Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias
September 21, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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diferenci les en diferen ias Prospero Garci Carlos
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Facultad
Noriega Editores
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ESPAI\IA ESPAI\IA • COLOMBIA
VENEZUEL
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Autonoma: de Mex co
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PUERTO RICO
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FACUL TAO DE INGENIERIA
63
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610989
610989
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Primera Edici6n R
©
1984 Universidad Nacional Autonoma ·de Mexico
ISBN 968 837 164 5 /," pr< .«'fllaciO.w. \lt xieo. D. F •
. lit·mhro de l_a Camara i\at·ional d . Ia Industria Editorial. Re (istro 1\ium. I 21 Primera reimpresion: 1988 /mprP.w en J ~ I P x i c o
( 'j.J/r 71
ISBN
968-
18
29
8
5
-
.-·.,·.:......-
En el documento sobre Evaluaci6n y Marco de Refe encia para
los Cambios Academico-Administrativos de Ia Universidqd Nacional Aut6noma de Mexico, se senoia como uno de los problemas impor tantes para el estudiante el no contar con suficiente material biblio gr6fico para Ia adquisici6n de conocimientos y Ia f6cil preparaci6n de las materios en los diversos niveles de ensenanza qu · Ia univer sidad ofrece.
El Programa Emergente de libros de Texto demue tra que Ia comunidad universitaria conociendo sus problemas mediante ; soluciones sencillas respue respuestas stas para su beneficia. El programa tiene por objeto editor los text textos os basi s para Ia formaci6n integral del estudiante universitario, asi como aquellos que · constituyen apoyos significativos al proceso ensenanza-aprendizaje en las materias fundamentales y con mayor numero de aluntlnos en las
l
universidades del pais.
·
La Universidad Nacional Aut6noma de Mexico des que este esfuerzo editorial adicional venga a satisfacer expectativas y nece - sida sidade des s de los estudiantes, quienes enfrentan Ia necesidad de contar
f con textos b6sicos, sencillos y de precio accesible para su formaci6n ( basica como universitarios.
t
1
N o pretenden ser estos los unicos materiales de consul,a; el alum ' no deber6 hacer esfuerzos por ampliar los conocimientos de Ia mct f feria, consultando otras bibliografias. Constituyen fundamentalmente el principia basico de Ia educaci6n en los temas que contienen, como un esfuerzo que intenta inducir hacia Ia busqueda de otros conoci . mientos, y no pretende ser ser totalizador en el sentido de que Ips alumnos ·puedan considerar que todo el conocimiento en relaci6n a ·[Ia materia
·se encuentra m los. textos b6si b6sicos; cos; si son concebidos y entendidos .asi pueden ser de utilidad a los alumnos que cursan diversJs materias : a diferen dif erentes tes ni vel veles. es. ,
J
G
6
9'POR M l RAZ RAZA A HABLARA E ESP ESPIR IRITU ITU
9 8 Cd. Universitaria, 15
de m yo,
1984.
I
DR
OCT VIO RIVERO sJRR NO
f
PRESENT CION
· La Facultad de Ingenieria de Ia UNAM se ha distinguido el gran interes de sus autoridades y profesores para elaborar mate ial didac
tico de apoyo a Ia docencia. En efecto, desde la fundacion del Real Seminario de Mineria, en 1792, primer colegio ant ecesor de Ia Facult ad, al g .no .noss cate draticos escribieron apuntes que complementaran o sustituyeran a los lihros europeos que En esos tiempos estaban en uso, o que describieran los proce dimientos, tecnicas, inventos y descubrimientos que en su seno se ib 1 desarro Ilando, como resultado de Ia investigacion cientifica que en el selle o a cabo, o de aportaciones tecnologicas autoctonas, relacionadas fundamental 1ente con Ia mineria, que llegaron a tener aplicacion mundial importante. • Auri cuan do en los tiempos moder nos se ha facilitado Ia adqu"sicion de libros importados, tanto por el idioma extranjero y el alto precio, como por no ajustarse a los temarios de los programas de estudio de las a ignaturas que han estado vigentes, se ha estimulado a los profesores de Ia acultad a • escribir cada vez vez mas textos. Este loable intere s del p rsonal acttd acttdem em co espon ' por las taneo en unos casos o inducido en otros, ha sido apoyado siemp autoridades de Ia Facultad ·y de Ia Universidad, al concederle tic po para redactarlos, al brindarles apoyo editorial, tanto de caracter didac 'eo como de estilo de redaccion, y al aportar los recursos humanos y mater ales para su impresion y distribucion. , . .
