) es el wronskiano de porquey, y y 2 son un conjunto fundamentalde soluciones y, por lo tanto, su wronskiano es diferente de cero. AI integrar las ecuaciones (26) se encuentran las funciones deseadas uI(x) y u2(x); a saber,

Por último, si se sustituyen las expresiones (27) en la ecuación (19) da la solución general de la ecuación (16). Este resultado se enuncia como un teorema.

3.7

193

Variación de parámetros

Al examinar la expresión(28) y repasar el proceso mediante el cual se obtuvo, es posible observar que pueden presentarse dos dificultades importantes al aplicar el método de variación de parámetros. Como ya se mencionó, unaes la determinación y,(x) y y2(x), un conjunto fundamental de soluciones dela ecuación homogénea (18), cuando los coeficientes de esa ecuación no son constantes. La otra dificultad posible está en la evaluación de las integrales que aparecenen la ecuación(28). Esto depende por completo dela naturaleza de las funcionesy,, y, y g. Por supuesto, aun si no es posible evaluar las integrales por métodos analíticos elementales, por lo común es posible calcularlas de manera aproximada mediante la regla de Simpson o algún otro procedimiento numérico. Al aplicar el método de variación de parámetros se recomienda seguir el procedimiento que acaba de presentarse, en vez de intentar memorizar la ecuación(28). Por otra parte, sise usa esta fórmula, es necesario tener la seguridad de que la ecuación diferencial es exactamente de la forma(16); en caso contrario, no se identificará de manera correcta el término no homogéneo g(x). En el ejemplo siguiente se ilustra nuevamenteel método de variación de parámetros.

Ejemplo 2

Comprobar quey,(x) = x y y2(x) = l/x son soluciones de x2y” + xy’ -y = o, y, a continuación determinela solución general de

x2y“txy’-y=xInx

(3 1)

para x > O. Para comprobar que las funciones dadas son soluciones de laecuación (30),pueden sustituirse simplemente estas funcionesen la ecuación y observar si se satisface. Por ejemplo,para y,@) = l/x, se tiene y@) = -1x2 y y’Jx) = 2/x3. Si se sustituyenestas expresiones en (30) se encuentra que (2/x) - (l/x) - (l/x) = O, lo cual evidentemente es cierto para toda x, excepto x = O. De manera semejante, es fácil comprobar quey1 también es una solución. Si se regresa ahora a la ecuación no homogénea (31), primero se observa que no es de la forma (16) porque el coeficiente de y” no es uno. Por tanto, se divide la ecuación entre x2 y vuelve a escribirse como

194

de

Ecuaciones lineales

segundo orden

Ahora es posibleidentificar (1 n x)/x con el término no homogéneo g(x) de l a ecuación (16). Para resolver (32) se supone que y = u,(.x)x

+ U2(X)X"

(33)

y se procede como en el ejemplo 1 y el anrilisis general que siguea l a ecuación (16). Las ecuaciones que determinan a u,'(.) y a .;(x) son U;(x)x U',(S)

+ u;(x)x- ' = o,

+ &(x)(

"x - 2 )

=

In .x

(34)

x

La solución del sistema de ecuaciones (34) es

Entonces, se concluye que

Por último, si se sustituyen estasexpresiones en la ecuación (33) se obtienela solución general de la (32); a saber, 11 =

:.x(In

,y)z -

x.:

In

x

+ c,x + c 2 x -

(37)

I.

Observe que enel producto u2(xk" hay un término x/$ que quedó absorbido en el término c,x.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 4 aplique el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada. A continuación, compruebe la respuesta mediante l a aplicacirin del método de los coeficientes indeterminados.

En cada uno de los problemas S a 12, encuentre la solución general de laecuación diferencial dada. En los problemas 11 y 12, g(x) es una función continua arbitraria. 5. y" 7. 1 , ' '

+ y = tan .Y, + 4)'' + 4).

+

= .y

O < .x < TC 2 ~

?C>

Y. 4y" y = 2 sec(x,'2), 1 l . y" - 5f hy = S ( i )

+

~

j-v,

.Y

<

"71

>o x O y sen 6 < O, por lo que 6 está en el cuarto cuadrante; a saber,

6 = -arctan (&/4)

-0.40864 rad.

En la figura 3.8.4 se muestra la gráfica de la solución (20).

Vibraciones libres amortiguadas. Si se incluye el efecto del amortiguamiento, la ecuación diferencial que rige el movimiento de la masa es

(21)

mu" t yu' t ku = O.

Se tiene interés especial en examinarel efecto de las variacionesen el coeficiente de amortiguamiento y para valores dados de la masam y la constante de resortek. Las raíces de la ecuación característica correspondiente son

Dependiendo del signo dey2- 4km, la solución u tiene alguna de las formas siguientes:

Como m, y y k son positivos, entonces y2 - 4km siempre es menor quey2. Por tanto, si y2 - 4km 2 O, entonces los valores der , y r2 dados por la ecuaci6n(22) son negativos. Si y2 - 4km < O, entonces los valores de r , y r2 son complejos, pero con la parte realnegativa. De donde, en todos los casos, la solución u tiende a cero cuando t m; esto ocurre sin importar los valores de las constantes arbitrarias A y B; es decir, sin importar las condiciones iniciales. Esto confirmala expectativa intuitiva; a saber, que el amortiguamiento disipa de manera gradualla energía impartida inicialmenteal sistema y, en consecuencia, el movimiento se extingueal transcurrir el tiempo. El caso más importante es el tercero, que ocurre cuando el amortiguamiento es pequeño. Si se hace A = R cos 6 y B = R sen 6 en la ecuación (25), entonces se obtiene "+

u =

cos@ - 6).

El desplazamiento u está entre las curvas u = k Re -yti2m; de donde, se semeja a una onda cosenoidal cuya amplitud disminuye cuando t crece. En la figura3.8.5 tiene la gráfica deun ejemplo típico. El movimiento se denomina oscilación amortiguada o vibración amortiguada.

204

de

Ecuaciones lineales

segundo orden

U A

f R cos 6

I

1

FIGURA 3.8.5 Vibración amortiguada; u = Re-yt/zmcos(p- 6). Aunque el movimiento no es periódico, el parámetro pdetermina la frecuencia a la quela masa oscila de un lado a otro; como consecuencia p se llamacuasifrecuencia. Al comparar p con la frecuencia wo del movimiento no amortiguado, se encuentra que

en dondel a última aproximación es válida para y pequeño. Por tanto, el efecto deun amortiguamiento pequeño es reducir ligeramente la frecuencia de la oscilación. Por analogía con la ecuación (18), la cantidad Td = 2n/p recibe el nombre de cuasiperiodo, y es el tiempo que transcurre entre máximos o mínimos sucesivos de la posición de la masa, o entre pasos sucesivos dela masa por su posición de equilibrio al ir en la misma dirección. La relación entre Td y T se expresa por

Por tanto, el amortiguamiento pequeño incrementael cuasiperiodo.

Las ecuaciones (26)y (27) también refuerzan el significado de la razón adimensional y*/ 4km. No es sólo la magnitud de y lo que determina si el amortiguamiento es grande o pequeño, sino la magnitud de y2en comparacióncon 4km . Si y2Í4km es pequeña, entonces es posible despreciar el efecto del amortiguamiento al calcular la cuasifrecuencia y el cuasiperiodo del movimiento. Por otra parte, si se desea estudiar el movimiento detallado de la masa para todo el tiempo, entonces nunca es posible despreciar l a fuerza de amortiguamiento, sin importar cuán pequeña sea. Cuando y2/4km crece, la cuasifrecuencia decrece, el cuasiperiodo aumenta y la amplitud R exp(-yt/2m) disminuye cada vez con mayor rapidez. Como lo indican las ecuaciones (23), (24)y (25),la naturaleza de la solución cambia cuando y alcanza el valor de2 v G Este valor se conoce comoamortiguamiento crítico, mientras que para valores mayores de y se dice que el movimiento es sobreamortiguado. En estos casos, dados por las ecuaciones (24) y (23),respectivamente, la masa regresa lentamente a su posición de equilibrio, pero no oscila alrededor de ésta, como sucede para y pequeño. En la figura 3.8.6 se muestran dos ejemplos típicos del movimiento críticamente amortiguado y en los problemas 21 y 22 se analiza la situación con más profundidad.

3.8

205

Vibraciones mecánicas y eléctricas

-1

-

Figura 3.8.6 Movimientos críticamente amortiguados:u" (A + Bt)e"I2.

Ejemplo 3

+ u' + 0 . 2 5 ~= O; u =

El movimiento de cierto sistema resorte-masa está regido por la ecuación diferencial u"

+ 0.1254' + u = O,

(28)

en donde u se mide en pies y t en segundos. Si u(0) = 2 y u'(0) = O, determinar la posición de la masa en cualquier instante. Encontrar también la cuasifrecuencia y el cuasiperiodo, así como el instante en el que lamasa pasa por vez primera por su posición de equilibrio. La solución de la ecuación (28) es

Para satisfacer las condiciones iniciales es necesario elegir A = 2 y B = 2/*; solución del problema con valor inicial es

de donde, la

de modo que 6 3 0.06254. En la figura 3.8.7 se muestra el desplazaen donde tan 6 = U&%, miento de la masa como función del tiempo. Con fines decomparación, también se muestra el movimiento si se desprecia el término de amortiguamiento. La cuasifrecuencia es p = m 1 1 6 = 0.998 y el cuasiperiodo es Td =2nlp = 6.295 s. Estos valores difieren sóloligeramente de los valorescorrespondientes (1y IT, respectivamente) de la oscilación no amortiguada. Esto también es evidente a partir de las gráficas dela figura 3.8.7, que ascienden y descienden casi juntas. El coeficiente de amortiguamiento es pequeño en este ejemplo; de hecho, sólo 1/16 del valor crítico. A pesar de ello, la amplitud de la oscilación se reduce más bien con rapidez. Por ejemplo, la amplitud es menor que el1%de su valor original para t > 16 In 100 73.4, o alrededor de una docena de ciclos.

206

de

Ecuaciones lineales

segundo orden

FIGURA 3.8.7 Vibración con amortiguamiento pequeño (curva de trazo continuo) y sin amortiguamiento (curva a trazos). Para hallarel instante enel que la masa pasa porprimera vezpor su posición de equilibrio, se considera la ecuación (29) y se hace 255 t/16 - 6 igual a 7~12,el cero positivo más pequeño de la función coseno, entonces,al despejar t se obtiene

Circuitos eléctricos. Un segundo ejemplo de la ocurrencia de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes es como un modelo del flujo de corriente eléctrica en el circuito simple en serie que se muestra en la figura 3.8.8. La corriente l, medida en amperes, es una función del tiempo t. La resistencia R (ohms, n),la capacitancia C (farads, F) y la inductancia L (henrys, H) son todas positivas y se supone que son constantes conocidas. El voltaje aplicado E (volts, V) es una función dada en el tiempo. Otra cantidadfísica que entra enel análisis es la carga total Q (coulombs, C) en el capacitor, en cualquier instante t. La relación entre la carga Q y la corriente I es I = deidt.

Resistencia R Capacitancia C

Voltaje aplicado E(?)

FIGURA 3.8.8 Circuito eléctrico simple.

mecánicas 3.8

207

y eléctricas

Ubraciones

El flujo de la corriente en el circuito se rige por la segunda ley de Kirchhoff" En un circuito cerrado, el voltaje aplicado es igual a la suma de las caídas de voltaje enel resto del circuito. Según las leyes elementales de la electricidad, se sabe que La caída de voltaje a través del resistor es IR. La caída de voltaje a través del capacitorQlC. es La caída de voltaje a través del inductor es Ldlldt. De donde, por la ley de Kirchhoff

dl dt

L-

+ RI + C1 Q = E(t). ~

Se han elegido las unidades de modo que1 volt = 1 ohm . 1 ampere = 1 coulomb/lfarad = 1 henry . 1 ampere/l segundo. Si se sustituye Zpor su expresión dadaen la ecuación (30), se obtienela ecuación diferencial LQ"

+ RQ' + CI Q = E ( t ) ~

(323

para la carga Q. Las condiciones inicialesson

(33) Por tanto, es necesario conocer la carga en el capacitor y la corriente enel circuito en algún instante inicial to. De manera alternativa, se puede obtener una ecuación diferencial para la corriente Z, al derivar la ecuación (32) con respecto a t y luego sustituir dQldt por su expresión dada en (30). El resultado es

LI"

1 + RI' + I C

= E'(t),

(34)

l'(t0) = 1;.

(35)

con las condiciones iniciales I(to)= I,,

De (30) se concluye que

De donde, Z,,, también queda determinado por la carga y la corriente iniciales, que son cantidades físicas mesurables. La conclusión más importante de este análisis es elque flujo de la corriente en el circuito se describe porun problema con valor inicial que tiene precisamentela misma formaelque

lo

Gustav Kirchhoff (1824-1887), profesor en Breslau, Heidelberg y Berlín, fue unode los físicos más importantes del siglo XIX. Descubrió las leyes básicas de los circuitos eléctricos hacia 1845 cuando aún era estudiante en Konigsberg. También es famoso por su trabajo fundamental en absorción y emisión electromagnéticas y fue uno de los fundadores de la espectrocopia.

208

orden

segundo Ecuaciones lineales de

del que describeel movimiento de un sistema resorte-masa. Este es un buen ejemplo de la función unificadorade las matemáticas: una vez que se sabe la manera de resolver ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, los resultados pueden interpretarse en términos de vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos o cualquiera otra situación física que plantee el mismo problema.

En cada uno de los problemas de 1 a 4 determine expresión dada en la forma u = R cos(wot - S). 1. u = 3 cos 2t 3. u = 4 cos 3t

+ 4 sen 2t ~

2 sen 3 t

w,,, R

y 6 de modo que se escriba la

+

~

2. u = -cos f v ' 3 sent 4. u = -2cos nf - 3senrrl

5. Una masa que pesa 2 lb alarga 6 pulg. un resorte. Si se tira hacia abajo la masa otras 3 pulg. más y luego se suelta, y si no hay resistencia del aire, determine la posición de la masa en cualquier instante t. Encuentre la frecuencia, elperiodo y la amplitud del movimiento. 6. Una masa de 100 g alarga 5 cm un resorte. Si la masa se pone en movimiento desde su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 10 cm/s y no hay resistencia del aire, determine la posición de la masa en cualquier instante ;. ;Cuándo regresa por vez primera la masa a su posición de equilibrio? 7. Una masa que pesa 3 lb estira 3 pulg. un resorte. Si la masa se empuja hacia arriba, contrayendo el resorte una distancia de 1 pulg. y luego se pone enmovimiento con una velocidad hacia abajo de 2 piesis, y no hay resistencia del aire, encuentre la posición de la masa en cualquier instante t . Determine la frecuencia, el periodo, la amplitud y la fase del movimiento. 8. Un circuito en serie tieneun capacitor de 0.25 x 10-6F y un inductor de 1H. Si la carga inicial en el capacitor es de C y no hay corrienteinicial, encuentre la carga en el capacitor en cualquier instante t. 9. Una masa de 20 g estira 5 cm un resorte. Suponga que la masa también está sujeta a un amortiguador viscoso cuya constante de amortiguamiento es de 400 dinasdcm. Si se tira hacia abajo de la masa 2 cm o más y luego se suelta, encuentre su posición en cualquier instante t. Determine la cuasifrecuencia y el cuasiperiodo, así como la razón del cuasiperiodo al periodo de movimiento no amortiguado correspondiente. 10. Una masa que pesa 10 lb estira un resorte 3 pulg. La masa está sujeta a un amortiguador viscoso con constante de amortiguamiento de 2 lb-sipie. Si la masa se pone en movimiento desde su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 3 pulg./s, encuentre su posición en cualquier instante t. Determine cuándo la masa vuelve por primera vez a su posición de equilibrio. 11. Un resorte se alarga 10 cm por la acción de una fuerza de 3 N. Del resorte se cuelga una masa de2 kg y se sujetatambi6n a unamortiguador viscoso que aplica una fuerza de 3 N cuando la velocidad de la masa es de 5 m/s. Si se tira hacia abajo d e la masa 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de 10 cm/s, determine su posición en cualquier instantet . Encuentre la cuasifrecuencia ,U y la razón de ,U a la frecuencia natural del movimiento no amortiguado correspondiente. 12. Un circuito en serie tiene un capacitor de F, un resistor de 3 X 10' Cl y un inductor de 0.2 H. La carga inicial en el capacitor es de C y no hay corriente inicial. Encuentre la carga en el capacitor en cualquier instante t.

3.8

209

Vibracionesmecánicas y eléctricas

13. Exprese la posición de la masa del problema 9 en la forma u = R c n r cos(pf - 6). A continuación, determine el tiempo T tal que lul IR/50 para t 2 T . 14. Exprese la posición de la masa del problema 10 en la forma u = A&' cos(pt - 6). En seguida, determine el tiempoT tal que 1 U J 5 RilOO para t 2 T. 15. Cierto sistema vibrante satisface la ecuación U" t yu' + u = O. Encuentre el valor del coeficiente de amortiguamiento y para el que el cuasiperiodo del movimiento amortiguado es 50% mayor que el periodo del movimiento no amortiguado correspondiente. 16. Demuestre queel periodo del movimiento de una vibraci6n no amortiguada de una masa suspendida de un resorte vertical es 2 n m g , en donde L es el alargamiento del resorte debido ala masa m y g es la aceleración debida ala gravedad. 17. Demuestre que la solución del problema con valorinicial mu"

+ yu' + ku = O,

u(t,) = U,,

ú ( t o ) = U;

puede expresarse comoal suma u = u + w,en donde usatisface las condiciones iniciales u(ro) = u, u'(to) = O, w satisface las condiciones ,(to) = O, w'(f,,) = u; y tanto ucomo w satisfacen la misma ecuación diferencial u. Este es otro caso de superposición de soluciones de problemas más simples para obtener la solución de un problema más general. 18. Demuestre queA coswof + B sen mot puede escribirse en la forma r sen(wof - 8). Determine r y $en términos deA y B. Si R cos(wot- 6) = r sen(w,,f - O), determine la relación entre R, r 6 y 8. 19. Una masa que pesa 8 lb alarga 1.5 pulg. un resorte. La masa también está sujeta a un amortiguador con coeficiente y. Determine el valor de y para el que el sistema está criticamente amortiguado; proporcionelas unidades y. 20. Si un circuito en serie tiene un capacitor de C = 0.8 X F y un inductor de L = 0.2 H, encuentre la resistencia R de modo que el circuito esté criticamente amortiguado. 21. Suponga que el sistema descrito por la ecuación mu" + yu' + ku = O está criticamente amortiguado o sobreamortiguado. Demuestre que la masapuede pasar porla posición de equilibrio cuando muchouna vez, sin importar las condicionesiniciales. Sugerencia: Determine todoslos valores posibles de t para los que u = O. 22. Suponga que el sistema descrito por la ecuación mu" + yu' t ku = O está críticamente amortiguado y que lascondiciones iniciales son u(0) = u,,, u'(0) = u& Si u; = O, demuestre que u O cuando t m, pero que u nunca es cero. Si u,, es positiva determine una condi-ción para u; que asegure quela masapasa porsu posición de equilibrio después de que se suelta. 23. Para la oscilación amortiguada descrita por la ecuación (26), el tiempo entre máximos sucesivos esTd = 2a/p.Demuestre quela razón del desplazamientoen dos máxímos sucesivos se expresa por exp(yTd/2m). Por tanto, los máximos consecutivos forman una progresión geométrica con razón común exp(yTd/2rn).El logaritmo natural de esta razón se llama decremento logarítmico y se denota por A. Demuestre que A = ny/mp. Dado que m, p y A son cantidades que se miden con facilidad en un sistema mecánico, este resultado proporciona un método conveniente y prúctico para determinarla constante de amortiguamiento del sistema, quees más difícil de medir directamente. En particular, para el movimiento de una masa vibrante en un fluido viscoso, la constante de amortiguamiento depende dela viscosidad del fluido; para formas geométricas simples, si se conocela forma de esta dependencia, y la relación precedente permitela ueterminación experimental de la viscosidad. Esta esuna de las maneras más exactaspara determinar la viscosidad de un gas aalta presión. -+

-+

210

Ecuaciones orden lineales de segundo

24. Con referencia al problema 23, encuentre el decremento logarítmico del sistema del

problema 10. 25. Para el sistema del problema 19, suponga que A = 3 y que Td = 0.3 s. Con referencia al problema 23, determine el valor del coeficiente de amortiguamiento y Los problemas26 y 27 deben resolverse utilizandosoftware para computadora que tracelas gráficas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. 26. Considere el problema con valor inicial u“ + yu’

+ u = o,

u(0) = 2,

u’(0) = o.

Para un ydado, por ejemplo y = 0.25, obtenga la gráfica de la solución y determine el tiempo T en el que la solución se vuelve “despreciable”. Interpretela palabra “despreciable” de una manera coherente con la resolución del a pantalla dela computadora que se utilice. Repita este procedimiento para otros valores de yen el intervalo 0 < y < 2. Elabore una gráfica de T contra y con los valores encontrados. Por último, determine una fórmula analítica para la dependencia de T con respecto ay 27. Para el problema con valor inicial del problema 26, trace la gráfica de u contra f para varios valores de y entre 1.75 y 2.25. Mediante el análisis de estas gráficas, intente determinar el valor de y para el que ocurrela transición de soluciones oscilatorias no a OScilatorias; es decir, intente determinar el valor crítico del coeficiente de amortiguamiento. 28. Un bloque cúbico de lado I y densidad de masa p por unidad de volumen se encuentra flotando enun fluido con densidadde masa p, por unidad de volumen, en donde po> p. Si el bloque se oprime ligeramentey luego sesuelta, oscila en la dirección vertical. Si se supone quepueden despreciarse el amortiguamiento viscosodel fluido y el aire, obtenga la ecuación diferencial del movimientoy determine el periodo de ese movimiento. Sugerencia: Aplique el principio de Arquímedes: Sobre un objeto que est& parcial O totalmente sumergido en un fluido actúa una fuerza hacía arriba (de empuje) igual al peso del fluido desplazado.

3.9 Vibraciones forzadas Considere ahora, el casoen el que una fuerza externa periódica, por ejemplo F, cos wt, se aplica a un sistema resorte-masa. En este caso, l a ecuación del movimiento es

muN + yu’ t ku = F ,

COS at.

(1)

En primer lugar, suponga que no hay amortiguamiento; entonces,l a ecuación (1) se reduce a mu” t ku = F ,

Si w0 =

COS ut.

(2)

Jkim # w, entonces l a solución general de la ecuación (2) es U

= c 1 cos w,t

+ c 2 seno,t + m(o;F*- o’)cos wt.

(3)

Las constantes c I y c2 quedan determinadas por las condiciones iniciales. En general, el movimiento resultante es la suma de dos movimientos periódicos de frecuencias (mo y u)y amplitudes diferentes. Existen dos casos en particular interesantes.

3.9

211

Vibracionesforzadas

Pulsaciones. Suponga que inicialmente la masa está en reposo, de modo que u(0) = O y u’(0) = O. Entonces resulta que las constantesc1 y c2 de la ecuación (3) quedan dadas por

y la solución de la ecuación(2) es u=

Fo

(cos ut - cos coot).

m(wi - w 2 )

ÉSta es la suma de dos funciones periódicas de periodos diferentes pero con la misma amplitud. Si se aplican las identidades trigonométricas para cos (A k B ) conA = (uo+ w)t/2 y B = (wo - w)t/2, la ecuación (5) puede escribirse en la forma

Si /oo - 01 es pequeño, entonces wo + w > Iwo- wl y, como consecuencia,sen(wo + w)t/2 es una función de oscilación rápida en comparación con sen(wo - w)t/2. Por tanto, el movimiento es una oscilación rápida con frecuencia (w,, + 0)/2, pero con una amplitud sinusoidal que varía con lentitud.

2 F ~ sen (%I m(wi - w 2 ) 2

’

Este tipo de movimiento, que presenta una variación periódica de la amplitud, muestra lo que se conoce como pulsación. Este fenómeno se presenta en acústica cuando se hacen sonar simultáneamente dos diapasones de frecuencia casi igual. En este caso, la variación periódica de la amplitud es bastante evidente a simple oído. En electrónica la variación de la amplitud conel tiempo se llama modulación en amplitud. En la figura 3.9.1se muestra la gráfica deu, según la da la ecuación(6), en un caso típico.

Resonancia. Como segundo ejemplo, considere el caso en el que w = w,; es decir, la frecuencia de la función de fuerza es la misma que la frecuencia natural del sistema. Entonces, el término no homogéneo Fo cos w t es una soluciónde la ecuación homogénea. En este caso la solución de la ecuación(2) es

Debido a la presencia del término t sen wot en (7), el movimiento se vuelve no acotado cuando t + w, sin importar los valores dec1 y c2;ver en la figura 3.9.2 en ejemplotípico. Este es el fenómeno conocido como resonancia. Sin embargo, en la práctica real, el resorte probablemente se rompería.Por supuesto, tan pronto comou se hace grande, la teoría en la que se basa la ecuación(1) deja de ser válida,ya que la suposición de quela fuerza del resorte depende linealmente del desplazamiento requiere uque sea pequeño. Si en el modelo se incluye el amortiguamiento, entonces el movimiento permanece acotado; sin embargo, la respuesta a la función de entrada F, cos w t puede ser grande si el amortiguamiento es pequeño y si w está cercano awo.

212

lineales U

Ecuaciones orden

de segundo

= 2.77778 sen 0.1 I U

= 2.77778

FIGURA 3.9.1 Pulsación; solución de O: u = 2.77778 sen O . l f sen 0.9t.

sen O . l r sen 0.9 l

U’’t u = 0.5 COS 0.8r, ~ ( 0 =) 0, u’@) =

La resonancia es capaz de crear serias dificultades en el diseño de estructuras, en donde puede producir inestabilidades que originenla falla de la estructura.Por ejemplo, los soldados dejan de marchara compás al cruzar un puente para eliminarl a fuerza periódica de SU marcha, que pudiera resonaruna a frecuencia natural del puente.Otro ejemplo ocurrió en el

3.9

213

Vibracionesforzadas

diseño de la turbobomba para combustible a alta presión del motor principal del transbordador espacial. La turbobomba era inestable y no podía operar a más de 20 O00 rpm, en comparación con la velocidad de diseño 39 deO00 rpm. Esta dificultad causóla suspensión del transbordador durante seis meses, a un costo estimado de medio millón de dólares diarios."

Vibraciones forzadas con amortiguamiento. El movimiento del sistema resorte-masa con amortiguamiento y la función de fuerza F, cos w t puede determinarse de manera directa, aunque los cálculos son más bien lentos. La solución de la ecuación (1) es u = clerIt

+ c2er2'+ R cos(ot

-

(8)

6),

en donde

Y En la ecuación (€9,r, y r2 son las raíces de la ecuación característica asociada con (1); pueden ser realeso complejas conjugadas.En cualquier caso, tanto exp (r,t) como exp(r,t) tienden a cero cuando t -+ m. De dónde, cuandot + co, u -+ U ( t ) = __

Fo

-

cos(ot

-

6).

( I IJ

J=:W?jT&7

Por esta razón a u,(') = clerl' -t c2e'2'se el conoce como solución transitoria; U(t), que representa una oscilación estable con la misma frecuencia que la de la fuerza externa, se llama solución de estado estable o respuesta forzada. La solución transitoria permite satisfacer cualesquiera condiciones iniciales que se imponga al aumentar el tiempo,la energía puesta en el sistema por el desplazamiento y la velocidad iniciales se disipa por medio de la fuerza de amortiguamiento, y entonces el movimiento representa la respuesta del sistema a la fuerza externa. Sin amortiguamiento, el efecto de las condiciones iniciales persistiría durante todo el tiempo. Resulta interesante investigar de qué manera la amplitud R de la oscilación de estado estable depende de la frecuenciaw de la fuerza externa. Parala excitación de baja frecuencia, es decir, cuandow + O, por las ecuaciones(9) y (10) se concluye queR + Folk. En el otro extremo, parala excitación de frecuencia muyalta, (9) y (1 O) implican queR + m.Con un valor intermedio dew la amplitud tiene un máximo. Para encontrar este punto máximo es posible derivar R con respecto a w e igualar el resultado a cero. De esta manera se encuentra que la amplitud máxima ocurre cuando

y D. Childs, "Self-Excited Vibration in High-PerformanceTurbomachinery", MechanicalEngineering (mayo 1984), p. 66.

11 F. Ehrich

214

Ecuaciones lineales de segundo orden

Observe que omjx < wo y que wmAxestá cercana a w, cuando y es pequeño. El valor máximo deR se expresa por

R

=

Rmdx=

Fo yo()\/l - (72/4tnk) -

- 70,

-

__ F o (1

+&I,

(1 3)

en donde la última expresión es una aproximación para y pequeño. Si y2/2km > 1, entonces omsx, según se expresa por la ecuación (12), es imaginaria; en este caso el valor máximo de R ocurre para o = O y R es una función monótona decrecientede o.Para y pequeño, por la ecuación (13) se concluye queR = Fdywo. Por tanto, para ypequeño la respuesta máxima es mucho mayor que la amplitud F, de la fuerza externa y entre más pequeño sea el valor de y mayor será la razón RIFO.En la figura 3.9.3 se muestran algunas gráficas representativas de RkIF, contraw/w,, para varios valores dey El ángulo de fase6 también depende, de una manera interesante, de o.Para w cercana a cero, de las ecuaciones(9) y (10) se deduce que cos 6 E 1 y sen 6 E O. Por tanto, 6 O y la respuesta está casi en fase con la excitación, lo que significa que crecen y decrecen juntas y, en particular, tomansus máximos (así comosus mínimos) respectivos casi juntas. Para w = wo, se encuentra que cos6 = O y sen S =1, de modo que 6 = n/2.En este casola respuesta va detrás de la excitación en nI2, es decir, los picos de la respuesta ocurren n/2 después que los de la excitación y, de manera semejante, paralos valles. Por último, parao muy grande, se tiene cos6 = = -1 y sen 6 E O. Por tanto, 6 n,de modo que la respuesta está casi fuera de fase con la excitación; esto significa que la respuesta es mínima cuando la excitación es máxima y viceversa.

FIGURA3.9.3 Vibración forzada con amortiguamiento: amplitud de la respuesr = y2/m2wi.

ta de estado estable contral a frecuencia de la fuerza excitadora;

3.9

215

Vibracionesforzadas Solución de un + 0.125~’ u = 3 Cos 2t u(0) + 2, u’(0) = o

+

Función de fuerza

Figura 3.9.4 Una vibración forzada con amortiguamiento; soluciónde u” + 0.12%’ t u = 3 cos 2t, u(0) = 2, u’(0) = o. En la figura 3.9.4 se muestra la gráfica de la solución del problema con valor inicial U”

+ 0.125~’+ U = 3 COS 2t,

~ ( 0=) 2, ~ ’ ( 0= ) 0

También se muestra la gráfica de la función de fuerza con fines de comparación. (En la figura 3.8.7 se muestra el movimiento no forzado de este sistema). Observe que el movimiento transitorio inicial decae al crecer t, que la amplitud de la respuesta forzada estable es aproximadamente uno y que la diferencia de fase entre la excitación y la respuesta es aproximadamente TL Con más precisión, se encuentra que A = -14 = 3.0104 de modo que R = Fdb = 0.9965. Además, cos 6 = -3lA = -0.9965 y sen 6 = lt4A = 0.08304, por lo que 6 3.0585. Por tanto, los valores calculados de R y 6están próximos a los valores estimados a partir dela gráfica.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 4, escriba la expresión dada como un producto de dos funciones trigonométricasde frecuencias diferentes 1. cos 9t 3. cos nit

-

f

cos 7t cos 2nt

2. sen 7t - sen 6t 4. sen 3t -t sen 4t

5. Una masa que pesa 4 lb alarga 1.5 pulg. un resorte. La masa se desplaza 2 pulg. en la dirección positiva y se suelta sin velocidad inicial. Si se supone que no hay amortiguamiento y que sobrela masa actúa una fuerza externade 2 cos 3ti b , formule el problema con valor inicial que describe el movimiento dela masa. 6. Una masa de 5 kg estira 10 cm un resorte. Sobre la masa actúa una fuerza externa de 10 sen(t/2) N (newton) y se mueve en un medio que le imparte una fuerza viscosa de2 N,

216

segundo

de

lineales

Ecuaciones

orden

cuando SU velocidad de esa masa es 4decm/s. Si la masa pone se en movimiento a partir de su posición de equilibrio conuna velocidad inicial que describe el movimientode esa masa. 7. a) Encuentre la solución del problema 5. b) Si la fuerza externa dada se sustituye por una fuerza 4 sen wt de frecuencia w, encuentre el valor de w para el que ocurre la resonancia. 8. a) Encuentre la solución de estado estable delproblema 6 . b) Si la fuerza externa dada se sustituye por una fuerza 2 cos wt de frecuencia o,halle el valor de w para el que laamplitud de la respuesta forzada es máxima. 9. Si un sistema resorte-masa no amortiguado con una masa que pesa 6 lb y una constante de resorte de 1 Ibipulg. se pone repentinamente en movimiento en t = 0 por una fuerza externa de 4 cos 7t lb, determine la posición de lamasa en cualquier instante y trace una gráfica del desplazamiento contra f. 10. Una masa que pesa 8 lb alarga 6 pulg. un resorte. Sobre el sistema actúa una fuerza externa de 8 sen St lb. Si tira se hacia abajo de lamasa 3 pulg. y luego se suelta,determine la posición de la masa en cualquier instante. Determine las primera cuatro veces en las que lavelocidad de la masa es cero. 11. Un resorte se alarga 6 pulg. por una masa que pesa 8 lb. La masa está sujetaa un mecanismo de amortiguación viscosa que tieneuna constante de amortiguamiento de0.25 Ibsipie y sobre ella actúa una fuerza externa de 4 cos 2t lb. a) Determine la respuesta de estado estable de este sistema. b) Si la masa dada se sustituye por una masa m, determine el valor de m para el que la amplitud de la respuesta de estado estable es máxima. 12. Un sistema resorte-masa tiene una constante de resorte de3 N/m. Al resorte se sujetauna masa de 2 kg y el movimiento se lleva a cabo en un fluido viscoso que ofrece una resistencia numéricamente igual a la magnitud de la velocidad simultánea. Si el sistema es excitado por una fuerza externa de 3 cos 3t- 2 sen 3f N, determine la respuesta de estado estable. Exprese larespuesta en laforma R cos(wt - 6). 13. Encuentre la solución de la ecuación diferencial mu” + ku = Focos wt, en donde w f que satisface cadauno de los siguientesconjuntos de condiciones iniciales. a) u(0) = uo, u’(0) = 0 b) u(0) = 0, ~ ’ ( 0 )= u; c) u(0) = u(), u’(0) = u; 14. a) Encuentre la solución general de

a,

mu” + yu’

+ ku = F, sen wt,

en donde y 2 < 4km. b) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales u(0) = uo,~ ’ ( 0 )= 0. c) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales u(0) = 0, ~ ’ ( 0 )= u’ O; d) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales u@) = uo, ~ ’ ( 0 )= U,-,. 15. Proporcione los detalles al determinar cuándo esmáxima la respuesta de estado estable dada por la ecuación (11); es decir, demuestreque y Rmix quedandadas por las ecuaciones (12) y (13), respectivamente. 16. a) Demuestre que la fase de la respuesta forzada dela ecuación (1) satisface tan 6 = yw/m(wi

- m’).

b) Trace la gráfica de l a fase Gcomo una función de la frecuencia w de la fuerzapara la respuesta forzada de u” + 0.125~’+ u = 3 COS u t . 17. Encuentre la solución del problema con valor inicial u‘’

t 11 = F(t),

u(0) = o, u’(0) = o,

217

Bibliografw en donde O 2. El radio de convergenciade la serie de potencias esp = 2. Por último, se comprueban los puntos extremos del intervalode convergencia. En x = -3 se tiene f ( - 3 + 1)" n2"

(-1)"

= "=I

n= 1

n

que converge, pero no absolutamente.Se dice que la serie converge condicionalmenteen X = -3. En x = 1 la serie queda

2 !,

"=I

n

la cual diverge.En resumen, la serie converge para -3 5 x < 1 y diverge en cualquier otro caso. Converge absolutamentepara -3 < x < 1, y tiene un radio de convergencia de 2. m

Si

c

n=o

m

an@- x0)' Y

fl=O

b,(x - .xo)" convergen a f ( x ) y g(x), respectivamente, para

1x - xoi < p, p > O. entonces las siguientes proposicionesson verdaderas para 1x - x o ~ < p.

6.

Las series pueden sumarse o restarse término a término y

7.

Las series pueden multiplicarse formalmente y

en donde en = aObn+ alb,-, t dividirse formalmente y

. . . + anbo.Es más, si g(xo) # O, las series pueden

.

..

244

orden sepundo ecuaciones delineales Soluciones las deen serie

En la mayor parte de los casos los coeficientes d,, se pueden obtener con mayor facilidad al igualar los coeficientes en la relación equivalente

También, en el caso de la división, el radio de convergencia de la serie de potencias resultante puede ser mayor quep . La función f es continua y tiene derivadas de todos los órdenes para / x - x O < ~ p. Además, f', f", . . . pueden calcularse al derivar la serie término a término; es decir,

8.

etcétera, y cada una de las series converge absolutamente parajx - xOl < p El valorde u, seexpresapor

9.

La serie se llama serie de Taylor' parala función f alrededor de x = .xO. X

10.

Si tI

=

X

o

b,,(x-xo)" para cada x, entonces a,, = bn,n = O, 1,2, . . . . En

a,,(x -xo)" = n=O

particular, si I1

=o

utl(x- x $

= O para cada x, entonces a. = a , = . . . = a,,= . . . = O.

Una función f que tiene un desarrollo en seriede Taylor alrededor dex = xO,

con un radio de convergencia p > O se dice quees analítica en x = x O .Según las proposiciones 6 y 7, si f y g son analíticas en xO,entonces f i g, f . g y f/g(siempre queg(x,) f O) son analíticas en x = xo. Uno de los resultados que se aplicará a menudo en las secciones siguientes esque un polinomio es analítico en todo punto; por tanto, las sumas, diferencias, productos y cocientes (exceptoen los ceros del denominador) de polinomios son analíticos en todos los puntos.

' Brook Taylor (3685-1731) fue el matemirico inglés m i s destacado en la generación posterior a Newton. En 171.5 publicó un enunciado generaldel teorema de expansión que recibió su nombre, resultado fundamental en todas las ramas del anllisis. También fue unode los fundadores del cálculo de diferencias finitas así como el primero en reconocer la existencia de soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales.

ias

de 5.1

245

Repaso de series

Desplazamiento del índice de suma. El índice de suma es una serie infinita en un parámetro ficticio, en la misma forma que la variable de integración en una integral definida es una variable ficticia. Por tanto, no importa qué letra se utilice para el índice de suma. Por ejemplo, 2nxn

S

~

n!

n=O

=

1 X

2jxJ

j=o

.I!

Precisamente como se hacen los cambios de la variable de integración, en una integral definida resulta conveniente hacer cambios los de indices de sumaal calcular soluciones en serie de las ecuaciones diferenciales. Mediante varios ejemplos se ilustrará cómo desplazar el índice de suma. X

Ejemplo 3

Escribir anx" como una serie cuyo primer término corresponda a n = O en vez de n = 2. n-2 Sea m = n - 2; entonces n = m t 2 y n = 2 corresponde a m = O; de donde, U"Z" n- 2

=

o"t "I

~

$J'

(I1

2.

(1

Al escribir los primeros términosde cada una de estas series, es posible verificar que contienen precisamente los mismos términos. Por último, en la serie de segundo miembrode la ecuacicin (1) se puede sustituir el índice ficticio m por n, con l o que se obtiene

De hecho,se ha desplazado el índice hacia arriba en 2, lo cual se compensa empezandoa contar en un nivel más bajoen 2 que originalmente.

(3;

##i como una serie cuyo término genérico comprenda a(x- X,,)" en vez de (x - x,,) 9--;

De nuevo, se desplaza el índice en 2, de modo que n se sustituye por n contar 2 unidades más abajo;se obtiene

.j

1 + 4)(H + 3)u,+

5%

¡I1

#ip

*n

!A

*.

+ 2 y se empieza a

2 ( r - X")".

"=O

fácil verificar que los términos de las series (3) y (4) son exactamente los mismos.

Escribir la expresión ',i 7,

x* "=O

( n + r)a,x"+'-l

,$ como una serie cuyo término genérico comprende x" a +I.

(41

246

ecuaciones delineales las de serie Soluciones en

segundo orden

En primer lugar se introduce la x? a la suma, con lo que se obtiene m

" --O

( n + r)a,x"

+

+

I.

(6)

d!

i' A continuación, el índice se desplaza hacia abajo en 1 y se empieza a contar más arriha en1; -i.?:

9

por tanto,

"2

Una vez mis, se puedeverificar COR facilidad que las dos series de ecuación la (7) son idénticas q$ ".y que son exactamente iguales a l a expresión (5). #.

f na,xn-

=

"= 1

f a,x" !=O

3para toda x y determinar qué implica esto acerca de los coeficientesa,,. ' ,

Se desea aplicar la proposición 10 para igualar los coeficientes correspondientes en las dos lograrlo, en primer lugar es necesario volver a escribir l a ecuación (8) de modo que la serieexhiba la misma potencia xdeen sus términos genéricos.Por ejemplo, en la serie del it primer miembro de (S), es posible sustituir n por n t 1 y empezar a contar más abajo en 1; por tanto (8) queda _, series. Para

9 .*

m

(n n=O

n=O

m

+ lbn+

IX" =

1 a$

Según la proposición 10, se concluye que

4!

&

(n +

n = O, 1, 2, 3,

= a,,

L o bien,

y

a"

a , + , = ___

n + 1'

n

= O,

1, 2, 3 , .

De donde, si seeligen valores sucesivos de n en la ecuación (lo), se tiene

etcétera. En general, a0

a, = -

n! '

n = 1,2,3, . . .

F;

Por tanto, la relación (8) determina todos los coeficientes siguientes en términos de último si se utilizan los coeficientes dadospor la ecuación (Il), se obtiene

*'

M

').

.

T.

en donde se ha seguido la convención usual de que O! = 1.

ao. Por

cias

de 5.1

247

Repaso de series

Problemas

""ir 'P. f

En cada uno de los problemas 1 a 8, determine el radio deconvergencia de la serie depotencias dada.

1 (x - 3)" m

1.

2.

m n 1 -X" 2"

"=O

"=O

4.

8.

f 2"x"

"=O

m n!x" 1 ___ n"

En cada uno de los problemas 9 a 16, determine la serie deTaylor en torno al punto x" para la función dada. Determine también el radio de convergencia de la serie. =1

13. In x,

x. = 1

15.

1 ~

10. ex, 12. x2,

x. = O

9. senx, 11. x0 x,

=o

x0

1-x'

x. = O x. = - 1

1 14. --, l + x

XO

1 16. --, 1-x

XO =

=O

2

z

nx", calcule y' y y" y escriba los cuatro primeros términos de cada

17. Dado que y = n=O

serie, así comoel coeficiente dex" del término general.

c X

18. Dado quey =

n=O

anx", calcule y' y y" y escriba los cuatro primeros términos de cada

serie, así como el coeficiente de x" del término general. Demuestre que si y" = y , entonces los coeficientes a,, y a , son arbitrarios y determine a2 y a3 en términos de a,, y ul. Demuestre que a,, = u,/(n t 2)(n + l), n = O, 1, 2, 3, . . . . +

En cada uno de los problemas 19 a 23, compruebe la ecuación dada.

1 U,X"+2 "=O m

21.

f 1 u,+mXn+P= f a n + m +Xn+p+k k , u,-2X"

=

n=2

m

22.

n=k

"=O

x>o,

en donde k y m son enteros dados y p es una constante. 23. x2

+ ax 1 ( n + r)anxn+"l + pxz 1 anxn+' "=O = [r(r - 1) + ar]aoxr + [(r + 1)r + c((r + I ) ] U ~ X ' + ~ m

( n + r)(n + r - l)a,x"+"2

m

m

n=O

248

Soluciones segundo ecuaciones de lineales enlas serie de

+

m

[(n n=2

orden

+ r)(n + r - I)a, + a(n + r)a, + pa,

-

2 ] x n+l,

x

> O,

en donde r es una constante. 24. Determine a,,de modo que se satisfaga la ecuación

5 nu,x"-'

n= 1

+2

xi

?l=0

a,x" = O . x

Intente identificar la función representada por la serie

1 a,,x". n =O

arte I

5.2 Solucionesen seriecerca deununtoordinario

En el capítulo 3 se describieron métodos para resolver ecuaciones diferenciales linealesde segundo orden con coeficientes constantes. Ahora se considerarán métodos para resolver ecuaciones lineales de segundo orden cuando los coeficientes son funciones de la variable independiente. Basta considerar l a ecuación homogénea

ya que el procedimiento parala ecuación no homogénea correspondiente es semejante. Una amplia clase de problemas en física matemática conduce a ecuaciones de la forma (1) que tiene coeficientes polinominales; por ejemplo,la ecuación de Bessel x2y"

+ xy' + (.u2

- v2)y

=

o,

en donde v es una constante, y la ecuación de Legendre (I

-

2)y"

-

2xy'

+ a(ct + l)y = o,

en donde LY es una constante. Por esta razón, así como para simplificar los cálculos algebraicos, se considerará principalmenteel caso en el que las funcionesP , Q y R son polinomios. Sin embargo, como se verá, el método de resolución es aplicable para una clasede funciones más general que los polinomios. Entonces porel momento, supóngase queP , Q y R son polinomiosy que no tienen factores comunes. Supóngase también que se desea resolver l a ecuación (1) en la vecindad deun puntox,,. La resolución de l a (1) en un intervalo que contengaaxOestá intimamente asociada al comportamiento deP en ese intervalo. Un punto x,, tal que P(x,) # O se conoce comopunto ordinario. Como P es continua, se deduce que existeun intervalo alrededor de xOen el queP(x) nunca es cero. En ese intervalo es posible dividir la ecuación (1) entre P(x) para obtener y"

+ p(x)y + y(.'i)y = o,

(2)

en donde p ( x ) = Q(x)/P(x)y q(x) = R(x)/P(x)son funciones continuas. De donde, según el teorema 3.2.1 de existencia y unicidad, en ese intervalo existe una solución única (1)de que también satisface las condiciones iniciales y(xO)= yo,y '(x,) = y ; para valores arbitrariosde

5.2

Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, parte Z

249

yo y y;. En esta sección y en la siguiente se analiza la resolución de la ecuación (1) en la

vecindad de un punto ordinario. Por otra parte, siP(xo) = O, entonces a x. se le llama punto singular de la ecuación (1). En este caso, por lo menos una de Q(xo) y R(xJ es diferente de cero. Como consecuencia, por lo menos uno de los coeficientes p y q de la ecuación (2) se vuelve no acotado cuando x + x. y, por tanto, el teorema 3.2.1 no es válidoen este caso. En las secciones5.4 a 5.9 se trata la manera de hallar soluciones de(1) en la vecindad de un punto singular. Ahora se abordará el problema de resolver la ecuación (1) en la vecindad de un punto ordinario xo. Se buscan soluciones dela forma

y se supone que la serie converge en el intervalo /x- xo/< p para algún p > O . Aunque a primera vista puede parecer poco atractivo buscar una solución en la forma de una serie de potencias, en realidad es una forma conveniente y útil para una solución. Dentro de sus intervalos de convergencia, las series de potencias se comportan bastante parecido a los polinomios y es fácil manipularlas analíticay numéricamente. De hecho, incluso sies posible obtener una solución en términos de funciones elementales, como funciones exponenciales o trigonométricas, es probable que se requiera una serie de potencias o alguna expresión equivalente si se desea evaluarlas numéricamenteo trazar sus gráficas. La manera más práctica para determinar los coeficientesan es sustituir por la serie (3) y sus derivadasy, y' y y" en la ecuación (1).L o s siguientes ejemplos ilustran este proceso. Las operaciones, como la derivación, que intervienen en el procedimiento se justificanen tanto se permanezca dentro del intervalo de convergencia. Las ecuaciones diferenciales de estos ejemplos, por derecho propio, también tienen una importancia considerable.

Ejemplo 1

Encontrar una solución en serie de la ecuación y"+y=O,

--co -1 porque si (Y 5 -1, entonces la sustitución (Y = -(1 t y) en donde y 2 O conduce a la ecuación de Legendre(1 - x z ) y " - 2 x y ' t y(y+ 1)y = O. 20. Demuestre que dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Legendre para !x,< 1 son

X

y2(x) = x X

a(a - 2)(a - 4).

. . (a - 2m

+ 2)(a + l)(a + 3) . . . (a + 2m

-

1) XI",

(2m)!

+

(- 1)" m= 1

(a -

+ 2)(a + 4) . . . (a + 2m)

l)(a - 3) . . . (a - 2m + l ) ( a (2m + l)!

X2m

+

,

Demuestre que, sia es cero o un entero par positivo 2n, la solución en serie y, se reduce a un polinomio de grado 2n que sólo contiene potencias pares de x. Encuentre los polinomios correspondientes aa = O, 2 y 4. Demuestre que sia es un entero impar positivo 2n t l, la solución en serie y, se reduce aun polinomio de grado2n t 1, que sólo contiene potencias impares de x. Encuentre los polinomios correspondientes aa = 1,3 y 5. 22. El polinomio de Legendre P,(x) se define comola solución polinomial dela ecuación de Legendre cona = n que tambiénsatisface la condición P,(l) = 1. Use los resultados del problema 21 para encontrar los polinomios de LegendreP,(x), . . . P&). 23. Con ayuda de una computadora a) trace las gráficas de P,(x), . . . ,P,(x) para -1 5 x 5 1. b) encuentre los ceros de P,(x), . . . ,P,(x). 24. Es posible demostrar quela fórmula general para P,(x) es

21.

P"(X) = -

en donde [n/2] denota el mayor entero menor que, o igual a, n/2. Observe la forma de P,(x) para n par y n impar demuestre queP,(-l) = (-l),. 25. Los polinomios de Legendre tienen una función importante en física matemática. Por

ejemplo, al resolver la ecuación de Laplace (ecuación del potencial) en coordenadas esféricas se encuentrala ecuación

en donden es un entero positivo. Demuestre que el cambio de variablex= cos cp conduce a la ecuación de Legendre con(Y = n para y = f(x) = F(arc cosx).

266

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden

26. Demuestre quepara n = 0,1,2,3 el polinomio de Legendre correspondiente queda definido por P”(X)=

1 d” (x’ 2”n! dx”

~

~

-

1)”

Esta fórmula, conocida como fórmula Rodrigues (1794-1851),es verdadera para todos los enteros positivosn. 27. Demuestre que la ecDación de Legendre también puede escribirse como [(l

-

x’)y’]’

=

--

x(c(

+ 1)y.

Entonces se concluye que[(l-x*>P’,(x)]’ = - n(n + l)P,(x) y [(l-x*)P’,(x)]’ = -m(m + l)Pm(x).Demuestre al multiplicar la primera ecuación por PJx) y la segunda por P,(x) y a continuación integrar por partes que

J:,

P,(x)P,(x) dx

=

U

si n # m.

Esta propiedad de los polinomios de Legendre se conoce como propiedad de ortogonalidad. Si m = n, es posible demostrar queel valor de la integral que acabade darse es 242n + 1). 28. Dado un polinomio f de grado n, es posible expresarlo comouna combinación lineal de p,, p , , p,, ‘ . , p,: 2

” = k=O

Aplique el resultado del problema 27para demostrar que

En esta sección se considerará la ecuación

P(x)y”

+ Q(x)y’ + R(x)y = O

(1)

en la vecindad de un punto singular xo. Recuérdese que si las funciones P , Q y R son polinomios que no tienen factores comunes, los puntos singulares de la ecuación (1) son los puntos para los que P(x) = O.

Determinar los puntos singulares y los puntos ordinarios de la ecuación de Besselde orden v x2y”

+ xy’ + (x’

- ?)y = o.

El punto x = O es un punto singularya que P(x) = x 2 es ceroallí. Todos los demás puntos son puntos ordinarios dela ecuación (2).

261

5.4 Puntos singulares regulares Determinar los puntos singularesy los puntos ordinarios dela ecuación de Legendre (I - x2)y"

-

2xy'

+ c((a+ 1)y = O,

en donde a es una constante. LOS puntos singularesson los ceros P(x) = 1-x2, a saber, los puntos x = +l.Todos 10s demás puntos son ordinarios.

Desafortunadamente, si se intenta aplicar los métodos de las dos secciones anteriores para resolver la ecuación (1) en la vecindad de un punto singularxo, se encuentra que estos métodos fracasan. Esto se debe a que la solución de(1) a menudo no es analítica enx. y, como consecuencia, no es posible representarla mediante una seriede Taylor en potencias de x - xo. En vez de ello es necesario usar un desarrollo en serie más general. Dado que los puntos singulares de una ecuación diferencial suelen ser poco numerosos, podría plantearse la pregunta de si es posible simplemente ignorarlos, especialmente debido a queya se sabe cómo construir soluciones alrededor de puntos ordinarios. Sin embargo, esto no es factible porque los puntos singulares determinan las características principales de la solución en mucho mayor medida de lo que podría esperarse en principio. En la vecindad deun punto singular,la solución a menudose hace grande en magnitud o experimenta cambios rápidos en la misma. Por tanto, el comportamiento de un sistema físico modelado poruna ecuación diferencial con frecuencia es más interesante en la vecindad de un punto singular. A menudo las singularidades geométricas deun problema físico, como esquinas o bordes marcados, producen puntos singulares en la ecuación diferencial correspondiente. Por tanto, aunque en principio podría desearse evitar los pocos puntosen los que una ecuación diferencial es singular, es precisamente en estos puntos en los que es necesario estudiar con más cuidadola solución. Como una opción para los métodos analíticos, es posible considerar el empleo de métodos numéricos, que se analizan en el capítulo 8. Sin embargo, estos métodos no se adaptan al estudio de las soluciones cerca de un punto singular. Incluso si se adopta un enfoque numérico, es necesario combinarlo con los métodos analíticos de este capítulo, a fin de examinar el comportamiento de las soluciones cerca de puntos singulares. Sin contar con información adicional acerca del comportamiento de Q/P y RIP en la vecindad del punto singular, es imposible describir el comportamiento lasde soluciones de la ecuación(1) cerca dex = xo.Puede suceder que existan dos soluciones linealmente independientes de (1) que permanezcan acotadas cuandox + xo, o pueda haber sólo una mientras que la otra se vuelve no acotada cuandox +xo, o las dos pueden volverseno acotadas cuando x + xo. Para ilustrar esto, considere los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial x2y"

-

2y = o

I -1

tiene un punto singularen x = O. Es posible comprobar,con facilidad por sustitución directa que para x > O o x < O, y = x 2 y y = l / x son soluciones linealmente independientesde la ecuación (4). Por tanto en cualquier intervalo queno contenga el origen, la solución generalde (4) es y= c1x2+ c2x-l. La única solución dela ecuación (4) que es acotada cuandox-t O esy = c1x2.De hecho, esta solución es analítica en el origen aunque (4) se escriba en laforma estándar, y"- (2/x2)y

268

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden = O, la función q(x) = -2/x2 no sea analítica en x = O y el teorema5.3.1 no sea aplicable.Por otra parte, nótese quela solución y =x-] no tiene un desarrollo en serie de Taylor alrededor del origen .(no es analítica en x = O); por lo tanto, en este caso fracasaría el método de la sección 5.2

La ecuación diferencial 2xy'

+ 2y = o

(5)

también tiene un punto singular en x = O. Se puede verificar que yl(x) = x y y2(x) = x2 son soluciones linealmente independientes dela ecuación (5) y que las dosson analíticas en x = O. Sin embargo, todavía no es adecuado proponer un problema con valor inicial con condiciones iniciales en x = O. Es imposible prescribir condicionesiniciales arbitrarias en x = O, puesto que cualquier combinaciónlineal de x y x2es cero enx = O.

También es posible construir una ecuación diferencial en un punto singular x. tal que toda solución de la ecuación diferencial se vuelva no acotada cuandox -+xg' Incluso si (5) no tiene una solución que permanezca acotada cuando x 3 xo, a menudo es importante determinar de qué manera se comportan las soluciones de la ecuación(1) cuando x xo; por ejemplo,¿y tci de la misma manera cuando (x - xJ1 o (x- x o t l i 2 o lo hace de alguna otra manera? Para desarrollar una teoría matemática razonablemente sencilla para resolver la ecuación (1) en la vecindad un de punto singularxo, es necesario restringirselosa casos enlos que las singularidades de las funciones QIP y RIP enx = x. no sean demasiado severas; es decir, a lo que podrían llamarse "singularidades débiles". A priori, no es exactamente obvio qué es una singularidad aceptable. Sin embargo, más tarde se demostrará (ver los problemas 16 y 17 de la sección 5.7) que si P, Q y R son polinomios, las condiciones que distinguen las "singularidades débiles" son -+

-+

Y

Esto significa que la singularidad Q/P en no puede ser peor que(x -xo)" y que la singularidad en RIPno puede ser peor que(x - x ~ ) - ~Este . punto se llama punto singular regular de la ecuación (1). Para funciones más generales que los polinomios, x. es un punto singular regular de la ecuación (1) si esun punto singular, y si tanto'

Las funciones que se dan en la ecuación (8) pueden no estar definidas enxo, en cuyo caso deben tomarsesus valores en x. iguales a sus límites cuandox +x,,.

269

5.4 Puntos singulares regulares

tienen series de Taylor convergentes alrededor de xo; es decir, si las funciones de(8) son analíticas en x = xo. Las ecuaciones (6) y (7) implican que éste será el caso P, si Q y R son polinomios. Cualquier punto singular de(1) que no sea un punto singular regularse conoce comopunto singular irregularde la ecuación (1). En las secciones siguientesse analiza la manera de resolver la ecuación (1) en la vecindad deun punto singular regular. Un análisis de las soluciones de las ecuaciones diferenciales enla vecindad de puntos singulares irregulares rebasa el alcance de un texto elemental.

Ejemplo 5

En el ejemplo 2 se observó quelos puntos singulares de la ecuaciónde Legendre (1 - x2)y"

2xy'

-

+ a(a + 1)y = o

son x = H . Determinar si estos puntos singularesson puntos singulares regularesO irregulares. En primer lugar considéreseel puntox = 1 y también obsérvese queal dividir entre1-x2, 10s coeficientes dey' y y son-a/(l -x2) y a(at 1)/(1-x2), respectivamente. Por tanto, se calcula Iím (x - 1) x- 1

- 2x ~

1 - x2

Km (x - 1)'

=

a(a ~

x- 1

lím

(x

-

1)( -2x)

2x

+ i j = lím 1 + x = 1 ~

x-11(1 - x)(í

x-1

+

+

(x - 1)2a(a 1) 1) = lím 1 - x2 x-1 (1 - x ) ( l + x ) (x

-

1)(-a)(.

lím ___

=

l + x

x- 1

+ 1) = o.

En virtudde que estos límitesson finitos, el punto x = 1 es un punto singularregular. Es posible demostrar de manera semejante que x = -1 también es un punto singular regular.

Ejemplo 6

I

I ' ~

Determinar los puntos singulares dela ecuación diferencial 2(x - 2)2xy"

+ 3xy' + (x - 2)y = o,

y clasificarlos como regulareso irregulares. Si se divide la ecuación diferencial entre 2(x - 2)%, se tiene y"

+ 2(x -3 2)2 y, +-2(x -1 2)x y = o, ~

de modo que&) = Q(x)/P(x) = 3/2(x - 2)2 y q(x) = R(x)/P(x) = 1/2x(x - 2). Los puntos singulares sonx = O y x = 2. Considérese x = O; se tiene 3

lím xp(x) = Km x ____ = O,

x-o

x-0

lím x2q(x) = ]ím x'

x-o

x-0

2(x - 2)2

1 2x(x - 2)

=

o.

Como estos límitesson finitos, x = O es un punto singular regular. Para x = 2 se tiene

.

". . .

.. .

..

270

de serie Soluciones en

lím (x

-

orden segundo las ecuaciones delineales

2)p(x) = lím (x

x-2

x-2

-

2) ---, 2(x

3 -

2)2

de modo que el límite no existe; de donde, x = 2 es un punto singular irregular.

Ejemplo 7

1

1

Determinar los puntos singulares de

y clasificarlos como regulares o irregulares. El Único punto singular esx = n/2.A fin de estudiarlo, considérense las funciones

.Y

Si separte de la serie de Taylor para cos x alrededor de x = nl2, se encuentra que

Además,

Las dos series convergen para toda x; por consiguiente, seconcluye que nl2 es un punto singular regular de esta ecuación.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 18, halle todos los puntos singulares de la ecuación dada y determine si cada uno de ellos es singularo irregular. l. xy” + (1 - x)y’ + xy = o 2. xZ(1 - x)2y” 3.x2(1 - x)y” (x - 2)y’ - 3xy = o 4. x2(1 - x2)y” 5. ( 1 - x2)2y” x( 1 - x)y’ (1 x)y = o 6. x * y” + xy’ + (x2 - v2) y = O Ecuación de Bessel

+ +

7. 8. 9. 10. 11. 13. 15. 17.

(S

+ 3)y”

x (I (x

-

2x4”+ ( I

-X y y ”

+ 2)2(x

+ +

+ (I

-

2)); = o

- X‘)’).’

+

+ 2(1 + X)!.

1)y” 3(x - 1)y’ - 2(x s(3 - x)y” + (x + 1)y’ - 24’ = o (x2 x - 2)y” (x 1)y’ + 24‘ = o y” (In/xl)y‘+ 3x-y = O x2,y” -3(sen.x)y’ + (1 + xz)y = O (sen x)y” + xy‘ + 4)) = O

+ +

-

+ +

=

+ 2xy‘ + 4y = o + (2/x)44 + 4y = o

o

+ 2)y = o +

+

12. xy“ exy’ (3 cos x)y = O 14. x’y” 2(e” - 1)y’ ( e - x cos x))>= O 16. S:” 4’’ (cot X)Y = O 18. ( x senx)y” 3),’ + xy = O

+

+ +

+

+

ler

5.5

271

Ecuaciones de

En cada uno de los problemas19 y 20 demuestre que el puntox, = O es un punto singular regular. En cada problema, intentehallar soluciones dela forma

1 a,x”. Demuestre que en

n=O

el problema19 sólo existeuna solución diferente de cero de esta forma y queen el problema 20 no existen soluciones diferentesde cero de esta forma. Portanto, en ningún casoes posible hallar la solución general de esta manera. Esto es típico de las ecuaciones con puntos singulares. 19. 2xv”

+ 3y‘ + xy = O

20. 2x5’’ + 3xy’ - (1

+ x)y = 0

21. Singularidades en el infinito. Las definiciones de punto ordinario y de punto singular regular que se dieron en las secciones precedentes son válidas sólo si el punto x, es finito. En trabajo más avanzado en las ecuaciones diferenciales a menudo es necesario analizar el punto en el infinito. Esto se lleva a cabo al efectuar el cambio de variable = l / x y estudiar la ecuación resultanteen 6 = O. Demuestre que parala ecuación diferencial P(x)y“ + Q(x)y’ + R(x)y = O el punto en el infinito es un punto ordinario si ~

1 ~[2P(l/t) _ Q(l/O] _ P(1/5) 5 tz

_

R(1/t) y 5 4 P o

tienen desarrollosen serie de Taylor alrededorde E = O. También demuestre que el punto en el infinito es un punto singular regularsi por lo menos una de las funciones anteriores no tiene un desarrollo en serie de Taylor, pero que tanto

sí tienen esos desarrollos.

En cada uno delos problemas 22 a 25,use los resultados del problema21 para determinar si el punto en el infinito es un punto ordinario, un ,punto singular regularo un punto singular irregular de la ecuación diferencial dada.

22. (1 -x2)y” - 2xy’+ a(a t 1)y = O, Ecuación de Legendre 23. x2y” + xy ’ + (x2- v2)y = O, Ecuación de Bessel 24. y” - ay’t A y = O, Ecuación de Hermite 25. y ” - xy = O, Ecuación deAiry

5.5 Ecuaciones de Euler El ejemplo más sencillo de una ecuación diferencial que tiene un punto singular regular es la ecuación de Eulero ecuación equidimensional,

L [ y ] = x2y”

+ axy’ + py = o,

(1)

en donde a y /3 son constantes. Amenos de que se indique lo contrario, se considerará que a y /3 son reales. Es fácil demostrar quex = O es un punto singular regular de la ecuación (1).Debido a quela solución de la ecuación de Euler es típica de las soluciones de todas las ecuaciones diferenciales con un punto singular regular, vale la pena considerar esta ecuación con todo detalle, antes de analizarel problema más general.

.

. . I _

.....

_

I

..

^.“..__*.”....... . ”

272

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden

En cualquier intervalo que noincluyetl origen, la ecuación(1) tiene una solución general de la forma y = c,y,(x) t c,y,(x) en donde y, y y, son linealmente independientes. Por conveniencia, en primer lugar se considerará el intervalox > O, extenderán posteriormente los resultados al intervalo x < O. Primero, obsérvese que(xr)' = KC'y" (xr)" = ~ ( r 1- ) ~ " ~ . De donde, si se supone que (1) tiene una solución de la forma y = xr, se obtiene

L[x']

= x2(x*)"

+ ax(xl)' + fix. + clr + fi].

- 1)

= x.[,(,

Si r es una raíz dela ecuación cuadrática

F(r) = r(r - 1) + w

+ fi = O,

(4)

L[x'] es cero y y = x' es una solución de la ecuación (1). Las raíces de la ecuación (4) son - ( a - 1)

r l , r2 = -

* J"zjj

2 (5) y F(r) = ( r - r l ) ( r , - r2). Como para las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, es necesario considerar por separadolos casos en los que las raíces son reales y diferentes, reales pero iguales y complejas conjugadas. De hecho, todo el análisis de esta sección es semejante al tratamiento de las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes del capítulo 3, pero reemplazando e'' por x'; ver también el problema 23. Al resolver una ecuación específicade Euler, se recomienda hacer la sustitucióny = x'en la ecuación, determinar la ecuación cuadrática (4) y, a continuación, calcular las raíces rl y r2, en vez de memorizarla fórmula (5). Raíces reales distintas. Si F(r) = O tiene las raíces reales rl y r,, con r1 # r2, entonces y,(x) = X'I y y2(x) = x'? son soluciones de la ecuación (1). Como W(x'1, x'2) = (1, r 1 ) x r l ' 2 - no se anula para r l # rz y x > O, se deduce que la solución general de (1) es +

y = clxrl

+ czxr'",

> o.

x

(6)

Nótese que sir no es un número racional, entonces x' se define porx' = e' In

Ejemplo 1

Resolver 2X2I'" + 3x-I" - I' = o,

x

> o.

Si se hace la sustitución y = x' da x r [ 2 r ( r - 1)

+ 3r

-

11 = xr(2r2 + r

-

1) = x'(2r

De donde, r l = f y rz = -1, de modo que y = c1x112

+ c2x-1,

x

> o.

-

l)(r

+ I ) = O.

x.

273

5.5 Ecuaciones de Euler

Raíces iguales. Si las raíces rl y r2 son iguales, entonces se obtiene sólo una solución y l ( x ) = x'1 de la forma supuesta. Puede obtenerse una segunda solución por el método de reducción de orden, pero para efectos de análisis futuro se considerará un método alternativo. Dado que rl = rz, se sigue que F(r)= (r - r1)2. Por tanto, en este caso no solamente F(rl) = O, también F'(rl) = O. Esto sugiere derivarla ecuación (3) con respecto a ry luego hacer r igual a rl. Sise deriva la (3) con respecto a r da

a

a

- qx.1 = - [x'F(r)].

dr

dr

Si se sustituye F(r)por su expresión, se intercambia la derivación con respecto a x y con respecto a ry se observa que a(xr)l& = x' In x. Se obtiene L [ x r In x]

=

(r - rl)'xr In x

+ 2(r

-

r1)xr.

(9)

El segundo miembro de la ecuación (9) es cero parar = r,; como consecuencia,

> O,

xy2(x) Inx, = xrl

(10)

es una segunda solución de la ecuación (1).Es fácil demostrar que"(YI, Y1 Inx) = x2'1'-I. De donde, X'I y x'1 In x son linealmente independientes para x > O y la solución general de (1) es

> O.

y = (cl t c2 lnx)x'l, x

Ejemplo 2

(11)

Resolver x2y"

+ 5xy' + 43' = o,

x

> o.

Si se hace la sustitución y = x' da xr[r(r

-

1)

+ 5r + 41 = xr(r2 + 4r + 4) = o.

De donde, r, = r2 = -2 y y = x-qc, t cz In x),

x

> o.

Raícescomplejas. Por último, supóngase que las raíces rl y rz son complejos conjugados, por ejemplo,rl = A t ig y rz = A - ip, con y # O. Ahora se debe explicar qué se entiende por x' cuando r e s un complejo. Si se recuerda que =

In x

cuando x > O y r es real, es posible utilizar esta ecuación para definir complejo; entonces,

Y'

(14) cuando r es un

+ ip - e(I+ ip) In x - A, In x e ip In x - x l e iIn~x = x'[cos(p

In x) + i sen(p In x)], x

> O.

(15)

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales deorden sepundo

274

Con esta definición dex r para valores complejosde r, es posible verificar que se cumple las leyes usuales del álgebray el cálculo diferencialy, por tanto, en efecto X'I y xrz son soluciones de la ecuación (1). La solución general de (1) es c l x I + i ~

+ c2x"

(16) La desventaja de esta expresión es que las funciones xi. "pyx' son de valores cornplejos. RecuCrdese que setuvo una situación semejante para la ecuación diferencial de segundo ordencon coeficientes constantes cuando las raíces de la ecuación características fueron complejas. De la misma manera en quese procedió entonces, se observa que las partes real e imaginaria de'x ip, a saber, ~

+

Y' cos(p In .x)

y

xi sen(p In x),

(171

también son soluciones de la ecuación (1).Con un cálculo directo se demuestra que

W[x'.cos(p In x), x' sen(,u ln x)]

= ,u2'.-

De donde, estas soluciones también son linealmente independientes para x > O y la solución general de la ecuación (1) es

y = c,x* cos(p In x) + c2xi

Ejemplo 3

S-5&

sen(p In x),

x > O.

(1 8)

Resolver (191

Considérese ahora el comportamiento cualitativo de las soluciones de l a ecuación (1) cerca del punto singularx = O. Esto depende por completo de la naturaleza de los exponentes r , y r2. En primer lugar si r es real y positiva, x' "+ O cuando x tiende a cero a través de valores positivos. Por otra parte, si r es real y negativa, entonces x' se vuelve no acotada, mientras que sir = O, entonces x' = l . Estas posibilidades se muestran en la figura 5.5.1 para varios valores der. Si r es un complejo, entoncesuna solución típica es 'x cos@ In x). Esta funci6n se vuelve no acotada o tiende a cero si A es negativa o positiva, respectivamente, y también oscila cada vez más rápido cuandox "+ O. Este comportamiento se observa enlas figuras 5.5.2 y 5.5.3 para valores seleccionados de il y p . Si A = O, l a oscilación es de amplitud constante. Por hltimo, si se tiene raíces repetidas, entonces una solución es de l a forma I'In x,que tiende a cero si r >. O y se vuelve no acotada si r < O. En la figura 5.5.4 se muestra un ejemplo de cada caso. L a extensión de las soluciones de la ecuación (1) hacia el intervalo x < O puede llevarse a cabo de manera relativamente directa. La dificultad reside en comprender lo que se entiende por s' cuando x es negativa y r no es u n entero; de manera semejante, no se ha

275

5.5 Ecuaciones de Euler

y =x0

y =

x7/ 0.5

1

1.5

2

x

FIGURA 5.5.1 Soluciones de una ecuación de Euler; raíces reales. Y 5

2.5

y = x - ~ / ~ c o In s (X)~

V "

-2.5

L

FIGURA 5.5.2 real negativa.

Solución de una ecuación de Euler; raíces complejas con parte

Soluciones en seriede las ecuaciones lineales de segundo orden

276

___-

Y , 1

-1

FIGURA 5.5.3 Solución de una ecuación de Euler; raíces compiejas con parte real positiva.

Y'

2

1

0.5

\

-1

-

I

FIGURA 5.5.4 Soluciones de una ecuación de Euler; raíces repetidas.

5.5

277

Ecuaciones de Euler

definido In x para x < O, pero en general son de valores complejos. Es posible demostrar que las soluciones de la ecuación de Eulerseque han dado parax > O son válidas parax < O, peroengeneralsondevalorescomplejos.Portanto,enelejemplo1, la solución es imaginaria para x < O. Siempre es posible obtener solucionesde valores realesde la ecuación de Euler (I) en el intervalo x < O al hacer el cambio de variable que se indicaa continuación. Seax = -5, en donde ( > O, y sea y = u((); entonces se tiene

dy -dud( dx d l dx

""-

du d('

"

"

"

Por tanto, parax < O la ecuación (1) toma la forma

(6), (11) Pero este es exactamente el problema que se acaba de resolver; por las ecuaciones y (18) se tiene

cos(p ln

5)

+ c 2 P sen(p In 0 ,

(23)

dependiendo de si los ceros de F(r) = r(r - 1) t ar t p son reales y diferentes, reales e iguales o complejos conjugados.A fin de obteneru en términos dex se sustituye 4 por -x en las ecuaciones (23). Se puede combinar los resultados parax > O y x < O al recordar que 1x1 = x si x > O y que /x/ = -x si x < O. Por tanto, basta sustituir x por 1x1 en (6), (11) y (18) para obtener soluciones de valores reales válidasen cualquier intervalo que no contenga el origen (ver también los problemas 30 y 31). Estos resultados se resumenen el siguiente teorema.

278

de segundo orden

Soluciones en serie ecuaciones lineales de las “ _

Las soluciones de una ecuación de Euler de la forma (x - xo)2y”

+ a(x - x,)y’ + py = o

(27)

son semejantes a las dadas en el teorema 5.5.1. Si se buscan soluciones de la formay = (x x0)r, entonces la solución general se expresa por las ecuaciones (24), (25) o (26), en donde x se sustituye porx - xo.De otra manera,se puede reducir la ecuación (27) a la forma dela ecuación (1) al efectuar el cambio de variable independiente t = x - xo. La situación para una ecuación diferencial general de segundo orden un con punto singular regular es semejante a la de la ecuación de Euler. Este problema se considera en la sección siguiente.

En cada unode los problemas 1 a 12 determine la solución general dela ecuación diferencial dada que seaválida en cualquier intervalo que no incluya el punto singular. 1. x2y” 3. x2y“ 5. x2y”

7. x’y”

+ 4xy’ + 23’ = o 3xy‘ + 43’ = o xy’ + y = o + 6xy’ y = O

2. 4. 6. 8. IO. 12.

-

-

-

9. x2y“ - 5xy’ 1 I . x 2 $ ’ + 2xy‘

+ 9y = o

+ 4y = O

+

+ + + +

(x 1)”” 3(x 1)y’ x2y“ 3xy‘ 5y = O (x - 1)Iy” 8(x - l)y’ 2x2y’’ - 4xy’ 6y == O (x - 2yy” 5(x - 2)y’ x2y” - 4xy’ 4y = o

+

+

+

+

+ 0 . 7 5 ~= O + 12y = O + 8y = o

En cada uno de los problemas 13 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial dado. 13. 2x2y” xy’ - 3y = o, 14. 4x2y’’ SXY’ 17y = O, 15. x2y” - 3xy‘ 4y = O, 16. X’Y” 3xy‘ 5 y = O,

+

+

+

+ + +

y(1) = 1, y’(1) = 4 y(1) = 2, y’( 1) = - 3 y( - 1) = 2, y’( - 1) = 3 y(1) = 1, ~ ’ ( 1 = ) -1

17. Halle todoslos valores de a para los que todas las soluciones dex2y“ t a x y ’ + (5/2)y = O tienden a cero cuandox -+ O. 18. Halle todoslos valores de p para los que todaslas soluciones dex2y” + py = O tienden a cero cuandox -+ O. 19. Halle yde modo que la solución del problema con valorinicial x2y” - 2y = O, ~ ( 1=) 1, y’(1) = y sea acotado cuandox O. 20. Encuentre todos los valores de a para los que todaslas soluciones dex2y“ + axy’ + (5/ 2)y = O tiendan a cero cuandox -+ m. 21. Considere la ecuación deEulerx2y”+ axy’+ py = O. Determine las condiciones sobre a y fl de modo que a) todas las soluciones tiendan a cero cuando x -* O. b) todas las soluciones sean acotadas cuando x -+ O. c) todas las soluciones tiendan a cero cuandox m. d) todas las soluciones sean acotadas cuando x --t 00. e) todas las soluciones sean acotadas cuandox -* O y cuando x 00. 22. Con aplicación el método de reducción de orden, demuestre que sirl es una raíz repetida de r ( r - 1) + cy r + p = O, entoncesx‘l y x‘1 In x son soluciones de x2y” + axy’ + py = O para x > O. -+

-$

-+

279

5.5 Ecuaciones de Euler

23. I'ransformación a una ecuación con coeficientes constantes. La ecuación de Euler x2y" t axy' t p y = O se puede reducir a una ecuación con coeficientes constantes mediante un cambio de la variable independiente. Sea x = e z o z = 111 x, y considere s d o el intervalo x > O. a) Demuestre que dy

dx -

ddiy x1 ~y

"

d2y -~ - 1 d2y

" "

"

dx2

x2

di2

-

1 dy ~

x2

dz'

b) Demuestre que la ecuación de Euler queda

Si por rl y r2 se denotan las raíces de r 2 t ( a- l ) r + p = O, demuestre que c) si rl y r2 son reales y diferentes, entonces y = c,e"'

+ c2e'lL= c,xrl + c2xr'.

d) si r l y r2 son reales e iguales, entonces y = (c,

+ c2z)er1'= ( c , + c2 In x)xrl.

e) si rl y r2 son complejos conjugados, rl = il+ i p , entonces y = c+[cl c o s ( p ) + cz sen(pz)] = .Y.[c, cos(p In .x)

+ c z sen(p In .Y)]

En cada uno de los problemas 24 a 29, aplique el método del problema 23 para resolver la ecuación dada para x > O. 25. x'y" - 3xy' + 4). = In .Y 27. s'y" - 2xy' + 2y = 3.~' + 2 In x 29. 3 x 2 ~+" 1 2 ~+~9!;' = O

30. Demuestre que si L [ y ] = x2y"

t

axy' t py, entonces L[( --x)']

= ( - s)'F(r)

para toda x < O, en dondeF(r) = r(r - 1)t a r + p. De donde, concluye que si r1 # r2 son raíces deF(r) = O, entonces dos soluciones linealmente independientes de Lly] = O para x < O son (-x)~Iy (-x)'2. 31. Suponga quex r l y xr2 son soluciones de una ecuación de Euler, en donderl # r2 y r , es un entero. Según la ecuación (24), la solución general en cualquier intervalo que no contenga el origen es y = c1 x r~ t c2x r 2 . Demuestre que la solución general también puede escribirse comoy = klxrl t k , x r ~ . Sugerencia: demuestre mediante una elección adecuada de las constantes,que las expresiones son idénticas para x > O, y con una elección diferente de constantes que son idénticas para x < O.

Coeficientes complejos. Si las constantesa y p d e la ecuación deEulerx2y"+ axy'+ p y = O son números complejos, sigue siendo posible obtener soluciones de la forma xr. Sin embargo, en general, lassoluciones ya no son de valores reales.En cada uno de los problemas 32 a 34, determine la solución general de la ecuación dada. 33.

x2y"

+ ( 1 - i ) q { + 2y = o

280

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden

A continuación se considerará la cuestión de resolver la ecuación lineal general de segundo orden

+

P(x)p” + (?(.X)}>’ R ( x ) y = O

(1)

en la vecindad deun punto singular regularx = xo.Por conveniencia, se supone que x. = O. Sixo st O, la ecuación puede transformarse en una para la que el punto singular regular está en el origen al hacer x -xo igual a t. El hecho de quex = O es un punto singular regular de la ecuación (1) significa quexQ(x)/ P(x) = xp(x) y x2R(x)/P(x)= x2q(x) tienen límites finitos cuando x O y que son analíticas en x = O. Por tanto, tienen desarrollos en series de potenciasde la forma --$

1 pnxn,

1

x’q(x) = n = O qnx“,

.XP(X) = n = O

que son convergentes para algún intervalo 1x1 < p, p > O, alrededor del origen. Para hacer que las cantidadesx&) y x2q(x) aparezcan en (1), es conveniente dividir la entre P(x) y después multiplicar por x2,obtener

+ x[xp(x)]y’+ [x2q(x)]y= O,

(34

+ p,x + . + pnxn+ . . . )y’ + (qo + q , x + + qnxn+ . . . ) y = o.

(3b)

x2y”

o bien, x2y” t x(p0

’ ‘

’ ‘ ’

s i todos lospn y los q, son cero excepto

la ecuación (3) se reduce a la ecuación de Euler

+

+

x 2 ~ ” ’ p O x ~ ’ q o y = O,

(5)

que se estudió enla sección anterior. Por supuesto, en general algunosde lospny los q,l, 2 1, no son cero. Sin embargo, el carácter esencial de las soluciones de (3) es idénticoal de las soluciones de la ecuación de Euler. La presencia de los términosp,xt . . . + p $ ‘ + . . . y q,x t . . . + qnx” + . . . tan sólo complica los cálculos. Principalmente, el análisisse restringirá al intervalo x > O. Puede tratarse el intervalox < O del mismo modo quepara la ecuación de Euler, al hacer el cambiode variable x = -5 Y después resolver la ecuación resultante para5 > O. Dado que los coeficientes dela ecuación (3) son “coeficientes de Euler” multiplicados por series de potencias, es natural buscar soluciones de la fmma “soluciones de Euler” multiplicadas por series de potencias.Así se supone que

n

la serie y a, es en dondea, # O. En otras palabras, r e s el exponente del primer término de su coeficiente. Como parte dela solución, es necesario determinar:

5.6

281

I

Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte

1. 2.

Los valores de r para los que la ecuación (1) tiene una solución de la forma (6) La relación de recurrencia para los coeficientes an.

3.

Elradio de convergencia de la serie

m

n=O

a,,x".

La teoría general se debe a Frobenius9 y es bastante complicada. En vez de intentar presentar esta teoría, simplemente se supondrá en éstay en las tres secciones siguientes que en realidad existe una solución de la forma propuesta. En particular, se supone que cualquier serie de potencias en una expresión de una solución tiene un radio de convergencia diferente de cero y la atención se concentra en demostrar la manera de determinarlos coeficientes en esa serie.A fin de ilustrar el método de Frobenius, en primer lugar se consider5 un ejemplo

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial 2xZy"

-

xy'

+ (1 + x)y = o.

(7)

Es fácil demostrar quex = O es un punto singular regularde la ecuación (7).Por comparación con las ecuaciones (3a)y (3b), se ve que xp(x) = -1/2 y x2q(x) = (1 t x)/2. Por tanto, Po = -1/2, qo = 1/2 y todos las demás p y q son cero. Entonces, por la ecuación (5), la ecuación de Euler correspondiente a la (7) es 2x2y"

-

xy'

+ y = o.

(8)

Para resolverla ecuación (7) se supone que existeuna solución dela forma (6). Entoncesy' y y" se expresan por n

y' = "=O

a,(n

+ r)xn

tr-

Y .r

y" =

"=O

a,(n

+ r)(n + r

-

I)x"+'-~.

ST Al sustituir las expresiones para y, y' y y" en ( 7 ) se obtiene n

2x2y" - xy'

+ (1 + x)y = 1 2a,,(n + r)(n + r

-

{)x"+'

"=O

4

a+

X

El Úhim0 término en la ecuación (11) se puede escribir como

:e combinar los términos de (11) se obtiene

.

.

0,n=O

+

r,

de modo que al

282 2x2y" - xy'

+

m

serie Soluciones en

ecuaciones delineales de las

+ (1 + x)y = a0[2r(r

-

{[2(n

+ r)(n + r

1) -

-

segundo orden

+ I]x' ( n + r) + l]a, + u,1) - r

l)~n+'

= O.

n=1

(12)

Si se debe satisfacerla ecuación (12) para toda x, el coeficiente de cada potencia de .Y de (1 2) debe ser cero. De los coeficientes de x' se obtiene, dado quea. # O, 2r(r - 1) - r

+ 1 = 2r2

-

3r

+ 1 = (r

-

1)(2r - 1) = O.

(13)

La ecuación (13) se llamaecuación indicial de la ecuación (7). Nótese que es exactamente la ecuación polinomial que se hubiera obtenido para la ecuación de Euler (8) asociada con la ecuación (7). Las raíces de laecuación indicial son rl = 1,

(14)

r2 = 112.

Estos valores de r se llaman exponentes de la singularidad en el punto singularregular x = O, y determinan el comportamiento cualitativode la solución (6) en la vecindad del pun-

to singular. Ahora se regresa a la ecuación (12) y se iguala acero el coeficiente dex" ', esto dala relación +

o bien,

de (16) para determiPara cada raíz r1 y r2 de la ecuación inicial se aplica la relación recurrencia nar un conjunto de coeficientes al, u2, . . , . Para r = rI = 1,la ecuación (16) queda

Por tanto,

a2 =

S'2

-

a0

13'5)(1

'

2)'

En general, se tiene

1

De donde, si se omiteel multiplicador constante a,,, una solución de la ecuación (8) es

5.6

Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte Z

283

Para determinarel radio de convergenciade la serie dada en (18) se aplica la prueba de la razón:

para todax. Por tanto, la serie converge para toda x. De manera correspondiente, para la segunda raíz r = r2 = se procede análoga. Por la ecuación (16) se tiene

De donde,

y en general a, =

( - 1)"ao

n![l

'

3 5 '

' ' '

n 2 1.

(2n - l)] '

(19)

Una vez más, si se omite el multiplicador constantea,, se obtiene la segunda solución ( - 1)"X"

,,=,n![l . 3 . 5 . . . (2n

-

I)]

1

,

x>o.

Como antes, es posible demostrar quela serie de la ecuación (20) converge para toda x. Como los primeros términos las soluciones en serie y, y y, son x y respectivamente, es evidente que las soluciones son linealmente independientes. De donde la solución general de la ecuación (7) es y = C,Y,(X)

-t czy2(4,

x > o.

El ejemplo anterior ilustra que si x = O es un punto singular regular, entonces a veces se tienen dos soluciones de la forma(6) en la vecindad de este punto. De manera análoga, si hay un punto singular regular enx = xo, entonces puede haber dos soluciones dela forma

que son válidas cerca de x = .xo, sin embargo, precisamente como una ecuación de Euler puede no tener dos soluciones de la formay = x', así una ecuación más general con un punto singular regular puede no tener dos soluciones de la forma (6) o (21). En particular, en la siguiente sección se demostrará que si las raíces rl y r2 de la ecuación inicial son iguales, o difieren enun entero, la segunda solución normalmente tiene una estructura más complica-

284

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden

da. Aunque en todo caso,es posible encontrar por lo menos una solución de la forma (6) o (21); si r1 y r2 difieren en un entero, esta solución correspondeal valor más grande der. Si sólo existe una de esas soluciones, la segunda solución comprendeun término logarítmico, del mismo modo que para la ecuación de Euler cuando las raíces de la ecuación característica son iguales. En estos casos se puede recurrir al método de reducción de orden o a algún otro procedimiento para determinar la segunda solución. Esto se analiza en las secciones 5.8 y 5.9. Si las raíces de la ecuación inicial son complejas, entoncesno pueden ser igualeso diferir en un entero, de modo que siempre existen dos soluciones de la forma (6) o (21). Por supuesto, estas soluciones son funciones de valores complejos x. de Sin embargo, así como para la ecuaciónde Euler, es posible obtener solucionesde valores realesal tomar las partes real e imaginaria de las soluciones complejas. Por último, se menciona una cuestión práctica. Si P, Q y R son polinomios, a menudo es mucho mejor trabajar directamente con la ecuación (1) que con la (3). Esto evita la necesidad de expresar xQ(x)/P(x) y x*R(x)/P(x) como series de potencias. Por ejemplo, es más conveniente considerar la ecuación

x(l

+ x)y" + 2y' + xq' = o

que escribirla en la forma

lo cual impone desarrollarb/(l t x) y x2/(1 t x) en series de potencias.

En cada uno de los problemas 1 a 10, demuestre que la ecuación diferencial dada tiene un punto singular regularen x = O. Determine la ecuación indicial, la relación de recurrencia y las raíces dela ecuación indicial. Halle la solución en serie (x > O) correspondiente ala raíz más grande. Si las raíces son desiguales y no difieren en un entero, encuentre también la solución en serie correspondiente a la raíz más pequeña.

x'4'"

2. + xy' + (x? - ;)y = o 4. ry" + y' - 4'= o 6. x2y" + xy' + (x - 2 ) =~ 0

1. 2xy" + y' + xy = o 3. xy" + y = o 5. 3x2y" + 2x4" + x * y = o 7 . xy" + ( 1 - x)y' - y = o 9. x2y" - x(x + 3)y, + (x + 3 ) y = o

s. 2x2y" + 3xL" + (2s'

+

(x2

+ S((% + I ) J

=

10. x2y"

+ a,y = o

-

l)y = o

11. La ecuación de Legendre de orden cy es (1

- X?))>''-

2xy'

o.

La solución de esta ecuación cercadel punto ordinariox = O se analizóen los problemas 20 y 21 de la sección 5.3. En el ejemplo 4 de la sección 5.4 se demostró quex = +1 son puntos singularesregulares. Determine la ecuación indicial y sus raícespara el punto x = 1. Encuentre una solución en serie en potencias de x - 1 para x - 1 > 0. Sugerencia: escriba 1 + x = 2 + (x - 1) y x = 1 + (x - 1). De manera opcional haga el cambio de variablex - 1 = t y determine una solución en serie en potencias det.

5.6

Soluciones en sene cerca de un punto singular regular, parte

285

I

12. La ecuación de Chebyshev es ( 1 - x2)y"

-

xy' + x2y

= o,

en donde (Y es una constante; ver el problema 10 de la sección 5.3. a) Demuestre que x = 1 y x = -1 son puntos singulares regularesy encuentre los exponentes en cada una de estas singularidades. b) Encuentre dos soluciones linealmente independientes alrededorde x = 1. 13. La ecuación diferencial de Laguerre'O es xy"

+ (1 - x)y' + Ay = o.

Demuestre que x = O es un punto singular regular. Determine la ecuación indicial, sus raíces, la relación de recurrencias y una solución (x > O). Demuestre que si A = m,un entero positivo,esta solución se reduce aun polinomio. Si se normaliza adecuadamente, este polinomio se conoce como polinomio de Laguerre, L,(x). 14. La ecuación de Bessel de orden cero es x2y"

+ xy' + x2y = o.

Demuestre quex = O es un punto singular regular; quelas raíces de la ecuación indicial son rl = r2 = O, y que una solución para x > O es

Observe que la serie converge para toda x, no sólo para x > O. En particular, J,(x) es acotada cuandox --t O. La función J, se conoce como función de Bessel de primera clase de orden cero. 15. Con referenciaal problema 14 demuestre, conla aplicación del método de reducción de orden, quela segunda solución dela ecuación de Bessel de orden cero contiene un término logarítmico. Sugerencia: si y2(x) = Jo(x)u(x), entonces

Encuentre el primer término en el desarrollo en series de l/x[J,(x)]2. 16. La ecuación de Bessel de orden unoes x2y"

+ xy' + (x2 - 1)y = o.

a) Demuestre que x = O es un punto singular regular; que las raíces indicial son r , = 1 y r2 = -1, y que una solución para x > O es

de la ecuación

Como en el problema 14, observe que la serie en realidad converge para toda x y que --t O. La función J , se conoce como función de Bessel de primera clase de orden uno.

J,(x) es acotada cuando x

lo

Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886), geómetra y analista francés, estudió alrededor de 1879 los polinomios que llevan su nombre.

"

""

.

286

de las ecuaciones lineales deorden segundo

Soluciones serie en

b) Demuestre que es imposible determinar una segunda solución de la forma

A continuación considérese el problema general de determinar una solución la ecuación de

+ x [ x p ( x ) ] y ' + [xZq(x)]y= o

x2y"

(1)

en donde

y las dos series tienen radios de convergencia diferentes de cero (ver la ecuación (3b) de la sección 5.6). El punto x = O es un punto singular regulary la ecuación de Euler correspondiente es x2y"

+ poxy' + qoy = o.

(2)

Se busca una solución dela ecuación (1) para x > O y se supone que tienela forma P

CL

anxn=

y = xr n=O

anX"+', n=O

en donde u. f O. Si se sustituyeen la (1) da a,r(r

-

I)xr + a l ( r + I)rx'+'

+ . . . + a,(r + n)(r + n - l j x r + "+ . . .

+(po+p,x+...+p,x"+...) x [aOrxr a l ( r + 1 ) x r + l . . . a,(r

+

+

(40

+

+ q , x + . . + qnxn+ '

+ UIX'+ +

x (a,x'

' ' '

+

' '

+ n)x'+" + . . . ]

.)

+ anXr+n+

'

. . ) = o.

Al multiplicar entre si las series infinitasy luego de agrupar términos, se obtiene a,F(r)x'

+{

+ [ a l F ( r + 1) + a O ( p l r+ q l ) ] x r + l a m + 2) + u,(p,r

+

q2)

+ a , [ p , ( r + 1) + 9 1 1 ) x r + 2

+ . . + {anF(r + n) + adpnr + 4,) + a,[pn- l ( r + 1) + qn+ . . . + a n _ , [ p l ( r+ n - 1) + q l ] } x r + n+ . . . = O, '

o bien, en forma más compacta,

en donde F(rj = r(r - I )

+ por + qO.

11

5.7

Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte II

287

Si la ecuación (4) se debe satisfacer idénticamente, el coeficiente de cada potencia de x debe ser cero. Dado que a. # O, el término que comprende x' da lugar a la ecuación F(r) = O. Esta ecuación se llamaecuación indicial;nótese que es exactamente la ecuación que se obtendría al buscar soluciones y = x' de la ecuación de Euler (2). Denótense las raíces de la ecuación indicial porr , y r,, con rl 2 r, si las raíces son reales. Si las raíces son complejas, entonces no importa su designación. Sólo para estos valores rde es posible esperar que se encuentren soluciones dela ecuación (1) de la forma (3). Las raíces rl y r, se llamanexponentes de la singularidad, y determinan la naturaleza cualitativa de la solución en la vecindad del punto singular. Si se igualan a cero el coeficiente dex' de la ecuación (4) da relación de recurrencia +

r y de todos los coeficienLa ecuación (6) muestra que, en general,an depende del valor de tes precedentes a,, al, . . . , a,,- También muestra que es posible calcular sucesivamente a,, a,, . . . , an, . . . en términos de los coeficientes de la serie para x p ( x ) y x2q(x), en el supuesto de queF(r + l),F(r + 2), . . . ,F(r + n), . . . no sean cero.Los únicos valores de r para los que F ( r ) = O son r = r 1 y r = r,; dado que rl + n no es igual a r l o a r2 para n 5 1, se concluye queF(r, + n ) # O para n L 1. De donde, siempre es posible determinar una solución

Aquí seha introducido la notación an(rl)para indicar que se ha determinado u,, a partir de la ecuación (6)) con r = rl. Asimismo, para definir, seha tomado u,, como uno. Si r , no es igual ral y rl - r2 no esun entero positivo, entoncesr, + n no esigual arl para ningún valor den 2 1; de donde,F(r2 + n ) # O y es posible obtener una segunda solución

Antes de proseguir, se harán varias observaciones sobre las soluciones en (7) serie y (8). Dentro de sus radios de convergencia, las series de potencias

2

n=O

m

a n ( r l ) x ny

2 un(r2)x"

n=O

definen funciones que son analíticas en x = O. Por tanto, el comportamiento singular, en caso de presentarse, de las soluciones y1 y y , queda determinado por los términos x'1 y x'2, que multiplican estas dos funciones analíticas, respectivamente. A continuación, a fin de obtener soluciones de valores reales para x < O, se puede hacer la sustitución x = -E con 5 > O. Como podría esperarse con base en el análisis hecho de la ecuación de Euler, resulta que basta reemplazarx'1 de (7) y x'z en (8) por 1x11 ' y 1x1'2, respectivamente. Por último, se observa que sir I y r , son números complejos, entonces necesariamente son complejos conjugados y r, # r , + N . Por tanto, es posible calcular dos soluciones en serie de la forma (2); sin embargo, son funciones de valores complejos de x. Se pueden obtener soluciones de valores reales al tomar las partes real e imaginaria de las soluciones de valores complejos.

