Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias

 

e c u

es

c i o ~

diferenci les en diferen ias Prospero Garci Carlos

e

Ia

Lanz:a E

Facultad

Noriega Editores

·E D IT O R I MEXICO

•

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U n i ~ e r s i d a f

lngenieria N a c ~ o

L

ESPAI\IA ESPAI\IA • COLOMBIA

VENEZUEL

•

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Autonoma: de Mex co

•

PUERTO RICO

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INA

 

APUNTE

il

i

FACUL TAO DE INGENIERIA

63

]

IIIII

ij :

G.

I

610989

610989

·

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Primera Edici6n R

©

1984 Universidad Nacional Autonoma ·de Mexico

ISBN 968 837 164 5 /," pr< .«'fllaciO.w. \lt xieo. D. F •

. lit·mhro de l_a Camara i\at·ional d . Ia Industria Editorial. Re (istro 1\ium. I 21 Primera reimpresion: 1988 /mprP.w en J ~ I P x i c o

( 'j.J/r 71

ISBN

968-

18

29

8

5

-

.-·.,·.:......-

 

En el documento sobre Evaluaci6n y Marco de Refe encia para

los Cambios Academico-Administrativos de Ia Universidqd Nacional Aut6noma de Mexico, se senoia como uno de los problemas impor tantes para el estudiante el no contar con suficiente material biblio gr6fico para Ia adquisici6n de conocimientos y Ia f6cil preparaci6n de las materios en los diversos niveles de ensenanza qu · Ia univer sidad ofrece.

El Programa Emergente de libros de Texto demue tra que Ia comunidad universitaria conociendo sus problemas mediante ; soluciones sencillas respue respuestas stas para su beneficia. El programa tiene por objeto editor los text textos os basi s para Ia formaci6n integral del estudiante universitario, asi como aquellos que · constituyen apoyos significativos al proceso ensenanza-aprendizaje en las materias fundamentales y con mayor numero de aluntlnos en las

l

universidades del pais.

·

La Universidad Nacional Aut6noma de Mexico des que este esfuerzo editorial adicional venga a satisfacer expectativas y nece - sida sidade des s de los estudiantes, quienes enfrentan Ia necesidad de contar

f con textos b6sicos, sencillos y de precio accesible para su formaci6n ( basica como universitarios.

t

1

N o pretenden ser estos los unicos materiales de consul,a; el alum ' no deber6 hacer esfuerzos por ampliar los conocimientos de Ia mct f feria, consultando otras bibliografias. Constituyen fundamentalmente el principia basico de Ia educaci6n en los temas que contienen, como un esfuerzo que intenta inducir hacia Ia busqueda de otros conoci . mientos, y no pretende ser ser totalizador en el sentido de que Ips alumnos ·puedan considerar que todo el conocimiento en relaci6n a ·[Ia materia

·se encuentra m los. textos b6si b6sicos; cos; si son concebidos y entendidos .asi pueden ser de utilidad a los alumnos que cursan diversJs materias : a diferen dif erentes tes ni vel veles. es. ,

J

G

6

9'POR M l RAZ RAZA A HABLARA E ESP ESPIR IRITU ITU

9 8 Cd. Universitaria, 15

de m yo,

1984.

I

DR

OCT VIO RIVERO sJRR NO

 

f

PRESENT CION

· La Facultad de Ingenieria de Ia UNAM se ha distinguido el gran interes de sus autoridades y profesores para elaborar mate ial didac

tico de apoyo a Ia docencia. En efecto, desde la fundacion del Real Seminario de Mineria, en 1792, primer colegio ant ecesor de Ia Facult ad, al g .no .noss cate draticos escribieron apuntes que complementaran o sustituyeran a los lihros europeos que En esos tiempos estaban en uso, o que describieran los proce dimientos, tecnicas, inventos y descubrimientos que en su seno se ib 1 desarro Ilando, como resultado de Ia investigacion cientifica que en el selle o a cabo, o de aportaciones tecnologicas autoctonas, relacionadas fundamental 1ente con Ia mineria, que llegaron a tener aplicacion mundial importante. • Auri cuan do en los tiempos moder nos se ha facilitado Ia adqu"sicion de libros importados, tanto por el idioma extranjero y el alto precio, como por no ajustarse a los temarios de los programas de estudio de las a ignaturas que han estado vigentes, se ha estimulado a los profesores de Ia acultad a • escribir cada vez vez mas textos. Este loable intere s del p rsonal acttd acttdem em co espon ' por las taneo en unos casos o inducido en otros, ha sido apoyado siemp autoridades de Ia Facultad ·y de Ia Universidad, al concederle tic po para redactarlos, al brindarles apoyo editorial, tanto de caracter didac 'eo como de estilo de redaccion, y al aportar los recursos humanos y mater ales para su impresion y distribucion. , . .