1
f
han sidd enrique se ha logrado que algunos apuntes yque cidosEs conasiloscomo valiosos comentarios de .otros profesores de los alunlmos, des pues de algunos. -semestres de uti liz lizaci acion, on, se hayan formalizado co1o libros de texto, que han sido editados y distribuidos en Latinoamerica Espana por Ia pro pia l NAM o por compaiiias editor as comerciales, con lo cual han incrementado su prestigio academico tanto Ia Facultad como los aut res. Vale Ia pena seiialar tambien, que en Mexico Ia Facultad de I genieria fue una de las pioneras en Ia redaccion de libros de texto program dos para autoinstruccion, que han sido editados por Ia UNAM, y de libros p ra ense iianza por corre>.pondencia o a distancia, editados por Ia propia Facu tad. Por todo lo anterior, es muy satisfactorio para mi, que que con est y otros libros Ia Facultad de lngenierfa pueda contribuir significativament al Pro grama Emergente del Libro de Texto, que ha puesto en marcha l doctor Octavio Rivero Serrano, Rector de nuestra Universidad, el cual ermitira poner a disposidon de todos los estudi antes de Mexico, Iibros de xto con contenidos apropiados y de buena calidad e. impresos en formatos ec nomicos que contribuyan a lograr profesionistas cada vez mas preparados ara que con su accion coadyuven de mejor manera al desarrollo social, cientifico y tecnol6gico de nuestro pais. '
Dr. Octavio Agustin Rascon chavez Director de Ia Facultad de i ~ ~ e n i e r i a UNAM. ·· iudad de Mexico,
15 de mayo de 1984
PR
L
G
Dentro de l a s matem ticas a p l i c a d a s , l a s e c u a c i j u e g a n un p a p e l muy i r npor t a nt e en l a s
renciales
dife-
o n e ~
d i s ~ i n t a s
prodliesm c iaps l i n a s c i e n t f i c a s . inicios ap n b ea nrt e ec e su de m e c ~ n i c o s y g e o m ~ t r i En c o s susposteriorm ~ o a p l i c a c i 6 n se va extendienao a todas l a s ramas de fisic a y e n l o s ~ l t i m o s anos e s c o r n ~ n e n c o n t r a r l a s apl"cadas a d i s c i p l i n a s t a n d i v e r s a s como l a b i o l o g i a , l a e c o o m i a , la sociologia y la fisiologia. 1
De m s r e c i e n t e a p a r i c i 6 n s o n l a s e c u a c i o n e s e n d i ~ r e n c i a s , l a s c u a l e s han a d q u i r i d o i m p o r t a n c i a r e l e v a n t e c o n e l e s t u d i o de problemas d i s c r e t o s . E s t e t r a b a j o h a s i d e u t i l i z a d o como a p u n t e s p a r a l a a s i g natura i Ecuaciones D i f e r e n c i a l e s y en Di f e r e nc i a s ue s e i m p a r t e e n l a F a c u l t a d d e I n g e n i e r i a d e l a U.N.A.M. 1
I
primeros c a p i t u l o s , t r a t a n de l a s ecuaciones d i t a n t o o r d i n a r i a 3 como p a r c i a l e s . . M i e n t r r s que i.ltimos s e p r e f e n t a e l r n a t e r i a l r e l a t i v e , a las e c ua c ione s en d i f e r e n c i a s . I Los
c u
: ~
t r o
ferenciales en l o s t r e s
En e l c a p i t u l o I s e p r e s e n t a n l o s c o n c e p t o s ,
la teohta b -
s i c a y algunas a p l i c a c i o n e s de l a s ecuaciones _diferenciales o r d i n a r i a s l i n e a l e s , en e l c a p i t u l o I I se e s t u d i a n l ? s s i s se temas de e c ua c ione s d i f e r e n c i a l e s y en e l c a p i t u l o I ~ I p r e s e n t a l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e como un o p e r a d o r r q u e p e r m i t e r e s o l v e r t a n t o l a s e c u a c i o n e s , como l o s s i s t a s neales. En e s t e mismo o r d e n s e p r e s e n t a l a t e o r i a las a p l i c a c i o n e s de l a s e c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s , e n l o capit u l o s V VI V I I , s o l a m e n t e que e n l u g a r de l a t r a n $ f o r m a d a de L a p l a c e s e p r e s e n t a l a t r a n s f o r m a d a g e o m ~ t r i c a j ordin , ria. En e l c a p i t u l o IV s e p r e s e n t a un b r e v e d e s a r r o l o de l a s ecu;;tciones en d e r i v a d a s p a r c i a l e s .
La e l a b o r a c i 6 n d e e s t e t r a b a j o h a s i d e p o s i b l e g r a c a s a l a p a r t i c i p a c i 6 n d e un g r u p o e n t u s i a s t a de p r o f e s o r ~ s que han imp;;crtido l a m a t e r i a , e n e s p e c i a l d e l I n g . J o s ~ Ceballos ~ : o b e r a n i s , q u i e n f u e uno d e l o s p r o f e s o r e s q u ~ s i e m p r e s e p r e o c u p 6 p o r c o n t a r con un m a t e r i a l c o m p l e t e u e d i e r a a u x i l i a r a l o s alumnos e n e l p r o c e s o e n s e n a n z a apre£ dizaje. A s t a m b i ~ n queremos a g r a d e c e r a I r m a H i n o j s a l i x por l a adaptaci6n pedag6gica. los d e m ~ s sincere y u a d ist oad o r as d e mbireens t, o pmuy cA ulp pse r no m nc o im erc s e r f ~ injus o e n c i oun n a ra g su que a l g u n o de e l l o s no s e c i t a r a p o r un o l v i d o i n v o l u n t a i o .
ING
PR6SPERO GARCfA M RQUEZ
lNG
C RLOS DE L
L NZ
ELTON
C0 NT E N I D0
INTRODUCCION
7
ECUACIONES D I F E R E ~ C I
C PITULO I. I
LIHE LES
DIFERENCIAL.
ECUACION
LA
l
L E S
1 1 1
CONCEPTOS
1 1 2
SOLUCION
ORDEN
BE DE
•
UNA
Y GRADO.
ECUACION
DIFERENCIAL
RIA
I 2
2
1
I
2
2
1 2
3
o~
11
12
DIFERENCIAL LINEAL
ECUACION I
8
ECUACION
LA
DIFERENCIAL
LINEAL
DE
PRIMER
DEN.
.
RESOLUCION
DE
LA
ECUACION
HOMOGENEA
DE
LA
ECUACION
NO
DE
R··
I 3
2
LA
~
23 RI
28
DIFERENC1AL
DIFERENCIAL LINEAL GENERAL
31
1 3 1
SOLUCIPN
GENERAL
DE
LA
ECUAC ON
HOMOGENEA
1 3 2
SOLUC10N GENERAL
DE
LA
ECUACION
NO
EL
PROBLEMA
EN
LA
RESOLUCION
VALORES
DE
IN IC IA LES
31
A.