288

ecuaciones Soluciones lineales las deen sene

de segundo orden

Si r , = r2, sólo se obtiene una solución de l a forma (2). La segunda solución contiene un término logarítmico. En la sección 5.8 se analiza un procedimiento para determinar una segunda solución se daun ejemplo en la sección 5.9. Si rl - r2 = N , en donde N es un entero positivo, entonces F(r2 t N ) = F ( r , ) = O, y no se puede determinar aN(r2)a partir de la ecuación(6), a menos quesu suma también sea cero para n = N. De ser así, es posible demostrar que aAvarbitraria y que puede obtenerse una segunda solución en serie; de no ser así, solamente se tiene una solución en serie de l a forma (2). Si se trata de este último caso, entonces la segunda solución contiene un término logarítmico. El procedimiento se analiza brevemente en la sección 5.8 y en la sección 5.9 se dan ejemplos de los dos casos. La siguiente cuestión que es necesario considerar es la convergencia de la serie infinita en las soluciones formales. Como podría esperarse, esto se relaciona con los radios de convergencia de las series de potencias para xp(x) y x’q(x). En el siguiente teorema se resumen los resultados del análisis que se acaba de hacer y las conclusiones adicionales acerca de la convergencia de la solución en serie.

aquí una demostración de este teorema, es posible hacer varias Aunque es muy difícil dar observaciones. En primer lugar, las series dadas en (9) y (10) pueden tener radios de convergencia mayores que p; de ser así, las soluciones (9) y (10) son válidas en intervalos

5.7

Soluciones en sene cerca de un punto singular regular, parte II

289

correspondientemente más grandes. Además, los valores de r , y r2y los exponentes en el punto singular son fáciles de determinar, basta resolver la ecuación

r(r - 1)

+ por + qo = O,

ill)

cuyos coeficientes se expresan por

p o = lírn xp(x),

qo = lírn x2q(x).

x-o

x-o

(12)

Nótese queéstos son exactamente los límites que es necesario comprobar para clasificar la singularidad como punto singular regular; por tanto, suelen determinarse en una etapa previa de la investigación. Además, si x = O es un punto singular regular dela ecuación

+

P(x)Y" Q(x)Y'

+ R(x)y = O,

(13)

en donde las funciones P, Q y R son polinomios, entoncesxp(x) = x Q ( x ) / P ( x ) y x2q(x) = x2R(x)/P(x).Por tanto,

Por último, los radios de convergencia de las series dadas en (9) y (10) son por lo menos iguales a la distancia del origen al cero más próximo deP que no seael propio de x = O.

Ejemplo 1

Analizan la naturaleza de las soluciones de la ecuación 2x(1

+ x)y" + (3 + x)y' - xy = o

cerca de los puntos singulares. Esta ecuaciónes de la forma (13) con P ( x ) = 2x(1 + x), Q ( x ) = 3 + x y R(x) = -x. Es evidente que los puntosx = O y x = -1 son puntos singulares.El punto x = O es un punto singularregular, Ya que 3+x Q(x) -3 lírn x __ = lím x P(x) x-o 2x(1 + x) 2'

"

x-o

R(x) -X hm x2 __ = ]ím x 2 P ( x ) x-o 2x(1 + x )

x-o

= o.

Además, por la ecuación (14),p, = y q, = O. Por tanto, la ecuación indicia1 es r(r - 1)+ i r = O, y las raíces son rI = O, r2 = -f. Como estas raíces no son iguales y no difieren en un entero, existen dos soluciones linealmente independientesde la forma

f

Yl(X) = 1 + " = 1 a,(O)x"

y

y2(x) =

1x/":2[

1 + "= 1 a " ( - 4

para O < x < p. Una cota inferior para el radio de convergencia de cadaserie es 1, la distancia de x = O a x = -1, el otro cero de P(x). Nótese que la solucióny, es acotada cuando x "-t O; de hecho es analítica allí. Por otra parte, la segunda solucióny z es no acotada cuandox -+ O.

290

ecuaciones Soluciones lineales las deen serie

de segundo orden

El puntox = -1 también es un punto singular regular, ya que lím (x

Q(4 (x + I ) __ =

P(x)

X”l

lím (x

+ 1)’

X ” l

+

]ím _ _1)(3_+ x) _ -~- I , ~ x-

-I

2x(1

+

+ x)

R(x) (x 1I2(-x) = lím - = o. P(x) 1 2x(1 x)

~

X”

+

En este caso,pO= -1, qO= O, por l o que la ecuación indicial es r(r - 1)- r = O. Las raíces de la ecuación indicial son I , = 2 y r2 = O. Correspondiendo a la raíz más grande, existeuna solución de la forma

La serie converge por lo menos para x t 1 < 1. Dado que las dosraíces difieren en un entero positivo, puede o no haber una segunda solución de la forma

No es posible decir más sinun análisis más profundo.

Problemas En cada uno de losproblemas 1 a 12, halle todos los puntos singulares regularesde la ecuación diferencial dada. Determine la ecuación indicial y los exponentes de la singularidad en cada punto singular regular. 1. 3. 5. 7. 9. 1I .

+ + + + + + + + + + +

+

xy” 2xy’ 6e”y = O X(X - 1 ) ~ ” 6x2y‘ 3y = O x‘y” 3(senx)y’ - 2y = O x2y” +(x sen x)y‘ y = O x2(1 - x)y” - (1 x)y’ 2xy = o (4 - x 2 ) y ” 2xy‘ 3y = o

2. 4. 6. 8. 10. 12.

x2y” - x(2 x)y’ (2 x2)y = o y” 4xy‘ 6y = O ~ X ( X 2)y” y‘ - XY = O (x 1)”” 3(x2 - 1)y‘ 3y = O (x - 2)2(x 2)y” 2xy’ 3(x - 2)y = o x(x 3)2y“ - 2(x 3)y’ - xy = o

+ + + + + + + + + + + + + +

+

13. Demuestre que x2y”

+ (senx)y’ - (COS x)y = O

tiene un punto singular regular x = O y que las raíces de la ecuación indicial son *l. Determine los tres primeros términos diferentes decero de la seriecorrespondiente a la raíz más grande. 14. Demuestre que (In x)y”

+ $y‘ + y = O

tiene un punto singular regular enx = l. Determine las raices dela ecuación indicial en x cc = 1. Determine los tres primeros términos diferentes decero de la serie

2 an(x- 1)‘’

n=O

correspondientes a la raíz más grande. Tome x -1 > O. ¿Cuál espera que sea el radio de convergencia de la serie?

5.7

N

Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte

291

15. En varios problemas de física matemitica (por ejemplo,la ecuación de Schrodinger para un átomo de hidrógeno)es necesario estudiar la ecuación diferencial x(l

- x)y"

+ [y - (1 + a + /3)x]y'

- clpy = O,

(1)

en donde a, /3 y y son constantes. Esta ecuación se conoce como ecuación hipergeométrica. a) Demuestre quex = O es un punto singular regulary que las raíces de la ecuación indicial son O y 1 - y. b) Demuestre quex = 1 es un punto singular regulary que las raíces de la ecuación indicial son O y y - a - p. c) Si se suponeque 1- y no esun entero positivo, demuestre que en la vecindad xde =O una solución de (i) es

¿Cuál espera que seael radio de convergencia de esta serie? d) Si se supone que 1 - y no es un entero o cero, demuestre que una segunda solución para O < x < 1 es y*(x) = x"

-y)

i

1

- Y + 1) X + (a - Y +(2 1)(8 - y)l!

* e) Demuestre queel punto en el infinito es un punto singular regulary que las raíces de la ecuación indicial son a y p. Ver el problema 21 de la sección 5.4. 16. Considere la ecuación diferencial x3y"

+ axy' + fly = O,

en donde a y #? son constantes reales. a) Demuestre quex = O es un punto singular irregular.

00

1 u,xfl, demuestre que la ecua-

b) Al intentar determinar una solución de la formax'

fl=O

ción indicial para r e s lineal y, en consecuencia, que solamente existe una solución formal de la forma supuesta. c) Demuestre que si/?la= -1, O, 1,2, . . . ,entonces la solución formal en serie termina y, por consiguiente, en realidad es una solución. Para otros valores de pia, demuestre que la solución formal en serie tiene un radio cero de convergencia y, por tanto, no representa en realidad una solución en cualquier intervalo. 17. Considere la ecuación diferencial y"

a 8 +y' + - y = o, xs x'

en donde a # O y /3 Z O son números reales y S y t son enteros positivos que, por el momento, son arbitrarios. a) Demuestre quesi S > 1o t > 2, entonces el punto x = O es un punto singularirregular. b) Intente encontrar una solución de la ecuación (i) de la forma y=

S

U,X'+",

"=O

x > o.

(ii)

291

ecuaciones lineales las de serie Soluciones en

deorden seeundo

Ahora se consideran los casos en los que las raíces de la ecuación indicia1 son iguales o difieren en un entero positivo, r , - r2 = N . Por analogía con la ecuación de Euler, podría esperarse quesi r, = r2,entonces la segunda solución contieneun término logarítmico.Esto tambiin puede ser cierto si las raíces difieren enun entero. El siguiente teorema, continuación en un entero. El siguiente teorema, continuacidn del teorema5.7.1, resume la situación en estos dos casos excepcionales.

5.8 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular; rl = r2y rl - r2 = N

293

Raíces iguales. El método para hallar la segunda solución es en esencia el mismo que el usado para encontrarla segunda solución dela ecuación de Euler (verla sección 5.5) cuando las raíces de la ecuación indicial fueron iguales. Se busca una soluci6n de la ecuación (l),de la forma

en donde se ha escrito y = +(r, x ) para hacer resaltar el hecho de que q5 depende de la elección de r. Si se sustituyenxp(x) y x*&) por las series (2), se calculan y sustituyen y ' y y" a partir de la ecuación(7) y, por último, se agrupan términos,se obtiene (verla ecuación (4) de la sección 5.7)

en donde

F(r) = r(r - 1)

+ por + qo.

(9)

Si las dos raíces dela ecuación indicial son iguales ar I ,es posible obtener una solución al hacer r igual a rI y elegir las an de modo que cada término de la serie dado en la ecuación (8) sea cero. Para determinar una segunda solución se considera r como una variable continua y se determinan lasancomo una función der al requerir que el coeficientede x' ", n 2 1, de la ecuación (8) sea cero. Entonces, si se supone queF(r t n ) # O, se tiene +

n-

1

Con esta elección de las a,,(r) para n

2

1, (8) se reduce a

L[q5](r,x)

= a0x'F(r).

(1 1)

Dado querl es una raíz repetida deF(r), por la ecuación (9) se deduce queF(r) = ( r - rl)*. s i se hace r = rl en la (ll), se encuentra que L[q5](rl,x) = O; de donde, comoya se sabe,

294

Soluciones las deen serie segundo ecuaciones de lineales

orden

es una solución de la ecuación (1). Pero lo que es más importante, también de deduce, como para la ecuación de Euler, que

(11) se

a

(rl, x) = a, - [x*(r - r l ) 2 ] ar r=r1

De donde, una segunda solución de la ecuación (1) es

= (x"

[

l n x ) a,

= y l ( x ) Inx

+

+ xrl

LC

]

un(rl)x" n=l

+ x11

m

a;(r,)x" n = l

3c

aL(rl)xn,

x

> O,

(14)

n= 1

en donde uA(r,) denota dan/drevaluada en r = rl y a&r) está dada por la ecuación (10). Nótese que además de las suposiciones que ya se hicieron, también se ha supuesto que es m

an(r)xntérmino a término con respecto a r. Además, puede

permisible derivar la serie n=O

ser difícil determinar an(rl)y uA(rl);sin embargo, la determinación de dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con un punto singular regular no es, en general, una tarea fácil. En resumen, existen tres maneras en las que es posible proceder para encontrar una segunda solución cuandorl = r2. En primer lugar,es posible calcular los bn(rl)directamente al sustituiry por la expresión (5) en la ecuación (1).En segundo, es posible calcular bn(rl) = uA(r,) al determinar primero an(r) y después calcular uA(rl). Nótese que al calcular la primera solución es necesario conocer all(rl) de modo que sea fácil calcular la expresión general para los an(r),a partir de la cual pueden calcularse un(rl)y aA(r,). El primer procedimiento puede ser más conveniente si sólo se requieren unos cuantos términos de la serie paray2(x)o si la fórmula paraun(rl)es muy complicada o difícil de obtener. La tercera posibilidad es aplicar el método de reducción de orden, aunque esto no evitará USO el de series.

Raíces que difieren en un entera.Para este caso, los argumentos detallados para deducir la forma (6) de la segunda solución son considerablemente más compkcados, por lo que no se darán aquí. Sin embargo, se hará notar que si se supone y2(x) =

2 a,x'z

n=O

'

entonces

aN(r2)a partirde la ecuación (lo), ya que F(r +N) = ( r + N - rl) puede ser difícil calcular x (r + N - r2) = ( r - r2)(r+ N - r 2 )se anula parar = r2.Esta dificultad se supera al elegir uO, que puede elegirse arbitariamente, como r - r2. Entonces, cada una de las a será proporcional a r - r2,de modo quehabrá un factor de r - r2 en el numerador de (10) para canceIar el

5.9

Ecuación de Bessel

295

factor correspondiente en el denominador, que si presenta cuando n = N . Si se sigue un análisis semzjante al del caso r l = r2, resulta quela solución es dela forma (6) con

en donde an(r) se expresa por la ecuación (10) con a. = 1 y con

a

=

lím ( r - r2)aN(r). 1-11

Si a d r 2 ) es finito, entoncesa = O y no existe término logarítmico en y,. El procedimiento se analiza en el libro de Coddington (capítulo4). En la práctica, la mejor manera de determinar si a es cero en la segunda solución es simplemente intentar calcular an lascorrespondientes ala raíz r2 y ver si es posible determinar aN(r2).En caso de ser posible,no hay mayor problema. Si no es así es necesario usar la forma (6) con a f O. Una vez más, en resumen, hay tres maneraspara encontrar una segunda solución cuando rI - r2 = N. En primer lugar, se puede calcular directamente a y cn(r2) al sustituir por la expresión (6) en la ecuación (1). En segundo, se puede calcular cn(r2) y a de la ecuación (6) si se aplican las fórmulas (15) y (16). Si este es el procedimiento planeado, entonces al calcular la solución correspondiente a r= r, es necesario asegurarse de obtenerla fórmula general para an(r) en vez de sólo para an(rl). La tercera posibilidad es aplicarel método de reducción de orden. En la sección siguiente sedan tres ejemplos que ilustran los casos rI = r2, rl- r2 = N con a = O y r l - r 2 = N c o n a #O.

En esta sección se considerantres casos especiales de la ecuación de Bessel, x2y”

+ xy’ + (x’ - v2)y = o,

(1)

en donde v es una constante, que ilustranla teoría analizada enla sección 5.8. Es fácil demostrar quex = O es un punto singular regular. Por sencillez, sólo se considera el xcaso > O.

Ecuación de Bessel de orden cero. Este ejemplo ilustra la situación en la que las raíces de la ecuación indicia1 son iguales. Si se hacev = O en la ecuación (1) da L [ y ] = x2y”

+ xy’ + x2y = o.

Al sustituir y =

4(r, x) = aOxr +

-

1 a,xr+”,

n= 1

se obtiene

= ao[r(r -

..

.

.

1)

+ r]xr + al[(r + 1)r + + I)]X‘+’ (I

(2)

296

orden segundo ecuaciones delineales Soluciones las deen serie

+

n=2

{u,[(n

+ r)(n + r - 1) + (n + I ) ] + U , - ~ } X ~=+ O.~

(4)

Las raíces dela ecuación indicia1F(r) = r ( r - 1)t r = O son rl= O y r2= O; de donde,se tiene el caso de raíces iguales.La ecuación de recurrencia es

Para determinar y l ( x ) , se hace r igual a cero. Entonces, por la ecuación(4), se concluye que para que el coeficiente de x‘ sea cero es necesario elegir al = O. De donde, por la ecuaclon (5), a3 = u-3 = a 1 = . . * = a2,* = . . = O. Además, +

. I

+

a,(O) o bien, si se hace n = 2m,

=

-

a,-2(0)/n2,

n

a,,@) = -a2m-2(0)/(2m)2,

= 2, 4,

m

6, 8, . . . .

= 1,

2, 3,. . .

Por tanto, a,(O) =

U

-2 22

De donde,

La función entre corchetes se conoce como función de Bessel de primera clase de orden cero y se denota porJ,(x). Por el teorema 5.7.1 se deduce quela serie converge para todax y que J, es analítica en x = O. Algunas de las propiedades importantes de J, se analizan en los problemas. En la figura 5.9.1 se muestran las gráficas dey = J,(x) y de algunas de las sumas parciales de la serie (7). En este ejemplo, se determinay&) al calcular aA(0). El procedimiento alternativo en el que simplemente se sustituye la firma (S) de la sección 5.8 en la ecuación ( 2 ) y luego se determinan las b,,, se analiza en el problema 10. En primer lugar se observa, a partir del coeficiente dex‘+ de la ecuación (4), que ( r + 1)2al(r)= O. Se concluye que no sóloa ,(O) = O, sino que también a ;(O) = O. Es fácil deducir, a partir de la relación de recurrencia (S), que a;(O) = a;(O) = . . . = ain ,(O) = . . . = O; de donde, basta calculara;JO), m = 1,2,3,. . . . Por la ecuación ( 9 , aZm(r)= -az,-,(r)/(2m r)2, m = 1, 2, 3 , . . . . +

+

5.9

297

Ecuación de Bessel

FIGURA 5.9.1 Aproximaciones polinomiales para Jo(x).El valor de n es el grado del polinomio de aproximación. De donde, a2(r)=

a0

+ r)2

-~

(2

a2(r) = a4(r) = -____ ( 4 r)2 (4

a0 + + r)2(2 + r)'

+

a6(r)= -~a4

(6

a0

-

+ r)2 - - (6 + r)2(4+ r)2(2+ r)2

El cálculo dea ;,(I) puede efectuarse de maneramás conveniente al observar que si

f(x) = (X - al)B1(x - a2)B2(x- a3)B3. . . (x - a,,)an, entonces

f'(x) = Pl(x

- al)P1-'[(x - a2)P* . . . (x - a,,)Bn]

+ P ~ (-x a2)02-'[(x al)Bl(x - C I ~ ) .B. ~. (x - a,,)Bn]+ . . . . De donde, para x no igual a a l , a*,. . . , an -

f'(X) - P1 " + - +P.2. . + -

f(x)

x -a1

x - a2

Pn

x - a,,

Por tanto, por la ecuación (8)

.

.

."

..

. .

..._

298

Solucionesdeen serie orden segundo las ecuaciones de lineales

y, si se hacer igual a O, se obtiene

'I

1

1

+ . .. + j

Al sustituir a 2m(0)de la ecuación (6) y hacer

1 m-1

1

Hm=-+-+...+-+ m

1 2

a,,(O).

1,

Finalmente se obtiene a;,(O) ==

-

H , (- l)"% 22"(m!)2' ~

m = l , 2 , 3 ,....

La segunda solución dela ecuación de Bessel de orden cero se encuentra al hacer a, = 1 y sustituiry,(x) y a im(0) = bZm(0)en la ecuación (5) de la sección 5.8. Se obtiene

En vez de y2, la segunda solución suele considerarse como cierta combinación lineal de J, y y,. Ésta se conoce como funciónde Bessel de segunda clase de orden cero y se denota por Y,. De acuerdo con Copson (capitulo 12), se define

En este caso, y es una constante conocida como constante de Euler-Máscheroni 1800); se define por la ecuación

(1750-

y = lím ( H , - In n) E 0.5772. n-m

Si se sustituyey2(x)en la ecuación (ll), se obtiene

1

,

x>o.

(13)

La solución general dela ecuación de Bessel de orden cero para x > O es

Y

= CIJO(4

+ c2 YO(4.

Nótese que, comoJ,(x) -+ 1 cuando x + O, Y,@) tiene una singularidad logaritmica en Yo(x)se comporta como (2/n)lnx cuando x -+O con valores positivos. Por tanto, si se tiene interés en las soluciones de la ecuación de Bessel de orden cero que sean finitas en el origen, lo cual ocurre a menudo, es necesario descartar Y,. En la figura 5.9.2 se muestran las gráficas de las funciones J, y Y,. Es interesante hacer notar, con base laenfigura 5.9.2, que para xgrandeJ,(x)y Yo@)son oscilatorias. Ese comportamiento podría preverse a partir la ecuación de original; de hecho,

x = O; es decir,

Otros autores utilizan otras definiciones paraY,. La presenteelección deY ,también se conoce como función de Weber (1842-1913).

299

5.9 Ecuación de Bessel

-1

c‘ FIGURA 5.9.2 Funciones de Bessel de orden cero.

es cierto para las solucioneslade ecuación de Bessel de orden v. Si la ecuación (1)se divide entre x2, se obtiene

(

y ” + - yX’ +

y=o. v2)

Para x muy grande es razonable sospechar que los términos (l/x)y‘y ( v 2 / x 2y) son pequeños, por lo que es posible despreciarlos. Si esto es cierto, la ecuación de Bessel de ordenv puede aproximarse por y”

+ y = o.

Las soluciones de esta ecuación son sen x y cos x; por tanto, podría anticiparse que las soluciones de la ecuación de Bessel para x grande son semejantes a combinaciones lineales de sen x y cos x. Esto es correcto e n tanto las funciones de Bessel sean oscilatorias; sin embargo, sólo es parcialmente correcto. Parax grande, las funciones .To y Y, también decaen cuando x crece; por tanto, la ecuación y” + y = O no proporciona una aproximación adecuada para la ecuación de Bessel parax grande y se requiere un análisis más delicado. De hecho, es posible demostrar que J,(x)Z

($)I”

COS (x

-

);

cuando x ”+ x

Como se puede ver enla figura 5.9.3, esta aproximación asintótica en realidad es razonablemente exacta para todax ? 1. For tanto, para tener una aproximación deJo(x) sobre todo el intervalo desde cero hasta el infinito, es posible usar doso tres términos de la serie ( 7 ) para x 5 1 y la aproximación asintótica (14) parax 2 1.

Ecuación de Bessel de orden un medio. Este ejemplo ilustra la situación en la que las raíces dela ecuación indicia1 difieren enun entero positivo, pero en la segunda soluciónno hay término logaritmico. Si se hacev = 4 en la ecuación (1) se obtiene “y]

= x2y”

+ xy’ + (x2 - *)y = o.

(15)

300

ecuaciones Soluciones lineak; las deen sene

de segundo orden

mación asintótica: y = (2ln x)llz cos(x - x14)

J

x =Jdx)

t

”

FIGURA 5.9.3 Aproximación asintótica para J,(x).

Si se sustituyey = $(r, x) por la serie (3), se obtiene m

+ n - 1) + (1. + n) + = (r2 ;)uox* + [(r + 1)2 - &llx*+l + { [ ( r + n)’ +]un + un-2}X*+n= o. n=2

L [ d ] ( r ,x ) =

[ ( r + n)(r

- *]unX‘+n

n=O

c m

anxr+n+*

n=O

m

(16)

-

Las raíces de la ecuación indicia1 son rl = f , r2 = -;; de donde, las raíces difieren en un entero. La relación de recurrencia es

[(r + n)2 - i ] a n = - a n - 2 ,

n 2 2.

(17)

Correspondiendo a la raízmás grande rl = f , a partir del coeficientede x‘ de la ecuación (16) se encuentra que al = O. De donde, con base enla ecuación (17),u3 = a5 = . . . = U 2n . . . = O. Además, para r = i, +

+

o bien, si se hacen = 2m, UZnr

Por tanto,

=

-

a2m-2

(2m

+ 1)2rn’

m = 1 , 2 , 3, . . . .

5.9

301

Ecuación de Bessel

%m

=

( - 1)”o (2m I)!’

m = l , 2 , 3, . . . .

+

De donde, si se tomaa,,= 1, se obtiene

(2m

m=

m=O

(2m

+ l)!

+ l)!

1

’

x > o.

La serie de potencias dela ecuación (19) es precisamente la serie de Taylor para senx; de donde, una solución de la ecuación de Bessel de orden un medio es sen x. La función de Bessel de primera clase de orden un medio, JlW se define como (2/~)”~y,. Por tanto,

Correspondiendo a laraíz r2 = -$ es posible que se tengan dificultades al calculara,, ya que N = rI - r2 = 1. Sin embargo, a partir de la ecuación (16), para r = -$ los coeficientes de a,,y a, son cero y, por consiguiente, a. y a , se pueden elegir arbitariamente. Entonces, correspondiendo a a. se obtiene a2,a4, . . . a partir de la relaciónde recurrencia (17), y correspondiendo a a , se obtienen a3, a5,a7, . . . . De donde, la segunda solución no contiene término logarítmico. Se deja como ejercicio demostrar, con base en la ecuación (17), que para r = -$, azn =

(- l b 0 (2n)! ’

n = 1,2, . . . ,

~

Y %+l

=

(-lb, (2n l)! ’

+

n=l,2,

....

De donde,

y&) =

cos x - a, __ xl/2

(- 1)nxZn 1 n=O (2n)!

+ a1

sen x ~

x1/2

’

m +

(- 1)nx2n+ 1 (2n l)!

+

1

x > o.

La constantea, simplemente introduce un múltiplo dey,(x). La segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel de orden un medio suele considerarse como la solución generada porao,con a,, = ( ~ / J C ) ”se~ ;denota porJ-l,2. Entonces

La solución general de la ecuación (15) e s y = c,Jliz(x)t C ~ J - , , ~ ( X ) .

.

.. .

302

Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden

Ecuación deBessel de orden uno. Este ejemplo ilustrala situación en la que las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero positivo y la segunda solución comprende un término logarítmico. Si se hacev = 1 en la ecuación (1) da L [ y ] = x2y"

+ xy' + (x'

- l ) y = O.

(23)

Si se sustituye y = +(r, x) por la serie (3) y se agrupan términos como en los ejemplos anteriores, se obtiene L [ + ] ( I , X)

+ u , [ ( I + 1)' - I ] x ~ + ' { [ ( I + n)' - l ] a , + a n - 2 ) ~ r + =RO.

ao(r' - 1)xr

+

m n=2

(24)

Las raíces de la ecuación indicial son r , = 1 y r2 = -1. La relación de recurrencia es

[ ( r + n)' - l]a,(r) = -un-

JI),

n 2 2.

(25)

Correspondiendo a la raíz más grande r =1, la relación de recurrencia es

'

A partir de los coeficientes dex'+ de la ecuación (24) también se encuentra quea , = O; de donde, por la relación de recurrencia,a3 = u5 = . . . = O para valores pares den, sea n =

2m; entonces,

Por tanto,

a4 = -~a2

a0

-- a,

2'(3)(2) = +24(3 . 2)(2. 1) - 243!2!'

Con u. = 1 se tiene

La función de Bessel de primera clase de orden uno suele tomarse como f y , y se denota por J,:

5.9

303

Ecuación de Bessel

La serie converge absolutamente para toda x; de donde, la función J , está definida para toda x. En la determinación de una segunda solución dela ecuación de Bessel de orden uno, se ilustrará el método de sustitución directa. El cálculo del término general la deecuación (29) que se da en segundo unestanto complicado, pero se pueden hallar los primeros coeficientes con bastante facilidad. Según el teorema 5.8.1, se supone que

[

+ x-1 1 +

y2(x) = aJ,(x)lnx

x > O.

cnxn], n=l

Si se calculan yi(x), yz(x), se sustituyen en (23) y se aplica el hecho de que solución de (23), da

2axJ;(x)

+ 1 [(n - l)(n - 2)cn + (n - l)c, - c,]x'"~ + m

m

n=O

n=O

(29) J , es una

c,x"+' = O,

(30)

en dondecO= l . Si se sustituyeJ,(x) por su expresión dada en(28), se desplazan los indices de suma de las dos series y se efectúan varios pasos algebraicosda -c1

+ [O.

c2

+ col. +

m

[(n2 - l)cn+1 n=2

'1

m

,=

(- 1)"(2m P"(m

+ c,-

+ l)!m! l)xZm+

l]Xn

(31)

Con base en la ecuación (31) se observa primero que cI = O y que a = -cO = -1. En seguida, dado que a la derecha sólo hay potencias impares de x, los coeficientes de cada potencia par dex en la izquierda deben ser cero.Por tanto, como c1 = O, se tienecg = c5 = . . = O. Correspondiendo a las potencias impares xdese obtiene la relación de recurrencia (sea n = 2m + 1 en la serie del segundo miembro de(31))

Cuando en la ecuación (32) se hace m = 1, se obtiene

(3'

-

l)c4

+ c2 = (-

1)3/(2' . 2!).

Nótese quec2 puede elegirse arbitrariamentey después esta ecuación determina c4. a Nótese también que enla ecuación para el coeficiente dex, c2 aparece multiplicado porO y que la ecuación se utilizó para determinar a. Que c2 S,ea arbitrario no es sorprendente, ya que c2 es el coeficiente de x en la expresión x"[l

+

2 c n x n ]Como . consecuencia, c2 simple-

n=O

un múltiplo aditivo deJ,. mente generaun múltiplo d e J , y y 2 sólo queda determinada hasta De acuerdo conla costumbre, se eligec2 = 1/2*; entonces se obtiene

304

Soluciones serie en

de las ecuaciones lineales de segundo orden

Es posible demostrar que la solución de la relación de recurrencia (32) es

en la inteligencia de que H , = O. Por tanto, y2(x) = -J,(x)ln x

+Hm-J

+X

m= 1

z2"rn!(m

-

I)!

1

X2m

,

x > o.

(33)

El cálculo de y2(x) si se aplica el procedimiento alternativo [ver las ecuaciones (15) y (16) de la sección 5.81 en los que se determinan loscn(r2) es ligeramente más sencillo. En particular, éste último procedimiento producela fórmula general paracZm,sin necesidad de resolver una relación de recurrenciade la forma (32) (ver el problema11). En este sentido, quizá el lector quiera comparar los cálculosla segunda de solución de la ecuación de Bessel de orden cero dadosen el texto y en el problema 10. La segunda solución de la ecuación (23), la función de Bessel de segunda clase de orden uno, Y,, suele tomarse como cierta combinación lineal deJ , y y2. De acuerdo con Copson (capítulo 12), Y , se define como 2 [ - Y2(X) Yl(X) = ;

+ (Y - In 2)J,(X!]>

(34)

en donde y se define en la (12). La solución general de (23), parax > O, es

Y

= ClJ,(X)

+ C2Y,(X).

Nótese que mientrasJ, esanalítica e n x = O, la segunda soluciónYl se vuelveno acotada de la misma manera que l i x cuando x -P O.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 4, demuestre que la ecuación diferencial dada tiene un punto singular regularen x = 0 y determine dos soluciones linealmente independientes para x > O. 1. x2y" 3. x2y"

+ 2xy' + xy = o + xy' + 2xy = o

2. x2y" 4. x2y"

+ 3xy' + (1 + x)y = o + 4xy' + (2 + x)y = o

5. Encuentre dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel deorden i, x2y"

+ xy' + (x2 - $)y = o,

x > o.

6. Demuestre que la ecuación de Bessel de orden un medio, x2y"

+ xy' + (x2

-

$)y = o,

se puede reducir a la ecuación u,'

+u=o

x > o,

305

5.9 Ecuación de Bessel

mediante el cambio dela variable dependiente y = x"'?u(x). A partir de esto,concluya que yl(x) = x-112cos x y y2(x) = x-112sen x son soluciones de la ecuación de Bessel de orden un medio. 7. Demuestre directamente que la serie para Jo(x), ecuación (7),converge absolutamente para toda x. 8. Demuestre directamente que la serie paraJ,(x), ecuación (28), converge absolutamente para toda x y que JA(x) = -J,(x). 9. Considere la ecuación de Bessel de orden v, x2y"

+ xy' + (x2

-

v2)y = o,

x > o.

Tome v real y mayor que cero. a) Demuestre que x = O es un punto singular regular y que las raíces de la ecuación indicia1 son v y -v. b) Correspondiendo a la mayor raíz v, demuestre que una solución es m m=

1

+

m!(m v)(m

+v

( - 1)" -

+ v)(l +

1 ) . . . (2

c) Si 2 v no es un entero, demuestre que una segunda solución es m

( - 1)"

Observe que yl(x) -+ O cuando x --* O y que y2(x) es no acotada cuando x --* O. d) Compruebe por métodos directos que las series depotencias de las expresiones para y l ( x ) y y,(x) convergen absolutamente para toda x. Verifique también que y z es una solución con el Único supuesto de que v no sea un entero. 10. En esta sección se demostró que una solución de la ecuación de Bessel de orden cero, L [ y ] = x2y"

+ xy' + x2y = o

es J,, en donde J, se expresa por la ecuación (7) con a. = 1. Según elteorema 5.8.1, una segunda solución tiene la forma (x > O) y2(x)= J,(x)ln x

+

m "= 1

b,x".

a) Demuestre que 30

L[Y~](X = ) 1n(n - l)b,x" + n=2

m "= 1

nb,x"

+

m "= 1

b,x"+2 + 2xJb(x).

6)

b) Si se sustituye porJ,,(x) la presentación en series de la ecuación (i), demuestre que (ii) c) Observe que en el segundo miembro de (ii) sólo aparecen potencias pares de x . Demuestre que b, = b, = b, = . . . = o, b, = 1/22(1!)2 y que (2n)'b,,

+ b2,-,

=

-2(

-

1)"(2n)/2'"(r1!)~, n = 2, 3,4, . . . .

306

ecuaciones lineales las de serie Soluciones en

deorden seaundo

Deduzca que

La solución general de la relación de recurrencia es b,n = (-l)fl 1Hn/22"(n!)2. Si se sustituyen loshll de l a expresión paray2(x) se obtiene la solución dadaen la ecuación (11). 11. Encuentre una segunda solución de la ecuación de Bessel de orden uno al calcular los clI(r2)y a de la ecuación (6) dela sección 5.8 de acuerdocon las fórmulas(15) y (16) de esa sección. A continuación se dan algunos lineamientos para efectuar este cálculo. En primer lugar use la ecuación (24) para demostrar que al(-l) y a i(-l) son cero. Después demuestre que c,(-1) = O y, a partir de la relación de recurrencia, que ~ ~ ( - 1 = )O para n = 3,5, . . . . Por último, utilice la ecuación (25) para demostrar que +

( - 1)"ao

+ r + 1)(2rn + r - 1)'(2rn + r - 3)' . . . + 3)'(1 + I ) ' m = 1, 2, 3, . . . , y calcule c2,,,(-1) = (-I), I(H, + H , ,)/22mrn!(rn - I)!. U2"(d =

(2m

(I

~

-

+

12. Mediante un cambio adecuado de variables a menudo es posible transformar una ecua-

ción diferencial con coeficientes variables en una ecuación de Bessel de cierto orden. Por ejemplo, demuestre que una solución de x2y"

+ (C1'px'fi + a - v'p2)y

= o,

x > o,

se expresa por y = xI'~~(CW/~) en dondef(E) esuna solución de la ecuación de Bessel de orden v. 13. Aplique el resultado delproblema 12 para demostrar que l a solución general de la ecuación de Airy y" - xy = o,

x > o,

esy = ~ ~ ~ ~ [ c , f , ( ;+i czf2(:ix-"')] X~/~) en dondef,(E ) yf2(E ) son soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel de orden un tercio. 14. Es posible demostrar que .To tiene una infinidad de ceros para x > O. En particular, los tres primeros ceros son aproximadamente 2.405,5.520 y 8.653 (ver la figura 5.9.1). Si se denota por Aj, j = 1 , 2 , . . . , los ceros de .To, se concluye que J,(LjX)=

Comprende que y = J,(A

(li?

j x ) satisface la

Y"

,

ecuación diferencial,

+ 1 y' + i;y X -

x = O, x=l.

= o,

x > o.

De donde,demuestre que Jol xJo(Aix)Jo(Ajx)dx = O

si Ai # l j .

Esta importante propiedad de J,(A ,x), conocida como propiedad de ortogonalidad, es útil a l resolver problemas con valores en la frontera.

Bibliografa

307 Sugerencia: escriba la ecuación diferencial para J,(h ix). Multiplíquela por xJ,(h ,x) y réstela de xJo(hix) multiplicado por la ecuación diferencial para Jo(Ajx); a continuación, integre de O a l.

BIBLIoGmFh

Coddington, E. A,, An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, N.J.: PrenticeHall). Copson, E. T.,An Introduction to the Theory ofFunctionsof a Complex Variable (Oxford: Oxford University). Las demostraciones delos teoremas 5.3.1,5.7.1 y 5.8.1 pueden encontrarse en libros para nivel intermedio o avanzado; por ejemplo, ver los capítulos 3 y 4 del libro de Coddingtono los capítulos 3 y 4 de Rainville, E. D., Intermediate Differential Equations(2a ed.)(New York; Macmillan). También consulte estos textos para un análisis del puntoen el infinito, que se mencionóen el problema 21 de la sección 5.4.El comportamiento de las soluciones cerca de un punto singular irregular esun tema aún más avanzado; un breve análisis puede encontrarse en el capítulo 5 de Coddington, E. A,, y Levinson, N,, Theory of Ordinary Dijferential Equations(New York; McGraw-Hill). Análisis más completos de la ecuación de Bessel, dela ecuación de Legendre y de muchas otras de las ecuaciones mencionadas pueden encontrarse en libros avanzados sobre ecuaciones diferenciales, métodos de matemáticas aplicadas y funciones especiales. Un texto que trata de funciones especiales como los polinomios de Legendrey las funciones de Bessel es Hochstadt, H., Special Functions of Mathematical Physics (New York; Holt). y tablas de las funciones de Bessel, de las funciones de Una excelente recopilación de fórmulas, gráficas Legendre y otras funciones especiales dela física matemática pueden encontrarse en Abramowitz, M., y Stegun, I. A. (eds.) Handbook of Mathematical Functions (New York; Dover, 1965); originalmente publicado por la National Bureau of Standards, Washington, D. C

La transformada de Laplace

Muchos problemas prácticos en la ingeniería comprenden sistemas mecánicos o eléctricos que reciben la acción de términos de fuerza discontinuos o de impulso. Para estos problemas, a menudo los métodos descritos en el capítulo 3 son un tanto difíciles de aplicar. Otro método que se adapta especialmente bien a estos problemas, aunque su utilidad es mucho más general, se basa en la transformada de Laplace. En este capítulo se describe cómo seaplica este importante método, haciendo resaltar los problemas comunesque surgen en las aplicaciones de ingeniería.

..

. I

Entre los instrumentos que resultan muy útilesal resolver ecuaciones diferenciales lineales se encuentran lastransformadas integrales. Una transformada integral es una relación de la forma

en dondeuna función dadaf se transforma en otra funciónF por medio deuna integral. Se dice que la función F es la transformada d e f y la función K se llama kernel (núcleo en alemán) dela transformación. La idea generales aplicar la relación (1) a fin de transformar un problema paraf e n un problema más sencillo para F , resolver este problema más simple y luego recuperarla función deseada f a partir de su transformada F. Al hacer una elección apropiada del kernelK y de los limites de integración(Y y p, a menudo es posible simplificar de manera sustancial un problema que incluya una ecuación diferencial lineal. Varias transformaciones integrales se aplican con amplitud, y cada una es adecuada para resolver ciertos tipos de problemas.

310

La transformada de Laplace

En este capítulo se analizan las propiedadesy algunas de las aplicaciones de la transformada de Laplace.' Esta transformada se define como sigue: sea f(t) dada para t 2 O y supongase quef satisface ciertas condiciones que se dan un poco después; entonces, la transformada de Laplace de f, que se denotará par2{f(t)}, o por F(s),se define porla ecuación

En esta transformada se usa el kernel K(s,t) = y, por consiguiente, se asocia de modo natural a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La transformada de Laplace es particularmente valiosaen análisis de circuitos, en donde son comunes términos de fuerza discontinuoso de impulso, pero también es importante en otras aplicaciones. En virtud de que la transformada de Laplace se define ante una integral sobre el intervalo de cero al infinito, será de utilidad repasar primero algunos hechos básicos sobre esas integrales. En primer lugar, una integral sobre un intervalo no acotado se llama integral impropia y se define comoun límite de integrales sobre intervalos finitos; por tanto, Jan

f(t) d t

lím

=

A

-+

ff ( t ) d t ,

f

en dondeA esun número real positivo. Si la integral desde a hastaA existe para todaA > U y si el límite existe cuando + A co, entonces se dice que la integral impropia converge a ese valor límite;en caso contrario,se dice que la integral diverge o que no existe.LOSejemplos siguientes ilustran las dos posibilidades.

Seaf(t) = eC',t 2 O, en donde c es una constante real diferente de cero; entonces,

JOEe'' d t = lírn

JOA

e'' d t = lírn A-;o

A"

=

]ím A

+ T

1 ~

c

::1

-

(ecA - 1).

Se concluye que la integral impropia converge sic < O y diverge si c > O. Si c = O, entonces el integrando es la unidad y una vez m i s la integral diverge.

Seaf(r) = lit, t 2 1; entonces

Como ]ímA

In A = m,la integral impropia diverge.

' La transformada de Laplace recibe su nombre en honordel eminente matemático francésP. S. Laplace, quien estudió la relación (2) en 1782. Sin embargo, las técnicas descritas en este capitulo no fueron desarrolladas hasta un siglo más tarde o más. Se deben principalmente a Oliver Heaviside (1850-1925),un ingeniero electricista inglés, innovador aunque no convencional, quien hizo contribuciones importantes al desarrollo y aplicación de la teoría electromagnética.

de6.1 Definición

la transformada de Laplace

311

Seaf(f) = t - p , t 2 1, en dondep es una constante real y p it 1, el casop = 1 se consideró en el ejemplo 2; entonces Jlm

t"

d t = lím A-m

t

JIA

P -

dt = lím A-co

1 ~

1- p

(A"P - 1).

Cuando A + 00, A' - P + O si p > 1, pero A -P + cc si p < 1. De donde, Jy r-p dt converge para p > 1, pero (al incorporar el resulEdo del ejemplo 2 ) diverge para p < 1. Estos resultados son análogos a losde la serie infinita

Antes de analizar la posible existencia deJ: f ( t ) dt, ayuda definir ciertos términos. Se dice que una función f es seccionalmente continua sobre un intervalo CY 5 t 5 /3 si el intervalo puede partirse mediante un número finito de puntos a = to < t , < . . . < t,, = /3 de modo que

1. f sea continua sobre cada subintervalo abierto t i - < t < r,. 2. f tienda a un límite finito si se tiende a los puntos extremos de cada subintervalo desde el interior del subintervalo. En otras palabras, f es seccionalmente continua sobre (Y 5 t 5 p si es continua allí excepto por un número finito de discontinuidades por salto. Sifes seccionalmente continua sobre (Y 5 t I/3 para toda j? > CY, entonces se dice quef es seccionalmente continua sobre t 2 (Y.En la figura 6.1.1 se muestra un ejemplo de una función seccionalmente continua. Si f es seccionalmente continua sobre el intervalo a It 5 A , entonces es posible demostrar queJtf(t) dt existe. De donde, sif es seccionalmente continua para t 2 a, e n t o n c e s x f ( t ) dt existe para cada A > a. Sin embargo, la continuidad por secciones no basta para asegurar la convergencia de la integral impropiaJT f(t) dt, como hace se ver en los ejemplos anteriores. Si f no puede integrarse con facilidad en términos de funciones elementales, puede ser difícilaplicarladefinicióndeconvergencia f(r) dt. Confrecuencia,lamanera más conveniente para probarla convergencia o divergencia de una integral impropia es mediante el siguiente teorema de comparación, que es análogo aun teorema similar para las series infinitas.

'I I

I

CI

tl

t2

I B

7

t

FIGURA 6.1.1 Función seccionalrnente continua.

312

La transformada de Laplace

No se dará aquí l a demostración de este resultado del cálculo. Sin embargo, se hace plausible al comparar las áreas representadasp o r E f g(r)dt !,f(t) dt. Las funciones más útiles para fines de comparaciónson ecry f P , que se consideraron enlos ejemplos 1, 2 y 3. A continuación se volverá a considerar la transformada de LaplaceL f { f ( t ) } o F(s), que se define por la ecuación (2), siempre que esta integral impropia converja. En general, el parámetro S puede ser complejo, pero para el presente análisis basta considerar valores reales de s . Según el análisis precedente de las integrales, la función f debe satisfacer ciertas condiciones para que exista su transformada de Laplace. Enel siguiente teorema se dan las más simples y útiles de estas condiciones.

y E

Para establecer este teorema,sólo es necesario demostrar quela integral dada en la ecuación (2) converge para S > a. Al separar en dos partes l a integral impropia, se tiene

La primera integral del segundo miembro de (4) existe por la hipótesis 1)del teorema; de donde, la existencia de F(s) depende de la convergencia de l a segunda integral. Por l a hipótesis 2) se tiene, para t 2 M , le-sff(t)I 5 Ke-"en' = Ke(n-S'r

y por tanto, por el teorema 6.1.1, F ( s ) existe siempre sues: e@- dr converja. Con referencia a l ejemplo 1, si se reemplaza c por a - S, se ve que esta última integral converge cuando a - S < O, lo que establece el teorema 6.1.2. A menos que se especifique lo contrario, en este capítulosólo se estudian funciones que satisfacenlascondicionesdelteorema 6.1.2. Estas funciones se describen como seccionalmente continuasy de orden exponencial cuando t + x . . En los ejemplos siguientes se dan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales importantes.

de 6.1

Definición

313

la Laplace transformada de

Sea f(t) = 1, t z O; entonces 1

U{l}= JOm é s f d t = -,

S

S

> O.

Seaf(t) = ear,t 2 O; entonces, 1

-

,

S>U.

"

S-a

Ejemplo 6

Seaf(t) = sen at, t 2 O; entonces Y { s e n a t } = F(s) =

Some-"sen

at dt,

S

> O.

Dado que F(s) = lím

e-"'sen

JoA

at

dt,

A-m

después de integrar por partes se obtiene ~(s= ) lim A-m

=

[

:j

! 5 a a -

e-" cos at

-

a

lo A

-

JoA e-sf

cos at d t

1

e-" cos at dt.

Entonces una segunda integraciónpor partes de F(s) = !U

$1:

1

S2

a

a2

="-

eAStsenat d t

Fb).

De donde, a l despejar F(s) se tiene U

F(s) = _ _ S'

S

+ a''

> o.

Supóngase quefi y f2 son dos funciones cuyas transformadas de Laplace existen Spara > S > a2, respectivamente. Entonces, para S mayor que el máximo de a , y a2,

a, y

Y ( c ~ f l ( t+ ) ~2fAt))=

Jy e-"[clfl(t) = c1

de donde

so"

+ c 2 f 2 ( t ) ]dt

e-'ff1(t) dt

+ c2 fuu eCsff2(t) dt;

314

La transformada de Laplace

Y{c,f,(t)

+ c,f,(t))

=Cl~{fl(t)}

+ C29{f2@)).

(5)

La ecuación (5) es una proposición del hecho de que la transformada de Laplace es un operador lineal. Esta propiedad es decapital importanciay posteriormente se aplicará con frecuencia.

Problemas En cada uno de 10s problemas 1 a 4, trace la gráfica de la función dada. En cada caso, determinar si f es continua, seccionalmente continua o ninguna de las dos cosas, sobre el intervalo O 5 t 5 3.

rt2,

3. f ( t )= 1, i 23 o.

En esta sección se muestra cómo se puede aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas con valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La utilidad dela transformada de Laplace a este respecto radica principalmente en el hecho de quela transformada def'está relacionada de una manera sencilla conla transformada de$ La relación se expresa enel siguiente teorema.

Para probar este teorema se considerará la integral JOA

e-sff'(t) dt.

Si tl, t 2 , . . . , t,, denotan los puntos en el intervalo O obtiene

5

t 5 A en donde f 'es discontinua, se

Si se integra por partes cada término de la derecha se obtiene

los términos integrados ent,, Dado que fes continua, se cancelan las contribuciones de t,, . . . , t,. Al combinar las integrales da I

Cuando A -+ CC, e-"'f(A)

+O

siempre que S > a. De donde, para S > a,

6.2

317

Solución de problemas con valor inicial

con lo que se establece el teorema. Si f ’ y f”satisfacen las mismas condiciones impuestas sobre f y f ’, respectivamente, en el teorema 6.2.1, entonces se concluye que la transformada de Laplace def”también existe para S > a y se expresa por

=w”w

= S 2 y { f ( t ) } - $(O)

-

Y(0).

(2)

De hecho, siempre que la función f y sus derivadas satisfagan condiciones adecuadas, puede obtenerse una expresión parala transformada de la n-ésima derivada f(”),mediante aplicaciones sucesivas de este teorema. Este resultado se da en el siguiente corolario.

A continuación se muestra cómo es posible aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas con valor inicial. En primer lugar considérese la ecuación diferencial

y” - y’ - 2y

=0

(4)

y las condiciones iniciales

y(0) = 1,

y’(0) = o.

Este problema simple se resuelve con facilidad por los métodos ecuación característica es r2 - r - 2 = ( r - 2)(r

+ 1) = O,

de la sección 3.1. La

(6)

y, como consecuencia, la solución general de (4) es

y

= c,e“

+ ~~e~~

Para satisfacer las condiciones iniciales (5) es necesario tener c1 t c2 = 1 y -cl + 2c2 = O; de donde, c1 = y c2 = i, de modo que la solución del problema con valor inicial(4) y (5) es

y

=

4(t)= $e-’

+ fe2‘.

(8)

Ahora se resolverá el problema dado por medio de la transformada de Laplace. Para hacerlo, se debe suponer que el problema tiene una solución y = $(t), lo que con sus dos primeras derivadas satisface las condiciones del corolario. Entonces, si se latoma transformada de Laplace dela ecuación diferencial (4), se obtiene

9 { y ” } - 2 { y ’ } - 2 9 { y ) = o,

(9)

318

La transformada de Laplace

en donde se aplicó la linealidad de la transformada para escribir la transformada de una suma como la suma de las transformadas por separado. Después de aplicar el corolario para expresar 2 { y " } y 2 { y ' } en términos de2 { y } , se encuentra que la ecuación.(9) toma la forma s"{y'i

-

sy(0) - y'(0) - [ s Y { y j - y(O)] - 2 9 { y j = o:

o bien, (S2 - S -

2 ) Y ( s )+ (1

-

s)y(O) - $(O) = o,

(10)

en donde Y(s) = 2 { y } . Si se sustituyen y ( 0 ) y'(0) de la ecuación (10) para sus valores dados en las condiciones iniciales(5) y, a continuación, se despejaY(s),se obtiene

Y ( s )=

S - 1

S2

S - 1

-

- .

- S -

2

(S

- 2)(s

+ 1)'

Por tanto, se ha obtenido una expresión para la transformada de Laplace Y(s)de la solución y = d(t) del problema con valor inicial dado. Para determinar la funciónI$ es necesario encontrar la función cuya transformada de Laplace es Y(s),según se define por la ecuación (11). Se puedehacer esto con mayor facilidad al desarrollar en fracciones parciales el segundo miembro de (11). De este modo, se escribe y(s)=

S (S -

2)(s

1

+ 1)

-

a ~

s

-

2

+-S +b 1 -

U(S

+ 1) + b(s (S

- 2)(s

-

+ 1)

2)

(12) '

ecuación que debe cumplirse para toda s. En particular, si se hace S = 2, entonces se deduce que a = i. De manera semejante, si se hace S = -1, entonces se encuentra que b = $.Al sustituir estos valores de a y b, respectivamente, se tiene

Y ( s )=

113

S-2

+ "s. 213 +l

Por último, si se aplica el resultado del ejemplo 5 de la sección 6.1, se concluye que i e'' tiene la transformada :(S - 2)-l; de modo semejante, $ e-f tiene la transformada (S + 1)". De donde, por la linealidad de la transformada de Laplace,

tiene la transformada (13). Por supuesto, estaes la misma solución que se obtuvo antes de diferente manera. Puede aplicarse el mismo procedimiento a la ecuación lineal general de segundo orden con coeficientes constantes,

6.2

319

Solución de problemas con valor inicial

ayrr

+ by’ + c y = f ( t ) .

(14)

Si se supone que la solucióny = +(t) satisface las condiciones del corolario paran = 2, se puede tomar la transformada de la ecuación (14) y obtener así a [ s 2 Y ( s )- sy(0) - y’(O)]

+ b[sY(s)

-

y(O)]

+ c Y ( s ) = F(s),

(15)

en donde F(s) es la transformada de f(t). Al despejar Y(s)de (15) se encuentra que

Y ( s )=

(as + b) Y @ ) + ay’@) as2 bs c

+ +

+ as2 + bs + c ’

(16)

Entonces el problema se resuelve siempre que sea posible encontrar la función y = + ( t ) cuya transformada sea Y(s). Incluso en esta etapa inicial del análisis se pueden señalar algunas de las características esenciales del método de la transformada.En primer lugar, la transformadaY(s)de la función desconociday= +(t) se encuentra al resolver una ecuación algebraicaen lugar de una ecuación diferencial, la ecuación (10) en vez dela (4), o en general la ecuación(15) en vez de la (14). Esta es la clave de la utilidad de las transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el problema se reduce de una ecuación diferencial a una algebraica. En seguida, la solución que satisface las condiciones iniciales dadas se encuentra automáticamente, de modo que no surge la tarea de determinar valores adecuados para las constantes arbitrarias de la solución general. Además, como se indica en la ecuación (15), las ecuaciones no homogéneas se manejan exactamente la misma de manera que las homogéneas; no es necesario resolver primerola ecuación homogénea correspondiente. Por último, el método puede aplicarse de la misma manera a ecuaciones de orden superior, en la medida en que se suponga que la solución satisface las condiciones del corolario para el valor apropiado de n. Obsérvese que el polinomio as2 + bs + c del denominador del segundo miembro de la ecuación (16) es precisamente el polinomio característico asociado con la ecuación (14). Debido a que el empleo de un desarrollo en fracciones parciales de Y(s) para determinar +(t) requiere que este polinomio se factorice, la aplicación de la transformada de Laplace no evita la necesidad de encontrar las raícesde la ecuación característica. Para ecuaciones de orden superior al segundo, este puede serun problema algebraic0 difícil, en especial si las raíces son irracionales o complejas. La dificultad más importante que se presenta al resolver problemas con valor inicial mediante la técnica de la transformada reside en el problema de determinar la función = y +(t) que corresponda a la transformada Y@). Este problema se conoce como problema de inversión de la transformada de Laplace; &t) a partir de Y(s)es la transformada inversa correspondiente ay ( ~ y) , el proceso de encontrar &r) se llama “inversión de la transformada”. Para denotarla transformada inversa de Y(s)también se usa la notación L?l{Y(s)}. Existe una fórmula general para la transformada inversa de Laplace, pero su uso requiere conocimientos de la teoría de las funciones de una variable compleja, por lo que no setrata en este libro. Sin embargo, todavía es posible desarrollar muchas propiedades importantes de la transformada de Laplace y resolver muchos problemas interesantes, sin usar variables complejas. Al resolver el problema con valor inicial(4), (5) no se consideró la cuestión de si puede haber funciones diferentes laa dada porla ecuación (8) que también tengan la transformada

.

_

320

La transformada de Laplace

(13). De hecho, esposible demostrar quesi f e s una función continua conla transformada de Laplace F , entonces no existe otra función continua que tenga la misma transformada. En otras palabras, existe esencialmente una correspondencia uno a uno entre las funciones y sus transformadas de Laplace. Este hecho sugierela recopilación de una tabla (análogaen cierta forma a una tabla de integrales) que dé a las transformadas de funciones de uso TABLA 6.2.1 Transformadas elementales de Laplace f(t) = 2" {F(s)}

Notas 1

1. 1

Sec.6.1; Ej. 4

s>o

-

S'

1

2. ea*

-,

3. t", n = entero positivo

7'

4. t", p >

UP

-

1

Sec.6.1; Ej. 5

s>a

S-a

n!

Sec. 6.1; Prob. 27

s>o

>o

+ 1) '

Sec.6.1; Prob. 21

5. senar

Sec.6.1; Ej. 6

6. cos at

Sec.6.1; Prob. 6

l. senhat

Sec. 6.1; Prob. 8

8. cosh at

Sec. 6.1; Prob. 7

9. e4rsen bt

Sec. 6.1; Prob. 13

IO. e'' cos bt

Sec. 6.1; Prob. 14

1 1. t"e", n = entero positivo

e-"

-,

12.

u,(t)

13. 14.

u,(r)f(t - c)

s>a

s>o

Sec.6.1; Prob. 18 Sec. 6.3

S

e'Y(t)

Jif ( t -

17. 6(t - C) 18. f ' " ' ( t ) 19. ( - t)"f( t )

e"'F(s) F(s - C)

Sec. 6.3

Sec. 6.3 Sec. 6.3; Prob. 19

15. f ( c t )

16.

n! - ,)"+I'

(S

7)g(T) dT

Sec. 6.6 Sec. 6.5 Sec. 6.2 Sec. 6.2; Prob. 28

6.2

Solución de problemas con valor inicial

321

frecuente y viceversa (ver la tabla 6.2.1).* Las entradas de la segunda columna son las transformadas de las de la primera. Quizá es más importante que las funciones de la primera columna son las transformadas inversas de las que están en la segunda columna. De donde, por ejemplo, si se conoce la transformada de la solución de una ecuación diferencial, a menudo puede encontrarse la propia solución simplemente al observar la tabla. Algunas de las entradas de la tabla 6.2.1 se han utilizado como ejemplos o aparecen como problemas en la sección 6.1, mientras que otras se desarrollarán posteriormente en este capítulo. La tercera columna de la tabla indica en dóndees posible encontrar la deducción de las transformadas dadas. Con frecuencia, una transformada de LaplaceF(s) es expresable como una suma de varios términos,

F(s) = F,(s)

+ F2(S) + . . . + Fn(s).

Supóngase quef,(t) = Y1{fl(s)},. . . ,f,(t) f ( t ) = f1(t)

(17)

= Y-’{f,(s)}; Entonces la función

+ . + .fn(t) ’ ’

tiene la transformada de Laplace F(s). Por la propiedad de unicidad antes enunciada, no existe otra función continuafque tenga la misma transformada. Por tanto,

es decir, la transformada inversa de Laplace tambiénes un operador lineal. En muchos problemas es conveniente aplicar esta propiedad al descomponer una transformada dada en suma de funciones cuyas transformadas inversas ya se conozcan o puedan encontrarse en la tabla.L o s desarrollos en fracciones parciales son particularmente útiles a este respecto y en el problema 38 se da un resultado general que abarca muchos casos. Otras propiedades útiles de las transformadas de Laplace se deducirán después en este capítulo. Como ilustraciones adicionales de la técnica para resolver problemas con valor inicial por mediode la transformada de Laplace y los desarrollos en fracciones parciales, considérense los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

j I i

Encontrar la solución de la ecuación diferencial y ” t y = sen 21 que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 2,

I

y’(0) = 1.

(20)

Se supone que este problema con valor inicial tiene una solución y = 4(t),que con sus dos primeras derivadas satisface las condiciones del corolario del teorema 6.2.1. Entonces, si se toma la transformada de Laplace dela ecuación diferencial, se tiene S*

Y($ - sy(0) - $(O)

+ Y(s)= 2/(2 + 4),

* También existen tablas más grandes.Ver la bibliografía al final del capítulo.

322

de

La transformada

Laplace

en donde se obtuvo la transformada de sen 2t del renglón 5 de la tabla 6.2.1. AI sustituir y(0) y‘(0) por sus valores dados en las condiciones iniciales y despejar Y(s), se obtiene Y(s) =

2s3 (S2

+ + 8s + 6 + 1)(s2+ 4) . S’

Si se aplican fracciones parciales,es posible escribir Y(s)en la forma

+

as b cs + d (as + b)(s2+ 4) +______ (cs + d ) ( s 2 + I ) Y(s) = _____ + _ _ ” ”

s2+l

s2+4

(S2

+ l)(s2 + 4)

(22)

Al desarrollar elnumerador del segundo miembro de la ecuación (22) e igualarlo al numerador de la (21) se encuentra que

+ s2 + 8s -t 6 = (a -tc)s3 + ( b + d)s2 + (40 + c)s + (4b + d)

2 ~ 3

para toda s. Entonces, si se comparan los coeficientes de potencias iguales de S, se tiene a+c=2,

b+d=l,

4a+c=8,

4b+d=6.

Como consecuencia, a = 2, c = O, b = y d = -:, de Io cual se deduce que Y(s) =

2s ”

Con base en los renglones 5 y 6 de la tabla 6.2.1, la solución del problema con valor inicial dado es y = $ ( t ) = 2 cos t + 3 sent - sen2t. (24)

+

Encontrar la solución del problema con valor inicial y” - y = o, y(0) = O,

(25)

y”(0) = o,

y’(0) = 1,

y”‘(0) = o.

(26)

En este problema es necesario suponer que la solución y = $ ( t ) satisface las condiciones del corolario del teorema 6.2.1, para n = 4. La transformada de Laplace de la ecuación diferencial (25) es s4

- s3r(0)

- s 2 y y o ) - sy”(o) - yyo) -

= o.

En consecuencia, si se aplican las condiciones iniciales (26) y se despeja Y@), se tiene S2

Y(sj = _ _ S4

- 1’

El desarrollo en fracciones parciales deY(s) es as+b

Y(s) = _ _ S2“

1

cs+d + ___ + 1’ S2

problemas 6.2 Solución de

323

con valor inicial

y se concluye que (as

+ b)(s2+ 1) + (cs + d)(s2 - 1) =

S'

para toda S. Al hacer S = 1 y S = -1, respectivamente, enla ecuación (28), se obtienen elpar de ecuaciones 2(a

+ b) = 1,

2(-a

+ b) = 1,

y, por lo tanto, a = O y b = 4. Si en la ecuación (28) se hace S = O, entonces h - d = O, de modo que d = i. por último, al igualar los coeficientes de los términos cuadráticos de cada miembro dela ecuación (28), se encuentra quea + c = O, de modo quec = O. Por tanto, 112 112 Y(s) = -+ ~s 2 - 1 s 2 + 1'

y de losrenglones 4 y S de la tabla 6.2.1, la solución del problema con valorinicial (25), (26) es Y =M ) =

senh t

+ sen t

Las aplicaciones elementales más importantes de la transformada de Laplace se encuentran en el estudio de las vibraciones mecánicas y en el análisisde los circuitos eléctricos; las ecuaciones que los rigen se dedujeron en la sección 3.8. La ecuación del movimiento de un sistema vibrante resorte-masaes

en dondem es la masa, c el coeficiente de amortiguamiento, k la constante de resortey F(t) la fuerza externa aplicada. La ecuación que describe un circuito eléctrico que contiene una inductancia L , una resistencia R y una capacitancia C (un circuitoL R C ) es d Qd 2 Q 1 L ydt+ R - + + Q =dtE ( t ) ,

C

en dondeQ(t)es la carga en el condensador y E ( t ) es el voltaje aplicado. En términos de la corriente I(t) = dQ(t)/dt, se puede escribir la ecuación(32) en la forma

dt

C

dl d21 1 L-+R-+--I=-(t). dt dt2

dE

(33)

También es necesario especificar condiciones iniciales adecuadas para u, Q o I. Con anterioridad, en la sección 3.8, se hizo notar que la ecuación (31) para el sistema resorte-masa y las ecuaciones (32) y (33) para el circuito eléctrico son matemáticamente idénticas y sólo difieren en la interpretación de las constantes y variables que aparecen en

324

transformada

La

de Laplace

ellas. Existen otros problemas físicos que también conducen ala misma ecuación diferencial. Por tanto, una vez que se resuelve el problema matemático, su solución puede interpretarse en términosde cualquiera que sea el problema físico correspondiente de interés inmediato. En los problemas que siguen a estay otras secciones de este capítulo se dan numerosos problemas con valor inicial para ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Muchos pueden interpretarse como modelos de sistemas físicos particulares, pero por lo común no se sefiala esto explícitamente.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 10 encuentre la transformada inversa de Laplace de la función dada.

1.

~

S2

3.

2

4.

+ 3s - 4

+2 + 2s + 5 2s + 1 2s + 2

S2

8.

S2 -

I

-

2s

1o.

____ S2

3s

s2----6

2s - 3 6. ___ S2 - 4

2s

5.

9.

4 2. ___ - 113

-___ S2

l.

3 +4

+ 4s + 5

+ 12 + 4)

8s2 - 4s s(s2

2s - 3 S2

+ 2s + 10

En cada uno de los problemas 11 a 23 aplique la transformada de Laplace para resolver el problema con valorinicial dado. y"-y"6y=O y(0) = 1, y'(0) = -1 y" 3y' 2y = O y(0) = 1, $(O) = O y'' - 2y' 2y = O y(0) = O, $(O) = 1 y" - 4y' + 4y = 0; y(0) = 1, ~ ' ( 0 )= 1 y" - 2y' - 2y = o; y(0) = 2, y'(0) = o ) -1 y" + 2y' + 5y = O ~ ( 0= ) 2, ~ ' ( 0 = ~ ( 0= ) O, ~ ' ( 0 = ) 1, ~ " ( 0 )= O, y'" - 4y"' + 6y" - 4y' y = O y" - y = o y(0) = 1, y'(0) = o, y"(0) = 1, y"'(0) = o y'' - 4y = O; y(0) = 1, $(O) = O, ~ " ( 0 )= -2, ~ " ' ( 0 )= O y" wzy = cos 2t, w2 # 4; y(0) = 1, y'(0) = o y" - 2y' 2y = cos t; y(0) = 1, y'(0) = o y" - 2y' 2y = e"; y(0) = O, y'(0) = 1 23. y" 2y' y = 4e"; y(0) = 2, y'(0) = - 1 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

+

+ +

+

+

+

~ " ' ( 0 )= 1

+

+ +

En cada uno de los problemas 24 a 26 encuentre la transformada de LaplaceY(s)= z { y } de la solución del problema convalor inicial dado. En la sección 6.3 se desarrollará un método para determinar las transformadas inversas.

6.2

325

Solución de problemas con valor inicial

+ 4y = o,1, t, 25. y" + y = o,

24.y"

26. y"

I I

+ 4y =

t, 1,

OSt a 2 O. a) Demuestre que si c es una constante positiva, entonces

b) Demuestre que si k es una constante positiva, entonces =-f

-Y"(F(ks)j

k

-

k

.

c) Demuestre que sia y b son constantes cona > O, entonces

En cada uno delos problemas 20 a 23 aplique los resultados del problema 19 para encontrar la transformada inversa de Laplacede la función dada. 2" 'n! 20. F(s) = s"+1 +

22. F(s) =

21. F(s) =

1

2s + 1 4s2

+ 4s + 5

e2e-4s

9sz - 12s

23. F(s) =

+3

~

2s - 1

En cada uno de los problemas 24 a 27, encuentrela transformada de Laplace de la función dada. En el problema 27, suponga quees permisible la integración término a términode la serie infinita.

24. f ( t ) =

{i 1

(1,

OIt x. En el primero de estos intervalos las constantes arbitrarias de la solución general se eligen para satisfacer las condiciones iniciales dadas. En el segundo intervalo, las constantes se eligen para hacer que la solución4 y su derivada 4’ sean continuas ent = n.Nótese que no se dispone de suficientes constantes para requerir que también +”sea continua allí. Puede aplicarse el mismo procedimiento general en otros problemas que tengan funciones de fuerza seccionalmente continuas. Sin embargo, una vez que se desarrolla la teoría necesaria, suele ser más fácil aplicar la transformada de Laplace para resolver todos esos problemas de inmediato.

Ejemplo 2

Encontrar la solución del problema con valor inicial

en donde =

o It < 4 2 , {1:2,

t

242.

En este ejemplo, la función de fuerza tiene l a forma que se muestra en la figura 6.4.2 y se conoce como carga de rampa. Es conveniente introducirla función escalón unitarioy escribir g(t) = t - u,,*(t)(t - 4 2 ) ,

(17)

como el lector puede comprobar. Para resolver el problema se tomala transformada de Laplace de la ecuación diferencialy se aplican las condiciones iniciales, con lo que se obtiene (S*

o bien,

+ ~ ) Y ( s=) (1 - e-ns’2)/s2,

338

La transformada de Laplace (1 8)

Y ( s )= (1 - e-""'*)H(s),

en donde

FIGURA 6.4.2 Carga de rampa.

Por tanto, la solución del problema con valorinicial (14), (15), (16) es

H(s).El desarrollo en fracciones parciales de H(s) es en dondeh(t) es la transformada inversa de

y entonces se concluye, con base enlos renglones 3 y 5 de la tabla 6.2.1, que h(t) = at-+ sen 2t.

(22)

En la figura 6.4.3 se muestrala gráfica dey = +(t). Nótese que en este ejemplo hnción la de fuerza g es continua, perog'es discontinua ent = d 2 . Se deduce quela solución + y sus dos primeras derivadas son continuas, y' perotiene una discontinuidad en t = xi2 que se corresponde conla discontinuidad en g'en ese punto

I

2

4

6

8

10

t

FIGURA 6.4.3 Solución del problema con valor inicial (14), (1% (16).

6.5

339

Funciones impulso

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 13, encuentre la solución del problema con valor inicial dado.

+ y =f(t);

1.y”

y(0) = o, y’(0) = 1

2. y” + 2y’ + 2y = h(t);

f(t) =

y(0) = o, y’(0) = 1

{l.

o,

h(t) =

o S t < n/2 4 2 S t < 00 1, nst

.Y,(O)

.Y,(O)

= =

3

4~

-1 x,(0) = 2 = -0.5x, + ?.Y2. .Yl(0) = - 2 = -2.~1 - O.5.~2. - Y ~ ( O )= 2

= .Yl - 2s2,

.x; = 3.YI

12.

- ?.Y2.

-

4x2,

+,(O) =

9.

.Y;

.X;

11. x;

1 . 2 5 . ~+~ 0 . 7 5 . ~ ~ , ~ ~ (=0 - )2 + 1 . 2 5 ~ , , ~ ~ (=01)

= 0.75.~~ = ZX,,

X,(O)

x; = -2s,.

X*(O)

=3 =4

13. Transforme las ecuaciones ( 2 ) del circuito paralelo en una sola ecuación de segundo

orden. 11. Dcmuestre que si a , , , u]:, u 2 , y u,, son constantes en las que a,: y no son cero, y si funciones g1y g2 son difcrenciables, entonces el problema con valor inicial

%I Introducción

359 x; = a l l X l

x,@) = 4

x;

x2(o)= 4

+ a12x2 + s&), = a Z 1 x I+ a22x2+ g2(t),

puede transformarse en un problema con valor inicial para una sola ecuación de segundo orden. ¿Es posible efectuarel mismo procedimiento sia , , ,. . . , a2, son hnciones de t'! 15. Considere el sistema lineal homogéneo

+ P12(f)Yi = P 2 l W + P22WY.

x' = P , l ( t ) X Y'

Demuestre que six = x,(t), y = y l ( t )y x = x,(t), y = y2(t)son dos soluciones del sistema dado, entonces x = c,x,(t) + c2x2(t),y = c,y,(t)+ c2y2(t)también es una solución para cualesquiera constantesc, y c2.Este es el principio de superposición. 16. Seanx = x , ( t ) ,y = y l ( t ) y x=x,(t), y = y 2 ( [dos ) soluciones cualesquiera del sistema lineal no homogéneo. x' = P l l ( t ) X Y'

= PZI(t)X

+ P 1 2 W Y + sl(tX + P22(t)Y + .qZ(t).

Demuestre quex = xl(t) -x,(& y = y l ( t ) -y2(t) 17. Las ecuaciones (1) pueden deducirse al trazar un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren las fuerzas que actúan sobre cada masa. En la figura7 . 1 . 3 ~se muestra la situación si los dos desplazamientos,x, y x2, de las dos masas son positivos (hacia la derecha) y x 2 > x*,entonces los resortes 1 y 2 se alargan yel 3 se comprime,l o que da lugar las a fuerzas que se indican la enfigura 7.1.3b. Aplique la ley de Newton ( F = ma) para deducir las ecuaciones (1). Y

FIGURA 7.1.3. a) Los dos desplazamientos x1 y x2 son positivos. b) Diagrama de cuerpo libre del sistema resorte-masa.

Circuitos eléctricos. La teoría de los circuitos eléctricos, como el que se muestra en la figura 7.1.2, que constan de inductancias, resistores y capacitores, se basaen las leyes de Kirchhoff 1) El flujo neto de corriente en cada nodo (o unión) es cero;2) !a caída neta de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es cero. Ademas de las leyes de Kirchhoff también se cuenta con la relación entre la corriente Z, en amperes, que pasa por cada elemento delcircuito y la caída de voltajeV, en volts, a través deí elemento; a saber, V = RI; dV dt

C"=I.

'

R = resistenciaen ohms C = capacitancia en farads

360

Sistemas de ecuaciones primerlineales de dl L"= dt

v.

orden

L = inductancia en henrys.

'

Las leyesde Kirchhoff yla relación corriente-voltaje para cada elemento del circuito proporcionan un sistema de ecuaciones algebraicas y diferencialespartir a de las cuales es posible determinar el voltaje y la corriente en todo el circuito. Los problemas 18 a 20 ilustran el proccdimiento que se acaba dedescribir. 18. Considere el circuito que se muestra en la figura 7.1.2. Sean I , ,I2e Z3 la corriente que pasa porel capacitor, el resistor y la inductancia, respectivamente.De manera semejante, sean Y,, V2y V3las caídas de voltaje correspondientes. Las flechas denotan las direcciones arbitrariamente elegidas en que se tomarán como positivaslas corrientes y las caídas de voltaje. a) Aplique la segunda ley de Kirchhoff a la espira cerrada superior del circuito y demuestre que

";

-

v2= o.

(ij

De manera semejante, demuestre que

v2- v3= o. (ii) y demuestre que b) Aplique la primera ley de Kirchhoff a cualquier nodo del circuito I, + I2+ I3= o. (iii) c) Aplique la relación corriente-voltaje a cada elemento del circuito para obtener las ecuaciones CV; = I , ,

LI;

V, = R I , ,

v

=

V,.

(iv)

d) Elimine V2, V3,I, e I2de las ecuaciones (i) a (ivj para obtener C V1 -- - I

VI

LI; = VI.

"

R'

(VI

R = lohrn

L

R = 2 ohms

= 1

henry

C = - farad 2

FIGURA 7.1.4 Circuito del problema 19.

Observe que si en las ecuaciones (v) se eliminan los subindices, entonces se obtiene el sistema (2) del texto. 19. Considere el circuito que se muestra en la figura 7.1.4. Aplique el método descrito en el problema 18 para demostrar quela corriente Z que pasa porla inductancia y el voltaje V a través del capacitor satisfacenel sistema de ecuaciones diferenciales dl dt

" =

-I-

v,

7.2

361

Repaso de matrices dV -=2I-V dt

20. Considere el circuito quese muestra en la figura 7.1.5. Aplique el método descritoen el problema 18 para demostrar que la corriente I que pasa por la inductancia y el voltaje V a través del capacitor satisfacenel sistema de ecuaciones diferenciales

dl dc

L - = -R,I

dV dc

C"1".

-

V,

V R2

FIGURA 7.1.5 Circuito del problema 20.

7.2 ReDaso de matrices Por razones teóricas y de cálculo es conveniente considerar algunoslosderesultados dela teoría de matrices' en el problema con valor inicial paraun sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Para efectosde referencia, esta seccióny la siguiente se dedican a presentar un breve resumen de los hechos que se necesitarán más tarde. En cualquier libro elemental sobre álgebra lineal pueden encontrarse más detalles. Sin embargo, se supone que el lector está familiarizado con los determinantesy la manera de evaluarlos. Las matrices se designan por letras mayúsculas negritas A, B, C, . . . , en ocasiones se usan mayúsculas griegasen negritas @, Y,. . . . Una matriz A consiste en un arreglo rectangular de números,o elementos, dispuestos en m renglones y n columnas, es decir,

I

Las propiedades de las matrices fueron estudiadas con amplitud por primera vez en 1858, en un artículo del algebrista inglés Arthur Cayley (1821-1895), aunque la palabra matriz la introdujo su buen amigo James Sylvester (1814-1897), en 1850. Cayley realizó parte de su mejor trabajo en matemáticas mientras ejercía como abogado, de 1849 a 1863; entonces se volvió profesor de matemáticasen Cambridge, puesto que conservó durante el resto de su vida. Después del trabajo fundamental deCayley, el desarrollo de la teoría de matrices avanzó con rapidez, con contribuciones importantes de Charles Hermite, Georg Frobenius y Camille Jordan, entre otros.

362

de Sistemas lineales de ecuaciones

vrimer orden

Se dice queA es una matriz de m x n . Aunque en este capitulo a menudo se supondrá que los elementos de ciertas matrices son números reales, en este sección se supone que los elementos delas matrices pueden ser números complejos. El elemento se que encuentra en el i -ésirno renglóny en la j-ésima columna se designa como a. ., en donde el primer subíndice '1 identifica su renglón y el segundo su columna. Algunas veces se utiliza la notación (a;,) para denotar la matriz cuyo elemento genérico es a. (J. Asociada con cada matriz estála matriz AT,conocida como transpuesta de A, y que se obtiene a partir deA al intercambiar los renglonesy las columnas de ésta. Por tanto,A_= si (af,),entonces AT= (u,;). También el conjugado complejo de a j jse denotará por üIjy porA se denotarála matriz que se obtiene A deal sustituir cada elementoa,r por su conjugado Üij.

LA matriz A se llamaconjugada de A. También es necesario considerar la transpuesta la de matriz conjugadaAT.Esta matriz se llama adjunta de A y se denota porA". Por ejemplo, sea

3 4+3i

-5+2i

Entonces

Para los efectos de este texto, se tiene un interés particular en dos tipos algo especiales de matrices: Las matrices cuadradas, que tienen el mismo número de renglones y de columnas, es decir, m = n y los vectores (o vectores de columna), que pueden concebirse como matrices de n x 1 o matrices que tienen una sola columna.Se dice que las matrices cuadradas que tienenn renglones y n columnas son de orden n. Los vectores (columna) se denotarán por letras minúsculas negritasx, y, 5, )],. . . La transpuesta xT de un vector columna n x 1 es un vector renglón de1 x n ; es decir, la matriz que consta deun renglón cuyos elementos son los mismos que los elementos en las posiciones correspondientes de x.

Propiedades algebraicas. 1. Igualdad. Se dice que dos matrices A y B de m x n son iguales si sus elementos correspondientesson iguales; es decir, siai,= bij para cada i y j . 2 . Cero. El símbolo O se usará para denotar la matriz (o vector) cada uno de cuyos elementos es cero. 3. Adición. La suma de dos matricesA y B de tn x n se define comola matriz obtenida al sumar elementos correspondientes:

A + B = (ai,) + ( b l j )= ( a l j+ b f j )

(2)

Con esta definición se deduce que la adición de matrices es conmutativa y asociativa, de modo que

A +A ( B+ +BC= )B=+( A A ,+ B ) + C . (Y

(3)

4. Multiplicación por un número. El producto de una matrizA y un número complejo se define como sigue:

363

7.2 Repaso

(YA= a(a..) = ((Ya..). ‘I ‘I

(4)

Las leyes distributivas

a(A + B) = (YA+ aB,

(a

+ P)A = a A + PA

(5)

se satisfacenpara este tipo de multiplicación. En particular, la negativa de A, denotada por -A, se define por

-A = (-1)A.

(6)

5. Sustracción. La diferencia A - B de dos matrices de m x n se define por (7)

A-B=A+(-B). Por tanto, (u..) - (b..)= ( a , .- b..) IJ

11

IJ

’

(8)

que es semejante ala ecuación (2). 6. Multiplicación. El producto AB de dos matrices se define siempre que el número de columnas del primer factor sea igual al número de renglones del segundo. Si A y B son matrices de m x n y de n x r, respectivamente, entonces el productoC = AB es una matriz de m x r. El elemento en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna de C se encuentra al multiplicar cada elemento del i-ésimo renglónAde por el elemento correspondiente de la j-ésima columna de B y después sumar los productos resultantes. Simbólicamente, n

a,bkj.

cij = k= 1

Es posible demostrar por cálculo directo que la multiplicación de matrices satisface la ley asociativa (AB)C = A(BC)

(10)

A(B + C) = AB + AC.

(11)

y la ley distributiva

Sin embargo,en general, la multiplicación de matrices noes conmutativa.A fin de que los productos AB y BA existan y sean del mismotamafio, es necesario que A y B sean matrices cuadradas del mismo orden. Inclusoen ese caso, no necesariamente los dos productos son iguales, de modo que, en general (12)

AB # BA.

Ejemplo 1

$

-I),

Para ilustrar l a multiplicación de matrices, así como el hecho de que ésta no necesariamente es conmutativa, considérense las matrices

-3-

A=[:

-2

- 11

B=[; 2

-1

-!I.

linealesecuaciones

364

de

Sistemas

de arimer orden

Con base en la definición de multiplicación quese da en la ecuación (9) se tiene

2-2+2

1+2-1

-1+0+1

4+1+2

2-1-1

-2+O+l,

O+O-1 2

De manera semejante, se encuentraque

o -3 B A = (14

i)

--4 5

Es evidente que AB # BA.

7. Multiplicación de vectores. La multiplicación de matrices también se aplica como un caso especial si las matrices A y B son los vectores renglón y columna de 1 x n y n x 1, respectivamente. Si se denotan estos vectores por xT y y se tiene

un número (complejo) y por l a ecuación (13) El resultado de una operación de este tipo es se concluye directamente que

xTy

= yTx,

+ Z) = xTy + X ~ Z ,

xT(y

( U X ) ~ J= J

c((x~Y) = X"(UY).

(14)

Existe otro tipo muy útil de multiplicación vectorial, que también se define para dos vectores cualesquiera que tenganel mismo número de componentes.Este producto, denotado por (x,y ) , se denomina producto escalar o interno y se define por

El producto escalar también esun número (complejo) y, al comparar las ecuaciones(13) y (15), se ve que

(x,y) . y'=

(16)

De l a ecuación (15) se deduce que ~

(x,Y) = (y, x),

(@x Y) = &(X, y),

(x,y

+ z) = (x,y) + (x,4 ,

(1 7 )

(x,ay) = m , y).

Nótese que aun si el vectorx tiene elementos con partes imaginarias diferentes de cero, el producto escalar de x consigo mismo da lugar a un número real no negativo,

365

7.2 Repaso de matrices

La cantidad no negativa (x, queamenudosedenotapor ~ ~ sex llama ~ ~ ,longitud o magnitud de x. Si (x, y) = O, entonces se dice quelos dos vectores x y y son ortogonales. Por ejemplo,los vectores unitariosi, j, k de la geometría vectorial tridimensional forman un conjunto ortogonal. Por otra parte, el producto de matrices

1 xi" n

XTX =

i= 1

puede no ser un número real. Si todas las componentes del segundo factor de las ecuaciones (13) y (15) son reales, entonces los dos productos son idénticos y se reducen al producto punto que suele encontrarseen contextos físicos y geométricos con n = 3. Por ejemplo, sea

Entonces

+ (-2)(i) + (1 + i)(3) = 4 + 3i, (x, y) = (i)(2 + i)+ (- 2)( i ) + (1 + i)(3) = 2 + 7i, xTx = (i)2 + ( -2)2 + (1 + i)2 =3 +2 , (x, x) = (i)(-i) + (-2)(-2) + (1 + i)(l - i) = 7 . xTy

= (i)(2

-

i)

-

8. Identidad. La identidad multiplicativa o simplemente la matriz I, se define por

O ... 1

...

O ... De la definición de multiplicación de matrices, se tiene

AI=lA=A

(21)

para cualquier matriz (cuadrada)A. De donde, la ley conmutativa se cumple para las matrices cuadradas siuna de éstas esla identidad. 9. Inversa. Para definir una operación para matrices cuadradas, análoga a la división de números, es nccesario determinar, para una matriz cuadrada A dada, otra matrizB tal que AB = I, en dondcI es la identidad. SiB existe, se denomina inversa multiplicafiva,o simplemente inversa, de A y se escribe B = A". Es posible demostrar que siA" existe, entonces

AA-'= A - ~ A= I.

(22)

366

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

En otras palabras, la multiplicación es conmutativa entre cualquier matriz y su inversa. SiA tiene una inversa multiplicativa A-], entonces se dice que A es no singular; de lo contrario, A es singular. Existen varias maneras de calcular -4" a partir deA, si se supone que existe. Una de ellas comprende el uso de determinantes. Asociado con cada elementoaij de una matriz dadase tiene el menorM . .,que esel determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el i-ésimo !J renglón y la j-éslma columna de la matriz original, es decir, el renglóny la columna que contienen a a j j . También, asociado con cada elemento alj se tiene el cofactor Cij definido por la ecuación

c11 =(-l)'+iMiJ' .

(23)

Si €3 = A-], es posible demostrar que el elemento generalbijse expresa por

A-l, sugiere una condición Aunque la ecuación (24) no es una manera eficiente2 para calcular que debe satisfacer A para que tenga una inversa. De hecho, la condición es tanto necesaria como suficiente: A es no singular si y sólo si detA # O. Si detA = O, entonces A es singular. Otra forma por lo común mejor para calcular A" es mediante operaciones elementales sobre los renglones. Existen tres de esas operaciones: 1.

Intercambiodedosrenglones.

2. Multiplicación de un renglón por un escalar diferente de cero. 3. Adición de cualquier múltiplo de un renglón a otro renglón. Cualquier matrizA no singular puede transformarseen la identidad I mediante una secuencia sistemática de estas operaciones. Es posible demostrar que si se efectúa la misma secuencia de operaciones sobreI, ésta se transforma en A-'. L,a transformación de una matriz por una secuencia de operaciones elementales sobre los renglones suele mencionarse como reducción respecto a los renglones. El siguiente ejemplo ilustra el proceso.

Ejemplo 2 d Encontrar la inversa de 1

A=(:

-: i). -1

-1

La matriz A puede transformarse en la identidad I mediante la siguiente secuencia de operaciones. El resultado de cada paso se muestraen la columna de la derecha.

* Paran grande, el número

de multiplicaciones necesario para evaluar A" mediante la ecuación (24) es proporcional a n!. Si se aplican métodos más eficientes, como el procedimiento de reducción respecto alos renglones que se describe después el número de multiplicaciones es proporcional sólo a d . Incluso para valores pequeños (1; n (como n = 4), los determinantes no son una herramienta que exija pocopara calcular inversas y se preficri,n los métodos de reducción respecto a los renglones.

361

7.2 Repaso de matrices a) Obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal en la primera COlumna al sumar (-3) veces el primer renglón al segundo y sumar (-2) veces el primer renglón al tercero. b) Obtener un unoen la posición de la diagonal en la segunda columnaa l multiplicar el segundo renglón por 4. c) Obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal en la segunda columna al sumar el segundo renglón al primero y sumar (-4) veces el segundo renglón al tercero. d) Obtener un uno en la posición de la diagonal en la tercera columna al multiplicar el tercer renglón por (-a. e) Obtener ceros en las posiciones fuera de la diagonal en la tercera columna al sumar (-:) veces el tercer renglón al primero y sumar (-;) veces el tercer renglón al segundo.

Si se efectúa la misma secuencia de operaciones, en el mismo orden sobre I, se obtiene la siguiente sucesión de matrices:

-2

o

1

4 1

-2

3

11 Lata conúltimala matriz de estas matrices es A", resultado quees posible comprobar original A.

por multiplicación direc-

Este ejemplo se facilitó ligeramente debido al hecho de quela matriz original A tenía un uno en la esquina superior izquierda ( a l , = 1). En caso de no ser así, el primer paso es obtener un uno en esa posición al multiplicar el primer renglón porl/ull, en tanto quea , , # O. Si a,, = O, entonces es necesario intercambiar el primer renglón con algún otro para llevar un elemento diferente de cero ala posición superior izquierda antes de seguir adelante.

Funciones matriciales. Algunas veces es necesario considerar vectores o matrices cuyos elementos son funciones de una variablereal t. Se escribe

respectivamente.

368

Sistemas lineales de ecuaciones primer

de

orden

Se dice que la matrizA(t) es continuaen t = to, o sobre un intervalo abierto a < t < p, si cada elemento de A es una función continua en el punto o sobre el intervalo dados. De manera semejante, se dice que A(t) es diferenciable si cada uno de sus elementos es diferenciable, y su derivada dAldt se define por

es decir, cada elemento ded A / d t e sla derivada del elemento correspondiente de A. Dela misma manera, la integral deuna función matricial se define como A(t) dt =

(J: aij(t)dt).

Por ejemplo, si A(t) =

(4'

-sent

),

cos t

1%

entonces A'(t) =

(,yt

JiA(t)dt

=

(:'y2).

Muchas de las reglasdel cálculo elemental pueden extenderse con facilidad a las funciones matriciales; en particular, dA d (CA) = c -, dt dt

en donde

-

dt

dt dt

d dA -(A+B)=-+-; dt d dB (AB) = A dt

-

C es una matriz constante;

(28)

dB

+ dA B. dt -

En las ecuaciones (28) y (30) es necesario tener cuidado en cada término para evitar que se intercambie de manera inadvertida el orden de la multiplicación. Las definiciones expresadas porlas ecuaciones (26) y (27) también se aplican como casos especiales a los vectores.

Problemas

&

369

7.2 Repaso de matrices

2. Si A = 3 + 2 i

l+i

encuentre (a) A - 2B (b) 3. SiA =

3A +AB (c) B

(-;

1 O

-1

2

encuentre (a) AT

- 1 + 2yi ) B2 -=i( i 2

-$

(b) BT

-2i 3 )'

(d) BA 2

(-:-: -!), 1

y

B=

(c) AT

+ BT

+ B)T

(d) (A

4. Si A =

encuentre (a) AT

5. SiA =

(b) .& A* (c) 2 -1 y

(i -; :j -:),

verifique que 2(A + B) = 2A

o

6 . S i A = ( - : 1 -2

(-; a I), 2

B=

1 -1

+ 2B. B=(-; 2

verifique que (a) (AB)C = A(BC) (b) (A + B) + C = A (c) A(B + C) = AB + AC

C = ( i2

-t

1

; 1

-;I, 0

+ (B + C)

7. Demuestre cada una de las siguientes leyes delálgebra matricial:

+

(a) A + B = B + A (c) @(A+ B) = UA + UB (e) A(BC) = (AB)C 8. Si X =

3-i

( ) ( ) i; 1-i

y

y=

(b) YTY 1 - 2i 9. Si x = Y (a) XTY

(a) XTY = Yrx

(

(b) A + (B + C) = (A B) + C (d) (U + B)A = UA + PA (f) A(B + C) = AB + AC

-1 + i 2 ), encuentre

( 4 (x, Y)

( 4 (Y, Y)

y = ( 3 i ) , demuestre que 1 + 2i (b) (x. Y) = (Y,x)

En cada unode los problemas 10 a 19, calcule la inversa de lamatriz dada, o bien demuestre que esta última es singular. 10.

.."

.

.

.

.. ..

I

(-2'

4)

3

11.

(; -;)

12.

f

370

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

20. Demuestre que si A es no singular, entonces A" queda determinada de manera única; es decir, demuestre queno puede haber dos matrices diferentesB y C tales que AB = I yAC=I. 2 l . Demuestre que si A es no singular entonces AA" = A"A; es decir la multiplicación es conmutativa entre cualquier matriz no singular y su inversa.

7.3

Sistemas de

ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores

371

En esta sección se repasan algunos resultados del álgebra lineal que son importantes la para resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Algunos de estos resultados se demuestran con facilidad y otros no; dado que sólo se tiene interés en resumir algo de información útil, en ningún caso se dan indicaciones sobre las demostraciones. Todos los resultados de esta sección dependen de algunos hechos básicos acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Un conjunto de n ecuaciones algebraicas lineales simultáneas en n variables

Un1X1

+

Un2X2

+ . .+ '

UnnX,

= b",

puede escribirse como

Ax = b,

(2)

en donde se dan la matriz A de n x n y el vectorb y deben determinarse las componentes de x. Si b = O, entonces se dice que el sistema es homogéneo; de lo contrario, es no homogé-

neo. Se dice que dos sistemas que tienen precisamente el mismo conjunto de soluciones son sistemas equivalentes. Si la matriz de los coeficientes A es no singular; es decir, si detA es diferente de cero, entonces existe una solución única del sistema (2). En virtud de que A es no singular, existe A" y puede hallarse la solucióno multiplicar porla izquierda cada miembro dela ecuación (2) por A"; por tanto, X

= A"b.

(3)

En particular, el problema homogéneo Ax = O, correspondiente a b = O en la ecuación (2), tiene sólo la solución trivial x = O . Por otra parte, siA es singular; es decir, si det A es cero, entonces no existen soluciones de la ecuación (2), o existen pero no son únicas. Dado que A es singular,A" no existe, por lo que la ecuación(3) deja de ser válida. El sistema homogéneo

Ax=O

(4)

tiene (una infinidad de) soluciones diferentes de cero además de la solución trivial. Ea situación para el sistema no homogéneo(2) es más complicada. Este sistema no tiene solución a menos que el vector b satisfaga cierta condición adicional que, por ningún motivo, es evidentemente necesaria. Esta condición es que

0%Y> = o, (5) para todos los vectores y que satisfagan A*y = O, en donde A* es la adjunta de A. Si se satisface la condición (5), entonces el sistema (2) tiene (una infinidad de) soluciones. Cada una de estas soluciones es de la forma

.

..

372

de

linealesecuaciones

de

Sistemas

primer orden

x = x(*) + 5,

(6)

en donde x@) es una solución particular de la ecuación (2) y E es cualquier solución del sistema homogéneo (4). Nótese la semejanza entre (6) yla solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea, l a ecuación (7) de la sección 3.6. En los problemas 26 a 30 se describen las demostraciones de algunas de las proposiciones anteriores. Los resultados del párrafo anterior son importantes como medio para clasificar las soluciones de los sistemas lineales. Sin embargo, para resolver sistemas particulares por lo general es mejor aplicarla reducción respecto a los renglones para transformar el sistema en uno mucho más sencillo, a partir del cual la(s) solución(es), en caso de haber alguna(s), pueda(n) escribirse con facilidad. A fin de lograr esto de manera eficiente es posible formar la matriz aumentada

Aib= un1

I h.)

.. .

'I;,,

" '

~rln

;

(7 1

h,,

al unir el vector b a la matriz de los coeficientes A como una columna adicional. La línea discontinua sustituye a los signos de igualdad y se dice que parte la matriz aumentada. A continuación se realizan operaciones sobre los rengloneslade matriz aumentada para transformar A en una matriz triangular;es decir, en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal seantodos cero. Una vez que se hace esto, es fácil ver si el sistema tiene soluciones y hallarlas en caso afirmativo. Obsérvese que las operaciones elementales sobre los renglones de l a matriz aumentada (7) corresponden a operaciones válidas sobre las ecuaciones del sistema (1). Los siguientes ejemplos ilustran el proceso.

Resolver el sistema de ecuaciones Y,

~

-Y,

zs,

?.x2

+ 3+,

=

7.

71,

=

-

+

.x2

-

.x2 -

"

.xi = 4.

La matriz aumentada para el sistema (8) es

i

1

-2

-1

1

2

-1

S,

3 ; -2; -1

-;l.

(9)

4

Ahora se efectúan operaciones sobre los renglones de lamatriz (9) con laintención de introducir ceros en la parte inferior izquierda de la misma. Se describe cada pasoy el resultado se registra en seguida. a) Sumar el primer renglón al segundo y sumar (-2) veces el primer renglón al tercero. 1

-2

o o

-1

3 ; 1 :

3

- 7 : -

7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales;

independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores

373

b) Multiplicar por -1 el segundo renglón.