1

f

han sidd enrique se ha logrado que algunos apuntes yque cidosEs conasiloscomo valiosos comentarios de .otros profesores de los alunlmos, des pues de algunos. -semestres de uti liz lizaci acion, on, se hayan formalizado co1o libros de texto, que han sido editados y distribuidos en Latinoamerica Espana por Ia pro pia l NAM o por compaiiias editor as comerciales, con lo cual han incrementado su prestigio academico tanto Ia Facultad como los aut res. Vale Ia pena seiialar tambien, que en Mexico Ia Facultad de I genieria fue una de las pioneras en Ia redaccion de libros de texto program dos para autoinstruccion, que han sido editados por Ia UNAM, y de libros p ra ense iianza por corre>.pondencia o a distancia, editados por Ia propia Facu tad. Por todo lo anterior, es muy satisfactorio para mi, que que con est y otros libros Ia Facultad de lngenierfa pueda contribuir significativament al Pro grama Emergente del Libro de Texto, que ha puesto en marcha l doctor Octavio Rivero Serrano, Rector de nuestra Universidad, el cual ermitira poner a disposidon de todos los estudi antes de Mexico, Iibros de xto con contenidos apropiados y de buena calidad e. impresos en formatos ec nomicos que contribuyan a lograr profesionistas cada vez mas preparados ara que con su accion coadyuven de mejor manera al desarrollo social, cientifico y tecnol6gico de nuestro pais. '

Dr. Octavio Agustin Rascon chavez Director de Ia Facultad de i ~ ~ e n i e r i a UNAM. ·· iudad de Mexico,

15 de mayo de 1984

 

PR

L

G

Dentro de l a s matem ticas a p l i c a d a s , l a s e c u a c i j u e g a n un p a p e l muy i r npor t a nt e en l a s

renciales

dife-

o n e ~

d i s ~ i n t a s

prodliesm c iaps l i n a s c i e n t f i c a s . inicios ap n b ea nrt e ec e su de m e c ~ n i c o s y g e o m ~ t r i En c o s susposteriorm ~ o a p l i c a c i 6 n se va extendienao a todas l a s ramas de fisic a y e n l o s ~ l t i m o s anos e s c o r n ~ n e n c o n t r a r l a s apl"cadas a d i s c i p l i n a s t a n d i v e r s a s como l a b i o l o g i a , l a e c o o m i a , la sociologia y la fisiologia. 1

De m s r e c i e n t e a p a r i c i 6 n s o n l a s e c u a c i o n e s e n d i ~ r e n c i a s , l a s c u a l e s han a d q u i r i d o i m p o r t a n c i a r e l e v a n t e c o n e l e s t u d i o de problemas d i s c r e t o s . E s t e t r a b a j o h a s i d e u t i l i z a d o como a p u n t e s p a r a l a a s i g natura i Ecuaciones D i f e r e n c i a l e s y en Di f e r e nc i a s ue s e i m p a r t e e n l a F a c u l t a d d e I n g e n i e r i a d e l a U.N.A.M. 1

I

primeros c a p i t u l o s , t r a t a n de l a s ecuaciones d i t a n t o o r d i n a r i a 3 como p a r c i a l e s . . M i e n t r r s que i.ltimos s e p r e f e n t a e l r n a t e r i a l r e l a t i v e , a las e c ua c ione s en d i f e r e n c i a s . I Los

c u

: ~

t r o

ferenciales en l o s t r e s

En e l c a p i t u l o I s e p r e s e n t a n l o s c o n c e p t o s ,

la teohta b -

s i c a y algunas a p l i c a c i o n e s de l a s ecuaciones _diferenciales o r d i n a r i a s l i n e a l e s , en e l c a p i t u l o I I se e s t u d i a n l ? s s i s se temas de e c ua c ione s d i f e r e n c i a l e s y en e l c a p i t u l o I ~ I p r e s e n t a l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e como un o p e r a d o r r q u e p e r m i t e r e s o l v e r t a n t o l a s e c u a c i o n e s , como l o s s i s t a s neales. En e s t e mismo o r d e n s e p r e s e n t a l a t e o r i a las a p l i c a c i o n e s de l a s e c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s , e n l o capit u l o s V VI V I I , s o l a m e n t e que e n l u g a r de l a t r a n $ f o r m a d a de L a p l a c e s e p r e s e n t a l a t r a n s f o r m a d a g e o m ~ t r i c a j ordin , ria. En e l c a p i t u l o IV s e p r e s e n t a un b r e v e d e s a r r o l o de l a s ecu;;tciones en d e r i v a d a s p a r c i a l e s .