HOMOGEN
Y DE
34
ES
VALO
FRONTERA. DE
LA ECUACION
FICIENTES CONSTANTES.
I S
I
25
OPERADOR
ECUACION
1 3 3
[ 4
EL
DE
ORDEN
MER
1
•
HOMOGENEA
20
P R I ~ E R
ORDEN
RESOLUCION
18
DIFERENCIAL LINEAL DE
.
41
1 4 1
RESOU:CION
1 4 2
EL
METODO
DE
COEFICIENTES
INDETERMINADOS
49
1 4 3
EL
METODO
DE
VARTACION
PARAMETROS
57
APLICACIONES
C PITULO
II.
•
•
DE
LA
ltCUACION HOMOGENEA.
DE
•
SISTEM S DE LES
l
64
ECUACIONES DIFERENCI LES LIN
73
CONSTANTES •
MATRICES
.2.1
II.2.3
ClONES
•
SERIES
DE
,
LA
HOMOGENEOS.
II.2.7
CALCULO
NO
DE
LA
LA
•
•
.
.
.
.
.
MATRIZ EXPONENCIAL.
88
DE PRIMER
95
• •
RESOLUCION
DE
SISTEMAS
HOMOGENEOS
1.3.2
RESOLUCION
DE
SISTEMAS
NO
TEOREMA
EXISTENCIA y UNICIDAD
UN
LINEALES
n
III•
H I . l. 2
DE
•
DIFERENCIAL
105
•
DE ORDEN
DE PRIMER 1RDEN.
ECUACIONES
. . • • . •
•
107 110
E ~ I ~ T ~ N ~ I ~
LA
TRANSFORMADA LINEAL.
LA TRANSFORMADA INVERSA LA
PROPIEDADES
119
TRANSFORMADA DE LAPLACE.
~ :
RADOR
III.2.1
100
LA fRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICION III.l.1
•
PARAISIS-
•
APLICACIONES. . . • . . • • • • • • •
CAPITULO
95
HOMOGENEOS.
•
DE·UNA ECUACION
SISTEMA DE
86
87
1
A
81
.
CONSTANTES
DE
su ISOLU-
.
MATRIZ EXPONENCIAL.
RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES
TRANSFORMACION
\DE
79
DE
FORMA
,
•
SISTEMAS
n
III.3
,
II.2.6
TEMAS
III.2
y
HOMOGENEOS
DE
II.3.3
III.l
MATRICES
DE
MATRICES Y CO CONVERGENCIA NVERGENCIA
PROPIEDADES
II. 3.
II.S
77
II.2.5
COEFICIENTES
II.4
FUNCIONES
78
SISTEMAS CION
II.2.4
3
75 DE
DERIVACION E INTEGRACION
1.2.2
II
• •
LA
•
LAPLACE
DE
• DE
~ R ~ N ~ F ~ R ~ A ~ A
•
•
•
•
.
.
DE
L
UN
~ A ~ L ~
TRANSFORMACIONES
•
131 134 137
1
L Y
1
•
139
TRANSFORMACION
III.3.2
TEOREMA
III.3.3
TRANSFORMACION INVERSA MEDIANTE FRACCIONES
DE
DERIVADAS.
L-
III.3.1
DE
CONVOLUCION
PARCIALES.
•
124
OPfRA-
LAPLACE
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS
COMO
DE
•
•
•
144 146
148
I LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LAS ECUACIONES
III 4
RENCIALES.
•
• •
•
•
•
•
• •
•
•
•
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
III 4 1
• •
CION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
CIALES LINEALES
6
IV.1
••••
163
•
•
.
•
•
.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
LA ECUACION EN DERIVADAS
PARCIALES.
DEFINICIONES. LA
SOLUCION DE UNA ECUACION
PARCIALES IV . 2
;;.;,;v+
3. 1 .
~ S ~ :
APLICACIONES
CAPITULO V
: ~ ~ : ~ ~ ~ ~ A ~ E ~
I
FUNCIONES DISCRETAS CIAS
•
•
.
'
· •
.
[
174
•
~ R ~ G ~ N l ~ T
YECUACIONES
R ~
v.
FUNCIONES DISCRETAS: PULSO,
1.
OPERACIONES CON FUNCIONES
V.2.2
LA SUMATORIA •
I
ESCALON
Y R
DISCRETAS
•
207
I
~ P
·
.
217
•
227
.•
SOLUCION DE UNA ECUACION EN DIFERENCIAS
LA ECUACION LINEAL EN DIFERENCIAS.
v. 4 .
1
RESOLUCION
DE ECUACIONES
•
236 238
242
LINEALES HOMOGE EAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
J.
209 212
222
LA ECUACION EN DIFERENCIAS
V.3.1
192
EN DIFlREN
DIFERENCIA DE UNA FUNCION OPERADORES
183
195
. . . . . . . . . . . .
1. 1
V.2.1
.
.... ..
v.
2
•
~ ~ I ~
•
. . . . . . . .
UNCION UNCIO N DISCRETA •
171
172
SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER • IV
V.4
169
METODO DE SEPARACION DE VARIABLES
IV.3
V.3
156
APLICACIONES.
V. 1 . 2
V.2
DIFE EN-
160
IV. 1. 1
V.1
RE OLD
ESCALON, IMPULSO Y RAMPA •
CAPITULO IV
IV . 4
152
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS FUNCIONES:
III S
III
•
.