0

- 7 1 -10

3

c) Sumar (-3) veces el segundo renglón al tercero. -2

o

7

3 ;

o

-41-4

d) Dividir entre -4 el tercer renglón. 1

-2

31

7

La matriz así obtenida corresponde al sistema de ecuaciones x1 - 2x2

+ 3x,

=

7

x2 - x, = -2

(10)

x, = I ,

que es equivalente al sistema original (8). Nótese que los coeficientes de las ecuaciones (10) forman una matriz triangular. De la última de ellas se tienex, = 1, de la segunda, x2 = -2 + x3 = -1 y de la primera, x1 = 7 + 2 x 2 - 3x, = 2. Por tanto, se obtiene

que es la solución del sistema dado (8). De manera incidental, ya que la solución es única, se concluye que la matriz de los coeficientes esno singular.

Ejemplo 2

Analizar las soluciones del sistema x1 - 2x2

+ 3x,

= h,.

para diversos valores de b,, b2 y b,. Obsérvese que los coeficientes del sistema (1 1) son los mismos que los del sistema (S), excepto por el coeficiente dex, en la tercera ecuación. La matriz aumentada delsistema (11) es

374

de-

lineales ecuaciones de

Sistemas

primer orden

2 Al efectuar los pasos a), b) y c) como en el ejemplo 1, la matriz (12) se transforma en

$?

i I O O

3

-2

3 ; --1

1

1

O 1 h,

O

--bl -- b, 3b, + h,

+

i

2 La ecuación que corresponde al tercer renglón de la matriz (13) es a%$

p

b , t 3b,

+ b, = O;

(14)

t; por tanto el sistema ( I 1) no tiene solución, a menos que b,, b, y b, satisfagan la condición (14).

=,

d

Es posible demostrarque esta condición es precisamente la ecuación (5) del sistema (11). Supóngase ahora que b, = 2, b, = 1 y b, =: -5, en cuyo caso se satisface l a ecuación (14). Entonces, los dos primeros renglones del a matriz (13) corresponde a las ecuaciones

x,- 2.5

i3x, =

2,

x2 - x 3 = -3. -,-

"k- Para resolver el sistema (15) es posible elegir de manera arbitraria una de las incógnitas y, a "~

f continuacibn, despejarlas otras dos. Si se hace x3 = a, en donde cy es arbitraria, se concluye que

$

Si la solución se escribe en notación vectorial, se tiene

Es ficil verificar que el segundo término del segundo miembro de la ecuación (16) es una solucidn del sistema no homogéneo (ll), en tanto que el primer término es l a solución más general del sistema homogéneo correspondiente a(11).

La reducción respecto alos renglones también es de utilidad para resolver sistemashomogéneos y sistemas enlos que el número de ecuacioneses diferente del númerode incógnitas. Independencia lineal. Se dice que un conjunto de k vectores x('), . . . , es linealmente dependiente si existe un conjunto de números (complejos)c,, . . . , ck,de los cuales por lo menos uno sea diferente de cero, tal que clx(l)

+ ' . . + CkX(k) = o.

(1 7 )

En otras palabras, x(]), . . . , son linealmente dependientes si existe una relación lineal entre ellos. Por otra parte si el Único conjunto cl, . . . , ck para el que se cumple la ecuación (17) es cI = C, = . . . = ck = O, se dice que x(')>. . . , son linealmente independientes. Considérese ahora un conjunto de n vectores, cada uno delos cuales tiene n componentes. Seax,, = x(;) la i-ésima componente del vector x(J)y sea X = (xij). Entonces la ecuación (17) puede escribirse como

7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores

375

Si det X # O, entonces la única solución de la ecuación (18) es c = O , pero si det X = O, existen soluciones diferentes de cero. Por tanto, el conjunto de vectores x('), . . . , x(") c s linealmente independiente si y sólo si det X # O.

Ejemplo 3

Determinar si los vectores

son linealmente independientes o linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, encontrar una relación lineal entre ellos. Para determinar si x(1), y x(3)son linealmente dependientes, se calcula det(x,), cuyas columnas son las componentes de x('), x(2)y x("), respectivamente. Por tanto, 1

det(xij) =

2 -1

-4

2

1,

1

3

-11

y un cálculo elemental muestra que es cero.Por tanto, x('), x(2)y tes y existen las constantes c I , c2 y c3 tales que

son linealmente dependien-

La ecuación (20) también puede escribirse en la forma

y resolverse mediante operaciones elementales sobre los renglones a partir de la matriz aumentada 1 ". O -1

3

-11

Se procede como en los ejemplos 1 y 2. a) Sumar (-2) veces el primer renglón al segundo y sumar el primer renglón al tercero. 2 5

-410 -15

376

de Sistemas lineales de ecuaciones w,

b) Dividir el segundo renglón entre tercero.

vrimer orden

-3; entonces, sumar (-5) veces el segundo renglón al

2

-410

De esta manera se obtieneel sistema equivalente c1 + 2c2 - 4c, = o,

c2- 3 5 = o. ,i d:

A partir de la segunda de las ecuaciones (23), se tiene c2 = 3c,, y de la primera se obtiene c1 = 4c, - 2c2 = -2c,. Por tanto, se despejaron c , y c2 en términos de c,, en donde ésta permanece arbitraria. Si, por conveniencia, se elige c, = -1, entonces c1 = 2 y c2 = -3. En este caso l a

relación deseada (20) queda 2x0) - 3 X P ) - x(3)= 0.

Con frecuencia resulta útil pensar en las columnas (o los renglones) de una matriz A como vectores. Estos vectores columna (o renglón) son linealmente independientes si y sólo si det A # O. Además, si C = AB, entonces es posible demostrar que det C = (det A)(det B). Por consiguiente, si las columnas (o los renglones) de A y B son linealmente independientes, las columnas(o los renglones) de C también lo son. A continuación se extenderán los conceptos de dependencia e independencia lineales a un conjunto de funciones vectoriales x(')(t), . . . ,x@)(t)definidas sobreun intervalo (Y < t < p. Se dice que los vectores . . . ,x(k)(t)son linealmente dependientes sobre (Y < t < p s i existe un conjunto de constantescl, . . . , ck, no todas cero, tales quec1x(l)(t) + . . . ck d k ) ( t ) = O para toda f en el intervalo. En caso contrariose dice que x(')(t), . . . , son linealmente independientes. Nótese que six(')(t), . . . , x@)(t) son linealmente dependientes sobre un intervalo, entonces son linealmente dependientes en cada punto del intervalo. Sin embargo, si x(')(t), . . . , x@)(l)son linealmente independientes sobre un intervalo, pueden o no ser linealmente independiente en cada punto; de hecho, pueden ser linealmente dependientesen cada punto, pero con diferentes conjuntos de constantes en puntos diferentes. Ver el problema 14 como ejemplo.

Eigenvalores y eigenvectores. La ecuación

puede considerarse como una transformación lineal que mapea (o transforma) un vector x dado en un nuevo vector y. Los vectores que se transforman en múltiplos de sí mismos

7.3

Sistemas de ecuaciones alaebraicas lineales; independencia

lineal, eiaenvalores, eiaenvectores

377

tienen una función importante en muchas aplicacione~.~ Para encontrar estos vectores se hace y = Ax, en donde A es un factor escalar de proporcionalidad, y se buscan soluciones de las ecuaciones AX = AX,

o bien,

(A - AI)x = O .

(26)

La última ecuación tiene soluciones diferentes de cerosi y sólo si se eligeA de modo que

A(A) = det(A - AI) = O .

(27)

MS valores deA que satisfacenla ecuación (27)se llaman eigenvalores (o valores propios) de la matriz A y las soluciones de las ecuaciones (25) o (26) que se obtienen al usar ese valor de Ase conocen como eigenvectores(ovectores propios) correspondientes a ese eigenvalor. Los eigenvectores quedan determinados sólohasta una constante multiplicativa arbitraria; si se especifica esta constante de alguna manera,se dice que los eigenvectores están normalizados. A menudo conviene normalizar un eigenvector xal requerir que (x, x)= 1. De manera alternativa, es posible que se desee hacer que una de las componentes sea iguala uno. Puesto que (27) esuna ecuación polinomial en A de grado n existen n eigenvalores A,, . . . ,A,,, algunos de los cuales pueden repetirse.unSieigenvalor dado aparecem veces como una raíz de (27), se dice que ese eigenvalor tienemultiplicidad m. Cada eigenvalor tiene asociado por los menos un eigenvector, y un eigenvalor de multiplicidad m puede tener q eigenvectores linealmente independientes,en donde

1%q%m.

(28)

En el ejemplo4 que sigue se ilustra que q puede ser menor que m.Si todos los eigenvalores de una matriz A son simples (tienen mutiplicidad uno), es posible demostrar que los n eigenvectores de A, uno para cada eigenvalor, son linealmente independientes. Por otra parte, si A tiene repetidos uno o más eigenvalores, entonces puede haber menos n eigenvectores linealmente independientes asociados con A,ya que para un eigenvalor repetido es posible tener q < m. Este hecho origina complicaciones más tardeen la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Por ejemplo, esteproblema se encuentra al hallar los ejes principalesde esfuerzo o deformación enun cuerpo elástico y al hallar los modos de vibración libre en un sistema conservativo conun número finito de gradosde libertad.

378

Sistemas de ecuaciones lineales orden de urimer

Los eigenvalores A y los eigenvectores x satisfacen la ecuación (A - AI) = O, o bien

Los eigenvalores son las raíces de la ecuación

=

iL2 -4 .; + 4 = O.

(31)

Por tanto, los dos eigenvalores sonA = 2 y A, = 2; es decir, el eigenvalor 2 tiene multiplicidad dos. Para determinar los eigenvalores es necesario volver a la ecuación (30) y usar como A el valor 2; esto da

De donde, se obtiene l a condición única x1 t x2 = O, que determina x2 en términos de xI,o viceversa. Si x, = c, entonces x2 = "c y el eigenvector x(l) es

Por logeneral, al encontrar eigenvectores se cancela la constante arbitraria c; por tanto, en vez de la ecuación (33) se escribe

y se recuerda que cualquier múltiplo de este vector también es un eigenvector. Obsérvese que sólo existe un eigenvector linealmente independiente asociado con el eigenvalor doble.

Encontrar los eigenvalores y eigenvectores de la matriz A=(:

y

o 1 1 ,l).

(-I -; ;)(::)=(;).

Los eigenvalores h y los eigenvectores x satisfacen la ecuación (A - A1)x = O, O bien, -E.

.x3

Los eigenvalores son las raíces de la ecuación -2

det(A - AI) = =

1 1 1 -i 1 1 1 -A - % 3 + 33, + 2 = o.

(371

7.3

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores,

eigenvectores

379

Si se resuelvela ecuación (37), quizá por tanteos, se obtienentres raíces; a saber, A, = 2. A, = -1, y A, = -1. Por tanto, 2 es un eigenvalor simpley -1 es un eigenvalor con multiplicidad dos. Para encontrar el eigenvector x(') correspondiente al eigenvalor A, se sustituye A = 2 en la ecuación (36); esto da el sistema

Éste se puede reducir al sistema equivalente

mediante operaciones elementales sobrelos renglones. Si se resuelve este sistema se obtiene el eigenvector

Para A = -1, las ecuaciones (36) se reducen de inmediato a la única ecuación

Por tanto, es posible elegir arbitrariamente los valores para dos de las cantidades xl, x*, x3y la tercera se determina apartir de la ecuación (41). Por ejemplo, six1 = 1 y x, = O, entonces xj = -1 Y

es un eigenvector. Cualquier múltiplode x(2)también esun eigenvector, peroal hacer otra elección de x1 y x2, por ejemplo x1 = O y x 2 = 1, es posible determinar un segundo eigenvector independiente. Una vez más,x 3 = -1 y x(3'=

(43)

es un eigenvector linealmente independiente dex(*). Por lo tanto, eneste ejemplo dos eigenvectores linealmente independientes están asociadoscon el eigenvalor doble. Una clase especial importante de matrices, llamadas autoadjuntas o hermitianas son aquellas para las queA* =A; es decir, ü..= a ... Las matrices hermitianas incluyen, como una I' LJ subclase: a las matrices realessimétricas; esdecir, las matrices que tienen elementos reales y para las que AT = A. Los eigenvalores y los eigenvectores de las matrices hermitianas siempre tienen las siguientes propiedadesútiles:

380

Sistemas de ecuaciones orden lineales de primer 1,

2. 3.

4.

Todosloseigenvalores son reales. Siempre existe un conjunto completo de n eigenvectores linealmente independientes, sin importar las mutiplicidades de los eigenvalores. Si x(])y son eigenvectoresquecorrespondenadiferenteseigenvalores,entonces (x('), x(2))= O. Por tanto, si todos los eigenvalores son simples, entonces los eigenvectores asociados forman un conjunto ortogonal de vectores. Correspondiendo a un eigenvalor de multiplicidad m,es posible elegir m eigenvectores que sean mutuamente ortogonales. Por tanto, siempre es posible elegir el conjunto completo de n eigenvectores de modo que sean ortogonales y linealmente independientes.

e ilustra las propiedades1 , 2 y 3, El ejemplo5 anterior comprende una matriz simétrica real pero la elección que se hizo para x(*)y x(3)no ilustra la propiedad 4. Sin embargo, siempre es posible elegir un x@) y un de modo que (x(2),x(3))= O. Por ejemplo, se hubiera podido elegir

como los eigenvectores asociados con el eigenvalorA = -1 en el ejemplo 5. En el ejemplo 4 se ve quesi la matriz no es hermitiana pueden faltar eigenvectores cuando se repite un eigenvalor. En los probiemas 32 a 34 se describen las demostraciones de las proposiciones 1y 3 . En la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas, así como en otras situaciones, algunas veces es útil transformar una matriz dada en una matriz diagonal; es decir, en una que sólo tenga elementos diferentes de cero en la diagonal. Los eigenvectores resultan útiles al realizar una transformación de este tipo. Supóngase que A tiene un conjunto completo de n eigenvectores linealmente independientes (sin importar queA sea hermitiana o no). Si por x('), . . . ,x@) se denotan estos eigenvectoresy A,, . . . ,A, denotan alos eigenvalores correspondientes, se forma la matriz T cuyas columnasson los eigenvectoresx('), . . . ,x('). En virtud de que las columnas de T son vectores linealmente independientes, det T Lit O; por tanto, T es no singular yT'existe. Un cálculo directo muestra que las columnas ladematriz AT son precisamente los vectores A x ( ' ) , . . . , A x ( " ) . Como A x ( k ) = h,xck),se concluye que

AT=(

)"[X\])

'..

)Llxp

... 2

&x:"'

n

en donde

X(n)

n

)=TD

(44)

7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores

T"AT

= D.

381

(46)

Por tanto, sise conocen los eigenvalores y eigenvectores de A, ésta puede transformarse en una matriz diagonal mediante el proceso indicado en la ecuación (46). Este proceso se conoce como transformación de semejanza y la ecuación (46) se resume verbalmente al decir queA es semejante a la matriz diagonalD. De manera alternativa, puede decir que A es diagonalizable. La posibilidad de efectuar una diagonalizaciónde este tipo será importante más tarde en este capítulo. Si A es hermitiana la determinación deT'es muy sencilla. Se eligen los eigenvectores x(1),. . . , X@) de A de modo que se normalicen por (x(i),x(')) = 1 para cada i y que sean ortogonales. Entonces, es fácil comprobar queT'= T*;en otras palabras, la inversa de T es igual a su adjunta (la transpuesta de su conjugada compleja). Por último, se observa que Asitiene menosde n eigenvectores linealmente independientes, entonces no existe matrizT tal que T'AT = D. En este caso,A no es semejante a una matriz diagonal o no es diagonalizable.

Problemas

wb En cada uno de los problemas 1 a 5 resuelva el conjunto dado de ecuaciones o demuestre que no existe solución. 1.

3.

5.

x1 3x1 -x1

- x,=O

2.

X I + 2 x 2 - x3 = 1 2x1 x2 x3 = 1 x1 - x2 2x3 = 1

-

4.

x1 +2x, 2x1 x2 x1 - x2

+ x2 + x3 = 1 + x2 + 2x3 = 2 x1 + 2x2 x3 = 2 2x1 + x2 + x3 = 1 x1 - x2 + 2x3 = - 1

x1 3x, -x1

+ +

+

+

+ +

-

x3

=o

+ x3 = o + 2x3 = o

- x,=o

x2 x2

+ x3 = o + 2x, = o

En cada uno delos problemas 6 a 10, determine si el conjunto dado de vectores es linealmente independiente. Si es linealmente dependiente, encuentre l a relación lineal entre ellos. Los vectores estánescritos como vectores renglónpara ahorrar espacio, peroes posible considerarlos como vectores columna;es decir, en vez de usarlos vectores dadoses posible usarlos transpuestos delos propios vectores.

11. Suponga que cada uno de los vectores x('), . . . , tiene n componentes, en donde n < m.Demuestre que x(1),. . . , sonlinealmentedependientes.

382

Sistemas de ecuaciones primer lineales de

arden

En los problemas 12 y 13, determine si el conjunto dado de vectores es linealmente independiente para - X < t < m. Si es linealmente dependiente, encuentre la relación lineal entre ellos. Como enlos problemas 6 a 10, los vectores están escritos como vectoresrenglón para ahorrar espacio. 12. x'"(t) = ( e - f , 2e"), xI2)(t)= (e-', e"), X ( ~ I ( ~ )= (3e", O) X(')([) = ( 2 sen t , s e n t ) ~ " ' ( t= ) (sen t , 2 sen t )

13.

14. Sea

Demuestre que x(')(t) y x(')(t) son linealmente dependientes en cada punto del intervalo O 5 t 5 1. Sin embargo, demuestre que x(')(t)y ~ ( ~ ) son ( t ) linealmente independientes sobre O 5 t S 1. En cada uno de los problemas 15 a 24 encuentre todos los eigenvalores y eigenvectores de la matriz dada.

'5.

21.

(; -:)

f 3 2

-;I

16. (34

-1 -2)

20. (14

22.

(

3

2

1

4

-2

-4

-1

-1 -4)

'I

25. Para cada una de las matrices A dadas, determine T tal que T"AT = D, en donde D es una matriz diagonal. Confirme la elección hecha de T al calcular T"AT. a) A es la matriz del problema 15. b) A es la matriz del problema 16. c) A es la matriz del problema 18. Los problemas 26 a 30 se refieren al problema de resolverAx = b cuando detA = O.

26. Suponga que,para una matriz dada A, existe un vector x diferente de cero tal que Ax = O . Demuestre que también existe un vector y diferente de cerotal que A*y = O . 27. Demuestre que (Ax, y) = (x, A*y)para vectores cualesquiera x y Y. 28. Suponga que det A = O, aunque Ax = b tiene soluciones. Demuestre que (b, y) = O, en donde y es cualquier solución de A'y = O. Compruebe que estaproposición es verdadera para el conjunto de ecuaciones del problema 3. Sugerencia:aplicar el resultado delproblema 27. 29. Suponga que detA = O, pero quex = x(O)es una solución de Ax = b. Demuestre que si5 es una solución de A< = O y a es cualquier constante, entoncesx = x(') + a{ también es una solución de Ax = b.

7.4

Teoria básicaecuaciones sistemas de los primer lineales de

orden

383

*30. Suponga que detA = O y que y es una solución de A'y = O. Demuestre que si(b, y) = O para today de este tipo, entonces Ax = b tiene soluciones. Observe que este es el inverso del problema 28;la forma de las soluciones seda en el problema 29. 31. Demuestre queA = O es un eigenvalor deA si y sólo si A es singular. 32. Demuestre quesi A es hermitiana, entonces(Ax, y) = (x, Ay), en donde x y y son vectores cualesquiera. 33. En este problema se muestra que los eigenvalores de unamatriz hermitianaA son reales. Sea x un eigenvector correspondienteal eigenvalor A. a) Demuestre que ( A x , x) = (x, Ax). Sugerencia: ver el problema 32. b) Demuestre que A(3x) = n(x, x). Sugerencia: Recuerde queAx = Ax. c) Demuestre que A = A; es decir queel eigenvalor A es real. 34. Demuestre que si Al y A 2 son eigenvalores de una matriz hermitiana A y si Al f entonces los eigenvectores correspondientesx(1)y x@)son ortogonales. Sugerencia: aplique los resultados de los problemas 32 y 33 para demostrar que (A, A2)(x(1),x'2') = o.

it,

La teoría general de un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden

se desarrolla en forma paralela a la de una sola ecuación lineal de n-ésimo orden. Por consiguiente, el análisisen esta sección sigue las misma líneas generales que en las secciones 3.2, 3.3, y 4.1. Para analizar de manera más efectiva el sistema(l),se usa la notación matricial. Es decir, se consideran x1 = +,(r), . . . , x,, = +,,(r) como las componentes de un vector x = Cp(r); de manera semejante,g,(t), . . . ,g,(r) son las componentes de un vector g(t) y p,,(r),. . . ,p,,,(r) son los elementos de una matrizP(r) de n x n. Entonces la ecuación(1) toma la forma

x' = P(r)x t g(r),

(2)

El empleo de vectores y matrices no sólo ahorra bastante espacio y facilita los cálculos, también destaca la semejanza entrelos sistemas de ecuacionesy las ecuaciones (escalares) simples. Se dice que un vector x = +(r) es una solución de la ecuación (2) si sus componentes satisfacen el sistema de ecuaciones (1).A lo largo de toda esta secciónse supondrá queP y g son continuas sobre algún intervalo a < r < 0; es decir, que cada una de las funciones escalaresp,,, . . . ,pnn,g,, . . . ,g, es continua allí. Según el teorema 7.1.2, esto es suficiente para garantizar la existencia de soluciones de la ecuación (2) en el intervalo CY < r < p. Es conveniente considerar primerola ecuación homogénea

x' = P(r)x

(3)

384

Sistemas lineales de ecuaciones primer

de

orden

que se obtiene a partir de la ecuación (2) al hacer g(t) = O. Una vez que se resuelve la ecuación homogénea, hay varios métodos que se puedenusar para resolver la ecuación no homogénea (2); esto setrata en la sección 7.9. Se usará la notación

para designar soluciones específicas del sistema (3). Nótese quex,(t) = x(/)( t ) se refiere a la i-ésima componente de laj-ésima solución x"(t). de En los teoremas 7.4.1 a 7.4.4 se enuncian los hechos más importantes acerca de la estructura de las soluciones del sistema(3). Estos teoremas se parecen bastante a los teoremas correspondientes de las secciones 3.2, 3.3 y 4.1; algunas de las demostraciones se dejan como ejercicio para lector. el

Éste esel principio de superposición; se demuestra sencillamente al derivar clx(') t c,x(~) y aplicar el hecho de que x(') y satisfacen la ecuación (3). Mediante aplicaciones repetidas del teorema 7.4.1 se llega a la conclusión de que si x('), , . . , son soluciones de (3) entonces

x

= C1X(11(f)

+

' ' '

+ C,X'k'(t)

(5)

también es una solución para cualesquiera constantes cl, . . . , ck.Como ejemplo, es posible comprobar que

satisfacen la ecuación XI=

(:

;>..

Según el teorema 7.4.1,

también satisface la ecuación (7). Como ya se indicó, mediante aplicaciones repetidas del teorema 7.4.1 se concluye que toda combinación lineal finita de las soluciones de (3) también es una solución. Ahora surge la pregunta de si todas las soluciones de (3) pueden hallarse de esta manera. Por analogía con casos anteriores, es razonable esperar que para un sistema de la forma(3) de n-ésimo orden basta formar combinaciones lineales de n soluciones elegidas de manera

7.4

Teoria básica de los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

385

adecuada. Por lo tanto, sean x(1),. . . , x@)n soluciones del sistema (3) de n-ésimo ordeny considérese la matriz X ( t ) cuyas columnas son los vectoresx(')(t), . . . , x(")(@

Recuérdese por lo visto en la sección 7.3 que las columnas de X ( t ) son linealmente independientes para un valor dado de t si y sólo si detX # O para ese valor de f. Este determinante se llama wronskiano de las n soluciones x(1),. . . ,x(")y también se denota por W[x('), . . . ,x(")]; es decir, W[x('),

. . . , x(")] = det X.

(10 )

Entonces, las soluciones x(1), . . . , x(") son linealmente independientes enun punto si y sólo si W[x('), . . . , x(")] no es cero allí.

Antes de demostrar el teorema 7.4.2, nótese que, según el teorema 7.4.1, todas las expresiones de la forma (11) son soluciones del sistema (3), mientras que por el teorema 7.4.2 todas las soluciones del sistema (3) pueden escribirse en la forma (11).Si se piensa que las constantes cl, . . . ,cnson arbitrarias, entoncesla ecuación (11) incluye todas las soluciones del sistema(3) y se le acostumbra llamar solución general. Se dice que cualquier conjunto de soluciones x(1),. . . ,x(") de la ecuación (3), que sea linealmente independiente en cada punto del intervalo (Y < t < p e s un conjunto fundamental de solucionespara ese intervalo. Para probar el teorema 7.4.2 se demostrará, dada cualquier solución Cp de la ecuación (3), que +(r) = clx(l)(t) t . * . t cnx(")(r), paravalores adecuados decl, . . . , c,. Sea t = to algún punto en el intervalo (Y < t < p y sea 5 = +(lo). Ahora se quiere determinar si existe cualquier solución dela forma x = c,x(')(t) + . . . + c,x("'(t)que también satisfagala misma condición inicialx(to) = 5. Es decir, se desea saber si existen valorescl,de. . . ,cntales que c,x"'(to)

o, en forma escalar,

+ . . + CnX(n)(to)= 5, '

(12)

~386

Sistemas de de lineales ecuaciones

primer orden

La condición necesaria y suficiente para que las ecuaciones (3) tengan una solución única . , cn es precisamente que el determinante de los coeficientes, que es el wronskiano W[x('), . . . , x(")] evaluado en t = to, no se anule. La hipótesis de que x('), . . . , x(") son linealmente independientes en todo el intervalo cy < f < p garantiza queW [ x ( ' )., . . , x(")] es diferente de ceroen t = to y, por consiguiente, existe una solución (única) de la ecuación (3) de l a forma x = c,x(I)(t)t . . . t c,x(")(t) que también satisface la condición inicial (12). Por la parte de unicidad del teorema 7.1.2, esta solución es idéntica a +(t) y, de donde, +(r) = c,x(')(f)+ . . . + crlx(")(t), como tuvo que demostrarse. c,, . .

La importancia del teorema 7.4.3 radica en el hecho de que elimina la necesidad de examinar W[x('), . . . , x(ri)] en todos los puntos del intervalode interés y permite determinar si x('), . . . , x(")forman un conjunto fundamental de soluciones,al evaluar simplemente su wronskiano en cualquier punto conveniente del intervalo. El teorema 7.4.3 se pruebaal establecer en primer lugar que el wronskianode x('), . . . , x(rf)satisface la ecuación diferencial (ver el problema 2)

De donde, Wesuna función exponencialy la conclusión del teorema se sigue de inmediato. L a expresión para Wobtenidaal resolver la ecuación (14) se conoce como fórmula de Abel; nótese la analogía con la e c u a c i h (7) de la sección 3.3. Alternativamente, se puede establecer el teorema 7.4.3 al demostrar que si n soluciones x('), . . . , x(rf)de la ecuación (3) son linealmente dependientes en un punto t = to, entonces deben ser linealmente dependientes en cada punto(Y < det < p (ver el problema 8). Como consecuencia, six('), . . . , x(") son linealmente independientes en un punto, deben ser linealmente independientes en cada punto del intervalo. El siguiente teorema afirma que el sistema (3) siempre tiene por lo menos un conjunto fundamental de soluciones.

7.4

Teoría básica de

los sistemas ecuaciones delineales de

387

primer orden

Para probar este teorema, nótese que la existencia y unicidad de las solucionesx(’), . . . ,x()’) mencionadas en el teorema 7.4.4 quedan aseguradas por el teorema 7.1.2. No es difícil ver que el wronskiano de estas soluciones es igual a uno tcuando = to;por lo tanto, x(’)> . . . , son un conjunto fundamental de soluciones. Una vez que se encuentra un conjunto fundamental de soluciones, es posible generar otros conjuntos al formar combinaciones lineales (independientes) del primer conjunto. Para fines teóricos, el conjunto dado por el teorema 7.4.4 suele ser el más simple. En resumen, cualquier conjunto den soluciones linealmente independientes del sistema (3) constituye un conjunto fundamental de soluciones. En las condiciones dadas en esta sección, esos conjuntos fundamentales siempre existeny toda solución del sistema (3) se puede representar como una combinación lineal de cualquier conjunto fundamental sode luciones.

1. Aplique álgebra matricialpara demostrar la proposición que sigueal teorema 7.4.1, para un valor arbitrario del entero k. 2. En este problema se describeuna demostración del teorema 7.4.3 en el caso n = 2. Sean x1 y x2 soluciones de la ecuación (3) para (Y < t < p y We1 wronskiano de x(1)y x(2). a) Demuestreque

b) Aplique la (3) para demostrar que dW -=

dt

(P11 + P22)W.

c) Encuentre W(t)al resolver la ecuación diferencial obtenida en el inciso b). Use esta expresión para obtener la conclusión enunciadaen el teorema 7.4.3. *d) Generalice este procedimiento para demostrar el teorema 7.4.3 paraun valor arbitrario de n. 3. Demuestre quelos wronskianos de dos conjuntos fundamentalesde soluciones del sistema (3) pueden diferir cuando más en una constante multiplicativa. Sugerencia: aplique la ecuación (14). 4. Si x1 = y y x2 = y‘, entonces la ecuación de segundo orden Y”

+ P ( W + 4(t)y = 0

corresponde al sistema x; = x2, X;

= -q(t)x,

- p(t)x2.

(ii)

Demuestre quesi x(1)y x(*) son un conjunto fundamental de soluciones de las ecuaciones (ii) y si y(’) y y(’) son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (i), entonces W b ( ’ )y(’)] , = cW[x(’),x(’)], en donde c es una constante diferente decero.

388

de

Sistemas

ecuaciones lineales de primer orden

Sugerencia: y(')(t) y y(')(t) deben ser combinaciones lineales de xll(t) y x12(t). 5. Demuestre que l a solución general de x' = P(t)x t g(t) es l a suma de cualquier solución particular x(p) de esta ecuación y la solución general x(') de la ecuación homogénea correspondiente. 6. Considere los vectores x(')(t) =(

:)

y x(*)(t) = ( s i .

a) Calcule el wronskiano de x(') y x(*). b) ¿En qué intervalos x(1)y x(2)son linealmente independientes? c) ¿Qué conclusión puede obtenerse acerca de los coeficientesen el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas satisfechas por x(') y x(')? d) Encuentre este sistema de ecuaciones y compruebe las conclusiones del inciso c). 7. Considere 10s vectores x(')(c) = problema 6.

(Z)

y x(2)(t) =

~,, y responda las mismas preguntas del

(e')

En los dos problemas siguientes se indica una deducción alternativa del teorema 7.4.2.

soluciones de x' = P(t)x sobre el intervalo a < t < p. Suponga que P es continua y sea to un punto arbitrario en el intervalo dado. Demuestre quex(*), . . . ,x(,) son linealmente dependientes para a < t < p si (y sólo si) . . . , x(")(t,) son linealmente dependientes. En otras palabras, x('), . . . ,X@') son linealmente dependientes sobre el intervalo (a,p ) si son linealmente dependientes en cualquier punto de él. Sugerencia: Existen constantes c I , . . . , c,rl tales que clx(')(to) t . . . t c,x(")(t0) = O . Sea z(t) = clx(')(r) t . . . t c,,,x@l)(t), y aplique el teorema de unicidad para demostrar quez(t) = O para cada t e n a < t < p. 9. Sean x('), . . . x(,) soluciones linealmente independientes de x' = P(t)x, en donde P es continua sobre a < t < p. a) Demuestre que cualquier solución x = z(t) puede escribirse en la forma

8. Sean x(1),. . . ,

z(t) = c.,x")(t)

+

'

..

+ cnx'")(t)

para constantes adecuadas cl, . . . , c,~. Sugeremia: aplique el resultado delproblema 11 de la sección 7.3, así como elproblema 8 anterior. b) Demuestre que la expresión para l a solución z(t) del incisoa) es única; es decir, que si z(t) = k,x(')(t) t . . . + k,,x(")(t), entonces k , = c,, . . . , k,, = c,,. Sugerencia: Demuestre que ( k , - c1)x(l)(t) + . . . t (k,, - c,)x(")(t) = O para cada t en < t < p y use l a independencia lineal de x('), . . . x(,,).

En esta secciónse empieza por demostrarcómo construirla solución generalde un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes; es decir, un sistema de la forma x' Ax, (1) en dondeA es una matriz constante den X n. Por analogía con el tratamiento las de ecuaciones lineales de segundo orden en la sección 3.1, se buscan soluciones de (1) de la forma

x = tert,

(2)

389

conconstantes coeficientes

homogéneos 7.5 lineales Sistemas

en donde deben determinarser y el vector constante5.Si se sustituye x de la ecuación (2) en el sistema (1) da

rcert = Acerr. Una vezque se cancela el factor escalar diferente de err cero se obtiene A t = r g , O bien,

(A - rI)c = O,

(3)

en donde I es la matriz identidad de n x n. Por tanto, para resolver el sistemade ecuaciones diferenciales (l), es necesario resolver el sistema de ecuaciones algebraicas (3). Este último problema es precisamente aquél enel que se determinanlos eigenvalores y los eigenvectores de la matrizA. Por lo tanto, el vectorx dado por l a ecuación (2) es una solución de la (1) en el supuesto de que r sea un eigenvalor y un eigenvector asociados de la matriz de coeficientes A.

Ejemplo 1

~

J..

Encontrar la solución general del sistema XI=(:

~

Si se supone que x = 59' y se sustituye x en la ecuación (4) se llega al sistema de ecuaciones algebraicas

Las ecuaciones (5) tienen una solución que no sea la trivial si y sólo si el determinante de los coeficientes es cero. Por tanto, a partir de la ecuación

=r2-2r-3=0.

(6)

se encuentran valores permisibles de r. Las raíces de la ecuación (6) sonr, = 3 y r2 = -1, que son los eigenvalores de la matriz de coeficientes de la ecuación (4). Si r = 3, entonces el sistema (5) se reduce a la simple ecuación -25, t 5, = o.

Por tanto,

(7)

t2= 2t1 y el eigenvector correspondiente ar l = 3 puede tomarse como 5'"

=

(;).

De manera semejante, correspondiendo ar2 = -1, se encuentra que t2= -2{,, de modo que el eigenvector es

390

orden

primer

de Sistemas lineales de ecuaciones

Las soluciones correspondientes de la ecuación diferencial son

El wronskiano de estassoluciones es

que nunca es cero. De donde, las soluciones x(1)y x(*) forman un conjunto fundamental y la solución general del sistema (4) es x = c,x'"(t)

+ C2X(2)(t)

en dondecl y c2 son constantes arbitrarias. Para visualizar la solución (12) resulta útil considerar su gráfica en el plano x,x2 para varios valores de las constantes c1 y c2. Se empieza con x = clx(I)(t), o , en forma escalar, x1 = cle31, x 2 = 2cle3'. Al eliminar t entre estas dosecuaciones, se ve que estasolución se encuentra sobre la recta x2 = a,; ver la figura7.5.10. Esta es la recta que pasa por el origen en la dirección del eigenvector & ( I ) . Si la solución se considera como la trayectoria de una partícula en movimiento, entonces ésta se encuentra en el primer cuadrante cuando c1 > O y en el tercero cuando c1 < O. En cualquier caso, la partícula se aleja delorigen a medida que t crece. A continuación, considérese x = c2x(*)(t),o bien, x 1 = c2e-f,

x 2 = -2c2e-'

Esta solución está sobre la recta x2 = -al,cuya dirección está determinada por el eigenvector g(*). La solución está enel cuarto cuadrante cuando c2 > O y en el segundo cuandoc2 < O, como

FIGURA751 a) Trayectorias del sistema (4); el origen es un punto silla. b) Gráficas de x, contra t para el sistema (4).

homogéneos 7.5 lineales Sistemas

con constantes coeficientes

391

se muestra en la figura 7.5.1~.En los dos casos,la partícula se desplaza hacia el origen a medida que t crece. La solución (12) es una combinación de x(')(t) y x(')($ Para t grande, el tirmino c,x(l)(t) es dominante y el término c,x(*)(t) se vuelve despreciable.Por tanto, todas las soluciones para que las que c1 # O son asintóticas ala recta x2 = cuando t x . De manera semejante, todas las soluciones para las que c2 # O son asintóticas a la recta x2 = cuando t - x.En la figura 7 . 5 . 1 se ~ muestranlas gráficas de varias soluciones.El patrón de las trayectorias en esta figura es típico de todos los sistemas de segundo orden x' = Ax para los que los eigenvalores son reales y de signos opuestos. En este caso, el origen se llama punto silla. En el párrafo anterior se describió la manera de trazar a mano una figura cualitativamentc correcta de las trayectorias de un sistema comoel de la ecuación (4), una vez que se determinan los eigenvalores y los eigenvectores. Sin embargo,para producir una figura detallada y exacta, como al 7 . 5 . 1 ~ y otras que se presentarán posteriormente en este capítulo, una computadora es extremadamente útil, si no es que indispensable. Como alternativa para la figura 7 . 5 . 1 ~también es posible trazar la gráfica de x, o x2 como función de t; en la figura 7.5.1b se muestran algunas gráficas típicas de x , contra t, y las de x2 contra t son semejantes. Para ciertas condiciones iniciales, en la ecuación (12) se concluye que c1 = O, de modo quex1 = c2e" y x1-+ O cuando t -+ m. Una de estas gráficas se muestra en la figura 7.5.1b, correspondiente a una trayectoria quc tiende al origen en la figura 7.5.1~.Sin embargo, para la mayor parte de las condiciones iniciales, c1 # O y x1 está dado por x1 = cle3' + c2e". Entonces, la presencia del término exponencial positivo hace que x1 crezca exponencialmenteen magnitud cuandot crece. En la figura 7.5.10se muestran varias gráficasde este tipo, correspondientes a trayectorias que se separan de la vecindad del origenen la figura 7.5.1~.Es importante comprenderla relación entrelas partes a y 0 de la figura 7.5.1 y otras figuras semejantesque aparecen después,ya que tal vez se desee visualizar soluciones en el plano xlxz o como funcionesde la variable independiente t .

2x,

"+

--&,

-+

Volviendo al sistema general (l), se procede como en el ejemplo. Para hallar soluciones de la ecuación diferencial (1)es necesario encontrar los eigenvaloresy los eigenvectores de A, a partir del sistema algebraic0 asociado(3). Los eigenvalores r I ,. . . , rn (que no necesariamente son todos diferentes) son raíces de la ecuación polinomial det(A - rI) = O.

(13)

La naturaleza de los eigenvalores y de los eigenvectores correspondientes determina la naturaleza de la solución general del sistema(1).

Sistemas hermitianos. La situación es más sencilla cuando A es una matriz hermitiana. Como se hizo ver en la sección 7.3, en este caso todoslos eigenvalores r I , .. . , r, son reales. Además, aun si algunos de los eigenvalores están repetidos, siempre existe un conjunto completo de n eigenvectores c(]),. . . , que son linealmente independientes (de hecho, ortogonales). De donde, las soluciones correspondientes del sistema diferencial (1) son

c(n)

\

x("(t) = k(l)gr~',, , . , x(')(t)

Para demostrar que estas soluciones forman wronskiano:

t(")ern',

un conjunto fundamental, se evalúa

(14)

su

392

primer

de Sistemas lineales de ecuaciones

orden

En primer lugar se observa que la función exponencial nunca es cero. En seguida, como los eigenvectores g('), . . . , sonlinealmenteindependientes,eldeterminantedelúltimo tkrmino de la ecuación (15) es diferente de cero. Como consecuencia, el wronskiano W[x('), . . , ,x(")](t)nunca es cero; de donde,x('), . . . , x(") forman un conjunto fundamentalde soluciones. Por tanto, cuando A es una matriz hermitiana,la solución generalde la ecuación(1) es

...

x = clt(l)er~r+

+

cng(n)er,t,

(16)

Una subclase importante de las matrices hermitianas es la clase de las matrices reales simétricas. SiA es real y simétrica, entonces todos los eigenvectores . . . ,$("), así como los eigenvalores r,, . . . , r,, son reales. De donde, las soluciones dadas por la ecuación(14) son de valores reales. Sin embargo,lasimatriz hermitiana A no es real, entonces en general los eigenvectores tienen partes imaginarias diferentes de cero y las soluciones (14) son de valores complejos.

e(1),

Ejemplo 2

Encontrar la solución general de

La matriz de coeficientes de la ecuación (17) es real y simétrica, de modo quelos resultados recientemente descritos son válidos para este problema. Si se supone quex = tert, se obtiene el sistema algebraic0

los eigenvalores satisfacen

(-3

-

r)(-2

-

r) - 2

=

r2 + 5r

= (r

+4

+ l)(r + 4) = O,

de modo que r l = -1 y r2 = -4. Para r = -1, l a ecuación (18) queda

t(')=

(h).

homogéneos 7.5 lineales Sistemas

conconstantes coeficientes

393

FIGURA752 a) Trayectorias del sistema (17);el origen es un nodo. b) Gráficas dex, contra t para el sistema (17). De manera semejante, correspondiendoal eigenvalor r2 = -4 se tiene 5 , = f i t , ,por lo que el eigenvector es 5'2'

=

(-f).

(22)

Por tanto, un conjunto fundamental de solucionesdel sistema (17) es x(I)(t) = (v:i>.',

X@)@)= (

- 3 - 4 r ,

y la solución generales x = CIX(yt)

+ C2X(2)(t)= c1 (&)e-'

+

c2(-f)e-4t.

(24)

En la figura 7 . 5 . 2 se ~ muestran gráficas dela solución (24) para varios valores dec, y c2. La solución x(')(t) tiende al origen a lo largo de la rectax2 = & x 1 , mientras que la solución ~ ( ~ ) ( t ) tiende al origen alo largo dela recta x1 = Las direcciones de estas rectas están determinadas por los eigenvectores &(') y respectivamente. En general, se tiene una combinación de estas dos soluciones fundamentales. Cuando t -+ m, la solución x(*)(t) es despreciable en comparación con x(l)(t). Por tanto, a menos que c1 = O, la solución (24) tiende al origen tangente a la recta x2=&x,. El patrón de trayectorias quese muestra en la figura 7 . 5 . 2 es ~ típico de todos los sistemas de segundo orden x' = Ax para los que los eigenvalores son reales, diferentes y del mismo signo. El origen se conoce como nodo de un sistema de este tipo. Si los eigenvalores fuesen positivosen vez de negativos,las trayectorias serían semejantes, pero estarán recorridas hacia afuera. Aunque la figura 7 . 5 . 2 ~ se obtuvo en computadora, obsérvese que es posible trazar rápidamente a manoun esquema cualitativamente correcto delas trayectorias, con base en el conocimiento de los eigenvalores y los eigenvectores.

a2.

394

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

En la figura 7.5.2bse muestran algunas gráficas típicas de x1contra t . Obsérvese quecada una de las gráficas tiende asintóticamenteal eje t cuando t crece, lo cual corresponde auna trayectoria que tiende al origen en la figura 7.5.2a. El comportamiento de x2 como función de t es semejante.

Ejemplo 3

Encontrar la solución general de

x'=

c1 1 o

1 x.

De nuevo, se observa quela matriz de coeficientes es real y simétrica. Los eigenvalores y los eigenvectores de esta matrizse encontraron en el ejemplo 5 de la sección 7.3; a saber

De donde, un conjunto fundamental de soluciones de (25) es

y la solución general es

i

i' i

Este ejemplo ilustra el hecho de que aun cuando un eigenvalor (r = -1) tiene multiplicidad dos, sigue siendo posible encontrar dos eigenvectores linealmente independientes E(') u E(*) y, como consecuencia, construirla solución general(29).

Sistemas no hermitianos. Si la matriz de coeficientes del sistema (1) x' = Ax

no es hermitiana la situación referentelaasolución es más complicada. Supóngase primero que A es real; entonces paralos eigenvalores deA hay tres posibilidades:

1. 2. 3.

Todos los eigenvalores son reales y distintos. Algunos eigenvalores ocurren en parejas conjugadas complejas. Algunoseigenvalores se repiten.

7.5 lineales Sistemas

395

homogéneos con constantes coeficientes

El primer caso no presenta dificultades. Para cada eigenvalor existe un solo eigenvector real linealmente independiente y, en consecuencia, existen n soluciones linealmente independientes de la forma(14). De donde, la solución general está dada todavía por la ecuación(16), en donde ahora se entiende que rl, . . . , r,, son todos diferentes. Este caso se ilustra en el ejemplo 1 anterior. Si algunos de los eigenvalores ocurren en parejas conjugadas complejas entonces aún se tienen n soluciones linealmente independientes de la forma (14), siempre que todos los eigenvalores sean diferentes. Por supuesto, las soluciones que surgen de eigenvalores complejos son de valores complejos. Sin embargo, comola es sección 3.4, es posible obtener un conjunto completo de soluciones de valores reales. Esto analiza la sección 7.6. Las dificultades más graves pueden ocurrir un sieigenvalor está repetido. En este caso, el número de eigenvectores linealmente independientes correspondientes puede ser menor que la multiplicidad del eigenvalor, como en el ejemplo 4 de la sección 7.3. De ser así, el número de soluciones linealmente independientes dela forma $err será menor que n. Entonces, para construirun conjunto fundamental de!soluciones es necesario buscar soluciones adicionales de otra forma. La situación es algo semejante a la de una ecuación lineal de n-ésimo orden con coeficientes constantes; una raíz repetida de la ecuación característica dio lugar a soluciones la deforma erx, xerX,x2erx, . . . . El caso de los eigenvalores repetidos se trata en la sección 7.7. Por último, siA es compleja, perono hermitiana, los eigenvalores complejos no necesariamente ocurren en parejas conjugadas y los eigenvectores suelen serde valores complejos aun cuando el eigenvalor asociado puede ser real. Las soluciones la ecuación de diferencial (1) siguen siendo de la forma (14), en tanto que los eigenvalores sean distintos, pero en general todas las solucionesson de valores complejos.

En cada uno delos problemas 1 a 6, encuentre la solución general del sistemade ecuaciones dado. También, trace unas cuantas de las trayectorias y describa el comportamiento de lassoluciones cuandot + x . 1.

XI

=

3. x) =

( (

3 2 2 3

-2 )x -2 -1

-2

).

2. x' = 4. x

6. x'

=

(

1

-2

3

-4

q4

-2 I),

)x

(i

:)x

En los problemas 7 a 9 encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado.También, trazar unas cuantas de las trayectorias. En cada uno de estos problemas, la matriz de coeficientes tiene un eigenvalor cero. Como resultado, el patrón de las trayectorias es diferente al de los ejemplos en el texto. l. x' =

(

4

8

-3 -6

).

9. x , =

(

- 13

- o x

396

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden En cada uno de losproblemas 10 a 15, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado. 2+i -1-i

14.

I 1

XI=(

-8

;

1 1.5. x ' = h

-:)x

-1

-3

-5

4 4 ) x

En cada uno de los problemas 16 a 19, resuelva el problema con valor inicial dado.Describa el comportamiento dela solución cuando t -+m. 16. x' = (35

-1l)x, 1

18. x' =

(, O -1

1

x(0) =

(-;)

2

2 2)x, 1 3,

x(0) =

f)

17. x' =

19. x' =

(

-2

(

1 )x,

x(0) =

4

-5

o o 2 -1

(i)

-1 :)x,

O

x(0) =

2

20. El sistema tx' =Ax es análogo a la ecuación de segundoorden de Euler (sección 5.5). Si se supone que x = Str, en donde ij es un vector constante, demuestre que E y n deben satisfacer (A - rI)e = O; demuestre también que para obtener soluciones no triviales de la ecuación diferencialdada, r debe ser una raíz de la ecuación característica det(A - rI) = O.

Con referencia al problema 20, resuelva el sistema de ecuaciones dado en cada uno de los problemas 21 a 24. Suponga que t > O. 21. tx' = 23. tx' =

( (4

2

-1

3

-2

8

-3 -6

5

-1

(

-2 -2

)x

22. tx' = (3

)X

24. tx' =

3 2

,)x )X

25. Considere un sistema de segundo orden x' = Ax. Suponga que rl f. r2. La solución general es x = clg(l)er1'+ c2g(2)erlt, en tanto que E(')y sean linealmente independientes. En este problema, se establece laindependencia lineal de { ( I ) y g(2)al suponer que son linealmente dependientes y demostrar a continuación que estoproduce una contradicción, a) Observe que $1 satisface la ecuación matricial (A- r1I)&(')= O; de manera semejante, observe que (A - r21)5;(') = O. b) Demuestre que (A - r2I)E(l)= ( r l - r2)&('). c) Suponga que g(') y g(*) son linealmente dependientes; entonces clg(') + c2g(*)= O y por lomenos una de c1 o c2 es diferente de cero; suponga quec1 # O. Demuestre que(A - T ~ I ) ( C+~c2 ~ E(*) ( ~ )= O y también que (A - r2I)(c1{(I) + c&(~)) = cI(r,- r2)@l).De donde, c1 = O, lo que es una contradicción. Por consiguiente, g(') y son linealmente independientes. d) Modifique el argumento del inciso c) para el caso en que c1es cero pero no c2 nolo es. e) Desarrolle un argumento semejante para el caso en que el orden n = 3; observe que el procedimiento puede extenderse para abarcar un valor arbitrario de n.

homogéneos 7.5 lineales Sistemas

397

conconstantes coeficientes 26. Considere la ecuación ay"

+ by' + CY

(1)

=O

en donde a, b y c son constantes. En el capítulo 3 se demostró que la solución general dependía de las raíces de la ecuación característica ar2

+ br + c = O.

(ii)

a) Transforme la ecuación (i) en un sistema de ecuaciones de primer orden al hacer x1 = y , x2 =y'. Encuentre el sistema de ecuaciones x' = Ax satisfecho por

(3 .

b) Encuentre la ecuación que determinalos eigenvalores de la matriz de coeficientesA

del incisoa). Observe que esta ecuación es precisamente la ecuación característica (ii) de la ecuación (i). 27. Reducción de orden. Este es un método para tratar los sistemas que no tienen un conjunto completo de soluciones de la forma fe". Considere el sistema x' =

a) Compruebe que x =

(

3 2

-2 -2

)..

e Z fsatisface la ecuacióndiferencialdada.

b) Introduzca una nueva variable dependiente por medio dela transformación (ii)

Observe que se obtiene esta transformación al sustituir la segunda columna dela matriz identidad por 12 solución conocida. Al sustituir x en (i), demuestre que y satisface el sistema de ecuaciones (iii)

c) Resuelva la ecuación (iii) y demuestre que

en donde c1y c2.;on constantes arbitrarias. d) Use la ecuaclon (ii), demuestre que x =

-5 6 (')e" 2 + c2(;)e21;

el primer término es una segunda solución independiente de la ecuación (i). Éste es el método de reducción de orden según se aplica a un sistema deecuacionesde segundo orden. En los problemas 28 y 29, aplique el método de reducción de orden (problema 27) para resolver el sistema de ecuaciones dado. 28. x ( =

(

1

-4

4

-7

)X

3 29. x' = (1

-4 - l)x

398

lineales ecuaciones

de

Sistemas

orden de primer

Circuitos eléctricos. Los problema 30 y 31 están relacionados conel circuito eléctrico descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales deducidoen el problema 20 de la sección 7.1:

30. a) Encuentre la solución generalde la ecuación (i), si R , = 1ohm, R, = ohm, L = 2 henry y C = $ farad. b) Demuestre queI(t) O y V(t) O cuando t x , sin importar los valores iniciales I(0) Y V(0). 31. Considere el sistema de ecuaciones (i) del problema 30. a) Halle una condición sobreR,, R,, C y L que deba cumplirsesi los eigenvalores dela matriz de coeficientes tienen que ser reales y diferentes. b) Si se satisface la condición halladaen el inciso a), demuestre que los dos eigenvalores son negativos. Entonces demuestre que I(t)+ 0 y V(t) O cuando t + m, sin importar las condiciones iniciales. *c) Si no se satisface la condición hallada en el inciso a), los eigenvalores son complejos, o bien, repetidos. LPiensa el lector que también en estos casos I(t) -+ O y V(t) O cuando t -+ m? Sugerencia: En el inciso c), un enfoque es cambiar el sistema (i) por una sola ecuación de segundo orden. En las secciones 7.6 y 7.7 también se analizanlos eigenvalores complejos repetidos. "+

-+

-+

"+

-+

7.6 Eigenvalores complejos En esta sección nuevamente se considera un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

x' = AX

(1)

en donde ahora se supone que la matriz de coeficientesA es de valores reales. Si se buscan soluciones de la forma x = t e r t ,entonces se concluye, como la sección 7.5, que r debe ser un eigenvalor y 6 un eigenvector correspondiente de la matriz de coeficientesA. Recuérdese que los eigenvalores r I , . . . , rn de A son las raíces de l a ecuación det(A - rI) = O,

(2)

y los eigenvectores correspondientes satisfacen (A - rI)t = o. Si A es real, entonces los coeficientes de la ecuación polinomial (2) para r son reales y cualesquiera eigenvalores complejos deben ocurrir en parejas conjugadas.Por ejemplo, si r , = A + i p , en donde A y p son reales, es un eigenvalor deA, entonces también lo esr2 = A - i p . Además, los eigenvectores correspondientes y también son conjugados complejos. Para ver que así es, supóngase querI y g(') satisfacen

e(1) e(2)

(A - rII)((l) = O .

(4)

7.6

399

Eigenvalores complejos

Al tomar el conjugado complejo de esta ecuación y observar A e I son que de valores reales, se obtiene

(A

Fl1)c(') = O,

-

e(')

(5)

en donde F1 y son los conjugados complejos de rl y g(I), respectivamente. En otras palabras, r2 = Y , también es un eigenvalor y g(2)= es el eigenvector correspondiente. Entonces, las soluciones correspondientes

E(')

(6)

X(2)(t)= E(l)eílf

= t(l)erlf,

de la ecuación diferencial (1) son conjugadas complejas entre sí. Por lo tanto, como en la secci6n 3.4, es posible encontrar dos solucionesde valores realesde la ecuación (1)correspondientes a los eigenvalores rl y r2 al tomar las partes real e imaginaria de x(')(t) o de x(2)(r),dadas por la ecuación(6). Escríbase = a t b, en donde a y b son reales; entonces se tiene

e(')

Una vez quex(')(t) se ha separado en sus partes real e imaginaria, se obtiene

x")(t) = e"(a

COS

p t - b sen p t )

+ ie"(a

sen p t

+ b cos pt).

(8)

Si se escribex(')(r) = u(t) t iv(t), entonces los vectores u(t) = e"(a cos p t - b sen pt),

v(t)

sen p t

= e"(a

+ b COS p t )

son soluciones de valores reales de la ecuación (1). Es posible demostrar queu y v son soluciones linealmente independientes (ver el problema15). Por ejemplo, supóngase quer , = ilt r2 = A - ip, y que los r3, . . . , r,, son todos reales y distintos. Sean los eigenvectores correspondientes g(') = a + ib, f(2) = a - ib, ..., g("); entonces, la solución general de (1) es

iu

x

= clu(t)

+ c2v(t) +

c(3),

+ . . . + cn5(")ernt,

(10)

en donde u([) y v(t) quedan dados por las ecuaciones (9). Es necesario resaltar que este análisis sólo es válido si la matriz de coeficientes A de la ecuación (1) es real, ya que solamente así los eigenvalores y eigenvectores complejos ocurren en parejas conjugadas.

Ejemplo 1

Encontrar un conjunto fundamentalde soluciones de valores reales del sistema

Si se suponeque x = Se"

..

.

400

orden

primer

de Sistemas lineales de ecuaciones

se llega al conjunto de ecuaciones algebraicas lineales

-1

-r 2 - r

para los eigenvalores y eigenvectores de A. La ecuación característica es

por lo tanto, los eigenvalores son ri = -f t i y r2 = -4 - i. Por la ecuación (13), un simple cálculo muestra que los eigenvectores correspondientes son

De donde,un conjunto fundamental de soluciones del sistema (11) es

Para obtener un conjunto de soluciones de valoresreales, es necesario encontrar las partes real e imaginaria de xi1)o de x(*). En efecto,

De donde,

es un conjunto de soluciones de valores reales. Para verificar que u([)y v(r) son linealmente independientes, se calcula su wronskiano: e-'" cos t sen t

W U , v)(t) = - e - r , *

e"j2 sent

e"j2 cos t = e"(cos2 t +sen2 t ) = e".

En virtud de que el wronskiano nunca es cero, se concluye que u(t) y ~ ( tconstituyen ) un conjunto fundamental de soluciones (de valores reales) del sistema (11). En la figura 7 . 6 . 1 se ~ muestran las gráficas de lassoluciones u(t) y v(t). Dado que

las gráficas deu(r)y v(t)pasan por los puntos (1, O) y (O, l), respectivamente. Otras soluciones del sistema (11) son combinaciones lineales de u([)y v(r), y en la figura 7 . 6 . 1 ~también se muestran las gráficas de algunas de estas soluciones. En todos los casos, la solución tiende al origen a lo largo de una trayectoria en espiral cuando t -+ m; esto se debe al hecho de que las soluciones (18) son productos de factores exponenciales que decaen y seno o coseno. En la figura 7.6.lb se muestran algunas gráficas típicas dex1 contra t; cada una representa una oscila-

401

7.6 Eigenvalores complejos

FIGURA7.6.1 a) Trayectorias del sistema (11); el origen esun punto espiral. b) Gráficasdex, contra t para el sistema(11). ción que decae con el tiempo. La figura 7 . 6 . 1 es ~ típica de todos los sistemas de segundo orden x' = Ax cuyos eigenvalores son complejos con parte real negativa. El origen se llama punto espiral. Para un sistema cuyos eigenvalores tienen parte real positiva, las trayectoriasson semejantes a las de la figura 7.6.lu, pero la dirección del movimientoes alejándose del origen. Dependiendo de los elementos dela matriz de coeficientesA, las espirales puedenser en el sentido del movimiento delas manecillas del reloj, como en este ejemplo, o en sentido contrario.

El circuito eléctrico que se muestraen la figura 7.6.2se describe por el sistema de ecuaciones diferenciales

A(')=(-' dt V

2

-I)(;) -1

(19)

en donde I es la corriente que pasa por la inductancia y V es la caída de voltaje a través del capacitor. Estas ecuaciones se dedujeron en el problema 19 de la sección 7.1. Supóngase que en el instante t = O la corriente es de 2 amperes y la caída de voltaje es de 2 volts. Encontrar I(t)y V(t) en cualquier instante.

R = 1 ohm

y$J=lhe"v R = 2 ohms C = - farad

2

FIG1JRA 7.6.2 Circuito del ejemplo 2.

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

402 -___--

De donde, la solucicin general de (19) es

'

-,

Una vez que seimponen las condiciones iniciales

se encuentra que .I "

7.6

403

Eigenvalores complejos

"

t

FIGURA 7.6.3 Solución del problema con valorinicial del ejemplo 2.

1

Por tanto, c1 = 2 y c2 = - A.Entonces la solución del problema propuesto queda dada porla ecuación (26),con estosvalores dec1y fr2. En la figura 7.6.3 se muestrala gráfica de la solución. La trayectoria formauna espiral en sentido contrarioal movimiento delas manecillas delreloj y tiende con rapidez al origen, debido al factor e".

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 8, exprese la solución general del sistema de ecuaciones dado en términos de funciones de valores reales. En cada uno de los problemas 1 a 6, trace también algunas trayectoriasy describa el comportamiento de las soluciones cuandot m. "+

3. x' = (12

5. x'

= (1

5

-5 JX

6. x , =

-3

(

-1

-5

o

-3 8.

2)x

1

X I = (

-2

-1

:)x

En los problemas 9 y 10 encuentre la solución del problema dado con valorinicial. Describa el comportamiento de la solución cuando t > m. 9. x' =

(;

;:)x,

x(0) =

(:>

En los problemas 11y 12, resuelva el sistema de ecuaciones dado porel método del problema 20 de la sección 7.5. Suponga que t + O. 11. txt = ( - 1 2

-I>. -1

12.

tX?=

(

2 1

-5 -2

). .,

.

..

."

. _ _

"

404

primer

de

lineales ecuaciones

de

Sistemas

orden

FIGURA 7.6.4 Circuito del problema 13. 13. Considere el circuito eléctrico quese muestra en la figura 7.6.4. Suponga queR , = R, = 4 ohms, C = farad y L = S henry. a) Demuestre que este circuitose describe por el sistema de ecuaciones diferenciales

en dondeI es la corriente que pasa por l a inductancia y Ves la caída de voltaje a través del capacitor. Sugerencia: ver el problema 18 de l a sección 7.1. b) Encuentre la solución general de las ecuaciones (i) en términos de funciones de valores reales. c) Encuentre I(r) y V(t) si I(0) = 2 ampere y V(0) = 3 volt. d) Determine los valores límitede I([) y V(t) cuando t + m. ¿Estos valores límite dependen de las condiciones iniciales? 14. El circuito eléctricoque se muestra en la figura 7.6.5se describe por el sistema de ecuaciones diferenciales

\-C

RC/

en donde I es la corriente que pasa por la inductancia y V es lacaída de voltaje a través del capacitor. Estas ecuaciones diferenciales se dedujeron en el problema 18 de la sección 7. l . a) Demuestre que los eigenvalores de la matriz de coeficientes son reales Y diferentes si L > 4R2C;demuestre que son conjugados complejos si L < 4R2C. C

FIGURA 7.6.5

Circuito del problema 14.

405

7.7 Eigenvalores

b) Suponga que R = 1 ohm, C = t farad y L = 1 henry. Encuentre la solución general del sistema (i) en este caso. c) Encuentre I(?)y V(t)si I(0) = 2 ampere y V(0)= 1 volt. d) Para el circuito del inciso b), determine los valores límite de I(t) y V(t)cuando t "* m. ¿Estos valores límite dependen de las condiciones iniciales? 15. En este problema se indica cómo demostrar que u(t) y v(t), según se danen las ecuaciones (9), son linealmente independientes. a) Sean rl = k + ip y Fl = A - i p una pareja de eigenvalores conjugadosde la matriz de coeficientes A de las ecuaciones(1); sean E(')= a + b y = a - ib los eigenvectores corlespondientes. Recuerde queen la sección 7.3 se afirmó que si rl f F,,-entonces E(') y &('I son linealmente independientes. Calcule el wronskiano de E(') y E(') y demuestre que a y b también son linealmente independientes. b) Calcule el wronskiano de~ ( ty) v(t) en t = O y luego use el resultado del inciso a) con el teorema 7.4.3 para demostrar queu(t) y v(t) son linealmente independientespara toda t .

g(')

7.7 Eisenvalores repetidos La consideración del sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes X'

= AX

(1)

se concluye con un análisis del caso en el que la matriz A tiene un eigenvalor repetido. Una vez más, el análisisde esta sección es válido sin importar que A sea real o compleja. Si Y = p es una raíz con multiplicidad k de la ecuación determinantal det(A - rI) = O,

(2)

se dice quep es un eigenvalord e multiplicidad k de la matrizA. En este caso,se tienen dos posibilidades: existen k eigenvectores linealmente independientes correspondientes al eigenvalor p, o bien existen menos de esos k eigenvectores. Estas posibilidades se ilustraron en los ejemplos 4 y 5 de la sección7.3; en el ejemplo5 un eigenvalor doble estaba acompañado por dos eigenvectores linealmente independientes, mientras que en el ejemplo 4 un eigenvalor doble estaba asociado consólo un eigenvector linealmente independiente. En el primer caso, considérese que &('), . , . , son k eigenvectores linealmente independientes asociados con el eigenvalor p de multiplicidad k. Entonces x(')(t) = &(l)epr, . . . , x@)(t)= &(k)epr son ksoluciones linealmente independientes de la ecuación (1). Por tanto, en este caso no afecta el que el eigenvalor r = p esté repetido; todavía se tiene un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (l),de la forma & er'. Este caso siempre ocurre si la matriz de coeficientes A es hermitiana. Sin embargo, si la matriz de Coeficientes no es hermitiana puede haber menos de k eigenvectores independientes correspondientes a un eigenvalor p de multiplicidad k y, de ser así, habrá menos de k soluciones de (l),de la forma asociadas con este eigenvalor. Por lo tanto para construir la solución general la ecuación de (1) es necesario encontrar otras soluciones de forma diferente. Por analogía con los resultados anteriores de las ecuaciones lineales de ordenn, es natural buscar soluciones adicionales que comprendan productos de polinomios y funciones exponenciales. En primer lugar se considerará un ejemplo.

406

ecuaciones

de

Sistemas

primerlineales de

orden

Encontrar un conjunto fundamental de soluciones del sistema

Si se supone quex = t e r r y se sustituye x en la ecuación (3), se obtiene

de 10 cual sededuce que los eigenvalores de A son r l = r2 = 2. Para este valor de r, las ecuaciones (4) expresan que E l + = O. Por tanto, sólo existe un eigenvector &,dado por g T = (1, -l), correspondiente al eigenvalor doble. Por tanto, una solución del sistema ( 3 ) es

e2

pero no existe una segunda solución de la forma x = S e r i .Es natural tratarde hallar una segunda solución del sistema (3) de la forma x = &e"',

(6)

en donde g es un vector constante por determinar. Si se sustituye x en la ecuación(3) da 26te2' + te2' - A6te2' = O.

(7)

A fin de quese satisfaga la ecuación (7) para toda t, es necesario que cada uno de los coeficientes de te2' y e2' sean cero.A partir del término en e*[se encuentra que

6 = o.

(8)

De donde,no existe solución diferente de cero del sistema (3) que sea de la forma (6). Dado que laecuación (7) contiene términos tanto en te2' como en e2', parece que además de cfe2', la segunda solución debe contener un término de la forma ?e2'; en otras palabras, es necesario suponer que x = &e2'

+ qe",

(9)

en donde 5 y q son vectores constantes. Una vez que se sustituye x por esta expresión en la ecuación (3) se obtiene 2&?

+ (6+ 2q)e"

= A(&?'

+ qe").

(10)

Si se igualan los coeficientes de te2' y e21en cada miembro de (10) da las condiciones (A - 21)s = O,

Y (A - 2I)q = 6

(12)

para la determinación de g y q. La ecuación (11) se satisface si & es el eigenvector de A que corresponde al eigenvalor r = 2; es decir E T = (1, -1). Dado que det(A - 21) es cero, podría esperarse queno fuera posible resolver la ecuación (12); sin embargo, esto no esnecesariamente cierto, ya que para algunos vectores 6 es posible resolverla. Dehecho, la matriz aumentada de la ecuación (12) es

407

7.7 Eigenvalores i

I

I'

- l1

I

-l1 1 - 1

'>-

El segundo renglón de estamatriz es proporcional al primero, de modoque el sistema es resoluble. Se tiene "I1

I

-

'lz = 1

' por lo que si q1 = k, en donde k es arbitraria, entonces q2 = - k -1. Si se escribe q=(-:-k)=(-y)+k(-:)'

entonces, al sustituir 5 y

(13)

en la ecuación (9), se obtiene

(

x = -;)te2'

+ (-:)ezf

+ k(

- :)ez1.

(14)

El último término de la ecuación (14) es simplemente un múltiplo de la primera soluci6n x(')(t) y es posible ignorarlo, pero los dosprimeros términos constituyen una nueva solución x(Z](r) =

(-

:)te21

+

(-y)~.

Un cálculo elemental muestra que W[x('), ~ ( ~ ) ]=( -e4f t ) y, por consiguiente, x(') y conjunto fundamental de soluciones del sistema (3). La solución general es x = C,X(l)(t)

(IS)

forman un

+ C2X'2'(t)

=.l(-:)..f+.2[(-:)re21+(-y)e2'].

(16)

> t

FIGURA 7.7.1 a) Trayectorias del sistema (3); el origen es un nodo. b) Gráficas de x, contra t para el sistema (3).

408

primer

8

de

lineales ecuaciones

de

Sistemas

orden

La gráfica de la solución (16) es un poco másdifícil de analizar que en algunosde los ejemplos anteriores. Es evidente quex se vuelveno acotado cuandot -+ M y que x -+ O cuando t -+ - M. Es imposible demostrar que cuandot + - m, todas las soluciones tienden al origen tangentes a la recta xz= -xl, determinada porel eigenvector. De manera semejante, cuando t -+ m, cada trayectoria es asintótica a una recta de pendiente -1. En la figura 7.7.1~ se muestran las trayectorias del sistema(31, y en la 7.7.lb, algunas gráficastípicas de x1 contra t. El patrónde trayectorias de esta figura estípico de los sistemas de segundo orden x' = Ax con eigenvalores igualesy un solo eigenvector independiente.En este caso, el origen también se denomina nodo. Si los eigenvalores son negativos, las trayectorias son semejantes, aunque se recorren en dirección hacia adentro. A partir del ejemplo, resulta evidente una diferencia entre un sistema de dos ecuaciones de primer orden y una sola ecuación de segundo orden. Recuérdese que para una ecuación lineal de segundo orden con una raíz repetida rl de la ecuación característica, no se requiere un término ce'l' en la segunda solución,ya que es un múltiplo de la primera solución. Por otra parte, para un sistema de dos ecuaciones de primer orden, el término q e r l t de la ecuación (9) con r1 = 2 no es un múltiplo de la primera solución t e r l r a menos que q sea proporcional al eigenvector6 asociado conel eigenvalor r I .En virtud de que casi nunca es así, es necesario retener el término q El mismo procedimiento puede aplicarse en el caso general. Considérese de nuevo el sistema (1) y supóngase quer = p es un eigenvalor doblede A, pero que solamente se tiene un eigenvector 6 correspondiente. Entonces una solución [semejante a la ecuación (5)] es

x(])(r)= gePt,

(17)

(A - pI)t = O.

(18)

en donde 6 satisface

AI proceder como en el ejemplo, se encuentra que una segunda solución [semejante a la ecuación (5)] es ~ ( ~ )=( kteP' t)

+ qep',

(19)

en donde 6 satisface la ecuación (18) y q queda determinado por

(A - purl = 6 .

(20) Aun cuando det (A - pI) = O, se puede demostrar que siempre es posible resolver la ecuación (20) para q . El vector q se conoce como eigenvector generalizado correspondiente al eigenvalor p. Si r = p e s un eigenvalor dela matriz A de multiplicidad mayorque 2, entonces existe una mayor variedad de posibilidades. Esto puede ilustrarse al considerarun eigenvalor de multiplicidad tres. En primer lugar supóngase que el eigenvalor triple r = p tiene tres eigenvectores linealmente independientes6 ( l ) , g(2),y ij(3). En este caso, el conjunto correspondiente de soluciones independientes es simplemente =pep',

X(2)(t)

=

5(2)ePl,

X'3'(t)

= q3)ePf,

(21)

Supóngase ahora que existe un solo eigenvector linealmente independiente asociado con el eigenvalor triple r = p. Entonces la primera solución queda dada por la ecuación (17), una segunda solución por la ecuación (19) y una tercera solución es dela forma

409

7.7 Eigenvalores

en donde 5 satisface la ecuación (18), q satisface la (20) y

@-PI)5=

v.

5 queda determinado por (23)

Una vez más, siempre es posible resolver la ecuación (23) para 6, y los vectores q y 5 se llaman eigenvectores generalizados. La última posibilidad es que haya dos eigenvectores linealmente independientest ( l ) y ij(2) correspondientes al eigenvalor r = p. Entonces, dos soluciones del sistema (1) son

en donde 6 satisface la ecuación (18) y q es una solución de la (20). Aquí es necesario elegir E como una combinación lineal de los eigenvectores &(') y de tal manera que la ecuación

sea resoluble. Si se escribe

entonces es necesario elegir c1 y c2 de modo que sea posible despejar q de la (26). Las soluciones x(2)(t)y x(')(t), dadasporlasecuaciones (24) y (25), forman un conjunto de soluciones independientes correspondientesal eigenvalor r = p, en este caso. Esta situación se ilustra en el problema 2. Si existe un eigenvalor de multiplicidad aun mayor, entonces la situación puede complicarse más. Por ejemplo, sir = p e s un eigenvalor de multiplicidad cuatro, es necesario tratar diferentes casos según haya cuatro, tres, dos o un eigenvector linealmente independientes. Es posible un tratamiento general de problemas con eigenvalores repetidos, pero comprende tópicos avanzados de la teoría de matrices y rebasa el alcance de este libro. Aquísólo se tratan las técnicas de cómputo necesarias para encontrar un conjunto fundamental de soluciones cuando las multiplicidades de los eigenvalores no son mayores que tres.

Ejemplo 2

Encontrar la solución del problema con valor inicial

Si se supone quex = te", se obtiene el sistema algebraic0 ( I -1 -r

-5

)(")=(;). t2

"T

410

de

linealesecuaciones

de

Sistemas

primer orden

Por tanto, loseigenvalores son las raíces de (1 - r)(-5 - r ) + 9 = r 2 + 4r

+ 4 = ( r + 2)2 = O,

de modo querl = r2 = -2. Por la ecuación (29), seencuentra que el eigenvector correspondiente es ET = (3, -1). Por tanto, una solución del sistema (28) es x'"(t) = (:).?t.

(30)

+ q e -'', en donde I; es

Una segundasolución independiente es de laforma x = I;te -" que antes y q satisface (A + 21)q = 6, o bien,

elmismo

(-:-Di;:(-;). ) =

De donde, ql + 3q2 = 1,de modo quesi q2= k, entonces tanto, q=

(' i3')(A) =

-

r],= 1-3k, en dondek, esarbitraria. Por

ki-;).

El término en que aparece k simplemente produce un múltiplo de la primera solución x(')(f), por lo quepuede eliminarse y se obtiene la segunda solución

X(2+)

=

(

+ (:)e-?

-; ) e t

(3 1)

Finalmente, la solución general del sistema (28) es

+ c2[(

x = c,(

-;)te-21

+

(;).e].

X2A

1 -

". -1

> X1

FIGURA 7.7.2 Solución del problema con valor inicial del ejemplo 2.

(32)

7.7

411

Eigenvalores repetidos Para satisfacer las condiciones iniciales, se hace t = O en la ecuación (32); esto da

Como consecuencia, c1 = 1, c2 = -2 y la solución del problema dado con valor inicial es

En la figura 7.7.2se muestra la gráfica dela solución. Obsérvese que tiendeal origen cuando 00 debido a los factores exponenciales negativos en la solución. A medida que tiende al origen, la gráfica es tangente a la recta de pendiente -1/3 determinada por el eigenvector de la matriz de coeficientes; ésta esla línea discontinua de la figura 7.7.2.

t

+

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 6, encuentre la solución general del sistema dado de ecuaciones. 1.

XI

=

3

4 8

-4

-l)x 4. x' =

-3

-2 -4

4

En losproblemas 7 y 8 encuentre la solución del problema con valor inicial dado. 7. x' = (1

4

8. x' = (-4

-4)x,

-7

1 0 0 1 O)x,

3 6 2

x(0) =

(;)

x(0) =

(ib)

9. Demuestre que r = 2 es una raíz triple de la ecuación característica del sistema

y encuentre tres soluciones linealmente independientes de este sistema.

En los problemas 10 y 11, resuelva el sistema de ecuaciones dado por el método del problema 20 de la sección 7.5. Suponga que t > O.

412

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 10. tx' =

(

3 1

-4 -1

).

11. tx' = (1

4

-4).

-7

12. En este problema se indicala manera de proceder cuando hay un eigenvalor triple y sólo dos eigenvectores asociados. Considereel sistema

a) Demuestre que r = 1 es un eigenvalor triple de la matriz de coeficientes A y que solamente existen dos eigenvectores linealmente independientes

(ii)

Halle dos soluciones linealmente independientes x(')@) y x(')(f) de la ecuación (i). b) Para encontrar una tercera solución, suponga que X(3)(t) =

y luego demuestre que

5y

&ef

+ qe';

(iii)

deben satisfacer (A

-

1)k

= O,

(A - 1 ) = ~ 6.

c) Demuestre que 5 = c , 5(') t c25 (2) en donde c, y c2 son constantes arbitrarias, es la solución más general de la ecuación (iv). Demuestre que para resolverla ecuación (iv) es necesario que c1 = c2. d) Es conveniente elegir c1 = c2 = 2. Para esta elección, demuestre que

en dondek , y k2 son constantesarbitrarias. Aplique los resultados dadosen las ecuaciones (iv) para encontrar una tercera solución linealmente independiente ~ ( ~ 'de ( 4la ecuación (i). 13. Demuestre que todas las soluciones del sistema

t -+ CX) si y sólo si a + d < O y ad - bc > O. Compare este resultado tienden a cero cuando con el del problema 33 de la sección 3.5. 14. Considere nuevamente el circuito eléctrico del problema 14 de la sección 7.6. Este circuito se describepor el sistema de ecuaciones diferenciales

7.8

413

Matrices fundamentales

a) Demuestre que los eigenvalores son reales e iguales siL = 4R2C. b) Suponga que R = 1 ohm, C = 1 farad y L = 4 henrys. Suponga también queZ(0) = 1 ampere y V(0)= 2 volt. Encuentre Z(t) y V(r).

7.8 Matrices fundamentales La teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales puede aclararse aun más mediante la introducciónde la idea de matriz fundamental. Este concepto es particularmente útil en la siguiente sección, en donde se extiende el método de variación de parámetrosa los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Supóngase que X('), . . . , X(") forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación

x' = P(f)X

(1)

sobre algún intervalo (Y < t < p. Entonces, se dice que la matriz

x(*),. . . ,x(") es una matriz fundamentalpara el sistema cuyas columnas son los vectores (1). Nótese que cualquier matriz fundamental es no singular, ya que sus columnas son vectores linealmente independientes. Encontrar una matriz fundamentalpara el sistema x.=(:

;)..

En el ejemplo 1 de la sección 7.5 se encontró que x'"(t) = (2:::)7

.(2)(t)

=

son soluciones linealmente independientesde la ecuación (3). Por tanto, una matriz fundamental para el sistema(3) es Y(t)=

(:,

-

e-]. 2e"

(4)

414

linealesecuaciones Sistemas de

primer

de

orden

La solución deun problema con valor inicial puede escribirsede manera muy compacta en términos de una matriz fundamental.La solución general de la ecuación (1) es

x

= c,x"'(t)

+ . . . + C"X(")(t)

o, en términos deY(t>, x

(6)

= Y(t)C,

en donde c es un vector constante con componentes arbitrarias cl, . . . ,c,,.Para un problema con valor inicial que conste dela ecuación diferencial (1) y la condición inicial X(tO)= xo,

(7)

en donde to es un punto dado en a < t < y x' es un vector inicial dado, basta elegir el vector c en la ecuación (6) de modo que se satisfaganla condición inicial (7). De donde, c debe satisfacer Y ( t o ) c = xo.

(8)

Por lo tanto, como Y (r) es no singular, c = Y - l(to)xO,

(9)

Y x

=

Y(tjY-l(t,)xo

(10)

es la solución del problema con valor inicial. Sin embargo, es necesario resaltar que para resolver un problema con valor inicial dado, por lo general se resolvería la ecuación(8) por reducción de renglones y después se sustituiríac en la ecuación(6), en vez de,calcular Y 1 ( t 0 )y usar la ecuación (10). Recuérdese que cada columna de la matriz fundamental Y es una solución de la ecuación (1).Se concluye queY satisface la ecuación diferencial matricial Y' = P(t)Y.

(1 1)

Esta relación se confirma con facilidadal comparar los dos miembros dela ecuación (ll), columna por columna. Algunas veces es conveniente usar la matriz fundamental especial, denotada por @(f), cuyas columnas son los vectoresx(1),. . . , x@)designados en el teorema 7.4.4. Además de la ecuación diferencial(l),estos vectores satisfacen las condiciones iniciales x(i)(tO ) = e(i), (12) en dondee(') es el vector unitario, definido en el teorema 7.4.4, que tiene un uno en laj-ésima posición y ceros en todaslas demás posiciones. Portanto, @ ( t ) tiene la propiedad de que

@(to) =

i" p ::: .

.

= I.

415

7.8 Matrices fundamentales

Siempre se reservará el símbolo Q, para denotar la matriz fundamental que satisface la condición inicial (13) y 'P se usará cuando se quiera representar una matriz fundamental arbitraria. En términos de Q,(t), la solución del problema con valor inicial (1) y (7) es de apariencia aún más sencilla; dado queQ,-'(to) = I, por la ecuación(10) se concluye que x = Q,(t)x? (14) Aunque la matriz fundamental@(t) a menudo es más complicada que la 'P(f), es especialmente útil si debe resolverse repetidas veces el mismo sistema de ecuaciones diferenciales, sujeto a muchas condiciones iniciales diferentes. Esto corresponde a un sistema físico dado que puede partir de muchos estados iniciales diferentes. ya Si se ha determinado la matriz fundamental Q,(t), entonces puede hallarse la solución para cada conjunto de condiciones iniciales simplemente por multiplicación matricial, como se indica en la ecuación (14). Por tanto, la matriza(?) representa una transformación de las condiciones inicialesxo hacia la solución x(f) en un instante arbitrario ( t ) . Al comparar las ecuaciones (10) y (14) resulta evidente que @(r) = 'P(t)Y-'(f0).

Ejemplo 2

Para el sistema (3)

del ejemplo I , encontrar la matriz fundamental Q, tal que @(O) = I. Las columnas deQ, son soluciones dela ecuación (3) que satisfacenlas condiciones iniciales x'"(0) =

,)A(

x(2)(0) =

(y).

En virtud de que la solución general de (3) es

es posible hallar la solución que satisfaga el primer conjunto de estas condiciones iniciales al elegir c1 = c2 = de manera semejante, se obtiene la solución que satisface el segundo conjunto de condiciones iniciales al elegir c1 = y c2 = 4. De donde,

i;

@(t)=

Nótese que los elementos de a(?) son más complicados quelos de la matriz fundamental Y(t) dada por la ecuación (4); sin embargo, ahora es fácil determinar la solución correspondiente a cualquier conjunto de condiciones iniciales.

Ahora se volverá al sistema X'

=Ax,

(17)

en dondeA es una matriz constante, no necesariamente real. En las secciones7.5 a 7.7 se describió cómo resolver un sistema de este tipo a partir la hipótesis de de que x = 5 tYt. Aquí

416

Sistemas lineales de ecuaciones

de primer orden

se proporciona otro punto de vista. La razón básica por la que un sistema de ecuaciones presenta cierta dificultad es que las ecuaciones suele estar acopladas; en otras palabras, algunas o todas las ecuaciones comprenden más de una, quizá todas, las variables dependientes. Esto ocurre siempre que la matriz de coeficientes A no es una matriz diagonal. De donde, las ecuaciones del sistema deben resolverse simultáneamente, en vez de consecutivamente. Esta observación sugiere queuna manera de resolver un sistema de ecuaciones podría ser transformarlo en un sistema equivalente no acoplado en el que cada ecuación contenga sólo una variable dependiente. Esto corresponde a transformar la matriz de coeficientes X en una matriz diagonal. Según los resultados citados en la sección 7.3, es posible realizar esto siempre que A tenga un conjunto completo de n eigenvalores linealmente independientes. Seang('), . . . , g(") los eigenvectores de A correspondientes a los eigenvalores r l , . . . , r,,, y fórmase la matriz de transformación T cuyas columnas sean E(]),. . . , 4'"); entonces

Si se defineuna nueva variable dependiente y mediante la relación

por la ecuación(7) se tiene que

o bien,

y' = (T' AT)y. Por la ecuación (46) de la sección 7.3,

es la matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal son los eigenvalores deA. Por tanto, y satisface el sistemano acoplado de ecuaciones

Yf = DY, para el cual una matriz fundamental es la matriz diagonal

(23)

7.8

417

Matrices

Entonces, a partir de Q, se encuentra una matriz fundamentalY para el sistema (17), por la transformación (1 9),

es decir

. (26) La ecuación (26) es el mismo resultado que se obtuvo antes. Este procedimiento de diagonalización no brinda ventajas de cómputo sobre el método de la secci6n7.5, ya que en cualquiera delos dos casos es necesario calcular los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones diferenciales. A pesar de ello, es digno de atención que el problema de resolver un sistemade ecuaciones diferenciales y el de diagonalizar una matriz son matemáticamente los mismos.

La matriz exp(At). La función exponencial escalar exp(at) puede representarse por serie de potencias exp(at) = 1

+

la

antn n=l

-,

n!

que converge para toda t. Reemplácese ahora el escalar a por la matriz constante A den x n y considérese la serie correspondiente

Cada término de la serie (28) es una matriz II x n. Es posible demostrar que cada componente de esta suma matricial converge para toda t cuando n -+ m. Por tanto, la serie (28) define con su suma una nueva matriz, que se denota por exp(At); es decir Antn n! análoga al desarrollo (27) dela función escalar exp(at). AI derivar término a término la serie (29) se obtiene exp(At) = I

+

m

"=I

-,

Por tanto, exp(At) satisface la ecuación diferencial d exp(At) = A exp(At). dt -

Además, cuando t = O, exp(At) satisface la condición inicia:

.

.

....

418

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Por tanto, es posible identificar exp(At) conla matriz fundamental@, que satisfaceel mismo problema con valor inicial que exp(At), a saber @' = A@,

@(O) = I.

(33)

Como resultadode esta interpretación dela función exponencial matricial exp(At), es posible escribir la solución del problema con valor inicial X' = AX,

~ ( 0 =) 'X

(34)

en a l forma

x = exp(At)xO. La solución (35)es precisamente la ecuación (14)en la que se reemplazó @(t)por exp(At). La forma de la solución (35) apoya l a analogía entre los sistemas de ecuaciones de primer orden y las ecuaciones escalares simples; recuérdese quela solución del problema escalar con valor inicial x(0) x' = ax,

(36)

= X0'

en donde LI es una constante, es x =x,, exp(at).

(37)

Para justificar de manera m i s concluyente el empleo de exp(At) por la suma se l a serie (28), es necesario demostrar que esta función de hecho tiene las propiedades que se asocian a la función exponencial. En e1 problema 12 se describe una manera de realizar esto.

l . x'

=

3. x' =

5. x'

=

( 1. ( ). (, -*Ix 2 3 2

-2 -2 -1 -2 -5

5

-1

3 2

7 x ' = (?

9. x ' =

(

JX

1

2 -8

1 1

-5

-.,:

-3

2. x' =

8.

(

4

8

-3 -6

3

-4

=

-

'1

10. x'

=

>. JX

(; ; -1

4

419

7.8 Matrices fundamentales

11. Demuestre que @(t)= Y (t)Y -l(tO), en donde@ ( t ) y Y ( t ) son comose definieron en esta

sección.

12. Sea @(t)la matriz fundamental que satisface@' = A@, @(O) = I. En el texto estamatriz también se denotó por exp(At). En este problema se demuestra que @ de hecho tiene las

principales propiedades algebraicas que seasocian a la función exponencial. a) Demuestre que @(?)@(S) = @(t + S); es decir, que exp(At)exp(As) = exp[A(t + S)]. Sugerencia:Demuestre que siS es fijay f es variable,entonces tanto @(f)@(.s) como @(t + S) satisfacen elproblema con valor inicial 2' = AZ, Z(0) = @(S). b) Demuestre que @(t)@(-t) = I; es decir, que exp(Af)exp[A(-t)] = I. Entonces demuestre que @(-t) = @-l(t). c) Demuestre que @(f - S) = @(t)@-'(s). 13. Demuestre que siA es una matriz diagonal, conelementos en la diagonal a , , u2, . . . , all, entonces exp(At) también es una matriz diagonal, cuyos elementos en la diagonal son exp(a,t), exp(a,, t), . . . , exp(a,t). 14. S e a A =

A (0

ii

, en donde A es un número realarbitrario.

a) Encuentre A2,A3 y A4. b) Mediante un argumento inductivo, demuestre que A" =

. )1; ;*,

c) Determine exp(At). d) Resuelva el problema con valor inicial x' = Ax, x(0) = xu al aplicar la ecuación (35) del texto. e) Resuelva el problema con valorinicial del incisod) mediante el método de la sección 7.7. Demuestre que las soluciones obtenidas en los incisos d) y e) son las misma. *15. El método de aproximaciones sucesivas (ver la sección 2.11) también puede aplicarse a 10s sistemas de ecuaciones. Por ejemplo, considere el problema con valor inicial = AX,

X'

~ ( 0=) x0,

(1)

en donde A es una matriz constante y x" un vector preescrito. a) Si se suponeque existe una solución x = $(t), demuestre que ésta debe satisfacer la ecuación integral Q(t) = X'

+ J: AQ(s) ds.

(ii)

b) Parta de la aproximación inicial @O)(t) = xo. Sustituya +(S) por esta expresión en el segundo miembro de la ecuación (ii) y obtenga una nueva aproximación @')(t). Demuestre que + ( ' ) ( t ) = (iii) (I + At)xO.

c) Repita este proceso y obtenga de ese modo una sucesión de aproximaciones dJ('), @*), . . . , @"), . . . Aplique un argumento inductivo para demostrar que I

.

."

..

.

".

t2 + At + A2 + .. 2!

+(O),

420

de

Sistemas

ecuaciones lineales de primer orden

7.9 Sistemas lineales no homogéneos @Qg?-&&

* * i r : @

,&&

En esta sección se volverá al sistema no homogéneo

x' = P(f)X t g(t),

(1)

en donde la matriz P(f) de n x n y el vector g(r) de n x 1 son continuos paracy < t < p. Por el mismo argumento de la sección 3.6 (ver también el problema 16 de esta sección), l a solución general de l a ecuación (1) puede expresarse como

x = c,x(I)(r)t . . .

+ ~ ~ x ( ~+) (v(t), t)

(2)

en dondec,x(')(t) + . . . + cnx(")(t)es l a solución general del sistema homogéneox' = P(f)x, y v(t) es una solución particular del sistema no homogéneo (1). Se describen con brevedad varios métodos para determinarv(t). Se empezará con los sistemas de la forma X' = AX

+ g(t),

(3)

en donde A es una matriz constante diagonizable de n X n. Al diagonalizar la matriz de coeficientes A, como se indicó en l a sección 7.8 es posible transformar la ecuación ( 3 ) en un sistema de ecuaciones fácilmente resoluble. Sea T la matriz cuyas columnas son los eigenvectores t('), . . . , 5'") de A y definase una nueva variable dependiente y por

x=Q.

(4)

Entonces, si se sustituyex en l a ecuación (3), se obtiene Q' = A V t g(t). AI multiplicar por T' se concluye que

y' = (TI AT)y + T1g(t) = Dy t h(t)

(5)

en donde h(t) = T'g(r), y D es la matriz diagonal cuyos elementos en l a diagonal son 10s eigenvalores r l , , . . , rn de A, dispuestos en el mismo orden en que los eigenvectores correspondientes (('1, . . . , aparecencomocolumnasde T. La ecuación (5) es un sistema de II ecuaciones 110 acopladas para y,(t), . . . , y,,(f);como consecuencia, las ecmciones pueden resolverse por separado. En forma escalar, l a ecuación (5) queda y,'@) = r,y,(r)

t h,(t),

j = 1, . . . , n,

(6)

en donde Ijj(t) es cierta combinación lineal degl(r), . . . , g,(t). La ecuación (6) e s k e a 1 d e primer orden y es posible resolverla por los métodos de la sección 2.1. De hecho, se tiene

lineales 7.9 Sistemas

42 1

no homogéneos

"

x' = Ax, mientras que el primer término del segundo miembro(7) de produce una solución particular del sistema no homogéneo (3).

Ejemplo 1

Encontrar la solución general del sistema

Si se procede como enla sección 7.5, se encuentra que los eigenvalores de la matriz de coeficientes son rI = -3 y rz = -1 y que los eigenvectores correspondientes son

Por tanto, la solución general del sistema homogineo es

Antes de escribir la matriz T de eigenvectores, recuérdese que al final debe hallarse T". La matriz de coeficientesA es real y simétrica, de modo quees posible aplicar el resultadoenunciado al final dela sección 7.3:T" es simplemente la adjunta o (dado queT es real) la transpuesta de T, siempre que los eigenvectores de A se normalicen de modo que(g, 5) = 1. De donde, una vez que se normalizan g(') y $ ( 2 ) , se tiene

Al hacer x = 'Q y sustituir x en la ecuación (8), se obtiene el siguientesistema de ecuaciones para la nueva variable dependiente y: y' = Dy

+ T - 'g(t) = ( - 3 O

- I O)

"T ( 22e"+3t e-I-- 3,) 1

'

Por tanto,

y;

+ y,

-

= J2e"

+

3

-t J

z

'

Cada una de las ecuaciones (1 3) es lineal y de primer orden, por lo que es posible resolverlas por los métodos de la sección 2. I . De esta manera, se obtiene

.

. "

..

.

.

.

. .. ..

422

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden ~

Por último, la solución se escribe en términosde las variables originales;

x,

i

en donde k , = c,/* y k, = c2flZ. Los dos primeros términos del segundo miembro de la (15) forman la solución general del sistema homogéneo correspondiente ala ecuación (8). Los téri minos restantes son una solución particular del sistema no homogéneo.

Una segunda manera de hallaruna solución particular del sistema no homogéneo (1) es el método de los coeficientes indeterminados. A fin de aplicar este método, se supone la forma de solución con algunoso todos los coeficientes no especificados y, a continuación, se busca determinar estos coeficientesde modo que se satisfaga la ecuación diferencial. En el aspecto práctico, este método sólo es aplicable si la matriz de coeficientes P es una matriz constante y si las componentes de g son funciones polinomiales, exponenciales o sinusoidales, o de sumas de productos de éstas. En estos casos, es posible predecir la forma correcta de la solución de manera sencilla y sistemática. El procedimiento para elegir la forma de la solución es sustancialmente el mismo que el dado en la sección 3.6 para ecuaciones lineales de segundo orden. La diferencia más importante se ilustra por el caso de un término no homogéneo de la forma uel', en donde A es una raíz simple de la ecuación característica. En esta situación, en vez se suponer una solución de la forma ate"', es necesario usar atet + beAt,en donde a y b se determinan por sustitución en la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

< Aplicar el método de los coeficientes indeterminadospara encontrar una solución particular de a-,

3,"

.$ =a

Este es el mismo sistema de ecuaciones que el del ejemplo 1. Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados, g(t) se escribe la forma

Entonces se supone que

g,

p-

i

x = v(t) = ate"

+ be" + ct + d,

(18)

." en donde a, b, c y d son vectores por determinar. Obsérvese que r = -1 es un eigenvalor de la matriz de coeficientes y, por lo tanto, es necesario incluir tanto ate" como be" en la solución

2.-

lineales

7.9 Sistemas

423

no homogéneos

supuesta. AI sustituir la ecuación (18) en la (16) y agrupar términos, se obtienen las siguientes ecuaciones algebraicaspara a, b, c y d: Aa = -a,

Ab = a - b Ac = -

-

(i),

(:),

Ad = C.

Por la primera de las ecuaciones (19) se observa que a es un eigenvector de A correspondiente al eigenvalor r = -1. Por tanto, aT= (1, 1). Entonces, por la segunda se encuentraque (20) para cualquier constante k. La elección más sencilla es k = O, con lo cual b’ = (O, -1). En seguida, la tercera y cuarta dan cT = (1, 2) y dT= (-:, -:), respectivamente. Finalmente, por la ecuación (18) se obtiene la solución particular

La solución particular (21) no es idéntica a la contenida en la ecuación (15) del ejemplo 1 porque el término en e-l es diferente. Sin embargo, si en la (20) se eligek = 4, entonces bT = (t, - i) y entonces concuerdanlas dos solucionesparticulares.

A continuación se vuelve al problema más general en el que la matriz de coeficientes es no constante o no diagonalizable. Sea

x’ = P(t)x + g(t),

(22)

en donde P(f) y g(t) son continuas sobre a < t < p. Supóngase que se encontróuna matriz fundamental Y ( t ) para el sistema homogéneo correspondiente.

x’ = P(t)x.