La e l a b o r a c i 6 n d e e s t e t r a b a j o h a s i d e p o s i b l e g r a c a s a l a p a r t i c i p a c i 6 n d e un g r u p o e n t u s i a s t a de p r o f e s o r ~ s que han imp;;crtido l a m a t e r i a , e n e s p e c i a l d e l I n g . J o s ~ Ceballos ~ : o b e r a n i s , q u i e n f u e uno d e l o s p r o f e s o r e s q u ~ s i e m p r e s e p r e o c u p 6 p o r c o n t a r con un m a t e r i a l c o m p l e t e u e d i e r a a u x i l i a r a l o s alumnos e n e l p r o c e s o e n s e n a n z a apre£ dizaje. A s t a m b i ~ n queremos a g r a d e c e r a I r m a H i n o j s a l i x por l a adaptaci6n pedag6gica. los d e m ~ s sincere y u a d ist oad o r as d e mbireens t, o pmuy cA ulp pse r no m nc o im erc s e r f ~ injus o e n c i oun n a ra g su que a l g u n o de e l l o s no s e c i t a r a p o r un o l v i d o i n v o l u n t a i o .

ING

PR6SPERO GARCfA M RQUEZ

lNG

C RLOS DE L

L NZ

ELTON

 

C0 NT E N I D0

INTRODUCCION

7

ECUACIONES D I F E R E ~ C I

C PITULO I. I

LIHE LES

DIFERENCIAL.

ECUACION

LA

l

L E S

1 1 1

CONCEPTOS

1 1 2

SOLUCION

ORDEN

BE DE

•

UNA

Y GRADO.

ECUACION

DIFERENCIAL

RIA

I 2

2

1

I

2

2

1 2

3

o~

11

12

DIFERENCIAL LINEAL

ECUACION I

8

ECUACION

LA

DIFERENCIAL

LINEAL

DE

PRIMER

DEN.

.

RESOLUCION

DE

LA

ECUACION

HOMOGENEA

DE

LA

ECUACION

NO

DE

R··

I 3

2

LA

~

23 RI

28

DIFERENC1AL

DIFERENCIAL LINEAL GENERAL

31

1 3 1

SOLUCIPN

GENERAL

DE

LA

ECUAC ON

HOMOGENEA

1 3 2

SOLUC10N GENERAL

DE

LA

ECUACION

NO

EL

PROBLEMA

EN

LA

RESOLUCION

VALORES

DE

IN IC IA LES

31

A.

HOMOGEN

Y DE

34

ES

VALO

FRONTERA. DE

LA ECUACION

FICIENTES CONSTANTES.

I S

I

25

OPERADOR

ECUACION

1 3 3

[ 4

EL

DE

ORDEN

MER

1

•

HOMOGENEA

20

P R I ~ E R

ORDEN

RESOLUCION

18

DIFERENCIAL LINEAL DE

.

41

1 4 1

RESOU:CION

1 4 2

EL

METODO

DE

COEFICIENTES

INDETERMINADOS

49

1 4 3

EL

METODO

DE

VARTACION

PARAMETROS

57

APLICACIONES

C PITULO

II.

•

•

DE

LA

ltCUACION HOMOGENEA.

DE

•

SISTEM S DE LES

l

64

ECUACIONES DIFERENCI LES LIN

73

 

CONSTANTES •

MATRICES

.2.1

II.2.3

ClONES

•

SERIES

DE

,

LA

HOMOGENEOS.

II.2.7

CALCULO

NO

DE

LA

LA

•

•

.

.

.

.

.

MATRIZ EXPONENCIAL.

88

DE PRIMER

95

• •

RESOLUCION

DE

SISTEMAS

HOMOGENEOS

1.3.2

RESOLUCION

DE

SISTEMAS

NO

TEOREMA

EXISTENCIA y UNICIDAD

UN

LINEALES

n

III•

H I . l. 2

DE

•

DIFERENCIAL

105

•

DE ORDEN

DE PRIMER 1RDEN.

ECUACIONES

. . • • . •

•

107 110

E ~ I ~ T ~ N ~ I ~

LA

TRANSFORMADA LINEAL.

LA TRANSFORMADA INVERSA LA

PROPIEDADES

119

TRANSFORMADA DE LAPLACE.

~ :

RADOR

III.2.1

100

LA fRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINICION III.l.1

•

PARAISIS-

•

APLICACIONES. . . • . . • • • • • • •

CAPITULO

95

HOMOGENEOS.

•

DE·UNA ECUACION

SISTEMA DE

86

87

1

A

81

.

CONSTANTES

DE

su ISOLU-

.

MATRIZ EXPONENCIAL.

RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES

TRANSFORMACION

\DE

79

DE

FORMA

,

•

SISTEMAS

n

III.3

,

II.2.6

TEMAS

III.2

y

HOMOGENEOS

DE

II.3.3

III.l

MATRICES

DE

MATRICES Y CO CONVERGENCIA NVERGENCIA

PROPIEDADES

II. 3.

II.S

77

II.2.5

COEFICIENTES

II.4

FUNCIONES

78

SISTEMAS CION

II.2.4

3

75 DE

DERIVACION E INTEGRACION

1.2.2

II

• •

LA

•

LAPLACE

DE

• DE

~ R ~ N ~ F ~ R ~ A ~ A

•

•

•

•

.