EN LA
IFE-
•
245
V.4.2
METODO
DE
COEFICIENTES INDETERMINAOO
V.4.3
METODO
DE
VARIACION
DE
•
PARAMETROS
252
•
257
264
VI l
SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS • • VI l l
V I
SISTEMAS
LES
CON
TRANSFORMACION
~
DEN
n
EN
UN
•
DE ECUACIONES EN DIFERENCfAS LINEA COEFICIENTES CONSTANTES . . •
DE
UNA
SISTEMA DE
ECUACIONES DE PRIMER
n
277
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
L I N E A ~ E S
VI.3.1
RESOLUCION
DE
SISTEMAS HOMOGENEOS
VI.3;2
CALCULO
DE
Ak
•
VI.3.3
RESOLUCION
DE
SISTEMAS
NO
RESOLUCION
DE
S I ~ T E ~ M
P OR
VI. 3. 4
VII l
APLICACIONES •
•
DEFINICION DE T R
281
•
HOMOGENEOS
291
OPERA-
D E ~
M•ED IO•
CA •
D
295 299
GEOMETRIC GEOMETRICA.
N S F O R ~ ~
CONVERGENCIA
DE
LA
•
•
•
•
•
304
•
GEOMETRICA DE FUNCIONES
T R ~ S F O R M
VII.3
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA GEOMETRICA.
VII.4
TRANSFORMADA
GEOMETRICA
TRANSFORMADA
INVERSA
INVERSA
D I S C ~ T
S
306 309
313
•
POR
F R A C C I O N ~ S
PAR-
CIALES VII 5
DE
BI
314
RESOLUCION DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS P O ~ LA
A
MEDIC
.
317
. . . . . . . . . . . • •
321
TRANSFORMADA
B L I 0 G RA F I
303
TRANSFORMADA G E ~ M E T R
VII 2
VII.4.1
280
•
• • •
TR NSFORM D
VII l l
A S
279
CORRIMIENTO
DOR
CAPITULO VII
,
•
DI
EN
·
FERENCIAS DE COEFICIENTES CONSTANTES • • •
VI.4
275
ECUACION EN DIFERENC AS DE OR
ORDEN •
VI.3
275
G E O ~ f f i T R I C A
.
.
.
.
.
I
I NT R 0 D U C C I 0 N
Los presentes apuntes t r a t a n e l aspecto t e 6 r i c o de ecuaciones d i f e r e n c i a l e s y de l a s ecuaciones en d i f e c i a s . Asimismo se p l a n t e a n algunas a p l i c a c i o n e s es para que e l e s t u d i a n t e pueda a p r e c i a r l a cificas c i o n que e x i s t e e n t r e e l campo de l a s m t e m ~ t i c s cadas y las c i e n c i a s f i s i c a s y de l a i n g e n i e r i a .
as ea
ai-
Para ayudar a comprender e s t a s ecuaciones, s e puede l a d i f e r e n c i a fundamental e n t r e l a s ecuacion s d i f e r e n c i a l e s y l a s ecuaciones en d i f e r e n c i a s , radic en e l t i p o de funci6n considerada; ya que en e l primer a so se t r a b a j a con funciones c o n t i n u a s en e l segund C _ so con funciones d i s c r e t a s . c i r que
M u l t i p l e s problemas de s i g n i f i c a t i v a importancia en d i versos campos del saber humano r e q u i e r e n para su es u dio de l a e l a b o r a c i o n de un modelo matematico que lo re Estes modelos e s t a n c o n s t i t u i d o s generalmente presente. por ecuaciones d i f e r e n c i a l e s o por ecuaciones en d i f e r e ~
cias.
8
C PITULO I l
Con
cial,
L
I
ECU CIONES DIFERENCI
ECU CION
LES LINE LES
DIFERENCIAL
e l f i n de e s t a b l e c e r e l concepto de ecuac se c o n s id e ra ra e l s i g u i e n t e problema:
·con una ve Un cuerpo e s lanzado ver t i cal ment e h a c ia a r r lo c id a d i n i c i a l v 0 ; considerando des pr eci abl e l a r e s i s t e n c i a del aire. Se desea o b te n e r una expresion matematica que r e p re s e n te a l desplazamiento d e l cuerpo en cual qui er i n s t a n t e de tiempo. 1 La primera e ta p a para re s olve r e l problema, c o h s i s t e en e s t a b l e c e r un modelo matematico d e l mismo. Por l o t a n t o , es n e c e s a rio i d e n t i f i c a r a l a s v a r i a b l e s que i nt er yi enen en e l problema y r e l a c i o n a r l a s por medio de leyes f f s t c a s . I
El problema planteado es dinamico, en donde l a s va ria ble s involucradas son: e l tiempo, e l d e s p l a z a m i e n t o , l a v e l o c i d a d l a a c e l e r a c i o n . De e s t a s , e l tiempo es una v ~ i b l e in d e pendiente y l a s o t r a s son d e p e n d ie n te s .
Para cada v a l o r de tiempo t , hay uno solo u desplazamiento y , por l o t a n t o se concluye que. c io n de t , es t o e s : =
valor
y
del es fun
t)
de cuerpo l i b r e c o rre s p o n d ie n te se f iEl gurdiagrama a 1. 1.