(23)

Se aplica el método de variación de parámetrospara construir una solución particulary la solución general, del sistema homogéneo (22). Como la solución general del sistema homogéneo (23) es Y(+, es natural proceder como en la sección 3.7 y buscar una solución del sistema no homogéneo(22) al sustituir el vector constante c por una función vectorial u(t). Por tanto, se supone que

x = Y(t)u(t),

(24)

en donde u(t) es un vector por determinar. Una vez que se derivax, según se expresaen la ecuación (24) y al requerir que se satisfaga la ecuación (22), se obtiene

+ Y ( t ) u ‘ ( t )= P(t)Y(t)u(t)+ g(t).

Y’(t)u(t)

-

. . . .’..

(25)

424

Sistemas de ecuaciones vrimerlineales de

orden

En virtud de que Y ( t ) es una matriz fundamental,Y'(?) = P(t)Y (t); de donde, la ecuación (25) se reduce a (26)

W t ) u ' ( t )=

g(t).

Recuérdese que Y (i) es no singularsobre cualquier intervalo en donde P sea continua.De donde, Y"(t> existe y, por 10 tanto, u'(t) =(27) Y - '(t)g(t).

AsÍ para u([) es posible seleccionar cualquier vector de la clase de vectores que satisfacen

la ecuación (27); estos vectores están determinados sólo hasta un (vector) constante aditivo arbitrario; por coneiguiente, u(t) se denota por U ( ¿ ) = JY"(t)g(t)

dt

+

(28)

C,

en donde el vector constante c es arbitrario. Por último, si se sustituye u(t) en la ecuación (24) se obtiene la soluciónx del sistema (22): X

+

= Y(t)c Y ( t )SY '(t)g(t) dt.

(29)

~

Como c es arbitrario, mediante una selección adecuada de c es posible satisfacer cualquier condición inicial en un punto t = to. Por tanto, toda solución del sistema (22) está contenida en la expresión dada porla ecuación (29); por lo tanto,es la solución general de la (22). Nótese que el primer término del segundo miembro de (29)es la solución general del sistema homogéneo correspondiente (23), y que el segundo término es una solución particular dela propia (22). Considérese ahora el problema con valor inicial que consta de la ecuación diferencial (22) y la condición inicial x(to) = xo,

(30)

La solución de este problema puede escribirse de manera más conveniente si para la solución particular de la ecuación (29) se elige la solución específicaque es cero cuando t = t,. Se puede haceresto al usar to como límite inferior de integración en (29), de modo que la solución general de la ecuación diferencial toma la forma

La condición inicial (30) también puede ser satisfecha siempre que

Por consiguiente, x = Y(t)Y-l(t0)xo

+ Y([)S' Y"(s)g(s) to

ds

(33)

es la solución del problema con valor inicial dado.Una vez más, que es útil usar Y-' para escribir las soluciones (29) y (33), en casos particulares suele ser mejor resolver las ecua-

lineales

7.9 Sistemas

_425 _

no homogéneos

ciones necesarias por reducción respecto a los renglones, en vez de calcular Y"' y sustituir en las ecuaciones (29) y (33). La solución (33) toma una forma ligeramente más sencilla s i se utiliza la matriz fundamental @(t)que satisface @(to) = I. En este caso se tiene x = @(Z)XO

+ Q(t) S' m- '(s)g(s) 10

ds.

(34)

La ecuación (34) puede simplificarse aun más si la matriz de coeficientesP(c)es una matriz constante (ver el problema 17).

Ejemplo 3

Aplicar el método de variación de parámetros para encontrar la solución general del sistema x' = (-2 1

- 2 1).

+( y ) .

(35)

Este es el mismo sistema de ecuaciones que el de los ejemplos 1 y 2. En l a ecuación (10) se dio l a solución general del sistema homogéneo correspondiente. Por tanto,

es una matriz fundamental. Entonces, la solución x de l a ecuación (35) queda dada por x = Y (t)u(t), en donde ~ ( tsatisface ) Y (t)u'(t)= g(t), o sea,

Si se resuelvela ecuación (37) por reducción respecto alos renglones, se obtiene u; = ,2l u; = 1

- $te31,

+

+el.

De donde,

Cada uno delos métodos para resolver ecuaciones no homogéneas presenta ciertas ventajas y desventajas. El método de los coeficientes indeterminados no requiere integración,

426

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

pero su alcance es algo limitadoy puede imponer la soluciónde varios conjuntos de ecuaciones algebraicas. El método de la diagonalización requiere hallar la inversade la matriz de transformación y la solución de un conjunto de ecuaciones lineales de primer orden no acopladas, seguido de una multiplicación de matrices. Su ventaja principal es que, para matrices hermitianas de coeficientes, la inversa de la matrizde transformación puede escribirse sin realizar cálculos, una característica que es más importante para sistemas grandes. La variación de parámetros es el método más general. Por otra parte, comprende la resolución de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales con coeficientes variables, seguida de una integración y una multiplicación de matrices, por lo que también puede ser el más complicado desdeun punto devista del cómputo. Para muchos sistemas pequeños con coeficientes, como el de los ejemplos de esta sección, puede haber pocas razones para elegir uno de estos métodos de preferencia a los demás. Sin embargo, téngase presente que el método de diagonalización queda excluido si la matriz de coeficientes no es diagonalizable y que el método de los coeficientes indeterminados sólo es práctico para las clases de términos no homogéneos que acaban de mencionarse. Para problemas con valor inicialde sistemas lineales con coeficientes constantes, a menudo la transformada de Laplace también es un instrumento eficaz. En virtud de que se aplica esencialmente de la misma manera descrita en el capítulo 6, para las ecuaciones escalares simples, aquí no se dan detalles.

Problemas En cada unode los problemas 1a 12, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado. 2 3

-1

-2 -cos t

(x

5. x’ = 4

6. x ’ = ( - ~2

- 24 j x

+ (:j:2),

- 1* ) x + (

t

‘”‘+ 4)’

2t-I

>0 t 1 0

13. El circuito eléctrico que se muestraen la figura 7.9.1 se describe por el sistemade ecuaciones diferenciales

427

7.9 Sistemas lineales no homogéneos

en donde x] es la corriente que pasa porla inductancia, x2 es la caída de voltaje a través de la capacitancia eZ(t) es la corriente suministrada por la fkente externa. a) Determine una matriz fundamentalY (t)para elsistema homogéneo correspondiente a las ecuaciones (i). Consulte el problema 13 de la sección 7.6. b) Si Z(t) = determine la solución del sistema (i) quetambién satisface las condiciones iniciales x(0) = O. En los problemas 14 y 15 compruebe que el vector dado es la solución general del sistema homogéneo correspondientey, a continuación,el sistema nohomogéneo. Suponga quet > O.

16. Sean x = @(t)la solución general dex' = P(t)x

+ g(t), y x = v(t) alguna solución particular del mismo sistema. Considere la diferencia @(t)- v( t) y demuestre que@(t)= u(t) + v(t), en donde u(t) es la solución general del sistema homogéneo x' = P(t)x. * 17. Considere el problema con valorinicial x' = A x + g(t),

x(0) = x"

a) Con referencia al problema 12 c) de la sección 7.8, demuestre que X

= @(t)xo

+ sd @(t

-

s ) ~ ( sds. )

b) También demuestre que x

=

exp(At)xO+

Sd exp[A(t

- s)]g(s) ds.

m

Compare estos resultados conlos del problema 27 de la sección 3.7. L = 8 henrys

1

C = - farad

R=4ohms

2

R=4ohrns

FIGURA 7.9.1 Circuito del problema 13.

428

RIRLIOGRAFIA

de Sistemas lineales de ecuaciones

primer orden

Los libros que se listan a continuación son representativos de libros introductorios recientes sobre ces y álgebra lineal.

matri-

Anton, H,. Elementary LinearAlgebrn(5a. ed.) (New York; Wiley ). Johnson, L. W., Press, R. D., y Arnold, J. T., Introduction Addison-Wesley).

m Linear Algebra

( h . ed.)(Reading, Mass;

Kumpel, P. C. y Thorpe, J. A,, Linear Algebra with Applications to Differential Equations (Philadelphia: Saunders). Leon, S. J., Linear Algebra with Applications (3a. ed.)(NewYork; Macmillan). Strang, G., Linear Algebra and Its Applications(3a. ed.)(New York; AcademicPress).

Métodos numéricos

Hasta el momento se han analizado los métodos para resolver ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de técnicas analíticas comola integración o los desarrollos en serie. En general, lo importante era hallar una expresión exacta para la solución. Sin embargo en ingeniería y las ciencias existen muchos problemas importantes, en especial no lineales, para los cuales estos métodos no son válidos o son muy complicados. En este capítulo se analiza un enfoque alternativo: el empleo de procedimientos numéricos para obtener una aproximación (a menudo bastante exacta) para la solución exacta de una ecuación diferencial. Los procedimientos que se describen son de fácil ejecución en computadoras personales, así comoen algunas calculadoras de bolsillo.

8.1 Método de Euler o de la recta tangente Para estudiar la evolución y empleo de los procedimientos numéricos, se concentrará la atención principalmente en el problema con valor inicial de primer orden que consta de la ecuación diferencial

y la condición inicial Y(t0) = Yo.

(2)

Se supondrá que las funciones f y f, son continuas sobre algún rectángulo en el plano ty que contiene al punto (to,yo). Entonces, por el teorema 2.4.1, en algún intervalo alrededor de to existe una solución únicay = +(r) del problema dado. Sila ecuación (1) es no lineal, entonces puede ser difícil determinar el intervalo de existencia de la solución y es posible que no tenga una relación simple con la función f. Sin embargo, en todo el análisis

430

Métodos numéricos

se supondrá que el problema con valor inicial (11, (2) tiene una solución única en el intervalo de interés. Por procedimiento numérico de resolución del problema dado con valor inicial se entiende un algoritmo para calcular valores aproximadosy,, y,, y,, . . . ,ya,. . . de la solución q5 en un conjunto de puntos t, < t , < t2 < . . . < t, < . . . ; ver la figura 8.1.1. Los valores calculados pueden presentarse comouna tabla numérica o una gráfica. La solución exacta del problema con valor inicial (l),(2) siempre se denotará por $; entonces el valor de la solución exacta en t = tnes +(t,). Para un procedimiento numérico dado, los símbolos y, y y,:, en donde este último se expresa porf(t,,, y,*),denotarán los valores aproximados de la solución exacta y su derivada en el punto tn. Con base en la condición inicial se sabe que $(to) =yo, aunque en general $ ( f , $ )# y,, paran 2 1. De manera semejante,(b'(to)= f(to,yo) =y;, pero en general +'(t,,) = f [ t , , ,$(f,)] no es igual ay,: =f(t,, y,) para n 2 1. Además, en todo el análisis se usará un espaciamiento, o tamaiio de paso, uniformeh sobre el ejet. Por tanto, t1= to + A, t, = t , + h = to t 2h y, en general, tn = t nh. El primer intento por resolver numéricamente una ecuación diferencial lo realizó Euler en 1768, quien aplicó lo que ahora se conoce como método de la recta tangente, o a menudo método de Euler. Dado que se conocent, y yo, también se conocela pendiente de la recta tangente a la solución en f = fo; a saber $'(to) = f(t,, y,). De donde, es posible construir la recta tangente ala solución en to y obtener en consecuencia un valor aproximado y, de 4(t,)al desplazarse a lo largo de la recta tangente desde t, hasta t l ; ver la figura 8.1.2. Por tanto

f,

Solución exacta y = @(I)

FIGURA 8.1.1 Una aproximación numéricaa la solución de y' =f(t, y), y (to) = y o .

2',

FIGURA 8.1.2 Aproximación de Euler o de la recta tangente.

8.1

43 1

Método de Euler o de la recta tangente

Una vez que se determina y,, es posible calcular y ; = f ( t , y,) y aplicar este valor como la pendiente de una aproximación al moverse de t, a t,. De este modo, se obtiene

Nótese que, en general, y , # +(tl), de modo que por lo común f(tl, y,) no es igual a f[tl, 4(tl)],la pendiente de la solución real en t,. Si se continúa de esta manera, se usa el valor dey calculado en cada paso para determinarla pendiente de la aproximación para el paso siguiente. La fórmula general para la aproximaciónde Euler es

Si se supone que entre los puntos to, t,, t2, . . . , existe un tamaño uniforme de paso entonces t,, = t, t h y la fórmula de Euler se obtiene enla forma +

,

Antes de analizar con mayor amplitud el método de Euler, problema típico con valor inicial. Considérese el problema y' = 1 - t

h,

se ilustrará su uso en un

+ 4y,

y(0) = 1. Se usará este ejemplo en todo el capítulo para ilustrar y comparar métodos numéricos diferentes. La ecuación (7) es una ecuación lineal de primer orden y se verifica con facilidad que la solución que satisfacela condición inicial (8) es y = O(t) = '4t - 1 19 16+Xe

41

.

(9)

Dado que se conoce la solución exacta, no se requieren métodos numéricos para resolver el problema con valor inicial (7), (8). Por otra parte, la disponibilidad de la solución exacta facilitará la determinación de la exactitud de los diversos procedimientos numéricos que se aplicarán en este problema.

Ejemplo 1

Con aplicación de la fórmula de Euler (6) y un tamaño de paso h = 0.1, determinar un valor aproximado de la solución y = 4(t)en t = 0.2, para el problema con valorinicial (7), (8). En este caso, f ( t , y ) = 1 -t + 4y. Para poner en práctica la aproximación de Euler primero se calcula y ; = f(0,l)= 5;entonces,

Y, = Y o + =1

En el siguiente paso,

..

.

-

. ~. . .

, .I

._ .

. 1 . . .

. ..

,

.

1)

+ (0.1)(5) = 1.5.

432

Métodos numéricos Y 2 = !‘I

= 1.5

+ hf’U,,

Y,)

+ (0.1)f(0.1, 1 . 9

= 1.5 -I-

(0.1)(6.91= 2.19

,-:Puede compararse este resultado con el valor exacto de 440.2) a partir de la ecuación (9), que

, ?,, .Il*

p es 4(0.2) = 2.5053299, correcto hasta8 dígitos. El error es aproximadamente 2.51 -2.19 = 0.32.

Normalmente, un error tan grande (un error porcentual del 12%) no es aceptable. Es posible obtener un mejor resultado al usar un tamaño de paso más pequeño.De esta manera, si se usa h = 0.05 y se realizan cuatro pasos para llegar at = 0.2, da el valor aproximado 2.3249 para #(0.2) con un error porcentual del 8%.Un tamaño de pasode h = 0.025 da un valor de 2.4080117, con un error porcentual del 4%. Si se continúa con los cálculos iniciados en el ejemplo, entonces se obtiene los resultados que se dan en la tabla 8.1.1. De la segunda a la quinta columnas contienen valores aproximados de la solución, usando un tamaño de pasode/z = 0.1, 0.05,0.025 y 0.01, respectivamente. En la última columna estin los valores correspondientes de 4(t)hasta ocho dígitos. Aun sin comparar las soluciones aproximadasy exactas, el hecho de que los valores dey calculados conh = 0.01 difieran de manera significativa de los calculados con h = 0.025, para valores de t tan pequeños como 0.2, indica que el método de Euler con estos tamaños de paso no es satisfactorio para este problema. Para obtener resultados más exactos, existen en esencia dos posibilidades: unaes usar un tamaño de paso todavía más pequeño, con lo que se requieren más pasosde manera correspondiente para cubrir el intervalo dado, la otra es idear una fórmula aproximada más exacta y eficiente para sustituir la ecuación (6). Por lo general, la segunda posibilidad es con mucho la mejor y, posteriormente en este capítulo, se analizan varios algoritmos que son bastante superiores al método de Euler. Mientras tanto, se observa quees fácil escribir un programa de computadora para efectuar los cálculos necesarios para obtener resultados como los dela tabla 8.1.1.Acontinua-

TABLA 8.1.1. Comparación de los resultados de l a solución numérica de y’ = 1 - t + 4y, y(0) = 1 a l aplicar el método de Eulerpara diferentes tamaños de paso h. t

/I

= 0.1

O 1.o000000 1.5000000 0. 1 0.2 2.1900000 3.14600000.3 4.47440000.4 0.5 8.7120041 8.3766865 7.9264062 7.2901870 6.3241600 0.6 8.9038240 0.7 12.505354 0.8 17.537495 0.9 24.572493 1.O 34.41 1490

h = 0.05

h = 0.025

h = 0.01

1.0000000 1,5475000 2.3249000 3.4333560 5.0185326

1.0000000 1.5761188 2.4080117 3.6143837 5.3690304

1.0000000 1.5952901 2.4644587 3.7390345 5.6137120

10.550369 15.234032 21.967506 31.652708 45.588400

11.659058 17.112430 25.085110 36.746308 53.807866

12.454558 18.478797 27.384136 40.554208 60.037126

Exacta 1.0000000 1.6090418 2.5053299 3.8301388 5.7942260 13.052522 19.515518 29.144880 43.497903 64.897803

Euler

de8.1

Método

433

o de la recta tangente

ción se describe un programa de este tipo: las instrucciones específicas pueden escribirse en cualquier lenguaje de programación de alto nivel.

Método de Euler Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4. Paso 5.

definir f(t, y) entrada valores iniciales to y y, entradahpaso tamaño de y número pasos de n salida to y y, para j desde 1 hasta n, hacer

Paso 6. Paso 7. Paso 8.

kl = f ( t ,y) y=y+h*kl t=t+h salida t y y fin

La salida de este algoritmo pueden ser números listados en la pantalla o impresos mediante una impresora. De manera alternativa, es posible presentar gráficamente los resultados. De hecho, como se mencionó en el capítulo 1, existen varios paquetes de software excelentes que hacen esto de manera automática; puede ser muy útiles para visualizar el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Al aplicar un procedimiento numérico como el método de Euler, siempre debe tenerse presente la pregunta de si los resultados son lo suficientemente exactos para que sean útiles. En el ejemplo anterior,la exactitud de los resultados numéricos pudo determinarse directamente por comparación con la solución exacta. Por supuesto, sidehaemplearse un procedimiento numérico, por lo general no se dispone de la solución exacta. En la siguiente sección se presentará un análisis preliminar de los errores en los procedimientos numéricos, sus causas y cómo es posible estimarlos. Por el momento, se desea señalar dos métodos para deducir la fórmula(6) de Euler, que sugieren manerasde obtener fórmulas mejores y también auxiliar en la investigación del error al aplicar la ecuación(6). En primer lugar, en virtudde quey = 4(t) esuna solución del problema con valor inicial (l),(2), al integrar desde t, hasta t,, se obtiene +

o bien,

La integral de la ecuación (10) se representa geométricamente como el área bajo la curva entre t = t,, y t = t,, 1, en la figura 8.1.3. Si se aproxima la a integral al sustituirf[t,4(t)]por su valor f[t,, 4q't,)] en t = t,, entonces se aproxima el área real por el área del rectángulo sombreado. De esta manera, se obtiene 4(tn+

1)

+(tn)

+f [ t n , 4(tn)](tn+

4(tJ + h f [ t n ,

+(tn)l.

1

- tn)

(1 1)

Por último para obtener una aproximación Y,,,1 , se efectúa una segunda aproximación al sustituir (P(t,,)por su valor aproximadoy, de la (11).Esto da la fórmula de Euler y, , = yn + hf(t,, y,). Es posible obtener una fórmula más precisa al aproximar con mayor exactitud la integral. Esto se analiza en la sección 8.3

434

Métodos numéricos

" "

I

13

t

in t I

FIGURA 8.1.3 Deducción integral del método de Euler.

En segundo lugar, supóngase que se afirma que la solucióny = $(t) tiene una serie d e Taylor alrededor del puntoI , ~ entonces ;

&r,,

h

+ h ) = $(L~)+ 4'(f,,);? + 4"(tn)2! + -

' ' '

o bien.

($if, c i)

= &,)

t

$(f.)lh

-t d"(t,)

h2 2!

~

+

' ' ' '

(12)

,)

Si la serie se termina al cabo delos dos primeros términosy si $(f, y $(in)se sustituyen por sus valores aproximados y R y y,,, de nuevo seobtiene la fórmula de Euler (6). Si se conservan más términos de la serie, se obtiene una fórmula más exacta. Estose analiza en la sección8.3.Además al usar una serie de Taylor con un resto es posible estimar la magnitud del error en la f6rmula. Estose analiza en la siguiente sección. +

,

+

En muchos de los problemas de este capitulo se requiere efectuar cálculosnuméricos bastante extensos. L a cantidad de cálculos razonable para el lector depende mucho del tipo de equipo de cómputo con que cuente.Algunos pasos de los cálculos solicitadospueden Ilevarse a cabo en casi cualquiera calculadora de bolsillo e incluso a mano, si es necesario. Para hacer m5s es aconsejable que cuente con una calculadora programable, aunque para algunos problemas puede ser necesaria por io menos una microcomputadora. Tenga presente también que los resultados numéricos pueden variar en alguna medida, dependiendo de la forma en que estécontenido el programa y de la manera en quela computadora ejecuta 10s pasos aritméticos, redondeos, etcétera. Variaciones menores en la última cifra decimal pueden deberse a esas causas y no necesariamente indican que sucede algo erróneo. En la mayoría de los casos, las respuestas quese dan al final del libro registra hasta seis digitos, aunque en los cálculos intermedios se conservaran más digitos. En los problemas i y 2: a) Encuentre valores aproximados de la solución del problema dado con valor inicial, en 1 = 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 al aplicar el método de Euler con h = 0.1. b) p.epit;~el inciso a) con /Z = 0.05. Compare los resultados con los del incisoa).

435

8.1 tangente Método de recta Euler o de la

c) Repita el inciso a) con h = 0.025. Compare losresu!tados con los de los incisos a) y b). d) Encuentre la solución y = 4(t)del problema dado y evalúe 4(t)en t = 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4. Compare estos valores con los resultados delos incisos a), b) y c). 1. y' = 2y

-

y(0)= 1

1,

2. y'

0.5

-

t

+ 2y.

~ ( 0=) 1

En cada uno de los problemas 3 a 8, halle valores aproximados de la solución del. problema dado con valor inicial, en t = to + 0.1, to t 0.2, to + 0.3 y to + 0.4. a) Aplicar el método de Euler con h = 0.1. b) Aplicar el método de Euler con h = 0.05. c) Aplicar el método de Euler con h = 0.025.

2. y'

=

5. y' =

t2

+

Y(0)= 1

4. y' = 5t

-

6, y(1) = 3

6. y' = 2t

+

y2,

+

y2 2ty l. y' = ____ 3 + t 2

'

Y(1)= 2

8. y'

=

3&,

( t 2 - y') seny,

y(0) = 2 y(0) = 1

y(0) =

-

1

En cada uno de los problemas 9 a 12, encuentre un valor aproximado de la solución del problema dado con valor inicial, en t = rot 1. a) Aplicar el método de Euler con h = 0.025. b) .4plicar el método de Euler con h = 0.0125. 9. y' = 0.5 - t 11. y ' = J t +y L( 1, )

+ 2y,

~ ( 0=) 1 3

=

10. y' = 5t - 3&, 12. y' = 2t + e"Y,

y(0) = 2 y(0) = 1

*13. Considere el problema con valor inicial y' = 3t2/(3,y2 - 4),

y(1)= o

a) Aplique la fórmula de Euler (3) con h = 0.1 para obtener valores aproximados de la solución en t = 1.2, 1.4, 1.6y 1.8. b) Repita el inciso a) con h = 0.05. c) Compare los resultadosde los incisos a) y b). Observe que son razonablemente próximos para t = 1.2, 1.4 y 1.6, pero que difieren bastantepara t = 1.8. Observe también (a partir de la ecuación diferencial) que la recta tangente a la solución es paralela al eje y cuandoy = f al& f 1.155.Explique cómo esto puede provocar esa diferencia en los valores calculados. 14. Complete los cálculos nasta t = 0.6 que dan a entradas de las columnas dosy tres de la tabla 8.1.1. *15. Use tres términos de la serie deTaylor que se daen la ecuación (12) y considere h = 0.1 para determinar valores aproximados dela solución del ejemplo ilustrativoy' = 1 - 1 + 4y, y(0) = 1, en t = 0.1 y 0.2. Compare los resultados con los que seobtiene al aplicar el método de Euler y los valores exactos. Sugerencia: Si y' = f(t, y>, La qué es igualy"? *16. Es posible demostrar que con condiciones adecuadas para f la solución numérica generada por el método de Euler para el problema con valor inicialy' = f(t, y), y(to) = y , convergen a la solución exacta a medida que decrece el tamaño h del paso.Esto se ilustra mediante el siguiente ejemplo. Considere el problema con valor inicial

436

Métodos numéricos a) Demuestre que la solución exacta es y = 4(t)= (yo - to)e("'o) b) Demuestre a l aplicar la fórmula de Euler, que l'i

=(I

+

/I))',

~

,+h

-

,.

kt,

k

=

+ t.

I , 2,

c) Observe que y, = (1 + h)(y0 - t o ) + t , demuestre que yn = ( I

+ h)"(y,,

-

to)

+ 1,.

d) Considere un punto fijo t > to, y para una n dada elija h = (t - t,)/n. Entonces, para cualquier 11, rn = f. También observe que h --* O cuando n --t co. Se se sustituye h en la fórmula precedente y se hace que n -+ co da el resultado deseado. Sugereacia: limn+, (I +a/,?)"= e a . * 17. Aplique l a técnica analizada en el problema 16 para demostrar que la solución aproximada obtenida con el método de Euler converge a la solución exacta en cualquier punto fijo, cuando h -+O, para cada uno de los siguientes problemas. a) y' = y , y@) = 1 b) y' = 5- 1, y(0) = 1 Sugwmcins: J', ( I + 2h)U + li2 c) y = - t + 2y, y(0) = 1 Sugerencias: = (1 + 2/11 + t , / 2 18. Un procedimiento alternativo para construir la solucióny = d(t) del problema con valor inicial y' = f ( t , y), y ( r o ) =y, es elmétodo de iteración. Si se integra la ecuación diferencial desde t o hasta t se obtiene

y,

M ) = yo

+

i:f[s,

$(S)]

ds.

(1)

Si, en el segundo miembro de la ecuación (i) se sustituye 4(s) por una función particular, es posible evaluar la integral y obtener una nueva función 4. Esto sugiere el procedimiento de interacción cb", ,U) = )'o

+ J$S,

(b,CS)]

ds.

(ii)

do(f),se puede utilizar l a ecuación (ii) para generar una sucesi6n de funciones 4,*(t)que se aproxime a la solución exacta y, con condiciones adecuadas sobref(t, y), en realidad converge a + ( t ) cuando n -+ m. De hecho, se utilizó este procedimiento de iteración para establecer l a existencia de una solución del problema con valor inicial de la sección 2.11. Para calcular realmente $ ( t ) en general este procedimiento es pesado para manejar ya que puede ser difícil, si no imposible, evaluar la integral def[s, 4,,(S)], n = O , 1 , 2 , . . . . A l tomar &(t) = 1, determine &(t) para cada uno de los siguientes problemas con valor inicial. Calcule también (p,(O.4) Y &(O.4) Y compare con el resultado obtenido al aplicar el método de Euler. a) y' = 2y - 1, y(0) = 1 COGuna elección inicial de

b) y ' = i - t + 2 y , c) J." = t 2 + y2,

r

y(O)=1 y@) = I;

.

I

calcule sólo r&(t)

.

L a aplicación de un procedimiento numérico, como la fórmulade Euler

Y"+ 1

=

Y, + b f ( L Y,),

t, = t o

+ nh,

8.2

Errores en los Drocedimientos numéricos

437

para resolver un problema con valorinicial

origina varias preguntas que deben contestarse antes de poder aceptar como satisfactoria la solución numérica aproximada. Una de estas preguntas es la referente a la convergencia. Es decir, a medida que el tamaño h del paso tiende a cero, ¿los valores de la solución numérica y , , y 2 ,y,, . . . ,tienden a los valores corre5pondientesde la solución exacta? Si se supone quela respuesta es afirmativa, quedala importante pregunta prácticade cuán rápido la aproximación numérica tiende a la solución exacta. En otras palabras, tan ¿qué pequeño debe ser el tamaño del paso a fin de garantizar un nivel de exactitud dado? Se desea un usar tamaño de paso lo bastante pequeño como para asegurar la exactitud requerida, pero no demasiado pequeño. Un tamaño de paso innecesariamente pequeño retarda los cálculos, los hace más costosos y, en algunos casos, incluso puede provocar pérdida de exactitud. Al resolver numéricamente an problema con valor inicial existen dos fuentes de error fundamentales. En primer lugar, supóngase que la computadora con la que se cuenta es capaz de efectuar todos los cálculos con completa exactitud; es decir, es posible retener una infinidad de cifras decimales. La diferenciaE,, entre la solución exactay = + ( t ) y la solución aproximada del problema con valorinicial (2) se expresa por

E,

= m,)

-

Y,,

(3)

y se conoce comoerror global por truncamiento.Este error surge por dos causas:1) en cada paso se aplica una fórmula aproximada para determinar Y,, 2) los datos de entrada en cada paso no concuerdan conla solución exacta ya que, en general, +(t,,) no es igual a y,,. Si se supone que los datos de entrada son correctos, entonces Único error el al avanzar un paso se debe al uso de una fórmula aproximada. Este error se denomina error local por truncamiento e,,. En segundo lugar, debido a las limitaciones de todas las computadoras, en la práctica es imposible calcular de manera exacta y,, a partir de la fórmula dada.Por tanto, se tiene un error por redondeo debido a falta de exactitud de cálculo. Por ejemplo, si se utiliza una computadora que sólo puede llevar ocho dígitos y, esy 1.017325842,entonces es necesario redondear los dos últimos dígitos, con lo que de inmediato se introduce un error en el cálculo dey,. De manera alternativa, sif(t, y) comprende funciones comola logarítmica o la exponencial, al efectuar estas operaciones se tiene un error por redondeo. Como para el error por truncamiento,es posible hablar del error local por redondeo y del error global por redondeo. El error global por redondeoR,, se define como +

+

R,

= Y , - y,,

(4)

en dondeY,,es el valor realmente calculado mediante el procedimiento numérico dado; por ejemplo, la fórmula de Euler(1). El valor absoluto del errortotal al calcular +(t,,) queda dado por

14(tn)- y,,\ = l4k) - Y , + Y” Si se aplica la desigualdad del triángulo, la obtiene

&l .

+ b/ 5 la1 + JbJ,a partir de la ecuación

(5) (5) se

438

Métodos numéricos

Por tanto, el error total está acotado por la suma de los valores ábsolutos de los errores por truncamiento y por redondeo. Para los procedimientos numéricos que se analizan en este libro, es posible obtener estimaciones útiles del error por truncamiento. Sin embargo, el análisis se restringe principalmente al error local por truncamiento, que es algo más sencillo. Es evidente que el error por redondeo es de naturaleza más aleatoria; depende del tipo de computadora que se use, del orden en que se efectúen los cálculos, del método de redondeo, etcitera. Aunque un análisis del error por redondeo rebasa los límitesde este libro, es posible decir más sobre él de lo que podría esperarse en principio (ver, por ejemplo, la obra de Henrici). Algunos de los peligros del error por redondeo se en analizan los problemas13 a 15 y en la sección 8.5.

Error local por truncamientopara ei método de Euler. Supóngase que ia solucióny = + ( t ) del problema con valor inicial (2) tiene una segunda derivada continua en el intervalo de interés. A fin de asegurar esto, es posible suponer que f,f, y fy son continuas en la región de interés. Obsérvese que fsi tiene estas propiedadesy si 6 es unasolución del problema con valor inicial (2), entonces

4’(4= .f[C W)l y, por la regla de la cadena,

d”(0 = f,[4m 3 + fy[4$(t)I$’(t) = . a t ? d(03 + fr[4 4(t)If[4 4401. (7) Dado que el segundo miembro de esta ecuación es continuo, 4” también es continua. Entonces, si se aplicauna serie de Taylor con un restopara desarrollar 4 alrededor de t,, se obtiene 4(tn

+ h) = #(t,J + 4’(tn)h+ $@‘(C,)h*,

(8)

<

en donde es algún punto enel intervalo t, < f , < tn + h . AI restar la ecuación(1) de la (8) y observar que 4(rr,+ h ) = +(trl y 4’(t,)= f[t,,, $ ( t , ) ] , se encuentra que +

Para calcular el error local por truncamiento se supone que los datos deln 4 s i m o paso son correctos, es decir, que y , = +(tn). E~~tonces, de inmediato se obtiene a partir de la ecuación (9) que el error local por truncamiento e, es +

en+, =

(b(ln+l) - y n + l

=

+4”(t,P2.

(10)

Por tanto, el error local por truncamiento para el método de Euler es proporcional al cuadrado del tamaño de paso11 y a la segunda derivada de 4. Para el intervalofijo a = to 5 t 5 b, el valor absoluto del error local por truncamiento para cualquier paso está acotado por M/z2/2,en donde M es el mrlximo de 4’’ (Q sobre n I t 5 b. La dificultad primaria ai

8.2

439

Errores en los procedimientos numéricos

"

estimar el error local por truncamiento esla obtención de una estimacih exacla dr: M . Sin embargo, nótese queM es independiente de h; de donde, si se reduce 17 en un factor de 1/2, se reducela cota del error enun factor de 114, y si se reduceh en un factor de 1/10, se reduce la cota del error en un factor de Más importante que el error local por truncamiento es el error global por truncamiento E,,. A pesar de ello, una estimación del error local por truncamiento proporciona cierta comprensión del procedimiento numirico y un medio para comparar la exactitud de dilerentes procedimientos numéricos.El análisis para estimarE,, es más difícil que parae,,. Sin embargo, si se conoce el error local por truncamiento se puede hacer una estimacicin irztuitiva del error global por truncamiento un en t>tofijo como semuestra a continuación.Suphgase que se requierenn pasos para ir de to a 7 = to + nlz. En cada paso ei errores cuando mucho Mh2/2;por tanto, el error en n pasos es cuando muchorzMh2/2.Si se observa que tz = f,J

6.

0-

h, se encuentra queel error global por truncamiento parael método de Euler,a i ir de tu a t

, está acotado por

M h 2 .Mh n-" 2 = ( t - t o ) 2

'

Aunque este argumento no está completo, ya que no se toma en cuenta el efecto que I;n error en un paso tendrá en los pasos subsiguientes, en el problema 8 se demuestra que en cualquier intervalo finito el error global por truncamientoal usar el método de Euler no es superior a una constante multiplicadapor h. Por tanto, al ir de to a u n punto fijo 7, el error global por truncamiento puede reducirse al hacer más pequeño el tamaño /I del paso. Desafortunadamente, ésteno es el final dela historia. Sih se hace demasiado pequeño;cs decir, si para ir de fo a Tse utilizan demasiados pasos, el error global por redondeo puede volverse más importante que el error global por truncamiento.En la práctica, es necesario considerar las dos fuentes de error y elegir un h adecuado de modo que ninguno de los dos sea demasiado grande. Esto se analizacon mayor detalle enla sección 8.5. En los probiemas 9 y 11se analiza un procedimiento prácticopara mejorar la exactitud del cilculo,que requiere cómputos con dos tamaños de paso diferentes. Como ejemplo de cómo es posible aplicar el resuitado(lo), si se cuentacon informacicin a priori acerca de la solución del problema dado con valor inicial, considérese el ejemplo ilustrativo y' = 1 - t

+ 4y,

(1 2 )

y(0) = 1

sobre el intervalo O 5 t 5 1. Sea y = $(t) la solución del problema con valor inicial (12). Entonces q5'(t) = 1 - t + 4q5(r) y -

1 + 44'(t)

=

-

1

=

3

@'(t) =

-

+ 4[1

4t

-

t

+ 4+(t)]

+ 16+(t).

Por la ecuación (lo), en+, =

3 - 4c

+ 16+(t,) h2, 2

t,

< t, < t ,

+ h.

Métodos numéricas

440

Si se observa que 13 - 4f,~5 3 sobre 0 5 t 5 1,una cota aproximada para e,,

+

queda dada por

Dado que el segundo miembro de la ecuación (14) no depende de n, esto proporciona una cota uniforme, aunque no necesariamente exacta, para el error en cualquier paso, si se conoce una cotapara ~ Q( 1 , sobre O 5 t 5 1.Para este problema,+(t) = (4t- 3 + 19e4‘)/16. Si se sustituyeQ,( 19(0.01)/2 = 0.095. El error real es 0.1090418. De la ecuación (15) se concluye que el error empeora cada vez más al crecer t; esto se muestra con claridad con los resultados de la tabla 8.1.1. Un cálculo semejante para una cota del error local por truncamiento al ir de 0.4 a 0.5 da 0.47

19e1.6(0.01) 1 9e2(0.01) 5 e5 S 2 2

Por supuesto, en la práctica no se conocerá la solución 4 del problema dado con valor inicial. Sin embargo, si se cuenta con cotas sobre las funciones f, f , y fy es posible obtener una cota para !qh”(t)l,aunque no necesariamente una exacta, a partir de la ecuación (7). Entonces. es posible usar la ecuación (10) para estimar el error local por truncamiento. Incluso aunque no sea posible hallar una cota útil para i+”(t)i, todavía se sabe que para el método de Euler el error local por truncamiento y el error global por truncamiento están acotados por una constante multiplicada por h 2 y por una constante multiplicada por h, respectivamente. Esta sección concluye con dos comentarios prácticos basados en la experiencia.

1.

Una manera de estimar si el error por truncamiento es suficientemente pequeño es, después de completar los cálculos con un h dado, repetir los cálculos utilizando un tamaiio de paso h / 2 (ver los problemas 9 y 11). Si los cambios son mayores que lo aceptable, es necesario usarun tamaño de paso más pequeño, un procedimiento numérico más exactoo quizá las dos cosas.En las siguientes secciones se analizan procedimientos más exactos. Enla tabla 8.1.1se dieronlos resultados del ejemplo ilustrativo usando el método de Euler con diferentes tamaños de paso. Estos resultados muestran

8.2

441

Errores en los procedimientos numéricos

2.

que incluso conh = 0.01 no es posible obtener correctamentelos tres primeros dígitos en t = 0.10. Esto podía esperarse sin conocerla solución exacta, ya que los resultados en t = 0.1 para h = 0.025 y h = 0.01 difieren en el tercer dígito. Una vez que se han completado los cálculos usando aritmética de precisión simple, puede estimarse el efecto del error por redondeo al repetir los cálculos con una aritmética de doble precisión. De nuevo, si los cambios son mayores que lo aceptable, es necesario conservar m& dígitos en los cálculos o aplicar un método más exacto. En los problemas 13 a 15 se abordan algunas de las dificultades que se presentan debido a los errores por redondeo.

Problemas En los problemas 1 y 2 calcule el error local por truncamiento en términos de la solución exacta y = +(t) si se aplica el método de Euler. Obtenga una cota para en en términos de t y +(t) que sea válida sobre el intervalo O 5 t 5 1. Al usar la solución exacta, obtenga una cota más precisa del errorpara e,, 1 . Para h = 0.1, calcule una cota para el y compárela con el error real en t = 0.1. Calcule tambiénuna cota para el error e4 del cuarto paso. +

+

1. y ' = 2 y - 1 1 ,

Y(0) = 1

2. y'

=1 2 - t

+ 2y,

y(0) = 1

En los problemas 3 a 6, obtenga una fórmula para el error local por truncamientoen términos de t y de la solución exacta +(t), si se aplica el método de Euler. -

+ y2, y(0) = 1 JG, y(1) = 3

3. y' = t 2 5. y ' =

4. y' = 5t

-

3Jy,

6. y' = 2t

+

é r Y ,

y(0) = 2 y(0) = 1

7. Considere el problema con valor inicial y'= cos 5x4

y(0) = 1.

a) Determine la solución exactay = +(t) y trace una gráfica de y= +(t) para O 5 t 5 1. Use una escala para la ordenada de modo que 1/5x mida alrededor de 5 pulg. b) Determine valores aproximadosde +(t) en t = 0.2,0.4 y 0.6, aplicando el método de Euler conh = 0.2. Trace una gráfica con línea discontinua parala solución aproximaday compárela con la gráfica de la solución exacta. c) Repita el cálculo del incisob) para O 5 t 5 0.4, pero tome h = 0.1. d) Demuestre medianteel cálculo del error local por truncamiento que ningunode estos tamaños de paso es suficientemente pequeño. Determine el valor deh para asegurar que el error local por truncamiento sea menor que 0.05 en todo el intervalo O 5 t 5 1. Que se requiera un valor pequeño de h resulta del hecho de que más @"(t) es grande o, en términos generales, quela solución es considerablemente oscilatoria. *8. En este problema se analizael error global por truncamiento asociado con el método de Euler para el problema con valor inicial y' = f ( t , y), y(t,) = y,. Si se supone que las funciones f y f, son continuas enuna región R del plano que incluyeal punto (to,yo), es posible demostrar que existe una constante L tal que ' f ( t ,y) -f(t, 7 ) < L y - 7 , en donde (t,y) y (t,7 )son dos puntos cualquieraen R que tiene la misma coordenada t(ver el problema11de la sección 2.11). Además, se suponequef, es continua, de modo quela segunda derivada de la función @ es continua.

I

."""".-."~."

""-

442

Métodos numéricos

a) Aplique la ecuación (9) para demostrar que

en donde (Y = 1 + hL y p = máx #'(t)/2 sobre to 5 t 5 t,. b) Si se acepta sin demostración que siE, = O y si E, satisface l a ecuación (i), entonces en^ 5 /%'((Y"- l ) / ( a - 1)para (Y # 1, demuestre que (ii) L d mlación (ii) dauna cota para 'En en términos de h, L, n y p. Observe que para h fijo, esta cota del erroraumenta con la n creciente; es decir, la cota de error aumenta con la distancia al punto de partida to. c) Demuestre que (1 t hL)" 5 enhL, de donde que enhL -

1

Bh

lE"I 5 e'l""O'L

< -

-

L

1

Bh.

r=

Para un punto fijo to + nh (es decir, nh es constante y h = (T- to)/n)esta cota del error es de la forma constante multiplicada por h y tiende a cero cuandoh - 0 también observe que para nhL = 6- fo>4 pequeño el segundo miembro de la ecuación anterior es aproximadamente n h 2 P = (t- to)ph, lo que seobtuvo en la ecuación (11) con un argumento intuitivo. 9. Método de extrapoiación de Richardson. Sea y = # ( t ) la solución del problema con valor inicial y' = f(t, y), y([,) = y,. Según se analizó enel texro (ver también el inciso c) del proklema (8)), al aplicar el método de Euler para ir desde to hasta un punto fijo=: to t nh, el error global por truncamiento está acotado por una constante multiplicada por h. Con mayor precisión, esposible demostrar que #(?) =y,@) t Ch t M@),en dondeC es una constante que depende de la ecuación diferencial y de la longitud del intervalo,pero no de h y M(h) es una función proporcional a h2. La dependencia de y , con respecto a h se indica al escribir y,(h). El error esCh t M@). Suponga ahora que el cáiculo se repite usando un tamaño de paso igual a h/2. Como ahora se requiere 2n pasos para llegar a 7, se tiene +(y) = y,,,(h/2) + Chi2 + M(h/2).Al despejar C de la primera ecuación y sustituirla en la segunda ecuación, demuestre que

m = Y,"(h/2) + [Y,,(h/2)

- Yn(41,

(1)

en donde se han despreciado los términos proporcionales a h2. Por tanio, esta nueva aproximación para +(t)tiene un error proporcional a h 2 , en comparación con un error proporcional a h para un cálculo simple con el método de Euler. También es posible aplicar l a ecuación (i) para estimar el error asociado conun tamaño de paso dehi2, es decir, -

YZ"(hi'2)

= J'z,(hP) - Y A W .

(ii)

8.2

443

Errores en los procedimientos numéricos

Este procedimiento para calcular una aproximación mejorada para +(?) en términos de y,(h) y de y2,(h/2) se llama aproximación diferida de Richardson hacia el límite O método deextrapolación de Richardson. L. F. Richardson lo aplicó por primera vez en 1927. 10. Con aplicación de la técnica analizada en el problema 9, determine nuevas estimaciones del valor dela solución exactay = +(t) en t = 0.2, al haceruso de los resultados para h = 0.2 y h = 0.1 con el método de Euler, para cada uno de los siguientesproblemas con valor inicial. Cuando sea posible, compare los resultados con losvalores de la solucih exacta en t = 0.2. a) y' = 2y, y(0) = 1 b) y' = 2y - 1, y(0) = 1 C) y' = 5 - t t 2y, y(0) = 1 d) y' = t 2 t y2,y(0) =1 11. Se dice queun método numérico tiene exactitud der-ésimo orden si el error en?= to t nh es proporcional a h'; o, con más precisión, si +(Y) = ~ , ~ (+h Ch' ) t M(h), en donde la constante C depende de la ecuación diferencial y detpero esindependiente de h, y M@) es proporcional a h' *. Por tanto, el método de Euler tiene una exactitud de primer orden. Siguiendo el procedimiento del problema 9, demuestre que una estimación mejorada de +(?) queda dada por +(t)= y2,(h/2) + [y2,(h/2) -~,@)]/(2~- 1). 12. Considere el problema ejemploy' = 1- t t 4y, y(0) = 1. Con aplicación del método de extrapolación deRichardson (problema 9) y si se utilizan los valores aproximados de +(1) para h = 0.1, 0.05 y 0.025 dados en PI ejemplo 8.1.1,obtenga nuevas de +(1) para a) h = 0.1 y h = 0.05 b) h = 0.05 y h = 0.025 Comparar los resultadoscon el valor de la solución exacta. 13. Use un tamaño de paso h = 0.05 y el método de Euler, pero sólo conserve tres dígitos en todos los cálculos,para determinar valores aproximados de la solución en t = 0.05,0.1, 0.15 y 0.2 para cada uno de los siguientesproblemas con valor inicial a) y' = 2y - 1, y(0) = 1 b) y' = - t t 2y, y(0) = 1 =1 c) y' = t 2 + y2,y(0) Compare los resultados con losobtenidos en la sección anterior. Las pequeñas diferencias entre algunos de aquellos resultados redondeados hasta tres dígitos y los de este problema de deben al error por redondeo; éste sería importante si el cálculo muchos pasos. 14. El siguiente problema ilustra un peligro que se presenta debido al error por redondeo cuando se restan números casi igualesy la diferencia se multiplicapor un número grande. Evalúe la cantidad +

'Ooo

'

r2.004 o10

18.04 6.004

como sigue. a) Primero redondee cada elemento del determinante a dos dígitos. b) Primero redondee cada elemento del determinante a tres dígitos. c) Retenga los cuatro dígitos. Compare el valor exacto con los resultados de a)y b). 15. En general la ley distributiva a(b - c) = ab - ac no se cumple si los productos se redondean hasta un número más pequeño de dígitos. Para demostrar esto enun caso específico, tome a = 0.22, b = 3.19 y c = 2.17. Después de cada multiplicación redondee el último dígito.

444

Métodos numéricos

Se ha visto que el método de Euler no es suficientemente exacto para ser un procedimiento eficaz para resolver problemas,de modo queresulta conveniente desarrollar métodosmás eficientes. Considérese e! problema con valor inicial Y' = f(t? Y(tdY)>

= y,,

(1)

y considérese que y = +(t) denota su solución. Recuérdese por 12 ecuación (10) de la sección 8.1 que al integrar la ecuación diferencial dada desde t,, hasta t, t se obtiene d o n + 1)

=

d(L) + J;+ ' f[t, d(t)l dt.

(2)

Se obtiene la fórmula de Euler Y,+l = Y ,

+

Y,)

(3)

al sustituir f [ t , +(t)] en la ecuación (2) por su valor aproximado f(t,l, y,J en el extremo izquierdo del intervalo de integracibn. Es posible obtener una fórmula aproximada mejor si el integrando de (2) se aproxima con más exactitud. Una manera de hacerlo es sustituir el integrando por el promedio SUS de valoresen los dospuntosextremos;asaber, {f[t,, 4(t,,)]t f [t,, +(t,, 1)]}/2. Esto equivale a aproximar el área bajo la curva dela figura 8.3.1entre t = t,, y t = t,, por el área del trapecio sombreado. Además, +(t,) y +(t,, se sustituyen por sus valores respectivos aproximados y , y y , . De esta manera se obtiene, de la ecuación(2),

,

En virtud de que la incógnitay , aparece como uno delos argumentos def en el segundo miembro de (4), a menudo es bastante difícil despejar yn de estaecuación. Se puede +

FIGURA 8.3.1 Deducción del método mejorado de Euler.

el

8.3

Meioras en

445

método de Euler

superar esta dificultad al sustituir y , en el segundo miembro por el valor obtenido al aplicar la fórmula de Euler(3). Por tanto, +

en donde t,, se ha sustituido por t,, + h. La ecuación (5) da una fórmula para calculary,, 1, el valor aproximado de4(tn 1), en términos de los datos ent,,. Esta fórmula se conoce comofórmula mejorada de Eulero fórmula de Heun. La ecuación ( 5 ) representa una mejora con respecto a la fórmula de Euler (3) por el hecho de que el error local por truncamiento al usar la ecuación (5) es proporcional a h3, mientras que para el método de Euler es proporcional a h2. Este error estimado para la fórmula mejorada de Euler se establece en el problema 15. También es posible demostrar que, para un intervalo finito, el error global por truncamiento para la fórmula mejorada de Euler está acotado por una constante multiplicada por h2. Nótese que se logra mayor exactitud a expensas de más trabajo de cálculo, ya que ahora es necesario evaluarf(t, y) dos veces para ir det,, a t,, l. Si f(t, y ) sólo depende de t y no de y , entonces resolver la ecuación diferencialy' = f ( t , y ) se reduce a integrar f(t). En este caso la fórmula mejorada de Euler (5) queda +

+

+

+

L

que es precisamente la regla del trapecio para la integración numérica.

Ejemplo 1

Aplicar la fórmula mejorada de Euler(5) para calcular valores aproximados dela solución del problema con valorinicial y' = 1 - t + 4y,

y(0) = 1.

(7)

Para este problema, f ( t , y) = 1 - t + 4y; de donde, y:, = 1 - t,

+ 4yn

Y f(L"

+ h, y , + hyb) = 1

-

(t.

+ h ) + 4(y, + hyb).

Además, to = O, y o = 1 y y ; = 1 - to + 4y0 = 5. Si h = 0.1, f(to

+ h, .Yo + hyb) = 1

-

0.1

+ 4[1 + (0.1)(5)]

Entonces, por la ecuación (51, y, = 1

...

.. .. .

+ (0.5)(5 + 6.9)(0.1) = 1.595.

= 6.9.

Métodos numéricos

446 En el segundo paso es necesario calcular

4 : ;= 1 - 0.1 + 4( 1.595) z= 7.28,

.f(t2,

y,

+ hy; = 1.595 + (0.1)(7.28)= 2.323,

y,

+ hy;)

=

1 - 0.2 + 4(2.323)= 10.092.

Entonces, por la ecuación ( 9 , y, =

1.595 + (0.5)(7.28+ 10.092)(0.1)= 2.4636.

(9)

En latabla 8.3.1 se danmás resultados para O 5 t 5 1, obtenidos al aplicar el método mejorado de Euler con h = 0.1 y h = 0.05. Para comparar los resultados del métodomejorado de Euler con los del método de Euler, nótese que aquél requiere dos evaluaciones d e f e n cada paso, mientras que éste requieresolamente una. Estoes importante porque típicamente la mayor parte del tiempo de cálculoen cada paso se dedica a la evaluación def, por lo cual el conteo de estas evaluaciones constituye una manera razonable de estimar el esfuerzo total de cálculo. Por tanto, para un tamaño dado depaso h, el método mejorado de Euler requiere el doble deevaluaciones de f que el de Euler. De manera alternativa, el método mejorado de Euler para el tamaño de paso h requiere elmismo número de evaluaciones defque el de Euler con tamaño de pasohi2. Al consultar las tablas 8.1.1 y 8.3.1 puede verse que el mCtodo mejorado de Euler con h = 0.1 da mejores resultados que el de Euler con h = 0.05; nótese que, en cada caso, intervienen veinte evaluaciones de f. Sin embargo, el método mejorado de Euler con h = 0.1 también es más exacto que el de Euler con h = 0.025 (cuarenta evaluaciones de f ) y es casi tan exacto como el de Euler con h = 0.01 (cien evaluaciones def). Por tanto, en comparación con el método de Euler, el mejorado de Euler es evidentemente más eficiente, produciendo resultados sustancialmente mejores con menor esfuerzo total de cálculo. Conh = 0.05 el método mejorado de Euler proporciona resultados que concuerdan bastante con la solución exacta; los erroresporcentuales en t = 0.5 y t = 1.0 son 1.15% y 2.376, respectivamente.

TABLA 8.3.1 Comparación de resultadosal aplicar los métodos de Euler y mejorado de Euler para el problema con valor inicial y' = 1 - t + 4y, y ( 0 ) = 1. Mejorado de Euler Euler t

O

o. 1 0.2 3.43335600.3 5.01853260.4 8.7120041 8.6117498 8.3697252 7.9264062 7.29018700.5

o.6

h = 0.05 1.ooooooo

1.ooooooo

1.5475000 2.3249000

1.5761188 2.4080117 3.6143837 5.3690304

10.550369

15.234032 0.7 21.967506 0.8

o.9

1.0

h = 0.025

31.652708 45.588400

11.659058 17.112430 25.085110 36.746308 53.807866

h = 0.1

1.ooooooo 1.5950000 2.4636000 3.7371280 5.6099494

12.442193 18.457446 27.348020 40.494070 59.938223

h = 0.05

Exacta

1.ooooooo

1.ooooooo

1.6049750 2.4932098 3.8030484 5.7404023

1.6090418 2.5053299 3.8301388 5.7942260

12.873253 19.203865 28.614138 42.608178 63.424698

13.052522 19.515518 29.144880 43.497903 64.897803

8.3

447

Mejoras en el método de Euler

Es fácil modificar un programa de computadora para el método de Euler con el fin de poner en práctica, en vezde éste, el mejorado Euler. de Todo io que se requiere es reemplazar el paso 6 del algoritmo de la sección 8.1 por el siguiente: Paso 6.

kl k2

=f(t, = ,f(t

+

y)

+ h, y + h * k l )

y = y ( h / 2 )* ( k l t=t+h

+ k2)

Una manera alternativade mejorar la fórmula de Eulerse basa enel desarrollo de Taylor de la solución del problema con valor inicial (1). Al retener los dos primeros terminos del desarrollo de alrededor de t = t,, se obtiene la fórmula de Euler, de modo que al conservar más términos debe obtenerse una fórmula más exacta. Si se supone que las segundas derivadas parciales de f son continuas, de modo que tiene por lo menos tres derivadas continuas en el intervalode interés, es posible escribir

+

+

<

en donde es algún punto del intervalo t,, < Por la ecuación (1) se tiene

< < t,, + h.

4’(ln) = f [ t n > +(tn)l.

(1 1)

Además, al derivar la ecuación (1) e igualar t a t,, se encuentra que

4”(tn)

= f,[tn,

+(tn)l

+ fy[tn>

4(ln)]#’(tn).

(12)

Se obtiene la fórmula de Taylor con tres términos al sustituir +(t,,) por su valor aproximado y, en las fórmulas para+’(l y,+”(t,,) ,) y si se desprecia después el término+”’( 1038 > 1038

460

Métodos numéricos

en donde y =

es la soluciónde y‘ = 1

+ ey,

y(0) = O.

(iii)

y y = 4,(t) es la solución de y‘ = ey, y(0) = O. (iV) b) Determine #,(t) y 4,(t).Luego demuestre que# ( t ) -+ OS para algunat entre t = 1n 2 = 0.69315 y t = l . c) Resuelva las ecuaciones diferencialesy’ = ey y y’ = 1 + e y , respectivamente, con la condición inicial y(0.9) = 3.4298. Use los resultados para demostrar que # ( t ) m cuando t LZ 0.932. En los problemas 3 y 4, a) Encuentre una fórmula para la solución del problema con valorinicial y observe que es independiente de L. b) Aplique el método de Runge-Kutta con h = 0.01 para calcular valores aproximados dela solución para O 5 t 5 1, para diversos valores de1como A = 1, 10,20 y 50. c) Explique las diferencias, en caso de haber, entre la solución exacta y las aproximaciones numéricas. -+

3. y’ - Ay

= 1-

I

id,

4. y’ - i y = 2t

y(0) = O

-

A-P,

y(0) = o

.

En secciones anteriores se analizaron procedimientos numéricos para resolver el problema con valor inicial

Y’= f(4Y)>

(1)

Y(td =YO>

en el cual los datos en el punto t = t, se utilizan para calcular un valor aproximqdo de la solución +(f, en el siguiente punto de la malla r = t, En otras palabras, el valor calculado de en cualquier punto de la malla depende sólo delos datos del punto precedente en la malla. Estos métodos se llaman métodos de un paso o de arranque. Sin embargo, una vez que se obtienen valores aproximados de la solución y = +(t) en algunos puntos más allá de to, es natural preguntarse si es posible utilizar parte de esta información, en vez de sólo el valor en el último punto, para calcular el valor de en el siguiente punto. Especificamente, si se conocen y , en t , , t, en tz, . . . , y, en t,, ¿cómo se puede usar esta información para determinary,, en f,, ,?Los métodos en los que se utiliza información de más que el último punto de la malla se llaman métodos de pasos múltiples. Uno de los mejores métodos de pasos múltiples es el predictor-corrector de AdamsMoulton*, en el que se utilizala información en los cuatro puntos precedentes dela malla,

+ +

,)

+

,.

+

+

,

+

*John Couch Adams (1819-1892), astrónomo inglés, es mis famoso por ser el codescubridor -con Joseph Leverrier- del planeta Neptuno, en 1846.Adams fue también bastante hábil en los cálculos; su procedimiento para la integración numérica de ecuaciones diferenciales apareció en 1883 en un libro escrito con Francis Bashforth sobre acción capilar. Forest Ray Moulton (1872-1952) fue astrónomo y administrador de programas cientificos estadounidenses. AI efectuar cálculos de trayectorias balísticas durante la Primera Guerra Mundial, ideó mejoras sustancialesen l a formula de Adams.

de

8.6

Un método

461

pasos múltiples

,

t,,, t,- 1, t, - y t,- 3 7 para calcularun valor de 4 en el siguiente puntode la malla f,, Antes de poder usar este método, es necesario calculary ,y,,y y, con algún método de arranque, como el de Runge-Kutta; por supuesto, el método de arranque debe tener una exactitud comparable a la del método de pasos múltiples que va se a aplicar después.En esta sección se analiza brevemente el desarrollo del método de Adams-Moulton. Supóngase que se integra+’(t) desde t,, hasta tn 1; entonces +

+

Si se supone que se conocen 4(tn-,),+(tn -,), 4(tn-,) y 4(tn),entonces pueden calcularse &(tn-3)7. . . , $(t,) a partir de la ecuación (1).En seguida se aproxima4’(t)por un polinomio de grado tres que pase por los cuatro puntos [t, - 3, @(fn - 3)], [t,- 2, cb’(t, - ,)I, [t, @(tn - ,)] y [t,, @(t,)]. Es posible demostrar que siempre se puede hacer y,esto además, que el polinomio esÚnico. Este polinomio se conoce como polinomio de interpolación,porque proporcionauna fórmula aproximada para$(t) en valoresde t diferentes det, - 3 , t, - 2, t,- y t,. Si se sustituye 4’(t) por este polinomio de interpolación en la ecuación (29, se evalúa la integral y se reemplazan +(tn-3), . . . , 4(tn 1) por sus valores aproximados, da la fórmula de pasos múltiples

,,

,

+

y,+l = y,,

+ (h/24)(55yi

-

59yi-l

+ 37Yi-z

-

(3)

9yh-3).

Esta fórmula se conoce como fórmula predictora de Adams-Bashforth; predice el valor aproximado y, de +(t) en f, Su error local por truncamiento es proporcional ha 5 . Los detalles que se omitieron en la deducción de la ecuación(3) son la determinación del polinomio de grado tres que pasa los porpuntos (t, - 3, y: - 3 ) , (t, - 2, y: - 2), (f,, y: - 1) y (t,, y:), y la integración de este polinomio desde t, hasta f,, ,. El método de construcción de polinomios de interpolación se remonta hasta Newton y se analiza en libros sobre métodos numéricos; ver, por ejemplo, la obra de Henrici (capítulo 5) o la de Contey deBoor (capítulo 4). Lo importante aquí noson estos detalles algebraicos, sino el principio subyacente en los métodos de pasos múltiples. +

+

,.

+

1.

Se ajusta un polinomio de grado p a los p t 1 puntos (tn-p,

2.

yi-p), . . . 9 ( t n , Y;).

,,

Este polinomio de interpolación se integra sobre un intervalo en t que termina enIn+ con lo que se obtiene una ecuación para y , *. +

Nótese también que al integrar el mismo polinomio sobre intervalos diferentes pueden obtener fórmulas diferentes. Si el polinomio usado para obtener la ecuación (3) seintegra desde fn-3 hasta t, 1, se obtiene la fórmula de Milne(1890-1971): +

Yn

+ 1 = Y,

-

3

+ (4h/3)(2.~; YA -

-

1

+ YA

-

(4)

2).

Esta fórmula también tieneun error local por truncamiento proporcional ah5. El método predictor-corrector de Adams-Moulton comprende, ademásla de (3), una fórmula correctora para mejorar el valor de y, predicho por la ecuación (3). La fórmula correctora se deduce alintegrar $’(t) desde t, hasta t, si se usa un polinomio de interpelación que Pase Por10s puntos [t, -29 4’0, - ,)I’ [t,- 1’ 4’@,- ,>I> it,? 4’(t,>ly [t, + 1’ 4’(fn ,)l. En el cálculo real, se usan los valores aproximados-2ry:y: - y: y y: de +’(t) +

+

+

+

,

462

Métodos numéricos

en t,, -2, t,, t,, y t,, 1, y se evalúa y: =f(t, 1, y, usando el valor de y,, por la ecuación ( 3 ) . La fórmula correctora de Adams-Moulton es +

Y,, + 1

=

Y,,

I

+

+ (h/24)(9~; + 19~(, +1

-

5$,

-I

+ J(,

-

determinado

J.

(5)

Esta fórmula también tieneun error local por truncamiento proporcional a h5. Sin embargo, la constante de proporcionalidad en l a cota del error para l a fórmula correctora(5) es aproxi-

madamentede la constantedeproporcionalidaden la cotadelerrorparalafórmula predictora (3). Unave~queseconocenyn-3,~n-2,~n_2~y,,,esposiblecalcular~~_3,~~-2,~~-3 y luego usar l a fórmula predictora (3) para obtener un primer valor parayn Entonces se calcula y', y se usa la fórmula correctora(5) para obtener un valor mejorado de y,, Por supuesto, es posible seguir usandol a fórmula correctora (5) si el cambio eny, es demasiado grande. Sin embargo, como regla general, si es necesario utilizar la fórmula coraectora más de una o dos veces, es posible esperar que el tamaño del paso, h, sea demasiado grande y deba hacerse más pequeño. Nótese también que la ecuación(5) sirve como verificación de l a aritmética (programación) en la determinación de y,, a partir de la ecuación (3); cualquier diferencia sustancial entre los valores de y,, de (3) y de (5) indicaría una posibilidad definida de un error aritmético. En resumen, primero se calcula y,, y, y y , mediante una fórmula de arranque con un error local por truncamiento no mayor que h5. Luego se pasa a l a fórmula predictoría (3) para calcular y,, 1, n 2 3, y a l a fórmula correctora (5) para corregir y,, S e sigue corrigiendo y,, hasta que el cambio relativo sea menor que un error permisible prescrito. En las obras de Contay deBoor (capítulo 6) y se Henrici (capítulo5) se puede hallar un análisis más detallado del método predictor-corrector de Adams-Moulton y otros métodos de pasos múltiples. +

+

+

+

+

Ejemplo 1

Aplicar el método predictor-correctorde Adams-Moulton, conh = 0.1 para determinar un valor aproximado de l a solución exacta de y = 4(t)en t = 0.4 para el problema con valorinicial y' = 1

-

t

+ 4y,

y(0) = 1.

(6)

Como datosde arranque seusa yI, y, y y 3 determinados conel método de Runge-Kuttay que se dan en la tabla 8.4.1. Entoncessi se aplica l a ecuación (6), se obtiene )'o =

1

yb = 5

y1 =

1.6089333

y;

=

7.3357332

vz

=

2.5050062

y; =

10.820025

y3 =

3.8294145

y \ = 16.017658.

Por la ecuación (3) se encuentra que el valor predicho dey , es y4 =

3.8294145 +

0.1(469.011853) = 5.783631. 24

A continuación, se aplica la fórmula correctora (5) para corregir y,. Con correspondencia al valor predichode Y,, a partir de laecuación (6), se encuentra quey: = 23.734524. Entonces,Por la ecuación (S), el valor corregido dey, es

8.6

463

Un método de pasos múltiples y, = 3.8294145

= 5.792673. + 0.1(471.181828) 24

El valor exacto, correcto hasta ocho dígitos, es 5.7942260. Nótese que el aplicar una vez la fórmula de corrección, el error en y, se reduce aproximadamente a la séptima parte del error anterior a su aplicación.

Una pregunta que resulta natural hacersees por qué usar un método predictor-corrector con un error local por truncamiento proporcional h5, a si el método de Runge-Kutta tiene un error del mismo orden de magnitud. Una razón es que, para muchos problemas, la parte del cálculo que consume más tiempo y, por lo tanto más costosa, es la evaluación de la función f(t, y ) en pasos sucesivos. En el método de Runge-Kutta, para avanzar un paso se requieren cuatro evaluacionesde& Por otra parte, para el método predictor-corrector(3) y (5), la predictora sólo requierela eva!uación de f(t, y ) en cada t, y el uso de la correctora requiere una evaluación adicional f(t, de y ) en t, 1, por cada iteración efectuada.Por tanto, el número de evaluaciones de la función puede reducirse de manera notable. Este ahorro puede ser muy importante al escribir un programa general para resolver problemas con valor inicial. +

Estabilidad. Al principio de este capítulo se mencionó que cuando se aplican métodos de pasos múltiples pueden surgir dificultades numéricas. Se ilustrará lo que puede ocurrir mediante la consideración del problema con valor inicial y'

+ 2y = o,

y(0) = 1,

(7)

y el método de pasos múltiples Yn+1

= Yn-1

+ 2hYb.

(8)

El método de pasos múltiples(8) se deduce en los problemas 13 y 14; su error local por truncamiento es proporcional ah3. Para referencias posteriores, se observa que la solución exacta del problema con valor inicial (7) es y = é " l . Para este problema,y ; = -2y, por lo que la ecuación (8) queda Yfl+l

+ 4hYfl-

Yn-1

= 0.

(9)

La ecuación (9) es una ecuación lineal en diferencia de segundo orden, que es posible resolver explícitamente si se sigue una teoría semejante ala de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Se busca una solución de(9) de la forma y , = A", en donde A tiene que determinarse. Se tiene

o bien, 2-l6I2

+ 4hA - 1) = o.

Las soluciones diferentes de cero dela ecuación (10) son

E.,

=

-2h

+

y

3., = - (2h

+ ,/m). ... -

... . . ._

464

Métodos numéricos L a s soluciones correspondientes de la ecuación (9) son

Por analogía con la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, es razonable esperar (y es posible demostrar) que la solución general de la ecuación en diferencias (9) sea

en donde c, y c2 son constantes arbitrarias. i o importante es quela ecuación en diferencias (9) tiene dos soluciones,A y y A i , mientras que la ecuación diferencial original solamente tiene la solución e-*'; lo cual puede provocar dificultades. A continuación se demostrará que cuando -+ h O una de las soluciones de la ecuaciónen diferencias tiende ala solución verdaderae-2r de la ecuación diferencial, pero quela otra oscila entre f e 2 ' . Sea Tun valor fijo pero arbitrario det, y supóngase que h decrece y n crece de tal forma que nh = T. Entonces, para h pequeñoy n grande, i) (1 + 4 h ? ) ' ~se' ~ aproxima por 1 + 2h2, ii) i l l se aproxima por 1 - 2h y i 1 2 se aproxima por-1 2h y iii) se aplica el hecho de que (1 + aln)" -+ e a cuando IZ -+ w . Por tanto, se tiene

Un cálculo semejante muestra que (-

-+

eZT cuando n

-+

XI.

Entonces, para h pequeno y n grande se puede escribir 4'n -

c1e-2T

+ c2(-

En virtud de que T es arbitrario, el primer término de la ecuación (16) da correctamentela solución general cle-2fde la ecuación diferencial original(7). El segundo término esuna solución extraña que surge del procedimiento numérico. AI aplicar la fórmula de pasos múltiples(8) o (9) es necesario conocer, además del valor inicial y , = 1 en to = O, el valor dey1en t , = h . En teoría, si se usan los valore? correctos de yo y y , , las constantes cI y c2de la (16) se determinarán como c1 = 1 y c2= O y no aparecería la solución extraña (-l)'lezt. Sin embargo, como se analizó enla sección anterior, siempre habrá pequeños errores y, como consecuencia, el términoc 2(-l)ne2' aparecerá en la solución de la ecuación (9). Aun cuando cl puede ser muy pequeña, correspondiendo al error muy pequeño en el cálculo, el término c2(- ])"e2' dominará pronto toda la solución al crecer t. Este hecho destaca en la gráfica de la figura 8.6.1 de la solución numérica del problema con valor inicial ( 7 ) , aplicando el método de pasos múltiples(8) con h = 7/224 = 0.03. Resulta evidente que la solución extraña (-l)ne2f domina más allá det = 3. Este fenómeno se conoce como inestabilidad numérica. En términos generales,un procedimiento numérico es inestable silos errores introducidos en los cálculos crecen con rapidez exponencial a medida que se avanza en los cálculos. Aunque dar una explicación detallada acerca dela estabilidad de los métodos numéricos rebasael alcance de este libro, es posible hacer varias observaciones.La cuestión de la estabilidad (o inestabilidad) de un método de pasos múltiplesno sólo depende del método, también de la ecuación diferencial en particular; el método puede ser estable para un problema, pero no para otro. También, los métodos de pasos múltiples pueden ser estables para algunos valores de h, pero no para

8.6

Un método de pasos múltiples

465

1.o0 0.75

0.50 0.25

O -0.25 -0.50 -0.75 -1 .o0

FIGURA 8.6.1 Ejemplo de inestabilidad numérica:y' Yn + 2hYi.

+ 2y = O, y(0) = 1; y,,

+

=

todos los valores deh. Para evaluarla estabilidad de un métodode pasos múltiples cuando se aplica a un problema con valor inicial,es necesario examinar las soluciones de la ecuación en diferencias resultante. Se dice que el método es fuertemente estable si las soluciones extrañasAn de la ecuación en diferenciasson tales que IA 1 < 1 cuando h + O. Si este es el caso, entoncesA" -+ O cuando n 4 w para h suficientemente pequeño,y los errores en los cálculos no crecerán con el crecimiento n. deNótese que en el problema ejemplo que acaba de analizarse la solución extrañaA; tiene lA,i > 1. En general, no es posible aplicar este criterio al problema con valor inicial y' = f(t, y ) , y(to) = yo. Por lo común, al analizar la estabilidad de un método numérico se considera suficiente analizar la estabilidad lineal del método Les estable el procedimiento para la ecuación diferencial y' = A y , en donde A es una constante arbitraria? Es posible demostrar que el método predictor-corrector de Adams-Moulton es muy estable en el sentido de la estabilidad lineal, parah suficientemente pequeño.Ver los problemas 16 y 17 para un análisis más detallado de estas ideas.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 8, determine un valor aproximado dela solución en t = t o + 0.4 y to + 0.5 aplicando el método predictor-corrector de Adams-Moulton con h = 0.1. Use la fórmula correctorapara calcular un valor corregido en cada paso. Para y,, y, y y, use los valores dados por el método de Runge-Kutta; ver el inciso a) de los problemas I a 8 de la sección 8.4.

466

Métodos numéricos

2y - I , t 2-y-~2 , S. y' = J t y, y 2 2ty 7, y' = 1. y' 3. y'

=

=

+ + +

2. y' = 0.5 - t + 2y, ~ ( 0= ) 1 4. y' = 5t - 3&, y(0)= 2 6. y' = 2t + e - t y , y(0) = 1

y(0J = 1 y(0) = 1

~ ( 1= ) 3 y(1) = 2

3+t2 '

y(0)= - 1

8. y' = ( t 2 - y') sen y,

~" ~~~

En cada uno de los problemas 9 a 12, encuentre un valor aproximado de la solución del problema dado con valorinicial, en f = to + 1. a) Al aplicar el método de Adams-Moulton con h = 0.1. b) Al aplicar el método de Adams-Moulton con h = 0.05. Aplique la fórmula correctora para calcular un valor corregido en cada paso. Para obtener y,, y , y y3, use el método de Runge-Kutta con h = 0.1 y 0.05, respectivamente. Compare los resultados con los obtenidos mediante otros métodos.

9. y'

+

= 0.5 --~ r 2y,

I 1. y' = Jt

+ y,

"

10. y' = st 12. y' = 2t

y(0)= 1 y(1) = 3

,

-

3Ji,

+ eCtY,

y(0)= 2 y(0) = 1

-,

13. Dado que los valores de 4'(t) en t, - y t, son y; y y:, ajuste un polinomio de primer grado at+ b a $(t) de modo quepase por estos dos puntos.AI integrar @(I) desde t,hasta r, deduzca la fórmula de pasos múltiples +

y"

+

' = y"- + 2hl.i 1

Sugerencia: los cálculos no son difíciles si se hace t, = t, + h y f, - = t, - h. 14. Demuestre que lafórmula de pasos múltiples deducida en el problema 13 tiene un error local por truncamiento proporcional a h 3 . Observe que esta fórmulaes precisamente tan fácil de usar (una vez que seha calculado y l ) como la fórmula de Euler y , = y, + hyk, cuyo error localpor truncamiento es sólo proporcional a h z. Sin embargo, desafortunadamente, como se muestra en el texto esta fórmula de pasos múltiples es inestable. Sugerencia: evalúe +(fa k h) al desarrollar$(t) en una serie de Tayloralrededor de I = t,,. 15. Este problema está relacionado con la fórmula predictora-correctora de Milne. La fórmula predictora se dio en la fórmula (4) del texto. La fórmula correctora se deduce al evaluar l a integral de $'(f) desde t,, - hasta t, por la regla de Simpson.La fórmula es +

+

+

h 3

Y.+l=Yn-1+~(yb-1+4yb+yb+l).

Tanto la fórmula predictora como la correctora tienen errores locales por truncamiento proporcionales a h 5 . El método de Milne suele ser muy eficaz, pero la correctora puede ser inestable (verel problema 17).Por consiguiente, debe preferirse método el predictorcorrector de Adams-Moulton. En cada uno de los siguientes problemas, determine un valor aproximado de l a solución exacta en t = 0.4 aplicando el método predictor-corrector de Milne. Use la fórmula correctora para calcular una corrección. a) Problema 1 b) Problema 2 c) Problema 3 d) Problema 4. * 16. En este problema se demuestra que la fórmula correctora (5) de Adams-Moulton es estable para la ecuación diferencial lineal y' = Ay. a) Demuestre que la solución de la ecuación diferencial es y = ceA'. b) Demuestre que la ecuación en diferencias adecuada es

8.7

467

Sistemas de ecuaciones de primer orden

c) En seguida, demuestre que y , = An es una solución de la ecuación (i) si es una raíz de (1 - 9a)13 - (1

+ 19a)A' + 5aA - a = O.

(ii)

d) En el límite cuando h + O, lo cual implica que (Y O, demuestre que las raíces dela (ii) son A, = 1, A, = O, A, = O. e) Se examinará la raíz A, con más cuidado para h pequeño. Sea A, = 1 + sustituya en la ecuación (ii) y desprecie los términos proporcionales a h2 O superiores. Deduzca que A,, = A y demuestre que siy , = = (1 + Ah)" entonces y , -+ eA cuandQh + o, al usar t, = nh. Por tanto, la solución correspondiente aA, se aproxima a la solución verdadera de la ecuación diferencial. Para h pequeño se tiene iA ,I < 1 y < 1; por tanto, las soluciones extrañas correspondientes no crecerán. Como consecuencia, la fórmula correctora de Adams-Moultones muy estable. *17. En este problema se demuestra quela fórmula correctora de Milne que se da en el problema 15 es inestable para la ecuación diferencial linealy'=Ay. El análisis es paralelo al del problema 16. a) Demuestre que la solución de la ecuación diferenciales y = ceA b) Demuestre que la ecuación en diferencias adecuada es (1-a)~,,,--ay,-(1+a)~,-,=o

6)

en donde a = Aht3. c) En seguida, demuestreque y , = An es una solución de la ecuación (i) si A es una raízde (1 - a)Az - 4x2 - (1 + a) = O.

(ii)

d) En el límite h .+ O, lo que implica a + O, demuestre quelas raíces de la ecuación (ii) son A = 1 y A, = -1. Observe que :A = ;A, I = 1, y, de donde, para valores pequeños de h diferentes de cero una de las raíces puede tener valor absoluto mayor que uno. e) Resuelve la ecuacióncuadrática (ii) y demuestre que sih es pequeño, entoncesA = 1 +Ah y A = -(1 -Ah/3). Luego demuestre que cuandoh 4 O con t , = nh, la solución de la ecuación en diferencias (i) es

,

,

y , = cleAf"+ cz(- f)ne-Arn/3.

(iii)

El primer término de la ecuación (iii) se aproxima ala solución verdadera de la ecuación diferencial. El segundo término,la solución extraña correspondiente A,, a decae si A > O pero crece si A < O. Por tanto, es posible quela fórmula correctora de Milne sea inestable. Los métodos cuya estabilidad (inestabilidad) dependedel signo de A se dice que son débilmente estables. Finalmente, se observa que!A,!> 1 para A < O.

En las secciones anterioresse analizaron métodos numéricos para resolver problemas con valor inicial asociados con ecuaciones diferenciales de primer orden. Estos métodos también pueden aplicarsea un sistema de ecuaciones de primer ordeno a ecuaciones de orden superior. Una ecuación de orden superior como d2xldt2= f(f, x, a!xldt) se puede reducir al sistema de ecuaciones de primer orden dxldt = y , dyldt =f(t, x, y ) y esta transformación casi

468

Métodos numéricos

siempre se efectúa antes de la aplicación de los métodos numéricos. Por lo tanto basta considerar sólo sistemas de ecuaciones de primer orden. Por razones de simplicidad, la atención se restringirá a un sistema de dos ecuaciones de primer orden x' = f(t,x>Y ) ,

Y' = s(t, x, Y ) ,

con las condiciones iniciales X(l,)

= x02

(2)

Y @ o ) = Yo.

Se supone que las funciones f y g satisfacen las condiciones del teorema 7.1.1, de modo que el problema con valor inicial (I), ( 2 ) tiene una solución única en algún intervalo del eje f que contengaal punto to. Se desea determinar los valores aproximadosxl, x2,. . . ,x,, y y l , y, . . . ,y,, de la solución x = 4(t),y = ~ ( ten) los puntos r, = to + nh, con n = 1, 2, . . . . Los métodos de las secciones anteriores pueden generalizarse para manejar sistemas de dos (o más) ecuaciones. Por ejemplo, para el método de Euler se usan las condiciones iniciales para determinar $'(to) y @(to) y luego desplazarse alo largo de la recta tangente a la curva x = $(t), y = ~ ( t )Por . tanto, X I

= x0

+ W t o , xo, Yo),

4'1

=Y,

+ h&O,

-yo,

Yo).

En general, x,+

1

= x,,

+ hf(L x,

Y,,) = x,

Y,+

t

= Y,

+ hg(tn7 x,,

un)

+ hx:,

(3)

+

(4)

Y = Y"

De manera semejante, el método de Runge-Kutta puede extenderse a un sistema. Para el paso de ttl a ttl se tiene +

+ 2k,,, + 2k,3 + kn4) x,+ = y,! + (h,'6)([,, + 21,, + 2[,3 + lnd S,,

=

S, + (h/6)(kn,

(5)

1

en donde

Y

En el problema 9 se dan las fórmulas del método de Adams-Moulton según se aplica al problema con valor inicial (l),(2).

de 8.7

Sistemas

Ejemplo 1

469

ecuaciones de primer orden

Determinar valores aproximados de la solución x = +(t), y = y([)del problema con valorinicial x' = x

-

441,

y'

=

"x

+ y,

(8)

y(0) = o,

x(0) = 1,

(9)

en el puntot = 0.2. Aplíquese el método de Euler con h = 0.1 y el método de Runge-Kutta con h = 0.2. Compárense los resultados con los valores de la solución exacta

En primerlugar, aplíquese el método deEuler. Para este problema, x i = x,, - 4y, y y : = -x,,

+

y,,; de donde, xb=1-(4)(0)=1,

yb=-l+O=-l.

Entonces, por las fórmulas de Euler (3) y (4), se obtiene x, = 1

+ (0.1)(1)= 1.1,

y,

= o + (0.1)(-1)

-0.1.

=

En el siguiente paso, X;

=

1.1 -(4)(-0.1)=

1.5,

y',

=

-1.1 + ( - O . I ) =

-1.2.

Como consecuencia,

Los valores dela solución exacta, correctos hasta ocho dígitos, son 440.2) = 1.3204248 y ~ ( 0 . 2 ) = -0.25084701. Por tanto, los valores calculados apartir del método de Euler son erróneos en alrededor de 0.0704 y 0.0308, respectivamente,lo cual corresponde a errores porcentuales aproximados de 5.3% y 12.3%. A continuación, aplíqueseel método de Runge-Kutta para aproximar4(0.2) y ~ ( 0 . 2 )Con . h = 0.2 se obtienenlos siguientes valores apartir de las ecuaciones ( 6 ) y (7): kOl

= f(1,

O)

= 1,

ko,=f(l.l, -0.1)=1.5,

kO4

lo,

=

g(1, O)

=

-

1;

l o 2 = g ( l . l , - 0 . 1 ) ~ -1.2;

ko, =f(l.l5, -0.12) = 1.63,

I,, = g(1.15, -0.12) = -1.27;

zf(1.326, -0.254)

/o4 = ~(1.326,-0.254) =

=

2.342,

- 1.58.

Entonces, si se sustituyen estos valoresen la ecuación (5) se obtiene X1

1

0.2 +(9.602) = 1.3200667, 6

y, = 0

0.2 +(-7.52)

=

-0.25066667.

6

Estos alores de x1 y y1 son erróneos en alrededor de 0.000358 y 0.000180, respectivamente, c m errores porcentuales mucho menores queun décimo del uno por ciento. Una vez más,este ejemplo ilustra las grandes ganancias en exactitud que es posible obteneral aplicar un método de aproximación más exacto, comoel de Runge-Kutta. En los cálculos que acaban de describirse, el método de Runge-Kutta. En los cálculos que acaban de describirse, el método de Runge-Kutta requiere solamente el doble de evaluaciones de funciones que para el método de Euler, pero el error en el método de Runge-Kutta es alrededor de 200 veces menor que en el de Euler.

470

Métodos numéricos

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 6 determine valores aproximados de la solución x = +(t), y = w(t) del problema con valor inicial dado en t = 0.2, 0.4, 0.6,0.8 y 1.0. a) Al aplicar el método de Euler conh = 0.1. b) Al aplicar el método de Runge-Kuttacon h = 0.2. c) Al aplicar el método de Runge-Kutta conh = 0.1. Compare los resultados obtenidos por los diferentes métodos y los diferentes tamaños de paso. 1. x ‘ = x + y + t : y‘=4~-2y; x(O)=l, y(O)=O 2. x’ = 2x ty, y’ = xy; x(0) = 1, y(0) = 1 3. x‘ = - t x - y - 1, y’ = x ; x(0) = 1, y(0) = 1 4. x’ = x - y x y , y’ = 3x - 2 y - xy; x(0) = o, y(0) = 1 5. X’ = ~ ( -l 0 . 5 ~- 0.5~), y‘ = y( -0.25 0.5~); ~ ( 0=) 4, ~ ( 0= ) 1 6. x’ = exp( ”x y) - cos x, y’ = sen(x - 3y); x@) = 1, y(0) = 2

+

+

+

+

7. Considere el problema ejemplox’= x - 4y, y’ = “x + y con la condiciones inicialesx(0) = 1 y y(0) = O. Aplique el método de Runge-Kuttapara resolver este problema sobre el intervalo O 5 t 5 1. Empiece con h = 0.2 y, a continuaciónrepita el cálculo con tamaños de paso h = 0.1, 0.05, . . . , cada una igual a la mitad del tamaño del paso anterior. Continúe el proceso hasta que los cinco primeros dígitos de la solución en t = 1 no se alteren pard los tamaños sucesivos de paso. Determine si estos dígitos son exactos al compararlos con la solución exacta dadaen las ecuaciones (10) del texto. 8. Considere el problema con valor inicial x”

+ P X ‘ + 3x = t ,

x(0) = 1, x’(0) = 2.

Transforme este problema enun sistema de dos ecuacionesy determine valores aproximados de lasolución en t = 0.5 y t = 1.0al aplicar el método de Runge-Kutta con h = 0.1. 9. Considere el problema con valorinicial x’ = f ( t , x, y) y y’ = g(t, x, y) con x(to) =xoy y(to) = yo. La generalización del método predictor-corrector de Adams-Moulton de la sección 8.6 es

+ k h ( 5 5 4 , - 59&, + 37xb-, + &h(55yi, 59yb-, + 37y:,-,

x,+1

= X,

Yn+1

=y,

x,+,

=x,

-

- 9~:,-3), - 9.Y:,-,),

Y

+ &h(9x:,+, + 19x;

- 5Xb_,

+ x;-2),

~,+,=y,+~h(9y:,+,+19~:,-5~b-,+yb-,).

Determine un valor aproximado de la solución en t = 0.4 para el problemailustrativo con valor inicial x’ = x - 4y, y’ = ”x + y , con x(O) = l,y(O) = O. Considere h = 0.1. Corrija una vez el valor predicho. Paralos valores dexl, . . . ,y, use los valores de la solución exacta redondeados hasta seis dígitos: x1 = 1 . 1 2 8 8 3 ,=~1.32042, ~ x, = 1.60021,~, = -0.110527, y, = -0.250847 y y, = -0.429696.

Bibliografí

BIBLIoGRAFÍ.4

471 Existen muchos libros de diversos grados de complejidad que tratan sobre análisis en general, programación y la solución numéricade ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales. En el texto se mencionaron los siguientes libros: Conte, S. D.,y deBoor, Carl, Elementary Numerical Analysis; An Algorithmic Approach (3a. ed.) (New York; McGraw-Hill). Henrici, Peter, Discrete Variable Methodsin Ordinary Differential Equations (New York; Wiley, 1962). El libro de Henrici proporciona abundante información teórica sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias; sin embargo, es bastante avanzado. Dos libros más sobre métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinariasson: Gear, C. William, Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall ). Lambert, J. D., Computational Methods in Ordinary Differential Equations (New York; Wiley). Una exposición detalladade los métodos predictores-correctores de Adams-Moulton, incluyendo directrices prácticas para su ejecución, puede encontrarse en: Shampine, L.E y Gordon, M.K., Computer Solution of Ordinary Differential Equations: The Initial Value Problem (San Francisco: Freeman). Muchos libros sobre análisis numérico tienen capítulos acerca de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, en un nivel elemental: Burden, R. L., y Faires, J. D., NumericalAnalysis (4a. ed.) (Boston: Prindle, Weber and Schmidt). En un nivel más avanzado, consiltese: Rice, J. R., Numerical Methods, Software andAnalysis(New York; McGraw-Hill). Este último libro también incluyeun análisis de algunas de las subrutinas que existenen la International Mathematics and Statistics Library (IMSL).

Ecuaciones diferencialesno lineales y estabilidad

Existen muchas ecuaciones diferenciales,en especial lasno lineales, que no admitenla solución analítica de alguna manera razonablemente conveniente.Los métodos numéricos, como los que se analizaronen el capítulo anterior, proporcionan un medio para tratar estas ecuaciones. Otro enfoque, que se presenta en este capítulo, es de carácter geométrico y da una comprensión cualitativa del comportamiento de las soluciones, en vez de información cuantitativa detallada.

9.1 Plano fase: sistemas lineales En virtud de que muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse convenientemente mediante métodos analíticos, es importante considerar qué información cualitativa' es posible obtener acerca desus soluciones sin resolver en realidad las ecuaciones. Las cuestiones que se consideran en este capítulo están asociadas con la idea de estabilidad de una solución y los métodos que se emplean son básicamente geométricos. Tantoel concepto de estabilidad como la aplicación del análisis geométrico se introdujeron en la sección 2.6 para una ecuación simple de primer orden de la forma dyldt = f ( y ) . La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales fue creada por Henri Poincaré (1854-1912) en varias artículos importantes entre 1880 y 1886. Poincaré fue profesor en la Universidad de París y suele ser considerado coma el matemáticomás importante desu época. Realizó varios descubrimientos en diferentes áreas de las matemáticas incluyendoteoría de las funciones complejas, ecuaciones diferenciales parciales y mecánica celeste. En una serie de artículos que empezó a publicar en 1894 el inició empleo delos métodos modernos en topología. En ecuaciones diferenciales fue un pionero en el uso de las series asintóticas,uno de los instrumentos más poderosos de las matemáticas aplicadas contemporáneas. Entre otras cosas, utilizjlos desarrollos asintóticos para obtener soluciones alrededor de puntos singulares irregulares, extendiendo de esta manera el trabajo de Fuchs y Frobenius analizado en el capitulo 5.

474

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

En este capítulo se afinan estas ideas y se extiende el análisis a los sistemas de ecuaciones. Se empezará con una consideración del sistema más sencillo; a saber,un sistema lineal homólogo de segundo orden con coeficientes constantes. Este sistema tiene la forma dxjdt = AX,

(2)

en donde A es una matriz constante de 2 x 2 y x es un vector columna de 2 x 1. En las secciones 7.5 a 7.7 se resolvieron sistemas de este tipo. Recuérdese que si se buscan soluciones de la forma x = ijert,por sustitución de x en la ecuación (2) se encuentra que

(A

-

rI)& = O.

(3)

Por tanto r debeser un eigenvalor y un eigenvector correspondiente de la matriz de coeficientes A. Los eigenvalores son raíces dela ecuación polinomial det(A - rl) = O

(4)

los eigenvectores se determinan a partir de la ecuación (3) hasta unaconstante multiplicativa arbitraria. En la sección 2.6 se aprendió que los puntos en los que el segundo miembro dela ecuación (1) es cero tienen una importancia especial. Estos puntos se denominan puntos crítiCOS. De manera semejante, para el sistema (2) los puntos críticos son puntos en donde A x = O. Dado que también en estos puntos d xidt = O, corresponden a soluciones constantes o soluciones de equilibriode la ecuación diferencial (2). Se supondrá queA es no singular, o bien, que detA # O . Se concluye quex = O es el Gnico punto crítico del sistema(2). Recuérdese que una solución de la ecuación ( 2 ) es una función vectorial x = 4(t)que satisface la ecuación diferencial. Esta función puede concebirse como una representación paramétrica de una curva en el plano xIx2.A menudo es útil considerar esta curva como la trayectoria recorrida por una partícula en movimiento cuya velocidaddxldt queda especificada por la ecuación diferencial. El propio plano x,x2 se conoce comoplano fase y el conjunto de trayectorias se menciona comoretrato fase. Al analizar el sistema ( 2 ) es necesario considerar diferentes casos, dependiendo de la naturaleza de los eigenvaloresde A. Estos casos también se presentan en las secciones 7.5 a 7.7, en donde el interés principal era hallar una fórmula conveniente parala solución general. Ahora,la meta principal es caracterizarla ecuación diferencial según el patrón geométrico formado por sus trayectorias. En cada caso se analiza el comportamiento de las trayectorias en generaly se ilustra enun ejemplo. Es importante que el lector se familiarice con los tipos de comportamiento que tienen las trayectorias en cada caso,ya que éstas constituyen los principios básicos de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.

CASO 1

Eigenvalores reales y desiguales del mismo signo. La solución general de la ecuación (2) es x = c,qi)e'l'

+c

2 p p ,

(5)

en donderl y r2 son los dos positivosy los dos negativos. Supóngase en primer lugar rque I < rz < O y que los eigenvectores y ij@) son como se indica en la figura 9.1.la. Por la ecuación (5) se sigue quex -+ O cuando t -+ io, sin importar los valores dec1 y cz; en otras palabras, todas las soluciones tienden al punto crítico en el origen cuando t -+ co. Si la

9.1

475

Plano f i e : sistemas lineales

(4

(b)

FIGURA 9.1.1 Nodo impropio; rl < r2 < O. a) Plano fase. b) x1 contra t. solución parte de un punto inicial de la recta que pasa por & ( I ) , entonces c2 = O. Como consecuencia, la solución permanece sobre la recta que pasa por kc1), para toda t, y se aproxima al origen cuando t m. De manera semejante, si el punto inicial está sobre la recta que pasapor &(,), entonces la solución se aproximaal origen a lo largo de esa recta.En la situación general, esútil volver a escribirla ecuación (5) en la forma --f

x

= er2z[c1k(l)e(r~-r2)t

+ c,k'2'].

(6)

En tanto que c2 # O, el término cl&(l) exp[(rl- r,)t] es despreciable en comparación con c2&('),para t suficientemente grande. Por tanto, cuando t "+ co, la trayectoria no sólo se aproxima al origen,tambiéntiendehacia la rectaquepasaporDedonde,todaslas soluciones se aproximan al punto crítico tangente a &(,), excepto aquellas que se inician exactamente sobrela recta que pasa por&(l). En la figura 9 . 1 . 1 ~ smuestran e varias trayectorias. En la figura 9.1.lb se presentan algunas gráficas típicas x1 de contra 1, que ilustran que todas las soluciones exhiben un decaimiento exponencial en el tiempo. El comportamiento dex, contrat es semejante. Este tipo de punto crítico senodo, llamao algunas veces nodo impropio, para distinguirlo de otro tipo de nodo que se menciona después. Si tanto r I como r2 son positivosy O < rl < r,, entonces las trayectorias tienen el mismo patrón que el de la figura 9.1.la, perola dirección de movimiento se aleja del punto crítico en el origen, en vez de acercarse a En éste. este casox1y x2crecen exponencialmente coma funciones de t. Un ejemplo deun nodo impropio se tieneen el ejemplo 2 dela sección 7.5 y sus trayectorias se muestranen la figura 7.5.2.