.

DE

L

UN

~ A ~ L ~

TRANSFORMACIONES

•

131 134 137

1

L Y

1

•

139

TRANSFORMACION

III.3.2

TEOREMA

III.3.3

TRANSFORMACION INVERSA MEDIANTE FRACCIONES

DE

DERIVADAS.

L-

III.3.1

DE

CONVOLUCION

PARCIALES.

•

124

OPfRA-

LAPLACE

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS

COMO

DE

•

•

•

144 146

148

 

I LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LAS ECUACIONES

III 4

RENCIALES.

•

• •

•

•

•

•

• •

•

•

•

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

III 4 1

• •

CION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

CIALES LINEALES

6

IV.1

••••

163

•

•

.

•

•

.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

LA ECUACION EN DERIVADAS

PARCIALES.

DEFINICIONES. LA

SOLUCION DE UNA ECUACION

PARCIALES IV . 2

;;.;,;v+

3. 1 .

~ S ~ :

APLICACIONES

CAPITULO V

: ~ ~ : ~ ~ ~ ~ A ~ E ~

I

FUNCIONES DISCRETAS CIAS

•

•

.

'

· •

.

[

174

•

~ R ~ G ~ N l ~ T

YECUACIONES

R ~

v.

FUNCIONES DISCRETAS: PULSO,

1.

OPERACIONES CON FUNCIONES

V.2.2

LA SUMATORIA •

I

ESCALON

Y R

DISCRETAS

•

207

I

~ P

·

.

217

•

227

.•

SOLUCION DE UNA ECUACION EN DIFERENCIAS

LA ECUACION LINEAL EN DIFERENCIAS.

v. 4 .

1

RESOLUCION

DE ECUACIONES

•

236 238

242

LINEALES HOMOGE EAS

DE COEFICIENTES CONSTANTES

J.

209 212

222

LA ECUACION EN DIFERENCIAS

V.3.1

192

EN DIFlREN

DIFERENCIA DE UNA FUNCION OPERADORES

183

195

. . . . . . . . . . . .

1. 1

V.2.1

.

.... ..

v.

2

•

~ ~ I ~

•

. . . . . . . .

UNCION UNCIO N DISCRETA •

171

172

SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER • IV

V.4

169

METODO DE SEPARACION DE VARIABLES

IV.3

V.3

156

APLICACIONES.

V. 1 . 2

V.2

DIFE EN-

160

IV. 1. 1

V.1

RE OLD

ESCALON, IMPULSO Y RAMPA •

CAPITULO IV

IV . 4

152

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS FUNCIONES:

III S

III

•

.

EN LA

IFE-

•

245

 

V.4.2

METODO

DE

COEFICIENTES INDETERMINAOO

V.4.3

METODO

DE

VARIACION

DE

•

PARAMETROS

252

•

257

264

VI l

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS • • VI l l

V I

SISTEMAS

LES

CON

TRANSFORMACION

~

DEN

n

EN

UN

•

DE ECUACIONES EN DIFERENCfAS LINEA COEFICIENTES CONSTANTES . . •

DE

UNA

SISTEMA DE

ECUACIONES DE PRIMER

n

277

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

L I N E A ~ E S

VI.3.1

RESOLUCION

DE

SISTEMAS HOMOGENEOS

VI.3;2

CALCULO

DE

Ak

•

VI.3.3

RESOLUCION

DE

SISTEMAS

NO

RESOLUCION

DE

S I ~ T E ~ M

P OR

VI. 3. 4

VII l

APLICACIONES •

•

DEFINICION DE T R

281

•

HOMOGENEOS

291

OPERA-

D E ~

M•ED IO•

CA •

D

295 299

GEOMETRIC GEOMETRICA.

N S F O R ~ ~

CONVERGENCIA

DE

LA

•

•

•

•

•

304

•

GEOMETRICA DE FUNCIONES

T R ~ S F O R M

VII.3

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA GEOMETRICA.

VII.4

TRANSFORMADA

GEOMETRICA

TRANSFORMADA

INVERSA

INVERSA

D I S C ~ T

S

306 309

313

•

POR

F R A C C I O N ~ S

PAR-

CIALES VII 5

DE

BI

314

RESOLUCION DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS P O ~ LA

A

MEDIC

.

317

. . . . . . . . . . . • •

321

TRANSFORMADA

B L I 0 G RA F I

303

TRANSFORMADA G E ~ M E T R

VII 2

VII.4.1

280

•

• • •

TR NSFORM D

VII l l

A S

279

CORRIMIENTO

DOR

CAPITULO VII

,

•

DI

EN

·

FERENCIAS DE COEFICIENTES CONSTANTES • • •

VI.4

275

ECUACION EN DIFERENC AS DE OR

ORDEN •

VI.3

275

G E O ~ f f i T R I C A

.