ue s tra en l a -
/777?7777/77777 F ig u ra
I
l
9
El movir.1ie:1to d e l cuerpo c s t a regido por la· segunda l e y de . Iewton:
1)
d e l diagrama de cuerpo l i b r e , se observa que l a Gnica fu r za e x te rn a que actGa sobre e l cuerpo es e l peso del mism ya qne l a f r i c c i 6 n se c o n s id e ra des pr eci abl e, por lo tan o, l a suma de f u e r : a s en l a d i r e c c i 6 n v e r t i c a l es:
y
s u s t i t u y e ~ d o
en (1 ):
-mg
rn
de donde:
a
= -
2)
pero l a a c e l e r a c i 6 n puede e x p re s a rs e en terminos de l a v l o c i d a d o d e l d e s p l a z a m i e n t o , y en cada caso l a e x p r e s i 6 n 2) queda re p re s e n ta d a de l a s i g u i e n t e forma: dv
at
H t
-
- g
C u a l e s q u i e r a de l a s e x p r e s i o n e s (3) 6 (4) represent el d e l o matem§tico d e l problema, es d e c i r , l a a b s t r a c c i 6 n d I problema f i s i c o . Se puede o b s e r v a r que d i c h a s e x p r e s i o n e son i g u a l d a d e s que c o n tie n e n d e r i v a d a s de l a i n c 6 g n i t a , y s e a de l a v e lo c id a d o d e l d e s p l a z a m i e n t o , y que a d i f e r e n c i a de l a s e c u a c i o n e s al gebr aJ cas , dicha in c 6 g n ita es una funci6n y no una v a r i a b l e numerica. A e x p r e s i o n e s de e s t f t i p o se l e s llama e c u a c ~ o n e 4 d ~ 6 e k e n c ~ a l e 4
Definici6n: Toda i g u a l d a d que r e l a c i o n a a u n a f u n c i 6 n desconocida con s u(s ) v a r i a b l e ( s ) inde pe ndie nte (s ) su(s) d e r i v a d a ( s ) , se llama ecu aci 6 n d i f e r e n c i a l . \
Otros ejemplos de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s lig a d o s a fen menos f i s i c o s son l os s i g u i e n t e s :
10
O s c ila c i6 n de un pendulo de lo n g itu d L
A
e
0
.
e
tl
• • •
S)
i
Figura I .2
B)
D i s t r i buci 6n de l a t e m p e r a t u r a en una
a:
T = T x, y
C)
• • •
f.
6)
Ecuaci6n de un c i r c u i t o e l e c t r i c o con r e i s t e n c i a R, i n ductancia L y fu e n te de t ens i on e t ) en ~ e r i e I
+
L di dt
e
Ri _=
t)
1
i
t)
• • •
7)
I
e { I)
;
Figura
I
3
•
,
D
O s c ila c i6 n l i b r e , con amortiguamiento de u a masa s u s pendida de un r e s o r t e : 2
dtT +
m d y
at
e·t
t
h
dt
+ ky • 0
Uts±izr l 115
' y t)
•••
8)
I
.
.
11
Ecuaci6n de Laplace:
E
a
0
8Cx1
y
z)
D i v e r . o . fon6meno• f i • i o o • • • p r e • e n " n en e l campo d e l . i n g e n i e r i a , es t os pueden s e r modelados matemAticamente por medio de la s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s . I Todas l a s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s p re s e n ta d a s h a s t a a h ~ r a a excepcion de l a s e c u a c i o n e s ( 6) y ( 9 ) , c o n tie n e n solam n te
derivadas o r d i n a r i a s , debido a que s u s i ncogni t as son fu ci o nes de una s ol a v a r i a b l e . A e c u a c i o n e s de e s te t i p o se ]e s llama e.c.u.ac....n-k- 1 y = 0 , r e s p e c t i v a m e n t e y es l a soluci6n general de l a ecuaci6n l i n e a l de orden
u(x)
k :
) o -
fac
En
6
D -
, 1
kU = 0
. El. problema se reduce a determinar e s t a f u , c i 5 n t i s f a c e a l a ecuaci6n ( 51) . Multiplicando 'mhos u(x) que sa miembros d e dicha ecuaci6n por e-A:x:
e s t a e t u a c i 6 n puede e s c r i b i r s e de l a forma:
b s t r ~ con i n t e g r a r su c e siv a m e n te e s t a e u a c i 6 n p a r a o b t e n e r l a funci6n u ( x ) :
+
CJt -:
d e sp e ja n d o u:
u • sustituyendo
c l x k - ~
u
+ c2xk-2 +
en l a expre i6n (SO) s e o b t i ~ n e :
+ CneAn-k+tx
+ ck+t eA x +
l
.
que e s l a soluci6n general de l a ecuaci6n d i f e e n c i a l l i n e a l homogenea (44), en e l caso de que una de l a s r a i c e s ) de 1i l a ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a sea de m u l t i p l i c i d a d k . S la ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a t i e n e r a i c e s m u l t i p l e s , cada una de e l i a s t i e n e una c o n t r i b u c i 6 n semejante en l a soluci6n gene como se muestra en l o s s i g u i e n t e s ejemplo$. ral
Ejemplo I . 6 Sea l a ecuaciOn d i f e r e n c i a l : • · ~
4 y ' . - 3y' + 18y = 0
47
La e c u a c i 6 n c a r a c t e r s t i c a c o rre s p o n d ie n te e s : 1'
-
41
2
-
31 + 18
=
0,
cuyas r a c e s s on:
por lo tanto, rencial es:
la
s o lu c i6 n g e n e ra l de l a e c u a c i 6 n d i f e -
Ejernplo 1 . 7
Dada l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l :
P a r a o b t e n e r l a s o lu c i6 n g e n e r a l , la ecuaci6n car act er s t i ca:
l as ra ces
son :
con e s t a s r a c e s ,
o
se
se e s t a b l e c e prirnero
la
s o lu c i6 n g e n e ra l e s :
r
t
CASO
C
RAICES
COMPLEJAS
S i alguna de l a s r a t c e s de l a ecuac1on c a r a c t e r i s t i c a (47 es e l nfimero complejo a + b i , e n t o n c e s e l complejo conjuga o b i s e r l tambi n r a i z de acuerdo con l a t e o r i a de e c u c · ~ nes p o l i n o r n i a l e s . La p a r t e de l a s o lu c i6 n g e n e r a l de (44) c o rre s p o n d ie n te a e s t e p a r de r a i c e s e s :
k
donde k 1
1
e
(a+bi)x+ k
2
e
(a-bi) x
k 2 son c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s .