CASO 2

Eigenvalores reales de signos opuestos. La solución general de la ecuación (2) es x = c,k(l)er1'

+

~,k(~)e*2',

(7) en donde rl > O y r2 < O. Supóngase que los eigenvectoresE(') y &(,) son como se muestra en la figura 9.1.2~. Si la solución1 parte deun punto inicial dela recta que pasa porg(I), se concluye que c2 = O. Como consecuencia, la solucZn permanece sobrela recta que pasa

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabiliiiad

476

(a)

(b)

FIGURA 9.1.2 Punto silla; r,> O, r2 < O. a) Plano fase. b) x1 contra t . por t(')para toda t y, como r1 > O, ~~x~~m cuando I -+ w. Si la solución parte deun punto inicial sobre la recta que pasa porE(*), entonces la situación es semejante, excepto que /x11 -+ m, cuando t -+ co porque r2 < O. Las soluciones que parten de otros puntos iniciales siguen trayectorias como las que se muestran en la figura 9 . 1 . 2 ~El . exponencial positivo es el término dominante en la ecuación (7), para t grande, de modo que al final todas estas soluciones tienden al infinito asintóticamentela arecta determinadapor el eigenvector correspondiente al eigenvalor positivorl. Las únicas soluciones que se aproximan al punto crítico en el origen son las que se inician precisamente sobre la recta determinadapor En la figura 9.1.26 se muestran algunas gráficas típicas dex, t.contra Para ciertas condiciones iniciales, la solución no cuenta con el término exponencial positivo, de modo x1 que O cuando t -+ co. Para todas las demás condiciones iniciales, el término exponencial positivo termina por dominary hace quex, se vuelvano acotada. El comportamiento dex2 es semejante. El origen se conoce comopunto silla en este caso. Un ejemplo específico de un punto silla se tiene en el ejemplo 1 de la sección 7.5, y SUS trayectorias son las que se muestranen la figura 7.5.1. "+

e(')

e('). -+

CASO 3

Eigenvalores iguales. Supóngase ahora que rl = r2 = r. Se considerará el caso en que los eigenvalores son negativos; si son positivos, las trayectorias son semejantes, pero se invierte la dirección del movimiento. Existen dos subcasos, dependiendo si eldeeigenvalor repetido tiene dos eigenvectores independienteso solamente uno. a) Dos eigenvectores independientes. La solución general de la ecuación (2) es

+

x = clc(l)erf c2%(2)er',

(8)

en donde g(') y &(2) son los eigenvectores independientes.La razón x2/xl es independiente de t, pero depecde de las componentes de ij(l) y g(2),así como de las constantes arbitrarias c1 y c2.Por tanto, todas las trayectorias se encuentran sobre una recta que pasapor el origen, como se muestra en la figura 9.1.3~. En la figura 9.1.36 se muestran gráficas típicasx,deo x2 contra t. El punto crítico se llamanodo propio.

lineales 9.1

477

Plano fase: sistemas

(4

(b)

FIGURA 9.1.3 Nodo propio, dos eigenvectores independientes;Y ] = r2 < O. Plano fase. b) x1 contra t.

b) Un eigenvector independiente. Como se muestra en la sección7.7, en este caso la solución general dela ecuación (2) es

x

+ c2(5terr+ qe'?,

= clSerr

(9)

en donde ( es el eigenvectory q es el eigenvector generalizado asociado con el eigenvalor repetido. Para tgrande,el término dominante en la ecuación (9) es c2(ter'.Por tanto, cuando t + W, todas las trayectorias se aproximanal origen tangentes a la recta que pasa por el eigenvector. Esto es cierto incluso si c2 = O, porque entonces la solución X = c l ( e r f se encuentra sobre esta recta. De manera semejante, t para negativa grande, el término c 2 ( t e r fes de nuevo el dominante,de modo que, cuando t + -so, cada trayectoria es asintótica a una recta paralela a5. La orientación de las trayectorias depende de las posiciones relativas de ( y q. En la figura 9 . 1 . 4 ~se muestra una situación posible. Para localizar las trayectorias resulta útil escribir la solución (9) en la forma

x = [@,S

+ c2q) + c 2 ~ t ] e r=r yer',

(10)

en donde y = (clg t c2q) t c2gt. Obsérvese que el vector y determina la dirección de x, mientras quela cantidad escalarert sólo afecta ala magnitud de x. Nótese también que para valores fijos dec1y c2,la expresión paray es una ecuación vectorial dela recta que pasa por el punto clg + c2q y es paralela a5. Para trazar la trayectoria correspondiente a una pareja dada de valores de c1 y c2, es posible proceder de la siguiente manera. En primer lugar trácese la recta dada por (cl( + c2q) + c2gt y nótese la dirección de la t creciente sobre esta recta. En la figura 9.1.4 a se muestran dos de esas rectas, una parac2 > O y la otra para c2 < O. A continuación, nótese que la trayectoria dada pasa por el punto clg t c2q cuando t = O. Además, a medida que t crece, la dirección del vectorx dado por la ecuación (10) sigue la dirección de la t creciente sobre la recta, perola magnitud de x decrece con rapidez y tiende a cero, debido al factor

478

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

I

+

creciente

e.

Y-

--"-l " I -

t creciente

I

FIGURA 9.1.4 Nodo impropio, un eigenvector independiente:r , = r2 < O. a) Plano fase. b)x, contra t. c) Plano fase. exponencial decrecientee'! Por último, cuandot decrece hacia-00, la dirección dex queda determinada por los puntos sobre la parte correspondiente de la recta y la magnitud de x tiende al infinito. De esta manera, se obtienen las trayectorias de trazo grueso de la figura 9.1.4 a. Para completar el diagrama también se trazaron algunas de las otras trayectorias con líneas más tenues. En la figura 9.1.4b se muestran gráficas típicas dex, contra t. La otra situación posiblese observa enla figura 9.1.4 c, en donde está invertida la orientación relativa de5 y q. Como se indica enla figura, esto da por resultado una inversión en la orientación de las trayectorias. Si rl = r2 > O, es posible trazar las trayectorias si se sigue el mismo procedimiento. En este caso, las trayectorias se recorren enla dirección hacia afuera y también se invierte la orientación de las trayectorias con respecto a las de 6 y q.

lineales 9.1

479

Plano fase: sistemas

Cuando un eigenvalor doble sólo tiene un eigenvector independiente, el punto crítico se conoce una vez más comonodo impropio.Un ejemplo específico de este caso es1de el la sección 7.7 y las trayectorias se muestran enla figura 7.7.1.

CASO 4

Eigenvalores complejos. Supóngase que los eigenvalores sonA +. ip, en donde A y y son reales, A # O y y > O. Es posible escribirla solución general en términos de los eigenvalores y los eigenvectores, como se indica enla sección 7.6. Sin embargo, aquí se procederá de manera diferente. L o s sistemas que tienen los eigenvaloresA +. ipse tipifican por

o, en forma escalar,

Se introducen las coordenadas polaresr, 8 definidas por r2 = x:

+ xf, tan

0 = x2/x,.

Al derivar estas ecuaciones se obtiene rr' = xlx;

+ x2x;,(sec2

O)@

= (xlx;

- .,.;)/x:.

(13)

Si se sustituyen las ecuaciones (12) la enprimera de las (13), se encuentra que r' = Ir,

y, de donde,

en donde c es una constante.De manera semejante, si se sustituyen las ecuaciones (12) en la segunda de las (13)y se aplica el hecho de quesec20 = r*/x?, se tiene (Y=- .'

De donde,

en donde Bo es el valor de8 cuando t = O. Las ecuaciones (15) y (17) son las ecuaciones paramétricas en coordenadas polares de las trayectorias del sistema (11).Como y > O, por la (17) se deduce que Odecrece cuando t crece, por lo que la dirección del movimiento sobre una trayectoria es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Cuando t + m, por la ecuación (15) se ve quer + O si A < O y r + w si A > O. Por tanto, las trayectorias son espirales que se aproximan o se alejan del origen, dependiendo del signo de A. Las dos posibilidades se muestran en la figura 9.1.5, junto con algunas gráficas típicas x1 decontra t. En este caso,el punto crítico se conoce comopunto espiral.

480

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

(4

(4

FIGURA 9.1.5 Punto espiral; rl = A + i p , r2 = A- ip. a) A < O, plano fase. b) A < O, x1 contra f . c) A > O, plano fase. d) h > O, x, contra t.

De maneramás general, es posible demostrar que para cualquier sistema con eigenvalores complejos A 2 i p , en donde A # O, las trayectorias siempre son espirales; dirigidas hacia dentro o hacia fuera, respectivamente, dependiendo de si h es negativa o positiva. Pueden ser alargadas o sesgadas con respecto a los ejes de coordenadas, y la dirección del movimiento puede ser en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Aunqueun análisis detallado es un poco difícil, es fácil obteneruna idea general de la orientación de las trayectorias directamente a partir de las ecuaciones diferenciales. Supóngase que

A 2 ip y considérese el punto(0,l) sobre el ejey positivo. tiene los eigenvalores complejos En este punto, por las ecuaciones (18) se concluyeque dxidt = b y dyldt = d. Dependiendo de los signos b dey d , es posible inferir la dirección del movimiento y la orientación aproximada de las trayectorias. Por ejemplo, si b y d son negativos, entonces las trayectorias

481

lineales 9.1 Plano fase: sistemas

FIGURA 9.1.6 Punto espiral; r = h f iy con A < O. cruzan el ejey positivo como sise dirigiesen hacia abajo y hacia el segundo cuadrante. Si también h < O, entonces las trayectorias deben ser espirales hacia adentro como la de la figura 9.1.6. En el ejemplo1 de la sección 7.6 se dio otro caso, cuyas trayectorias se muestran en la figura 9.6.1.

CASO 5

Eigenvalores imaginarios puros. En este caso, h = O y el sistema (11) se reduce a XI=

( ")x. O

-P

0

con eigenvalores kip. Si se aplica el mismo argumento que en el caso 4, se encuentra que

r'

= O,

6'

= -p

y, por consecuencia, r = c,

8 = -pt

+ Bo,

(211

en donde c y 0, son constantes. Por tanto, las trayectorias son circunferencias con centros en el origen que se recorren en el sentido del movimiento de los manecillas del reloj si y > O y en sentido contrario siy < O. Se realiza un circuito completo alrededor del origen en un intervalo de tiempode duración 2 x 1 por ~ lo que todas las soluciones son periódicas con periodo ~ X / , L El L punto crítico se llamacentro. En general, cuando los eigenvalores son imaginarios puros, es posible demostrar (ver el problema 19) que las trayectorias son elipses con centro en el origen. Una situación típica se muestra en la figura 9.1.7, en la que también se ilustran algunas gráficastípicas de x1 contra t. Al reflexionar en estos cinco casos y analizar las figuras correspondientes, es posible realizar varias observaciones. 1.

Después de mucho tiempo cada trayectoria individual exhibe sólo uno de tres tipos de comportamiento. De hecho, cuando t + m , cada trayectoria tiende al infinito, se aproxima

482 -~

Ecuaciones diferencialesno lineales y estabilidad

"_

x21

"

1

FIGURA 9.1.7 Centro rl = ip, r, = -iw a) Plano fase. b) x1 contra t.

2.

3.

al punto críticox = O o, de manera repetida, recorre una curva cerrada, correspondiente a una solución perihdica, que rodea al punto crítico. Considerado como un todo, el patrón de las trayectorias en cada caso es relativamente simple. Para ser más específicos, por cada punto (xo,y,) en el plano fase existe sólo una trayectoria; por tanto, las trayectorias no se cortan entre sí. No hay que malinterpretar las figuras,en lo que a veces parece que muchas trayectorias pasan por el punto crítico x = O. De hecho, la única solución que pasa por el origen es la solución de equilibrio x = O. Las otras soluciones que parecen pasar por el origen en realidadsólo se aproximan a este punto1-+ x o t -+ "cc. En cada caso, el conjunto de todas las trayectorias es tal que ocurre una de tres situaciones. a) Todas las trayectorias se aproximan al punto crítico x = O cuando t to. Este es el caso silos eigenvalores son reales y negativoso complejos con parte real negativa. b) Todas las trayectorias permanecen acotadas pero no se aproximan al origen cuando t -+OO. Este es el caso si los eigenvalores son imaginarios puros. c) Por lo menos una de las trayectorias(o quizá todas) tiende al infinito cuando t -+ m. Este es el caso, si por lo menos unode los eigenvalores es positivo o si los eigenvalores tienen parte real positiva. -+

Las situaciones descritas en a), b) y c) ilustran los conceptos de estabilidad asintótica, estabilidad e inestabilidad, respectivamente,o la solución de equilibrio x = O del sistema (2). Las definiciones precisas deestos términos se danen la sección 9.2, pero su significado básico debe quedar claro con base el enanálisis geométricode esta sección.En la tabla 9.1.1 se resume la información obtenida acerca del sistema (2). Ver también los problemas 20 y 21, y la figura 9.1.9 que acompaña a estos problemas. El análisis hecho en esta secciónsólo es válido paralos sistemas de segundo ordenx' = Ax cuyas soluciones se representan geométricamente como curvas en el plano fase. Es

483

9.1 Plano fase: sistemas lineales

TABLA 9.1.1 Propiedades de estabilidad de los sistemas lineales. det(A - '1) = O X ' =Ax det A # O

Estable

Eingenvalores punto de Tipo crítico Estabilidad Nodo rl > r2 >Inestable O impropio impropio Asintóticamente Nodo estable r, < r2 < O r2 < O < rI Punto silla Inestable rl = r2 > O Nodo propio o impropio Inestable rl = r2 < O Nodopropio o impropioAsintóticamenteestable r l , r2 = A -c iy Punto espiral A >o Inestable AX

-0.25

484 ~-

Ecuacioneslineales diferenciales no

y estabilidad

En cada uno de los problemas 13 a 16 determine el punto crítico x = xo; a continuación clasifique su tipo y examine su estabilidad al realizar la transformación x = xo + u.

17. La ecuaci6n del movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguamiento (ver la sección 3.8) es d2u du m,+c-+kku=O,

di

di

en donde m,c y k son positivos. Escriba esta ecuación de segundo orden como un sistema de dosecuaciones de primer orden para x = u , y = duidt. Demuestre que x = O, y = O es un punto crítico y analice la naturaleza y estabilidad de ese punto crítico como una función de los parámetros m,c y k. Se puede aplicar un análisis semejante a la ecuación del circuito eléctrico (verla sección 3.8) d21

L"+R dt'

dl 1 - + ~ - l = O . dt c

18. Considere el sistema x' = Ax y suponga que A tiene un eigenvalor igual a cero. a) Demuestre que x = O es un punto crítico, pero no aislado. b) Sean r , = O y r2 # O yy E(*) los eigenvectores correspondientes. Demuestre que las trayectorias son como se indica en la figura 9.1.8. ¿Cuál es la dirección del movimiento sobre las trayectorias? 19. En este problema se indica cómo demostrar que las trayectorias son elipses cuando los eigenvalores son imaginarios puros. Considere el sistema

a) Demuestre que loseigenvalores de la matriz de coeficientes son imaginarios puros si y sólo si a+d=0,

ad-hc>3.

(ii)

b) Pueden hallarse las trayectorias del sistema (i) al convertir las ecuaciones (i) en la ecuación (iii)

9.1 Plano fase: sistemas lineales

485

Aplique la primera de las ecuaciones (ii) para demostrar que (iii) es exacta. c) Integre la ecuación (iii) para demostrar que CX'

+ 2dxy - by2 = k ,

(iv)

en donde k es una constante. Use las ecuaciones (ii) para concluir que la gráfica de la ecuación (iv) siempre es una elipse. Sugerencia: ¿cuál es la discriminante de la forma cuadrática dada enla ecuación (iv)?

FIGURA 9.1.8 Punto critico no aislado; rI = O, r2 # O.

\

estable, Asint. espiral Inestable,

Asint. estable

nodo impropio

/

espiral

A=p*~4q O, b > O;

En cada uno de los problemas 5 a 8, determine los puntos críticos del sistema dado. 5. dxldt 6. dxldt

+

= X - XY, dyldt = y 2xy = X - X' - X Y , dyldt = +y - :y2 - t x y

l. dxldt = y,dy/dt = - (g/l) sen x - (c/ml)y; g, I, c, m > O 8. La ecuación de Van derPool: dxldt =y, dyldt = p(1 = x2)y-x,

p>O

9. Dado que x = 4(t),y = +(t) es una solución del sistema autónomo

drldt = F(x, y),

dy/dt = C ( x , y )

para CY < t < p, demuestre que x = @(I) = + ( t - S), y = Y ( t ) = +(t - S) es una solución para CY + S < t < p + s. 10. Demuestre por integración directaque aun cuando el segundo miembro del sistema dx

x

- "

dY= _

dt

dt

1

+ t'

Y 1+ t

depende det, las trayectorias seguidas porlas partículas emitidasen (x,,,~~),en el instante t = O, son las mismas sin importar el valor de s. LAqué se debe esto? Sugerencia: considere la ecuación (11) para este caso. 11. Considere el sistema k f d t = F(x, y, t), dyfdt

= C(x, y, t).

494

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

"

Demuestre que si las funciones F/(F2+ G2)lI2y G/(F2+ G2)'/*son independientes de t, entonces las soluciones correspondientes a las condiciones iniciales x(.) = x,, y(s) = y, dan las mismas trayectorias sinimportar al valor de s. Sugerencia: aplique la ecuación (11). 12. Demuestre que las trayectorias de la ecuación no lineal del péndulo no amortiguado d28/dt2+ (giosen 8 = O se expresan por (gil)(1- cos x ) + (y212) = c,

en dondex = 8 y = dB ldr. Sugerencia: demuestre que d%Idt2 = y(dy/dx). 13. Determine una ecuación para las trayectorias de d20/dt2+ 0 - a03 = O, en donde a es una constante. Haga x = 8 y doidt. 14. Demuestre que las trayectorias de

+

d2%/dtZ f(0)= O

se expresan por F(x) + ( y */2)= C, en donde F es una antiderivada d e h x = 8 y y = doidt. 15. Demuestre que para el sistema

h / d t = F(x,y), dyldt = C(X,y ) existe cuando más una trayectoria que pasa por un punto dado (xo, yo). Sugerencia: sean C, la trayectoria generada por la soluciónx= +,(t), y = +,(t) con +,(to) = x,, +&to) = y,, y C , la trayectoria generada por la solución x = +l(t), y = q l ( t ) , con +l(tJ = x, q l ( t ) = y,. Aplique el hecho de que el sistema es autónomo y también el teorema d e existencia y unicidad para demostrar que C , y C , son la misma. 16. Demuestre que si una trayectoria se inicia en un punto no crítico delsistema h / d t = F(x, y ) ,

dy/dt = C(X,y),

no puede llegar a un punto critico (xo, yo) en un intervalo de tiempo finito. Sugerencia: suponga Io contrario; es decir, suponga que la solución x = 4(t), y = (t) satisface 4(a) = x,, +(a) = y,. Luego aplique el hecho de que x = x,, y = y , es una solución del sistema dado, que satisface la condición inicial x = x,, y =yo,en t = a. 17. Si se supone quela trayectoria correspondiente a una solución x = +(t), Y = ( t ) , - < t < X , de un sistema autónomo es cerrada, demuestre que lasolución es periódica. Sugerencia: dado que la trayectoria es cerrada, existenpor lo menos un punt0 (xo, Yo)tal que +(to) = .xo, q(to) = y , y un número T > O tal que 4(to+ T ) = xo, +(to + T ) = Y,. Demuestre quex = @(t)= +(t + 7')y = Y ( t ) = +(t + T ) es una SOlUCiÓn y luego aplique el teorema de existencia y unicidad para demostrar que @(t) = ~ ty y(?) ) = V(t> para toda t.

+

+

9.3

495

Sistemas casi lineales

Sistemas casi lineales

9.3

En la sección 9.1 se dio una descripción informal de las propiedades de estabilidad dela solución de equilibriox = O del sistema lineal bidimensional X'

= AX.

(1)

En la tabla 9.1.1 se resumen los resultados. Recuérdese que se requirió que detA # O, de modo que x = O es el Único punto crítico del sistema (1). Ahora que se definieron con más precisión los conceptos de estabilidad asintótica, estabilidad e inestabilidad, es posible volver a plantear estos resultadosen el siguiente teorema.

Con base en este teorema o en la tabla 9.1.1 resulta evidente que los eigenvalores r l , r2de la matriz de coeficientes A determinan el tipo de punto crítico en x = O y sus características de estabilidad.Asu vez, los valoresde rl y r2 dependen de los coeficientes del sistema (1). Cuando un sistema de este tipo surge en algún campo de aplicación, los coeficientes suelen ser el resultado de las mediciones de ciertas cantidades físicas. Amenudo estas mediciones están sujetas a pequeñas incertidumbres, por lo que es de interés investigar si cambios (perturbaciones) pequeños en los coeficientes pueden afectar la estabilidad o inestabilidad de un punto críticoo alterar significativamenteel patrón de las trayectorias o las dos cosas. Recuérdese que los eigenvaloresr l , r2 son las raíces dela ecuación polinomial det(A - rI) = O. Es posible demostrar que las perturbacionespequeñas en alguno o en todos los coeficientes se reflejan en perturbacionespequeñas en los eigenvalores. La situación más delicada ocurre cuandorl = iy y r2 = -iy; es decir, cuando el punto crítico un escentro y las trayectorias son curvas cerradas que lo rodean. Si se hace un ligero cambio en los coeficientes, los eigenvalores rl y r2 tomarán los nuevos valoresr ; = A' t ip' y r i = A' - iy', en donde y' es pequeño en magnitud y p' = ,u(ver la figura 9.3.1). SiA' # O, lo que ocurre casi siempre, las trayectorias del sistema perturbadoson espirales en vez de curvas cerradas. El sistema es asintóticamente estable siA' < O, pero inestable si A' > O. Por tanto, en el caso de un centro, perturbaciones pequeñas en los coeficientes bien pueden cambiar un sistema estable en uno inestable y, cuando en cualquier caso, de es esperar que se altere radicalmente el patrón de trayectorias en el plano fase (ver el problema 18). Otro caso ligeramente menos sensible ocurre si los eigenvaloresr I y r2.son iguales; en este caso el punto crítico un es nodo. Perturbaciones pequeñas en los coeficientes normalmente hacen que las dos raíces iguales se separen (se bifurquen). Si las raíces separadas son reales, entonces el punto crítico del sistema perturbado sigue siendo un nodo, pero si las

.

.

496

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

FIGURA 9.3.1 Perturbación esquemática de rI = ip, r2 = - ip raíces separadas son complejas conjugadas, entonces el punto crítico se vuelve un punto espiral. En la figura 9.3.2 se ilustran esquemáticamente estas dos posibilidades. En este caso, la estabilidad o inestabilidad del sistema noes afectada por perturbaciones pequeñas en los coeficientes, pero las trayectorias pueden alterarse de manera considerable (ver el problema 19). En todos los demás casos no se cambia la estabilidad o inestabilidad del sistema, ni se altera el tipo de punto crítico, por perturbaciones suficientemente pequeñas en los coeficientes del sistema. Por ejemplo, si r1 y r2 son reales, negativos y distintos, un cambio pequerio en los coeficientes no modifica el signo de rI y r2 ni les permite unirse. Por tanto, el punto crítico sigue siendoun nodo impropio asintóticamente estable. A continuación se consideraun sistema autónomo no lineal bidimensional

x' = f(x). El interés principal es examinar el comportamiento de las trayectorias del sistema( 3 ) en la vecindad deun punto críticoxo.Es conveniente elegir que el punto crítico esté en el origen. Esto no significa pérdida de generalidad,ya que si xo # O , siempre es posible sustituir u = x - x o en la ecuación (3); entonces u satisfará un sistema autónomo con un punto crítico en el origex Lo primero es considerar sistemas no lineales (3) que sean próximos, en algún sentido apropiado, a un sistema lineal (1). En consecuencia supóngase que X'

= Ax t g(x)

y que x = O es un punro crítico aislado del sistema (4). Esto significa que existe algún círculo alrededor del origen dentro del cual no hay otros puntos críticos. Además, se supondrá que detA # O, de modo quex = O también es un punto crítico aislado del sistema lineal

r1 = r2 -

"

O

'21

= h-ip

FIGURA 9.3.2 Perturbación esquemática de r , = r2.

9.3

497

Sistemas casi lineales

x' = A x . Por Cltimo, se supondrá que las componentes de g tienen primeras derivadas parciales continuas y que satisfacen la condición límite i~g(x)~I/lixll O -+

cuando

(5)

x + O;

es decir, cerca del origen//gil es pequeño en comparación con el propio 11x11.A u n sistema de este tipo se le conoce comosistema casi lineal en la vecindad del punto críticox = O. Puede ser de utilidad expresar la condición (5) en forma escalar. Si se hace xT = (x, y ) , entonces I/xIl=(x2 t y 2 ) = r . De manera semejante, sigT(x)= (g,(x, y ) , g2(x,y ) ) , entonces ljg(x)(/= [ g:(x, y ) t (g:(x, y)] A s í , se concluye quela condición (5) se satisfacesiy sólo si gl(x, y)lr --t O,

Ejemplo 1

g2(x, y)lr -+ O

cuando r

--t

O.

(6)

Determinar si el sistema

(;)

=

(:

5.:)(;

-x=

-

xy

i( - 0 . 7 5 ~ ~- 0 . 2 5 ~ ~

es casi lineal en la vecindad del origen. Obsérvese que el sistema (7) es de la forma (4), que (O, O) es un punto crítico y que detA # O. No es difícil demostrar quelos otros puntoscríticos de las ecuaciones (7) son (O, 2), (1, O) y (0.5, 0.5); como consecuencia,el origen es un punto crítico aislado. En la comprobación de la condición (6) es conveniente introducir coordenadas polares al hacerx = r cos O,y = r sen 8; entonces, g,(x, Y) ~-

r

-

- xy - - r 2 cos2 O - r2 sen O cos O r r = -r(cos2 8 + sen 8 cos O) -+ O

"X2

cuando r O. De manera semejante es posible demostrar queg2(x, y ) / r -+ O cuando r -+ O. De donde, el sistema (7) es casi lineal cerca del origen.

Ejemplo 2

El movimiento no amortiguado de un péndulo se describe por el sistema [verla ecuación (19) de la sección 9.2 con c = 01 dx -=y, dt

d~ dt

-- --

1

senx.

(8)

Los puntos críticos son (O, O), (kz, O), (*2n, O), . . . , de modo que el origen es un punto crítico aislado de este sistema. Demostrar queel sistema es casi lineal cerca del origen. A fin de comparar las ecuaciones (8) con la ecuación (4) es necesario volver aescribir aquéllas de modo que se identifiquen con claridad los términos lineal y no lineal. Si se escribe sen x = x t (sen x-x) y se sustituyeesta expresión en la segunda de las ecuaciones(8), se obtiene el sistema equivalente

Al comparar la ecuación (9) con la (4) se ve que g,(x, y ) = O y g2(x, y ) = -(g/Z)(sen x -x). Por la serie de Taylor para sen x se sabe que sen x - x se comporta como -x3/3! = -(r3 cos3 O)/3! cuando x es pequeña. Como consecuencia,(sen x - x)/r -+ O cuando r .-+ O. Por tanto, se satisfacen las condiciones (6) y el sistema (9) es casi lineal cerca del origen.

498

no lineales y

diferenciales Ecuaciones

estabilidad

Ahora se escribirá el sistema nolineal general (3) en la forma escalar x’ = F(x, y ) , y‘ = G(x,y).

(10)

El sistema (10) es casi lineal en la vecindad de un punto crítico (xo,yo) siempre que las funciones F y G tengan derivadas parciales continuas hasta el orden dos. Para demostrar esto, aplíquense los desarrollos de Taylor en turno al punto (xo,yo),para escribir F(x, y ) y G(x, y ) en la forma

+ F A X 0 9 Yo)(X x01 + F,(xo, Y,)b - Yo) + ?,(X, Y), G(x, Y ) = G(xo, Yo) + Gx(xo, Y d X xo) + G,(xo, YoNY - Y o ) + rlz(X3 Y), donde q l ( x , y)/[@ - x,,)?. + ( y - y,)2]1/2 + O cuando (x, y ) (xo, y,,), y, de manera m , Y)=

Yo)

-

-

en --t semejante qz.Nótese que F(x,, y,) = G(xo,y,) = O y que duldt = d(x - x,)/dt y dyldt = d ( y - y,)/dt. Entonces el sistema (10) se reduce a

o, en notación vectorial,

du dt ~

=

df (X”U t q(x), dx

~

en dondeuT= (x -xo, y -yo) y q = (?I], {I$ Obsérvese quela parte linealde las ecuaciones (11) o (12) tienen la matriz de coeficientes que consta de las derivadas parciales de FyG evaluadas en el punto crítico (xo,y,). Las ecuaciones (11) o (12) proporcionan un método general para encontrar el sistema lineal correspondiente a un sistema casi lineal cerca de un punto crítico dado.

Ejemplo 3

Aplicar la ecuación (11) para hallar el sistema lineal correspondiente a las ecuaciones del péndulo (8) cerca del origen y cerca del punto crítico (x,O). En este caso, F(x, Y ) = y,

C(x, y) = - ( g i l ) sen x,

(13)

por tanto, F, = O ,

Fy = 1,

G, = -(gil)

COS X,

GY = O.

(14)

De este modo, en el origen, el sistema lineal correspondiente es

y)=( dt

y

- gOi l

y),

O

1151

lo cual concuerda con la ecuación (9). De manera semejante,si se evalúan las derivadas parciales(14) en (x,O), se obtiene

f (:i)

= ,g ;(

:)(:I>

(16)

en dondeu = x - x,v = y . Este es el sistema lineal correspondiente alas (8) cerca del punto(n;O).

499

9.3 Sistemas casi lineales

Ahora se regresaal sistema casi lineal(4). Como el términono lineal g(x) es pequeñoen comparación con el término linealAx, cuando x es pequeño, es razonable esperar que las trayectorias del sistema lineal (1) sean buenas aproximaciones a las del sistemano lineal (4), por lo menos cerca del origen. Esto resulta ser cierto en muchos casos (pero no en todos), como afirma el siguiente teorema.

En esta etapa, es bastante difícil dar la demostraciónde este teorema por lo que se aceptarán sus resultados sin demostrar.Los resultados para la estabilidad asintótica y la inestabilidad se concluyen como consecuencia deun resultado analizado en la sección 9.6, y se describió una demostración en los problemas10 a 12 de esa sección. En esencia, el teorema 9.3.2 afirma que parax pequeño los términosno lineales también son pequeños yno afectan la estabilidad ni el tipo de punto crítico, según quedan determinados por los términos lineales, excepto en dos casos sensibles: rl y r2 imaginarios puros, y r1 y r2 reales e iguales. Recuérdese que antes en esta sección se afirmó que perturbaciones pequeñas en los coeficientes del sistema lineal (1)y, por tanto, en los eigenvalores rl y r2,pueden modificar el tipo y la estabilidad del punto crítico sólo en estos dos casos sensibles. Resulta razonable esperar que el términono lineal pequeño de la ecuación (4) podría tener un efecto sustancial semejante, por lo menos en estos dos casos sensibles. Esto es así, pero el principal significado del teorema 9.3.2 es que en todos los demás casos el términono lineal pequeño no altera el tipoo la estabilidad del punto crítico. Por tanto, excepto en los dos casos sensibles, pueden determinarse el tipoy la estabilidad del punto crítico del sistemano lineal (4) a partir de un estudio del sistema lineal mucho más sencillo (1).

TABLA 9.3.1 Propiedades de estabilidad einestabilidad de los sistemas lineales y casi lineales. Sistema lineal rl'

.

Tipo"

r,>r2>0 rl < r2 < O

NI NI

r2 > O < rl rl = r2 > O rl = r2 < O

PS NP o NI NP o NI

r l , r2 = h 2 iy h>O A O). En ese punto, por las ecuaciones (17) se concluye que d d d t > O. Por tanto, el punto (x, y) sobre la trayectoria se mueve hacia la

o2

, ....

. "..__ _ _.I,,.

502

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

-

’t -2n

I

in

FIGURA 9.3.3 Puntos espirales asintóticarnente establespara el péndulo amortiguado. derecha, de modo que l a dirección del movimiento sobre las espirales es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. La situación es igual cerca de los puntos críticos (2nn, O) con n = k1, 22, . . . En la figura 9.3.3 se muestran las espirales. Antes se demostró que el punto critico (x,O) es un punto silla y se hizo notar que lo mismo es ciertopara los puntos críticos((2n t Z)n,O) con cualquier valor enterode n. Estos puntos corresponden al péndulo en una posición vertical hacia arriba con velocidad cero. Por tanto, en el plano fase los puntos espiral asintóticamente estables se entremezclan con puntos silla inestables. Recuérdese que sólo un par de trayectorias “entra” a un punto silla. Para determinar la dirección delas trayectorias que entran al punto silla (x,O), se considerará el sistema lineal correspondiente al sistema (23); a saber,

Al aplicar la ecuación(24) y la primera de las ecuaciones (25), es posible escribir la solución general de estas últimas en la forma

en donde C, y C, son constantes arbitrarias. Dado que rl > O y r2 < O, se concluye que la solución que tiende a cero cuando t + x corresponde a C, = O. Para esta solución v/u = r,, de modo quela pendiente de las trayectorias que entran es negativa; una está en el segundo cuadrante (C, < O) y la otra en el cuarto cuadrante(C, > O). Para C, = O, se obtieneel par de trayectorias que “salen” del punto silla. Estas trayectorias tienen la pendiente rl > O; una está en el primer cuadrante (C, > O) y la otra en el tercer cuadrante (C1 < O). La situación es la misma para todos los demás puntos silla. En la figura 9.3.4 se muestra un diagrama de las trayectorias enla vecindad de los puntos silla inestables. Si se juntan las figuras 9.3.3 y 9.3.4, se obtiene el diagrama de las trayectorias en el plano fase que se muestra enla figura 9.3.5. Nótese que las trayectorias que entran a los puntos silla separan el plano fase en regiones. Una trayectoriade este tipose llamaseparatriz. Las condiciones iniciales sobre8 y d01dt determinan la posiciónde un punto inicial (x, y) en el plano fase. El movimiento subsecuente del péndulo queda representado por la trayectoria que pasa por el punto inicial a medida que describe una espiral hacia el punto crítico asintóticamente estableen esa región. Nótese que matemáticamente es posible (pero físicamente irrealizable) elegir condiciones iniciales sobre una separatriz de modo que el movimiento resultante dé un péndulo balanceado en una posición vertical hacia arriba de equilibrio inestable.

9.3

503

Sistemascasi lineales

FIGURA 9.3.4 Puntos silla inestables para el péndulo amortiguado.

Separatriz

FIGURA 9.3.5

Y4

Retrato fase para el péndulo amortiguado.

Una diferencia importante entre sistemas autónomosno lineales y los sistemas lineales analizados en la sección 9.1 se ilustra mediante las ecuaciones del péndulo. RecuCrdese que el sistema lineal(II), sólo tiene un punto crítico,x = O, y que las solucionesson en esencia funciones exponenciales. Por tanto, si el origen es asintóticamente estable, entonces no sólo las trayectorias que se inician cerca del punto crítico tienden a éste, de hecho, toda trayectoria tiendeal punto crítico. En este caso se dice el que punto críticoes asintóticamente estable globalmente.En general, esta propiedadde los sistemas linealesno se cumple para los no lineales. Para un sistema no lineal, un importante problema práctico es estimar el conjunto de condiciones iniciales para las que un punto crítico dado es asintóticamente estable. El conjunto de condiciones iniciales se conoceregión como de estabilidad asintótica o cuenca de atracción del punto crítico. Para las ecuacionesdel péndulo, cada punto crítico asintóticamente estable tienesu propia cuenca de atracción,que está x o t a d a por las separatrices que pasan por los puntos silla inestables vecinos. En la figura 9.3.5 está sombreada la cuenca de atracción del origen.

504

diferenciales Ecuaciones

no lineales y estabilidad

En cada uno de los problemas 1 a 10, compruebe que (O, O) es un punto crítico, demuestre que el sistema es casi lineal y analice el tipo de la estabilidad del punto crítico(O, O).

+

1. dx/dt

= x - J’ xy 1iy’Jdt = 3x 2p - xy 3. clx’idt = -2x - J’ - x(x2 dyldt = Y - J y(x2 t J S. dxjdt = 2.x XJ”

2. dxldt

+

+ + +

dyldt = X - 2 y - XJ’ 7. dx,’dt = 4’ dy/’dt = -.X + illy(1 - -Y’). 9. dx,.’dt = (1 + x) sen y dJ’idt = 1 - x - cos y

+ y2)

4.

+

~ )

+

6.

+

8. 11

+

=x x = y2 dJ’/dt = y - x y dxldt = y x(l - x2 - y2) dyidt = - x y( 1 - x2 - y = ) dxJdt = x 2x2 - y2 dyldt = .x - 2 y x’ dxldt = 1 y - é x dyJdt = J - sen x dxldt = e-xcJ’ - cos x

-

>O 10.

+

+

dy!dt = sen(x - 3 y )

En cada uno de losproblemas 11 a 14, determine todos los puntos críticos reales delsistema de ecuaciones dado y analice su tipo y estabilidad. I l . dxldt = x

dyidt

=x

+ + J’

.y2

13. dxldt = X - x2 dyldt = 3y - x y - 2y=

15. Considere el sistema autónomo &/dt = y,

dyldt = x

+ 2x3.

a) Demuestre que el punto crítico (O, O) es un punto silla. b) Trace las trayectorias del sistema lineal correspondiente al integrar la ecuación para dyldw. Apartir dela forma paramétrica de la solución,demuestre que laúnica trayectoria paralaquex-+O,y-*Ocuandot-+mesy=-x. c) Determine las trayectorias del sistema no lineal al integrar la ecuación para dyldw. Trace las trayectorias para el sistemano lineal que correspondea y = -x y y = x para el sistema lineal. 16. Considere el sistema autónomo &/dt = X,

dyldt = - 2 y

+x3.

a) Demuestre que el punto crítico (O, O) es un punto silla. b) Trace las trayectorias delsistema lineal correspondiente y demuestre que la trayectoria para la que x -+ O, y + O cuando t 00 está dada por x = O. c) Determine las trayectorias del sistema no lineal para x f 0 al integrar la ecuación para dy/dw. Demuestre que la trayectoria correspondiente a x = 0 para el sistema lineal permanece sin cambio, pero que la correspondiente a y = O es y315. Trace varias de las trayectorias delsistema no lineal. 17. El teorema 9.3.2 no proporciona información sobre la estabilidad de un punto crítico de -+

un sistema casi lineal, si esepunto es un centro del sistema lineal correspondiente. Que éste debe ser elcaso se ilustra mediante los dos sistemas siguientes. dxldt = 4’ + x(x’ + y ’ ), dy,/dt = - X + y(xz + 4,’);

(ii)

dxldt = y

dy/dt =

-

-X

x(x2

+ y’), + 4,’).

- y(x2

9.3

505

Sistemas casi lirteales

a) Demuestre que (O, O) es un punto critico de cadasistema y, además, esun centro del sistema lineal correspondiente. b) Demuestre que cada sistema es casi lineal. c) Sea r 2 + x 2 + y 2 y observe que x dx/dt + y dy/dt = r drldt. Para el sistema (ii), demuestre que drldt < O y que r O cuando t -+ m y, por tanto, que el punto critico es asintóticamente estable. Para el sistema (i), demuestre que la solución del problema con valor inicial para r, con r = ro en t = O, se vuelve no acotada cuando t 112r-i y, por tanto, que elpunto critico es inestable. 18. En este problema se muestra cómo cambios pequeños en los coeficientes deun sistema de ecuaciones lineales pueden afectar a un punto crítico que sea centro. Considere el sistema -+

+

Demuestre que loseigenvalores son 2 i, de modo que(O, O) es un centro. Acontinuación, considere el sistema

en donde E es arbitrariamente pequeño. Demuestre que los eigenvalores son E 2 i . Por tanto, no importa cuán pequeño sea E # O, el centro se convierte en un punto espiral. Si E < O, entonces el punto espiral es asintóticamente estable; si E > O, entonces el punto espiral es inestable. 19. En este problema se muestra cómo cambios pequeños en los coeficientesde un sistema de ecuaciones lineales pueden afectar la naturaleza de un punto critico cuando los eigenvalores son iguales. Considere el sistema

Demuestre que los eigenvalores son rl = -1, r2 = -1 de modo que el punto crítico (O, O) es un nodo asintóticamente estable. En seguida, considere el sistema

en donde E es arbitrariamente pequeño. Demuestreque si E > O, entonces los eigenvalores son -1 i&, de modo que el nodo asintóticamente estable se convierte en un punto espiral asintóticamente estable. Si E < O, entonces las raíces son-1 2 &, y el punto critico siguesiendo un nodo asintóticamente estable. 20. La ecuación del movimiento de un péndulo no amortiguado es d 2 8 / d t 2+ ( g / l ) sen O = O. Sean x = e, y = dO/dt y k 2 = g/l para obtener el sistema de ecuaciones

a) Demuestre que los puntos críticos son ( m x , O), n = O, 1,2, . . . , y que el sistema es casi lineal enla vecindad de cada punto crítico.

"

.

."

506

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

> 2k2 = 2k2

< 2k2 = 2k2

> 2k2 FIGURA 9.3.6 Retrato fase para el péndulo no amortiguado.

b) Demuestre que elpunto crítico (O, O) es un centro (estable) del sistema lineal correspondiente. AI aplicar el teorema 9.3.2, ¿qué se puede afirmar acerca del problema casi lineal? La situación es semejante en lospuntos críticos (+2nn,O), n = 1,2,3, . . . , ¿Cuál es la interpretación físicade estospuntos? c) Demuestre que el punto crítico (n,O) es un punto silla (inestable). La situación es semejante en los puntos críticos [+(2n- l)z,O], n = 1 , 2 , 3 , . . . . ¿Cuál es la interpretación física de estospuntos críticos? 21. En este problema se dan algunos de los detalles del análisispara trazar las trayectorias del phdulo no amortiguado del problema 20. Demuestre ai eliminar t, que la ecuación de las trayectorias pueden escribirse como i y * + k2(1 - COS X) = E .

Paradescubrir el significado de la constante E, observe que :y2 =

= :(dB /dt)2es

k 2 ( l - cosx) = s x k z sen S ds proporcional a la energía cinética del péndulo. También, O

es proporcional a la energía potencial delpéndulo, debida a la fuerza de la gravedad. Por tanto, la constante E es la “energía” del movimiento. Esta es constante a lo largode una trayectoria (durante el curso del movimiento) y queda determinada por los valores iniciales de x y y . Al trazar las trayectoriases necesario considerar solamente el intervalo-x < x < x, ya que la ecuación es periódica en x, con periodo 2x. Para E = 2k2, demuestre que y = + 2k cos x12 y trace estas trayectorias. Observe que las trayectorias entran o salen de los puntos silla inestables en (kn,O). Determine la dirección del movimiento sobre cada trayectoria al aplicar las ecuaciones diferenciales dadas en el problema 20. Es posible demostrar que las trayectorias son curvas cerradas para E < 2 k 2 y que no son cerradas para E > 2k2.Aquíno se abordarán estos detalles,pero en la figura9.3.6 se da un esquema de las trayectorias para un péndulo no amortiguado. Las trayectorias para E < 2k2 corresponden a movimientos periódicos al rededor del centro,y las trayectorias para E > 2 k 2 corresponden a movimientos arremolinados. *22. En este problema se deduce una fórmula para el periodo natural de un péndulo no lineal y no amortiguado [ c = O en la ecuación (17)]. Suponga que se tira de la lenteja hasta formar un ángulo a y luego se suelta convelocidad cero. Suponga que puede despejarse r como función de 8 de la expresión para 0 comd función de t , de modo que puede considerarse dO/dt como función de O. Deduzca la siguiente sucesión de ecuaciones:

9.3 Sistemas casi lineales +m12dt de

=

-mgl sen O,

= rngl(cos e - cos a),

+m( I

T4 =

[("")'I

507

-&In0

dB Jcos B - cos SL

Al hacer el cambio de variables cos0 = 1- 2 sen2 812, COS (Y = 1- 2 sen2( ~ /seguido 2 por sen 1312= k sen 4 con k = sen cy/2, demuestre que

La función F se conoce como integral elíptica de primera clase. Observe que el periodo depende de la razón 1/g y también del desplazamiento inicial cy, a través de k = sen a/2. El periodo correspondiente para el péndulo linealizado es 27~(l/g)'/~y es independiente del desplazamiento inicial. Para obtener este resultado especial a partir de la fórmula general, es necesario considerar el caso limite de a pequeño (desplazamiento angular pequeño), en cuyo caso k es pequeña. En el limite k -+ O, la fórmula precedente da T = 4(l/g) 1'2F(O, n/2)= 2n(l/g)"2 23. Una generalización de la ecuación del péndulo amortiguado analizada en el texto, o de un sistema amortiguado, resorte-masa es la ecuación de Liénard, dX + c(x) 4-g(x) = o. dt ' dt

d2X ~

-

Si c(x) es una constante y g(x) = kx, entonces esta ecuación tiene la forma de la ecuación lineal del péndulo [sustituya sen 0 por 0 en la ecuación (18) de la sección 9.21; en caso contrario, la fuerza de amortiguamiento c(x) dxldt y la fuerza de restitución g(x) son no lineales. Suponga que c es continuamente diferenciable, g es dos vecescontinuamente diferenciable y g(0) = O. a) Escriba la ecuación de Liénard como un sistema de dos ecuaciones deprimer orden al introducir la variabley = dxidt. b) Demuestre que (O, O) es un punto critico y que elsistema es casi linealen la vecindad de (O, O). c) Demuestre que si c(0) > O y g'(0) > O, entonces el punto crítico es asintóticamente estable, y que si c(0) < O o g'(0) < O, entonces elpunto crítico es inestable. Sugerencia: aplique la serie deTaylor para aproximar c y g e n la vecindad de x = O.

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

508

En esta sección y en

la siguiente se examina la aplicación del análisis del plano fase a algunos problemas de dinámica de poblaciones. En estos problemas intervienen dos poblaciones que interactúan entre sí y son extensiones de los analizados en la sección 2.6, que trataban de una sola población. Aunque las ecuaciones analizadas aquí son extremadamente sencillas, en comparación con muy las complejas relaciones que existen en la naturaleza, todavía es posible adquirir cierta comprensión de los principios ecológicos a partir del estudio de estos problemas modelo. Suponga que en un ambiente cerrado hay dos especies semejantes que compiten por un suministro de alimento limitado; por ejemplo, dos especies de peces un en estanque que no son presa unade la otra, pero compiten por el alimento disponible. Seanx y y las poblaciones de las dos especies en el instante t. Como se analizó en la sección 2.6, se supone que la población de cada especie, en ausencia de la otra, se rige por una ecuación logística. Por tanto,

respectivamente, en donde c1y c2 son los indices de crecimiento de las dos poblaciones y E l l a , y c2/o, son sus niveles de saturación. Sin embargo, cuando las dos especies están presentes, cada una afecta el suministro de alimento disponiblepara la otra. De hecho, se reducen mutuamente los indices de crecimiento y las poblaciones de saturación. La expresión más simple para reducir el índice de crecimiento de la especie x por la presencia de la especie y , es sustituir el factor del índicede crecimiento - alx de la ecuación (la) por c1 - alx - al y , en donde al es una medida del grado en el que la especiey interfiere con la especie x. De manera semejante, en la ecuación (lb) se sustituye E, - a , y por c2 - o,y as.De esta manera se tiene el sistema de ecuaciones

dx/dt

=z

~ ( tl O ~ X E~JI),

Pa)

Los valores de las constantes positivas cl, o,,al, cZ,a, y a2 dependen de las especies particulares que se consideren y en general deben determinarse a partir de observaciones. Interesan las soluciones de las ecuaciones( 2 ) para las que x y y sean no negativas. En los dos ejemplos siguientes se analizan con cierto detalle dos problemas típicos. Al final de la sección se regresa a las ecuaciones generales(2).

Analizar el comportamiento cualitativo delas soluciones del sistema. =~

( -1 X

-

y),

dy/dt = ~(0.75- y

-

&/dt

0.5~).

Se encuentran los puntos críticos al resolver el sistema de ecuaciones algebraicas ~ ( -l X

-

y) = O,

~ ( 0 . 7 5-

-

0 . 5 ~ )= O.

9.4

509

Especies competidoras

Existen cuatro puntos que satisfacen las ecuaciones(4); a saber, (O, O), (o, 0.75), (1, o) Y (0.5, 0.5); estos corresponden las a soluciones de equilibrio del sistema (3). Los tres primerosde estos puntos incluyen la extinción de una o las dos especies; solamente el último corresponde a la supervivencia a largo plazo de las dos. Otras soluciones se representan como curvas O trayectorias en el plano xy.Para empezar a descubrir su comportamiento cualitativo, es posible proceder de la siguiente manera: En virtud de que x es no negativa, porla ecuación (3a) se concluye que x aumenta O disminuye si 1 -x - y > O 6 1 -x -y < O; de manera análoga, porla ecuación (3b) se ve quey aumenta O dismimuye según0.75 -y - 0 . 5 > ~ O ó 0.75 -y - 0 . 5 ~< O. Esta situaciónse muestra enla figura 9.4.1. La rectax + y - 1 = O se llamanuliclinax debido a que x ' es cero en cada uno de los puntos de ella. Por tanto, siempre que una trayectoria corta la nuliclina x, su recta tangente debe ser paralela al eje y. De manera semejante, la recta 0 . 5 ~+ y - 0.75 = O se llama nuliclina y ; las trayectorias que cruzanesta recta tienen tangentes paralelasal eje x. Para ver lo que le sucede a las dos especies simultáneamente,es necesario superponerlos dos diagramas dela figura 9.4.1; es decir, trazar el campo direccional del sistema (3). Esto se hizo en la figura 9.4.2, en donde también se indican las soluciones de equilibrio mediante los puntos gruesos. Las dos nuliclinas crean cuatro zonas en el primer cuadrante del plano xy. En la zona I se observa que x' > O y y' > O, por lo tanto, siempre que el punto (x,y ) esté en la zona I se debe estar moviendo hacia arriba y hacia la derecha. De manera semejante, el punto (x,y) se mueve hacia arriba y hacia la izquierda en la zona 11, hacia abajo y hacia la izquierda enla zona 111 y hacia abajo y hacia la derecha en la zona IV. Por tanto, en todos los casos el punto (x, y) se desplaza haciael punto crítico (0.5,0.5). Como consecuencia, silos dos valores iniciales de x, y y,, son positivos, entonces, después de que haya transcurrido un tiempolargo, es de esperar ver al punto (x,y) cerca del punto crítico (0.5, O S ) , que representa los niveles de población de las dos especies que pueden coexistir en equilibrio mutuoy con abastecimientode alimento disponible. Esta configuraciónde equilibrio no depende delas poblaciones iniciales x, y y,, mientras sean positivas. Si x, = O, entonces sólo está presente la especie y. En este caso, el punto (x, y) permanece sobre el eje y y tiende al punto crítico (O, 0.75), que representa el nivel de saturación de la especie y. La situación es semejante siy , = O, excepto quelas soluciones están sobreel eje x y tienden al punto (1, O).

0.75 - y - 0 . 5 ~ O

1

X

FIGURA 9.4.5 Nuliclinas para el sistema de especies competidoras (21).

Y 2

1.5

1

0.5

i

FIGURA 9.4.6 Puntos críticos y campo direccional para el sistema (21).

1

analizar aún más el sistema (21), es posible observar las aproximaciones lineales válidas en la

uno de de los los puntos puntos críticos. críticos. ! vecindad vecindad de de cada cada uno

x = O, y = O . Si se desprecian los términos no lineales de las ecuaciones (21), se obtiene el / sistema sistema lineal lineal ;

9.4

515

Especies competidoras

Adt t y) = ( O'

)(")

0.5 O

(22)

y '

que es válido cerca del origen. Los eigenvalores y eigenvectores del sistema (22)son

5")

r l = 1,

=

;)A(

r 2 = 0.5,

=

%(')

(y),

(23j

por lo que la solución generales

(5)

+ c2(~)e0~s1.

= cl(A)ef

(24)

Por consiguiente,el origen es un nodo impropio inestabledel sistema lineal (22) y también del sistema no lineal (21). Todas las trayectorias salen del origen tangentes al eje y , excepto por un par de trayectoriasque están a lo largo del eje x. x = 1, y = O. El sistema lineal correspondiente es

dt u "!");(-I

O

-l -0.25

)("). U

Sus eigenvalores y eigenvectores son rI =

-

1,

c(')= (A);

r 2 = -0.25,

&"' = (-:),

(26)

y su solución generales

(3

= cl(:)e-l

+ c2( -:)e-r/4.

(27)

El punto (1, O) es un nodo impropio asintóticamente establedel sistema lineal (25) y del sistema no lineal (21). Si los valores iniciales de x y y están lo suficientemente próximos a(1, O) entonces el proceso de interacción da finalmente ese estado; es decir, la sobrevivencia de la especie x y la extinción de la especie y . Existe un par de trayectorias que tiendenal punto crítico a lo largo del eje x. Todas las demás trayectorias tienden a(1, O) tangentes a la recta con pendiente -3/4 que queda determinadapor el eigenvector g(2). x O, y 2. En este caso, el análisis es semejante al del punto (1, O). El sistema lineal adecuado es

"u) v = (-1 dt -1.5

-0.5

)(").v

(28)

Los eigenvalores y eigenvectores de este sistema son r , = -1,

5"'

=

(i);

r2 = -0.5,

5'2)

=

(y),

(29)

y su solución general es

(30)

516

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad Por tanto, el punto critico (O, 2) es un nodo impropio asintóticamente estable. Todas las trayectorias tienden al punto crítico a lo largodel eje y , excepto por un par, que tiende a lolargo de la recta con pendiente 3 . x = 0.5, y = 0.5. El sistema lineal correspondiente es

dt -0.375 L ( uti) = (-0.5

-0.125 -0.5

)(u) U

Los eigenvalores y eigenvectores son

-5 rl

=

r2

=

+ &7 16

-5

5"'

E 0.1594,

7 v57 z -0.7844, 16

= ((

5"'

-

-3

= ((-3

m)/S)(- 11.3m)'

(32a)

+ h)/8 (k687)' )

(32b)

1 -

de modo que la solución general es

(;j

=

q( ' -

1.3187j

P 5 9 4 f

+ i:i(;.5687je-o.7s44f.

(33)

En virtud de quelos eigenvalores tienen signos opuestos, el punto crítico (0.5,O.S) es un punto silla y, por lo tanto, es inestable, como se supuso antes. Un par de trayectoriastienden al punto crítico cuandot "+ x ; las demás se alejan de éste.Amedida quelas trayectorias seaproximan al punto crítico, las que entran son tangentes a la recta con pendiente (63)/8 0.5687 determinada a partir del eigenvector t('). En l a figura 9.4.7 se muestra un diagrama de las trayectorias en la vecindad de cada punto crítico. Con base en l a informacidn mostrada en esta figura, así como en la figura 9.4.6, es

I

i

/

! i

x '1

(0, 2)

i

I

&(;,;I

I 3I

?

( 0-*$-& ,?0)

FIGURA 9.4.7 Trayectorias cerca de cada punto crítico para el sistema (21).

9.4

517

Especies competidoras Y

2

-

1.5

1 -

-

0.5

Y

0.5

1

1.5

, X

FIGURA 9.4.8 Trayectorias del sistema (21). posible concluircon bastante confianza queen casi todos los casos una de las especies lleva ala otra a la extinción. En otras palabras, casi todas las trayectorias que se inician en el primer cuadrante alfinal tienden auno o al otro delos dos nodosestables. La única excepción ocurre si el estado inicial está exactamente en el punto silla (0.5, 0.5) o sobre uno de los pares de trayectorias que terminan por entrar este a punto. Aun así, la más ligera perturbación a medida que se sigue esta trayectoria desalojaráel punto (x, y) y, por el contrario, lo hará tender haciauno de los nodos. Las trayectorias que entranal punto silla forman una curva a partir del origen que pasa por el punto (0.5,0.5) y se va al infinito. Esta curva se llamaseparatriz, ya que separa(o divide) el primer cuadrante en dos partes conocidas como regiones (o cuencas) de atracción de los nodos respectivos.Todas las trayectorias que seinician en una de estas regiones terminan por tender al punto (O, 2), mientras que las trayectorias que se inician en la otra región terminan por aproximarse a (1, O). La información quese ha obtenido del examen cualitativodel sistema (21) puede confirmarse numéricamente al calcular varias solucionesy trazar las gráficas de las trayectorias correspondientes. En la figura 9.4.8 se dan algunas trayectorias representativas del sistema (21).

Los ejemplos 1 y 2 muestran que, en algunos casos, la competencia entre dos especies produce un estado de equilibrio de coexistencia, mientras que en otros casos la competencia da por resultadola extinción de una de las especies. Para comprender con mayor claridad cómo y por qué sucede esto y aprender a predecir qué situación ocurrirá,útil esvolver a considerar el sistema general (2). Existen cuatro casos a considerar, dependiendo de la orientación relativa de las nuliclinas, €1

- (TIX - a,y = o

y

€2

- a,y - z2x = o,

(34)

518 ___

Ecuaciones diferencialesno lineales y estabilidad

como se observa enla figura 9.4.9. Sea ( X , Y ) cualquier punto crítico en cualquiera de los cuatro casos. Como enlos ejemplos 1 y 2, el sistema(2) es casi linea¡ en l a vecindad de este punto porque ei segundo miembro de cada ecuación diferencial es un polinomio cuadrático. Para estudiar el sistema(2) en la vecindad de este punto críticose puede hacer x =

x -4- u,

I' =

Y

+ I;,

(35)

y sustituir en [as ecuaciones(2). De manera alternativa, es posible usar la ecuación (11)de la secci6n 9.3. En cualquier caso, se obtiene el sistema lineal correspondiente

A continuacih aplíquese la ecuación (36) para determinar las condiciones en las que el modelo escrito por las ccuaciones (2) permite la coexistencia de las dos especies .x y y. De los cuatro casos posihles que se muestran en la figura 9.4.9, sólo es posiblel a coexistencia en los casos c) y d). En eslos casos, los valores de X y Y diferentes de cero se obtienen ficilmente al resolver las ecuaciones algebraicas (34); el resultado es

(4

(4

FIGURA 9.4.9 Los diversos casos para el sistema de especies competidoras (2).

doras

5 19

9.4 Especies Además, como el - o,X- a,Y = O y inmediato a

E,

- 02Y - a,X = 0, la ecuación (36) se reduce de

L o s eigenvalores del sistema(38) se encuentran a partirde la ecuación

r2 + ( a l X + a,Y)r

+ (ola2XY

-

cc,a2XY) = O.

Por tanto,

Si o,02- ala2< 0, entonces el radicando de la ecuación (40) es positivo y mayor que ( o , X + a,Y)’. Entonces, los eigenvalores son reales y tienen signos opuestos. Como consecuencia, el punto crítico (X, Y) es un punto silla inestable y no es posible la coexistencia. Este es el caso del ejemplo2, en donde 0 ,= 1, a, = 1, ( r 2 = 0.25, cy2 = 0.75 y - CY,CY? =-0.5. Por otra parte, sialo2- ala2> O, el radicando de la ecuación (40) es menor que (olX+ o,Y)~. Por tanto, los eigenvalores son reales, negativos y distintos, o complejos con parte real negativa. Un análisis directo de dicho radicando muestra quelos eigenvalores no pueden ser complejos (ver el problema 7 ) . De este modo, el punto críticoes un nodo impropio asintóticamente estable y es posible la coexistencia sostenida. Esto se ilustra mediante el ejemplo 1, en donde o1= 1, al = 1 a2= 1, a2= 0.5 y ola2- ala2= 0.5. Relaciónese este resultado con las figuras9 . 4 . 9 ~y 9.4.9d. En la figura 9 . 4 . 9 ~se tiene

(~,(r~

Estas desigualdades acopladas conla condición de queXy Ydadas por las ecuaciones(37) sean positivas da lugar a la desigualdad CT,CT, < ala2.De donde, en este caso, el estado mixto es un punto silla. Por otra parte, enla figura 9.4.9d se tiene

Ahora, la condición de queXy Ysean positivas da0102 > a,a2. De donde,el estado mixto es asintóticamente estable. Para este caso tambiénes posible demostrar que los otros puntos críticos (O, 0) (el/ol, O) y (O, eZ/o2)son inestables. Por tanto para cualesquiera valores iniciales positivosde x y y , las dos poblaciones tienden al estado de equilibrio de coexistencia dado porlas ecuaciones (37). Las ecuaciones ( 2 ) proporcionan la interpretación biológica del resultado de que la coexistencia ocurre o no, dependiendo de si o , ( -~alaz ~ es positiva o negativa. Las o son una medida del efecto inhibitorio que el crecimiento de cada población tiene sobresí misma, en tanto que las a son una medida del efecto inhibitorio que el crecimiento de cada población tiene sobrela otra especie. Por tanto, cuando 0102 > ala2,la interncción (competencia) es “débil” y las especies pueden coexistir; cuando 0102< ala2,la interacción (competencia) es “fuerte”y las especies no pueden coexistir: una debe extinguirse.

520

no lineales y

diferenciales Ecuaciones

estabilidad

Cada uno de los problemas 1 a 6 puede interpretarse como si describiese la interacción de dos especies con poblaciones x y y . En cada uno de estos problemas efectúe los siguientes pasos: a) Encuentre los puntos críticos. b) Para cada punto crítico, halle el sistema lineal correspondiente. Encuentre los eigenvalores y eigenvectores del sistema lineal; clasifique cada punto crítico según el tipoy determine si es asintóticamente estable, estable o inestable. c) Trace las trayectorias enla vecindad de cada punto crítico. d) En caso de serposible, calcule y trace las gráficas de suficientes trayectorias delsistema dado para mostrar con claridad el comportamiento de las soluciones. e) Determine el comportamiento limite de x y y cuando t --t x e interprete los resultados en términos de laspoblaciones de las dos especies. 1. dx/dt X( 1.5 - X - 0 . 5 ~ ) dyldt y ( 2 - y - 0.75~) 3. dxldt = ~ ( 1 . 5- 0 . 5 ~- y ) dy/dt = y ( 2 - \.: - 1.125.~) 5. dx/dt = ~ (-lX - Y ) dv/dt = J>(1 .S - 4’ - S)

2. dxjdt = ~ ( 1 . 5 - X - 0.5~) dyldt = ~ ( 2 0.5~ - 1.5~) 4. dxldt = ~ ( 1 . 5- 0 . 5 ~- y ) dyldt = ~ ( 0 . 7 5- Y - 0.125~) 6. dxldt = ~ ( -l X 0 . 5 ~ ) dyldt ~ ( 2 . 5- 1.5y 0.25~)

+

+

7 . Demuestre que

@,X + V 2 Y ) 2

- 4(rr1a,- a,a,)XY = ( 0 , X

-

+

0 2 Y ) z 4a,Or,XY.

De donde, que los eigenvalores dados porl a ecuación (40) nunca pueden ser complejos. 8. Dos especies de peces que compiten entre sí por el alimento, pero ninguna es presa de la otra, son el bluegill (Lepomus machrochirus) y el redear (Lepomis microlophus). Suponga que se colocan en un estanque estas dos especies y sean x y y las poblaciones de bluegill y de redear, respectivamente, en el instante t. Además, suponga que l a competencia l a representan las ecuaciones dx/dt = ~

( € 1 - ( T ~X

SC~Y),

dyldt = y ( € , - rrzy - a2x).

a) Si e Z / a 2> €,/o1 y e 2 / 0 2> € , / C Y , ,demuestre que lasúnicas poblaciones de equilibrio en el estanque son ningún pez, ningún redear o ningún bluegill. ¿Qué sucederá? b) Si e,/ol > e2/cr2y €,/a1> e2/o2,demuestre que lasúnicas poblaciones de equilibrio en el estanque son ningún pez, ningún redear o ningún bluegill. ¿Qué sucederá? 9. Considere l a competencia entre el bluegill y el redear mencionada en el problema 8. Suponga que e 2 / a , > €[/o, y e ? / a I > e 2 / 0 2 ,de modo que, como se demuestra en el texto, existe un punto de equilibrlo estableen el que las dos especies pueden coexistir. Es conveniente volver a escribir las ecuaciones del problema 8 en términos de la capacidad de carga del estanque para el bluegill (B = el/o1) sin la presencia del redear, y para el redear (R = e 2 / 0 2 ) ,sin la presencia del bluegill. a) Demuestre que las ecuaciones del problema 8 toman l a forma

9.5

521

Ecuaciones del depredador-presa

en donde y1 = a l / o l y y2 = a2/02. Determine el punto de equilibrio de coexistencia (X, Y) en términos de B, R,y, y yz. b) Suponga ahora que una persona pesca solamente bluegill, con el efecto de que se reduce B . ¿Quéefecto tiene esto en las poblaciones en equilibrio? ¿Es posible, al pescar, reducir la población de bluegill a un nivel en el que seextinga? 10. Considere el sistema (2) del texto, y suponga que o,02- alaz= O. a) Encuentre todos los puntos críticos del sistema. Observe que elresultado es diferente, dependiendo de si o l e Z- a z e , es cero o no. b) Si o l e 2- a2e1 > O, clasifique cada punto crítico y determine si es asintóticamente estable, estable o inestable. Observe que el problema 5 es de este tipo. Luego, haga lo mismo si o l e 2- a 2 e 1 < O. c) Analice la naturaleza de las trayectoriascuando ole2 - a2e1 = O. 11. Considere el sistema (3) del ejemplo 1 del texto. Recuerde que este sistema tiene un punto crítico asintóticamente estable en (0.5, O S ) , correspondiente a la coexistencia estable de las dosespecies de poblaciones. Suponga ahora que hay inmigración o emigración a las razones constantes 6a y Sb, para las especies x y y , respectivamente. En este caso, las ecuaciones (3) se sustituyen por dxldt = ~ ( -l X

dyldt

=

-

~(0.75- y

y)+ 6 ~ , -

0.5s) + Sh

La pregunta es quéefecto tiene esto en la ubicación del punto de equilibrio estable. a) Para encontrar el nuevo punto crítico es necesario resolver las ecuaciones x(l

-

~ ~ ( 0 . 7-5 y

x

-

y ) + bu

~-

= o,

+

0.5.~) bh = O.

(ii)

Una manera de proceder es si supone que x y y se dan en series de potencias en el parámetro 6; de este modo, x=.x0+x,6+...,

y=yo+y,6+..‘ .

(iiii

Sustituya la ecuaciones (iii) en las(ii) y agrupe los términos según laspotencias de 6. b) A partir de los términos constantes (los términos que no contienen S), demuestre que x,, = 0.5 y y, = 0.5, confirmando así que, sininmigración o emigración del punto crítico es (0.5, 0.5). c) A partir de los términos lineales en 6 demuestre que x, = 4a

-

46,

y,

=

- 2 a -I 4b.

(ivJ

d) Suponga que a > O y b > O, de modo que en las dos especies se tieneinmigración. Demuestre que la solución de equilibrio resultante puede representar un aumento en las dos poblaciones, o un aumento en una y una disminución en la otra. Explique intuitivamente por qué este resultado es razonable.

9.5 Ecuaciones del de redador- resa En la sección anterior se analizó un modelo de dos especies que interactúan compitiendo por un suministro común de alimento o algún otro recurso natural. En esta secciónse con-

522

diferenciales Ecuaciones

no linealesy estabilidad

sidera la situación en la que una de las especies(el depredador) se alimenta dela otra (la presa), mientras que ésta vive de otra fuente de alimento. Un ejemplo lo constituyen los zorros y los conejos en un bosque cerrado; los zorros cazan a los conejos y estos se alimentan de la vegetación del bosque. Otros ejemplos son la perca en un lago como depredador y el redear como presa, o las mariquitas como depredadoras y los pulgones como presas. Otra vez se insiste en que un modelo que incluye sólo a dos especies no puede describir por completo las complejas relaciones entre especies que en realidad ocurren en la naturaleza. Empero, el estudio de modelos simple esel primer paso hacia la comprensión de fen6menos más complicados. Las poblaciones de la presa y del depredador en el instante t se denotarán por x y y , respectivamente. Al construir un modelode la interacción de las dos especies, se hacen las siguientes suposiciones.

1.

2. 3.

En ausencia del depredador, la presa crece con una razón proporcional a la población actual: por tanto, dxldt = ax,a > O, cuando y = O. En ausencia de la presa, el depredador se extingue; por tanto, dyidt = - cy, c > O, cuando x = O. El número de encuentros entre el depredador y la presa es proporcional al producto de sus poblaciones. Cada uno de esos encuentros tiende a favorecer el aumento de los depredadores y a inhibir el aumento de las presas. Por tanto,la razón de aumento de los depredadores se incrementaen un término de lafor:r:s yay, mientras que la razón de aumento de las presas decrece en un término - m y , en donde y y cy son constantes positivas. Como consecuencia de estas suposiciones, se tienen las ecuaciones dxldt = ax

dy/dt

= -CY

-

clxy = x(a

-

+

-C

YXJJ

=

JJ(

ay),

+ ?X).

Todas las constantesa, c, a y y son positivas; a y c son la razón de aumento de las presas y el índice de mortalidad de los depredadores, respectivamente, y (Y y yson medidas del efecto de la interacción entrelas dos especies.Las ecuaciones(1) se conocen como ecuaciones de Lotka-Volterra; su desarrollo se publicó en artículos por Lotka3 en 1925 y por Volterra4 en 1926. Aunque éstas son ecuaciones más bien sencillas, caracterizan a una amplia clase de problemas. Al final de esta sección y en los problemas se analizan algunas formas de hacerlas más realistas. La meta aquí es estudiar el comportamiento cualitativo de las soluciones (trayectorias) del sistema (1)para valores iniciales positivos arbitrariosx ydey . Esto Alfred J. Lotka (1880-1949), biofísico estadounidense, nació en lo que ahora se conoce como Ucrania y se educó principalmente en Europa. Se le recuerda sobre todo por su planteamiento de las ecuaciones de LotkaVolterra. También fue el autor, en 1924, del primer libro biología matemática, enla actualidad se le encuentra como Elements of MathemuticulBiology (New York: Dover, 1956). y Roma. Es Vito Volterra (1860-1940), distinguido matemático italiano, trabajó como profesor en Pisa,Turín famoso en particularpor su trabajo en ecuaciones integralesy análisis funcional. De hecho, una de las clases más importantes de ecuaciones integrales lleva su nombre; ver el problema 20 de la sección 6.6. Su teoría de las especies interactuantes fue motivada por los datos reunidos por un amigo suyo, D’Ancona, relacionados con la pesca en el Mar Adriático. Se puede hallar una traducción de su artículo de 1926 enun apéndice del libro deR. N. Chapman, Animal Ecologywith Special Reference to Insects (New York: McGraw-Hill, 1931).

del

9.5

Ecuaciones

523

depredador-presa

se hace primero paraun ejemplo específicoy después se regresa a las ecuaciones generales (l),al final de esta sección.

Ejemplo 1

Analizar lassoluciones del sistema dxldt = ~ (-l0.5~)= X dyldt = y( -0.75

-

OSXY,

(2)

+ 0.25~)= - 0 . 7 5 ~ + 0 . 2 5 ~ ~

para x y y positivas. Los puntos críticos de estesistema son las soluciones de las ecuaciones algebraicas

+ 0.25~)= O,

y ( -0.75

~ (-l0 . 5 ~= ) O,

(3)

a saber, lospuntos (O, O) y (3,2). Las nuliclinasx y y son las rectasy = 2 y x = 3, respectivamente, así como los ejes decoordenadas. En la figura9.5.1 se muestran los puntos críticos, las nuliclinas y el campo direccional delsistema (2). A partir de esta figura se concluye tentativamente que las trayectorias en elprimer cuadrante deben ser curvas cerradas que rodean al punto crítico (3,2). En seguida, examina el comportamiento local de las soluciones cerca de cada punto crítico. Cerca del origen es posible despreciar los términos no lineales que de lasecuaciones (2), para obtener el sistema lineal correspondiente "(")=(I dt y

O

-0.75 O

)("). y

(4)

Los eigenvalores y eigenvectores de la ecuación (4) son

5")

rl = 1,

=

(:);

rz

=

c'2)=

-0.75,

(y),

Y A

I / 0 / d -:\ \ \ \ \ \ \ I / / ' , - ; - \ \ \ \ \ \ \ \ \ I / / y e - ; - \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 - ~ 1 1 -, ' \ \ \ \ \ \ \ \ X I / / " - : - \ \ \ \ \ \ \ \ \ I / / ' " : - \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3-1 I / / / - : \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I / A - : \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

\

\

-

2

. - I~ "4-I I ;" "-I "-- t; " ~ \ "\ - \~ + \ -\~ \" \\" -\ \ "\ - \~ " - I " - ~ " - t " ~ " - ~ " ~ I \ I \ ~ " ~ # , / c " / / / / \

1 0

\

\

\

\

"

~

"

/

\

"

:

"

---

\

\

E

/

/

A

/

/ /

~ " " - : ~ " " " " ~ \ - -:- -

/ /

/

/

/

/

/

/

-""""

""",,

4

2

- 6

> X

FIGURA 9.5.1 Nuliclinas, puntos críticos y campo direccional para el sistema depredador-presa (2).

.

.

..

/

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

524 por lo que su solución general es

Por tanto, el origen es un punto silla del sistema lineal (4) y del sistema no lineal (2) por consiguiente, esun punto crítico inestable. Un par de trayectoriasentran al origen a lo largo del ejey ; todas las demás trayectorias salen dela vecindad del origen. Para examinar el punto crítico (3, 2) es posible hacer la sustitución (7)

y=2+v

x=3+u,

en las ecuaciones ( 2 ) y luego despreciar los términos no lineales en u y en u, o bien, hacer referencia a la ecuación (11) de la sección 9.3. En cualquiera de los dos casos, se obtiene el sistema lineal

;(:)

-b”)(:),

= 5.(:

(8:

Los eigenvalores y eigenvectores de este sistema son

En virtud de que los eigenvalores son imaginarios, el punto critico (3,2) es un centro del sistema lineal (8) y, por lo tanto, esun punto crítico estable de ese sistema. Recuérdese por l o visto enla sección 9.3, que este es uno de loscasos en los queel comportamiento del sistema lineal puede trasladarse o no hacia el sistema no lineal, de modo que la caracterización del punto (3, 2 ) del sistema no lineal (2) puede no ser determinada a partir de esta información. La manera más sencilla de encontrar las trayectorias del sistema lineal (8) es dividir la segunda de lasecuaciones (8) entre la primera para obtener la ecuación diferencial du

-

dvldt

du - duldt

-

0 . 5 ~- 1.50

U

-

3v

udu+3vdv=O.

u2 -+ 3v2 = k,

en donde k es una constante arbitraria no negativa de integración. En la figura 9.5.2 se muestra el comportamiento local de las soluciones de las ecuaciones ( 2 ) , cerca de cada punto crítico. Obsérvese que este comportamiento es coherente con el campo direccional que semuestra en la figura 9.5.1. Ahora, vuélva al sistema no lineal (2). Si se divide la segunda de las ecuaciones (2) entre la primera, se obtiene dl’

-

Y( -0.75

”

dx

+0.25~)

~ ( -l 0.511)

525

9.5 Ecuaciones del depredador-presa

1

FIGURA 9.5.2 Trayectorias cerca de cada punto crítico para el sistema (2). La ecuación (12) es una ecuación separable y es posible ponerla en la forma 1-0.5~ -0.75 dy = Y

+ 0.25~ X

dx,

a partir de la cual seconcluye que 0.75 In x

+ In y

-

0 . 5 ~- 0 . 2 5 ~= c,

(1 3)

en dondec es una constante de integración.Aunque la ecuación (13) no se puede resolver explícitamente para cualquiera de las variables en términos de la otra, es posible demostrar que la gráfica de la ecuación para un valor fijo dec es una curva cerrada que rodea al punto crítico (3, 2). Así entonces, el punto crítico también es un centro delsistema no lineal ( 2 ) y las poblaciones del depredador y de la presa muestran una variación cíclica. En la figura 9.5.3 se muestran varias trayectorias delsistema (2) calculadas numéricamente. Para algunas condiciones iniciales, la trayectoria representa pequeñas variaciones en x y y alrededor delpunto crítico y su forma es casi elíptica, comolo sugiere el análisislineal. Para otras condiciones iniciales, las oscilacionesen x y y son más pronunciadas, y la forma de la trayectoria es notablemente diferente a una elipse. Obsérvese que las trayectorias se recorren en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. En la figura 9.5.4 se muestra la dependencia de x y y con respecto a t para un conjunto típico de condiciones iniciales.Nótese que x y y son funciones periódicas de t, como debe ser, dado que las trayectorias son curvas cerradas. Además, la oscilación de la población del depredador va a la zaga de la presa. Si se parte de un estado en el que las dospoblaciones, del depredador y de la presa, son relativamente pequeñas, las presas aumentan primero porque hay poca caza de ellas;en seguida, con alimento abundante, también aumenta la población de los depredadores. Esto causa una cacería más intensa y el número de presas tiende a disminuir. Por último, al disminuir el suministro de alimento, la población de depredadores también disminuye y el sistema regresa a su estado original.

diferenciales Ecuaciones

526

2

no lineales Y estabilidad

6

4

X

FIGURA 9.5.3 Trayectoria del sistema (3).

1

Presa

6

4

2 "W

I

I 5

10

-W

I

I

15

20

I

25

> t

FIGURA 9.5.4 Variaciones de las poblaciones del depredador y de l a presa con el tiempo, para el sistema (2). El sistema general (1) se puede analizar exactamente de la misma manera que en el ejemplo. Los puntos críticos del sistema(1) son las soluciones de x(a

"

ay) = o;

y( -c

+ yx) = o,

es decir, los puntos (O,O) y ( c l y , a/cr). Se analizarán primero las soluciones del sistema lineal correspondiente cerca de cada punto crítico. En la vecindad del origen se desprecian los términos no lineales de las ecuaciones (1) para obtener el sistema lineal correspondiente; a saber,

527

9.5 Ecuaciones del depredador-presa

Los eigenvalores y eigenvectores son

de modo que la solución general es

Por tanto, el origenes un punto sillay, en consecuencia, inestable. La entrada al punto silla es a lo largo de la recta x = O; todas las demás trayectorias salende la vecindad del punto crítico. A continuación, considérese el punto crítico(cly,ala). Si x = (cly) t u y y = (ala) + U,el sistema lineal correspondiente es

Los eigenvalores del sistema (17) son I = k i&, por lo que el punto crítico es un centro (estable) del sistema lineal. Para hallar las trayectorias del sistema(17) se puede dividir la segunda ecuación entre la primera para obtener dv

- dvldt

du - du/dt

(ya/a)u - -~ (MC/y)V

'

o bien, ?u du

+ -vacY

dv = O.

ya -u2

ac + -u2

= k,

a

Como consecuencia, x

Y

en dondek es una constante no negativa de integración. Por tanto, las trayectorias del sistema lineal (17) son elipses, comoen el ejemplo, y el punto crítico(cly,ala) es un centro. Si se regresa brevemente al sistema no lineal(l),obsérvese quees posible reducirlo a la simple ecuación

La ecuación (21) es separable y tienela solución alny-ay+cInx-yx=C,

(22)

en donde C es una constante de integración. Una vez más, es posible demostrar que la gráfica de la ecuación (22), para C fija, es una curva cerrada que rodea al punto crítico (cly, a l a ) . Por tanto, este punto crítico también es un centro para el sistema no lineal general (1).

528

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

La variación cíclica de las poblaciones de depredadores y de presas se puede analizar con más detalle cuando las desviaciones con respecto al punto (c/y, ala) son pequeñas y es posible usar el sistema lineal(17). La solución del sistema(17) puede escribirse enla forma

c

u =-K c o s ( a t 7

en donde las constantes Ky

+ 41,

c(

4 quedan X

u=a

c

=-

Y

Ji

K sen(6t

+ 41,

(23)

determinadas por las condiciones iniciales. Por tanto,

+ c K C O S ( J ~ +~ $1, -

Y

r

Estas ecuaciones son válidas para las trayectorias elípticas cercanas al punto crítico(c/y, ala);es posible aplicarlas para sacar varias conclusiones con respectola avariación cíclica del depredador yla presa sobre esas trayectorias.

1. 2. 3.

4.

Los tamaños de las poblaciones del depredhdor y la presa varían sinusoidalmente con periodo 2 d & ; este periodo de oscilación es independiente de las condiciones iniciales. Las poblaciones del depredadory la presa están desfasadas en un cuarto de ciclo;la de la presa va adelante y la del depredador atrás, como se explicó en el ejemplo. Las amplitudes de las oscilaciones son Kcly para la presa y a 6K/a VÚ para el depredador y, por tanto, dependen de las condiciones iniciales, así como de los parámetros del problema. Las poblaciones promedio del depredadory de la presa en un ciclo completo sonc/y y a l a , respectivamente; estas son las mismas que las poblaciones de equilibrio; ver el problema 9.

Las variaciones cíclicas del depredadory de la presa, como las predicen las ecuaciones (1) se han observado en la naturaleza. Un ejemplo sorprendente lo describe Odum (págs. 191-192); con base en los registros de la Hudson Bay Company de Canadá, la abundancia de lince y liebre, segúnlo indica el número de pieles obtenidas durante el periodode 1845 a 1935, muestra una variación periódica distinta con periodo de nueve a diez años. Los picos de abundancia son seguidos por disminuciones muy rápidas, y los picos de abundancia del lincey la liebre están desfasados, con los dela liebre adelante de los del lince enun años o más. El modelo de Lotka-Volterra del problema depredador-presa reveló una variación cíclica que quizá pudo haberse anticipado. Por otra parte, la aplicación del modelo de Lotka-Volterra en otras situaciones puede llevara conclusiones queno son evidentes intuitivamente. En el problema 11 se da un ejemplo que sugiere un peligro potencial en el uso de insecticidas. Una crítica a las ecuaciones de Lotka-Volterra es que, en ausencia del depredador, las presas aumentarán sin límite. Esto se corrige si se toma en cuenta el efecto inhibitorio natural que una población creciente tiene sobre su índice de crecimiento; por ejemplo, la primera de las ecuaciones (1) puede modificarse de modo que cuando y = O se reduzca a una ecuación logística para x (ver el problema 12). La consecuencia más importante de esta modificación es que el punto crítico (ciy, en aia) se desplaza hacia( c i y , ala- oclxy )

529

9.5 Ecuaciones del depredador-presa

y se vuelve un punto asintóticamente estable. Este es un nodo o un punto espiral, dependiendo de los valores de los parámetros en las ecuaciones diferenciales. En cualquier caso, las demás trayectorias dejan de ser curvas cerradas, aunque tiendenal punto crítico cuando t --t x).

Cada uno de los problemas 1 a 5 puede interpretarse como si describiera la interacción dedos especies con densidades de población x y y . En cada uno de estos problemas, efectúe 10s siguientes pasos: a) Ecuentre los puntos críticos. b) Para cada punto critico, halle elsistema lineal correspondiente. Encuentre10s eigenvalores y eigenvectores del sistemalineal; clasifique cada punto crítico según SU tipo y determine si es asintóticamente estable, estable o inestable. c) Trace las trayectorias en la vecindad de cada punto critico. d) Si es posible, calcule y trace las trayectorias suficientes del sistema para mostrar con claridad el comportamiento de las soluciones. e) Determine el comportamiento límite de x y y cuando t 00 e interprete los resultados en términos de las poblaciones de las dos especies. = ~(1.5 - 0.5~) dy/dt = y( -0.5 X) 3. dxldt = ~ ( l 0.5~ - 0.5~) dyldt = y( -0.25 0 . 5 ~ ) 5. dxldt = X(- 1 2 . 5 ~- 0 . 3 ~ - x’) dy/dt = y( - 1.5 X)

1. dxldt

+

+

+ +

= ~ (l 0.5~) dy/dt = Y( -0.25 0 . 5 ~ ) 4. dx/dt = ~(1.125 -X -0.5~) dy/dt = y( - 1 X)

2. dxldt

+

+

6. En este problema se examina la diferencia de fase entre las variaciones cíclicas de las poblaciones del depredador y de la presa, según se dan en las ecuaciones (24)del texto. Suponga queK > O y que t se mide apartir del instante en que la población de la presa (x) es un máximo; entonces C$ = O. Demuestre quela población del depredador(y) es un máximo en t = 7r/2& = T/4,en donde Tes el periodo de oscilación. ¿Cuándo aumenta con mayor rapidez la población de la presa, cuándo disminuye más rápidoy cuándo es un mínimo? Contestelas mismas preguntaspara la población del depredador. Traceuna trayectoria elíptica típica que encierre al punto ( d y , a/a)y marque estos puntos enella. 7. a) Encuentre la razón entre las amplitudes de las oscilaciones de las poblaciones de la presa y del depredador alrededor del punto crítico (cly, a/a),si se usa la aproximación (24),que es válida para oscilaciones pequeñas. Observe que la razón es independiente de las condiciones iniciales. b) Evalúe la razón hallada en el inciso a) para el sistema (2). C ) Calcule la razón entrelas amplitudes parala solución del sistema no lineal (2) que se muestra en la figura 9.5.4 ¿Concuerdael resultado con el obtenido 2 partir de la aproximación lineal? *d) Si es posible, determine la razón entre las amplitudes depredador-presa para otras soluciones del sistema (2); es decir, para soluciones que satisfagan otras condiciones iniciales. ¿Es independiente la razón de las condiciones iniciales? 8. a) Encuentre el periodo de las oscilaciones de las poblaciones de la presa y el depredador, si se usa la aproximación (24), que es válida para oscilaciones pequeñas. Observe que el periodo es independientede la amplitud de las oscilaciones.

530

lineales

no

diferenciales Ecuaciones

y estabilidad

b) Para la solución del sistema no lineal (2) que semuestra en la figura9.5.4, calcule el periodo tan bien como sea posible.¿Es igual el resultado al de la aproximación lineal? *c) En caso de ser posible, calcule otras soluciones del sistema (2); es decir, soluciones que satisfagan otras condiciones iniciales y determine sus periodos. ¿El periodo es el mismo para todas las condiciones iniciales? 9. Los tamaños promedio de las poblaciones de la presa y el depredador se definen come 1 -f

=

S,

A+T

x(t) dt,

;

y = - JAA"

Y@) d t ,

respectivamente, en donde Tes el periodo de un ciclo completoy A es cualquier constante no negativa. a) Si se aplica l a aproximación (24), válida cerca del punto critico, demuestre quex c/y,

y = alru.

b) Para la solución del sistema no lineal ( 2 ) que semuestra en la figura 9.5.4 calcule?y por c/y y d a ,respectivamente. Sugerencia: considere cómo podria estimarse el valor de una integral aun sincontar con una fórmula para el integrado. *c) Si esposible, calcule otrassoluciones del sistema (2);es decir, soluciones que satisfagan otras condiciones iniciales y determine X y 7 para estas soluciones. ¿Los valores de X y j son los mismos para todas las soluciones? 10. Suponga que las ecuaciones depredador-presa (1)del textorigen a los zorros ( y )y conejos (x) en un bosque. Una compañia se dedica a atrapar zorros y conejos por sus pieles. Explique por qué es razonable que la compañia realice su operación de modo que desplace a la población de cada especie rnAs cercana al centro (c/h ala). ¿Cuándo es mejor atrapar zorros? ¿Cuándo conejos? ¿Cuándo conejos y zorros? ¿Cuándo ninguno? Sugerencia: ver el problema 6. Todo lo que se requiere es un argumento intuitivo. 11. Suponga que a una población de insectos (x) la controlauna población de un depredador natural ( y ) , según el modelo (I), de modo que existenpequeñas variaciones cíclicas de las poblaciones alrededor del punto crítico ( c / x da).Suponga que seemplea un insecticida con la meta de reducir la población de insectos y que este insecticida también es tóxico para los depredadores; de hecho, suponga que elinsecticidas mata tanto a la presa como al depredador en razones proporcionales a sus poblaciones respectivas. Escriba las ecuaciones diferenciales modificadas, determine el nuevo punto de equilibrio y compárelo con el punto de equilibrio original. Prohibir los insecticidas conbase en este modelo simple y el resultado contrarioa la intuición ciertamente seria desacertado.Por otra parte,también es imprudente ignorar la posible existenciagenuina de un fenómeno como el sugerido por este modelo. 12. Como se mencionó en el texto, una mejora en el modelo depredador-presa es modificar la ecuación de l a presa de modo que adquiera la forma de una ecuación logística, en ausencia del depredador. Por tanto, en lugar de las ecuaciones (1) se considera el sistema

y tan bien como se pueda. Intente determinar en este caso,sTx yy se expresan

dX/dt = X(U

- OX

-

ZY).

d y / d t = Y( - c

+

./X),

en donde a , u, a, c y y son constantes positivas. Determine todos los puntos criticos y analice su naturaleza y características de estabilidad. Suponga que a / o >> C& ¿Qué sucede para los datos iniciales x # O, y Z O?

9.6

531

Segundo método de Liapunov

En la sección9.3 se demostró de qué manera suele determinarse la estabilidad de un punto crítico de un sistema casi lineal a partir de un estudio del sistema lineal correspondiente. Sin embargo, no es posible sacar conclusiones cuando el punto crítico esun centro del sistema lineal correspondiente. Ejemplos de esta situación elson péndulo no amortiguado, las ecuaciones (1) y (2) que se danun poco más adelantey el problema depredador-presa que se analizó en la sección9.5. También, para un punto crítico asintóticamente estable puede ser importante investigar la región de estabilidad asintótica; es decir, ese dominio para el que todas las soluciones que inician en su interior tiendan al punto crítico. Dado que la teoría de los sistemas casi lineales es una teoría local, no proporciona información sobre esta cuestión. En esta sección se analiza otro enfoque, conocido como segundo mCtodo de Liapunovs o método directo.El método se menciona como directo porque no se requiere conocimiento alguno dela solución del sistema de ecuaciones diferenciales. En vez de ello, las conclusiones sobre la estabilidad o inestabilidad de un punto crítico se obtienen al construir una función auxiliar adecuada. La técnica es una muy poderosa que proporciona un tipo de información más global; por ejemplo, una estimación de la extensión de la región de estabilidad asintótica de un punto crítico. Además, también puede aplicarse el segundo método de Liapunov para estudiar sistemas de ecuaciones queno sean casi lineales; sin embargo, aquí no se abordarán esos problemas. Básicamente, el segundo método de Liapmov es una generalización de dos principios físicos de los sistemas conservativos; a saber, i) una posición de reposo es estable si la energía potencial esun mínimo local; en caso contrario, es inestable, y ii) la energía total es una constante durante cualquier movimiento. Para ilustrar estos conceptos, considérese otra vez el péndulo no amortiguado (un sistema mecánico conservativo), que se rige porla ecuación d28 dt2

+ y1 sen B = O. -

El sistema correspondientede ecuaciones de primer orden es

en dondex = 8 y y = d6ldt. Si se omiteuna constante arbitraria, la energía potencial U es el trabajo efectuado al elevar el péndulo por arriba su de posición más baja; a saber, U ( x , y ) = mgl(1

-

cos x);

(3)

'Alexandr M. Liapunov (1857-1918), estudiante de Chebyshev en San Petersburgo, enseñ6 en la Universidad de Kharkov desde 1885 hasta 1901, cuando se hizo académicoen matemáticas aplicadas en la Academia de Ciencias de San Petersburgo. En 1917 se mudó a Odessa debido ala delicada salud de su esposa. Sus investigaciones sobre estabilidad abarcan tanto análisis teóricos como aplicacionesa varios problemas fisicos. Su segundo m6todo formóparte de su trabajo más importante, General Prohlcm of Stability of Motion, publicado en 1892.

.., .

.

...

^ "

,

532

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

ver la figura 9.2.4. Los puntos críticos del sistema (2) son x = +n TL y = O, n = O, 1, 2, 3, . . . , correspondientes a 8 = k nn, d8ldt = O. Físicamente, es de esperar que los puntosx = O, y = O; x = f 2 x , y = O, . . . , correspondientes a8 = O k 27c, . . . ,para los que la lenteja del péndulo está vertical conel peso hacia abajo, sean estables, y que los puntos x = k n,y = O; x = k 37c, y = O, . . . , correspondientes a 8 = k n,f.3 n, . , . , para los que la lenteja del péndulo esti vertical con el peso hacia arriba, sean inestables. Esto concuerda con la proposición i) porque, en los primeros puntos, U es un mínimo igual a cero, y en los segundos, U es un máximo igual a 2 rngl. A continuación, considéresela energía total V, que es lasuma de l a energía potencialU y la energía cinética ;m (ddldt) ?. En términos de x y y , ~ ( s J.) , =

rngl(1 - cos x) + $nz12y2.

(4)

Sobre una trayectoria correspondiente a una solución x = 4(f),y = ~ ( tde) las ecuaciones r. La derivada de V[+(t), ~ ( t ) se ] llama razón de cambio de Val seguir la trayectoria. Por la regla de la cadena,

(2), V puede considerarse como una función de

en donde se sobreentiende que x = $(r), y = y(t).Por último, al sustituir dxldt y dyidr de la (5) por sus expresiones en (2), se encuentra que dVldt = O. De donde, Vesuna constante a lo largo de cualquier trayectoria del sistema (2), lo que es la proposición ii). Es importante hacer notar que, en cualquier punto (x, y ) , la razón de cambio de V a lo largo de la trayectoria que pasa por ese punto se calculó sin resolver realmente el sistema (2). Es precisamente este hecho el que permite usar el segundo método de Liapunov para sistemas cuya soluciónse desconoce y, por tanto, lo convierte en una técnica tan importante. En los puntos críticos establex = +2nx,y = O, n = O, 1,2, . . . , la energía Ves cero. Si el estado inicial, por ejemplo ( x i , y,), del péndulo se encuentra suficientemente cerca de un punto crítico estable,la energía V(x,,y,) es pequeñay el movimiento (trayectoria) asociado con esta energía permanece cercana al punto critico. Se puede demostrarque si V(xl,xl) es suficientemente pequeña, la trayectoria es cerrada y contiene al punto crítico. Por ejemplo, supóngase que (xl, y l ) está cerca de (O, O) y que V(x,, y , ) es muy pequeña. La ecuación de la trayectoria con energía V(xi, y,) es V(u. y)

=

rny/(l

cos .Y) + ; - r n / - v 7

-

7

= V(X1. ) > I ) .

Para x pequeña se tiene 1- cos x = 1 - (1 - x2/2! + . . . ) = x2/2. Por tanto, la ecuación dela trayectoria es aproximadamente

9.6

533

Segundo método de Liapunov

Esta es una elipse que encierra al punto crítico (O, O); mientras más pequeña sea V(x,, y,), más pequeños sonlos ejes mayor y menor de la elipse. Físicamente, la trayectoria cerrada corresponde a una solución que es periódicaen el tiempo: el movimiento es una pequeña oscilación en torno al punto de equilibrio. Sin embargo, si existe amortiguamiento, es natural esperar que la amplitud del movimiento decaiga con el tiempo y que el punto crítico estable (centro) se vuelva un punto crítico asintóticarnente estable (punto espiral). Ver el diagrama de las trayectorias para el péndulo amortiguado enla figura 9.3.5. Esto casi puede argumentarse al considerar dVldt. Para el péndulo amortiguado, la energía total todavía se expresa por la ecuación (4); pero ahora, por las ecuaciones(17), de la sección 9.3, dx/dt = y y dyldt = -(glosen x - (c/lm)y. Si sesustituyen dxldt y dyldt dela ecuación (5) da dVldt = -cly2 9 O. Por tanto, la energía es nocreciente a lo largo de cualquier trayectoriay, excepto porla recta y= O, el movimiento es detal tipo que la energía disminuyey por consiguiente, cada trayectoria debe tender a un punto de energía mínima:un punto de equilibrio estable. Si dVldt < O, en vez de dVldt 5 O, resulta razonable esperar que esto sea cierto para todas las trayectorias que se inician lo suficientemente cerca del origen. Para proseguir más estas ideas, considérese el sistema autónomo

hldt = F(x,y),dyldt

= G(x, y),

y supóngase que el punto =xO, y = O es un punto crítico asintóticamente estable. Entonces existe algún dominioD que contiene a(O, O) tal que toda trayectoria quese inicie enD debe tender al origen cuando t m. Supóngase que existe una función de “energía” V tal que V(x, y) 2 O para (x,y) en D, con V= O sólo en el origen. Como cada trayectoria D en tiende al origen cuandot + m, si se sigue cualquier trayectoria particular, Vdecrece a cero cuando t tiende al infinito. El tipo de resultado quese desea demostrar es en esencia el inverso: si, sobre toda trayectoria, V decrece a cero cuando t crece, entonces las trayectorias deben tender al origen cuandot + cc y, de donde, el origen es asintóticamente estable. Sin embargo, es necesario dar primero varias definiciones. Sea Vdefinida sobre algún dominio D que contiene el origen. Entonces se dice queVes definida positiva sobreD si V(0, O) = O y V(x, y) > O para todos los demás puntos en D. De manera semejante, se dice que Ves definida negativa sobre D si V(0, O) = O y V(x, y) < O para todos los demás puntosen D. Si sesustituyen las desigualdades > y < por 2 y 5 ,se dice que V es semidefinida positiva y semidefinida negativa respectivamente. Se hace hincapié en que al hablar de una función definida positiva (definida negativa, . . .) sobre un dominio D que contiene al origen, la función debe ser cero en el origen, además de satisfacer la desigualdad adecuada en todos los demás puntos en D. --$

Ejemplo 1

La función V(x, y ) = sen (x2 + y 2 )

es definidapositiva sobre x 2 + y 2 < nl2, ya que V(0,O) = O y V(x, y ) > O para O < x2 + y2 < ~ 1 2 . Sin embargo, la función V(4 Y ) = (x + Y ) *

es Só10 semidefinida positiva, ya que V(x,y) = O sobre la recta y = -X.