.

.

.

.

 

I  

I NT R 0 D U C C I 0 N

Los presentes apuntes t r a t a n e l aspecto t e 6 r i c o de ecuaciones d i f e r e n c i a l e s y de l a s ecuaciones en d i f e c i a s . Asimismo se p l a n t e a n algunas a p l i c a c i o n e s es para que e l e s t u d i a n t e pueda a p r e c i a r l a cificas c i o n que e x i s t e e n t r e e l campo de l a s m t e m ~ t i c s cadas y las c i e n c i a s f i s i c a s y de l a i n g e n i e r i a .

as ea

ai-

Para ayudar a comprender e s t a s ecuaciones, s e puede l a d i f e r e n c i a fundamental e n t r e l a s ecuacion s d i f e r e n c i a l e s y l a s ecuaciones en d i f e r e n c i a s , radic en e l t i p o de funci6n considerada; ya que en e l primer a so se t r a b a j a con funciones c o n t i n u a s en e l segund C _ so con funciones d i s c r e t a s . c i r que

M u l t i p l e s problemas de s i g n i f i c a t i v a importancia en d i  versos campos del saber humano r e q u i e r e n para su es u dio de l a e l a b o r a c i o n de un modelo matematico que lo re Estes modelos e s t a n c o n s t i t u i d o s generalmente presente. por ecuaciones d i f e r e n c i a l e s o por ecuaciones en d i f e r e ~

cias.

 

8

C PITULO I l

Con

cial,

L

I

ECU CIONES DIFERENCI

ECU CION

LES LINE LES

DIFERENCIAL

e l f i n de e s t a b l e c e r e l concepto de ecuac se c o n s id e ra ra e l s i g u i e n t e problema:

·con una ve Un cuerpo e s lanzado ver t i cal ment e h a c ia a r r lo c id a d i n i c i a l v 0 ; considerando des pr eci abl e l a r e s i s t e n c i a del aire. Se desea o b te n e r una expresion matematica que r e  p re s e n te a l desplazamiento d e l cuerpo en cual qui er i n s t a n t e de tiempo. 1 La primera e ta p a para re s olve r e l problema, c o h s i s t e en e s  t a b l e c e r un modelo matematico d e l mismo. Por l o t a n t o , es n e c e s a rio i d e n t i f i c a r a l a s v a r i a b l e s que i nt er yi enen en e l problema y r e l a c i o n a r l a s por medio de leyes f f s t c a s . I

El problema planteado es dinamico, en donde l a s va ria ble s involucradas son: e l tiempo, e l d e s p l a z a m i e n t o , l a v e l o c i d a d l a a c e l e r a c i o n . De e s t a s , e l tiempo es una v ~ i b l e in d e  pendiente y l a s o t r a s son d e p e n d ie n te s .

Para cada v a l o r de tiempo t , hay uno solo u desplazamiento y , por l o t a n t o se concluye que. c io n de t , es t o e s : =

valor

y

del es fun

t)

de cuerpo l i b r e c o rre s p o n d ie n te se f iEl gurdiagrama a 1. 1.

ue s tra en l a -

/777?7777/77777 F ig u ra

I

l

 

9

El movir.1ie:1to d e l cuerpo c s t a regido por la· segunda l e y de . Iewton:

1)

d e l diagrama de cuerpo l i b r e , se observa que l a Gnica fu r za e x te rn a que actGa sobre e l cuerpo es e l peso del mism ya qne l a f r i c c i 6 n se c o n s id e ra des pr eci abl e, por lo tan o, l a suma de f u e r : a s en l a d i r e c c i 6 n v e r t i c a l es:

y

s u s t i t u y e ~ d o

en (1 ):

-mg

rn

de donde:

a

= -

 

2)

pero l a a c e l e r a c i 6 n puede e x p re s a rs e en terminos de l a v l o c i d a d o d e l d e s p l a z a m i e n t o , y en cada caso l a e x p r e s i 6 n 2) queda re p re s e n ta d a de l a s i g u i e n t e forma: dv

at

H t

-

 

- g

C u a l e s q u i e r a de l a s e x p r e s i o n e s (3) 6 (4) represent el d e l o matem§tico d e l problema, es d e c i r , l a a b s t r a c c i 6 n d I problema f i s i c o . Se puede o b s e r v a r que d i c h a s e x p r e s i o n e son i g u a l d a d e s que c o n tie n e n d e r i v a d a s de l a i n c 6 g n i t a , y s e a de l a v e lo c id a d o d e l d e s p l a z a m i e n t o , y que a d i f e r e n c i a de l a s e c u a c i o n e s al gebr aJ cas , dicha in c 6 g n ita es una funci6n y no una v a r i a b l e numerica. A e x p r e s i o n e s de e s t f t i p o se l e s llama e c u a c ~ o n e 4 d ~ 6 e k e n c ~ a l e 4