48 Sin embargo, es conveniente e xpr e s a r l a s lu cio n es nadas en terminos de funciones r e a l e s . La teo r1 a de b le compleja nos proporciona e l medio p ara [ o g r a r l o , zando l a formula de E u ler: e ±i
9
= c os e
± i s en 9
l aLa : ex p resio n (5 2 ) puede e s c r i b i r s e , emplea do e s t a formu k
e
(a+bi)x
+ k 2 e (a -. bi ) x.
k eaxebix
+ k eaxe-bix
e a x ( k e b i x + k2 e - b i x ) eax
(cos b x + i s e n bx)
+ k 2 ( c o s b x - i s e n bx) eax[ k
1
J
+ k2)cosbx+ i k
-
1
2
)senbx]
donde: J
Par o t r a p a r t e , c ua l qui e r ra1z compleja a + b i de l a ecua cio n c a r a c t e r 1 s t i c a puede t e ne r una m u ltip lic id a d "k"; lo que implica l a e x i s t e n c i a de l a r a i z conjugada a - b i , tam En e s t e caso l a so lu ci6 n g e ~ e bien con m u l t i p l i c i d a d "k". r a l de l a ecuaci6n d i f e r e n c i a l in clu y e 2k terminos l i n e a l mente in d ep en d ien tes, l o s c u a le s, combinando l os re su lta d o s de l o s casas A) y (B) p resen tan l a e s t r u t u r ~ siguiente: [
(c
(
1
+ c 2x + c 3 x
2
+ • . • -+ ckx
ck + 1 + ck + 2 x + ck + 3 x 2 +
k 1
) sen bx
+ c k xk 2
I)
co
Ej e mpl o I.B Dada l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l : y
I
I
+ y
I
+ 4yl
+ 4y = 0
la ecuaci6n car act er i st i ca correspondiente. es:
y sus r a t c e s son:
- .....t ·o .·e : N? S
d f
_
~
I
bx
J eax
9
=
2i
=
-2i por lo tanto,
0
2i
0 -
2i
la soluci6n general es:
o sea:
Ejemplo
.9
Dada l a e c u a c i 6 n : {D
5
90
-
4
34 0
3
66 0 2
-
650 - 2 5 ) y
0
l a ecuaci6n c a r a c t e r s t i c a es:
0 factorizando: {A -
sus ra1ces
t
1
{A
2
-
A
5
2
0
son:
2 p o r l o que cial es:
i
la soluci6n general de la ecuaci6n d i f e r e n
..:..:-
.4.2
EL METObO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
En e l i n c i s o a n t e r i o r se e s t u d i ~ l a r e s o l u ~ i n de l a s ecua cio n es d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s homogeneas de c o e f i c i e n t e s En e l p r e s e n t e i n c i s e se e s t u d i a r a un metodo uc ons t a nt e s . t i l i z a d o p a r a o b ten er l a so lu ci6 n p a r t i c u l a r de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l no homogenea. 1 Sea l a ecuaci6n d i f e r e n c i a l
tes:
y
2y
y
l i n e a l de c o e f i c i e n t e s co n stJn
2x
3
50
Para deterrninar su s ol uc i 6n • e n e r a l , s e a trans formarla en u ~ a ecuacion. d i f e r e n c i a l homogenea. Para e s t o d eb erl a nul a r e l miembro derecho de l a ecuacion 53). En terminos d el operador d i f e r e n c i a l , l a ecu • cio n queda r e p resen tad a como: (D
2
+ 2D' +
+ 3
1}-y = 2 x
aplicando en ambos miembros e l operador D2
o
:
sea: y
• v)
+ 2y
I
+ y
I
I
I
=
0
l a ecuac1on d i f e r e n c i a l r.esulto de c u a r t o ortien I ci6 n g en eral e s :
s u s ol u-
•••
54)
ademiis, 1a: soluc:ion de l a ecuacion d i f e r e n c i I homogenea aso S3 ) e s :
c i a da a
y c
=
x ~
i a so lu cio n g en eral de
clt
x
+ c z x ~ - x
55}
53) e s d • l a forma:
...
y = Yc .f y p
su stitu y en d o l a s so lu cio n es
54) y
55) en
~ - ) -
~ 6 ) :
de donde: ·57)
c3 y
de
t
son c c n s t a n t e s a l a s
~ o t u c ~ 6 n
p a ~ t ~ c u t a ~
Yp·
que se denomin.
c3 y c deben de t e n e r un v a lo r ecuaci6n 53).
tal
que y
P
s1tisfaga a la
Sustituyendo yp en l a ecuacion no homogenea
e s t o es:.
c o e 6 ~ c ~ e n t ~
53):
51
igualando c o e f i c i e n t e s :
por
Lo
tanoto: y
ent onces Yp = 2x - 1 y l a s ol uc i on g en eral de l a ecuaci6ln
d ;iferen cial
(53) es:
=
Y
Yc
Yp
Del problema n t ~ r i o r t a l e s , a s a be r :
1.
Un o p e r a d o r P 1 ( D ) , en e s t e caso D2 , t a l qu.e a l o p e r r r sobre amb ambos os miembros de l a e c u a c i 6 n gener6 una ecu ci6 n homogenea.
2.