534 "____

Ecuaciones d$erenciaies no lineales y estabilidad "

También se desea considerar l a funcicin b'(.Y.

y) =:

Y,(.i. J,)F(.i,y ) +

c p , y)C;(.u, y),

(7)

en donde F y G son las mismas funciones que enlas ecuaciones (6). Se elige esta notación porque V ( x ,y ) puede identificarse comola razón de cambio de Va lo largo de la trayectoria del sistema( 5 ) que pasapor el punto(x,y). Es decir, si x = $(t),y = ~ ( tes)una solución del sistema (6), entonces

=--- k;(.Y.

--= c'(.\.

y ) f " ( x ,y) t J).

VP(.i. y)G(.q y )

18)

Algunas veces la funcihn Vse menciona comola derivada de Vcon respecto a l sistema (6). A continuaciiin se enuncian los dos teoremas de Liapunov; el primero sobre la estabiliclad y el segundo sobre !a inestabilidad.

La función V se llama función de Liapunov. Antes de presentar demostraciones geométricas delos teoremas 9.6.1 y 9.6.2, es conveniente hacer notar que la dificultad en l a aplicación de estos teoremas es que nada dicen sobre cómo construir una función de Liapunov, si se supone que existe. En los casos en los que el sistema autónomo (6) representa un problema físico, es natural considerar primero la función real de energía total del sistema como una funci6n posible de Liapunov. Sin embargo, conviene resaltar que los teoremas 9.6.1 y 9.6.2 son aplicables en casos en !xque no es pertinente el concepto de energia física. En esos casos puede ser necesarioun enfoque prudente por. tanteos. Considérese ahora l a segunda parte del teorema9.6.1, es decir, el casoVs O. Sea c 2 O una constante y considérese la curvaen el plano xy dada por V(x,y ) = c. Para c = O, la curva se reduce a l simple puntox = O, y = O. Sin embargo, para c > O y suficientemente pequeña, es posible demostrar que al aplicar la continuidad de V, la curva es cerrada y contiene al

9.6

Segundo método de Liapunov

535

origen, como se ilustraen la figura 9 . 1 . 6 ~Además . se supone que siO < c1 < c2, la curva V(x,y) = c1 está dentro dela curva V(x,y ) = c2. Se demostrará que una trayectoria que se inicie adentro de una curva cerrada V(x, y) = c no puede salir de ésta. Por tdnto, dado un círculo de radio E alrededor del origen, al tomar c suficientemente pequeña se puede asegurar que toda trayectoria que se inicie adentro dela curva cerrada V(x,y ) = c permanece dentro del círculo de radio E ; de hecho, permanece en el interiorde la propia curva cerrada V(x,y ) = c. Por tanto, el origen es un punto crítico estable. Para demostrar esto, recuérdese por lo visto en cálculo que el vector

conocido como gradiente deV, es normal a la curva V(x,y ) = c y apunta en la direccih de V creciente. En este caso, V crece hacia afuera del origen, de modo que VV apunta hacia afuera del origen, comose indica en la figura 9.6.1 b. Considérese a continuaciónuna trayectoriax = +(r), y = w(t) del sistema (6) y recuérdese que el vector T(t) = $(l)i t ~ ( t es) tangente a la trayectoria en cada punto; ver la figura9.6.1 b. Sea x, = y , = v/(t,) un puntc de intersección de la trayectoriauna y curva cerradaV(x,y ) = c. En este punto, +'(t,) = F(x,, yl), w'(t,) = G(xl, yl), de modo que, por la ecuación (7), se obtiene

Ql?

4'1)

Yl)d'(ll)+ V,(Xl> Yl)$'(tl) + V,(x,, y h j l [4'(t1)i+ $'(tl)jl = VT/(x,, ~ 7 ~T(tl). ) = W 1 ? =

[K(xl, Y$

(10)

Por tanto, V(x,,y , ) es el producto escalar del vectorV V ( x , , y , )y el vectorT(t,). Dado que IO, se concluye que el coseno del ángulo entre V V ( x , , y,) y T(t,) también es menor que, o igual a cero de donde, el propio ángulo se encuentra en el intervalo [n/2,3n/ 21. Por tanto, la dirección del movimiento sobrela trayectoria es hacia dentro con respecto a V(x,y ) = c o , en el peorde los casos, tangente a esta curva. Las trayectorias que se inician en el interior de una curva cerrada V(x,y) = c (no importa cuán pequeña sea c) no puede escapar, de modo que el origen un es punto estable. SiV(x,y ) < O, entonces las trayectorias que pasanpor los puntos dela curva en realidad apunta hacia adentro. Como consecuencia, ,

V(x,,yl)

fa)

FIGURA 9.6.1 Interpretación geométrica del método de Liapunov.

I.

. .

.

536

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

es posible demostrar que las trayectorias que se inician suficientemente cerca del origen deben tener a éste; de donde, el origenes asintóticamente estable. Una demostración geométrica del teorema 9.6.2 se deduce mediante argumentos semejantes. Brevemente, suponga que Ves definida positiva que, y dado cualquier círculo alrededor del origen existe un punto interior (x,, yI) en el que V(xI, y l ) > O. Considérese una trayectoria que se inicie en (x1, yl). A Io largo de esta trayectoria, por la ecuación (8) se concluye que V debe crecer, ya que V(x, y) > O; además como V(x,, y,) > O, la trayectoria no puede tender al origen debido a que V(0, O) = O. Esto demuestra que el origen no puede ser asintóticamente estable.Al aprovechar másel hecho de que V(x,y) > O, es posible demostrar que el origen es un punto inestable; sin embargo, aquí no se proseguirá esta argumentación. Para ilustrar l a aplicación del teorema 9.6.1, se considerará la cuestión de la estabilidad del punto crítico (O, O) de las ecuaciones (2) del péndulo no amortiguado. Aunque el sistema (2) es casi lineal, el punto (O, O) es un centro del sistema lineal correspondiente, porlo que nada es posible concluir a partir del teorema 9.3.2. Como el sistema mecánico es conservativo, es natural sospechar que la función de energía total V definida por l a ecuación (4) es una función de Liapunov. Por ejemplo, sise toma D como el dominio- d 2 < x < 7r/2, - X < y < m,entonces Ves definida positiva. Como se ha visto, V(x,y ) = O, de modo que por la segunda parte del teorema 9.6.1 se concluye que el punto crítico(O, O) de las ecuaciones (2) es un punto crítico estable. El péndulo amortiguadose analiza en el problema 7. Desde un punto de vista práctico se suele tener más interés en l a región de estabilidad asintótica. Uno de los resultados más sencillos que se refieren a esta cuestión se da en el siguiente teorema.

En otras palabras, el teorema 9.6.3 dice que si x = +(I), y = y(t) es la solución de las ecuaciones (6) para datos iniciales que se encuentren en D,, entonces (x, y ) tiende al punto crítico (O, O) cuando t "+ m. Por tanto, D, da una región de estabilidad asintótica; porsupuesto, es posible que no toda l a región sea de estabilidad asintótica. Este teoremase prueba al demostrar que: i) no existen soluciones periódicas del sistema (6)en D, y ii) que en D , no existen otros puntos críticos. Entonces, se concluye que las trayectorias que inician en D, no pueden escapar y, por lo tanto, deben tender a l origen cuando t tiende al infinito. Los teoremas 9.6.1 y 9.6.2 dan las condiciones suficientes para la estabilidad y la inestabilidad, respectivamente; sin embargo, estas condiciones no son necesarias, ni el que no pueda determinarse una función adecuada de Liapunov significa que no exista alguna. Empero, no existen métodos generales para l a construcción de funciones de Liapunov; no obstante, se ha investigado bastante sobre la construcción de funciones de Liapunov para clases especiales de ecuaciones. Un resultado sencillo del álgebra elemental,que a menudo resulta útil en la construcción de funciones definidas positivas o definidas negativas, se enuncia sin demostración en el siguiente teorema.

537

9.6 Segundo método de Liapunov

En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicación del teorema 9.6.4.

Ejemplo 2

Demostrar queal punto crítico (O, O) del sistema autónomo. dxjdt =

-X

-

xy2, dyldt

= -Y

(14)

- X'Y

es asintóticamente estable. Se intentará construiruna función de Liapunov de la forma (11). Entonces Vx(x,y ) = 2ax + by, V,(x, y ) = bx + 2cy de modo que

+ by)( - x xy') + (bx + 2cy)( - y x2y) [2a(x2 + x2yZ) + h(2xy + xy3 + yx3) + 2c(y' + xZy2)].

Q(x, y ) = (2ux =

-

-

-

Si seelige b = O y que a y c sean números positivos cualesquiera, entoncesVes definida negativa y V es definida positiva, en virtud del teorema 9.6.4. De donde, por el teorema 9.6.1, el origen es un punto crítico asintóticamente estable.

Ejemplo 3

Considérese el sistema dx/dt

~ ( -l X

-

dy/dt = ~ ( 0 . 7 5- y

y),

- 0.5~).

En el ejemplo 1 de la sección 9.4 se encontró que este sistema modela cierto par de especies competidoras y que el punto crítico (0.5,0.5) es asintóticamente estable. Confirmar esta conclusión al hallar una función de Liapunov adecuada. Resulta conveniente transformar el punto (0.5,O.S) en el origen. Con este fin, sean x

= 0.5 + u,

y = 0.5

+ U.

(16)

Entonces, si se sustituyen x y y en las ecuaciones (15), se obtiene el nuevo sistema duldt = - 0 . 5 ~ - 0.511- u' - U V , dvjdt = - 0 . 2 5 ~ - 0 . 5 ~- 0 . 5 ~~ 'c2.

Para mantener relativamente sencillos los cálculos, considérese la función V(u, u) = u2 + v2 como una posible función de Liapunov. Es obvio que esta funciónes definida positiva, por lo que la única cuestión es si existe una región que contenga al origen en el plano uv, en donde la

.

.

.

. ." "

538

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

~

derivada Vcon respectoal sistema (17) sea definida negativa. Se calcula V(u, u) y se encuentra que

1

V(u,u) =

dt

=

v, du + dt -

do -

2u( - 0 . 5 ~ - 0.50 - u2 - U U ) + 2 ~- 0( . 2 5 ~ - 0 . 5 ~- 0 . 5 ~ ~ U*),

o bien, i.(u, U ) = -[(u'

+1

+

. 5 ~ ~

+ (2u3 + 2 d V +

uU2

+w)],

(18)

en donde sehan agrupado los términos cuadráticos y cúbicos. Se desea demostrar que la expresión entrecorchetes de la ecuación (18) es definida positiva,por lo menospara u y vsuficientemente pequeñas. Obsérvese que los términos cuadráticos pueden escribirse como u2 + 1 . 5 + ~ t" ~ = 0.25(u2 + U')

+ 0.75(~+

(19)

de modo que tales términos son definidos positivos. Por otra parte, el signo de los términos cúbicos dela ecuación (18) puede ser cualquiera de los dos. Por tanto, se debedemostrar que, en alguna vecindad de u = O, u= O, los términos cúbicos son menores enmagnitud que los términos cuadráticos; es decir, 12u3 + 2u'c

+ uu2 + 2u31 i:0.25(u2+ a"! + 0.75(u + U)'.

(201

Para estimar el primer miembro de la ecuación (20) seintroducen las coordenadas polares u = r cos 8, u = r sen 8. Entonces, 12u3 + 2u'u

+ uc2 + 2a31 = r3\2cos3 O + 2 cos2 O sen O + cos O sen' B + 2 sen3 01 5 r3[21cos3O1 + 2 cos' OlsenO1 + [COS Hisen' O + 2/sen3Oil

en virtud de que sen 8 , cos 8 5 1.Para satisfacer esta ecuación ahora resulta obvio quebasta con satisfacer el requisito más estricto 7 r 3 < 0.25(u2 t u') = 0.25r2,

lo da r < 1/28. Por tanto, al menos en este disco, se satisfacen las hipótesis delteorema 9.6.1, por lo que el origen es un punto crítico asintóticamente estable del sistema (17). Entonces lo mismo escierto para el punto crítico (0.5, 0.5) del sistema original (15). Con referencia al teorema 9.6.3, el argumento anterior muestra también que el disco con centro en(0.5,0.5) y radio 1/28es una región de estabilidad asintóticapara el sistema (15). ÉSta es una grave subestimación de la región completa de estabilidad asintótica, comose demuestra en elanálisis efectuado en la sección 9.4. Para obtener una mejor estimación de laregión real de estabilidad asintótica, con base en el teorema 9.6.3, tendrían que estimarse con más exactitud los términos de la ecuación (20),aplicar una mejor(y quizá más complicada) función de Liapunov o las doscosas.

Problemas En cada uno delos problemas 1 a 4 construya una función de Liapunov adecuada de la forma dondedeben determinarse a y c. Acontinuación, demuestre que el punto Crítico en el origen es el del tipo indicado.

ax2 + cy2, en

9.6

539

Segundo método de Liapunov

1. &/dt = -x3 + xy2,dyldt = -2x2y - y 3 ; asintóticamenteestable 2.&/dt = 4 x 3 + 2xy2,dyldr = -y3; asintóticamenteestable 3. &/dt = -x3 + 2y3,dyldt = -2xy2; estable(porlomenos) 4.&ldt = x3 -y3,dyldt = 3 s y 2 4x2y t 2 y 3 ; inestable 5. Considere el sistema de ecuaciones

+

dxfdt = y

-XNX,

y),

dyjdt =

-X

- yf(x, y),

en donde f e s continua y tiene primeras derivadas parciales continuas. Demuestre que si f(x, y ) > O en algunavecindad del origen, entonceseste es un punto crítico asintóticamente estable y, sif(x, y ) < O, en alguna vecindaddel origen, entonceséste es un punto crítico

inestable. Sugerencia: construya una función de Liapunov de la forma c ( x 2 t y*). 6. Una generalización de la ecuación del péndulono amortiguado es *uldt2

+ g(u) = O,

d

(i)

en donde g(0) = O, g(u) > O para O < u < k, y g(u) < O para -k < u < O; es decir, ug(u) > O para u # O, -k < u < k. Observe que g(u) = sen u tiene estapropiedad sobre( 4 2 , d 2 ) . a) Haga x = u , y = du/dt, escriba la ecuación (i) como un sistema de dos ecuaciones y demuestre quex = O, y = O es un punto crítico. b) Demuestre que V(r, y ) = fyz

+

g(s) ds,

-

k < X < k,

(ii)

es definida positivay aplique este resultados para demostrar queel punto crítico (O, O) es estable. Observe quela función de Liapunov V dada por la ecuación (ii) corresponde ala función de energía V(x, y ) = ; y 2 + (1- cos x) para el caso g(u) = sen u. 7. Al introducir variables adimensionables adecuadas, el sistema de ecuacionesno lineales para el péndulo amortiguado [ecuaciones(17) de la sección 9.31 puede escribirse como kldt

= y, dyldt

= -y - sen x.

a) Demuestre que el origen es un punto crítico. *b) Demuestre que aunque V(x, y) = x 2 + y 2 es definida positiva, V(x, y ) toma valores positivos como negativos en cualquier dominio que contenga al origen, por lo que Vno es una función de Liapunov. Sugerencia: x - sen x > O para x > O y x - sen xC O para x < O. Considere estos casos con y positiva, pero lo suficientementepequeña que puedaignorarsey * en comparación con y. c) Aplique la función de energíaV(x, y ) = $y* + (1 - cos x) mencionada en el problema 6 b) para demostrar que el origen es un punto critico estable. Sin embargo, observe que aunque haya amortiguamientoy pueda esperarse que el origen sea asinióticamente estable, no es posible llegar a esta conclusión si seutiliza esta función de Liapunov. *d) Para demostrar la estabilidad asintótica es necesario construir una mejor función de Liapunov quela usada en elinciso c). Demuestre que V(x, y ) = ; ( x + y ) *+ x 2 + ; y 2 es esa función de Liapunov y concluya que el origenes un punto critico asintóticamenteestable. Sugerencia: Apartirde lafórmula de Taylor con residuo se concluyesenx que= x - a x 3 / 3!, en donde (Y depende de x pero O. < (Y < 1 para 4 2 < x < nI2. Entonces, al hacer x = r cos O, y = r sen O, demuestre que V(r cos6, r sen O ) = -r2 [ 1 t h(r, O ) ] , en donde 'h(r, O ) < 1 si r e s suficientemente pequeña,

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

540

8. La ecuación de Liénard (problema 23 de la sección 9.3) es d2U

+ c(u)ddtU + g(u) = o, --

dt2

en dondeg satisface lascondiciolzes del problema 6 y c(u) 21 O. Demuestre que el punto u = O, duldt = O es un punto crítico estable. 9. a) Un caso especial de la ecuación de Liénard del problema 8 es d2u

du + -- + g(u) = o, dt2 d t

-

en dondeg satisface las condiciones del problema 6. Hágase x = u,y = du/dt y demuestre que elorigen es un punto crítico delsistema resultante. Esta ecuación puede interpretarse como si diera el movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguamiento proporcional a la velocidad y a una fuerza de restitución no lineal. Use la función de Liapunov del problema 6 y demuestre que elorigen es un punto crítico estable,pero observe que incluso con amortiguamiento no es posible concluir la estabilidad asintótica al utilizar esta función de Liapunov. *b) Puede demostrarse la estabilidad asintótica del punto crítico (O, O) al construir una mejor función de Liapunov que la del inciso d) del problema 7. Sin embargo, elanálisis para una función general g e s algo complicado, por lo que solamente se mencionará que V tendrála forma V(X, y ) =

+ Ayg(x) +

J”:

ds) d.y,

en donde A es una constante positiva que debe elegirse de modo que V sea definida positiva y V sea definida negativa. Para el problema del péndulo [ g(x) = sen x] use V, según la dala ecuación anterior, conA = $,para demostrar que elorigen es asintóticamente estable. Sugerencia: Use sen x = x - ux3/3! y cos x = 1 - px2/2!, en donde (Y y p depende de x, pero O < (Y < 1 y O < p < 1, para -x12 < x < x/2; haga x = r cos O, y = r sen 8 y demuestre que V(r cos O, r sen O) = - f r 2 [ 1 + f sen 2 O + h(r, O ) ] , en donde h (r, O ) < si r es suficientemente pequeña. Para demostrar que Vesdefinida positiva usecos x = 1 - x2/2 + y x4/4!,en donde y depende de x, pero O < y< 1 para -n/2 < x < nl2. En los problemas 10 y 11 se demostrará la parte del teorema 9.3.2: si el punto crítico (O, O) del sistema casi lineal dx/dt = ux

+ by + F , ( x ,y ) ,

dql/dt = cx

+ dy + G,(x,

JB)

(i )

es un punto crítico asintóticamente estable del sistema lineal correspondiente dxldt

= ax

+ by,

dy/dt = cx

+ dy,

(ii)

entonces es un punto crítico asintóticamente estable del sistema casi lineal (i). El problema 12 trata del resultadocorrespondiente para la inestabilidad. 10. Considere el sistema lineal (ii). a) Dado que (O, O) es un punto crítico asintóticamente estable, demuestre quea + d < O y que ad - bc > O. (Ver el problema 21 de la sección 9.1).

periódicas 9.7 Soluciones

541

y ciclos límite

b) Construya una función de LiapunovV(x, y ) = A x 2+ Bxy + C y 2tal que Vsea definida positiva y Vsea definida negativa. Una forma de asegurar que Vsea definida negativa es elegir A , B y C de modo queV(x, y ) = -x2 - y 2 . Demuestre que esto dael resultado A

=

-c2

+ d 2 + (ad - bc), 2A

B=-

bd

+ ac A

= -a2

’

+ b2 + (ad - bc) 2A

en donde A = (a + d)(ad - bc). c) Use el resultado del inciso a) para demostrar queA > O y, a continuación demuestre (se requieren varios pasos algebraicos) que 4AC - B2=

(U’

+ b2 + c2 + d2)(ad- bc) + 2(ad - bc)’ A2

> o.

De donde, por el teorema 9.6.4, Ves definida positiva. 11. En este problema se demuestra que la función de Liapunov que se construyó en el problema anterior también es una función de Liapunov para el sistema casi lineal (i). Es necesario demostrar que existe alguna región que contiene al origen en la que Ves definida negativa. a) Demuestre que @(X, y)

=

-(X’

+ y’) + (2Ax + By)F,(x, y) + (Bx + ~ C J J ) G , (y).X ,

b) Recuerde queF,(x, y ) / . + O y G,(x,y ) / . --* O cuando r = (x2+ ”+ O. Esto significa que dado cualquierE > O existe un círculo r = R alrededor del origental que para O 5 I < R, ‘F,(x, < Er y C,(x,y ) < Er. Si M es el máximo de 2A1, iBi y :2Ci,demuestre al introducir coordenadaspolares, que puedeelegirse R de modo queV(x, y ) < O para r < R. Sugerencia: elija E lo suficientemente pequeño en términos de M. 12. En este problema se probará una parte del teorema 9.3.2 que se relaciona conla estabilidad. a) Demuestre que s i p = (a + d ) > O y q = ad - bc > O, entonces el puntocrítico (O, O) del sistema lineal (ii) es inestable. b) Se cumple el mismo resultado parael sistema casi lineal (i). Consulte los problemas 10 y 11 para construir una función V definida positiva tal que V(x, y ) = x 2 t y 2 y, por tanto, sea definida positivay, en seguida, apliqueel teorema 9.6.2.

En esta sección se analiza con más detalle la posible existencia de soluciones periódicas de los sistemas autónomos de segundo orden

x’ = f(x)

(1)

Estas soluciones satisfacen la relación

X(t + T ) = x(r)

(2)

para toda t y para alguna constante no negativa T denominada periodo. Las trayectorias correspondientes son curvas cerradas en el plano fase. Las soluciones periódicas a menudo tienen una función importante en problemas físicos porque representan fenómenos que

542

diferenciales Ecuaciones

no lineales y estabilidad

ocurren de manera repetida. En muchas situaciones,una solución periódica representa un “estado final” hacia el que tienden todas las soluciones “vecinas”, como los transitorios, debido a que las condiciones iniciales desaparecen gradualmente. Un caso especial de una solución periódica es una solución constantex = x‘’? que corresponde a un punto crítico del sistema autónomo. Evidentemente esta solución es periódica con cualquier periodo. En esta sección, cuando se hable de una solución periódica se entenderá que es una solución periódica no constante. En este caso, el periodo T es positivo y suele elegirse como el menor número positivo para el que la ecuación ( 2 ) es válida. Recuérdese que las soluciones del sistema lineal autónomo = Ax

X’

(3)

son periódicas si y sólo si los eigenvalores de A son imaginarios puros. En este caso, el punto crítico en el origen un es centro, como se analizó en la sección 9.1. Conviene resaltar que si los eigenvalores de A son imaginarios puros, entonces toda solución del sistema lineal (3) es periódica, mientras quesi los eigenvalores no son imaginarios puros, entonces no existen soluciones periódicas (no constantes). Las ecuaciones depredador-presa que se estudiaron en la sección 9.5, aunque no lineales, se comportan de manera semejante: todas las solucionesen el primer cuadranteson periódicas. El siguiente ejemplo ilustra una manera diferenteen que pueden ocurrir soluciones periódicas de sistemas autónomos nolineales.

Analizar las soluciones del sistema

(3 =

y

+

”x

S

.Y(.Y2

~

+y

~

+ y2)

y(x2

(4)

+ y2)

No es difícil demostrar que (O, O) es el Único punto crítico del sistema (4) y también que el sistema es casi lineal en la vecindad del origen. El sistema lineal correspondiente

!;I

=

(-:

x3

(51

tiene los eigenvalores 1 +i. Por consiguiente, el origen es un punto espiral inestable para el sistema lineal (5) y para el sistema no lineal (4). Por tanto, cualquier solución quese inicie cerca del origen enel plano fase describiráuna espiral que sealeja del origen.En virtud de queno hay otros puntos criticos, podría pensarse que todaslas soluciones de las ecuaciones (4) corresponden a trayectorias que tienden en espiral hacia el infinito. Sin embargo, a continuación se demostrará que esto es incorrecto debido a que muy lejos del origen las trayectorias se dirigen hacia adentro. Es conveniente introducirlas coordenadas polaresr y 0, en donde x = r cos O,

y = r sen O,

(6)

y r 2 O. Si la primera de las ecuaciones(4) se multiplica porx, la segunda pory y se suman los resultados, se obtiene dx

x-

dt

+ y -dy = (x2 + y2) - ( x +y dt 2

2 2

) .

Dado que r = x * + y 2 y r(dr/dt)= x(dx/dt) + y(dy/df),por la ecuación (7) se deduce que

(7)

periódicas 9.7 Soluciones

543

y ciclos límite dr r - = r Z ( l - r'). dt

(8)

Esta ecuaciónes semejante alas que se estudiaron en la sección 2.6. Los puntos críticos (para r 2 O) son el origen y el punto r = 1, que corresponde al circulo unitario enel plano fase. De (8) se concluye quedrldt > O si r < 1y que drldt < 1 si r > l . Por tanto, dentro del círculo unitario las trayectorias se dirigen hacia afuera, mientras que fuera del mismo se dirigen hacia adentro. Aparentemente, el circulo r = 1 es una trayectoria limite para este sistema. Para determinar una ecuación para 0 se multiplica la primera de las ecuaciones (4) por y , la segunda por x y se restan los resultados, conlo que se obtiene dy

dx

2 +

$,

(9)

ydt-xdt=x

Una vez quese calcula &/dt y dyldr a partir de las (6), se encuentra que el primer miembrolade ecuación (9) es -r2(deldf)de modo que ésta se reduce a dO dt

-=

El sistema de ecuaciones (8), (lo), para r y solución del sistema(8), (10) es

= I,

-1.

(10)

e, es equivalente al sistema original e =-t

t tO'

(11)

PFY FIGURA 9.7.1 Trayectorias1del

. .

(4). Una

(4); ciclo sistema limite.

544

no lineales y

diferenciales Ecuaciones

estabilidad

en donde to es una constante arbitraria. Cuando t crece, un punto que satisfaga las ecuaciones (11) se mueve en sentido del movimiento de las manecillas delreloj alrededor del círculo unitario. Por tanto, el sistema autónomo (4) tiene una solución periódica. Se pueden obtener otras soluciones al resolver la ecuación (8) por separación de variables:si r # O y r # 1, entonces

La ecuación (12) puede resolverse con aplicación de fracciones parciales, para volvera escribir el primer miembro y, a continuación, integrar. AI efectuar estos cálculos se encuentra que la solución de las ecuaciones (10) y (12) es

en donde co y f, son constantes arbitrarias. La solución (13) también contiene la solución (ll), que se obtiene al hacer co = O en la primera de las ecuaciones (13). La solución que satisface las condiciones iniciales r = p, 6 = (Y en t = O se expresa por =

I

-(t

- 2).

(14)

Si p < 1, entonces r 1 desde el interior, cuando t m; si p > 1, entonces r -+ 1 desde el exterior, cuando I + W . Por tanto, en todos los casos las trayectorias describen espirales haciael círculo r = 1 cuando t -+ M. En la figura 9.7.1 se muestran varias trayectorias. -+

~,

II =

~

-+

En este ejemplo el círculor = 1 no sólo corresponde a soluciones periódicas del sistema (4) sino que, además otras trayectoriasno cerradas describen espirales hacia aquél cuando t %.En general, una trayectoria cerrada en el plano fase tal que otras trayectorias no cerradas tienden en espiral hacia ella, desde el interior o desde el exterior, cuando t -+ m, se conoce como ciclo límite.De este modo, el círculor = 1 es un ciclo límite para el sistema (4). Si todas las trayectorias que se inician cerca de una trayectoria cerrada (tanto por dentro comopor fuera) tienden en espiral hacia la trayectoria cerrada cuando t -+ m, entonces el ciclo límite esestable. Dado que la trayectoria límite es por si misma una órbita periódica, en vez de un punto de equilibrio, a este tipo de estabilidad suele dársele el nombre de estabilidad orbital.Si las trayectorias en uno de los lados se aproximan en espiral hacia la trayectoria cerrada, mientras que las del otro lado se alejan en espiral de ella rcuando 30, entonces se dice que el ciclo límitesemiestable. es Si las trayectorias enlos dos lados dela trayectoria cerrada se alejan en espiral cuando f -+ x , entonces la trayectoria cerrada es inestable. También es posible tener trayectorias cerradas a las que otras trayectorias no se acerquen ni se alejen; por ejemplo, las soluciones periódicas de las ecuaciones depredador-presa de la sección9.5; en este caso, la trayectoria cerrada es neutralmente estable. En el ejemplo 1, se estableció la existencia de un ciclo límite estable al resolver explícitamente las ecuaciones.Sin embargo, esto casi nunca es posible, de modo quevale la pena conocer teoremas generales quese refieran a la existencia o no existencia de ciclos límites de sistemas autónomos no lineales. Al analizar estos teoremas, es conveniente volver a escribir el sistema (1) en la forma escalar +

-

dx!dt = F(.Y,}I),

dy/’dt = G(.Y, J’).

(15)

9.7

545

Soluciones periódicas y ciclos límite

Aunque se omite la demostracih de este teorema, es fácil mostrar ejemplos de él. Uno se da medianteel ejemplo 1 y la figura 9.7.1, en el quela trayectoria cerrada enciirraal punto crítico (O, O), un punto espiral. Otro ejemplo el esde las ecuaciones depredador-presa de la sección 9.5; ver la figura 9.5.3. Cada trayectoria cerrada rodea al punto crítico (2, 3); en este caso, el punto crítico esun centro. El teorema 9.7.1 también esútil en un sentido negativo. Siuna región dada no contiene puntos críticos, entoncesno puede haber trayectoria cerrada que se encuentre por completo en la región. La misma conclusión es cierta si la región sólo contiene un punto crítico, y éste esun punto silla. Póngasepor caso, en el ejemplo2 de la sección 9.4, uno de especies competidoras elÚnico punto crítico enel interior del primer cuadrante es el punto silla (0.5, 0.5); por lo tanto, este sistema no tiene trayectoria cerrada que se encuentre en el primer cuadrante. En el siguiente teorema se da un segundo resultado sobrela no existencia de trayectorias cerradas.

Un dominio bidimensional simplemente conexo es un dominio sin huecos. El teorema 9.7.2 es una consecuencia directa del teorema de Greenen el plano; ver el problema 13. Nótese que siF, + Gycambia de signoen el dominio, entoncesno es posible sacar conclusiones; puede habero no trayectorias cerradasen D. Para ilustrar el teorema 9.7.2, considéreseel sistema (4). Un cálculo habitual muestra que

F,(x, y )

+ G,(x,

y ) = 2 - 4(x2

+ y')

=

2(1

-

2r2),

(16)

en donde, comode costumbre,r 2 = x 2 + y 2 . Por tanto,F, + G, es positiva paraO 5 r < 11J2, de modo que,en este disco circular,no existe trayectoria cerrada. Por supuesto, el enejemplo 1 se demostró que en la región más grande r < 1 no existe trayectoria cerrada. Esto ilustra que la información dada por el teorema 9.7.2 puede no ser el mejor resultado posible. Nuevamente,con referencia ala ecuación (16) nótese queF, + Gy < O para r > U&. Sin embargo, el teorema no es aplicable en este caso por que esta región anular no es simplemente conexa.De hecho, como se muestra en el ejemplo 1, contiene un ciclo limite. En el siguiente teorema sedan las condiciones que garantizan la existencia de unatrayectoria cerrada.

546

diferenciales Ecuaciones

no lineales y

estabilidad

Nótese que si R contiene una trayectoria cerrada, entonces necesariamente, por el teorema 9.7.1, esta trayectoria debe encerrarun punto crítico. Sin embargo, este punto crítico no puede estar enR. Por tanto, R no puede ser simplemente conexo; debetener un hueco. Como una aplicación del teorema de Poincaré-Bendixson, considérese una vez más el sistema (4). Como el origen es un punto crítico, debe excluirse. Por ejemplo, es posible considerar la región R definida por 0.5 5 r 5 2. En seguida, es necesario demostrar que existe una solución cuya trayectoria permanece Renpara todat mayor que,o igual a alguna to. Esto se deduce de inmediato por la ecuación (8). Para r = 0.5, drldt > O, de modo quer crece, mientras que para r = 2, drldt < O, de modo que r decrece. Por tanto, cualquier trayectoria que crucela frontera deR está entrandoen R. Como consecuencia, cualquier solución de las ecuaciones (4) que se inicieen R en r = t,, no puede salir, sino que debe permanecer en R para t > to. Por supuesto, pudieron utilizarse otros números en lugar de 0.5 y 2; lo que importa es quer - 1 esté incluido. No debe inferirse a partir de este análisis de los teoremas anteriores quedetermies fácil nar si un sistema autónomo no lineal dado tieneo no soluciones periódicas, con frecuencia no es fácil en lo absoluto. A menudo los teoremas 9.7.1 y 9.7.2 no llevan a conclusión alguna, mientras quepara el teorema9.7.3 muchas veces es difícil determinar una región R y una solución que siempre permanezca dentro de ella. Se da por terminada esta sección con otro ejemplo de un sistema no lineal que tiene un ciclo límite.

Ejemplo 2

, : !

La ecuación de Van der Pool (1899-1959)

z p

u” - p(1 - u*)¿’

+ u = o,

S-

S,. ; i

-9en dondep e s una constante positiva, describe la corriente u en un triodo oscilador. Analizarlas

soluciones de esta ecuación. Si p = o, la ecuación (17) se reduce a u” + u = O, cuyas soluciones son ondas senoidales O cosenoidales de periodo 2rt: Para p > O también debe considerarseel segundo término del primer miembro de esta ecuación. Este es el término de resistencia, proporcional a u’, Con un coeficiente - p(1 - u ’ ) que depende de u . Para u grande este término es positivo y actúa, como E,! m de costumbre, para reducir la amplitud de la respuesta. Sin embargo, para u pequeña, el término

periódicas 9.7 Soluciones

547

y ciclos límite

de resistencia es negativo, y por lo tanto, hace crecer la respuesta. Esto sugiere que quizá haya una solución de tamaño intermedio a la que tienden las otras soluciones cuando t crece. Para analizar con más cuidado la ecuación (17), ésta se escribe comoun sistema de segundo orden, mediante la introducción delas variables x = u, y = u'. Entonces se sigue que x' = y ,

y' = -x

+ p(l-x2)y.

El Único punto crítico del sistema(18) es el origen. Cerca del origen el sistema lineal correspondiente es

cuyos eigenvalores son( p+_ m ) / 2 . De este modo, el origenes un punto espiral inestable, para O < p > 2, y un nodo inestable, para p 2 2. En todos los casos, una solución que se inicia cerca del origen crece cuanto t aumenta. Con respecto alas soluciones periódicas,los teoremas 9.7.1 y 9.7.2 sólo proporcionan información parcial. Con base en el teorema 9.7.1 se concluye que, si existen trayectorias cerradas, deben rodear al origen. A continuación, se calcula F,(x, y ) + Cy(x,y), con el resultado F,(x, y ) + G,(x, y ) = p ( 1 - x').

(20)

En seguida, por el teorema 9.7.2 se concluye queen la franja 1x1< 1no están contenidas trayectorias cerradas, en caso de haber alguna, en donde F, + Gy > O. La aplicación del teorema de Poincaré-Bendixsoneste a problema noes tan sencilla como lo fue en el ejemploanterior. Si se introducen coordenadas polares,se encuentra que la ecuación para la variable radial r es r' = I(1 - r2 cos' Q)r sen2 O.

(21)

Una vez más, considérese una región anularR dada porrI 5 r 5 r2)en donde rl es pequeño y r2 es grande. Cuando r = rl, el término lineal del segundo miembro dela ecuación (21) domina y r' > O, excepto sobre elejex, en donde sen8 = O y, en consecuencia, tambiénr' = O. Por tanto las trayectorias entran aR en todos los puntos del círculo r = rl, excepto los que están sobreel eje x, en donde las trayectorias son tangentesal círculo. Cuando r = r2,el término cúbico del segundo miembro de la ecuación (21) es el dominante. De este modo, r' < O, excepto para los puntos sobre el eje x, en donde r' = O, y para los puntos sobre el eje y , en donde el término no cúbico es cero y el término lineal hace r' > O. Por tanto, no importa cuán grande se elija el círculo, habrá puntos sobreé1 (a saber, los puntos sobreel eje y ) por dondelas trayectorias salen de R. Por lo tanto, el teorema de Poincaré-Bendixsonno es aplicable, a menos quese consideren regiones más complicadas. ES posible demostrar, por medio de un análisis más intrincado, que la ecuación de Van der Pool en realidad tiene un ciclo límiteÚnico. Sin embargo,no se proseguirá coneste razonamiento, por el contrario se consideraráun enfoque diferenteen el que trazan las gráficas de soluciones calculadas numéricamente. Las observaciones experimentales indican que la ecuación de Van der Pool tiene una solución periódica estable cuyos periodo y amplitud dependen del parámetro p. Puede obtenersecierta comprensión deeste comportamiento periódicoal observar las gráficas de las trayectorias en el plano fasedeyu contra t. En la figura 9.7.2 se muestran dos trayectorias de laecuación deVan der Pool enel plano fase, para p = 0.2. La trayectoria quese inicia cerca del origen describe una espiral hacia afuera en el sentido del movimientode las manecillas delreloj, esto es coherente con el comportamientode la aproximación lineal cerca del origen.La otra trayectoria seinicia en el punto(-3,2) y descri-

548

Ecuaciones difierenciales no lineales y estabilidad

FIGURA 9.7.2 Trayectorias dela ecuación de van der Pool (1 7) ,para , ~ 4= 0.2 be una espiral hacia adentro una vez más en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Las dos trayectorias tiendenuna a curva cerrada que corresponde a una solución periódica estable. En la figura 9.7.3 se muestranlas gráficas de u contra t para las soluciones correspondientes a las trayectorias dela figura 9.7.2. La solución que inicialmente esmás pequeña crece de manera gradualen amplitud, en tantoque la solución más grande decae del mismo modo. Las dos soluciones tienden a un movimiento periódico estable que corresponde al ciclo límite. En la figura 9.7.3 también se muestra que existe una diferencia de fase lasentre dos soluciones, a medida que se aproximan al ciclo límite. Las gráficasde u, contra t tienen una formacasi sinusoidal, coherente con el ciclo límite casi circular de este caso. En las figuras 9.7.4 y 9.7.5 se muestran gráficas semejantes para el caso en que p = 1. De nuevo, las trayectorias se mueven enel plano fase enel sentido del movimientode las maneci-

FIGURA 9.7.3 Gráficas de u contra t para las trayectorias de la figura 9.7.2.

9.7

Soluciones periódicas y

ciclos límite

S49

FIGURA 9.7.4 Trayectorias de la ecuación de Van der Pool (17), para p = 1.

FIGURA 9.7.5 Gráficas de u contra t para las trayectorias de la figura 9.7.4. llas del reloj, pero el ciclo límite es bastante diferente a un círculo. Las gráficas de u contra t tienden más rápido ala oscilación límite y, una vez más, muestran una diferencia en fase. Las oscilaciones son algo menos simétricasen este caso, ascendiendo de manera algo más pronunciada que como descienden. En la figura 9.7.6 se muestra el plano fase para p = 5. El movimiento sigue siendo en el sentido del movimientode las manecillas del reloj y el ciclo límite es todavíamás alargado, en especial en ladireccióny. En la figura 9.7.7 se tiene una gráfica deu contra t. Aunque la solución se inicia lejos del ciclo límite, casi se alcanzala oscilación límite en una fracción de periodo. Si se parte desde uno desus valores extremos sobreel eje x en el plano fase, la solución se mueve al principio con lentitud hacia la otra posición extrema, pero una vez que se alcanza cierto punto de

550

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

FIGURA 9.7.6 Trayectoria de la ecuación de van der Pool (17) para p = 5.

FIGURA 9.7.7 Gráfica de u contra t para la trayectoria en espiral hacia afuera de la figura 9.7.6. la trayectoria, el resto de la transición se completa muyaprisa. Entonces el proceso se repite en la dirección opuesta. La forma de onda del ciclo límite, como se muestra en la figura 9.7.7, es bastante diferente deuna onda sinoidal. Estas gráficas muestran con claridad que,en ausencia de excitación externa,el oscilador de Van der Pool tienecierto modo característico de vibración para cadavalor dep. Las gráficas deu contra t muestra que la amplitud de esta oscilación cambia muy poco con p, pero el periodo

periódicas 9.7 Soluciones

55 1

y ciclos límite

aumenta a medida que p crece. AI mismo tiempo, la forma de onda cambia de una que es casi sinusoidal hacia otra que es mucho menos suave. La presenciade un solo movimiento periódico que atrae atodas lassoluciones (cercanas), es decir, un ciclo limite estable,es uno de los fenómenos caracteristicosasociados con las ecuaciones diferenciales no lineales.

En cada uno de los problemas 1 a 6, un sistema autónomo se expresa en coordenadas polares. Determine todas las soluciones periódicas, todos los ciclos limite y determine sus características de estabilidad. I . drldt = r 2 ( l - r 2 ) , d@dt = 1 3. drldt = r(r - I)(r - 3), dO/dt 5. drldt = sennr, dHldt = 1

=

r)*, dO/dt = - I r)(r - 2), dOldt = - 1 6. drldt = r / r - 21(r - 3), dO,/dt = - 1

1

2.drldt

= r(I

4. drjdt

= r(l -

-

7. Si x = r cos 8,y = r sen 8, demuestre que y(&/dt) -x(dy/dt) = -r2(d8/dt). 8. a) Demuestre que el sistema dxldt = - y

+ x i ( r ) / r .d y j d t

=

x

+ yf(r)lr

tiene soluciones periódicas correspondientes a los ceros def(r). ¿Cual es la dirección del movimiento sobre las trayectorias cerradas enel plano fase? b) Seaf(r) = r ( r - 2)*(r2 - 4r + 3). Determine todas las soluciones periódicas y sus características de estabilidad. 9. Determine las soluciones periódicas, en caso de haber, del sistema

10. Aplique el teorema 9.7.2 para demostrar que el sistema autónomo lineal dxjdt = ax

+ hy,

dy!dt = cx

+dy

no tiene una solución periódica (diferente dex = O, y = O) si a + d # O. En los problemas 11 y 12, demuestre que el sistema dado no tiene otrassoluciones periódicas que nosean las soluciones constantes.

11. dxldt 12. dxldt

=X =

+ y + x 3 - y2,

-2x - 3y

-

xy2.

d ~ i d= t

+ 2y + x 2 y + y 3 / 3 + .x3 - x 2 y

-X

dyldt = y

13. Demuestre el teorema 9.7.2 al completar el siguiente argumento. Según el teorema de Green en el plano, si C es una curva simple cerrada l o suficientemwtz suave y si F y G son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces

en dondeC se recorre en sentido contrarioal movimiento de lasmanecillas del relojy R es la región encerrada por C. Suponga que x = 4(t),y = ~ ( tes) una solución del sistema

552 __

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

-

_ _ _ _ _ _ " _ l _

(15) que es periódicacon periodo T. Sea C la curva cerrada dada porx = 4(t), y = ~ ( t ) , para O 5 t 5 T. Demuestre que, para esta curva, la integral de línea es cero. En seguida demuestre que debe llegarse ala conclusión del teorema 9.7.2. 14. a) AI examinar las gráficas de u contra t de las figuras 9.7.3, 9.7.5 y 9.7.7, calcule el periodo T del oscilador de Van der Pool en estos casos. b) Si cuenta con equipo de cómputo adecuado, calcule y trace las gráficas de las solu-

ciones de la ecuación de Van der Pool para otros valores del parámetrop. Calcule también el periodo Ten estos casos. c) Trace las gráficas de los valores estimados de T contra p. Describa de qué manera T depende de p . 15. La ecuación u"

-

p(1

~~

+.")U'

tu

=

o

a menudo se conoce como ecuaciónde Rayleigh. a) Escriba la ecuación de Rayleigh comoun sistema de dos ecuaciones de primer orden. b) Demuestre que el origen es el Único punto crítico de este sistema. Determine su tipo y si es estable o inestable. c) Sea p = 1. Elija condiciones iniciales y calcule la solución correspondiente delsistema sobre un intervalo como O 5 t 5 20 o más largo. Trace la gráfica de u contra t y también la trayectoria en el plano fase. Observe que la trayectoria tiende a una curva cerrada (ciclo límite). Calcule la amplitud A y el periodo T del ciclo limite. d) Repita el inciso c) para otros valores de p , como p = 0.2, 0.5, 2 y 5. En cada caso, calcule la amplitudA y el periodo T. e) Describa de qué modo cambia el ciclo límite cuando p crece. Por ejemplo, hagauna tabla de valores o una gráfica de A y T como funciones dep o las dos cosas.

En principio, los métodos descritos en este capítulo para los sistemas autónomos de segundo orden también pueden aplicarse a sistemas de orden superior. En la práctica existen varias dificultades que surgen al tratar de hacerlo. Un problemaes que simplementehay un mayor número de casos posibles que pueden ocurrir,y el número aumenta con el orden del sistema (y la dimensión del plano fase). Otro es la dificultad de trazar las gráficas de las trayectorias con exactitud en un plano fase de más de dos dimensiones; incluso en tres dimensiones puede no ser fácil construir una gráfica clara y comprensiblede las trayectorias y esto se hace más difícil a medida que aumenta el número de variables. Por último, y esto sólo se aclaró hasta años recientes, existen fenómenos diferentes y muy complejos que pueden ocurrir, y que ocurren con frecuencia, en sistemas de órdenes tercero y superiores que no se presentan en los sistemasde segundo orden. La meta de esta sección es suministrar una breve introducción a algunosde estos fenómenos, al analizar un sistema autónomo particular de tercer orden que seha estudiado con intensidaden los últimos veinte o veinticinco años.En algunos aspectos, la presentación que se hace es semejante al tratamiento de la ecuación logísticaen diferencias de la sección 2.12.

9.8

553

Caos y atractores extraños: ecuacionesde Lorenz

FIGURA 9.8.1 Capa de fluido calentada desde abajo. Un problema importante en meteorología y en otras aplicaciones de la dinámica de fluidos se refiereal movimiento de una capa de fluido, como la atmósferalade Tierra, que está más caliente en la parte inferior que en la superior; ver la figura 9.8.1 Si la diferencia vertical AT en las temperaturases pequeña, existe una variación lineallade temperatura con la altitud, pero ningún movimiento importante de la capa de fluido. Sin embargo, si AT es suficientemente grande, el aire más caliente sube, desplazando aire más frío que está arriba, y se produce un movimiento de convección estable. Si la diferencia en las temperaturas aumenta más entonces, finalmente, el flujo estable de convección se yrompe sobreviene un movimiento más complejoy turbulento. Cuando estudiaba este fenómeno, Edward N. Lorenz7 llegó (medianteun proceso demasiado complicado para ser descrito aquí)al sistema autónomo no lineal de tercer orden dxldt = a( - X

+ y),

dyldt = rx - y dzldt =

-

bz

-

xz,

(1)

+ XY.

Las ecuaciones(1) ahora suelen mencionarse como ecuacionesde Lorenz.8 Obsérvese que las segunda y tercera ecuaciones comprenden no linealidades cuadráticas. Sin embargo, excepto por el hecho de ser un sistema de tercer orden, superficialmente las ecuaciones de Lorenz no se ven más complicadas que las de las especies competidoras o de depredadorpresa que se analizaron en las secciones 9.4 y 9.5. La variable x de las ecuaciones (1) está relacionada con la intensidad del movimiento del fluido, mientras que las variablesy y z están relacionadas con las variaciones en la temperatura en las direcciones horizontal y vertical. Las ecuaciones de Lorenz también comprenden tres parámetros, o,r y b, todos los cuales son realesy positivos. Los parámetros o y b dependen de las propiedades del material y geométricas de la capa de fluido.Valores razonables de parámetros para la atmósfera terrestre son o = 10 y b = 813; en mucho de lo que sigue en esta sección se asignarán estos datos. Por otra parte, el parámetro r es proporcional a la diferencia en temperaturasAT, y la finalidad es investigar de qué manera cambia la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones (1) con r.

'Edward N. Lurenz (1917*

), meteorólogo estadounidense, obtuvosu Ph. D. en el Institute ofTechnology, en 1948 y ha estado vinculado con esa institución a lo largo de toda su carrera científica. Las ecuaciones de Lurenz fueron estudiadas en primer lugar por éI en un famoso articulo publicado en 1936 sobre la estabilidad de los flujosde fluidos en la atmósfera. En el libro de Sparrow citado en la bibliografía aparece un tratamiento muy completo de las ecuaciones de Lorenz.

554

no linealesy estabilidad

diferenciales Ecuaciones

El primer pasoal analizar las ecuaciones de Lorenz es localizar los puntos críticos al resolver el sistema algebraic0 ox

-

oy = o,

rx - y - x z

= O,

+ XY

= O.

-bz

(2)

Por la primera ecuación, se tiene y = x.A continuación, si se eliminay de las ecuaciones segunda y tercera, se obtiene

x(r - 1 - z ) = O, -bz

+ X'

(34

= O.

(3b)

Una manera de satisfacerla ecuación (3a) es elegirx = O. Entonces se deduce quey = O y, por la ecuación(3b), z = O. De modo alternativo, es posible satisfacer (3a), si se elige z=r - 1. Entonces(3b)requiereque x = If: y, enconsecuencia,también y = If: Obsérvese que estas expresiones para x y y son reales sólo cuando r 2 1. Por tanto, (O, O, O), que se denotará por P I ,es un punto crítico para todos los valores de r y es el Único punto crítico para r < 1. Sin embargo, cuando r> 1, también se tienen otros dos puntos críticos; a saber, r - 1)y (--), r - 1). Estos dos últimos puntos se denotarán por P, y P,,respectivamente. Nótese que los tres puntos críticos coinciden cuando r= 1. A medida que r crece pasandopor el valor uno, el punto críticoP , en el origen se bifirrra y aparecen los puntos críticos P, y P,. A continuación se determinará el comportamiento local de las solucionesla en vecindad de cada punto crítico. Aunque bastante del siguiente análisis puede efectuarse para valores arbitrarios de o y 6, el trabajo se simplifica al usar los valores CT = IO y b = 813. Cerca del origen (el punto crítico P,), el sistema lineal de aproximación es

a).

(S m), ),

-m,

Los eigenvalores se determinan a partir dela ecuación -10-2 r O

O O -813 - A

10 -1 - A

O

= (8/3

+ /2 +)Ill. [ i 2 - 10(r

-

l)] = O.

(5)

Por consiguiente,

8 I", = --,

3

A,

=

-11 - 481 + 40r 2

I

1

A3

=

-11

+ J f 4 0 r 2

-*

(6)

Nótese que los tres eigenvalores son negativos parar < 1; por ejemplo, cuando r= 112 10s eigenvalores son A, = -813, A, = -10.52494, A, = -0.47506. De donde, el origen es asintóticamente estable para este intervalo r, tanto para la aproximación lineal (4) como

9.8

555

Caos y atractores extraños: ecuaciones de Lorenz

,

para el sistema original (1). Sin embargo,il cambia de signo cuando r = 1y es positivo para r > l. El valor r = l corresponde al inicio del flujo de convección en el problema físico antes descrito. El origen es inestable para r > 1; todas las soluciones que se inician cerca del origen tienden a crecer, excepto aquellas que se encuentran precisamente en el plano determinado por los eigenvectores asociados coni l l y A, (o sea, para el sistema lineal(l), en cierta superficie tangente a este plano en el origen). A continuación, considéresela vecindad del punto críticoP,(&(r - 113,d 8 ( r - 1)/3, r1) para r >l. Si u, vy w son las perturbaciones a partir del punto crítico en las direcciones X , y y z, respectivamente, entonces el sistema lineal de aproximación es

-l;

,/-m

10 -1

O

-dm/3)

-~.

,/8(r

-

1)/3

-

(.i

(7)

813

L o s eigenvalores de la matriz de coeficientes de la ecuación (7) quedan determinados a partir de la ecuación

3 i 3 + 41jV2+ 8(r + 10)).

+ 160(r

-

1) = O,

(8)

que se obtiene mediante pasos algebraicos directos que se omiten aquí. Las soluciones de ( 8 ) dependen de r de las siguiente manera: Para 1 < r < rl zz 1.3456 existen tres eigenvalores reales negativos. Para r I < r < r, = 24.737 existe un eigenvalor real negativo y dos eigenvalores complejos con parte real negativa. Para r, < r existe un eigenvalor real negativo y dos eigenvalores complejos con parte real positiva. L o s mismos resultados se obtienen para el punto crítico P,. Por tanto, se tienen varias situaciones diferentes. Para O < r < 1, el Único crítico esP , y es asintóticamente estable. Todas las soluciones tienden a este punto(el origen) cuando t OO. Para 1 < r < rl, los puntos críticosP , y P, son asintóticamente establesy P I es inestable. Todas las soluciones cercanas tienden exponencialmente hacia unoo el otro de los puntos P , y P,. Para rl < r < r,, los puntos críticos P , y P, son asintóticamente estables y P, esinestable. Todas las soluciones cercanas tienden hacia uno o el otro de los puntos P, y P,;la mayoría de ellas describenuna espiral hacia adentro, haciael punto crítico. Para r, < r, los tres puntos críticos son inestables. La mayoría de las soluciones cerca de P, o de P, describen una espiral que se aleja del punto crítico. Sin embargo, de ningún modo este es el final la historia. de Considérense soluciones para r algo mayores que r2. En este caso, P , tiene un eigenvalor positivo y cada uno de P, y P, tiene un parde eigenvalores complejos con parte real positiva. Una trayectoria puede aproximarse a cualquiera de los puntos críticos sólo sobre ciertos caminos muy restringidos.La menor desviación con respecto a estos caminos provoca que la trayectoria se aleje del punto crítico.Ya que ningunode los puntos crítico es estable, podría esperarse la mayor que parte de las trayectorias tiendan al infinito parat grande. Sin embargo, es posible demostrar que todas las soluciones permanecen acotadas cuando t -+ CO;ver el problema5. De hecho, --f

556

__

diferenciales Ecuaciones

no lineales y

estabilidad

es posible demostrar que, al final, todas las soluciones tienden a cierto conjunto límite de puntos cuyo volumen es cero. De hecho, esto es cierto no sólo para r > r2, sino para todos los valores positivos der. En la figura 9.8.2 se muestra una gráfica de valores calculados dex contra f para una solución típica con r > r2. Nótese que la solución oscila de un lado a otro, entre valores positivos y negativos, de una manera errática. De hecho, la gráfica x contra de t semeja una vibración aleatoria, aunque las ecuaciones de Lorenz son por completo deterministasy la solución queda enteramente determinada por las condiciones iniciales. A pesar de ello, la solución también exhibe cierta regularidad en cuanto a que la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones son en esencia constantes en el tiempo. Las soluciones de las ecuaciones de Lorenz también son en extremo sensibles a las perturbaciones enlas condiciones iniciales.En la figura 9.8.3 se muestran las gráficas de valo-

"t 16

8

-8 -1 6

FIGURA 9.8.2 Gráfica dex contra t para las ecuaciones de Lorenz (l), con r = 28; el punto inicial es (5, 5 , 5 ) .

"t

FIGURA 9.8.3 Gráficas de x contra t para dos soluciones inicialmente cercanas de las ecuaciones de Lorenz, con r = 28; el punto inicial es ( 5 , 5 , 5 ) para la curva en línea discontinua y (5.01, 5, 5 ) para la curva de trazo continuo.

9.8

Caos y atractores extraños: ecuaciones de Lorenz

557

res calculados de x contra t para las dos soluciones cuyos puntos iniciales son (5, 5, 5) y (5.01,5, 5). La gráfica en línea discontinua esla misma que la de la figura 9.8.2, mientras que la gráfica de trazo continuo se inicia en un punto próximo. Las dos soluciones permanecen próximas entresí hasta que t es casi diez, después de lo cual son bastante diferentes y, de hecho, parecen no guardar relación entre sí. Fue esta propiedad lo que atrajo en particular la atención de Lorenz en su estudio original de estas ecuaciones y le hizo concluir que probablemente no son posibles las predicciones climatológicas a largo plazo. El conjunto que atrae en este caso, aunque de volumen cero, tiene una estructura un tanto complicada y se conoce comoatractor extraño. El término caótico ya es de uso general para describir soluciones como las quese muestran en las figuras 9.8.2 y9.8.3. Para determinar de qué modo y cuándo seelcrea atractor extraño,es revelador investigar las soluciones para valores más pequeños de r . Para Y = 21, en la figura 9.8.4 se muestran las soluciones que parten detres puntos iniciales distintos. Para el punto inicial (3,8, O), la solución comienza a converger hacia el punto P , casi de inmediato; verla figura 9 . 8 . 4 ~ . Para el segundo punto inicial (5, 5, 5), existe un intervalo muy corto de comportamiento transitorio, después del quela solución converge haciaP2;ver la figura 9.8.4b. Sin embargo, como se muestra en la figura 9.8.4c, para el tercer punto inicial (5, 5, 10) existe un intervalo mucho más largo de comportamiento caótico transitorio antes de que la solución converja finalmente a P,. A medida que r crece, la duración del comportamiento caótico transitorio también crece. Cuando r = r3 24.06, los transitorios caóticos parecen continuar de modo indefinidoy el atractor extraño empieza a aparecer. También es posible mostrar las trayectoriasde las ecuaciones de Lorenz en el plano fase tridimensional o por lo menos, proyecciones de ellas en varios planos. En las figuras 9.8.5 y 9.8.6 se muestran proyecciones en los planos xy y xz,respectivamente, de la trayectoria que parten de (5, 5, 5). Obsérvese que las gráficas de estas figuras parecen cortarse varias veces, pero esto no puede ser cierto para las trayectoriasenreales elespacio tridimensional, por el teorema general de unicidad.Los cruces aparentes se deben por completo al carácter bidimensional de las figuras. La sensibilidad delas soluciones a las perturbaciones de los datos iniciales también tiene consecuencias para los cálculos numéricos, como los mencionados aquí. Tamaños diferentes de paso, algoritmos numéricos diferenteso, incluso, la ejecución del mismo algoritmo en máquinas diferentes introducen pequeñas diferencias en la solución calculada, lo que termina por producir graves desviaciones. Por ejemplo, la sucesión exacta de ciclos positiVOS y negativos en la solución calculada depende mucho del algoritmo numérico preciso y su puesta en práctica, así como de las condiciones iniciales. Sin embargo, la apariencia general de la solución y la estructura del conjunto atractor son independientes de todos estos factores. Las soluciones de las ecuaciones de Lorenz para otros intervalos de los parámetros exhiben otros tipos interesantes de comportamiento. Por ejemplo, para ciertos valores de r mayores que r2, estallidos intermitentes de comportamiento caótico separan largos intervalos de oscilación periódica aparentemente estable. Para otros intervalos de r, las soluciones muestran la propiedad de duplicación del periodo que se vio en la sección 2.12 para la ecuación logística en diferencias. Algunasde estas características se abordan enlos problemas. Desde alrededor de 1975 las ecuaciones de Lorenz y otros sistemas autónomos de orden superior sehan estudiado con intensidad, y esta es una de las áreas más activas de la investigación matemática actual. El comportamiento caótico de las soluciones parece ser mucho

558

Ecuaciones diferenciales

no lineales y

estabilidad

W

h

e

m

d

m II L

L

9.8

559

Caos y atractores extraños: ecuaciones de Lorenz

FIGURA 9.8.5 Proyección de una trayectoria de las ecuaciones de Lorenz (con r = 28) en el plano xy.

10

-10

,

X

FIGURA 9.8.6 Proyección de una trayectoria delas ecuaciones de Lorenz (con r = 28) en el plano xz. más común de lo que se creíaal principio y aún quedan muchas preguntas sin respuesta. Algunas de ellas son de naturaleza matemática, mientras que otras se relacionan con las aplicaciones o las interpretaciones físicas de las soluciones.

Problemas En los problemas1a 3 se pide completar algunos de los detalles delanálisis de las ecuaciones de Lorenz presentado en el texto.

"

.. . .

.

,

. .

__

.

..

560

Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad 1. a) Demuestre que loseigenvalores del sistema lineal (4). válidos cerca del origen, están dados por la ecuación (6). . b) Determine los eigenvectores correspondientes. c) Determine los eigenvalores y eigenvectores del sistema (4) en el caso en quer = 28.

2. a) Demuestre que la aproximación lineal válida cerca del punto critico P, está dada por la ecuación (7). b) Demuestre que los eigenvalores del sistema (7) satisfacen la ecuación (8). c) Para r = 28, resuelva la ecuación (8) y determine en consecuencia los eigenvalores del sistema (7). 3. a) Al resolver numéricamente la ecuación (8), demuestre que la parte real de las raíces complejas cambia de signo cuandor = 24. 737. b) Demuestre que un polinomio cúbico,x3 + A x 2 t Bx + C tiene un cero real y dos ceros imaginarios puros sólo si AB = C. c) Aplique el resultado del inciso(b) a la ecuaci6n (8) para demostrar que la parte real de las rakes complejas cambia de signocuando r = 470i19, 4. Aplique la función de Liapunov V(x,y , z) = x2 + o y 2 + o z 2 para demostrar que el origen es un punto critico asintóticamente estable globalmente para las ecuaciones de Lorenz (I), si r < 1. 5. Considere el elipsoide V(X,

y,z ) = r.x2 +'!o

+- a(;

-

2r)'

--

c

> O.

a) Calcule dVldt a lo largo de trayectorias de lasecuaciones de Lorenz (1). b) Determine una condición suficiente sobre c de modo que toda trayectoria que cruce V(x,y , z) = c esté dirigidahacia adentro. c) Evalúe la condición hallada en el incisob) para el caso CT = 10, b = 8/3, r = 28. En cada uno de los problemas 6 a 10, use el equipo decómputo apropiado para llevar a cabo las investigaciones indicadas de las ecuaciones de Lorenz. 6. Para r = 28, trace la gráfica de x contra f para los casos que se muestran en las figuras 9.8.2 y 9.8.3. ¿Concuerdan sus gráficas con las de las figurasmencionadas? Recuerde el análisis del cálculonumérico en el texto. 7. Para r = 28 trace las gráficas de las proyecciones en los planos xy y xz,respectivamente, de la trayectoria que se inicia en el punto ( 5 , 5, 5). ¿Concuerdan las gráficas con las de las figuras 9.8.5 y 9.8.6? 8. a) Para r = 21, trace la gráfica de x contra t para las soluciones que parten de íos puntos iniciales (3, 8, O), (5, 5, 5) y (5, 5, 10). Use un intervalo t de por lo menos O 5 t 5 30. Compare las gráficas que seobtengan con las de la figura 9.8.4. b) Repita el cálculo del inciso a) para r = 22, r = 23 y r = 24. Aumente el intervalo t según se necesitepara poder determinar cuándo cada solución empieza a converger hacia uno de los puntos críticos. Registre la duración aproximada del caótico transitorioen cada casa.Describa de qué modo esta cantidad depende del valor de r. Repita los cálculos de los incisos a) y b) para valores de r ligeramente mayores que 24. Intente calcular el valorde r para el que la duración del transitorio caótico tiendeal infinito. 9. Para ciertos intervaloso ventanas r las ecuaciones de Lorenz muestran una propiedad de duplicación del periodo semejante a la de la ecuación logística en diferencias analizadas en la seccicin 2.12. Este fenómeno puede descubrirse por medio de cálculos cuidadosos.

C>

Bibliografm

561 a) Una ventana de duplicación del periodo contiene el valor r = 100. Haga r = 100 y trace la gráfica de la trayectoria que parte de(5, 5, 5) o de algún otro punto inicial que elija. ¿La solución parece ser periódica? ¿Cuál es el periodo? b) Repita el cálculo del inciso a) para valores de r ligeramente mayores. Cuando r 99.98 es posible observar que el periodo de la solución se duplica. Intente observareste resultado al efectuar cálculoscon valores cercanos der. c) A medida quer decrece aun más, el periodo de la solución se duplica repetidas veces. La siguiente duplicación del periodo ocurre alrededor de r = 99.629. Intente observar este hecho al trazar gráficas de trayectoriaspara valores cercanos der. 10. Considere ahora valores der ligeramente mayores quelos del problema 9. a) Trace trayectoriasde las ecuaciones de Lorenz para valores de r entre 100 y 100.78. Debe observar una solución periódica establepara este intervalo de valoresde r. b) Trace trayectorias para valores de r entre 100.78 y 100.8. Determine lo mejor que pueda de qué modoy cuándo se rompe la trayectoria periódica.

BIBLIoGRAFh

Varios libros sobre ecuaciones diferenciales no lineales presentan muchas aplicaciones, además de l a teoría. Algunos de ellosson: LaSalle, J. y Lefschetz, S., StabiliQ by Liapunov’s Direct Method withApplications New York: Academic Press). Minorsky, N., Nonlinear Oscillations (Princeton: Van Nostrand). Stoker, J. J., Nonlinear Vibrations (New York: Wiley-Interscience). Algunos de los libros de orientación más teóricason: Birkhoff, G., y Rota, G . C., Ordinary Differential Equations (4a. ed.) (New York: Wiley). Brauer, F., y Nohel, J., Qualitative Theoryof Ordinary Differential Equations(New York: Benjamin). DifferentialEquations (2a. ed.)(Berlin/ Cesari, L.,Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary New York; Springer-Verlag). Guckenheirner, J. C., y Holmes, P., Nonlinear Oscillations, DynamicalSystems, and Bifircations ofvector Fields (New York/Berlin: Springer-Verlag). Hirsch, W. H. y Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra (New York: Academica Press). Struble, R.A., Nonlinear Differential Equations (New York; McGraw-Hill). De estos libros, los más elementales son el de Struble y el de Brauer y Nohel. Una referencia común en ecología es: Odum, E. P., Fundamentals ofEcology (3a ed.)(Philadelphia: Saunders). DOSlibros que tratan de ecologia y dinámica de las poblaciones en un nivel más matemático son: May, R. M., Stability and Complexity in ModelEcosystems (Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1973). Pielou, E. C., Mathematical Ecology (New York; Wiley). El artículo original de las ecuaciones de Lorenz es Lorenz, E. N., “DeterministicNonperiodic Flow”,Journal of theAtmosphericSciences 20 (1963), pp. 130-141. Un tratamiento muy detallado de las ecuaciones de Lorenz es: Sparrow, C., The Lorenz Equations: Chaos, and Strange Attractors (New York/Berlin: Springer-Verlag). Una referencia más amplia y general es: Chaos (New York/Herlin: SpringerWiggins, S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Verlag).

Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier

En muchos problemas físicos importantes se tienen doso más variables independientes, por lo que los modelos matemáticos correspondientes incluyen ecuaciones diferenciales parciales, en vez de ordinarias. En este capítulo setrata un método importante para resolver ecuaciones diferenciales parciales, conocido como de separación de variables. Su característica esencial esla sustitución dela ecuación diferencial parcial por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.La solución requerida de la ecuación diferencial parcial se expresa entonces como una suma, casi siempre una serie infinita, formada a partir de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En muchos casos,al final es necesario trabajar con una seriede senos o cosenos o los dos, de modo que parte del capítulo se dedica a un análisis de esas series, llamadas series de Fourier. El uso dela separación de variables se ilustra con diversos problemas que surgen la conducción de del calor,la propagación de ondasy la teoría del potencial.

Las ecuaciones diferenciales parciales básicasde la conducción del calor, la propagación de ondasy la teoría del potencial que se analizarán en este capítulo están asociadas con tres tipos distintos de fenómenos físicos: procesos de difusión, procesos oscilatorios y procesos independientes del tiempo o estables; como consecuencia, tienen una importancia fundamental en muchas ramas de la física y también desde el punto de vista matemático. Las ecuaciones diferenciales parciales cuya teoría está mejor desarrollada y cuyas aplicaciones son más significativas y variadas son las ecuaciones lineales de segundo orden. Todas se ellas pueden clasificar en una tres de categorías: la ecuación de conducción del calor, la ecuación de onda y la ecuación de potencial, respectivamente, son prototipos de cada una de estas categorías. Por tanto,un estudio de estas tres ecuaciones proporciona mucha información acerca de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden m6s generales.

564

Ecuaciones diferencialesparciales y series deFourier

-

x=[

x=Q

FIGURA 10.1.1 Barra sólida conductora de calor. Durante los dos últimos siglos sehan desarrollado varios métodos para resolver las ecuaciones diferenciales parciales. El método de separaciónde variables esel método sistemático más antiguo, y fue utilizado pro D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler hacia 1750 en sus investigaciones sobre ondas y vibraciones. Desde entonces, se le ha refinado y generalizado de modo considerable,y sigue siendoun método de gran importanciay uso frecuentc en la actualidad. Para mostrar cómo funciona el método de separación de variables, se considerará primero un problema básico de conducción de calor de un cuerpo sólido. El estudio matemático de la conducción del calor se originó1 aproximadamente en 1800 y sigue llamando la atención delos científicos modernos. Por ejemplo, el análisis de la disipación y la transferencia del calor lejos de sus fuentes en maquinaria que opera a gran velocidad suele ser un problema tecnológico importante. Considérese ahora un problema de conducción de calor para una barra recta de sección transversal uniforme y material homogéneo. Se elige como ejex el largo del eje de la barra y sean x = O y x = 1 los extremos de la barra (ver la figura 10.1.1) Supóngase además que los lados de la barra están perfectamente aislados, de modo que no pasa calor a través de ellos. Considérese también quelas dimensiones de la sección transversal son tan pequeñas que la temperatura u puede considerarse constante en cualquier sección transversal dada. Entonces u es una función sólo de la coordenada axial x y del tiempo t. La variación dela temperatura enl a barra está regida por una ecuación diferencial parcial cuya deducción se presenta enel apéndice A al final del capítulo. Esta ecuaciónse conoce como ecuación de conducción del calor y tiene la forma c12u,,

=

u,,

o < x < I,

t > o,

en donde ( y 2 es una constante denominadadifusibilidad térmica.El parámetro sólo del material del queestá hecho la barra y se define por

(1)

(Y’ depende

’ La primera investigación importante dela conducción del calor fue efectuada por Joseph Fourier (1768-1830) en su tiempo disponible mientras se desempeñaba como prefecto del Departamento de Isere (Grenoble) de 1801 a 1815. Presentó artículos fundamentales sobre el tema a la Academia de Ciencias de Paris en 1807 y 1811. Sin embargo, estos documentosfueron criticados por los árbitros (principalmente Lagrange) debido a falta de rigor, por lo que no fueron publicados. Fourier continuó desarrollando sus ideas y a la larga escribib una de las obras clásicas de las matemáticas aplicadas, TIzéorie ana/~vriquede la chaleur, publicada en 1822.

10.1 de

Separación

565

variables; conducción del calor

TABLA 10.1.1 Valores de la difusibilidad térmica para algunos materiales comunes a2(cm2/s)

Material 1.71 1.14 0.86 0.12 0.01 1 0.0038 0.00144

Plata Cobre Aluminio Hierro fundido Granito Ladrillo Agua

en donde K es la conductividad térmica, p es la densidad y S es el calor específico del material de la barra. Las unidades de son (longitud)z/tiempo. En la tabla 10.1.1 se dan algunos valores típicosde a,. Además, se supondrá que se dala distribución inicial de la temperatura en la barra; por tanto

(Y*

en donde f es una función dada. Por último, supóngase que los extremos de la barra se mantienen a temperaturas fijas; la temperatura T , en x = O y la temperatura T, en x = 1. Sin embargo, resulta que bastacon considerar el caso en el queT , = T , = O. En la sección 10.5 se mostrará cómo reducir el problema más general a este caso especial. Por tanto, en esta sección se supondrá queu siempre es cero cuando x = 0 o x = I; u(0, t ) = o,

u([, t ) = o,

t

> o.

(4)

El problema fundamental dela conducción del calores hallar u(x, t ) que satisfaga la ecuación diferencial (l),la condición inicial (3) y las condiciones en la frontera (4). El problema descritopor las ecuaciones(l),(3) y (4) es un problema con valor inicial en la variable de tiempo t; se da una condición inicial y la ecuación diferencial rige lo que sucede después. Sin embargo, con respecto a la variable espacial x, el problema es de un tipo diferente, conocido como problemacon valores en la frontera. Se deseala solución de la ecuación diferencial en cierto intervalo y se imponen condiciones (llamadas condiciones en la frontera) en los extremosde &e. De modo alternativo, es posible considerarel problema como un problema con valores en la frontera en el plano xt (ver la figura 10.1.2). Se busca la solución u(x, t) de la ecuación (1) en la franja seminfinita O < x < I, t > 0, sujeta al requisito de queu(x, t ) debe tomar un valor prescrito en cada punto de la frontera de esta franja. El problema de conducción del calor (l),(3), (4) es lineal por que u sólo aparece elevada a la primera potencia. La ecuación diferencialy las condiciones en la frontera también son homogéneas. Esto sugiere que se podría enfocar el problema al buscar soluciones de la ecuación diferencialy de las condiciones enla frontera y sobreponerlas luego para satisfacer la condición inicial. Para encontrar las soluciones que se necesitan, se buscan soluciones de la ecuación diferencial(1) que tengan la forma de un producto de una función sólo de x y una función sólo de t ; por tanto, se supone que

566

Ecuaciones parciales diferenciales Fourier de

y series

u(x, t) = X(x)T(t).

(5)

Si se sustituyeu de ia ecuación (5) en la ecuación diferencial(1) se tiene

en donde los apóstrofos se refieren a la derivación ordinaria con respecto a la variable independiente, seax o t. La ecuación (6) es equivalente a

X" X

-

1 T'

" "

a'

T'

en la que se han separado las variables; es decir, el primer miembro sólo depende de x y el segundo, sólo de t. Para que la ecuación (7) sea válida para O < x < I, t > O, es necesario que sus dos miembros sean igualeslaamisma constante. Delo contrario, al mantenerfija una de las variables independientes (por ejemplox) y hacer variar la otra, uno los de miembros (en este caso el primero) permanecería sin cambio, mientraselque otro habría variado, con lo que se viola la igualdad. Si a esta constante de separación se le llamao; entonces la ecuación (7) queda

X" X

-

1 T' - - o. a2T

De donde, se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes paraX(x) y T(t):

+ o x = o, T' + a 2 0 T = O. X"

La constante de separación se denotaa ( e n vez deu)porque resulta que debe ser negativa y es conveniente hacer explícito al signo menos. x=l

'

u (x,

O) = f ( x )

FIGURA 10.1.2 Problemas con valores en la frontera para la ecuación de conducción delcalor.

10.1

Separación del conducción de variables;

567

calor

De este modo, la ecuación diferencial parcial (1) se reemplazó por dos ecuaciones diferenciales ordinarias; cada una de las cuales puede resolverse con facilidadpara cualquier valor de u.El producto de dos soluciones de las ecuaciones (9) y (lo), respectivamente, proporciona una solución dela ecuación diferencial parcial (1). Sin embargo, sólo interesa en aquellas soluciones de (1) que también satisfagan las condiciones en la frontera (4). Como se muestra a continuación, esto restringe severamente los valores posibles de u. Si se sustituyeu(x, t) de la ecuación (5) en la condición en la frontera cuando x = O, se obtiene

Si la ecuación (11) se satisface al elegir que T ( t ) sea cero para toda t, entonces u(x, t ) es cero paratodax y t. Esto es inaceptable,ya que en este casou(x, t ) no satisfaríala condición inicial (3), a menos que la distribución inicial de temperaturasf(x) sea para cero toda x. Por consiguiente, se debe satisfacer la(11) al requerir que

X ( 0 ) = o.

(121

De manera semejante, la condición en la frontera en x = 1 requiere que

X ( / )= o. Ahora se va a considerar ala ecuación (9) sujeta a las condiciones en la frontera (12) y (13). Esto se conoce como problema con valores en la frontera en dos puntos: se busca la solución de(9) en el intervaloO < x < I y se prescribe una condición enla frontera en cada extremo del intervalo. Este problema con valores en la frontera, para todo valor deu,tiene la solución X(x) = O para toda x. Si esta solución (conocida como solución trivial)se sustituye en la ecuación ( 9 , resulta que u(x, t ) = O para toda x y t, lo cual es inaceptable, como ya se hizo notar. Por lo tanto, sólo se tiene interés en otras soluciones, no triviales, de las ecuaciones (9), (12) y (13). Para que existan soluciones no triviales es posible demostrar que u debe ser real; ver el problema 13, así como el análisis de una clase más general de problemas en la sección 11.3. Por tanto, es necesario distinguir tres casos, dependiendo desiu=O,a0. Si u = O, entonces la solución general dela ecuación (9) es X(X) = k,x

+ k,.

(14)

Para satisfacer la condición en la frontera (12) es necesario elegir k , = O. Entonces para satisfacer la segunda condición enla frontera (13), es necesario tenerk , = O. De donde,X(x) = O para toda x y existen soluciones no triviales cuandou = O. Si u < O, es conveniente reemplazaru por - /I2, en donde 2 '= O es un nuevo parámetro; esta sustitución evita la ocurrencia de numerosos signos de radicalen el razonamiento siguiente. Entonces, la ecuación(9) se queda

568

diferenciales Ecuaciones

parciales de y series

Fourier

y su solución general es

X(x)= k , cosh i x + k , senh 3.x.

(16)

La elección de coshA x y senh Ax como conjunto fundamental de soluciones de la ecuación (15), en vez deexp(Ax) y exp (-Ax), es también por conveniencia. Si se aplica la condición en la frontera (12) a la solución(16), se obtiene

X ( 0 ) = k , cosh O

+ k,senh

O

=

k,

=

O.

(1 7 )

Por tanto, se deduce queX(x) = k, senh Ax. La segunda condición en la frontera (13) requiere entonces que

X(1) = k , senh 3-1 = O.

(18)

En virtud de que A y 1son positivas, también senhA1 > O y la única manerade satisfacer la ecuación (18) es elegir k2 = O. De dondeX(x) = O para toda x, de modo que cuando u < O no existen soluciones no triviales de las ecuaciones(9), (12) y (13). Por último si u > O, entonces se sustituye u por A,, en donde A > O, y la ecuación (9) queda

X”

+ i,2x = o.

(19)

La solución general de la ecuación (19) es

La primera condición enla frontera (12) requiere que

X(0)= k , cos O + k , sen0 = k ,

=

O,

(21)

de modo queX(x) = k, sen Ax. Entonces, la segunda condición en la frontera da

c = -n2z21/l2,

n

= 1,

2, 3,. . . .

(23)

Los valores deU dados por la ecuación (23), para los cuales existen solucionesno triviales, se llaman eigenvalores del problema con valores en la frontera (9), (12) y (13). Las sohciones no triviales correspondientes X(x), que son proporcionales a sen (nnxll), son las eigenfunciones. Si se sustituye(T de la ecuación (lo), se tiene Ti + (n27c2r2/E’)T= O.

(24)

Por tanto, T(t) es proporcional a exp(-n2n2a2112). De donde, si se multiplican entresí las soluciones de las ecuaciones(9) y (10) y se desprecian las constantes arbitrariasde proporcionalidad, se concluye quelas funciones

10.1

Separacibn de variables; del conducción

569

calor

u,(x, t ) = e-,

2

2 2 ,I2

'

sen(nxx/l),

n = 1, 2. 3, . . .

(25)

satisfacen la ecuación diferencial parcial(1) y las condiciones enla frontera (4) para cada valor entero positivo den. Algunas veces a las funcionesu,, se les llama soluciones fundamentales del problema de conducción del calor(l),(3) y (4). Falta sólo satisfacer la condición inicial(3), u(x;O) = f ( x ) ,

o I x 5 1.

(26)

Es necesario hacer hincapié en quela ecuación diferencial (1) y las condiciones en la frontera (4) son lineales y homogéneas y queson satisfechas poru&, t ) para n = 1,2, . . . . Por el principio de superposición,se sabe que cualquier combinación lineal de los u&, r) también satisface la ecuación diferencialy las condiciones enla frontera. Por consiguiente, se supone que (27) en donde los coeficientes cn todavía no se determinan y en dondem es algún entero positivo. Dado queu(x, t), según se expresaen la ecuación(27), satisface la ecuación diferencial (1) y las condicionesen la frontera (4), para cualquier elecciónde c, se desea investigar si se puede elegir lasc,, de modo que también satisfagan la condición inicial (3). En primer lugar, considérense dos ejemplos sencillos.

Ejemplo 1

~

Hallar la solución del problema de conducción del calor (l), ( 3 ) y (4) si

i

f(x) = 3 sen(4nx//).

(28)

En este caso basta usar sólo una de las soluciones fundamentales(25); a saber, la correspondiente a n = 4. Se supondrá que u(x, I )

= c4e- 1 6 n ' z 2 r ~ 1 2sen(4nx//),

(29)

que satisface la ecuación diferencial(1) y las condiciones enla frontera (4), para cualquier valor de c,. Al hacer t = O, se obtiene u(x, O)

=

c4sen(4nx//);

de donde, es necesario elegir c4 = 3, para satisfacer la condición inicial. Si se sustituye este valor dec4en la ecuación (29) da la solución del problema completo con valores en la frontera.

Encontrar la solución del problema de conducción del calor (l), (3) y (4) si f(x) = b, sen(nx/l)

+ . . . + b,sen(rnnx//),

(30)

en donde b,, . . . , b, son constantes dadas. Si se supone que u(x, t) se expresa por la ecuación (27), entonces se satisfacen la ecuación diferencial (1) y las condiciones en la frontera (4) para cualquier elección decl, . . . , c,. En t = O, se tiene

570

Ecuaciones parciales diferenciales

y series de Fourier

sen(zx/l)+ . . + c,sen(mnx/l) = b , sen(nx/l) + . . . + h,sen(mnxjl).

u(x, O) = c,

Por tanto, se satisface la condición inicial si se elige c, = b,, problema completo es

. . . , cm = b,.

La solución del

Vuélvase ahora al problema general de las ecuaciones (l),(3) y (4), con f una función arbitraria. A menos quef(x) tome la forma dada porl a ecuación (30),no es posible satisfacer la condición inicial (3) por medio de una suma finitade la forma(27). Esto sugiere la extensión formal del principio de superposición para incluir series infinitas; es decir, se supone que c+i

c,e"'

u(x,t ) =

2

2 2 ,[2

n= 1

nxx

sen __. 1

Se ha visto que los términos individuales de la ecuación (32) satisfacen la ecuación diferencial parcial (1) y las condiciones en la frontera (4), y que cualquier suma finita de esos términos también lo hace. Se supondrá que la serie infinita ladeecuación (32) converge y que también satisface las ecuaciones (1) y (4). Para satisfacer la condición inicial (3) es necesario tener x

u(x, O)

=

nrcx

c, sen---- = .f'(x). n= 1 1

(33)

En otras palabras, se necesita elegirlos coeficientes c, de modo quela serie de funciones senoidales de la ecuación (33) converja a la distribución inicial de temperaturas f(x). Supóngase por el momento que es posible expresar f(x) como una serie infinita de términos senoidales

y que se sabe cómo calcularlos coeficientes bnde esta serie infinita. Entonces, como en el ejemplo 2, se puede satisfacer la ecuación (3) al elegir c, = b, para cada n . Con los coeficientes c, así seleccionados, la ecuación (32) da la solución del problema con valores en la frontera (I), (3) y (4). Por tanto, para resolver por el método de separación de variables el problema dado de conducción del calor, para una distribución inicial bastante arbitraria de temperaturas, es necesario expresar la distribución inicial de temperaturasf ( x ) como una serie de la forma (34). Esto plantea las preguntas siguientes:

1. ¿Cómo es posible identificar funciones que puedan escribirseen la forma (34)? 2. Si f es esa función, ¿cómo es posible determinarlos coeficientes b,, b,, . . . , b,, . . ..7

10.1

571

Separación de variables; conducción del calor

En las tres secciones siguientes se mostrará de qué manerase puede representar una gran clase de funciones por medio de series semejantes a la ecuación (34); además, se demostrará que los coeficientes de estas series se pueden determinar de manera relativamente sencilla.

Problemas 1. Enuncie exactamente el problema con valores en la frontera que determina la temperatura en una barra de cobre de 1 m de longitud si, originalmente, toda la barra se encuentra a 20°C y uno de sus extremos se calienta de modo repentino hasta 60°C y se mantiene a esa temperatura, mientras que elotro extremo se conserva a 20°C. 2. Enuncie con exactitud el problema con valores en la frontera que determina la temperatura en una barra de plata de 2 m de longitud,si los extremos se mantienen a las temperaturas de 30°Cy 50"C, respectivamente. Suponga que latemperatura inicial en la barra la da una función cuadrática de la distancia a lo largo de la misma, coherente con las condiciones en la frontera antes dadas y con la condición de que la temperatura en su centro es de60°C. 3. Suponga que un(x, t ) se expresa por la ecuación (25). Demuestre que c,ul(x, t ) + . . . + cmum(x,t), en donde cl, . . . , cm son constantes, satisfacela ecuación diferencial (1) y las condiciones en la frontera (4). 4. Encuentre la solución del problema de conducción del calor loou,, = u,,

oo

t

>O

2 sen5nx,

O 5 x 5 1.

5. Encuentre la solución del problema de conducción del calor U,, = 4u,,

u(0, t) = O,

O < X < 2, 4 2 , t) = O,

u(x, O) = 2 sen(nx/2)

t

t

>0

>O

- sen nx + 4 sen 2zx,

O

x 2 2.

6. Aplique la ecuación (8) para determinar las unidades físicas de la constante de separación u.

En cada uno de losproblemas 7 a 12, determine si es posible aplicar elmétodo de separación de variables para reemplazar la ecuación diferencial parcial dada por un par de ecuaciones diferenciales ordinarias.En caso afirmativo, encuentre las ecuaciones. l. xu, 9. u,, 11. ,u,

+ u, = o

+ u,, + u, = o + (x + y)u,, = o

13. En este problema se describe una demostración de que los eigenvalores del problema con valores en la frontera (9), (12) y (13) son reales. a) Escriba la solución de la ecuación (9) como X(x) = k, exp(i1x) + k, exp(-iilx), en donde (+ = A', e imponga las condiciones en la frontera (12) y (13). Demuestre que existen soluciones no triviales si y sólo si

572

Ecuaciones parciales diferenciales

exp( - i i l ) - exp(ij.1) = O.

y series de Fourier (1)

b) Haga A = p + iv y aplique la relación de Euler exp(ipl) = cos(pl) + i sen(p1) para determinar las partes real e imaginaria de la ecuación (i). c) Considere las ecuaciones halladas en b) para demostrar que v= O; de donde,A es real y también lo es u.Demuestre también que p = mil. 14. Al resolver ecuaciones diferenciales, los cálculos casi siempre pueden simplificarse mediante el uso de variables adimensionales. Demuestre que si se introduce la variable adimensional ( definida por( = d l , entonces la ecuación de conducción del calor queda

Dado que 12/a2tiene unidades de tiempo, es conveniente usar esta cantidad para definir una variable adimensional del tiempo 7 = (a2/12)t. A continuación, demuestre que la ecuación de conducción del calor se reduce a

15. Considere la ecuación m,, - bu,

+ cu = O

(1)

en donde a,b y c son constantes. a) Llega u(x, t ) = est w(x, t ) , en donde S es una constante y halle la ecuación diferencial parcial correspondiente para w. b) Si b # O, demuestre que puede elegirse 6 de modo quela ecuación diferencial parcial hallada en el inciso a) no tenga término en w. De este modo,por medio de un cambio de variable dependiente, es posible reducir laecuación (i) a la ecuación de conducción del calor. *16. La ecuación de conducción del calor en dos dimensiones espaciales es bZ(U,,

+ U Y Y ) = u,.

Si se supone que u(x, y , t ) = X(x)Y(y)T(t),encuentre ecuaciones diferenciales ordinarias que sean satisfechaspor X(x), Y@)y T(t). * 17. La ecuación de conducción del caloren dos dimensiones espaciales puede expresarse en términos de coordenadas polares como 2[u,,

+ ( I / r ) u , + ( 1/Y2)U@J

=

u,

Si se supone que u(r, e, t) = R(r)@(e)T(t),encuentre ecuaciones diferenciales ordinarias que sean satisfechas por R(r), @(O) y T(t).

10.2 Series de Fourier En la última secciónse mostró cómo resolver el problema fundamental con condiciones en la frontera de conducción del calor en el supuesto de que es posible expresar una función

10.2

573

Series de Fourier

FIGURA 10.2.1 Funciónperiódica. dada definida en O 5 x 5 I, como una serie de senosCb,,, sen(m r x l l ) . A continuación se comienza a considerar una serie algo más general de la forma

En el conjunto de puntos donde converge la serie (l),define una funciónf,cuyo valor en cada punto es la suma la deserie para ese valor de x. En este caso, se dice que la serie (1) es la serie de Fourier2 para f. Los objetivos inmediatos son determinar qué funciones pueden representarse como una suma de una serie de Fourier y encontrar algunos medios para calcular los coeficientes de la serie. De paso, conviene hacer notar que el primer término de la serie (1) se escribe como a0/2, en vez de como ao, para simplificar una fórmula delos coeficientes que se deducirá más adelante. Además de su asociación con el método de separación de variables, las series de Fourier también son útiles en otras maneras, como en el análisis de sistemas mecánicoso eléctricos sobre los que actuán fuerzas externas periódicas.

Periodicidad de las funciones seno y coseno. Para analizar las seriesde Fourier es necesario desarrollar ciertas propiedades de las funciones trigonométricas sen ( m r x l l ) y cos (mzx/ I), en donde m es un entero positivo. La primera es su carácter periódico. Se dice que una función es periódica con periodo T > O si el dominio de f contiene a x t T siempre que contenga a x y si

Las series de Fourier recibieron su nombre en honor de Joseph Fourier, quien las aplicó sistemáticamente por primera vez, aunquesin una investigación completamente rigurosa, en1807 y en 181I en sus artículos sobre su primer documento ala Academia de París conducción del calor. Según Riemann, cuando Fourier presentó en 1807, expresando queuna fun?ión por completo arbitraria podía expresarse como una serie la deforma (I), el matemático Lagrange se sorprendió tanto que nególa posibilidad en los términos más contundentes. Aunque resultó que la afirmación de Fourier de completa generalidadera demasiado fuerte, sus resultados inspiraron un abundante caudal de investigación importante que ha continuado hasta la actualidad. Véase la obra de Grattan-Guinness o la de Carslaw [Introducción Histórica] para una historia detallada de las series de Fourier.

574

Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier

para todo valordex. En la figura 10.2.1 se muestra un ejemplo de una función periódica. De la definición se sigue de inmediato que siT es un periodo def, entonces 2T también es un periodo, como de hecho lo es cualquier múltiplo enteroT.de El valor más pequeño de T para el cual se cumple la ecuación ( 2 ) se llama periodo fundamental de f. En este sentido se debe observar que una constante puede concebirse como una función periódica de periodo arbitrario, pero no con periodo fundamental. Para cualquier función periódica no constante, el periodo fundamental se define de manera única y todos los demás periodos son múltiplos de éste. Si f y g son dos funciones periódicas cualesquiera con periodo común T, entonces su productofg y cualquier combinación linealc1f t c2g también son periódicas con periodo T. Para demostrar la última proposición, sea F(x) = c, f(x) t c,g(x); entonces, para cualquier x,

F(x + T ) = cJ(x

+ T ) + c,g(x + T ) = c l f ( x ) + c,g(x)

=

F(x).

(3)

Es más, se puede demostrar quela suma de cualquier número finito,o incluso la suma de una serie infinita converge, de funciones de periodo T también es periódica con periodo T. En particular, las funciones sen(mnxll) y cos(m nxll), m = 1,2,3, . . . , son periódicas con periodo fundamental T = 21/m. Para ver esto, recuérdese que sen x y cos x tienen periodo fundamental 2n y que sen (Y x y cos a x tienen periodo fundamental 2 x 1 ~Si ~ .se eligeA = mnll, entonces el periodo T de sen (mnxll) y cos(mmll) seexpresa por T = 2 n l / m n = 21lm. Nótese también que, como todo múltiplo entero positivo de un periodo también es un periodo, cada una de las funcionessen(m nxll) y cos(m KxII) tiene el periodo común2 1.

Ortogonalidad de las funciones seno y coseno. Para describir una segunda propiedad esencial de las funciones sen(mnxl1) y cos(mnxl1) se generalizará el concepto de ortogonalidad de vectores (ver la sección 7.2).El producto interno estándar (u, v) de dos funciones u y v de valores reales sobre el intervalo(Y I x 5 p se define por (u, u) =

Se dice quelas funciones u y v son ortogonales sobre cero; es decir, si Jafl

(4)

u ( . ~ ) v ( xdx. )

u ( x ) u ( x )dx

=

a5

x

5

p si su producto interno es

o.

(5)

Se dice queun conjunto de funciones esmutuamente ortogonalsi cada pareja distinta de funciones en el conjunto es ortogonal. Las funciones sen(mnxj1)y COS(mKX/l), m = 1,2, . . . ,forman un conjunto de funciones mutuamente ortogonales sobre el intervalo-I 9 x 5 1. De hecho, satisfacen las siguientes relaciones de ortogonalidad:

m # n, m = n;

10.2

575

Series de Fourier

jI

I

rnnxm senI sen

# n, m = n.

nnx dx = 1

~

Se pueden obtener estos resultados por integración directa. Por ejemplo, para deducir la ecuación (8), nótese que (m

m+n

+ n)nx

m-n

=

o,

en tanto quem + n y m - n no sean cero.En virtud de quem y n son positivos,m + n # O. Por otra parte, si m - n = O, entonces m = n y la integral debe evaluarse deotra manera. En este caso,

'

sen

rnnx nnx 7 sen dx = 1 ~

I

(sen

='j'

[I

2

dx "OS-

-1

1

dx

2mnll =

1.

Esto establece la ecuación (8); las ecuaciones ( 6 ) y (7) pueden comprobarse mediante cálculos semejantes.

L o s coeficientes a, y b, pueden relacionarse con bastante sencillez con f(x) como consecuencia de las condiciones de ortogonalidad(6), (7) y (8). Primero multiplíquese la ecuación (9) por cos(nlcxll), en donde n es un entero positivo fijo ( n > O) e intégrese con respecto a x desde -1 hasta 1. En el supuesto de quela integración puede efectuarse legítimamente término a t é r m i n ~ se , ~ obtiene

Ésta no es una suposición trivial, ya que no todas las series convergentes con términos variables pueden integrarse de este modo. Sin embargo, para el caso especial de las series de Fourier, siempre se puede justificar la integración término a término.

576

Ecuaciones parciales diferenciales

Fourier y series de

Si se tiene presente que n es fijo mientrasm varía en los enteros positivos, por las relaciones de ortogonalidad(6) y (7) se concluye que elÚnico término que no se anulaen el segundo miembro de la ecuación (10) es aquél para el quem = n en la primera suma. De donde,

í' f'(x)cosn m

y dx = la,,

J

"I

n

=

I , 2:

1

Para determinar a, se puede integrarla ecuación (9) desde - 1hasta 1 y se obtiene

dado que todas las integrales tanto,

en que aparecen funciones trigonométricas

se anulan. Por

Al escribir como a,/2 el término constante de la ecuación(!')> es posible calcular todos los a,,a partir de la (13). En caso contrario, se tendría que usar una fórmula separada para ,.a

Es posible obtener una expresión semejante para los b,, si se multiplica la ecuación (9) por sen(rzm/l), se integra término a término desde -1 hasta 1 y se usan las relaciones de ortogonalidad (7) y (8); por tanto,

Las ecuaciones(13) y (14) se conocen como fórmulas de Euler-Fourier para los coeficientes de una serie deFourier. En consecuencia, si la serie (9) converge hacia f(x)y si la serie puede integrarse término a término, entonces los coeficientes deben quedar dados por las ecuaciones (13) y (14). Nótese que las ecuaciones (13) y (14) son fórmulas explícitas paraa,,los y b,, en términos d e f y que la determinación de cualquier coeficiente específico es independiente de todos los demás coeficientes. Por supuesto, la dificultad para evaluar las integrales de las ecuaciones (13) y (14) depende bastante de la función particular f de que se trate. Nótese también que las fórmulas (13) y (14) sólo dependen de los valores de f(x) en el intervalo -1 c: x 5 1. En virtud de que cada uno de los términos de la serie de Fourier (9) es periódico, con periodo 2I, la serie convergepara toda xsiempre que converja en-1 5 x 5 1y su suma también es una función periódica con periodo 21. De donde,f(x) queda determinada para toda x por sus valores en el intervalo -1 5 x 5 1. Es posible demostrar (ver el problema 11) que gsies periódica con periodo T, entonces toda integral de g sobre un intervalo de longitud T tiene el mismo valor. Si se aplica este resultado a las fórmulas deEuler-Fourier (13) y (14), se concluye que el intervalode integración, -1 5 x c: 1, puede sustituirse, en caso de ser más conveniente, por cualquier otro intervalo de longitud 2 I,

10.2

Series

517

Fourier

Ejemplo 1

Supóngase que existeuna serie de Fourier que converge a la función fdefinida por -1 5 x < o,

-x,

f(x) =

f(x

(1 5)

O

7

X

FIGURA 10.2.4 Gráfica de f(x) del ejemplo 2.

en donde los coeficientes a, y b, se expresan por las ecuaciones (13) y (14) con 1= 3 . Se tiene

De manera semejante,

=!I'

a,,

3

-1

2

nnx 3

cos-dx

nn

nn

n

=

1,2,. . . ,

(24)

Y

'

nnx

dx

I

=

nnx

'

cos - = O, nn 3 ~~,

n = I. 2,. . . .