Definici6n: Toda i g u a l d a d que r e l a c i o n a a u n a f u n c i 6 n desconocida con s u(s ) v a r i a b l e ( s ) inde pe ndie nte (s ) su(s) d e r i v a d a ( s ) , se llama ecu aci 6 n d i f e r e n c i a l .  \

Otros ejemplos de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s lig a d o s a fen menos f i s i c o s son l os s i g u i e n t e s :

 

10

O s c ila c i6 n de un pendulo de lo n g itu d L

A

e

0

.

e

tl

• • •

S)

i

Figura I .2

B)

D i s t r i buci 6n de l a t e m p e r a t u r a en una

a:

T = T x, y

C)

• • •

f.

6)

Ecuaci6n de un c i r c u i t o e l e c t r i c o con r e i s t e n c i a R, i n ductancia L y fu e n te de t ens i on e t ) en ~ e r i e I

+

L di dt

e

Ri _=

t)

1

i

t)

• • •

7)

I

e { I)

;

 

Figura

I

3

•

,

D

O s c ila c i6 n l i b r e , con amortiguamiento de u a masa s u s pendida de un r e s o r t e : 2

dtT +

m d y

at

e·t

t

h

dt

+ ky • 0

Uts±izr l 115

' y t)

•••

8)

I

 

.

.

11

Ecuaci6n de Laplace:

E

a

0

8Cx1

y

z)

D i v e r . o . fon6meno• f i • i o o • • • p r e • e n " n en e l campo d e l . i n g e n i e r i a , es t os pueden s e r modelados matemAticamente por medio de la s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s . I Todas l a s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s p re s e n ta d a s h a s t a a h ~ r a a excepcion de l a s e c u a c i o n e s ( 6) y ( 9 ) , c o n tie n e n solam n te

derivadas o r d i n a r i a s , debido a que s u s i ncogni t as son fu ci o nes de una s ol a v a r i a b l e . A e c u a c i o n e s de e s te t i p o se ]e s llama e.c.u.ac....n-k- 1   y = 0 , r e s p e c t i v a m e n t e y es l a soluci6n general de l a ecuaci6n l i n e a l de orden

u(x)

k :

) o -

fac

En 

 

 6

D -

 , 1  

kU = 0

. El. problema se reduce a determinar e s t a f u , c i 5 n t i s f a c e a l a ecuaci6n ( 51) . Multiplicando 'mhos u(x) que sa miembros d e dicha ecuaci6n por e-A:x:

e s t a e t u a c i 6 n puede e s c r i b i r s e de l a forma:

b s t r ~ con i n t e g r a r su c e siv a m e n te e s t a e u a c i 6 n p a r a o b t e n e r l a funci6n u ( x ) :

+

CJt -:

d e sp e ja n d o u:

u • sustituyendo

c l x k - ~

u

+ c2xk-2 +

en l a expre i6n (SO) s e o b t i ~ n e :

+ CneAn-k+tx

+ ck+t eA x +

l

.

que e s l a soluci6n general de l a ecuaci6n d i f e e n c i a l l i n e a l homogenea (44), en e l caso de que una de l a s r a i c e s ) de 1i l a ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a sea de m u l t i p l i c i d a d k . S la ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a t i e n e r a i c e s m u l t i p l e s , cada una de e l i a s t i e n e una c o n t r i b u c i 6 n semejante en l a soluci6n gene como se muestra en l o s s i g u i e n t e s ejemplo$. ral

Ejemplo I . 6 Sea l a ecuaciOn d i f e r e n c i a l : • · ~

4 y ' . - 3y' + 18y = 0

 

47

La e c u a c i 6 n c a r a c t e r s t i c a c o rre s p o n d ie n te e s : 1'

-

41

2

-

31 + 18

=

0,

cuyas r a c e s s on:

por lo tanto, rencial es:

la

s o lu c i6 n g e n e ra l de l a e c u a c i 6 n d i f e -

Ejernplo 1 . 7

Dada l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l :

P a r a o b t e n e r l a s o lu c i6 n g e n e r a l , la ecuaci6n car act er s t i ca:

l as ra ces

son :

con e s t a s r a c e s ,

o

se

se e s t a b l e c e prirnero

la

s o lu c i6 n g e n e ra l e s :

r

t

CASO

C

RAICES

COMPLEJAS

S i alguna de l a s r a t c e s de l a ecuac1on c a r a c t e r i s t i c a (47 es e l nfimero complejo a + b i , e n t o n c e s e l complejo conjuga o b i s e r l tambi n r a i z de acuerdo con l a t e o r i a de e c u c · ~ nes p o l i n o r n i a l e s . La p a r t e de l a s o lu c i6 n g e n e r a l de (44) c o rre s p o n d ie n te a e s t e p a r de r a i c e s e s :

k

donde k 1

1

e

(a+bi)x+ k

2

e

(a-bi) x

k 2 son c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s .