La so lu ci6 n de l a ecuac1on homogene; r e s u l t a n t e , en e s t e caso de c ua r t o orden, p erm iti6 o b ten er l a formt de l a so lu ci6 n p a r t i c u l a r de la ecuaci6n o r i g i n a l .
j
Sin, eatbargo, cabe p.reguntarse s i toda ecuaci6n d i f e r e n c a l ·
n
n-1
de l a forma D + a 1 D + • • • + a n l y = q ( x ) admite u n o e r ~ dor ? 1 D) que genere a p a r t i r de e l l a , una ecuaci6n homoge nea, e s t o e s , un operador d i f e r e n c i a l de l a forma
bn, que a pl i c a do a l segundo miembro Dn + b 1Dn-l + • • • q ( x ) de l a ecuaci6n no homogenea, lo a nul e :
t
ctfl
58) I
Para responder a l a pregunta se t i e n e pr e s e nt e que l a edua ci6 n es d i f e r e n c i a l l i n e a l h o m o ~ ~ n e de c o e f i c i e n t e s c o n ~ t ~ t e s , l a c u a l , evidentemente no se s a t i s f a c e p ara c ua l qui e r funci6n de "x". Esto qui e r e d e c ir que no c u a lq u ie r funci6n de "x" se anula a l se r a f e c t a da por e l operador P 1 (D), sin o que exclusivamente a que l l a s que son so lu cio n es de l a e c u a ci6n.
d ~ e lo a n t e r i o r s e deduce, para que una funci6n q ( x ) d pueda s e r anulada por algiin operador d i f e r e n c i a l l i n e a l , , es i ndi s pe ns a bl e que d ich a funci6n sea so lu ci6 n de alguna e c ~ -
ci6 n d i f e r e n c i a l · l i n e a l homogenea.
El opetador d i f e r e n c i a l capaz de a nul a r e l segundo miemb•o de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l no homogenea, s e denomina nu d o ~
a n ~ q u £ t a d o ~
En e l i n c i s e 1 . 4 . 1 , se o b tu v iero n l a s funciones que r e p r l a so lu ci6 n g en eral de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l l i neal como l a 5 8 ) , de acuerdo l n a t u r a l e z a de l a s r a i c r s s ~ n t a n
de su e c u a c i 6 n c a r a c t e r i s t i c a .
Teniendo en cu en ta l os t r e s c a s e s que a l r e s p e c t o p u e d e n s e n t a r s e , l a s s ol uc i one s de t a l e s ecu acio n es son siempre cio n es d el t i p o :
l p r ~ ~ u n -
l J
k
a C lR
C N
k C N,
a C lR
b
lR
l a suma a l g e b r a i c a de e l l a s . P or - l o ta n to puede asegu r a r que solamente e s t e t i p o de f u n c i o n e s son anuladas por operadores l i n eal es . Para o b te n e r un operador P 1 D) apropiado quel anule a una funci6n q(x) dada, se r e q u i e r e d e te rm in a r l a ecuaci6n homo genea, de l a c u a l l a funci6n q(x) es s o lu c i6 n . Se deterrninaran a c o n tin u a c i6 n lo s operadorel ani qui l ador es de algunas funciones de usa f r ecuent e. Considerando primeramente la
funci6n q(x)
k-l.
=
La fun
1 e s t e tipo1de funci6n es cion propuesta equivale a xk - e 0 x l a s o lu c i6 n de una ecuacion homogenea, cuya ecuaci6n car ac t e r i s t i c a t i e n e una r a i z > = 0 , y de m u l t i p l i c i d a d "k" (caso 0, un operador d i f e r e n B). Como l a r a i z mul t i pl e es >
c i a l anulador e s :
se v e r i f i c a que:
Dk xk 'l siempre
cuando k - 1
0
0.
Considerando e l caso en que q(x)
=
e>.1x, i s t
funci6n es s0 -
lu c i6 n de una ecuaci6n l i n e a l de primer arden, cuya ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a tie n e p a r r a i z > = 1 . El a n u l a d o r de e s ta funci6n es p a r lo t ant o D - 1) , lo c u a l p u e ~ verificarse f c ilm e n te , a p lic a n d o e l a n i q u i l a d o r a l a funci6 : >
X
A1) e 1
(D -
=
1
AX AX e 1 - A1e 1
1
=c
Finalmente, analizando e l caso de una comb-inJ i6 n l i n e a l de f "n" funciones como· l a s i g u i e n t e : q(x)
~
cleA1x
c2eA2x
•••
c n ~
n x
esta. corresponde a l a s ol uci 6n g e n e ra l de una kcuaci6n d i fe re n c ia l l i n e a l homogenea de arden "n"; e l o p ~ r d o r a n i qui l ador c o rre s p o n d ie n te es entonces, un o p e r ~ o r de arden "n ", e l c u a l usando l a r epr es ent aci 6n f a c t o r i z f d a es:
Los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s y o t r o s , se pr es ent n en l a t a b l a s i g u i e n t e , a f i n de que s i r v a n como a u x i l i a r e en l a determi naci6n del operador a n i q u i l a d o r .
1 .
.
53 q (x )
ANULADOR
k+1
k
D
eax
x k -1 eax co s bx X
k-1
X
ax co s bx
k-1 ax
e
k-1
en bx
x
k - 1 ax
e
D -
a)k
(02 + b z ) k
o z - 2aD +
eax s en bx
c o s bx
a)
02 + b2)
s en bx
c o s bx
D -
[oz
s e n bx
-
a2 + b2)
2aD + (a2 + b 2 ) ] k
Tabla I.l
Los ejemplos s i g u i e n t e s muestran e l metodo complete de ficientes indeterminados.
Ejemplo I . l O
Sea l a s i g u i e n t e ecuaci6n d i f e r e n c i a l : + 3y
y
+ 2y = e - x + e - z x
l a s 6 l u c i 6 n g e n e r a l de l a e c u a c i 6 n e s de l a forma:
= Yc
Y
Yp
l a s o l u c i 6 n d e l a e c u a c i 6 n homog6nea a ~ o c i a d a
Yc
=c
~ ~
-x
=
x
es:
+ Cze-zx
- zx
Dado q u e q ( x ) e + e e s s o lu c i6 n de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l l i n e a l h o mo g 6 n ea de c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , e l operador a n i q u i l a d o r e x i s t e y se puede determinar: como q (x) e s t s e t . i e n e qu«;:
f o r m a d a c o n l a s r a i c e s A1 = -
P 1 D)
=
D + l ~ l
+ 2)
es e l aniquilador correspondiente.