(25)

Por tanto, la serie de Fourier parafes 1

, f ( x ~=

' 2 nn nnx sen- cos n3T 3 3

+1 3 "=,

~

~

(26)

-

En este texto, las series de Fourier aparecen principalmente como un medio para resolver ciertos problemas de las ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, estas series tienen una aplicación mucho más amplia en la ciencia y la ingeniería y?en general, son herramientas valiosas enla investigación de fenómenos periódicos. Amenudo, el problema toma la forma de resolver una señal de entrada en sus componentes armónicas, lo que equivale a construir su representación en serie de Fourier. En algunos intervalos de frecuencia, los términos por separado corresponden a colores distintos o tonos audibles diferentes. L a magnitud del coeficiente determina la amplitud de cada componente. Este proceso se menciona como análisis espectral.

Problemas En cada uno de los problemas 1 a 10, determine si la función dada es periodica. En caso afirmativo, encuentresu periodo fundamental. I . sennxll 5. x2

2. cos 2nx 6. sen Sx

3. senh 2x

4. tan 3T.x

7. sen mx

8.

r X

580

Ecuaciones parciales diferenciales

9.

.

m =

i

1 5 x < 2n, + 1:

O,

2n

1,

2n 5 x < 2n

~

n =

y series de Fourier

o, + I , +2,

11. Suponga que g es una función periódica integrable con periodoT. a) Si O 5 a 5 T, demuestre que g(x) dx.

g(x) dx = Joa

1;

Sugerencia: demuestre primero que g(x) lix = ''g(x) rix. Considere el cambio de variable S = x - Ten la segunda integral. b) Demuestre que para cualquier valor dea , no necesariamente en 0 5 a 5 T,

Jo7g(x)

dx =

s.""'

g(x) dx.

c) Demuestre que para valores cualesquiera dea y b, g(x) dx = Jbb+T g(x) dx.

12. Si f es diferenciabley es periódica con periodoT, demuestre quef' también es periódica con periodo T. Determine si F(x) =

S,

f ( t ) dt

siempre es periódica. 13. Compruebe las ecuaciones (6) y (7) del texto por integración directa. En cada uno delos problemas 14 a 23, halle la serie de Fourier correspondiente ala función dada.

14.f ( x ) 15. f ( x )

=

16. f ( x ) =

f(x

+ 21) = f ( x )

f(x

+ 21) = f ( x )

- / i X < I;

= -X,

1,

" / < X

o,

(.Y, t )

+ ,+>(x,f),

en donde ~ ( xt,) es la solución del mismo problema con g(x) = O y w(x, t ) es lasolución del mismo problema conf(x) = O. De este modo,v(x, t ) representa el movimiento de una cuerda a partir delreposo con eldesplazamiento inicialf(x) y w(x, r) representa el movimiento de una cuerda que se pone en movimiento a partir de su posición de equilibrio con velocidad inicial g(x). Por lo tanto, se puede obtener la solución del problema general al resolver dos problemas subsidiarios. 6. Si una cuerda elástica está libre en uno de sus extremos, la condición en la frontera a satisfacer allí es que ux= O. Encuentre el desplazamiento u(x, t ) en una cuerda elástica de longitud I, fija en x = O y libre en x = I, que sepone en movimiento sin velocidad inicial a partir de la posición inicial u(x, O) =f(x>, en dondefes una función dada. Sugerencia: demuestre que lassoluciones fundamentales para este problema, que satisfacen todas lascondiciones excepto la condición inicial no homogénea, son u,(x, r ) = sen x,.;

cos E., at,

en dondeA, = (2n -I) x12 1, n = 1,2, . . . . Compare esteproblema con el11 de lasección 10.5; en especial ponga atención en la extensión de los datos iniciales hacia afuera del intervalo original [O, 11. 7. Es posible introducir variablesadimensionales en la ecuación de onda (11) de la siguiente manera: al hacer s = xil, demuestre que la ecuación de onda queda

10.6

617

Ecuaciones de onda: vibraciones de una cuerda elástica

a continuación demuestre que lia tiene las dimensiones de tiempo y que, por tanto, se puede usar como launidad en la escala deltiempo. Finalmente, haga z= atll y demuestre que laecuación de ondase reduce a U,,

= UTI.

En los problemas 8 y 9 se indica la forma de la solución general de la ecuación de onda y el significado físico dela constante a. 8. Demuestre que la ecuación de onda Ll%l,,

u,,

=

puede reducirse a la forma uE,,= O, mediante el cambio de variables = x - ut, q = x + at. Demuestre que u(x, t ) debe ser dela forma u(x, t ) = q5(x - u t )

+ $(x + at),

en donde 4 y I)son funciones arbitrarias. 9. Trace la gráfica dei valor de4(x - a!) para t = 0, lla, 2/a, tda, si +(S) = sen s. Observe que para cualquier t # O la gráfica de y = +(x -at) esla misma que la de y = +(x) cuando 1 = O, pero desplazada una distancia at en la dirección x positiva. De este modo,a representa la velocidad a la que la perturbación se mueve a lo largo de la cuerda. ¿Cuál es la interpretación de +(x t at)? 10. Un alambre de cobre de 5 pies delongitud se estira mediante una fuerza de tracción de 50 lb. El alambre tiene un peso por unidad de longitud de 0.026 lbipie. a) Encuentre la velocidad de programación de las ondas transversalesen el alambre. b) Encuentre las frecuencias naturales de vibración. c) Si se aumenta la tensión en el alambre, ¿cómo cambian las frecuencias naturales? ¿También cambian los modos naturales? 11. Una cuerda vibrante que se desplaza en un medio elástico satisface la ecuación a'u,, - y 2 u =

u,,,

en donde c i 2 es proporcional al coeficiente de elasticidad del medio. Suponga que la cuerda está fija en losextremos y que se suelta sinvelocidad inicial a partirde la posición inicial p(x, O) = f(x), O < x < 1. En el desplazamiento u(x, t). 12. Considere la ecuación de onda a%,,

=

u,,

en un medio infinito unidimensional, sujeta a las condiciones iniciales

a) Use la forma de la solución obtenida en el problema 8 para demostrar que 4 y I) deben satisfacer

618

y

Ecuaciones parciales diferenciales

b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) para 4 y u(x, t ) = +[f(x - at)

series de Fourier

v y demuestre de este modo que

+ f'(x + ut)].

Esta forma de la solución la D'Alembert en 1746. quela ecuación I,!J'(x)= @(x)se resuelva al elegir v(xj = 4(-u)+ c . c)Haga 2, -I O. Si se procede como en el casoanterior, se encuentra quep debe satisfacer ~

=

-tanh

\:p.

(25)

Con base en la figura 11.2.2 resulta evidente que las gráficas def(&) = fi y g ( c p ) = - tanh p sólo se intersecan en el origen. De donde,no existen valores positivos dep que satisfagan la ecuación (25) y, por lo tanto, el problema con valores en la frontera (14), (15) no tiene eigenvalores negativos. Por último, es necesario considerar la posibilidad de queilpueda ser complejo.Es posible demostrar por cálculo directo que el problema (14), (15) no tiene eigenvalores complejos. Sin embargo, en la sección 11.3 se considera con más detalle una gran clase de problemas que incluye este ejemplo. Una de las cosas que se demuestran allí es que todo problema de esta

<

11.2

Problemas lineales homopéneos

con valores en

la frontera: eipenvalores Y eiaenfunciones

FIGURA 11.2.2 Solución gráfica de

JF

649

= -tanh Jp.

clase sólo tiene eigenvalores reales.Por consiguiente, aquí se omite el análisis denolaexistencia de eigenvalores complejos. De este modo, se concluye que todos los eigenvalores y eigenfunciones del problema(14), (15) se expresan por las ecuaciones (21) y (22).

En cada uno de los problemas 1 a 4 encuentre los eigenvalores y eigenfunciones del problema dado con valores en la frontera. Suponga que todos los eigenvalores son reales.

+ ;.y = o )$(O) = o, y‘(1) = o

o

1. y”

2. y’‘ + i y

3. y” + ;.y = o y’(0) = o, J’(1) = o

4. y” - ;.y = o J(0) = o, yY1) = o

=

f(0) = o,

y( 1 = o

En cada uno de los problemas 5 a 8, determine la forma de las eigenfunciones y la ecuación determinantal satisfechapor los eigenvalores diferentes cero. de Determine sidl = O es un eigenvalor y encuentre un valor aproximado parad,,el eigenvalor diferente decero con menor valor absoluto. Calcule dnpara valores grandes den. Suponga que todoslos eigenvalores son reales. 5. y“ - ;.y = o y(0) f $(O) = o, 7. y“ + ;.y = o y‘(0) = o, y(1)

y( 1) = o

+ J’(1) = o

6. y’’ + ;.y = O Y @ ) = o, y(7r) + y’(7r) = o 8. y“

+

2.y = O Y(0)- y’(0) = o,

y(1)

+ y’(í) = o

9. Considere el problema con valores en la frontera

y” - 2y’ + (1 + >.)y =o, y ( 0 ) = o, y ( í ) = o. a) Introduzca una nueva variable dependiente u mediante la relación y = s(x)u. Determine s ( ~ )de modo que la ecuación diferencial para u no tenga término en u’. b) Resuelva el problema con valores en la frontera para u y determine de esta manera los eigenvalores y eigenfunciones del problema original. Suponga que todos los eigenvalores son reales.

Problemas con valores en la frontera Stum-Liouville deY teoría

650

c) Resuelva también directamente el problema dado (sin introducir u).

* 10. Considere el problema con valores en la frontera y"

y(o) =: o,

+ 4y' + (4 t galy = o,

yyl) = o.

a) Determine, por lo menos aproximadamente, los eigenvalores realesy las eigenfunciones correspondientes al proceder como en elproblema 9(a, b). b) Resuelva también directamente el problema dado (sin introducir una nueva variable). Sugerencia: en el inciso a), considere con todo cuidado las condiciones en la frontera, así como laecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales delos problemas 11 y 12 difieren de las delos problemas anteriores en queel parámetro il multiplica los términos eny ', así como el término en y. En cada uno de estosproblemas, determine los eigenvalores y las eigenfunciones correspondientes. I l . y" y' .(y 4') = o y'(0) = o. y(21 = o

+ +

+

* 12.

"2y" ;.(,cy' - y) = o !(I) = o, y ( 2 ) - 4'32)= o "

13. Considere el problema

y"

+ Ay = o,

y(1) = o.

5 ( 0 ) t y'(0) = o,

a) Halle la ecuacióndeterminantal satisfecha por los eigenvalores positivos. Demuestre que existe una sucesih infinitadeesos eigenvalores y quo A,, (2n + l ) d 2 para n grande. b) Encuentre la ecuación determinantal satisfecha por los eigenvalores negativos. Demuestre que existe exactamente un eigenvalor negativo. * 14. Considere el problema y"

+ ay = o,

LYy(o)+ yyo) = o,

y ( 1 ) = o,

en donde CY es una constante real dada. a) Demuestre que para todos los valores de(Y existe unasucesión infinita de eigenvalores positivos. b) Si (Y < 1, demuestre que todos los eigenvalores (reales) son positivos. Demuestre que eleigenvalor más pequeño tiende a cero cuando(Y tiende a uno desde abajo. c) Demuestre que A = O es un eigenvalor sólo si (Y = 1. d) Si LY > 1, demuestre que existe exactamente un eigenvalor negativo y que este eigenvalor decrece cuando (Y crece. 15. Considere el problema

+ ay = o,

,](o) = o,

y ' ( / ) = o.

Demuestre que si y +n son eigenfunciones, correspondientes a los eigenvalores Am y An, son respectivamente, con An, If. An,entonces

1:4m("w

dx = 0

Sugerencia: observe que

4;

+

;&,+m

= :

o,

9;

+ ;."I$" = o

Multiplique la primera de estas ecuaciones por +,,, la segunda por q5m e integre desde 0 hasta E mediante integración por partes.

11.2

Problemas lineales homogéneos

con valores en la frontera: eigenvualores y eigenfunciones

651

*36. En este problema se considera un problema de eigenvalores de orden superior. En el estudio de las vibraciones transversales de una barra elástica uniforme se llega a laecuación diferencial y’” - Ay = o,

en donde y es el desplazamiento transversal y A = m& / E t m es la masa por unidad de longitud de la barra, E es el módulo de Young, I es el momentode inercia de la sección transversal en torno al eje que pasa por el centroide perpendicular al plano de vibración y o es la frecuencia de vibración. Por tanto, para una barra cuyas propiedades del material y geométricas se conozcan, loseigenvalores determinan las frecuencias naturales de vibración.Las condiciones en la frontera en cada uno de los extremos suelen ser de uno de los tipos siguientes: y = y’ = O, y = y ” = O, y ” =y”’ = O,

extremo sujeto, extremo simplemente apoyado o articulado extremo libre.

Para cada uno de los tres casos siguientes, encuentre la forma de las eigenfunciones y la ecuación satisfechapor los eigenvalores de esteproblema con valores en la frontera de cuarto orden.Determine, por lo menos aproximadamente, el menor eigenvalor A,.Suponga que los eigenvalores son reales y positivos. a) y(0) = y”(0) = O, b) y(0) = y”(0) = O, c) y(0) = y’(0) = O,

y ( [ ) = y”(1) = O y(/) = ~’(1)= O y”(/) = y”’(1) = O

(barra voladiza o cantilever)

*17. En este problema se ilustra que el parámetro eigenvalor algunas veces aparece en las condiciones en lafrontera, así como en la ecuación diferencial. Considere las vibraciones longitudinales deuna barra elásticarecta uniforme de longitud 1. Es posible demostrar que eldesplazamiento axial u(x, t ) satisface laecuación diferencial parcial (E/p)u,,= ur,;

o < x < 1,

t

>o

(9

en donde E es el módulo de Young y p e s la masapor unidad de volumen. Siel extremo x = O está fijo, entonces la condición en la frontera allíes

u(0, t) = o,

t

> o.

(ii)

Suponga que el extremo x = 1está sujeto rígidamente a una masa m, y que ésta es su única restricción. Se pueden obtener las condiciones en la frontera aquí al escribir la ley de Newton para la masa. Con base en lateoría de la elasticidad, es posible demostrar que la fuerza ejercida por la barra sobre la masa se expresa por -EAu,(Z, t); de donde, la condición en la frontera es EAu,(I, t ) + mu,,([, t ) = O,

t

> O.

(iii)

a) Suponga que u(x, t ) = X(x)T(t) y demuestre que “(x) y T(t) satisfacen las ecuaciones diferenciales. X“+AX=O,

(iv>

T“ + A(E/p)T = O.

(9

652

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville b) Demuestre que las condiciones en l a frontera son

11.3 Problemas de Sturm-Liouville con valores en la frontera A continuación se consideran los problemas con valores en la frontera en dos puntos del tipo quese obtuvo en la sección 11.1al separar las variablesen un problema de conducción del calor para una barra con propiedades variables del material y con un término fuente proporcional a la temperatura. Este tipo de problema tambiénse presenta en muchas otras aplicaciones. Estos problemas con valores en la frontera comúnmente se asocian a los nombre de Sturm y Liouville.’ Constan de una ecuación diferencial dela forma

[P(.,Y’l’ sobre el intervaloO

- &)Y

+ nr(x)Y = 0

(1)

< x < 1, junto con las condicionesen la frontera a,y(Oj

+ a,y’(O) = o,

b,y(l)

+ b,y’(l)

=

o

(21

en los extremos.A menudo es conveniente introducir el operador diferencial lineal homogéneo L definido por J q Y ] = - [P(X)Y‘I‘ + 4 4 Y .

(3

Entonces la ecuación diferencial (1) se puede escribir como

L [ y ] = ir(x)y.

(4)

Se supone que las funciones p , p’, q y r son continuas sobre el intervalo O 5 x 5 1 y, además, que p ( x ) > O y r(x) > O en todos los puntos en O 5 x 5 1. Estas suposiciones son necesarias para hacer que la teoría sea lo más sencilla posible en tanto se conserva una Charles-FranGois Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), en una serie de artículos en 1836 y 1837, establecieron muchas propiedades la declase de problemascon valores en la frontera asociados consus nombres, incluyendolos resultados enunciados enlos teoremas 11.3.1 a. 11.3.4. Sturm también es famoso por un teorema sobre el número de ceros reales deun polinomio y, además, realizó un amplio trabajo en físicay mecánica. Además desu propia investigación en análisis,Blgebra y teoría de números, Liouville fue el fundador, y durante 39 añosel editor, de la importante Journal de rnathérnariquespures et appliquées. Uno de sus resultados más relevantes fuela demostración (en 1884) de la existencia de los números trascendentes.

11.3 Problemas de Sturm-Liouville conlavalores en

653

frontera

generalidad considerable. Resulta que estas condiciones son satisfechas en muchos problemas importantes de la física matemática. Por ejemplo, la ecuación y" t Ay = O, que se presentó repetidas veces en el capítulo anterior,es de la forma (1) con&) = 1, q(x) = O y .(x) = 1. Se dice que las condiciones enla frontera (2) están separadas, es decir, cada una sólo comprende uno de los puntos frontera. Estas son las condiciones separadas en la frontera más generales posibles parauna ecuación diferencial de segundo orden. Antes de proceder a establecer algunas las de propiedades del problema de Sturm-Liouville (l),(2), es necesario deducir una identidad, conocida comoidentidad de Lagrange, que es básica para el estudio de problemas lineales con valores en la frontera.u Sean y v funciones que tienen segundas derivadas continuas sobre el intervaloO I x 5 1; entonces, JolL[u]u dx = Jol{-@')'u

+ yuu} d x .

Si seintegra dos veces por partes el primer término del segundo miembro, se obtiene

jolL[u]udx = -p(x)u'(~)u(x)lA+ p ( x ) u ( x ) u ' ( x )+~J~ol{ -u(pu')' + u p } dx +

= -p(x)[u'(x)u(x) - u(x)u'(x)](; JoluL[u] d x .

De donde, al trasponer la integral del segundo miembro, se tiene

que es la identidad de Lagrange. u y v de la ecuación (5) también satisfacen las condiSupóngase ahora que las funciones ciones en la frontera(2). Entonces, si se supone queu2 # O y b, # O, el segundo miembro queda

=

-p(l)

= o.

[

::

i

+u(l)u(l) + p ( 0 ) -2u(O)u(O) + 3 u(o)u(o)] b1 [

u(l)u(l)

"

b2

:2

a2

Se cumple el mismo resultado si u,, o bien, b, es cero; en este caso, la demostración es todavía más sencilla y se deja al lector. Por tanto, para el operador diferencial L definido por la ecuación (3) y si las funcionesu y v satisfacen las condiciones en la frontera (2), la identidad de Lagrange se reduce a

so1

{ L [ u ] u- u L [ u ] ) dx

= o.

(6)

A continuación, escríbase la ecuación(6) de manera ligeramente distinta. Enla sección 10.2 se introdujo el producto interno (u, v) de dos funciones u y v de valores reales sobre un intervalo dado; si seusa el intervalo O S x 5 1, se tiene Por brevedad, algunas veces se usa la notación

I,!, f dr en vez de f(x) dr en este capítulo.

Problemas con valores en la frontera y teoría Sturm-Liouville de

654

Con esta notación: la ecuación (6) queda

(I,[.], c) - (LL, L C ~ = I ) o. Al probar el teorema 11.3.1 a continuación es necesario tratar con funciones de valores complejos. Por analogía con la definición de la sección7.2 para los vectores, se define el producto interno de dos funciones de valores complejos sobre O 5 x 5 1 como

(u. P )

=

Jolu(x)ü(x)dx,

(9)

en donde U es el complejo conjugado de v. Resulta evidente que la ecuación (9) coincide con la (7),si u(x) y v(x) son reales. Es importante saber que la (8) sigue siendo válida en las condiciones enunciadas si u y v son funciones de valores complejos y si se emplea el producto interno(9). Para vere,sto, es posible empezar conla cantidad L [ u ]5dx y repetir los pasos que dan la ecuación (6), si se aplica el hecho de quep(x),&), a , ,a2,b, y b, son todas cantidades reales (verel problema 22). Considérese ahora, algunas delas implicaciones de lae c u a c i h (8) para el problema de Sturm-L,iouville con valores enla frontera ( l ) , (2). Se supondrá sin demostración’ que este problema tiene en realidad eigenvalores y eigenfunciones. En los teoremas 11 3 . 1 a 11.3.4 que se plantean a continuaciónse expresan varias de sus propiedades importantes, aunque relativamente elementales. Cada una de estas propiedades se ilustra ante el muy sencillo problema de Sturm-Liouville

rb

y” t Ay = o,

y(0) = o,

y(1) = o,

(1 0 )

cuyos eigenvalores son An = n2n2,con las eigenfunciones correspondientes$,(x) = sen

n nx.

Para probar este teorema supóngase que l. es un eigenvalor (posiblemente complejo) del problema (l), (2) y que 4 es una eigenfunción correspondiente, quizá también de valores complejos. Escríbase A = p + iv y $(x) = U(x) t iV(x), en donde v, Lr(x) y V(x) son reales. Entonces, si se hace u = 4 y también u = 4 en la ecuación (€9,se tiene

(LI41,4)=

( 4 7

q41,.

(tli

Sin embargo, se sabe que L [4] = Ar4, por lo que la ecuación(11) queda

( h - 44) = (4, Ar 41,

(12)

con en valores

Sturm-Liouville 11.3 Problemas de

655

la frontera

Si se escribe completala ecuación (12)y se aplicala definición (9) de producto interno, se obtiene Jol Ar(x)&x)$(x) d x = Jol ~ ( x ) & ( x ) $d(xx.)

(13)

En virtud de quer(x) es real, entonces (13) se reduce a

( A - 1)Jolr(x)4(x)+(x) dx = O, o bien, ( A - 1)Jolr ( x ) [ U 2 ( x+ ) V2(x)] dx

-

= O.

El integrando de la ecuación (14) es no negativo y no idénticamente a cero. Dado que el integrando también es continuo, se concluye que la integral es positiva. Por consiguiente, el factor A - = 2iv debe ser cero. De donde v = O y A es real, con lo que se prueba el teorema. Una consecuencia importante del teorema 11.3.1 es que al hallar los eigenvalores y eigenfunciones de problemade Sturm-Liouville con valores en la frontera, sólo se requiere buscar eigenvalores reales. También es posible demostrar que las eigenfunciones del problema con valores en la frontera (l), (2) son reales. En el problema 23 se describe una demostración.

1

Este teorema expresa la propiedad deortogonalidad de las eigenfunciones con respecto a la función de peso r. Para probar el teorema se observa que41y 42satisfacen las ecuaciones diferenciales

...

.

656

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

Debido a que A2, r ( x ) y +,(x) son todos reales, esta ecuación queda (i1

~~

i2)

Jolr(x)fbl(x)4z(x) dx

Como por hipótesis A, # A,, se concluye que queda probado el teorema.

y

= O.

(18)

+* deben satisfacer la ecuación (15) y

La demostración de este teorema es algo más avanzada que lalos dedos teoremas precedentes, por lo que se omitirá. Sin embargo,en el problema 20 se indica una demostración de que los eigenvalores son sencillos. Una vez más se observa que todas las propiedades expresadas enlos teoremas 11.3.1 a 11.3.3son ejemplificadas por los eigenvaloresA, = n2rr2y las eigenfunciones $,(x) = sen nrrx del problema ejemplo(10). Es evidente quelos eigenvalores son reales. Las eigenfunciones satisfacen la relación de ortogonalidad

que se estableció en la sección 10.2 por otro método. Además, se pueden ordenar los eigenvalores de modo que A, < A, < . . , y A,, + 00 cuando n -+ co. Por último, a cada eigenvalor le corresponde una sola eigenfunción linealmente independiente. A continuación se supondrá que los eigenvalores del problema de Sturm-Liouville(l), (2) están ordenados como se indica en el teorema 11.3.3.Asociado con el eigenvalor An está una eigenfunción correspondiente $, determinada hasta una constante multiplicativa. A menudo es conveniente elegirla constante arbitraria que multiplica a cada eigenfunción de modo que satisfaga la condición

jol r(x)(b:(x) dx = 1,

n

=

1 2, . . . . ~

(20)

La ecuación (20) se llama condición de normalización y se dice que las eigenfunciones que satisfacen están normalizadas. De hecho, en este caso, se dice que las eigenfunciones forman un conjunto ortonormal (con respecto ala función de peso r) debido a que satisfacen automáticamente la relación de ortogonalidad (15). Algunas veces esútil combinar las ecuaciones (15) y (20) en una sola ecuación. Con este fin, se introduce el símbolo 6,,, conocido como delta de Kronecker (1823-1891)y definido por h,,

=

0, si m # n, I , si m = 11.

11.3

Problemas de Sturm-Liouville conlavalores en

Ejemplo 1

657

frontera

Determinar las eigenfunciones normalizadasdel problema (lo): y”

y(o) = o, son A, = A,

y ( ~ =) o.

(k, sennnx)2 dx

1

+ ay = o,

Los eigenvalores deesteproblema = 4n2, . . . . A,,= n h ’ , : . . , y las eigenfunciones correspondientesson k , sen nx,k, sen 2nx,. . . ,k,, sen nrrx, . . . , respectivamente. Eneste caso la función de peso es r ( x ) = 1.Para satisfacer la ecuación (20) es necesario elegir k,, de modo que =

para cada valor de n. Como

la ecuación (23) sesatisfará si se elige k,, c o m o a p a r a cada valor den. De donde, las eigenfunciones normalizadas del problema dado con valores en la frontera son +,,, O y q(x) > O alli. Se resolverá el problema (l),(2) al aplicar las eigenfunciones del problema homogéneo correspondiente que consta dela ecuación diferencial

L [Y 1= W l Y

(3)

y de las condiciones dela frontera (2). Sean A, < A2 < . . . < A,,< . . . los eigenvalores de este problema y . . . , +n, . . . las eigenfunciones normalizadas correspondientes. Ahora se supone que la solución y = +(x) del problema no homogéneo (l), (2) puede expresarse comouna serie de la forma

+*,

A partir de la ecuación (34) de la sección 11.3, se sabe que

b, =

so1

r ( x ) d ( x ) d , ( xd) x ,

n = 1, 2, . . . .

(5)

Sin embargo, como se desconoce +(x), no es posible usar la ecuación (5) para calcular los b,,. En vez de ello, se intentará determinar bn de modo que se satisfaga el problema (l),(2)

"."

".,.".._.^

.yI.I_.""

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

666

y, a continuación se aplicará la ecuación (4) para encontrar +(x). En primer lugar, nótese que 4, según se expresa en la ecuación (4) siempre satisface las condicioneslaen frontera (2), ya que cada lo hace. Considérese ahora la ecuación diferencial que debe satisfacer 4; ésta es precisamentela ecuación (1) con y sustituida por +:

+,,

L[4l(x) = Pr(x)O(x) + f(x).

(6)

Se sustituye la serie (4) enla ecuación diferencial(6) y se intenta determinarlos bnde modo que se satisfaga la ecuación diferencial. El término en el primer miembro de (6) queda

y derivación. en donde seha supuesto que es posible intercambiar las operaciones de suma Nótese que la funciónr aparece en la ecuación (7) y también en el término pr(x) 4(x) de la (6). Esto sugiere volver a escribir el término no homogéneo ( de 6 ) como r(x)[ f(x)/r(x)], de modo que r(x) también aparezca como multiplicador en este término. Si la funciónflr satisface las condiciones del teorema11.3.4, entonces

en donde, si se utilizala ecuación (5), con

+ sustituida por f i r ,

Después de sustituir +(x), L [ +](x) y f ( x ) de la ecuación(6) por sus expresiones dadas en (4), (7) y (S), respectivamente, se encuentra que

Después de agrupar términos y cancelarel factor común diferente de ceror(x), se tiene

Si debe cumplirse la ecuación (10) para cada x en el intervalo 0 5 x 5 1, entonces cada coeficiente de la serie debe ser cero por separado; ver el problema 14 para una demostración de este hecho. De donde, (An - p)b, - Cfl = o;

n = 1, 2,

....

(11)

Ahora es necesario distinguir dos casos principales, uno de los cuales también tiene dos subcasos.

11.4 Problemas no homogéneos conlavalores en

frontera

661

En primer lugar, supóngase que p # An para n = 1, 2, 3, . . . ; es decir, p no es igual a ningún eigenvalor del problema homogéneo correspondiente. Entonces,

Y

La ecuación (13), conlos cn dados porla ecuación (9), es una solución formal del problema no homogéneo con valores en la frontera(l),(2). El razonamiento no prueba que la serie (13) converge. Sin embargo, cualquier solución del problema con valoresla en frontera (l), ( 2 ) evidentemente satisfacelas condiciones del teorema 11.3.4; de hecho, satisface las condiciones más estrictas que se dan en el párrafo siguiente a ese teorema. Por tanto, resulta razonable esperar que la serie (13) s í converja en cada punto y se puede establecer este hecho en el supuesto, por ejemplo, dequefsea continua. Supóngase ahora que p es igual a uno de los eigenvalores del problema homogéneo correspondiente, por ejemplo p = A,,; entonces la situación es bastante diferente. En este caso, para n = m la ecuación (11) tiene la forma O . b,,, - cm = O. De nuevo es necesario considerar dos casos. Si p = Am y cm# O, entonces es imposible resolver la ecuación (11) para bm,y el problema no homogéneo (l),( 2 ) no tiene solución. Si p = Am y cm = O, entonces se satisfacela ecuación (11) sin importar el valor debm;en otras palabras, b,,, permanece arbitraria. En este caso, el problema con valores en la frontera(l), (2) tiene una solución, pero no es única, ya que contiene un múltiplo arbitrario de la eigenfunción &m. Si c,,, = O no depende del término no homogéneof.En particular,

Por tanto, si p = A,, el problema no homogéneo con valores en la frontera (l),( 2 ) puede resolverse sólo si f es ortogonal a la eigenfunción correspondiente al eigenvalorA,,,. En el siguiente teorema se resumenlos resultados que se han obtenido formalmente.

La parte principal del teorema 11.4.1 algunas vecesse enuncia del modo siguiente.

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

668

Esta última forma del teorema se conoce como teorema alternativo de Fredholm4. Este es uno delos teoremas básicos del análisis matemáticoy se presenta en muchos contextos diferentes. Quizá el lector esté familiarizado conéI en relación con conjuntos de ecuaciones algebraicas lineales en donde la anulacióno no anulación del determinante de los coeficientes sustituye las afirmaciones sobrep y A,,,.Ver el análisis de la sección7.3.

Ejemplo 1

Resolver el problema con valores en la frontera y‘‘

+

z4’ == - S ,

y(0) = o,

y(1)

+ y ’ ( ] )= o.

Este problema específico se puede resolver directamente una de manera elemental y tiene la solución

a continuación ilustra el empleo de desarrollos en El método de solución que se describe eigenfunciones, método que es posible emplear en muchos problemas inaccesiblespor procedimientos elementales. Para identificar la ecuación (15) con la (1) resulta útil escribir aquélla como -y” = 2y t x,

(18)

Se busca la solución del problema dado como unaserie de eigenfunciones normalizadas 4” del problema homogéneo correspondiente y”

+ i y = o.

y(0) = o, y(1)

+ y’(f) = o.

(19)

Estas eigenfunciones fueron halladas en el ejemplo 2 de la sección 11.3y son MX)

=

k, sen &x,

(20)

en donde

kn =

(I +

cos2

Y‘z

&

El matemático sueco Erik Ivar Fredholm (1866-1927), profesor en la Universidad de Estocolmo, estableció la teoría moderna de las ecuaciones integrales en una publicación fundamental, en 1903.En su trabajo, Fredholm destacó las semejanzas entre las ecuaciones integrales y los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. También existen muchas interrelaciones entre las ecuaciones diferencialese integrales; por ejemplo, ver la sección 2.11 y el problema 21 de la sección 6.6.

11.4

la frontera

Problemas en valores no homogéneos con

669

y A, satisface sen

-t

COS

& = O.

Se supone quey se expresapor la ecuación (4),

y se concluye quelos coeficientes b, se encuentran apartir de la ecuación (12), "

=-- C"

A"-2'

en donde los cn son los coeficientes del desarrollo del término no homogéneo f(x) = x de la ecuación (18), en términos de las eigenfunciones &n. Estos coeficientes se encontraron en el ejemplo 3 de la sección 11.3 y son c, =

2J5sen & n,(l + cos2

Si se reúne todo, finalmentese obtiene la solución a,

y=

Zl >."(A"

sen fin-

sen A x .

__-

- 2)( 1

+ cos2 &)

Aunque en apariencialas ecuaciones (17) y (24) son bastante diferentes,en realidad son dos expresiones diferentes dela misma función. Esto se concluyepartir a de la parte de unicidad del teorema 11.4.1o del teorema 11.4.2, ya que A = 2 no es un eigenvalor del problema homogéneo (19). De manera alternativa, es posible demostrarla equivalencia de las ecuaciones (17) y (24) al desarrollar el segundo miembrode la ecuación (17) en términos delas eigenfunciones +&). Para este problema es bastante obvio quela fórmula (17) es más conveniente quela fórmula en serie (24). Sin embargo, una vez más se hace hincapiéen que en otros problemas puede no ser posible obtener la solución, exceptopor métodos en serie (o numéricos).

Problemas no homogéneos de conducción del calor. Para mostrar cómo es posible utilizar los desarrollos en eigenfunciones a fin de resolver los problemas no homogéneos para ecuaciones diferenciales parciales, considérese la ecuación generalizada de conducción de calor r(x)u, = [P(X)~,],

-

Y(X)U

+Q

, t)

con las condiciones en la frontera UX(0,

y la condición inicial

t ) - h,u(O, t ) = o,

u#,

t)

+ h,u(l, t ) = o

(25)

670

la Problemas envalores con

frontera y teoría de Sturm-Liouville

Este problema ya se analizó en el apéndice A del capítulo 10 y en la sección 11. l . En esla última se hizo u(x, t) = X(x)T ( i ) en la ecuación homogénea quese obtuvoal hacer F(x, t ) = O y se demostró que X(.Y)debe ser una solución del problema con valores en la frontera - [p(s)X']'

+ q(..)X

X'(0) - h,X(O) = o.

kr(.x)X,

(28)

+ h , X ( l ) = o.

(29)

=

X'jl)

Si s e supone que p , q y r satisfacen los requisitos adecuados de continuidad y que p ( x ) y r(x) siempre son positivas, el problema (28), (29) es un problema de Sturm-Liouville, como

se analizó en la sección 11.3. De este modo se obtiene una sucesión de eigenvalores A, < A2 < . . . , < A,z < . . . y las eigenfunciones normalizadas correspondientes 41(x),$$x), . . . 4&)> . . . Se resolverá el problemano homogéneo dado conlos valores en l a frontera (25) a (27) al suponer que u(x, f) se puede expresar como una serie de eigenfunciones, 7

'

4% o=

r

n= 1

l?"(t)4n(x),

(301

y entonces mostrar cómo determinarlos coeficientes h,(l). Este procedimiento básicamente es el mismo que en el primer problema considerado en esta sección, aunque es más complicado en ciertos aspectos. Por ejemplo, los coeficientes bndeben depender ahora de t, ya que de lo contrario u sería una función sólo de x. Nótese que las condiciones en la frontera (26) se satisfacen automáticamente por una expresión de la forma (30) debido a que cada 4,,(x) satisface las condiciones en la frontera(29). Acontínuación se sustituyeu de l a (25) por su expresión dada en(30). A partir de los dos primeros términos del segundo miembro de la ecuación (25) se obtiene formalmente

En virtud de que [ p(x)+,:(x)] ' - q(x)4n(x) = - AJ(X)~~(X), por último se obtiene

-44 11 h ( r ) j A , ( . u ) L

[ P ( x ) ~- ,d.4~ =

?I =

Considérese ahora el términodel primer miembro de la ecuación (25); se tiene

11.4 no Problemas en valoreshomorréneos con

la frontera

671

en donde los coeficientes están dados por

=

JolF ( x , t)4,(x)dx,

= 1, 2, . . .

En virtud de que seda F(x, t ) , es posible considerar que se conocen las funciones r,(t). Si se reúnen todos estos resultados, se sustituyen las expresiones de las ecuaciones (32), (33) y (34) en la (25) y se encuentra que

en todos Para simplificarla ecuación (36), se cancela el factor común diferente der(x) cero los términos y todo se escribeen una suma:

De nuevo, siha de cumplirsela ecuación (37) para toda x en O < x < 1,es necesario quela cantidad entre corchetes sea cero para toda n (ver de nuevo el problema 14). De donde, b,( t ) es una solución dela ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden

K(t)

+ Anbn(t)= y&),

n

=

1, 2, . . . ,

en donde r,(t) se expresa por la ecuación (35). Para determinar por completo necesario contar con una condición inicial

b,(O) = a,,,

(38) b,(t)

es

n = 1,2, . . .

(39) para (38). Ésta se obtiene a partir de la condición inicial (27). Si se hacet = O en (30) y se utiliza la ecuación (27), se tiene

Por tanto, los valores iniciales a,,Son los coeficientes en el desarrollo en eigenfunciones para f ( x ) ; por lo tanto, a, = Jolr ( x ) f ( x ) 4 , ( x )dx,

n = 1, 2, . . . .

(41)

Nótese que se conoce todo lo del segundo miembro de la ecuación (41), por lo que es posible considerar a, como conocido. El problema con valor inicial (38), (39) se resuelve por los métodoslade sección 2.1. El factor integrante esp ( t ) = exp(;l,,t), y se concluye que

672

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

Los detalles de este cálculo se dejan al lector. Nótese que el primer término del segundo miembro de la ecuación (42) dependede la función f,a través delos coeficieutes a,,,mientras que el segundo depende del término no homogkneo F , a través de los coeficientes %(S). De este modo,una solución explícita del problema con valoresen la frontera (25) a (27) r(x)u, = [p(x)u,],

+ F(X,t ) , ~ ~ ( t 1) +, h,u(l, r ) = O.

~.

~ ~ (I) 0-, h,u(O, t ) = O,

q(x)u

u(x, O) = f ( X X

en dondelos coeficientes b,,(t)se determinan apartir de la ecuación (42). Las cantidadesa,,y An(.y) de la (42) se encuentran a su vez a partir de las ecuaciones (41) y (35),respectivamente. En resumen, para aplicar este método a fin de resolver un problema con valores en la frontera, como el dado porlas ecuaciones (25) a (27), es necesario

1.

2. 3. 4.

+,,

Hallar los eigenvalores A,z y eigenfunciones del problema homogéneo apropiado (2% (29). Calcular los coeficientes (Y,, y y,,(t) a partir de las ecuaciones (41) y (35), respectivamente. Evaluar la integral de la ecuación (42) para determinar los b,(t). Sumarlaserieinfinita (30).

Como algunoso todos estos pasos pueden ser difíciles, todo el proceso puede ser bastante impresionante. Una característica a favores que a menudo la serie (30) converge con rapidez, en cuyo caso es posible que sólo se necesiten pocos términos para obtener una aproximación adecuada de la solución.

Encontrar la solución del problema de conducción del calor

+ xe",

u, = u,,

u(0, t ) = o, uJ1, 1) U(&

+ u(1, t ) = o,

O) = o.

(43) (44) (45)

Una vez más, se aplican las eigenfunciones normalizadas +n del problema (19) y se supone que u se da por l a ecuación (30),

1 h,(t)g,(x). S

u(x, t ) =

n= 1

11.4

Problemas no homogéneos con valores en la frontera

673

Los coeficientes bn se determinan apartir de la ecuación diferencial

en donde A,, es el n-ésimo eigenvalor del problema (19) y los yn(t)son los coeficientes del desarrollo del términono homogéneo xe", en términos de las eigenfunciones 4,,. Por tanto, se tiene y,(t) =

jol xe-'$,(x)

dx = e"

o1!

x$,(x) dx

(47)

= erne-',

en donde cn =

X+~(X)

dx se da por la ecuación (23). La condición inicial para la (46) es

ya que la distribución inicial de temperaturas (45) es cero en todas partes. La solución del problema con valorinicial (46), (48) es

Por tanto, la solución del problema de conducción del calor(43) a (45) se expresa por

La solución dada por la ecuación (50) es exacta, pero complicada. Para juzgar sies posible obtener una aproximación satisfactoria a la solución mediante eluso de sólo pocos términos de esta serie, es necesario estimarsu rapidez de convergencia. Primero divídase el segundo miembro en dospartes:

Recuérdese por el ejemplo 4 de la sección 11.2, que los eigenvalores An son muy aproximadamente proporcionales an2. En la primera serie del segundo miembro dela ecuación (51) todos los factores trigonométricos están acotados cuando n 00;por consiguiente,esta serie converge de manera semejante a la serie n=l

-

cc

m

Ai2 o

n-4. De donde, para obtener una excelente aproximan=l

ción para esta parte de la solución cuando mucho se requieren doso tres tkrmmos. La segunda serie contiene al factor adicional de modo que su convergencia es incluso más rápida para t > O; casi con seguridad, todos los términos después del primeroson ckspreciables.

Análisis adicional. Se pueden utilizar los desarrollos en eigenfunciones para resolver una variedad mucho mayor de problemas que lo que se pueden sugerir el análisis y ejemplos anteriores. El objetivo de las siguientes observaciones breves es indicar, en cierta medida, el alcance de este método.

674

Problemas con valores en la fronteray teoría de Sturm-Liouville

1.

Condiciones no homogéneas en la frontera independientes del tiempo. Supóngnse que las condiciones en la frontera (26) del problema de conducción del calor se sustituyen por ~ ( 0t ), = T , .

2.

3.

u(1, t ) =

T,.

(52)

Entonces es posible proceder de manera bastante parecida a la de la sección 10.5 para reducir el problema auno con condiciones homogéneas en la frontera; es decir, de u se resta una funciónu elegida de modo que se satisfagan las ecuaciones(52). Entonces la diferencia w = u - v satisface un problema con condiciones homogéneas enla frontera, pero conun tkrminode fuerza y una condición inicial modificados. Este problema se puede resolver por el procedimiento descrito en esta sección. Condiciones no homogéneas en la frontera dependientes del tiempo. Supóngase que las condiciones en la frontera (26) se sustituyen por

Si T , y T2 son funciones diferenciables, es posible proceder precisamente como en el párrafo 1. De la misma manera, es posible abordar Condiciones más generales en la frontera que comprendan tanto a u como a u.r. Sin embargo, si T , y T2 no son diferenciables, entonces el método fracasa. Para resolver este tipo de problema es posible aplicar un refinamiento adicional del método de desarrollos en eigenfunciones, pero el procedimiento es más complicadoy no se analiza aquí. Empleodefuncionesdiferentes a laseigenfunciones. Una dificultadpotencialal usar desarrollos en eigenfunciones c s que deben hallarse las eigenfunciones normalizadas del problema homogéneo correspondiente. Para una ecuación diferencial con coeficientes variables esto puede serdifícil, si no imposible. En ese caso, algunas veces es posible usar otras funciones como las eigenfunciones deun problema más sencillo, que satisfagan las mismas condiciones en la frontera. Por ejemplo. si las condiciones en la frontera son u(0, t ) = o.

u ( l , f) = o,

(54)

entonces puede ser conveniente sustituir las funciones 4,(x) de la ecuación (30) por sen nxx. Estas funciones por lo menos satisfacen las condiciones correctas en la frontera, aunque en general no son soluciones de la ecuación diferencial homogénea correspondiente. A continuación se desarrolla el término no homogéneo F(x, t ) en una serie de la forma (34), una vez más con 4n(x) sustituida por sen n r x , y después se sustituyen u y F de la ecuación (25). Después de reunir los coeficientes de sen nnx, para cadan, se tieneun conjunto infinitode ecuaciones diferenciales lineales de primer orden a partir del cual determinar b,(t), b,(t), . . . . La diferencia esencial entre este caso y el considerado antes es que ahora las ecuaciones para los b,(t) están acopladas. Por tanto, no es posible resolverlas una por una como antes, es necesario tratarlas simultáneamente. En la práctica, el sistema infinito es reemplazado por un sistema finito de aproximación,a partir del cual se calculan aproximaciones para un número finito de coeficientes.A pesar de su complejidad, este procedimiento ha mostrado ser de bastante utilidaden la resolución de ciertos tipos de problemas difíciles.

11.4

Problemas no homogéneos con valores en la frontera

4.

675

Problemas de orden superior. A menudo se pueden resolver problems con valores en la frontera para ecuaciones de orden superior al segundo mediante desarrollosen eigenfunciones. En algunos casos, el procedimiento es casi igual al de los problemas de segundo orden. Sin embargo, también pueden surgir diversas complicaciones, por lo que en este libro no se analizan esos problemas.

Por último, conviene resaltar que el análisis de esta sección ha sido puramente formal. Es necesario aplicar razonamientos separados y algunas veces elaborados para establecer la convergencia de los desarrollos en eigenfunciones o justificar alguno delos pasos utilizados, como la derivación término a término de las series de eigenfunciones. También existen otros métodos por completo diferentes para resolver problemas con valores en la frontera no homogéneos. Uno de estos da una solución expresada como una integral definida en vez de como una serie infinita. Este enfoque comprende ciertas funciones conocidas como funciones de Green y, para ecuaciones diferenciales ordinarias, constituye el tema de los problemas 28 a 36.

Problemas En cada uno de los problemas 1a 5 resuelva el problema dado por medio de un desarrollo en eigenfunciones. 1. y ” + 2 y =-x, y(0) = o, + 2 y = -x, y(0) = O, 3. y ” + 2 y = -x, y’(0) = O, 4. y” + 2 y = -x, y’(0) = O, 5. y” + 2 y = -1 + 1 -2x ,

y(1) = o y’(1) = O; ver la sección 11.3,problema 7. y’(1) = O; ver la sección 11.3, problema 3. y’(1) t y(1) = O; ver la sección 11.3, problema 11. y ( 0 ) = o, y(1) = o

2. y”

En cada uno de los problemas 6 a 9, determine un desarrollo formalen serie de eigenfunciones para la solución del problema dado. Suponga que fsatisface las condiciones del teorema 11.4.1. Establezca los valores dep para los que existe la solución. 6. y” 7 . 1”‘

+ py = -f(x),

~’(1= ) O y’(0) = o, y(1) = o ~ ‘ ( 0= ) O, ~ ’ ( 1 )= O )‘’(O) = o, y’(1) y(1) = o ~ ( 0= ) O,

+ pv = - f ( x ) , 8. ,Y” + ,UY = -f(x), 9. y” + py = -f(x),

+

En cada uno de los problemas 10 a 13, determine si existe algún valor dela constante u para el que el problema tiene una solución. Encuentrela solución para cada uno de esos valores. 10. y” 1 I . y” 12. y” 13. y’’

+ 72y = a + x, + 47124’ = a + x, + n2y = a, $(O) + z2y = - COS

14. Sean

U

y(0) = o, y(1) = o y(0) = 0, y( 1) = o =

ZX,

o, y‘(1) = o ~ ( 0= ) O,

~ ( 1= ) O

. . . , 4n, . . . las eigenfuncionesnormalizadas dela ecuacióndiferencial (3) a

sujeta a las condiciones en la frontera (2). Si O para cada x en O c: x

c

$I (x) converge a,f(x), en dondef(x) =

n=l

5

1,demuestre que cn = O para cada n.

..

.

...

.-_.,_

~.-.

676

Problemas la con envalores

frontera y teoría de Sturm-Liouville

Sugerencia: Multiplique por r ( x ) +&), integre y aplique la propiedad de ortogonalidad de las eigenfunciones. 15. Sea L un operador diferencial lineal de segundo orden. Demuestre que la solución y = $(x) del problema

puede escribirse comoy = u + u siempre que u = q5 ,(x) y u = &,(x) sean soluciones de los problemas

Y

respectivamente. 16. Demuestre que el problema y”

+ 7Gy =

y(0) = 1,

7 1 5 ,

y(1) = o

tiene la solución

TambiCn demuestre que estasolución no se puedeobtener al dividir elproblema como se sugirió en el problema 15, ya que en este caso no es posible resolver ninguno de los problemas subsidiarios. 17. Considérese el problema J”’

+ P ( X ) J ‘ + ~ ( x )=J O,

~ ( 0= ) U , y(1) = h.

sea y = u + u, en donde u es cualquier función dos veces diferenciable que satisface las condiciones en la frontera (pero no necesariamente la ecuación diferencial). Demuestre que u es una solución del problema 14”

+ P(X)U’ -k q(X)U = &).

U(o) = o,

U(]) =

o.

en donde g(x) = - [ u ” +p(x>u‘+ &)a], y que se conoce una vez que se elige a u. Por tanto, las no homogeneidades pueden transferirse de las condiciones en la frontera a la ecuación diferencial. Encuentre una función u para este problema. 18. Aplique el método del problema 17 para transformar el problema y’‘

+ 2p = 2

-

4.~.

?(O) = 1, v ( l j + ~ ’ ( 1 )=

-

2

en un nuevo en el que las condiciones en la frontera sean homogéneas. Resuelva este último problema con referencia al ejemplo 1 del texto.

11.4 Problemas no homogéneos con valores en la frontera

677

En cada uno de los problemas 19 a 22, use desarrollos eneigenfunciones para hallar la sohción del problema dado con valores en la frontera. 19. ut = uxx- x , u(0, t ) = O, ux(l, t) = O, u(x, O) = sen(rx/2); ver el problema 2. 20. u, = uxxt e-,, ux(O, t ) = O, ux(l, t) t u(1, t ) = O, u(x, O ) = 1-x; ver la sección 11.3, problemas 10 y 12. 21. u, = uxxt 1 - 1- 2 x , u(0, r) = O, u(1, r) = O, u(x, O) = O; ver le problema 5. 22. u, = uxxt e-,(1 -x), u (O, t) = O, ~ ~ (t)1= ,O, u(x, O) = O; ver la sección 11.3, problemas 6 y 7 . 23. Considere el problema con valores en la frontera r(x)u, = [p(x)uXlx- &)u

u(0, t ) = T , ,

u(1, t ) = T,,

+ F(x), u(x, O) = f ( x ) .

a) Sea v(x) una solución del problema

Si w(x, t ) = u(x, f ) - v(x), halle el problema con valores en la frontera satisfecho por w. Observe que este problema se puede resolver por el método de esta sección. b) Generalice el procedimiento del incisoa) para el caso en el queu satisface lascondiciones enla frontera

En los problemas 24 y 25 aplique el método indicado en el problema 23 para resolver el problema dado con valores enla frontera. 24.

uXx- 2 u(0, t ) = 1, u( 1, t ) = O u(x, O) = x * - 2x 2

25.

U, =

U, = U,, -

II,COS IIX

o,

u(1, t ) = 1 u(x, O) = cos(3nx/2)- cos nx

u,(O.

+

t)=

26. El método de desarrollo de eigenfuncionesa menudo es útil para problemas no homo-

géneos relacionados con la ecuación de onda o sus generalizaciones. Considere elproblema W u , , = [p(x)uXlx - q ( x h

~ ~ (t 0 ) -, h,u(O, t ) = O , u(x, 0) = f ( x ) ,

+ F(x, t ) ,

+

~ ~ ( t 1) , hzu(1, t ) u,(x, 0) = d x ) .

(1)

O,

(ii) (iii)

Este problema puede surgir en conexión con generalizaciones de l a ecuación del telégrafo (problema 12 de la sección 11.1) o de las vibraciones longitudinales de una barra elástica (problema 17 de la sección 11.2). a) Haga u(x, t ) = X(x) T(t) en la ecuación homogénea correspondiente a la (i) y demuestre que X(x) satisface las ecuaciones (28) y (29) del texto. Denote por An y 4&) los eigenvalores y las eigenfunciones normalizadas de este problema. *

b) Suponga que u(x, t ) =

n-1

problema con valor inicial

b,(t)+,,(x), y demuestre que los b,(r) debensatisfacerel

/(,/(t)

+ 2,h,(t) = y,@).

!?,(O) = z,,.

h,(O) = p,,,

en donde an,p,, y X J ~ son ) los coeficientes del desarrollo def(x), g(x) y F(x, 1) en tkrminosdelas eigenfunciones . . . , $J,,(x), . . . . 27. E11 este problema se analizaun poco másla analogía entre los problemas con valores en l a frontera de Sturm-Liouville y las matrices hermitianas. Sea A una matriz hermitiana dc I r x con los eigenvalores Al,A,, . . An y los eigenvectores ortonormales correspondientes, { ( I ) , . . . , 5'"). Considere el sislema no homogéneo de ecuaciones. I

AX- .UX = b ,

ii)

e,n do& p es un nlimero real dado y b es un vector dado. Se señalará una manera de resolver la ecuacidn (i) que es análoga al método presentsdo en el textopara resolver ías ecuaciones (1) y (7). 11

a) Demuesrre que b =

h,. En cada uno de los problemas 31 a 34, resuelva el problema dado convalores en la frontera mediante la determinación de la función adecuada de Greeny expresar la solución como una integral definida. Use las ecuaciones (i) a (iv) del problema 30. 3 í . -y’’ =&I, y’(0) = o, y(1) = o 32. -y” = .{(x), y(0) = o, y(1) + y’(1) = o 33. -(y” + y ) = f ( x ) , y’(0) = o, y(1) = o 34. -y” = f(x), y(0) = o, y’(1) = o *35. Considere el problema con valores en la frontera

+ q(x)y = P4X)J” + .m), a,y(O)+ a,y‘íO) = O, b , y ( l ) + h,y’(l) = 0. L[y] =

-

[p(x)y‘]’

(i)

(ii)

Según el texto,la solución y = +(x) se expresa por la ecuación (13), en dondec,, se define por l a (9), siempre que p no sea un eigenvalor del problema homogéneo correspondiente. En este caso también se puede demostrar que l a solución se expresa por una integral función de Green de la forma 1; = $(-u) =

lo’

C(x,

S,

p)f(s)ds.

(iii)

sinaulares *11.5

de Sturm-Liouville

Problemas

681

Observe que eneste problema la función de Green también depende delparámetro p. a) Demuestre que si estas dos expresiones para 4 (x) han de ser equivalentes, entonces

en donde Aiy 4; son los eigenvalores y las eigenfunciones, respectivamente, de las ecuaciones (3), (2) del texto. Una vez más se observa a partir de la (iv) que p no puede ser igual a algún eigenvalor Al. b) Deduzca la ecuación (iv) directamente al suponer que G(x,S, p) tiene el desarrollo en eigenfunciones K

S,

P)=

i= 1

4 x , pC)h(s);

(VI

determine a;(x,p) al multiplicar (iv)por r ( s ) 4,(s) e integrar conrespecto a S desde S = O hasta S = 1. Sugerencia: Demuestre primero que A;y $l satisfacen la ecuación 4Jx) = (ni-- p )

C(x, S, p)r(s)4i(s)ds.

( 4

*36. Considere el problema con valores en la frontera -d2y/ds2

=

6(s - X),

~ ( 0= ) O,

~ ( 1= ) O,

en donde S es lavariable independiente,S = x es un punto definido en el intervaloO < < 1, y 6 es lafunción delta de Dirac(ver la sección 6.5). Demuestre quela solución de este problema es lafunción de Green G(x, S ) que se obtuvo en el problema 28. Al resolver el problema dado, observe que6(s -x) = O en los intervalos O 5 S < x y x < S 5 1. Observe además que -dy/ds experimenta un salto de magnitud 1 cuando S pasa por el valor de x. Este problema ilustra una propiedad general; a saber, que la función de Green C(s,x) puede identificarse comola respuesta en el punto S a un impulso unitario en el punto x. Un término no homogéneo más general f sobre O 5 x 5 1 puede considerarse como un conjunto deimpulsos, en dondef ( x ) da la magnitud del impulso en elpunto x. La soluci6n de un problema con valores no homogéneos en la frontera en términos de una integral función de Green se puede interpretar como el resultado de suponer las respuestas al conjunto de impulsos representado por el término no homogéneof(x). S

En las secciones anteriores de este capítulo se consideraron problemas con valores en la frontera de Sturm-Liouville: la ecuación diferencial

L[yl

.. ..- .

.

.

= -[p(x)y’]’

+ q(x)y = Ir(x)y,

0 < x < I,

(1)

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

682 -

junto con condiciones en la frontera dela forma

p es Hasta el momento, siempre se ha supuesto que el problema es regular; es decir, diferenciable, q y r son continuas y&) > O y r(-x)> O en todos los puntos en el intervalo cerrado. Sin embargo, tamhiin existen ecuaciones de interés en física en los que no se satisfacen algunas de estas condiciones. Pot ejemplo, supóngase que se desea estudiar la ecuación de Bessel de orden L. sobre el intervalo O < x < 1. Esta ecuaci6n algunas veces se escribeen la forma6

de modo que p(x) = x, q(x) = v2/x y r(x) = x. Por tanto, p(O) = O, r(0) = O y q(x) no esti acotada y, de donde, es discontinua cuandox "+ O. Sin embargo, las condiciones impuestas sobre problemas regulares de Sturm-Liouville se satisfacen en otras partes del intervalo. De manera semejante, para la ecuación de Legendre se tiene [(i

- - - 11)4.']'

==

iv,

-

1 < .Y < P

( 3)

en donde ;I= cr(a + I), p(,r) = 1 -.x2, q(x) = O y r(x) = 1. En este caso, las condiciones requeridas sobrep,q y r se satisfacen en el intervalo O 5 x 5 1: excepto en x = 1, en donde p es cero. Se usa la expresión problemas singulares de Sturm-Liouville para referirse a cierta clase de problemas con valores en la frontera para la ecuación diferencial ( I ) en los que las funcionesp, q y r s a t i s k e n las condiciones previamente establecidas sobre el intervalo abierto O < x < 1,pero por lo menos una no las satisface en uno o los dos puntos frontera. También se prescriben condiciones adecuadasen la frontera por separado, deun tipo quese describe posteriormente con más detalle en esta sección. También se presentan problemas singulares si el intervalo básicono está acotado; por ejemplo, O 5 x 5 x . En este librono se considerará esta Última clase de problema singular. Corno ejemplo deun problema singular sobre un intervalo finito, considérese la ecuación

o bien,

sobre el intervaloO < x < 1 y supóngase que;I> O. Esta ecuación surgeen el estudio de las vibraciones libres de una membrana elástica circular, y en la sección 11.6 se analiza aún más. Si se introduce la nueva variable independiente t definida por t = fix, entonces

*lI.S

683

Problemas singdares de Sturm-Liouville

De donde, la ecuación (sa) queda

o bien, si se cancela el factor común JA en cada término,

La ecuación (6) es la ecuación de Bessel de orden cero (ver la sección general de la ecuación (6) para t > O es

+

4' = C I J O ( t )

('2

5.9). La sc

yO(t);

de donde, la solución general de la (5) para x > O es

en dondeJ, y Y, denotan las funciones de Bessel de primera y segunda clases de orden cero. A partir de las ecuaciones (7) y (13) de la sección 5.9 se tiene

en donde H, = 1 t (1/2) t . . . t ( U r n ) y y = límm_x(H, - In m). En la figura 5.9.2 se dan las gráficas dey = J,(x) y y = Y,(x). Supóngase que se buscauna solución de la ecuación (5) que también satisfaga lab condiciones en la frontera

que son típicas de las que se han encontrado en otros problemas de este capítulo.En virtud de que J,(O) = 1 y Y,(.) -+ "x cuando x "+ O, se puede satisfacer la condición y(0) = O solamente al elegir c1 = c2 = O en la ecuación (7). Por tanto, el problema con valores en la frontera (5), (10) sólo tiene la solución trivial. Una interpretación de este resultado es que la condición en la frontera (loa) en x = O es demasiado restrictiva para el ecuación diferencial (5). Esto ilustra la situación general; a saber, que en un punto frontera singular es necesario considerar un tipo modificado de condición en la frontera. En el presente problema, supóngase que sólo se requiere que la solución (7) de la ecuación (5) y su derivada permanezcan acotadas. En otras palabras se toma como la condición en la frontera en x = O el requisito

y , y ' acotadas cuandox -+ O.

(1 1)

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

684 ___

Esta condición se puede satisfacer al elegirc 2 = O, de modo que se eliminela solución no acotada Y,. Entonces, la segunda condición en la fronteray(1) = O da

Es posible demostrar7 que la ecuación (12) tiene un conjunto infinito de raíces positivas discretas, que dan lugar a los eigenvalores O < Al < A, < . . . < 1, < . . . del problema dado. Las eigenfunciones correspondientes son

determinadas sólo hasta una constante multiplicativa. El problema con valores en la frontera (5), (lob) y (il) es un ejemplo de un problema singular de Sturm-Liouville. Este ejemplo ilustra quesi las condicionesen la frontera se relajan de manera adecuada, entonces un problema singular de Sturm-Liouville puede tener una sucesión infinita de eigenvalores y eigenfunciones, precisamente como sucedepara un problema regular de Sturm-Liouville. Debido a su importancia en las aplicaciones, vale la pena investigar un poco más los problemas singulares con valores en la frontera. Existen dos preguntas importantes de interés: 1.

2.

¿Precisamente qué tipo de condiciones en la frontera se pueden permitir en un problema singular de Sturm-Liouville? ¿Hasta qué punto los eigenvalores y las eigenfunciones de un problema singular comparten las propiedades de los eigenvalores y las eigenfunciones de los problemas regulares de Sturm-Liouville? En especial, ison reales los eigenvalores, son ortogonales las eigenfunciones y es posible desarrollar una función dada como serie una de eigenfunciones?

A las dos preguntas seles puede dar respuesta medianteun estudio de la identidad

u L [ u ] }dl-

=

o.

que tuvo una importancia esencial en el desarrollo de la teoría de los problemas regulares de Sturm-Liouville. Por consiguiente, se investigarán las condiciones en las quese cumple esta relación paralos problemas singulares, en dondela integral dela ecuación (14) ahora es posible se tenga que analizar como una integral impropia. Para concretar considérese la ecuación diferencial(1) y supóngase quex = O es un punto de frontera singular, pero que x = 1 no lo es. Se impone la condición de la frontera (2b) en el punto frontera no singular x= 1, pero, por el momento, se deja sin especificar la condición de la frontera en x = O. De hecho, el objetivo principal es determinar qué tipos de condiciones en la frontera son permisibles en un punto frontera singular si ha de cumplirse la ecuación (14). Dado que el problema con valores en la frontera que se está analizando es singular en x = O, se considera la integralJ : ~ [ u l dx v en vez de &L[u] v d x , como en la sección 11.3 y luego se haceE a cero. Si se supone que U y u tienen por lo menos dos derivadas continuas sobre E 5 x 5 1, y se integra dos vecespor partes, se encuentra que La función J,, está bien tabulada; las raíces de la ecuación (12) se pueden encontrar en varias tablas; por ejemplo, en Jahnke y Emde o en Abramowitz y Stegun. Las tres primeras raíces de la (12) son = 2.405, 5.520, y 8.654, respectivamente, hasta cuatrocifrassignificativas; (n -1/4)r para n grande.

ouville de

singulares *I1.S Problemas

685 1

{ L [ u ] u - u L [ u ] }dx

=

Una vez más, se elimina el término frontera en x = 1 si tanto u como ción en la frontera (2b) y, por tanto,

( L [ u ] u- uL[t’]}dx

1

-p(x)[u’(x)u(x)- u(x)oyx)]I U

It

satisfacen la condi-

(16)

= p(E)[uf(E)u(E)- U ( E ) V ’ ( E ) ] .

Si se toma el límite cuando E -+ O da

De donde, (14) se cumple siy sólo si, además delas suposiciones expresadas antes,

lím

~ ( E ) [ u ’ ( E ) P ( E )- ~ ( E ) u ’ ( E ) ] =

O

€-O

para todo parde funciones u y v de la clase que se está considerando. Por consiguiente, la ecuación (18) es el criterio que determina qué condicionesla frontera en son permisibles en x = O, si ese punto esun punto frontera singular; a saber.

Iím p( I

- E)[Ú( I - E)U(I

-

E) -

u(1

-

E)u‘( 1

-

E)] =

O.

(1%

€-O

.

En resumen, como en la sección 11.3, se dice que un problema singular con valores en la frontera para la ecuación (1) es autoadjunto si la (14) es válida, quizá como una integral impropia, para cada par de funcionesu y u con las siguientes propiedades: son dos veces continuamente diferenciables sobre el intervalo abierto O < x 1, satisfacen una condición en la frontera de la forma (2) en cada punto frontera regulary satisfacen una condición en la frontera suficiente para asegurar la ecuación (18), si x = O es un punto frontera singular, o bien, la (19), si x = 1 es un punto frontera singular. Si porlo menos un punto fronteraes singular, entonces se dicela ecuación diferencial (l),junto con dos condiciones en la frontera del tipo que se acaba de describir, forma un problema singular de Sturm-Liouville. Por ejemplo, parala ecuación (5) se tienep(x) = x. Si u y u satisfacen la condición en la frontera (11) en x = O, es evidente que se cumplirá la ecuación (18). De donde, el problema singular con valores en la frontera que consta de la ecuación diferencial (5), la condición en la frontefa (11) en x = O y cualquier condición en la frontera de la forma (2b) enx = 1, es autoadjunto. La diferencia más sorprendente entre los problemas regulary singular de Sturm-Liouville es que, en un problema singular, los eigenvalores pueden no ser discretos. Es decir, el problema puede tener soluciones no triviales para todo valor A ode para todo valorde A en algún intervalo. En ese caso, se dice que el problema tiene un espectro continuo. Puede suceder queun problema singular tenga una mezcla de eigenvalores discretosy también un espectro continuo. Por último, es posible que sólo exista un conjunto discreto de eigenvalores, precisamente como en el caso regular que se analizó enla sección 11.3. Por ejemplo, esto es cierto para el problema que consta de las ecuaciones (5), (lob) y (11). En general, puede ser difícil determinar qué caso ocurre en realidad enun problema dado.

686

-

_ " Problemas con valores la en frontera y teoria de Sturm-Liouville

con respecto a la función de peso Y ( X ) = x . Entonces, si f es una función dada, se supone que

que determina los coeficientes de l a serie (21). La convergencia de l a serie (21) se establece por una extensión del teorema 113 . 4 , para cubrir este caso. También es posible demostrar que este teorema se cumplepara otros conjuntos de funciones de Bessel, que son soluciones de problemas adecuados con valoresen l a frontera, para los polinomios de Legendre y para las soluciones de varios otros problemas singulares de Sturm-Liouville de bastante interés. Ver, por ejemplo, el capitulo 5 del libro de Yosida.

singulares *11.5

Problemas

687

de Sturm-Liouville

Es necesario hacer resaltar que los problemas singulares mencionadosnoaquí necesariamente son típicos.En general, los problemas singulares con valores en la frontera se caracterizan por espectros continuos, en vez de por conjuntos discretos de eigenvalores. Por lo tanto, los conjuntos correspondientes de eigenfunciones no son numerables y no existen desarrollos en serie del tipo descritoen el teorema 11.3.4; se sustituyen por representaciones integrales adecuadas.

Problemas

;%E

1. Encuentre una solución formal del problema no homogéneo con valoresen la frontera +Y'>'

= P Y +f(x),

y, y ' acotadas cuando x

-+

y (1)

O,

= O,

en donde f es una función continua dada sobreO 5 x 5 1 y p no es un eigenvalor del problema homogéneo correspondiente. Sugerencia: aplique un desarrollo en serie semejante a los de la sección 11.4. 2. Considere el problema con valores en la frontera -(xy')

' = Axy,

y , y' acotadas cuando x

-+

y'(1)

O,

= O.

a) Demuestre que A. = O es un eigenvalor de este problema correspondiente a la eigenfunción &(x) = 1. Si 2 > O, demuestre formalmenteque laseigenfunciones se expresan por 4&) = J o ( f i n x ) ,en dondeAnes la n-ésima raíz positiva (en orden creciente) de la ecuaciónJ;(a) = O. Es posible demostrarque existe una sucesión infinita de esas raíces. b) Demuestre que si m,n = O, 1,2, . . . , entonces

c) Encuentre una solución formal del problemano homogéneo +Y

1' ' = P

Y +f ( 4

y ,y ' acotadas cuando x -+ O,

en donde f es una función continua dada sobre O problema homogéneo correspondiente. 3. Considere el problema

y'(1) = O, 5

x 5 1 y

p no es un eigenvalor del

-(xy')' + ( k v x)y = Axy, y , y' acotadas cuando x -+ O,

y(1) = O,

en donde k es un entero positivo. a) Use la sustitución t =Ax para demostrar que la ecuación diferencial anterior se reduce a la ecuación de Bessel de orden k (ver el problema 9 de la sección 5.9). Una solución esJk(t);una segunda solución linealmente independiente, denotada por Yk(t),es no acotada cuandot -+ O.

688

Problemas con valores la en

frontera y teoría de Sturm-Liouville

S) Demuestre formalmente que los eigenvalores A,, A2, . . . del problema dado son los cuadrados de 10s ceros positivos deJk(&), y que laseigenfunciones correspondientes son +,,(X)= Jk(a,,x).Es posible demostrar que existe una sucesión infinita de esos ceros. C) Demuestre que las eigenfunciones +Jx) satisfacen la relación de ortogonalidad

Jolxsm(x)4,,(x)dx = O,

m # n.

d) Determine los coeficientes del desarrollo formal en serie

e) Encuentre una solución formal del prohlema no homogéneo. -(.y’)‘

+ (k2/x)y= pxy + f(x), y(1) = O ,

y , y’ acotadas cuando x -+ O,

en donde f e s una función continua dada sobre O i- x 5 1, y y no es un eigenvalor del problema homogéneo correspondiente. 4. Considere la ecuación de Legendre (ver los problemas 20 a 22 de la sección 5.3) -[(l -x2)y’]’= Ay

sujeta a las condiciones en l a frontera y ( 0 ) = O,

y, y‘ acotadas cuando x

-+

1.

Las eigenfunciones de este problema son los pohomios impares de Legendre +,(x) = . . . , 4,(x) = P2,-l(x), . . . correspondientes a los eigenvalores Al = 2,h= 4 3, . . . , Afl = 2n(2n - l), . . . a) Demuestre que

P l ( x ) = x, 4*(x) = P3(x)= ( 5 2 -3x)/2,

jol dm(x)4,,(x)dx = o,

m # n.

b) Encuentre una solución formal del problema no homogéneo -[(I -XZ>Y‘I’ = y y +f(x), y(0) = O,

y , y’ acotadas cuando x

en donde f es una función continua dada sobre O problema homogéneo correspondiente. 5 . La ecuación

‘= x 5

-+

1,

1, y y no es un eigenvalor del

+ Ay = o

(1 - x2)y” - xy’

0)

es una ecuación de Chebyshev; ver el problema 10 de la sección 5.3. a) Demuestre que l a ecuación (i) puede escribirse en la forma - [(l

- x2)”Zy’l’

=

-1< x < 1

(ii)

y , y’ acotadas cuando x -+ I

(iii)

A ( l - x2)-

1’2y,

b) Considere las condiciones en la frontera y, y’ acotadas cuando x -+ -1,

*11.6

Otras consideraciones sobre el método de separación de variables: un desarrollo en serie de Bessel

689

Demuestre que el problema con valores en la frontera (ii), (iii) es autoadjunto. e) Es posible demostrar que el problema con valores en la frontera (ii), (iii) tiene los eigenvalores ;1,= O, Al = 1, A2 = 4, . . . An = n2,. . . . Las eigenfunciones correspondientes son los polinomios de Chebyshev T,(x): T&x) = 1, T I @ ) = x, T2(x)= 1 -2x2, . . . . Demuestre que

variables desarrollado en En este capítulo el interés es extender el método de separación de el capítulo 10 hacia una clase más ampliade problemas: a problemas que comprenden ecuaciones diferenciales más generales, condiciones en la frontera más generales o regiones geométricas diferentes. En la sección 11.4 se indicó cómo tratar con una clase de ecuacionesdiferenciales o condicionesen la fronteramásgenerales.Aquí, la atención se concentra

en problemas planteadosen varias regiones geométricas, destacando aquellos que llevan a problemas singulares se Sturm-Liouville, cuando se separan las variables. Por su relativa sencillez, asi como por la considerable importancia física de muchos problemas a los que esaplicable, el método de separación de variables merece un lugar importante en la teoríay aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, este métodoen realidad tiene ciertas limitaciones que no deben olvidarse. En primer lugar, el problema debe ser lineal, de modo que sea posiblehacer intervenir el principio de superposición para construir soluciones adicionales al formar combinaciones lineales de las soluciones fundamentales de un problema homogéneo apropiado. Como cuestión práctica, también debe ser posible resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, obtenidas después de separar las variables, de manera razonablemente conveniente. En algunos problemas alos que en principio es posible aplicar el método de separación de variables, éste tiene un valor práctico muy limitado, debido a la falta de información acerca de las solucionesde las ecuaciones diferenciales ordinarias que aparecen. Además, la geometría de la región que interviene en el problema se sujeta a restricciones más bien estrictas. Por una parte,es necesario usar un sistema de coordenadasen el que se puedan separar las variables y sustituir la ecuación diferencial parcial por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para la ecuación de Laplace existen a!rPdedor de una docena de esos sistemas de coordenadas; para la mayoríade los lectores de este libro, probablemente sólo sean conocidas las coordenadas rectangulares, cilíndricas circulares y esféricas. Por otra parte, la frontera de la región de interés debe conr,tx de curvaso superficies coordenadas; es decir de curvas o superficies sobre las que una de las variables permanezca constante. Por tanto, al nivel elemental, se está limitado a regiones acotadas por rectas o arcos circulares, en dos dimensiones,o por planos, cilindros circulares, conos circulares O esferas, en tres dimensiones.

-

690

Problemas con valores en la frontera y teoría de Sturm-Liouville

En problemas tridimensionales, la separación de variables en el operador de Laplace un + u, da la ecuación X" t AX = O, en coordenadas rectangulares, a l a ecuación de Bessel, en coordenadas cilíndricas y a la ecuación de Legendre, en coordenadas esféricas. Este hecho es en gran parte la causa de intenso estudio quehaserealizado de estas ecuaciones y de las funciones definidas por ellas. También vale la pena hacer notar que dosde las tres situaciones más importantes llevan a problemas singulares, en vez de regulares, de Sturm-Liouville. Portanto, los problemas singulares de ninguna manera son excepcionales e incluso pueden ser más interesantes que los regulares. El resto de esta secciónse dedicará a un ejemplo que comprende un desarrollo de una función dada como una serie de funciones de Bessel. t uyy

Las vibraciones de una membrana circular elástica. En la sección 10.6 [ecuación (7)1

se hizo notar que las vibraciones transversales de una membrana elástica delgada se rigen por la ecuación bidimensional de onda.

L a condición en la frontera en r = 1 es

y las condiciones inicialesson

en donde f(r) describe la configuración inicial de la membrana. Para ser coherentes, también se requiere quef(1) = o. Por ultimo, se expresa de manera explícita el requisitode que u(r, t ) debe estar acotada para O 5 r 5 1. Si se supone queu(r, t ) = R(r)T(t)y se sustituye u(r, t ) en la ecuación (3), se obtiene

*11.6

Otras consideraciones sobre el método de separación de variables: un desarrollo en serie de Bessel

691

Como en el capítulo 10, se considerarán todos los casos posibles para la constante de separación g.Se encuentra que, para obtener soluciones acotadas no triviales que satisfagan las condiciones homogéneas en la frontera y las iniciales es necesario teneru < O. De donde, 2 se hace u = -A con A > O. Entonces, la ecuación (7) da

r2R" + rR'

+ i 2 r 2 R = O, T" + i 2 a 2 T= O.

Por tanto,

Si se introducela nueva variable independiente4 = ilr en (8), se obtiene

dR d2R t2 -dt2

+ 5 d( + t 2 R = O, ~-

que es la ecuación de Bessel de orden cero.De este modo,

R

= ClJO(0

+ C 2 YO(0,

( 1 2)

en donde J , y Y, son las funcionesde Bessel de primeray segunda clases, respectivamente, de orden cero (verla sección 11.5). En términos de r se tiene

R

= c,J,(I,r)

+ c2Yo(;lr).

(1 3 )

La condición de queu(r, t ) sea acotada requiere queR permanezca acotada cuandor --t O. Como Y,(h) --t m cuando r "t O, es necesario elegir c2 = O. Entonces, la condición en la frontera (4) requiere que J,(A) = O. (14) Como consecuencia, se obtienen los valores permisibles de la constante de separación a partir de las raíces dela ecuación trascendente (14). Recuérdese por lo visto en la sección 11.5, que J,(A) tiene un conjunto infinito de ceros positivos discretos, que se denotan por Al, %,A3, . . . , A#,. . . , en orden de magnitud creciente. Además, las funcionesJ&A,,r) son las eigenfuncionesde un problema singular de Sturm-Liouville y es posible utilizarlas como la base de un desarrollo en serie para la función dada f. Las soluciones fundamentales de este problema, que satisfacenla ecuación diferencial parcial(3), la condición en la frontera (4) y la condición de ser acotadas, son

u,(r, t ) = Jo(Anr)sen &at,

n = 1, 2, . . .

(1 5)

u,@, t ) = Jo(inr)cos Á,at,

n = 1, 2, . . . .

(16)

A continuación se supondrá que u(r, t ) se puede expresar como una combinación lineal infinita de las soluciones fundamentales(15), (16):

692

Problemas con valores la en

frontera y teoría de Sfun~r-Liouville

Las condiciones iniciales requieren que 1.

c , , J n ( i n r= ) ,f(r)

u ( r , O) = n= 1

Y X'

u,(r. O) =

jb,uk,JO(~.,r) = o.

n= 1

Por la ecuación (23) de la sección 11.5 se obtiene

Por tanto, la solución de la ecuación diferencial parcial (3) que satisface las condiciones en la frontera (4) y las condiciones iniciales( 5 ) y (6), se expresa por

con los coeficientes c,~definidos por la ecuación(20).

1. Considere la ecuación de Laplace uL, t uyy = O en el paralelogramo cuyos vérticesson (O, O), (2, O), (3,2) y ( I , 2). Suponga que, sobreel lado y = 2 , la condición enla frontera es u(x, 2) = f(x) para 1 5 x 5 3 y que sobrelos otros tres ladosI I = O (ver la figura 11.6.1). a) Demuestre que no hay soluciones no triviales de l a ecuación diferencial parcial de la forma ~ ( xy , ) = X ( x ) Y b ) que tambitin satisfagan las condiciones homogéneas en la

frontera. b) Sean 6 = x - ;y, q = y. Demuestre que elparalelogramo dado enel plano x y se transforma en el cuadrado O 5 ( 5 2, O Iq 5 2 en el plano ( v . Demuestre que l a ecuación diferencial se transforma en $UEi -

u;,

+ ult,= o.

¿Cómo se transforman las condiciones en la frontera? C) Demuestre que en el plano < q la ecuación diferencial no tiene soluciones de la forma

Por tanto, en el plano xy la forma de l a frontera impide realizar una solución por el método de separación de variables, mientras que en el plano {q la región es aceptable, pero las variables en la ecuación diferencial ya no pueden separarse. 2. Encuentre el desplazamiento u(r, t ) en una membrana elástica circular vibrantede radio uno que satisface la condición en la frontera u(1, t>= o.

t 2 o,

*11.6

separación de variables: un desarrollo en serie de Bessel

Otras consideracionessobreelmétodode

7

D’

C

693

c‘

(a)

(hl

FIGURA 11.6.1 Región del problema 1. y las condiciones iniciales

u(r, O ) = O ,

u,(r, O ) = g(r),

O

5

r

5

1,

en donde g(1) = O. Sugerencia: la ecuación diferencial que debe ser satisfecha es la ecuación (3) del texto. 3. Encuentre el desplazamiento u(r, t ) en una membrana elástica circular vibrante de radio uno que satisface la condición en la frontera u(1, t ) = o,

t2

o,

y las condiciones iniciales

en dondef(1) = g(1) = O. 4. La ecuación de onda en coordenadas polares es

Demuestre que si u(r, 6, t ) = R(r)O(B)T(t),entonces R, O y T satisfacen lasecuaciones diferenciales ordinarias r2R“ + rR’ + ( i 2 r 2- nZ)R= O, 0’‘+ n’@ = o,

T” + i 2 u 2 T = O.

5 . En las coordenadas cilíndricas circularesr , 6, z definidas por x = r cos 6,

y = r sen 0,

z = I,

la ecuación de Laplace toma la forma u,,

+ ( 1 !rju, + f 1 v 2 j u s s + u,;

=o

694

la frontera ydeteoría

Problemas con en valores

Sturm-Liouville

a) Demuestre que si u(r, 8,z) = R(r)O(B)Z(z),entonces R, O y 2 satisfacen lasecuaciones ordinarias r2R" t rR'

t ( i 2 r 2-

n2)R = O.

0'' + n'@

=

o,

2''

=

0

"

;.2z

b) Demuestre que si u(r, 8, z ) es independiente de 8, entonces la primera ecuación del inciso a) queda r2R"+ rh"+ A2r2R= O,

la segunda se omitepor completo y la tercera permanece sin cambio. 6. Halle la temperatura de estado estable en una barra seminfinita O < z < S , O 5 r < 1, si la temperatura es independiente de 8 y tiende a cero cuando z -+ m. Suponga que la temperatura u(r, z ) satisface las condiciones en la frontera u( 1, z) = o,

z

u(r, O) = f'(r),

O I r S I.

> o.

Sugerencia: consulte el problema 5 . '7. La ecuación oxx t uyy

+

k2Ll

=O

es una generalización de la ecuación de Laplace y, algunas veces, se le da el nombre de Helmholtz (1821-1894). a) En coordenadas polares, la ecuación de Helmholtz queda

+ (I/r)t.,+ ( l/r')t~oo + k2v = O.

L>,,

Si U(r, 8) = R(r)@(8),demuestre que R y O satisfacen las ecuaciones diferenciales r2R" + rR'

+ ( k 2 r 2- i 2 ) R = O,

O"

+

= O.

b) Encuentre la solución de la ecuación de Helmholtz en el disco r < c, que permanece acotada en todos los puntos en el disco, que es periódica en 8 con periodo 2n y que satisface la condición en la frontera Y(C, 8) = f(8), en donde f e s una función dada sobre O 5 8 < 2n. Sugerencia: la ecuación para R es una ecuación de Bessel. Ver el problema 3 de la sección 11.5. 8. Considere el flujo del caloren un cilindro infinitamente largode radio uno: O 5 r < 1,O 5 8 < 2n, - 00 < z < E. Suponga que la superficie del cilindrose mantiene a la temperatura cero y que l a distribución inicial de temperaturas es una función sólo de la variable radial r. Entonces la temperatura u es una función sólo der y f y satisface la ecuación de conducción del calor %?[u,,

+ (l/r)u,] = u,,

O < r < I,

y las siguientes condiciones inicial y en la frontera: u(r, O) = . f ( r ) , u(1, t ) =

o,

O I r 5 I, t > o.

t

> O,

695

*11.7 funciones Series de media laortogonales: convergencia en

Demuestre que x

c,Jo(inr)e-a21~r

u(r, t ) = n= 1

en donde .Jo(A,,) = O. Encuentre una fórmula para los c,,. 9. En las coordenadas esféricas p, O, 4 ( p > O, O IO < 27r, O

5

4 5 n) definidas por las

ecuaciones x = p c o s O s eyn=4p,s e n B s e zn=@p,c o s 4 , la ecuación de Laplace toma la forma p2u,,

f 2pu, f (csc2 4) U@@

+ u&#’ + (cot 4) u++ = o.

a) Demuestre que si u(p, O, 4) = P(p)O(O)Q,(@), entonces P, O y Q, satisfacen ecuaciones diferenciales ordinarias de laforma p2P” + 2 p P

-

p2P = o,

O“ + 120 = o,

(sen2 #)a”+(sen 4 COS #)a’+ (p2sen2 4 - i2)@ = O. La primera de estasecuaciones es deltipo de Euler, mientras que la tercera está relacionada con la ecuación de Legendre. b) Demuestre que si u(p, 0, 4) es independiente de O, entonces la primera ecuación del inciso a) permanece sin cambio,la segunda se omite y la tercera queda (sen2 4)W’ + (sen 4 cos 4)@’+ (p2sen‘

4)Q, = O.

c) Demuestre que sise define una nueva variable independiente S por S = cos 4, entonces la ecuación para Q, del inciso b)queda

Observe que ésta es l a ecuación de Legendre. 10. Encuentre la temperatura de estado estableu@, 4) en una esfera de radio unitario si la temperatura es independiente de O y satisface la condición en la frontera 4 1 , 4) =f(4),

0

5

4 5 n.

Sugerencia: consulte el problema 9 y los problemas 20 a 28 de la sección 5.3. Use el hecho de quelas únicas soluciones de la ecuación de Legendre que son finitas enk1 son los polinomios de Legendre.

En la sección 11.3 se afirmó que con ciertas restricciones una función dada f puede desarrollarse en una serie de eigenfunciones de un problema con valores en la frontera de Sturm-Liouville y que la serie convergea [f(x + ) + f(x - ) ] / 2 en cada punto del intervalo

696

Problemas conenvalores

la frontera Sturm-Liouville de y teoria

abierto. En ciertas condiciones algo más restrictivas, la serie converge af(x) en cada pullto del intervalo cerrado. Este tipo Convergencia de se denomina convergencia puntual. En esta sección se describe un tipo distinto de convergencia que es especialmente iltil para seriesde funcioncs ortogonales, como las eigenfunciones. Suponga que se da el conjunto de funciones qh,, &, . . . , 4, que son continuas sobre el intervalo O 5 x 5 1 y satisfacen la condición de ortonormalidad

se quiere aproximar en donder e s una función de peso no negativa. Supóngase también que una función dadaL definida sobre O 5 x I1, mediante una combinación lineal de 41,. . . &,t. Es decir, si

se desea elegirlos coeficientes a , ,. . . ,an de modo quela función S, sea Ia mejor aproximación para fsobre O i x 5 l . El primer problema que se debe enfrentar al realizar esto es enunciar con precisión qué se entiende por "mejor aproximación de f sobre O 5 x 5 1". Hay varios significados razonables que puede asociarse a esta frase. 1.

Es posible elegir n puntos x,,. . . , en el intervalo O 5 x 5 1 y requerir que S&) tenga el mismo valor quef(x)en cada uno de estos puntos.Los coeficientes a , ,. . . ,a,, se encuentran al resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas lineales

Este procedimiento se conoce comométodo de colocación.Tiene la ventaja de que es muy fácil escribir las ecuaciones (3); basta con evaluar las funciones relativas en los puntos x,, . , . ,x,. Si estos puntos se eligen bien y si n es bastante grande, entonces es de suponer que S,,@) no sólo será igual af(x) en los puntos elegidos, sino que también estarli razonablemente cerca de ella enlos demás puntos. Sin embargo, la colocación adolece de varias deficiencias. Una es que si se agrega una función base más qh,, 1, entonces se requiere u n punto más x, y es necesario volver a calcular todos los coeficientes. Por tanto, no es conveniente para mejorar la exactitud de una aproximación por colocación mediante la inclusión de términos adicionales. Además, los ai dependen de la ubicación de los puntos x,, . . . ,x, y no es evidente cómo elegir de la mejor manera estos puntos. Alternativamente, es posible considerar la diferencia f(x) - S,,(X) e intentar hacerla lo más pequeña posible. La dificultad aquíes que f(x) - S,,(x) es una función de x, así como los coeficientesa , , . . . , a,, y no es evidentequé criterio debe aplicarse al seleccionar los al. La elección de los al que haga pequeño fljc)- Sn(x) en un punto puede +

+

2.

*11.7

Series de funciones ortogonales:

697

convergencia mediaen la

1

> x

FIGURA 11.7.1 Aproximación de f(x) por S,,@). hacerlo grande en el otro. Una manera de proceder es considerar en vez de ello la mínima cota superior9 de - Sn(x)' para x en O Ix I1 y, después, elegir a , , . . . , a,, de modo que se haga lo más pequeña posible esta cantidad. Es decir, si

3.

entonces elíjasea,,. . . ,a,,de modo que se minimice E,. Este enfoquees intuitivamente atrayente y a menudo se aplica en cálculos teóricos. Sin embargo,laen práctica, suele ser muy difícil, si no imposible, escribir una fórmula explícita para E,(a,, . . . , a,,). Además, este procedimiento también comparte una de las desventajas de la colocación; a saber, al agregar un término adicional a s,,(~), es necesario volver a calcular todos los coeficientes precedentes. Por tanto, con frecuencia no es útil en los problemas prácticos. Otra manera de proceder es considerar

Si .(x) = 1, entonces I,,es el área entre las gráficas de y =f(?c)y y = S&) (ver la figura 11.7.1).Entonces se pueden determinar los coeficientesal de modo que se minimice Z., Para evitar las complicaciones que resultan de los cálculos con valores absolutos, es mejor considerar U a , ,'

'

. > a,)

= Jo' r ( x ) [ f ( x ) - S,(x)I2dx

(6)

como medida de calidad de la aproximación dela combinación lineal Sn(x)paraf(x). Aunque es evidente queR,, es semejante en ciertos sentidos a I,,,carece de la simple interpretación geométrica de esta última.A pesar de ello, matemáticamente es mucho más fácil trabajar conR,, que conZ., La cactidad R,, se llama error cuadrático medio La mínima cota superior(rncs) es unacota superior que es menor que cualquier otra cota superior.La mcs de una función acotada siempre existe y es igual a su máximo si la función tiene uno. Sin embargo, recuérdese que una función discontinua puedeno tener un máximo. En los problemas 2 a 6 se dan algunos ejemplos.

" l l " . .

. ....,

" I . .

. ..

"

.""

. I .

. .._._."__""""

" "

."

Problemas con valores en la frontera Y teoría de Stunn-Liouville

698

de: la aproximación S, para f. Si se eligen los ai de modo que se minimice R,,,entonces se dice que S,, se aproxima a f en el sentido cuadrático medio. Para elegir al, . . . , a, a fin de minimizar R,,, es necesario satisfacer las condiciones necesarias.

&,/&,

i = I , . . . , n.

= O,

(7)

Al escribir la ecuación(7) y observar que &,,(x; a,, . . . , afl)/daL es igual$t(x), a se obtiene

S , ( X ) ] ~ ~ (dx X )= O. Si se sustituye S$) por su expresión de la(2) y se aplica la relación de ortogonalidad(1) se llega a

(9) Los coeficientes definidos por la (9) se llaman coeficientes de Fourier de f con respecto al conjunto ortonormal +*, . . . , 4, y la función de peso r. Como las condiciones (7) sólo son necesarias y no suficientes para que R, sea un mínimo se requiere un razonamiento separado para demostrar queR,, en realidad se minimiza si se eligen los ai mediante la (9). Este razonamiento se describe en el problema 7. Nótese que los coeficientes (9) son los mismos quelos de laserie de eigenfunciones cuya convergencia, en ciertas condiciones, se enunció en el teorema 11.3.4. Por tanto, S ,(.) es la n-ésima suma parcial de esta serie y constituye la mejor aproximación cuadrática media a f(x) que es posible con las funciones+I, . . . +,,. De aquí en adelante se supondrá que los coeficientes ai de S,,(.) se expresan por la ecuación (9). La ecuación(9) es notable en otros dos aspectos importantes. En primer lugar, proporciona una fórmula para cada a,por separado, en vez de un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales para los al,. , , , a,, como en el método de colocación, por ejemplo. Esto se debe a laortogonalidaddelasfuncionesbase . . . , 4,,.Además, la fórmulapara los 0 , es independiente de n, el número de términos en S&). El significado práctico de esto es e1 siguiente: Supóngase que, para obtener una mejor aproximación paraf, se desea usar una aproximación con más términos, por ejemplok términos, en dondek > n. Entonces, IIU cs necesario volver a calcular losn primeros coeficientes deS&). Todo lo que se requiere es calcular, a partirde (9), los coeficientes a, . . . , akque surgen debido a las funciones base +

adicionales 4,, . . . , q5k. Por supuesto, si r y las son funciones complicadas, puede ser necesario evaluar las integrales por procedimientos numéricos rutinarios. Supóngase ahora que existe una sucesión infinita de funciones . . . , $,,, . . . , que son continuas y ortonormales sobreel intervalo O 5 x 5 1. Supóngase además que, cuandon crece sin cota, el error cuadrático medio R, tiende a cero.En este caso, se dice quela serie infinita +

+,,

converge enel sentido cuadrático medio(o,de modo mássencillo, en la media) a f(x). La convergencia en la media es en esencia un tipo distinto de convergencia al de la convergencia puntual que se ha considerado hasta ahora. Una serie puede converger enla media sin conver-

funciones ortogonales: *11.7de Series

convergencia en

699

la media

ger en cada punto. Esto es geométricamente plausible porque el área entre dos curvas, que se comporta de la misma manera que el error cuadrático medio, puede ser cero aun cuando las funciones no sean las mismasen todos los puntos; pueden diferir sobre cualquier conjunto finito de puntos, por ejemplo, sin afectar el error cuadrático medio. Es menos evidente, pero también es cierto, que aun si una serie infinita couverge en todo punto, puedeno hacerlo en la media. De hecho,el error cuadrático medio puede incluso volverse no acotado. Un ejemplo de este fenómeno se da enel problema 1. Supóngase ahora yur: se quiere conocer qué clase de funciones, definidas sobre O 5 x 5 1, se pueden representar como una serie infinita del conjunto ortonormal i = 1, 2 . . . . La respuesta depende de qué tipo de convergencia se requiere. Se dice que el conjunto 4,, . . . , 4,, es completo con respecto a la convergencia cuadrática media para un conjunto de funciones .T, si para cada función f en .$, la serie +{,

con coeficientes dados por la ecuación (9), converge en la media. Existe una definición semejante para la compleción con respecto ala convergencia puntual. Ahora los teoremas relacionados con la convergencia de series comola la ecuación de (10) se pueden volver a enunciar en términos dela idea de compleción. Por ejemplo, el teorema 11.3.4 se puede reenunciar como sigue: las eigenfunciones del problema de Sturm-Liouville

+ q(x)y = h ( x ) y , o < x < 1, Uly(o) + a,y'(O) = o, b , y ( l ) + h,y'(l) = o, -[p(x)y']'

1) (1

(12)

son completas con respecto a la convergencia puntual ordinaria para el conjunto de funciones que son continuas sobre O Ix 5 1 y tienen una derivada seccionalmente continua allí. Si la convergencia puntual se sustituye por convergencia enla media, entonces el teorema 11.3.4 puede generalizarse considerablemente. Antes de enunciar este teorema acompañante del 11.3.4, es necesario definir qué se entiende por una función cuadráticamente integrable. Se dice queuna función f es cuadráticamente integrable sobre el intervalo O 5 x 5 1 si tanto f c o m o f 2 son integrables'O sobre ese intervalo. El siguiente teorema es semejante al 11.3.4, excepto en que comprende la convergencia en la media.

lo

Para la integral de Riemann usada en cálculo elemental, las hipótesis de que f y f 2 sean integrables son independientes: es decir, existen funciones tales quefes integrable perof2 no lo es e inversamente (ver el problema 8). Una integral generalizada, conocida como integral de Lebesgue, puede definirselacon propiedad (entre otras) de que si f 2 es integrable, entonces necesariamente f también es integrable. El término cuadrúticamente integrable se volvió de uso común en relación con este tipo de integración.