 

48 Sin embargo, es conveniente e xpr e s a r l a s lu cio n es nadas en terminos de funciones r e a l e s . La teo r1 a de b le compleja nos proporciona e l medio p ara [ o g r a r l o , zando l a formula de E u ler: e ±i

9

= c os e

± i s en 9

l aLa : ex p resio n (5 2 ) puede e s c r i b i r s e , emplea do e s t a formu k

e

(a+bi)x

+ k 2 e (a -. bi ) x.

k eaxebix

+ k eaxe-bix

e a x ( k   e b i x + k2 e - b i x ) eax

(cos b x + i s e n bx)

+ k 2 ( c o s b x - i s e n bx) eax[ k

1

J

+ k2)cosbx+ i k

-

1

2

)senbx]

donde: J

Par o t r a p a r t e , c ua l qui e r ra1z compleja a + b i de l a ecua cio n c a r a c t e r 1 s t i c a puede t e ne r una m u ltip lic id a d "k"; lo que implica l a e x i s t e n c i a de l a r a i z conjugada a - b i , tam En e s t e caso l a so lu ci6 n g e ~ e bien con m u l t i p l i c i d a d "k". r a l de l a ecuaci6n d i f e r e n c i a l in clu y e 2k terminos l i n e a l mente in d ep en d ien tes, l o s c u a le s, combinando l os re su lta d o s de l o s casas A) y (B) p resen tan l a e s t r u t u r ~ siguiente: [

(c

(

1

+ c 2x + c 3 x

2

+ • . • -+ ckx

ck + 1 + ck + 2 x + ck + 3  x 2 +

k 1

) sen bx

+ c k xk 2

I)

co

Ej e mpl o I.B Dada l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l : y

I

I

+ y

I

+ 4yl

+ 4y = 0

la ecuaci6n car act er i st i ca correspondiente. es:

y sus r a t c e s son:

- .....t ·o .·e : N? S

d f

_

~

I

bx

J eax

 

9

=

2i

=

-2i por lo tanto,

0

2i

0 -

2i

la soluci6n general es:

o sea:

Ejemplo

.9

Dada l a e c u a c i 6 n : {D

5

90

-

4

34 0

3

66 0 2

-

650 - 2 5 ) y

0

l a ecuaci6n c a r a c t e r s t i c a es:

0 factorizando: {A -

sus ra1ces

t

1

{A

2

-

 A

5

2

0

son:

2 p o r l o que cial es:

i

la soluci6n general de la ecuaci6n d i f e r e n 

..:..:-

.4.2

EL METObO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

En e l i n c i s o a n t e r i o r se e s t u d i ~ l a r e s o l u ~ i n de l a s ecua cio n es d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s homogeneas de c o e f i c i e n t e s En e l p r e s e n t e i n c i s e se e s t u d i a r a un metodo uc ons t a nt e s . t i l i z a d o p a r a o b ten er l a so lu ci6 n p a r t i c u l a r de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l no homogenea. 1 Sea l a ecuaci6n d i f e r e n c i a l

tes:

y

2y

y

l i n e a l de c o e f i c i e n t e s co n stJn

2x

3

 

50

Para deterrninar su s ol uc i 6n • e n e r a l , s e a trans formarla en u ~ a ecuacion. d i f e r e n c i a l homogenea. Para e s t o d eb erl a nul a r e l miembro derecho de l a ecuacion 53). En terminos d el operador d i f e r e n c i a l , l a ecu • cio n queda r e p resen tad a como: (D

2

+ 2D' +

+ 3

1}-y = 2 x

aplicando en ambos miembros e l operador D2

o

:

sea: y

• v)

+ 2y

I

+ y

I

I

I

=

0

l a ecuac1on d i f e r e n c i a l r.esulto de c u a r t o ortien I ci6 n g en eral e s :

s u s ol u-

•••

54)

ademiis, 1a: soluc:ion de l a ecuacion d i f e r e n c i I homogenea aso S3 ) e s :

c i a da a

y c

=

x ~

i a so lu cio n g en eral de

clt

x

+ c z x ~ - x

55}

53) e s d • l a forma:

...

y = Yc .f y p

su stitu y en d o l a s so lu cio n es

54) y

55) en

~ - ) -

~ 6 ) :

de donde:   ·57)

c3 y

de

t

son c c n s t a n t e s a l a s

~ o t u c ~ 6 n

p a ~ t ~ c u t a ~

Yp·

que se denomin.

c3 y c deben de t e n e r un v a lo r ecuaci6n 53).

tal

que y

P

s1tisfaga a la

Sustituyendo yp en l a ecuacion no homogenea

e s t o es:.

c o e 6 ~ c ~ e n t ~

53):

 

51

igualando c o e f i c i e n t e s :

por

Lo

tanoto: y

ent onces Yp = 2x - 1 y l a s ol uc i on g en eral de l a ecuaci6ln

d ;iferen cial

(53) es:

=

Y

Yc

Yp

Del problema n t ~ r i o r t a l e s , a s a be r :

 

1.