A p l i c a n d o P 1 D) D
a la ecuaci6n diferencial: 1)
D
resolviendo esta dltima
2
D2
3D
2 y
=
e c u a c i 6 n h o mo g en ea:
0
1
A
2
= -
2
oe
:W
54
como: y
s e obtiene·:
odonde c 3 y c 4 s on l o s c o e f t i c : i e n t e s a d e t t e r m i - i r . d: s iSguusitei tnutye e ni ddeon t ipd aen
e c ua c i 6n o r i g i n a l , s e + b t i e n e l a
e- x
e -z x
de donde:
-<
.y
1
por lo tanto:
e nt onc e s l a s oluciiSn g e n e ra l de l a e c ua c i 6n es:
riginal
y
Ejemplo En
I
ll
l a e c ua c i 6n d i f e r e n c i a l : y
2y
la anulaci6n del t ~ r m i n o x ope r a dor 0 2 a l a e c u a c i 6 n :
La f unc i 6n x ~ x
x 1,
es s o l u c i 6 n d e
1
xex
s e l o g r a a p l i c a do e l
(D - 1
2y
= 0,
d e homogenea, e qua u i lcai 6n d o rno x ~ x es ( D s-e 1t i2e•n e :Aplicando a l l aa nei c
.la s o l u c i 6 n d e e s t a e c ua c i 6n homoqenea e s :
l o que
r
-
1 2
Como l a s o l u c i n d e l a e c u a c i n homoge ne a ~ o c i a d a la original es:
a
entonces:
s u s t i t u y e n d o Yp e n l a e c u a c i 6 n o r i g i n a l :
p c
e x
2yp = x
c ~ x e x
c , . e x
1
X4x
x
2 c
e x
2 c
2 c ~ x ~ = x ~ 1
simplificando:
donde:
3 c ~
pqr
lo tanto
genea e s :
Y
1
1/2
0
1/3
1
1/4
1
-
1/9
l a s o l u c i n g e n e r a l d e l a e c u a c i 6 n no h o mo -
= Yc
Yp
Ejemplo 1.12 Se a l a e c u a c i 6 n :
y
2y
y
=
sen x
· E l operador a ni qui l a dor de l a funci6n sen x
es:
xex
56
2
0
•.
a la ecuaci6n d i f e r e n c i a l :
a p l i c ~ n d o l o
0
1) 20
3
2
1) y =
20
2D
2
20
l y
02
1) s e n
=
x
0
0
E s t a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l l i n e a l e s homogen a d e c u a r to orden y su s ol uc i 6n ge ne r a l e s :
•
a q u e l a s o l u c i 6 n d e l a e c u a c i 6 n homogenea a o c i a d a e s :
entonces:
Yp
= c 3c o s
x
c ~ s e n
x
donde c 3 y c , ·son c o e f i c i e n t e s a d e t e r m i n a r .
Sustituyendo yp en l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l n
r.ea:
homoge -
sen x de donde:
= entonces,
t
y
los c o e f i c i e ~ t e s
c,
por lo
0
=
0
son: y
l/2
c3
n t o ~
1/ 2 cos X
y
y l a s o l u c i 6 n g e n e r a l de
t
1
y
c1e
-x
J a ecuaci6n diferenci 1 es: -x
c 2 xe
- 21
cos
X
,
57
EL METODO DE VARIACION DE PARAMETROS
1.4.3
El metoda de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s es muy u t i l i z a c o en l a r e s o l u c i 6 n de e c u a c i o n e s a i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s e s un metoda g e n e r a l , ya que e x i s t e n muchas e c u a c i o n e s E st a l i m i t a c i ~ r a l a s c u a l e s e l metodo no es a p l i c a b l e . r a d i c a en e l problema de o b t e n e r e l o p e r a d o r a n i q u i l a d o r , p a r a c u a l q u i e r f u n c i 6 n q ( x ) , a s i como en e l t i p o de c o c f · -
c i e n t e s de l a
e c u a c i
n ~
Algunas e c u a c i o n e s p a r a l a s c u a l e s todo de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s,
guientes:
a)
yl
b)
yl
c)
yl
d)
Y1
X
1
=
2y
L-n
y
2x y 1
1
tan
= ;c r
y I
y
2yl
I
no e s a p l i c a b l e ·el n eson por ejemplo l a s s i
X
sen x
Un metodo g e n e r a l que tambien s i r v e p a r a r e s o l v e r a q u e l a s en donde e l metodo de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n dos no es a p l i c a b l e e s e l de v a r i a c i d n de p a r i m e t r o s . st e metoda se d e s a r r o l l o p a r a d e t e r m i n a r l a s o l u c i 6 n de 1 e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l de p r i m e r o r d e n , en e l i n c i s e 1 . 2 . 3 a h a r a se g e n e r a l i z a r i p a r a l a e c u a c i 6 n de o r d e n n . e c ~ a c i o n e s
C o n si d e r e se l a s i g u i e n t e e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l l i n e a l : 59) l a s o l u c i 6 n g e n e r a l de
l a e c u a c i 6 n homogenea a s o c i a d a e s ~
TEORH1A I . 4 Si y
1
y y
2
son dos s o l u c i o n e s
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s de
l a e c u a c i 6 n homogenea a s o c i a d a a l a e c u a c i 6 n no homogenea: yl I
lyl
entonces la soluci6n p a r ~ i c u l a r es:
zy
de
q(x)
_
l a e c u a c i 6 n no homogenea (61))
donde l a p r i m e r a d e r i v a d a de u(x) rna de e c u a c i o n e s :
y v(x)
satisface
[; ::] [:: :::] [ ]
el siste
61)
, - t
-
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