Problemas con valores en la frontera Y teoría de Sturm-Liouville

700

Es significativo que la clase de funciones especificadas en el teorema 11.7.1 sea tan grande. La clase de funciones cuadráticamente integrables contiene algunas funciones con muchas discontinuidades, incluyendo algunos tipos de discoldinuidades infinitas, así como algunas funciones que no son diferenciablesningGn en punto. Todas estas funciones tienen desarrollos convergentes enla media en las eigenfunciones del problema con valoreslaen frontera (11), (12). Sin embargo, en muchos casos, estas series no convergen puntualmente, por lo menos no en todos los puntos. Por tanto, la convergencia en l a media está asociada de manera mas natural con series de funciones ortogonales, comolas eigenfunciones, que la convergencia puntual ordinaria. La teoríade las series de Fourier que se analizóel en capítulo 10 es precisamente un caso especial de la teoría general de los problemas de Sturm-Liouville. Por ejemplo,las funciones $,,,[x) = 4 2 sen n m son las eigenfunciones normalizadas del problema de SturmLiouville y” + Ay = O, y(0) = O, y(1) = O. Por tanto, sifes una función dada cuadráticamente integrable sobre O ‘c x I1 entonces, según el teorema 11.7.1,la serie

f(x)=

f b,4,(x) n= 1

up

b, sen nnx.

=g ‘? n= 1

en donde

converge en l a media. La serie (13) es precisamente la serie de senos de Fourier que se estudió en la sección 10.4. Si fsatisface las condiciones adicionales expresadas en el leorema 11.3.4, entonces esta serie converge puntualmente, así como en la media. De manera semejante, la serie de cosenos de Fourier corresponde al problema de Sturm-Liouvilley” + Ay = o, y’(0) = o, y’(1) = o. El teorema 11.7.1 puede extenderse para abarcar problemas autoadjuntos con valores en la frontera que tengan condiciones periódicas enla frontera, como el problema y“ y( - 1) - y(1) =

+ Ay = o

o,

y’( - I) - y’@) = o,

(15) (16)

que se consideróen el ejemplo 4 de la sección 11.3. Las eigenfunciones del problema(15), (16) son +,,(x) = cos(nlrx/l), para n = O, 1,2, . . . , y y,,(x) = sen(nnx/l), para n = 1 , 2 , . . . . S i f e s una función dada cuadráticamente integrable sobre -I 5 x 5 1, entonces su desarrollo en términos delas eigenfunciones $,, y y,, es dela forma

en donde

*11.7 funciones Series de

ortogonales: convergencia en

la media

701

Este desarrolloes exactamente la seriede Fourier paraf que se analiní en las secciones 10.2 y 10.3. Según la generalización del teorema 11.7.1,la serie (17) converge en la media para cualquier función cuadráticamente integrablef, aun cuando fpueda no satisfacer las condiciones del teorema 10.3.1, que aseguran la convergencia puntual.

1. En este problema se demuestra que la convergencia puntual de una sucesión S&)

incluye convergencia en la media e inversamente. a) Sea Sn(x)= n O 5 x 5 1. Demuestre que Sn(x) -+O cuando n -+ x en O Ix 5 1. Demuestre también que R,

x

no

para cada

n

= Jol[O - S,(X)]~ dx = - (1 - e"'),

2

de donde, que Rn --* X cuando n --* x . Por tanto, la convergencia puntual no incluye convergencia en lamedia. b) Sean S,(X) = xn para O 5 x 5 1 yf(x) = O para O 5 x 2 l . Demuestre que R" = Jol [ f ' ( x ) -

de donde, S,,(x) converge af(x) en la media. Demuestre también que S&) no converge a f(x) puntualmente en todo O 5 x 5 1. Por tanto, la convergencia en la media no implica convergencia puntual. En cada uno de los problemas 2 al 6 encuentre la mínima cota superior de la función dada sobre el intervalo dado. También determine si la función tiene un máximo sobre el intervalo. 2. f ( x ) =

x,

i

o,

O < X < l

x=l

3. f ( x ) = x, 5. f ( x ) =

6. j ( x ) =

x =

i

o - 2

t

5). < o

Sección 2.4, página 54 1. 2 Y + 5). > o o 2.\ 3. En todas partes

1

.v

0.986 16. b = 1;

17.

JW, Y) dy +

19. 21. 24. 26. 28. 29. 31.

X2 2 lnlyl - y - 2 = C; también y = O 20. xy2 - (y2 - 2y + 2)e~= c 22. p ( t ) = exp R(t) dt, en donde t = xy 25. p(x) = e-”; y = cex 1 + e2x 27. p(y) = e2y/y; xe2y - lnlyl = c; tanhiin y = O p(y) = sen y; ex sen y y2 = c 30. p ( ~y) , = XY; x3y 3x2 + y3 = c

[ W x , Y) - JN,(x,

Y) dy] dx

+

+

+

+

+ x2 = c

e21Y

+

ex sen y 2ycos x = c x2exsen y =c p(x) = e3x; (3x2y + y3)e3” =: c p( y) = y; xy y cos y -sen y = c

+

p(y) = y’;

x4

+ 3xy + y4 = c

Sección 2.9, página 103

+

1. y = cx x InJxl arctan(y/x) - h l x l = c ]y - = cly 3xI5 -2x/(x y) = In c(x y1 a) [y - x / = cly xI3 b) /y - x \y X 41 Iy 4~ 1312 = c x2y2 2x3y =

3. 5. 7. 9. 10. 12.

XI

+ + + +

+

+

+

+ +

+

2. x24. 6. 8. 31 = cly 11.

y = ex‘ y2 - ex3 = o ly Iy 4xI2 = c x/(x y ) Inlxl = c x -2(x - 2)/(x + y - 3) = Inc/x y - 31 15. a) No b) Sí c) SÍ d) No

+ + XI + + + + +

+

Sección 2.10, página107 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21.

+ + + + + + + + + +

y = (c/x2) (x3/5) x2 xy - 3y - y3 = o x2y xy2 x = c (x2 y’ 1)e-Y’ = c x2y x y2 = c x3/3 xy eY = c 2(y/x)”’ - Inlx( = c y = c/co~h~(x/2) y = ce3x- eZx 3y - 2xy3 - lox = o ,-y’* + InJxl= c

1 23. - =

se:. +

2. arctan(y/x) - In =c 4. x = cey yeY 6. y = x - ’ ( l - e”X) 8. y = (4 COS 2 - COS x)/x’ 10. (y2/x3) (ylx’) = c 12. y = c e - x e - x In(] + ex) 14. x 2 2xy 2y2 = 34 16. (2/&)arctan[(2y - x)/J?x] - InJx/= c 18. y = cx - 2 - X 20. ex + e - y = c 22.y3 3y - x3 3x = 2

+ + + + + +

+

+

+

“x 7dx ex;también y = O 24. sen2 x sen y = c Y 25. x2/y arctan(y/x) = c 26. x 2 2x’y - y2 = c 27. sen x cos 2y - i s e n ’ x = c 28. 2xy xy3 - x3 = c 29. 2arcsen(y/x) - In(x/= c 30. xy2 - In/y(= O 31. x lnlxl x - ’ y - 2 lnly/ = c; también y = O 32. x3y2 + xy3 = -4 33. b) X = C ’ ( p ) / p d p 34. x e-y = c 36. a) Y = x + ( c - x ) ” b) ~ = x - ’ + ~ x ( c - x ~ ) - ~ c) y = s e n x + ( c c o s x - $ s e n x ) ” 37. a) u‘ - [x(?) b]u = b b) u = [ b p ( t ) dt c]/p(t), p ( t ) = exp[ -(at2,’2) - bt] 38. a) dyldx = 2y/x b) dyldx = -x/2y c) x 2 + 2y2 = c 39. a) y’- x 2 = c b) x’ + ( y - c)’ = c2 c) x - y = c(x d) X’ - 2cy = c2; c > O

+

+ +

+

+

+

+

+

+

710

a

40. 41. 44. 45. 47.

a) y .- 3x = c 4' - h = (.(x - a)

b) In

Respuestas los problemas

A'+ y 2 + arctan(y/x)

= c,

= ke-e

or r

42. (x - 2)2 + y 2 = 9 43. x = cy2 En seis meses; $4 millones. Al cabo de ~610un año, la fortuna se vuelve acotada. b) (h/a)&&; sí c) klu I na2 46. b) k2/2g(ua)' b) W = [W;l3 + (at/3)]'

48. Aproximadamente 2.14 años a partir de ahora.

Sección 2.11, página111 1. dw/ds = (S

+

+ (w + 2)2,

112

w(0) = o

2. dw/ds

= 1 - (W

+ 3)3,

~ ( 0=) O

" 2kXk 3. &,(x) = -; lim $,(x) = eZx- 1 k = l k! ( - 1)kxk ____ ; lim $.(x) = e - x - 1 4. (?&(x) = k!

k-1

n-m

kc,

x2k-

n

5. 'n(x) =

7.

n

1

1 . 3 . 5 . . . (2k - 1)

x3 3

$l(x) = -;

8. b,l(x) = x;

2x1

&(x)

4AX) =

-k = 1 2 ' 5 . 8 ' . . ( 3 k - l )

x3 + __ + 3 33 .+7(.779..991)1' . 1 5 x4 x13 3x10x4 3x7 =x --; 4 3 ( x )= x - - + __ - + " 4 4 6 14 6. . 140. 7 x3

(b2(x)= -

+ -7;.x79

6.

X '

X3k- 1

X'S

$3(x) = -

"

__

13

Sección 2.12, página 121 = (=

4. 5. 6.

$258.14

1)"(0.9)"y0;- y,, O cuando n co 2. y , = y o / ( n + 1); y , O cuando n + + 1)/2: y , + m cuando n + GO yo s i n = 4 k o n = 4 k - 1; yn no tiene límite cuando n a vn = - y o , s i n = 4k - 2 o n = 4k - 3; y , = (0.5)"(y0 - 12) + 12; J'" + 12 cuando n m y , = ( - 1)"(0.5)"(y0- 4) + 4; yn 4 cuando n co 7.25:/, $2283.63 8. a) $804.62 b) $877.57 c ) $1028.61

1. y,,

3. y,,

9. 7. IO.

ry o d ( n 2)(n

-+

-+

-+

-+

~"

-+

-+

-+

-+

11. 30 años; $804.62/mes; $289 663.20 entotal 20 años; $899.73lmes; $215 935.20 en total

CAP~TULO3Sección

3.1, página135

00

711

Resvuestas los vroblemas

13, y = L10, - % - I l +.,+-l. , y + cc cuando x + cx, 14, y = - I e(x + 2 ) / 2 + *e (x + 2112., y - a3 cuandox -

-+

-+

30

16. [I= - 1 + c 2 + In x 18. y = c1 In x + c 2 + x 19. y = (l/k)lnl(k - x)/(k x)\ c 2 si c1 = k2 > O; y = (2/k)arctan(x/k) c2 si e l = -k2 < O; y = -2x" + c2 si e , = O también 20. Y = *$(X - 2 C l ) J X f c , c2; también y = c Sugerencia: p(a) = u - es un factorintegrante. 21. y = cle-x + c 2 - xe-x 22. c:y = c1x - In11 clxl + c2 si c, # O y = )x2 + c2 si c1 = O; también y = c 23. y 2 = clx c2 24. y = clsen(x c 2 ) = k , senx + k, cos x 25. +y3 - 2c,y c2 = 2x; también y = c 26. X c2 = * { ( y - 2c,)(y + cl)'" 27. y In(y(- y c , y x = c,; también y = c 28. e* = (x + c2)2+ c I 29. y = +(x + 113'2 30. y = 2(1 - X ) - ' 31. y = 3 In x - In(x2 1) - 5 arctan x + 2 + $In 2 + $71 32. y = $X' 33. y" - v = o 34. y" + y = o 35. (1 - x cot x)y" - xy' + y = o 36. y" - 2y' y = O 37. x2y" - 2xy' + 2y = o 38. y" - y = O 15. a = -2 17. y = clx"

+

+

+

+

+

+

+ +

+ + + + 3 +

+

+

Sección 3.2, página 144 1,

2. 1

-;ex/2

5. -e2x

6. O 10. o < x <

9. o < x < 4

a2

3. e-4x 7. o < x < o o 11. O < x < 3

4. x2ex 8. - o o < x < ~ 12. 2 < x < 3n/2

14. La ecuaciónno es lineal 15. L a ecuaciónno es 16. No 17. 3xe2" + ce2x 18. xex + cx 20. -4(x cos x - sen x) 21. Y,(x)= f e - * * ++ex, y2(x) = -fe-Zx + +ex 22. yl(x) = -+e-3'x-l) + $e-(x-l), y2(x) = - t e - 3 ( x - 1 ) + t e - ( x - l ) 24. Sí

23. Sí

1 30. Sí, y = __ [cl Ax)

!t

dt

25. Sí

1

+ c2

, p(x) = exp[

31. Sí, Y = C 1 X - I + C 2 X 34. (1 - x2)p" - 2xp' + r ( a + 1)p = o

-S

homogénea 19. 5 W L 9)

26. Sí

(i+

cos x

33. x2p" + 3xp' + (1 35. pti - xp = o

i.] + x2 - v2)p = 0

37. Las ecuaciones de Legendre y de Airy son autoadjuntas.

Sección 3.3, página 154 1. Independiente 2. Dependiente 3. Independiente 4. Dependiente 5. Dependiente 6. Independiente 7. Independiente; Wno siempre escero 8. Independiente; W no siempre escero 9.

11.

V C I Y l > C2Y2) ~ l b 2 .-

= C I C 2 Y Y 1 , Y2) # 0

a2bl # O

13. cx2ex

10. WY,,

Y41

= -2WY1,

Y2)

14. c/cos x/

,

. ."

.

,

Respuestas a los problemas

712 3

16. 17. 2/25

,/e E 4.946

21. Sixo es un punto de inflexión, y y = +(x) es una solución; entonces, apartir de la ecuación diferencialp(xJ+'(x,,) t q(xo)+(xo) = O.

Sección 3.4, página 160

+

+

1. e cos 2 iesen2 z -1.1312 2.47171' 2. e2 cos 3 - ¡e2sen 3 z - 7.3151 - 1.04271' 3. -1 4. e' cos(71/2)- ie2sen(n/2) = - e 2 ¡ S -7.3891i 5. 2 cos(1n 2) - 2isen(ln 2) S 1.5385 - 1.27791' 0.23959i 6. n - l cos(2 in 71)+ in"sen(2 In 71)-0.20957 7. y = cleJ cos x c2exsenx 8. y = cleX cos f i x c2exsen&x 9. y = cleZX c2e-4X 10. y = cle-" cos x c2e-"sen x 11. y = cle-3x cos 2x ~ ~ e - ~ " 2x sen 12. y = c1 cos(3x/2) c2sen(3x/2) 13. y = c,e~~"cos(x/Z)c,e-"sen(x/2) 14. y = clex/3 c2e-4*/3 15. y = cle-"'2 cos x c2e-"12senx 16. y = cle-" cos(3x/2) c,e-2"sen(3x/2)

+

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

17. y = sen 2x; oscilación estable 18, y = e-& cos x t 2e-2r sen x; oscilación decreciente 19. y = sen 2 x ; oscilación creciente 20. y = (1 t 2 6 ) c o s x - (2 -&)sen x; oscilación estable 21. y = 3e-xí2 cosx t $e-"'" sen x; oscilación decreciente 22. y =d%3xx-n"4) cos x t d%ix-n/4)sen x; oscilación decreciente 29. Sí; y = c1cos z t c2 sen z, z = J-ee-x2i2 ak 30. No 31. si,y = c1e-x2/4cos (&x2/4) + c2e-~'i4sen(J~x2/4> 33. y = c1 cos(1n x) + c,sen(ln x) 34. y = clx-1 + czx-2 36. y = c,x6 c2x-l 35. y = clx-' cos($ In x) + c , ~ - ~ s e n ( & l nx)

+

Sección 3.5, página 168

+

1.y = clex c2xeX 3. y = cle-X/2 c2e3x12 5. y = cleXcos 3x c2exsen3x

29. 31. 34. 37.

+

+

y2(x) = x - ' In x y2(x) = X b) Y O + (a/b)~b y = c1x-'12 c2x-'l2 In x

+

2. y = cle-"l3

4. y = cle-3x/2 6. y = cle3"

+ c2xe-+13 + c2xe-3x~2

+ c2xe3"

30. y2(x) = COS X' 32. y2(x) = X - ' / ' COS X 36. y = clx2 c2x2In x

+

113

Respuestas a los problemas

Sección 3.6, página 177 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

y = ~ ~ e ~ ~ + c ~ e -2. ~y = - ce, e~ - X ~cos2x+c,e-xsen2x+~sen2~-$~~~~2~ y = cle3" + c2e-" Axe-" dx'e-" y=c, + c z e - 2 x + ~ x - f s e n 2 x - f c o s 2 x y = c1 cos 3x cz sen 3x &(9x2 - 6x l)e3" y = c,e-" c'xe-" x'e-" y = c,e-" c2e-"/' x2 - 6x 14 - &sen x - 1% cos x y=c,cosx+c~senx-~xcos2x-~sen2x u = c, cos wox c2 sen wox (a;- o')-' cos wx u = c, cos wox cz sen wox (1/2w0)x sen wox

11. 12. 14. 15. 17. 18. 19.

y = cle-x12 cos(fix/2) cZe-x/' sen(J15x/2) &ex - $e-" y = cle-x c2ezx kxe'" $e-'" 13, y = ex - t e - z x - x - I y=~sen2x-~cos2x+$xZ-~+~eX y = 4 x 8 - 3e" 2x3er 4 16, y e3X + $e-" - xe'" y = 2 cos 2x - Qsen2x - ? x cos 2x y = e-" cos 2x te-. sen2x xe-x sen 2x Y(x) = x(A0x4 A,x3 A,x2 A,x A4) x(B,x' B,x Bz)e-3" D sen 3x E cos 3x Y(x) = A,x A , x(Box B,)senx x(D,x D,)cos x E,)e'" cos x Y(x) = e X ( Acos 2x Bsen 2x) (Dox D,)e'"sen x (E,x Y(x) = Ae-" x(B0x2 B,x B,)e-" cos x x(D,x' D,x D,)e-" senx A, x2(B0x B,)e2" (Dox D,)sen2x (Eox E,)cos 2x Y(x) = A0x2 A,x A,x A2)sen2x x(B0x2 B,x BJcos 2x Y(x) = x(A,,x' Y(x) = @,xZ A,x A,)e" sen2x (BoxZ B,x &)e" cos 2x e-"(D cos x Esen x) Fe" Y(x) = x(A,x A,)e-x cos 2x x(Box B,)e-"sen 2x + (Dox + D,)e-'" cos x (Eox E,)e-'"sen x

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

+

+

+

+

+

+

+

+

+5

+

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ + +

+

+

+

+

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

27. y = c , cosAx

+ c2 sen dx + 1 [a,,,/(A' N

+

+

+

+

+

- m2n2)]senrnnx

m= 1

28. y = i'?

29. y =

+ n/2)sent - ( 4 2 ) cos t + (n/2)e"-',

-(1

sen2t - Se-' 2t, cos

+-'en")e-'cos

-$(I

2t - &(I

+ en")e-' sen2t,

33. y = cle4x

30. No

O I t S n t >n

o It I4 2 1 > n/2

+ c2e-* - te2"

Sección 3.7, página 189 1. 5. 6. I. 8. 9. IO. 11. 12. 13. 16.

Y(x) = ex 2. Y(x) = -+xe-" 3. Y(x) = tx'e-' 4. Y(X) = 2x2e"'' y = c, cos x c2 senx - (cos x)ln(tan x sec x) y = c, cos 3x cz sen3x (sen3x)ln(tan 3x sec 3x) - 1 y = c,e-'" c2xe-2x - e-'" In x y = c, cos 2x c2 sen 2x $(sen 2x)ln sen 2x - $x cos 2x y = c, cos(x/2) c2sen(x/2) xsen(x/2) 2[ln cos(x/2)]cos(x/2) y = cleX c2xex - )ex In( 1 x') xex arctan x y = c1e2" c2e3" [e3("-') - e'("-')]g(t) dt y = c , cos 2x cz sen 2x ) [sen2(x - t)]g(t) dt Y(x) = f x' In x 14. Y(x) = -2x2 15. Y(x) = ;(x - l)e2" 17. Y(x) = kxz(ln x)3 Y(x) = -f(2x - l)e-" 18. Y(x) = - 3 ~ " ' COS X

+

+

+ + + +

+

+

+

+ +

+

+

+

+ +

+

+

+

Respuestas a los problemus

714

20.Y(x) 23. bj y

24, y

= y,

cos x

= ( h - a)-

1

=

29. y

S"

[eblx-f)

=

-

c,x

-

t)g(t)dt

dx--c)

Idt) dt

e

S" eL(x-')senp(x - t)g(t) d t

26. y

=

+ czx2+ 4x2 In x + x) + czeX+$(x - l)ezx

30. y 32. y

= C,X"

xn

31. y = c,(l

t "%en(x

+ y; senx -t

X"

25. y

= .x"

(x - t)e"(""'g(t) dt

= cleX

+ c2x-' + & X + czx i(2x -

-

l)e-x

Sección 3.8, página 197 1. u = 5 cos(2t - 6), 6 = arctan(4/3j r 0.9273 3. u = 2& cos(3t - 6), 6 = -arctan(l/2) z -0.4636 4. u = f i cos(nt - 6), 6 = n arctan(3/2) 4.1244

2.

U

= 2 cos(t

-

2n/3)

+

5. u = cos 8t pie, t en S , w = 8 radls, T = nl4s, R = 114 pie 6. u = sen 14t cm, ten S; t = nil4s 7. u = ( 1 1 4 a ) sen 8J-t - cos S a t pie, ten S; w = radls, T = n i 4 4 3 R =8pie, 6 = n-arctan(3/&) SS 2.0113 8. Q = lo4 cos 2000t coulomb, t en S 9. u = e-Iar(2 cos 4&t +(5/&) sen 4&t) cm, t en S; p = 4& radls Td = nl2&~, T J T = 712 & = 1.4289 IO. u = (1/8&1)e-*tsen 2&1t pie, ten S; t = lt/2&1s 11. U = 0.057198e-0.15r cos(3.87008t - 0.50709)m, t en S; p = 3.87008 radls p/wo= 3.870081&5 2 0.99925 12. Q = 10-6(2e-500'- e-looor)coulomb;r en S 13. U = (7/&)e-1°' cos(4&t - 6)cm, t en S; 6 = arctan(512a) 0.7956, T 2 0.3912 S 14. u =(l/8&l)e-2f c o s ( 2 a l t - n12)pie; t en S; -c 2 (In 100)12 2.3026 S 15. y=-= 1.4907 18. r = ~ , r c o s e = B , r s e n B = - A ; R = r ; S = 8 + ( 4 n + l ) n / 2 , n = 0 , ,1.,.2. 19. y = 8 lb sipie 20 R = lo3 ohm 22. U ; < -yu@rn 24. 2 ~ ~ 1 ~ 5 1 25. y = 5 lb sipie 26. y-c = c, en donde c es una constante 28. plu" + pogu = O, T = 2n-g

Sección 3.9, página 210 1. sen& sent -2 2. 2sen(t/2)cos(13t/2) 3. 2 cos(3nt/2)cos(nt/2) 4. 2sen(7t/2)cos(t/2) 5. U" + 2 5 6 ~ = 16 cos3t, u(0) = A, u'(0) = O, u en pie, t en S 6. U" + 1Ou' + 98u = 2sen(t/2), u(0) = O, u'(0) = 0.08, u en m, ten S 7. a) u = ,'& cos 16t + ;&cos 3t b) w = 16 rad/s 8. a) u = (160/153281)[ -cos(t/2) + \Fsen(t/2)] b) o = 4& radis 9. u = %cos 7t - cos Sf)= sen(t/2)sen(l5t/2) pie, t en S

715

Respuestas a los problemas 10. u = (cos 8t + sen 8t - 8r cos 8t)/4 pie, r en S; 118, nl8, n14,3n18a 11. a) &(30 cos 2t + sen 2t) pie, t en S b) m = 4 slugs 12. u = ( a / 6 ) cos(3t - 3n/4)m, t en S

18. Q ( t ) = 10-6(e4000'- 4e-loo0'+ 3) coulomb, t en S, Q(O.OOl)= 1.52 x Q(O.01) = 3 x lo6; Q(t) -+ 3 x 10" cuando t + 3~ CAPÍTULO 4Sección

4.1, página219

1. - - c o < x < r x , 2. x > o o x < O x o 3.X>l,O Oo (S2 a73

243s'

+

.

22. Converges r(312) = v.'n!/2; r ( l 1 / 2 ) = 945J%/32 7

C)

S

- a > lb/

s>o

S-u

14. (S

2 1. Converges 26.

b2 '

S'

-

18.

+ bZ'

2as (S2

(S

-

A + b2'

16.

17,

>O

S

+a y ' n!

(S - $ + I '

s>o s>a

2a(3s2 + a') (S2 - a73 ' 23. Diverges

20.

s>u

S

> la1 24. Converges

725

Respuestas a los problemas

Sección 6.2, página 316 1.

3,

$ sen2t gel

-

5. 2e" cos 2t 7. 2e' cos t + 3e'sen t 9. -2e-2'cos t + 5e-2'sen t 1I. y = +(e'' + 4 e ~ ~ ' ) 13. y = e'sen t 15. y = 2e' cosh f i t - (2/&)e' senh f i t 17. y = te' - t2e' + :t3e' 19. y = COS a t 20. y = (WZ - 4)- '[(d- 5) cos wt + cos 2t] 21. y = f ( c o s t - 2 s e n t + 4 e ' c o s t - 2 e ' s e n t ) 22. y = +(e-' - e' cos t + 7e' sent)

2. 2t2e' 4, pe3' + $ e - 2 1 6. 2 cosh 2t - 3senh 2t 8. 3 - 2sen2t + 5cos2t IO. 2e" cos 3t - $e-' sen 3t 12. y = 2e" - e-2' 14. y = e2' - te2' 16. y = 2e" cos 2t + ie"sen 2t 18. y = cash t

23. y

= 2e"

+ te" + 2t2e-'

1 -e-='

S

1

e-'(s

+ 1)

24. Y ( s )= _ _ + s2 + 4 s(s2 + 4) 26. Y(s) = (1 - e-')/s2(s2 + 4)

25. Y ( s )=

29. I/(s 31. n!/s"+' 33. 2 b ( ~- u)/[(s- U)' 36. a) Y ' + s 2 Y = s

30. 2b(3s2 - b2)/(s2+ b2)' 32. n!/(s - u)"+' 34. [(S - b 2 ] / [ ( s- a)2 + b2]*

~

+ b2I2

?(S2

+ 1)

-

?(S2

+ 1)

b) s 2 Y " + 2 s Y ' - [ s 2 + c c ( a + 1 ) ] Y = - 1

Sección 6.3, página 327 8. F(s) = e-s(s2 + 2)/s3

7. F(s) = 2eF2"/s3

1 10. F(s) = -(e-' S

11. F(s) = s - ~ [ ( I - s)e-" - (1 + 13. f(t) = t3e2' 15. f(t) = 2u2(t)e"' cos(t - 2) 17. f(t) = ul(t)e2('-')cosh(t - 1) 20. f(t) =21. 2(2t)" 22. f ( t ) = &e"3(e2'/3- I ) 24. F(s) = s"(1 - e-'), S > O 25. F(s) = s-'(l - e-s + e-2s - e-"),

29.

Y { f ( t )= } ___

31. 2'P(f(t)}

+ e-s' s > o 1 - (1 + s)e-' = s2(1 - e-' ) '

12. F(s) = (1 - e-')/s2 14. f ( t ) = fu2(t)[e"2 - e-2cr-2)] 16. f(t) = u2(t)senh 2(t - 2) 18. f ( t ) = ~ ' ( t+) uz(t) - ~ 3 ( t -) U4(t) f(t) = +e"'2 cos t 23. f(t) = +e"2u2(t/2) S

>0

1 - e-' s>o s(l + e-s)' 1 + e-nr 32. Y { f ( t )=} s>o ( I + s2)(1 -e-*'

30.

1

s>o

+ 2e-35 -

Y { f ( t )= }

1'

,

726

Respuestas los problemas

a

Sección 6.4, página 335 1. y = 1 - cos t +sent - u,/,(t)[l -sen t] 2. y = e"sen t + $u,(t)[l + e-("") cos t + e"'-")sen t] e - (t - 2 n ) cos t - e-('-2")sen t] - tu,,(W 3. y = i [ 1 - uZn(t)](2 sent - sen 2t) 4. y = i(2 sen t - sen 2t) - &(t)(2 sen t +sen 2t) S. y = I - u,(t)[l - e""') - (t - l)e-('") 1 6 , y = e" - e-Zr + u2(t)[i - e-(r-2) + 1,2 2(r-2)1 7. y = cos t + u,(t)(l + cos t ) 8. y = h(t) - uXi2(t)h(t- n/2), h(t) = &-4 + S t + 4e"" cos t - 3e-'/'sen t ) 9. y = t - ul(t)[t - 1 -sen(t - l)] 10. y = h ( t ) + u,(t)h(t - X), h(r) = h r - 4 cos t + sent + 4e"" cos t + sen t] 11. y = COS 2t + u,(t)h(t - X) - u,,(t)h(t - 274 h(t) = (1 - cos 2t)/4 12. y = u,(t)h(t - I ) - u,(t)h(t - 2), h(t) = - 1 + (cos t + cosh t)/2 13. y = h(t) - u,(t)h(t - X), h(t) = (3 - 4 COS t + COS 2t)/12

Sección 6.5, página 339 I . y = e"' cos t

2. y 3. y 4. 5. 6. 8. 9.

+ e"

sent

-

u,(t)e-("")sen t

= +u,(t)sen2t - +u2,(t)sen2t = 2re" u,,(t)[L - e"'-2n) - (t

+ - 2n)e""2R) 1 + 2ul(t)senh(t - 1) y = +fie"!senfit + $e-' cos f i t + +(sent - cos t ) + tJiu,(t)e-(z-n)sen y = cosh t

y = cos wt - w - 'u,,,(t)senwr

y = un,,(t)sen2(t

y 10. y 11. y 12. y

-

n/4)

7. y

=

[I

+ u,(t)]sent

+

= uni2(t)[l - COS(^ - n/2)] u,(t)sen(t - X) - ~ ~ ~ , 2 ( t-) [cos(t l - 3n/2)] = u,,,(t)sen2(r - 4 6 ) = f cos t +sent - f e - ' cos t - +-'sent u,,2(t)e-('~*'2)sen(t -$2)

+

=

+

u,(t)[senh(t

-

1) - sen(t - 1)]/2

Sección 6.6, página 344 3. sent *sen t = &sent - t COS t ) es negativa cuando t = 2n, por ejemplo. 4. F(s) = 2/s2(s2 + 4) S. F(s) = l/(s + l)(? + 1) 6. F(s) = l/s2(s - 1) 7. F(s) = S/(? + 1)2 8. f ( t ) = & ( t - T ) sen ~ T dr 9. f(t) = e""" cos 27 dr

Ji

IO. f(t) =

+s i( t

Ji

-

r)e-("*)sen 2r dr

11. f(t) = Jisen(t - T)g(?) dr

-

4

Respuestas los problemas

727

21. c)

CAPÍTULO 7

+(t) = +(4sen2t - 2sent)

d)

u ( t ) = f(2sent-sen2t)

Sección 7.1, página 353 -2Xl - O.SX2 - 2x1 - 0 . 5 + ~ 3~ sent = .x2, X; = -(1 - 0.25tr2)xl - t - ' ~ 2 4. x; = x2, x; = x,, x; = X& x: = X ] 5. x; = x2, x; = -&)x1 - p(t)x2 + g(t); XI(0) = uo> x 2 0 = Ub 6. y', = LB?. y; = - ( k , + kz)y,lm,+ k,y,,'m, + F(t)/ml, 1.

X; = ~ 2 , X; =

2. X; 3. x;

= x2,

x; =

Y;=Y,,Y,-' - k2y 1lm2 - (k2 + k3)y3/m2+ F2 ([)/m2 7 . a) x1 = cle" + c2ep3',x2 = cle"- c2e-3r b) cl = 512, c2 = -1/2 en la solución de a). c) La gráfica tiende al origen en el primer cuadrantetangente a la recta x 1= x2. 8, x -11 - e2 1 - 2 -je --I, x2 = y e 2 ' - $e-'. La gráfica es asintótica a la recta x1 = 2x2 en el primer cuadrante. -+ec'2 - re2t, x2 = - 5.2.' 1 La gráfica es asintótica a la recta xI = x2 en el tercer cuadrante. x1 = -7e" + 6e-2', x2 = -7e-' + 9e-2'. La gráfica tiende al origen en eltercer cuadrante tangente a la recta x, = x2. x,=3cos2t+4sen2t,x2=-3sen2t+4cos2t. La gráfica es un círculo con centro en el origen, radio 5 , que se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. x ] =-2e-"2 COS 2t + 2e"l2 sen 22, x2 = 2e-IJ2cos 2t + 2e-112 sen 2t. La gráfica es una espiral, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj que tiende al origen. LRCr'+LI'+RI=O

9, x -

10.

11.

12. 13.

Sección 7.2, página 361

(i -%) i_:6 -y: 4) 6

1. a) 6

-6

b)

-12

728

Respuestas a los problemas

(; 6

c)

-12

d)

d)

(

-8 -9 14 12 5 -8

-7 + 2 7 -1 + 2 i+ 3 i - 3 + 5i 7 + 5i 2 + i 7+2i

i' -i) 1 O -3

2

(

3 + 4i 11 + 6 i 6 - 5 i 8 + 7i 4 - 4 i -64- 4 i 3 -2

1- i

3. a)

1;)

b)

b)

(' 3

bj

-1 -1

")

i

3 - 2i 4. a) - 2 - 3 i1 - i- 2 - 3 2i +-i2 + 3 Ii + i

5

8. a) 4i

b) 12 - 8 i

c) 2

+ 2i

o

c), d)

['

4

5

-1 -4

10.

;(

8)

c)(

-1

d) 16

-

729

Respuestas a los problemas

Sección 7.3, página 371 "1

x

-1

x "1

3 2. No hay solución 3. x1 = -c, x2 = c + 1,xg = c, en donde c es arbitraria 4. x1 = c, x2 = -c x3 = -c, en donde c es arbitraria 5. XI = o, x2 = o, x3 = o 6. Linealmente independiente 7. x(l)- ~ ~ ( +2 2 x) ( 3 ) 8, 2x(') - 3 x ( 2 ) + 4x13) =0 1 - 32- - 3 31 ,

10. x ( ~+ ) x(2)

9. Linealmente independiente 12. 3x("(t) - 6 ~ ' , ' ( t )+ ~ ( ~ ) = ( t O) 15. J., = 2,

X")

20. 1, = A,

=

=

-3,

(;),

I , = 4,

'

x(1)

=

Sección 7.4, página 383

(3

- x ~ 4 )=

=0

0

13. Linealmente independiente x(2)=

(:)

730

Respuestas los problemas

a

b) x(1) y sonlinealmenteindependientesencadapunto,exceptoen linealmente independientes sobre todo intervalo. c) Por lo menos uno de los coeficientes debe serdiscontinuo en t = O.

t = O; son

7 . a) W(t) = t(t - 2)e' b) x(1) y x(2)son linealmente independientes en cada punto, excepto ent = O y t = 2; son linealmente independientes sobre todo intervalo. c) Debe haber por lo menos un coeficiente discontinuo en t = O y t = 2.

t2 - 2t

t2 -

2t

Sección 7.5, página 388

17.

X

!

= 2 (')e-' 1

+

(:)e3'

731

Respuestas los problemas

18. x =

i :I i:j -2

e ' + 2 1 e''

21. x

= cl(;)t

+ c2(:>t-l

22. x

= c 1( ; ) t 2

23. x

= c1(:)

+ c2(;)tc2

24. x

= c1(;)tc1

28.

+ c2[(

x = cl(

29. x

= cl(;)e'

30. a)

(L)

:>te-3'

= cl(i)e-2t

-

+ c2(:)e"

)+

31.a) ( L - $ ) 2 - c L > 0 4 CR2

sen 2t -cos 2t + sen 2t 2 cos 2t -2sen2t 2. x = c l e - ' ( + sen 2t cos 2t 5 sent 3. x = c l 2 cos t + sen t -cos t + 2sen t 5 cos t t Ssen COS 2t + sen 2t) 3( -cos t t + sen i t ) cos 2t cos 2t +sen 2t

c2e'(

)

)

tt

5. x = c l e " X

= c1 COS

12. x

= c1

-2 3t

COS

3t

)

+

+ 3sen 3tsen3t

5 cos(ln t ) 2 cos(1n t ) +sen(ln t )

(

+ c2(y)t2

+ c2[(:)te' + (:)e']

Sección 7.6, página 398

6.

+ c2( :>t.

cz(

)

+

-cos t + 2sen t -2sen3t - 3 cos 3t

5sen(ln t ) + 2sen(ln t )

c2( -cos(ln t )

)

Respuestas a los problemas

732 13, b)

(I)

= c,e-r,2(

COS t;)' 4 sen tí2

+ c2e-r,2(

sent12 - 4 cos t/2

c) c , = 2, c2 = --:en la respuesta al inciso b). 14. b)

(b)

= clél(

cos c -cos t - sent

)+

)

d) lím I(t) = r-m

c2e-r(

V(t)= O;

no

r-m

sen

-sent + cos t c) Úsese c1 = 2 y c2 = 3 en la respuesta al inciso b). d) lím I(t) = lím V(t)= O; 1-

m

r-m

Sección 7.7, página 405 1. x = cl(?>er

3. x = cl(')e-r 4.

+ c2[(')teI

+ (:)et]

+ c2[(t)te-r

2. x = cl(;)

+ @)e-t]

x=cl(~)e~l12+c2[(~~te-l~2+(~~)e~l12]

3 x=(?+&)

+ 4t

10. x = cl(;)t

14. b)

(:>

e-3r

+ c2[(:)t

=

Sección 7.8, página 413

In t

+

+ (A)t]

+

+ c2[(;)t

-

(;I]

no

133

Respuestas los problemas 5. @(t) =

cost + 2 sent -5 sent cos t - 2 sent sent

(

6. @(t) = 8. @(t)=

Sección 7.9, página 420

e-' cos 2t - 2e" sen 2t cos sen2t e-' 2t e' + 2te' -4te' e'te' - 2te'

+e-'

Resuuestas a los uroblemas

734

CAP~TULO8

Sección 8.1, página 429 b) 1.105, 1.23205, 1.38578, 1.57179 1.10775, 1.23873, 1.39793, 1.59144 d) 1.1107, 1.24591, 1.41106, 1.61277 1.25, 1.54, 1.878, 2.2736 b) 1.26, 1.5641, 1.92156, 2.34359 1.26551, 1.57746, 1.94586, 2.38287 d) 1.2714, 1.59182, 1.97212, 2.42554 1.1, 1.222, 1.37533, 1.57348 b) 1.10525, 1.23603, 1.40393, 1.62665 1.10822,1.24409,1.42072,1.65884 1.57574, 1.24915, 1.01385, 0.861784 b) 1.5998, 1.29288, 1.07242, 0.930175 1.61124,1.31361,1.10012,0.962552 3.2, 3.40736, 3.62201, 3.84387 b) 3.20186, 3.4111, 3.62765, 3.85144 3.20279,3.41299,3.6305,3.85525 1.1, 1.20958, 1.3281, 1.45523 b) 1.10244, 1.21426, 1.33484, 1.46399 1.10365,1.21656,1.33817,1.46832 2.2, 2.42993, 2.69426, 2.9984 b) 2.2075, 2.44728, 2.72457, 3.04578 2.21153,2.45669,2.74115,3.07193 -0.915853, -0.850123, -0.798827, -0.759552 -0.920498,-0.857538,-0.80803,-0.770038 C) -0.922575, -0.860923,-0.8123,-0.774965 a) 7.53999 b) 7.70957 10. a) 1.25225 b) 1.26872 a) 5.35218 b) 5.35712 12. a) 2.4683 b) 2.4746 a) -0.166134,-0.410872,-0.80466,4.15867 b) -0.174652,-0.434238,-0.889140,-3.09810 1.595, 2.4636 a) $ 3 ( t ) = 1 + t + t 2 + 5 t 3 ; $'(0.4) = 1.56, &(0.4) = 1.60267 b) $3(t) = 1 + $t + 2t2 + 4 t 3 - i t 4 ; $,(0.4) = 2.29867, $3(0.4) = 2.40107 C) $*(t)= 1 + t + t z + i t 3 + it4+ At5 + &t7; 42(0.4) = 1.60832

1. a) c) 2. a) c) 3. a) c) 4. a) c) 5. a) c) 6. a) c) 7. a) c) 8. a) b)

9. 11. 13. 15.

18.

1.1, 1.22, 1.364, 1.5368

Sección 8.2, página 436 1. e,,, e,,

=

[2$(t,)

-

l]h2,

, = ezimhZ, le,l I 0.012,

le4\ 5

0.022

735

Respuestas a los problemas

e,,

3. e , , , 4. e , , ,

, = 2eZLhz, \ell 5 0.024, le,/ 2 0.045 = [t.+ Zb(t,)+ $3(t,)]h2

[19 - 15t,~"/2(F,)]h2/4 5. e,, = { 1 + [ f + 4( t,)] - 1/2}h2/4 6. e , , , = {2 - [r$(C,) + 2T~]exp[-T,+(T,,)] -S;,exp[-2Tn$(Cn)]}h2/2 7. a) 4(t)= 1 + (1/5n)sen5nt b)1.2 1.0, 1.2, c) 1.1,1.0, 1.1, 1.0 d) h < 1/& z 0.08 10. a) y,(h = 0.2) = 1.4, y2(h = 0.1) = 1.44; 4(0.2) z 1.48,exacto1.4918 y & = 0.1) = 1.22; 440.2) r 1.24, exacto 1.246 b) y , @ = 0.2) = 1.2, c) yl(h = 0.2) = 1.5, y2(h = 0.1) = 1.54; 4(0.2) z 1.58, exacto 1.592 d) y,(h = 0.2) = 1.2, y,(h = 0.1) = 1.222; 4(0.2) z 1.244 b) 62.027322 12. a) 56.75310 13. a) 1.05, 1.11, 1.17, 1.24 b) 1.13, 1.27, 1.42, 1.58 c) 1.05, 1.11, 1.17, 1.24 14. a) O b) 60 c) -92.16 15. 0.224 # 0.225

,

=

Sección 8.3, página 444 1. a) 1.11, 1.2442, 1.40792, 1.60767 b) 1.11, 1.2442, 1.40792, 1.60767 2. a) 1.27, 1.5884, 1.96585, 2.41533 b) 1.27, 1.5884, 1.96585, 2.41533 3. a) 1.111, 1.25153, 1.43606, 1.68801 b) 1.11, 1.249, 1.43098, 1.67834 4. a) 1.62458, 1.33787, 1.13271, 1.00083 b) 1.62324, 1.33557, 1.12988, 0.99791 5. a) 3.20368, 3.41478, 3.6332, 3.85888 b) 3.20375, 3.41491, 3.6334, 3.85914 6. a) 1.10479, 1.21878, 1.34144, 1.47267 b) 1.105, 1.2191, 1.34176, 1.47287 7. a) 2.21496, 2.46469, 2.75524, 3.0942 b) 2.215, 2.46477, 2.75537, 3.09436 8. a) -0.925062,-0.864998,-0.81746,-0.780936 b) -0.925207,-0.865145,-0.817529,-0.780879 9. a) 7.80463 b) 7.86623 c) 7.88313 10. a) 1.29269 b) 1.28692 c) 1.28558 11. a) 5.36159 b) 5.36194 c) 5.36203 12. a) 2.48181 b) 2.48114 c) 2.48097 17. e , , , = (38h3/3)exp(4C), le,,+,\I 691.577h3en O 4 t I 1, lell I0.0188964 18. e , , , = (2h3/3)exp(2F,), Je,,,J 4.92604h3en O It I1, le,\ I 0.000814269 19. e,,, = (4h3/3)exp(2F,,), le,,,[ I9.85207h3en O It I1, lel\ 4 0.00162854 21. 1.11, 1.2442, 1.40792, 1.60767 1.27, 22. 1.5884, 1.96585, 2.41534 23. 1.1105, 1.25026, 1.43352, 1.68316 24. 1.62387, 1.33666, 1.13122, 0.999295 27. y.+ 1 = y. + hy; + (h2/2)y1+ (h3/6)y:'28. 4(1) E 64.586856,exacto64.897803 Y': = At + 2.J + &,f2+ Lf, + f:f e, + = @"( tn)h4/24, t, < t, < t, + h

,

Sección 8.4, página 450 1. a) 1.1107, 1.24591, 1.41105, 1.61276 2. a) 1.2714, 1.59182, 1.97211, 2.42552 3. a) 1.11146, 1.25302, 1.43967, 1.6961 4. a) 1.62231, 1.33362, 1.12686, 0.993839 5. a) 3.20373, 3.41488, 3.63335, 3.85908 6. a) 1.10484, 1.21884, 1.34147, 1.47262 7. a) 2.21579. 2.46667, 2.75882, 3.1 b)

b) 1.1107, 1.24591, 1.41106, 1.61277 b) 1.2714, 1.59182, 1.97212, 2.42554 b) 1.11146, 1.25302, 1.43967, 1.6961 b) 1.6223, 1.33362, 1.12685, 0.993826 b) 3.20373, 3.41488, 3.63335, 3.85908 b) 1.10484, 1.21884, 1.34147, 1.47262

2.21579, 2.46667, 2.75882, 3.1

1

Respuestas a los problemas

736 8. a) -0.924517,-0.864125,-0.816377,-0.779706 b) -0.924517,-0.864125,-0.816377,-0.779706 9. a) 7.88679 b) 7.88889 c) 7.88904

10. a) 1.28539

b) 1.28516

c) 1.28515

a) 2.48091

b) 2.48091

c) 2.48091

11. a) 5.36206 b) 5.36206 c) 5.36206 12. 16. b) 4( I ) 64.885876, exacto 64.897803

Sección 8.5, página 454 1. b)

&(t) - +l(t)

= 0.001e' + x cuando t -+ m

2. b) cPl(t) = ln[e'/(2 - e')]; 3. a) y = c

&(t) =

In[l/(l

-

t)]

4. a)

y = t2

Sección 8.6, página 460 1. 1.61276,1.85913 2. 2.42553, 2.96827 3. 1.69613, 2.06701 4.0.993852,0.925764 5. 3.85908, 1.47262, 4.09198 1.61262 6. 7. 3.1,3.50001 8. -0.779693,-0.753135 9. a) 7.88906 b) 7.88907 10. a) 1.2852 b) 1.28515 I l . a) 5.36206 b) 5.36206 12. a) 2.4809 b) 2.4809 13. Sugerencia: @ ( t ) = yl, t (y&-yl,-,)(t - t , ) / h

15. a) 1.61276

b) 2.42553

c) 1.69604

d) 0.99336

Sección 8.7, página 467 1. a) 1.26, 0.76; 1.7714, 1.4824; 2.58991, 2.3703; 3.82374, 3.60413; 5.64246, 5.38885 b) 1.32493, 0.758933; 1.93679, 1.57919; 2.93414, 2.66099; 4.48318, 4.22639; 6.84236,6.56452 c) 1.32489, 0.759516; 1.9369, 1.57999; 2.93459, 2.66201; 4.48422, 4.22784; 6.8444,6.56684 2. a) 1.451, 1.232; 2.16133, 1.65988; 3.29292, 2.55559; 5.16361, 4.7916; 8.54951, 12.0464 b) 1.51844, 1.28089; 2.37684, 1.87711; 3.85039, 3.44859; 6.6956, 9.50309; 15.0987,64.074 c) 1.51855, 1.2809; 2.3773, 1.87729; 3.85247, 3.45126; 6.71282, 9.56846; 15.6384, 70.3792 3. a) 0.582, 1.18; 0.117969, 1.27344; -0.336912, 1.27382; -0.730007, 1.18572; - 1.02134,1.02371 b) 0.568451, 1.15775; 0.109776, 1.22556; -0.32208, 1.20347; -0.681296, 1.10162; -0.937852,0.937852 C) 0.56845, 1.15775; 0,109773, 1.22557; -0.322081, 1.20347; -0.681291, 1.10161; -0.937841,0.93784 4. a) -0.198, 0.618; -0.378796, 0.28329; -0.51932, -0.0321025; -0.594324, -0.326801; -0.588278, -0.57545 b) -0.196904,0.630936;-0.372643,0.298888;-0.501302, -0.01 11429; -0.561270, -0.288943; -0.547053, -0.508303 C) -0.196935, 0.630939; -0.372687, 0.298866; -0.501345, -0.0112184; -0.561292, -0.28907; -0,547031, -0.508427 5. a) 2.96225, 1.34538; 2.34119, 1.67121; 1.90236, 1.97158; 1.56602, 2.23895; 1.29768,2.46732

Respuestas a los problemas

737 1.3555,

b) 3.06339, 1.34858; 2.44497, 1.68638; 1.9911, 2.00036; 1.63818, 2.27981; 2.5175 c) 3.06314, 1.34899; 2.44465, 1.68699; 1.99075, 2.00107; 1.63781, 2.28057; 1.35514,2.51827 6. a) 1.42386, 2.18957; 1.82234, 2.36791; 2.21728, 2.53329; 2.61118, 2.68763; 2.9955, 2.83354 b) 1.41513, 2.18699; 1.81208, 2.36233; 2.20635, 2.5258; 2.59826, 2.6794; 2.97806, 2.82487 c) 1.41513, 2.18699; 1.81209, 2.36233; 2.20635, 2.52581; 2.59826, 2.67941.; 2.97806.2.82488

7. Para h = 0.05 y 0.025: x = 10.227, y = -4.9294; estos resultados concuerdan con la solución exacta hastacinco dígitos.

1.543, 8. 0.0707503; 1.14743,

CAP~TULO9

- 1.3885 1.99521, 9.

- 0.662442

Sección 9.1, página 473 a) rl = -1, 0 t en segundos 7. $uxy = u , , o < .Y < 2, t > o ' 2 = 0.000171 m'jsec L+, 0) = 30 + 50.u - 20s'. 0 x 5 2 Y enmetros ~ ( 0f) . = 30, ~ ( 2t ), = 50, t > O t en segundos 4. I,(.Y, f ) = e-400"l'sen 2n.x - 2L7-'500n2r sen 5rr.u

Respuestas a los problemas

74 1

5. u(x, t ) = 2e-z2r’16sen(nx/2) -

sen nx

+ 4e-*”

sen 2nx

6. (longitud)-* l. xX” - ).X = O, T‘ + i T = O 8. X” - i x X = O, T’ + i t T = O 9. X ” - I(X’ + X ) = O, T’ + I T = O 10.[p(x)X’]’ + ir(x)X = O, T” + I T = O 11. No separables

12. 15. 16. 17.

+ (x 2)X = o, Y” - AY = o a) aw,, - bw, (c - b6)w = O b) 6 = c/b si h # O X ” + p2X = O, Y” (2’ - p’)Y = O, T‘ m2I2T= O r2R” rR‘ (12r2- p2)R = O, O” p 2 0 = O, T’ a’i’T

+

X“

+

+

+

+

+

+

+

=O

Sección 10.2, página 572

m+O

7. T = 2 7 t l r n ,

3. No periódica 6. T = 2 ~ 1 5 9. T = 2

2. T = l 5. No periódica 8. No periódica

1. T = 2 4. T = l 10. T = 4

12.

puede no ser periódica; por ejemplo, seaf(t) = 1 + cos t. 21

14. f(x) = n

21

16. f(x) = -

n

1 (-1y n m

~

ffi

sen

nnx

1 2 sen [(2n - I)nx/l] 15. f(x) = - - 2 2n - 1 2 = (-l)n+f 17. f(x) = ~- sen nnx

1

1 nnx -sen1

R.=]

1 1 sen2nnx 18. f(x) = - - - 1 2 n.=l n

4 19. f(x) = -

~

+ 1 4 21. f(x) = - + 2 n’

OC

cos(2n - 1)nx (2n - 1)’ 21 cos[(2n - l)nx/1]

cos -

+

(

$)2

n

+ (-

sen ?]sen

1

4

1. f ( x ) = -

- 1)nx 1 sen(2n 2n- 1

1

I)”+ I lsen(nnx/l) n71

nnx

2 4 . f ( x ) = 2 1 - x e n I < x < 2 1 ;f ( x ) =- 2 l - x e n - 3 1 < x < 25. f(x) = x - 1 en 1 < x < 2; f(x) = x - 8 en 8 < x < 9 26. f ( x ) = - l - x e n - l < x < O

Sección 10.3, página 582

m sen[(2n - t)nx/2] 1

“=I

(-l)”+’sennx

n

-21

2n - 1

742

Respuestas a los problemas n

2

m

cos(2n - l)x

3. f(x) =

+

5. f(x) =

41 cos[(2n l)nx/l] + 2 n2Z1 (2n - 1)Z

+ -- sen nx

cos 2x

4. f(x)

-1 2

i

m

-

=S

+ n2 n = lsennns cos nnx n -

~

y

" "

-

6. f(x) =

4 m (-ly+l 7 cos nnx

+ n n1 =l

2 3

~

~

n2

+2 f

7. f(x) =!

n.=1 2n- 1

2

1

cos(2n - l)x

2( - 1)"

a, = - ,

U"

3

=-

n2n2 ' bn

=

{

- l/nn,

n par

l/nn - 4/n3n3, n impar

9. y = (w sennt - n senwt)/w(w' - n'), w z # n z y = (sennt - nt cos nt)/2nz, w' = nz m

10. y =

n= 1

b,(w sen nt

-

n senwt)/w(w' - n'),

m

b,(m sennt - n senmt)/m(m' - n')

y= "= 1 "#m

'[

4 m

11. y = - 12. y

n

I

= cos

ut

o '

(2n - 1)' 2n - 1

w #

1,2, 3, . . .

+ b,(senmt

- mt cos mt)/2mz, w = m

sen(2n - 1)t - - senwt

4 m cos(2n - 1)nt - cos wt 1 + __ (1 - cos w t ) + 7 1 202 (2n - 1)*[w2 - (2n I)'] 7~

-

Sección 10.4, página 588 1. Impar S. Par 9. Par 13. O 17. 0 20. f(x) =

1 4

~

4

2. Impar 6. Par 10. Par 14. f 18. o 1 - cos(nn/2)

+ x42 , =m1 -

f(x) = -

n'

3. 7. 11. 15.

cos(nnx/2)

sen(nnx/2) c (nn/2)-sen(nn/2) n2 m

n2 " = l

1 21. f(x) = 2

-1)n-I (2n + n2 n1Z l(___ cos 2n- 1 m

-

nrc

nn

-

2 2

1)nx

Ninguna Ninguna Ninguna 2.7~(-1)" l/n +

4. Impar 8. Par 12. Ninguna 16. O

743

Respuestas los problemas

2nn nn

1 1 sen2nnx 26. f(x) = - - 1 2 n"=l n 1 41 cos[(2n - 1)nx/1] 27. f(x) = - + 2 n2 (2n 21 sen(nnx//) 28. f(x) = ~

~

~

n

29. f ( x ) = - + 4 30. f(x) = 2

n

n=l

nn=l

1( -

36.

2.895

1)" sennx

~-

n= 1

n

35.

b) 3.061

40. Desarrollar f(x) antisimétricamente hacia (I, 211; es decir, de modo que f(21- x) = -f(x) para O IX < 1. Luego, extender esta función como una función par hacia (-21, O).

Sección 10.5, página 597 5

c,e-n2n222"12 sen(nnx/l); a' =

1. u(x, t ) =

1.14 cm2/s,

1 = 100 cm

n= 1

a) c, c) c,

= =

lOO(1 - cos nn)/nn b) c, = 400sen(nn/2)/n2n2 100[cos(nn/4) - cos(3nn/4)]/nn

a) u(10,30)

2

b) u(10, 30) z 67.2"Cc)u(10,30)

359°C

a) t 138.6 S 3. t 1 400(ax)-2 ln(400/25n) 4. a) 7 z 0.49108 b) z 1 0.49108 c) 7

b) t 1 7 6 . 7 S 10.4910812/cx2

b) 4 5 , 30) 1 12.6"C; u(5, 60) 1 13.7'C c) 4 5 , 30) 1 14.1'C;12%;tercertérmino z -0.005"C d) t 2 160 S 6. a) f(x) = 2x, O < X 5 50; f(x) = 200 - 2x, 50 < x 5 100

9.

D(X) =

o

v(x) 10.

=

7-

1 97.4"C

c)

t

550 S

744

a

"

13. r ( u )

=

T (I

Respuestas los problemas

+ x)/(1 + I)

Sección 10.6, página 608

9.

4(x + at) representa una onda que se desplaza enla dirección .Y negativa con velociJd > O.

a

10. a) 248 pieis b)

49.6 m radis c) Las frecuencias aumentan; los modos permanecen sin

cambio.

1 cn cos Lintsen(nnx/I). fit = + x2, c, = -I J: f ( x ) s e n ( n n x / Id) x 17. rZR" + rR' + (j.'r' - p 2 ) R= O, O" + p * @ = O, 7"' + i.'a'T = O 2

x

1 I. u(x, t ) =

o= 1

Sección 10.7, página 620 1. a) u(x. y ) =

nny 1 cn sen nnx - - senh . m

"=I

a

U

c,

2Ia =

senh(nnb/a)

j":

nnx

y(s) sen-

a

dx

Respuestas a los problemas

74s

3. u(x, y ) = u(x, y ) t w(x, y ) , en donde u@, y) se halló en el publema 2 y w(x, y) se expresa por la ecuación (12) del texto. e " S . u(r, O) = 2 +

2

U"

c, =

U" ~

jo2"f(O) cos nO dB, k ,

6. u(r, O ) =

+ k,sen no);

r-"(c,, cos nO

"=I

f c,r"sen nO,

=

~

2 xa"

c, = --

n= I

joz' ,f(O) sen no dl)

:l f(0)

sen nO dO

zí

7. u(r, O ) =

c,r""'"sen(nnO/r), c,

8. u(x, y ) =

f c,e"'"y'"sen(nnx/a),

c, =

2 ~

"= 1

ji,/(x)sen(nnx/a)dx

+ 1 e, cosh(nnx/b) cos(nny/b), 1:

10. b) u(x, y ) = co

e,

=

"= 1

+ 1 r"(c, cos nO + k, sen no),

2/nn

senh(nnujb)

1:

11. u(r, O ) = eo

c, = ___ nna"

n= 1

k, = ___

nnun

-

'

g(0) sen nO

dO

so"

= (2/a)u-""'" f(O)sen(nnO/r)

"= 1

j"b ,f(4') cos(nnylh) dy

J:" g ( ~cos ) no do,

dO; La condición necesaria es

~ ( 0 do ) = O.

C T ,

12. u(x,y ) = " = I c, cosh(nnx/b)sen(nny/b), c,

=

~~

2/h

cosh(nnu/b)

j,.f(y)sen(nrcy/b)dy

e

13. u(x, y ) = c,

CAP~TULO11

=

1c,senh[(2n

-

"= 1

l)nx/26] sen[(2n - l)ny/2b],

2/b ._____ j o b f(y)sen[(2n senh[(2n - l)na/2b]

-

l)ny/2b] riy

Sección 11.1, página 639 1. Homogéneo 3. No homogéneo 5. No homogéneo 8. 10.

2. No homogéneo 4. Homogéneo 6. Homogéneo

/!(.u) = e - x 2 /((-u)= e - x

12. u 2 X "

+ ( i - k ) X = O,

9. p(x) = l/x

T"

+ cT' + ;.T=

0

11. p(x) = (1 - x2)-'/2

.

746

a

Respuestas los problemas

i n = n2nz; 4"(x) = cos nnx; n = 1,2, 3, 1)n/'2I2; 4,(x)=sen[(2n - I)nx/2]; n = 1,2, 3. f$o(x)= 1 - x

3. io = O; 40(x) = 1;

4. A,,

=

-[(2n

5. io = o;

6.

7. 8.

9. 10.

11. 12. 13. 16.

-

--,u:

en donde laspn son las raíces Para n = 1,2,3, . . . , $,,(x) = sen pnx- p,, cos p,,x y A,, = dep=tanp. Al = -20.19; A,, = -(2n t 1 *n2/4para n grande $,,(x) = sen f i n . en d o n d e d , , son las raíces d e f i = -tan fiR; A , = 0.6204; A,, = (2n - 1)*/4 para n grande $,,(x) = cos'h,,x en donde.\r A,, son las raíces d e 4 = cot*; Al = 0.7402; A,, E (n - 1 ) 2 ~ para 2 n grande $n(x) = sen &,,x + cos&,,x en donde dx,, son las raíces de ( A - 1)sen 4-2 &cos 4 = O; A, = 1.7071; A,, = (n - 1)2n2para n grande a) s(x) = ex b) A,, = n2r', $,,(x) = ex sen nrrx; n = 1 , 2 , 3 , . . . Eigenvalorespositivos A = A,,, endonde son lasraícesde 4 = tan 3 Al; las eigenfunciones correspondientes son $,,(x) = e-& sen 3d n x , si 1= i, lo = O es un eigenvalor, $,,(x) = xe-2r es una eigenfunción; si 1 # i, A = O no es eigenvalor. Si 1 5 $ no hay eigenvalores negativos; si 1 > 1 existe un eigenvalor negativo A = -p', en dondep e s una raíz de p = tanh 3pl la eigenfunción correspondiente es $-l(x) = e-& senh 3 p . No hay eigenvalores reales El Único eigenvalor es A = O; la eigenfunción es $(x) = x -1. a)2senfi-ficos~d=O b)2senhfi-ficosh-\lj;;-=O, p=-d a) A,, = pt, en donde p,, es una raíz de sen pul senh p1 = O, por tanto, A,, = ( n ~ l l )Al ~ ;= 97.409114,$,(x) = sen(nrx/l) b) A,, = p t , en donde pn es una raíz de sen pl cosh pl- cos pl senh pul = O; 2, 237.72/14,

a,,

a,,

senp,xsenh pnl - senp,lsenh pnx . " 4n(x)= senh pnl c) A,, = p t , en donde ,u, es una raíz de 1 t cosh pl cos p1= O; Al

= 12.362/14,

[(senp,x -senh p,x)(cos pnl + cosh pnl)+ (senp,I +senh pc,l)(cosh pnx - cos &,.Y)] _ ~ - _ _ _ _ $"(X) = cos p n l + cosh p,,l 17. c) $,,(x) = sen a n x , en donde, A,, satisfacecos A, = 1.1597/12, 4 = 13.27611'

A,,[ -

sen &,,I = o;

Sección 11.3, página 652 1. 4"(x) = JZsen(n - 4)nx; n = 1,2, . . . 3. $()(x) = 1, 4"(X) =

8. a, =

3cosnnx;

n=

2. 4.(x) I,2, . . .

2 3 (1 - cos[(2n - l)n/4]); n (2n - l)n

~

= 1,

2.

=

,,ti cos(n - +)nx;

rz = I,2,

.

747

Respuestas los problemas

A,- h,sen f i , z = O.

En los problemas 10 a 13, (Y, = (1 t sen2 h,)1/2 y cos

14. No autoadjunto 15. Autoadjunto 16. No autoadjunto 17. Autoadjunto 18. Autoadjunto 21. si a2 = 0 0 b, = O, entonces está faltando el término correspondiente en la frontera. 26. a) i., = n2/12; $ J ~ ( =sen(nx//) X) b) 2, S (4.4934)2/12; $,(x) =sen f i x - f i x c) i., = (2n)'/r2; $,(x) = I - cos(2rrx/l) 27. i , = n2/4/'; $,(X) = 1 - COS(TCX/~/)

cos

vF/

Sección 11.4, página 665

2. y = 2

cos (2

4. y = 2

n= 1

fi

-

~ " ( 2" 2)(1

1) cos

Ax

+ sen2 a)

5. y = 8

z ( - I)"+ 1 , [ ( n - +)'x'

n=

sen(n - i)nx - 2](n - ; )'x'

nrx 1 sen(nn/2)sen (nZn2- 2)n2nz m

6-9. Para cada problema la solución es

en donde &,(x) se da en los problemas 1 , 2 , 3 y 4, respectivamente, de la sección 11.3 y A,, es el eigenvalor correspondiente. En el problema 8 la suma empieza en n = O. 1 10. a = --, 2

1 y =-cos

2n2

RX

+

11. No hay solución 13. a = O, y = c sen nx - ( x / 2 a )sen nx 17. U(X) = U + ( b - U ) X

12. aarbitraria, es 18.

U(X)

= 1 - $X

y = c cos 7rx t d a 2

748

a

-fi f 2 5 " n=2

(2n - I)2?r2

m sen(nn/2) 1 --"(I

21. u(x,t ) = 8

-

n4n4

,,=

(1 -

)sen(n - +)nx,

1/2)2n2r

e-"iR2f)sennnx

cn(e-' - e - ' " -

22. u(x, t) = v/z

Respuestas los problemas

1/2)2R'l

)sen(n - 4)zx

( n - +)*n2- 1 2

2. u(r, t ) =

1 k, = I,a

"= 1

S' rJo(Inr)g(r)d r / f i rJi(1,r) dr 0

3. Superponga la solución del problema 2 yla solución [ecuación (21)] del ejemplo del texto.

7. b) u(r, 6) = $coJo(kr) +

b,

=

0

S'"

~

=

m= 1

J,(kr)(b, sen m6

S'" f(6) senme dB;

1 ~

xJ,(kc) 1 cm = nJm(kc)

8. c,

m

0

+ cm cos mO),

m = 1, 2, . . .

f(6) cos m6 dB; m = O, 1, 2, . . .

fol rf(r)Jo(inr) d r / [ i rJ;(I,,r) dr

X

10. u(p, S) = 1 c,p"P,,(s),en donde c,, = I

1

, f(arccos r)P,l(s)dr/J:l P,, es el n-ésimo polinomio de Legendre y s = cos 4.

P:(s) ds;

,,=O

Sección 11.7, página 695 2. rncs = 1; nohaymáximo 5. mcs = máximo = 1

3. rncs = 1; nohaymáximo 6. no existe rncs ni máximo

a(

4. rncs = 1; nohay máximo

a(

+

9. a) fo(x) = 1 b) fl(x) = 1 - 2x) c) fz(x) = -1 6x d) go(X) = 1, gl(X) = 2~ - 1, gZ(X) = 6 ~ ' 6~ 1 10. P,(x) = 1, P ~ ( = x )X, P ~ ( x= ) (3~' 1)/2, P3(x) = (5x3 - 3 ~ ) / 2

+

-

6x2)

Índice Abel, fórmula de,156, 175, 176,223, 238

para sistemasde ecuaciones, 386 Abel, Niels Henrik, 156,229 Aceleración de la convergencia, 588 Adams-Bashforth, fórmula predictora de, 461 Adams, John Couch, 460 Adams-Moulton, fórmula correctora de, 462,467 Adams-Moulton, método predictorcorrector de, 462,465,470 Airy, ecuación de, 153.253-257,262, 271,306,376 A i r y , George Biddell, 253

Amortiguamiento crítico, 204 Amortiguamiento, fuerzade, 198,491 Amplitud crítica, 79 Amplitud, del movimiento armónico simple, 201 Amplitud, modulación en, 211 Aniquiladores, método de los, 235 Aprovechamiento de un recurso renovable, 83 Aproximaciones sucesivas, método de, 113,419 Atractor extraño, 557 Barra elástica, vibraciones de una, 590 Bendixson, Ivar Otto, 545 Bernoulli, Daniel,28,85,564,608,612 Bernoulli, ecuación de,47 Bernoulli, Jakob, 28,47,94,351 Bernoulli, Johann, 28, 94 Bessel, desarrollo en serie 686,691 de, Bessel, desigualdad de,702 Bessel, ecuación de orden: cero, 285,295-299,305,326,629, 682,686,691

K,687-688 nu, 136,153,248,304,583,682,688 tres medios, 304 un medio, 299-301,304 uno, 285,302-304, 306 Bessel, Friedrich Wilhelm,136 Bessel, funciones de,28 aproximación asintótica para 299 la, ceros de la, 306,683,691 J,(x), 285,296, 325,683,686,691 J,/x), 285,302 301 J.I&)~301 ortogonalidad de las,306,686,688 transformada de Laplace,325 Y,(x),298 Y@, 304 Bifurcación, 86, 130,495 554 Braquistócrona, 28, 94

J,,@>

Cambio de estabilidad, 129 Cambio de variable independiente, 167,306

para la ecuación de Euler,167,279 Campo direccional, 22-23 Campo gravitacional, 88 Capacidad cinergética del ambiente, 75 Cardano, Girolamo, 429 Carga rampa,337 Cayley, Arthur,361 Centro, 481,495, 504 Ciclo límite, 544 Coeficientes indeterminados,179-187 para sistemas de ecuaciones, 232-234 Colocación, método de la,696 Condición de normalización,656 Condiciones en la frontera: dependientes del tiempo,674 homogéneas, 641

no homogéneas,599-601,641,674 para la cuerda elástica, 609,616 para la ecuación de Laplace,621 para la ecuación del calor,632 periódicas, 667,699 separadas, 653 Condiciones iniciales,35,121, 136, 220,357

propagación de discontinuidades para la ecuación de onda, 614 suavizamiento de las discontinuidades parala ecuación del calor,599 Condiciones periódicas enla frontera, 661, 699 Condiciones separadas enla frontera, 653

Conducción del calor, ecuación de, 18,564,565,632

barra con extremos aislados, 601-603 condiciones en la frontera,565, 599,601,605,632

condiciones no homogéneas en la frontera, 599-601 deducción de la, 629-634 en coordenadas polares,571 solución de estado estable, 633 solución del problema fundamental, 565-571, 597-599

solución transitoria, 600-601 soluciones fundamentales de la, 568,602

suavizamiento de discontinuidades en lascondiciones iniciales, 599

término no homogéneo de la fuente, 668-669 Conjunto completo de funciones, 699

1-752 Conjunto fundamental de soluciones, 149,221,385 Conjunto ortonormal, 656,696 Constante de separación, 566, 601, 611,623,641,691 Construcción gráfica de curvas integrales, 58 Convergencia en la media,699 Convolución, integral de, 196,344-347 transformada de Laplace de la 344-347 Crecimiento exponencial, 71 Crecimiento logístico, 72-76,80-81 Cuasifrecuencia, 204 Cuasiperiodo, 204 Cuenca de atracción, 503,517,536-538 Cuerda elástica: de longitud infinita, 618-619 deducción de la ecuación de onda, 634-638 frecuencias naturalesde la, 612 justificación de la solución, 612614,619-620 libre en un extremo, 617 longitud de onda dela, 612 modos naturales dela, 612 problema general, 614-615 problemas con valores en la frontera de la, 608, 620 propagación de discontinuidades en las condiciones iniciales, 614 Curvas integrales, 35

indice

Difusividad térmica, 561, 632 definición de las, 137, 351 Dirac, función delta de, 341 sistemas de, 388-418 transformada de Laplace dela, 343 teoría general de la, 144-159,220Dirac, PaulA. M.,341 221, 383-387 Dirichlet, Peter Gustav Lejeune, 621 Ecuaciones diferenciales Dirichlet, problema de, 621 homogéneas de primer orden, 27, para un círculo, 624-627, 627-628 103-105 para un rectángulo, 622-627,627-628 Ecuaciones diferenciales lineales no para un sector, 628 homogéneas, 137, 177-197,222, para un semicírculo, 628 232-240 pala una banda seminfinita, 628 Ecuaciones diferenciales ordinarias Discontinuidad por salto, 311,583,614 de primer orden: aplicaciones de las, 60-95 Ecuación autoadjunta, 153 campo direccional de las, 22-23 Ecuación característica, 139,225,319 construcción gráfica de las curvas raíces complejas de la, 160, 226 integrales, 58 raíces realese iguales de la, 168,227 de Bernoulli, 47 raíces reales y diferentes de la, de Riccati, 108 139,225 demostración de los, 111-118 Ecuación diferencial adjunta, 153 exactas, 95-99 Ecuación diferencial ordinaria, 18 factor de integración paralas, 33, Ecuación diferencial parcial, 18 41, 99-100, 106 definición de 18. Véase rambién homogéneas, 28, 103-105 Conducción del calor, intervalo de definición de las, 41, ecuación de; Laplace, 56-57 ecuación de; Onda, 18, 609, lineales, 27, 31-47 634 no lineales, 56-59 Ecuación en diferencias, 121-132, separables, 47-52 463-464 sistemas de, véase Sistemas, de primer orden, 121, 132 solución en serie de, 263-264 de segundo orden, 463-464 solución general de las,35,47,57 iteración de, 121 solución numérica de las, véase lineal, 122-124, 463-464 Métodos numéricos, Chebyshev, ecuación de,264,285, logística, 124-132 soluciones implícitas de las,58 643,688 no lineal, 124-132 teoremas de existencia y unicidad, 54 Chebyshev, Pafnuty L., 264 solución de, 121 Ecuación diferencial ordinaria: Chebyshev, polinomios de, 264,689 solución de equilibrio de, 122 definición de, 18 Ecuación hipergeométrica, 291 Ecuaciones diferenciales ordinarias D’Alembert, Jean, 168,564, 608, 618 Ecuación indicial, 282, 287,288,292 lineales, Decaimiento radiactivo, 61-62 Ecuación integral, 112 asintóticamente estable, 231 Decremento logarítmico, 209 de Volterra, 350 autoadjunta, 153 Dependencia numérica, 457 Ecuación logística, 72, 124, 481 cambio de variable independiente, Ecuaciones algebraicas homogéneas, Desarrollo por fracciones parciales, 167,279,306 318,322,323,326 371 con coeficientes indeterminados, Determinación de fechas por Ecuaciones algebraicas no 179-187, 232-234 homogéneas, 371 radiocarbono, 67 conjunto fundamental de Diagonalización, de matrices, 380-381 Ecuaciones del depredador-presa, 18, soluciones, 149, 221, 385 354-355,521-530 de sistemas homogéneos, 416-417 de primer orden, de sistemas no homogéneos, 420-422 Ecuaciones diferenciales homogéneas Diagrama escalonado, 126 con coeficientes constantes, 29, definición de, 21, 135 Difusión, ecuación de,véase Conduc135-142, 160-165, 168-175, ecuación adjunta, 153 225-229 ción del calor, ecuación de ecuación característica,139,225,319

ecuación de Euler, 167,177,271-279 ecuación homogénea con coeficientes constantes, 28, 135-142, 161-165, 168-175, 225-229 ecuación no homogénea 137, 177-196, 222. exactas, 153 factor de integración, 33,41, 153 punto ordinario,248,260,264,271 punto singular, 249, 260,266-270 raíces complejas de la, 159,226 raíces reales e iguales la, de168,227 raíces reales y diferentes de la, 139,225 reducción de orden, 173-175,222 sistemas de,véuse Sistemas, solución complementaria, 179 solución en seriede, véase Solución en serie, solución general de, 29,35, 45,57, 140, 149, 163, 171, 178, 221,385 solución particular, 140,222 teoremas de existenciay unicidad, 40,145,220,261,288,292 variación de parámetros, 39, 189-194,236-239 Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: de primer orden,27,31-45 métodos de resolución, 17-22,65-81 definición de, 21, 136 sistemas autónomos, 486-561 soluciones periódicas, 495, 521-529,541-551 y " =f(x, y ' ) , 143 Y ' =f(y,y'), 143 teoremas de existencia y unicidad, 54,112,357 Ecuaciones exactas, 95-99, 153 condición necesaria y suficiente para la existencia de la solución, 28, 97 para las ecuaciones de segundo orden, 153 Ecuaciones rígidas, 458 Ecuaciones separables, 27,47-52 Eigenfunciones, 568, 645 normalizadas, 656

asintóticamente estable ortogonalidad de las, 655,686 globlalmente, 503 series de, 658,666,686,691,699 cambio de, 129 Eigenvalores de problemas lineales criterio de Hurwitz,231 homogéneos con valores en de sistemas casi lineales, 499-500 la frontera, 568,645 de sistemas lineales, 483, 495-497 cuándo son positivos, 662 de un método numérico, 463-465 existencia de, 646 problema de Sturm-Liouville, de un punto crítico, 482,485, existencia, 654 489-490,534-535 reales, 654 estable, 483,485-486,4g9,492,534 simples, 377 inestable, Eigenvalores de una matriz, 376-381 lineal, 231 multiplicidad de los, 377 neutra, 545 realidad de los, 380 orbital, 544 simples, 656 región de estabilidad asintótica, Eigenvalores simples, 377 503,536-538 Eigenvectores de una matriz, 376-381 semiestable, 82,545 generalizados, 408 teoremas de Liapunov,534 independencia lineal de los, 377,380 Estabilidad asintótica, véuse normalizados, 377 Estabilidad, ortogonalidad de los, 380 Estabilidad asintótica global,503 Epidemias, 84-86 Estabilidad numérica, 463-465 Error: estabilidad lineal, 465 cuadrático medio, estabilidad fuerte, 465 efecto del tamaño del paso, 432, estabilidad débil, 467 439,455 Estabilidad orbital, 544 estimación por el método de Euler, ecuación de, 167-168, 177, extrapolación de 271-278, 396,406, 411 Richardson, 442,450,454 cambio de variable independiente, local por redondeo, 437 167,279 local por truncamiento, 437 Euler-Fourier, fórmulas de,576,581 para el método de Euler, 438-441 Euler, fórmula de, paraexp(iw), 161 para el método de los tres términos Euler, fórmula modificada de, 449 de la serie de Taylor, 448 Euler, Leonhard, 28, 108,430,564, para el método de Milne,461,466 608,612 para el método de Runge-Kutta, 451 Euler-Mascheroni, constante de, 298 para el método modificado de Euler, método de,429-434,468 Euler, 449 convergencia del, 436 para el método mejorado de Euler, error local por truncamiento, 438-441 446,448 error por truncamiento, 438 para la fórmula correcta de Euler, método mejorado de, 444-448 Adams-Moulton, 461 Existencia y unicidad, teoremas de: para la fórmula predictora de 40,54 Adams-Bashfort, 461 demostración de!, para y' = f(x, y), por truncamiento, 437-438,455 111-118 por redondeo, 437,441 para ecuacimes de primer orden, Error cuadrático medio,698 5$, 111 Especies competidoras, 508-519 para ecuaciones lineales de Espectro continuo, 686 Estabilidad: n-ésimo orden, 219 asintótica, 76, 125, 231,482,485, para ecuaciones lineales de primer 490,492,534 orden, 40

Índice

1-754

para ecuaciones linealesde segundo orden, 145 para ¡a solucibn en serie de ecuaciones lineales de segundo orden,260,288,292 para sistemas de ecuaciones de primer orden, 357 Exponencialescomplejas, 161-162,227 Exponentes dela singularidad, 282,287 Extensión periódica impar,593 Extensión periódica par,593 Factor de integración, 28, 33,41, 99-100, 106, 153 Fase del movimiento armdnico simple, 201 Feigcnbaum, número de, 134 Ferrari, Ludovico, 229 Fourier Joseph, 563, 573 Fourier, series de, 564,573-597 accleración de la convergencia, 588 convergencia de las, 582-583,588 convergencia de las sumas parciales, 585 ecuación de Parseval,588,595,620 elección de la serie, 593-594 fenómeno de Gibbs, 585,594 fórmulas de Euler-Fourier, 576 integración de las, 575 ortogonalidad de los senos y cosenos. 574:575 para la onda cuadrada, 584-586,595 para la onda diente de sierra. 592-593, 595 para la onda triangular, 577-578,595 periodicidad de los senos y cosenos, 513-574 serie de cosenos, 590, 658 serie de senos, 590-591, 658 tipos especializados, 595-596 Frecuencia natural, 201, 645 de la cuerda vibrante, 612 del movimiento armcinico simple, 20 1 Fredholm, Erik Ivar, 668 Fredholm, teorema alternativo de, 668 Frobenius, Ferdinand Georg,281,361 Frobenius, método de, 281 Fuchs, Immanuel Lazarus, 261 Función analítica, 244, 260 Función cuadráticamente integrable, 699

Función Función Función Función

de error,44 definida negativa,533 definida positiva,533 discontinua de fuerza, 46, 335-339 Función escalón unitario, 327 transformada de Laplace dela, 329 Función gamma, 315 Función generalizada, 341 Función impar, 589 Función semidefinida negativa, 533 Función semidefinida positiva,533 Funciones escalón, 327 Funciones impulso, 339-344 Funciones matriciales, 367 Funciones pares, 589 Funciones periódicas, 573 combinación lineal de, 574 coseno y seno, 574 derivada de, 580 integral de, 579 periodo fundamental, 574 producto de, 574 transformada de Laplace, 334 Funciones propias, véase Eigenfunciones Funciones seccionalmente continuas, 311,582

Integral impropia, 310 teorema de comparación para3 12 la, Iteración, método de, 113,436 de ecuaciones en diferencias,121 Interés compuesto, 62-65 Interpolación, polinomio de, 461 Intervalo de convergencia, 242 Isóclina, 26 Jordan, Camille, 361 Kernel de la convolución, 196 de la integral de la transformada, 309 Kirchhoff, Gustav R., 207 Kirchhoff, ley de, 207,359 Kutta, M. Wilhelm, 450

L Hospital, MarquCs de, 94 Lagrange, identidad de,653 Lagrange, Joseph Louis, 28, 190, 564,573,608 Laguerre, ecuación de,285, 694 Laguerre, Edmond Nicholas,285 Landau, ecuación de, 86 Landau, Lev D.,86 Laplace, ecuación de, 29, 620-629 la, 621 condiciones de la frontera para en coordenadas cilíndricas, 629,692 en coordenadas esféricas, 624 Galois, Evariste, 229 en coordenadas polares, 694 Gibbs, fenómeno de, 586,592 problema de Dirichlet, 621 Gibbs, Josiah Willard,586 para una banda seminfinita, Gompertz, ecuación de,83 628 para un circulo, 624-628 Green, función de, 678-681 Green, George, 678 para un rectángulo, 622-624, 627-628 para un sector, 628 Heaviside, Oliver, 310 para un semicírculo, 628 Helmholtz, ecuación de. 694 problema de Neumann, 621 Hermite, Charles, 258, 361 para un círculo, 629 Hermite, ecuación de, 258, 271, 643 para un rectángulo, 628-629 Hermite, polinomios de, 258 problema mixto, 629 Heun, fórmula de, 445 Laplace, Pierre Simon de, 29,310,620 Historia de las ecuaciones Laplace, transformada de, 309-352 diferenciales, 27-30 de derivadas, 316-318 Hooke, ley de, 197 de ecuaciones integrales, 350 Hooke, Robert, 197 Hurwitz, criterio de estabilidad de, 231 de funciones periódicas, 332-333 de la convolución, 344-348 Huygens, Christian, 351 de la función delta de Dirac, 341 de la función escalón, 327 Independencia lineal, 154-159,221 de la onda cuadrada, 333-334 de funciones vectoriales, 377 de la onda diente de sierra, 334 de vectores. 374

de la onda senoidal, rectificada, 334 definición de la, 310 existencia de la, 311 fórmula de traslación de la, 329,331 inversa de la, 319 tabla de la, 320 Laplace, transformada inversa de, 319 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 27, 47, 94,351,595 Legendre, Adrien Marie, 137,156 Legendre, ecuación de, orden: alfa, 137, 153,248,262,265-266, 271,284,326,683,688,696 uno, 174 Legendre, polinomios de, 266,688,702 Liapunov, Aleksandr M.,531 Liapunov, función de,534,537 Liapunov, segundo método de, 531-541 Libby, WillardF., 67 Liénard, ecuación de, 507,540 Liouville,Joseph, 652 * Longitud de onda,de la cuerda vibrante, 612 Longitud de un vector, 365 Lorenz, ecuacionesde, 552-561 Lorenz, Edward N., 553 Lotka, Alfred James,522 Lotka-Volterra, ecuaciones de, 18, 354,521-530 Magnitud de un vector,365 Malthus, Thomas, 71 Matriz adjunta, 362 Matriz aumentada, 372 Matriz autoadjunta, 379 Matriz conjugada, 362 Matriz exponencial, 417 Matriz fundamental, 413-418 Matriz hermitiana, 258, 379 Matriz identidad, 365 Matriz inversa, 365 Matriz no singular,366 Matriz singular, 366 Matrices, 361-383 adición de, 362 adjunta, 362 aumentada, 372 autoadjunta, 379 cero, 362 conjugada, 362 diagonalizable, 381

eigenvalores de, 376-381 eigenvectores de, 376-381 exponencial, 481 fundamental, 413-418 hermitiana, 379 identidad, 365 igualdad de, 362 inversa, 365-367 multiplicación de, 363 multiplicación por ncmeros, 362-363 no singular, 366 reducción respecto alos renglones de, 366 semejante, 381 singular, 366 sustracción, 362 transpuesta, 362 Matrices semejantes, 381 Mecánica, algunos problemas de, 87-92 Media, convergencia en la, 699 Membrana elástica, vibraciones de una, 620, 690-692 Método de pasos múltiples, 460-465 Método predictor-corrector, 460-462, 465,470 Métodos numéricos, 429-471 de Euler,429-434,468 convergencia del, 437 error local por truncamiento, 437 error por truncamiento, 437 de Heun, 445,467 de los tres términos dela serie de Taylor, 447 de Milne, 461 de pasos múltiples, 460-467 de Runge-Kutta, 460-463, 468 efecto del tamaño del paso, 432, 439,455 error, véase Error, fórmula predictora de AdamsBashforth, 461 fórmula correctora de AdamsMoulton, 461-462 iteración, 436 método predictor-corrector de Adams-Moulton, 461-462, 465,470 mejorado de Euler, 444-448 modificado de Euler, 449 para sistemas de ecuaciones de primer orden, 467-469

polinomio de interpolación, 461 predictor-corrector, 462-463,465, 470 solución extraña, 464 Mezclas, problemas de, 65-66 Millikan, RobertA., 94 Milne, método de, 461,467 Modelos de umbral, 78-81 Modo natural (de la cuerda vibrante), 612 Momento de la muerte, 66-67 Moulton, Forest Ray, 460 Movimiento armónico simple, 201 Movimiento sobreamortiguado, 204 Neumann, Karl Gottfried, 622 Neumann, problema de, 621 para un círculo, 629 para un rectángulo, 628-629 Newton, Isaac, 27, 28,94 Newton, ley de: del enfriamiento, 66, 630 del movimiento,17,87,199,354,635 Nivel de saturación, 75 Nodo, 393, 406-407,475. Ver tumbién Nodo impropio; Nodo propio, Nodo impropio, 393,408,474-475, 476-479 Nodo propio, 477 Nuliclina, 508-517 Onda cuadrada, 333,334,585-586,595 Onda diente de sierra, 334,591-592,595 Onda, ecuación de, 18,608,635 en coordenadas polares,689,693 solución de la, 618-619 véase tumbién Cuerda elástica, deducción de la ecuación de onda Onda senoidal rectificada, 334 Onda triangular, 577-578,595 Operador diferencial, 144,660-661 Operador lineal, 144,235,314, 319 Orden de una ecuación diferencial,19 Orden exponencial, funciones de, 312 Ortogonalidad, de las funciones de Bessel, 306, 686-689 de funciones, 574 de las eigenfunciones de los problemas de SturmLiouville, 655,686

1-756 de las funciones senoy coseno, 574-575 de los polinomios de Chebyshev, 689 de los polinomios de Legendre, 266,688,702 de vectores, 364 Pandeo de una columna elástica, 664-665 Parseval, ecuación de, 588,595, 620, 703 Péndulo, ecuación del: generalizada no lineal sin amortiguamiento, 539 lineal sin amortiguamiento, 22 no lineal con amortiguamiento, 491-492,500-503,539 no lineal sin amortiguamiento, 21, 505-507,539 periodo, 506-507 Periodo del movimiento armónico simple, 201 Picard, Charles Emile, 113 Picard, método de, 113 Plano fase, 474 Población, crecimientode una, 41-81 Poincaré, Henri, 473 Polinomio característico, 225 Potencial, ecuación del, 18,620-629 ver también Laplace ecuación de Problema autoadjunto con valores en la frontera, 660-662,685 Problema con valor inicial,35, 136, 220,357 Problemas con valores enla frontera, 641 autoadjuntos, 659-662 ecuación de la conducción del calor, 629-635 ecuación de Laplace, 621 ecuación de onda, 608,677 homogéneos, 643-665 no homogéneos, 643-665,682 singulares, 682-689 véase también Problemas homogéneos con valores en la frontera; Problemas no homogéneos con valores en la frontera Problemas homogéneoscon valores en la frontera, 643-665

Índice

condición parala existencia de una Reacciones químicas, 86 solución no trivial, 646 Recta tangente, método de la, véase de Sturm-Liouville, 652-665 Euler, método de eigenfunciones, 645 Región simplemente conexa,97 eigenvalores, 645 Recurrencia, relación de, 250, 281, singulares de Sturm-Liouville, 282,287 681-689 Redes eléctricas, 206-208,323,359 Problemas no homogéneos con Reducción a sistemas de ecuaciones, valores en la frontera, 641, 355-356 665-681 Reducción de orden, 173-175,222 alternativa de Fredholm, 668 para sistemas, 397 por la función de Green, 668-681 Región de estabilidad asintótica, 492, solución de, por desarrollo de 517,536-538 eigenfunciones, 665-675 Runge-Kutta, método de, 460-463,468 Producto interno: Rendimiento máximo sostenible, 84 para funciones, 574 Resistencia eléctrica, 206-207 para vectores, 364 debida al medio, 89 Pulsaciones, 211 ley de Stokes para la,64 Punto crítico: veáse también Amortiguamiento, aislado, 496 fuerza de al que se aproxima una trayectoria, Resonancia, 211-213 Respuesta al impulso,349 482 centro de un sistema lineal, 481, Retrato fase, 474 Riccati, ecuación de, 108 495,504 Riccati, Jacopo Francesco, 108 definición de, 474,489 estabilidad de un, véuse Estabilidad Richardson, método de extrapolación de un punto crítico, de, 442,450,454 no aislado, 485 Rodrigues, fórmula de,266 Runge, Carl D., 450 nodo impropio de un sistema lineal, 393,452,474-475, Runge-Kutta, método de, 460-463, 468 476-479 nodo propio de un sistema lineal, 476 para la ecuación de primer orden, 73 Schaefer, modelo de, para una población de peces,83 punto espiral de un sistema lineal, Schrodinger, Erwin, 341 401,479-481 Separación de variables, 563 punto silla de un sistema lineal, observaciones adicionales, 689-692 391,475-476 para Pa ecuación de conducción del Punto espiral, 400-401,479-480, calor, 566,601 495,505 para la ecuación de Laplace, 622 Punto ordinario, 248, 260, 264 en coordenadas polares,693 en el infinito, 271 para la ecuación de onda, 611 Punto silla, 391,474-475, 500 en coordenadas polares,693 Punto singular, 249,260,266-270 Separatriz, 502, 515-516 en el infinito, 271 Serie de cosenos, 590 irregular, 269,291 Serie de senos,591 regular, 266-270 Series de eigenfunciones, 658, Punto singular irregular, 269,291 665-666,688,691,699 Punto singular regular, 266-270 Series de potencias propiedadesde en el infinito, 271 las, 242-243 Simpson, regla de,451,454 Radio de convergencia, 242 Sistema autónomo, 487-489 Rayleigh, ecuación de,552

hdice

Sistema resorte-masa, 197-205, 210-218 con dos grados de libertad, 230,354 Sistemas: de ecuaciones algebraicas, 371-376 de ecuaciones diferenciales, 18 condiciones iniciales, 356 lineales, 357 no lineales, 357 reducción a, 355-356 solución de, 355-356 solución numérica de, 467-468 teorema de existenciay unicidad, 357 de ecuaciones lineales de primer orden, 383-428 coeficientes indeterminados, 422-423 conjunto fundamental de soluciones, 385 de Euler, 396,403,411 definición de, 357 diagonalización, 415-416, 420-423 forma vectorial de la solución, 385 homogéneos, 357,383-387 homogéneos con coeficientes constantes, 388-419 con eigenvalores complejos, 398-403, 479-481 con eigenvalores reales y diferentes, 388-395,474-476 con eigenvalores repetidos, 405-411 matriz fundamental, 413-418 no homogéne&, 357,420-426 solución general de, 385 superposición de soluciones, 384 teoremas de existencia y unicidad, 357 variación de parámetros, 423-425 Sistemas casi lineales, 495-503 Sistemas equivalentes, 371 Solución caótica, de la ecuación logística en diferencias, 132

1-757 de las ecuaciones de Lorenz,557 Solución complementaria, 179 Solución de estado estable, 213,600 Solución de una ecuación diferencial ordinaria, 19 de sistemas, 385 de sistemasde ecuaciones, 356 implícita, 58 solución general, de las ecuaciones lineales, 35,45, 140, 149, 163,170,178,221 Solución en serie: cerca de un punto ordinario, 259-266 cerca de un punto singular regular, 280-307 ecuación indicial, 282,287,288,292 cuando las raíces de la ecuación indicial: difieren enun entero, 283-284, 287,292,294-304 son iguales, 283-284,287, 292-294,295-299 para ecuaciones de primer orden, 265 relación de recurrencia,250,280, 282-283,287 teorema de existencia parala, 260, 288,292 Solución general de las ecuaciones lineales: de n-ésimo orden,221 de primer orden,35,45,57 de segundo orden, 140, 149, 163, 168-169,178 sistemas de ecuaciones de primer orden, 385 Solución implícita, 58 Solución particular, 179, 222 Solución transitoria, 213,600-601 Soluciones de equilibrio, 73, 122, 474 Soluciones periódicas de sistemas autónomos, 495,521-529, 541-551 Stokes, George Gabriel, 94 Stokes, ley de, 94 Sturm, Charles, 652 Sturm-Liouville, problemas de, con valores en la frontera, 652-665 autoadjunción de los, 659-662

con eigenfunciones ortogonales, 655 con eigenvalores reales, 654 simples, 656 singulares, 681-689 de espectro continuo, 685 Superposición, principio de, 146, 384,568-571 Sylvester, James, 361 Tautócrona, 351 Taylor, Brook, 244 Taylor, serie de, 161,244 para funciones de dos variables, 449 Telégrafo, ecuación de,636,643 Términos de fuerza periódicos,587 Transferencia, función de, 349 Transformación de semejanza,381 Transpuesta de una matriz,361 Traslación de una función, 329 Trayectorias, 474,482 de sistemas casi lineales,497 de sistemas lineales, 474-483 Trayectorias ortogonales, 109-110 Tres términos dela serie de Taylor, método de los, 446-449 Unicidad, teoremas de, véase Existencia y unicidad, teoremas de Valores propios, véase Eigenvalores, Van der Pol, ecuación de, 547-551 Variables adimensionales, 572, 616-617 Variación de parámetros,28,39-40, 189-194, 236-238 para sistemas de ecuaciones, 423-425 Vectores, 158, 362 independencia lineal de, 374 magnitud, 364 multiplicación de, 364 ortogonalidad, 365 producto interno, 364 soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, 385 Vectores propios, véase Eigenvectores Velocidad de escape,90 Velocidad de onda,616,636

1-758 Verhulst, ecuación de, 72 Verhulst, Pierre F., 72 Vibraciones: con dos grados de libertad, 230,354 de un sistema resorte-masa, 197-205,210-215,323 de una barraelástica, 590-591

Índice

de una cuerda elástica, 608-620, 634-636 de una membranaelástica, 620, 690-692 Vida media,62 Volterra, ecuación integral de, 350 Volterra, Vito, 522

Wronski, Józef, 147 Wronskiano, 147,221 identidad de Abel para el, 156, 223 para sistemas de ecuaciones, . 386 identidad de Abel, 386

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b EDlClON, COMPOSICIóN. DISENO E IMPRESION DE ESTA 08RA FUERON REALIZADOS BAJO LA SUPERVISION DE GRUPO NORIEGA EDITORES. BALDERAS 95. C O L . CENTRO. MEXICO, D.F. C . P . 06040 1194025000101522DP92001E