Un o p e r a d o r P 1 ( D ) , en e s t e caso D2 , t a l qu.e a l o p e r r r sobre amb ambos os miembros de l a e c u a c i 6 n gener6 una ecu ci6 n homogenea.

2.

La so lu ci6 n de l a ecuac1on homogene; r e s u l t a n t e , en e s t e caso de c ua r t o orden, p erm iti6 o b ten er l a formt de l a so lu ci6 n p a r t i c u l a r de la ecuaci6n o r i g i n a l .

j

Sin, eatbargo, cabe p.reguntarse s i toda ecuaci6n d i f e r e n c a l ·

n

n-1

de l a forma D + a 1 D + • • • + a n l y = q ( x ) admite u n o e r ~ dor ? 1 D) que genere a p a r t i r de e l l a , una ecuaci6n homoge nea, e s t o e s , un operador d i f e r e n c i a l de l a forma

bn, que a pl i c a do a l segundo miembro Dn + b 1Dn-l + • • • q ( x ) de l a ecuaci6n no homogenea, lo a nul e :

t

ctfl

58) I

Para responder a l a pregunta se t i e n e pr e s e nt e que l a edua ci6 n es d i f e r e n c i a l l i n e a l h o m o ~ ~ n e de c o e f i c i e n t e s c o n ~ t ~ t e s , l a c u a l , evidentemente no se s a t i s f a c e p ara c ua l qui e r funci6n de "x". Esto qui e r e d e c ir que no c u a lq u ie r funci6n de "x" se anula a l se r a f e c t a da por e l operador P 1 (D), sin o que exclusivamente a que l l a s que son so lu cio n es de l a e c u a  ci6n.

d ~ e lo a n t e r i o r s e deduce, para que una funci6n q ( x ) d pueda s e r anulada por algiin operador d i f e r e n c i a l l i n e a l , , es i ndi s pe ns a bl e que d ich a funci6n sea so lu ci6 n de alguna e c ~ -

ci6 n d i f e r e n c i a l · l i n e a l homogenea.

El opetador d i f e r e n c i a l capaz de a nul a r e l segundo miemb•o de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l no homogenea, s e denomina nu d o ~

a n ~ q u £ t a d o ~

En e l i n c i s e 1 . 4 . 1 , se o b tu v iero n l a s funciones que r e p r l a so lu ci6 n g en eral de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l l i neal como l a 5 8 ) , de acuerdo l n a t u r a l e z a de l a s r a i c r s s ~ n t a n

de su e c u a c i 6 n c a r a c t e r i s t i c a .

Teniendo en cu en ta l os t r e s c a s e s que a l r e s p e c t o p u e d e n s e n t a r s e , l a s s ol uc i one s de t a l e s ecu acio n es son siempre cio n es d el t i p o :

l p r ~ ~ u n -

l J

 

k

a C lR

C N

k C N,

a C lR

b

lR

l a suma a l g e b r a i c a de e l l a s . P or - l o ta n to puede asegu r a r que solamente e s t e t i p o de f u n c i o n e s son anuladas por operadores l i n eal es . Para o b te n e r un operador P 1 D) apropiado quel anule a una funci6n q(x) dada, se r e q u i e r e d e te rm in a r l a ecuaci6n homo genea, de l a c u a l l a funci6n q(x) es s o lu c i6 n . Se deterrninaran a c o n tin u a c i6 n lo s operadorel ani qui l ador es de algunas funciones de usa f r ecuent e. Considerando primeramente la

funci6n q(x)

k-l.

=

La fun

1 e s t e tipo1de funci6n es cion propuesta equivale a xk - e 0 x l a s o lu c i6 n de una ecuacion homogenea, cuya ecuaci6n car ac t e r i s t i c a t i e n e una r a i z > = 0 , y de m u l t i p l i c i d a d "k" (caso 0, un operador d i f e r e n  B). Como l a r a i z mul t i pl e es >

c i a l anulador e s :

se v e r i f i c a que:

Dk xk 'l siempre

cuando k - 1

0

0.

Considerando e l caso en que q(x)

=

e>.1x, i s t

funci6n es s0 -

lu c i6 n de una ecuaci6n l i n e a l de primer arden, cuya ecuaci6n c a r a c t e r i s t i c a tie n e p a r r a i z > = 1 . El a n u l a d o r de e s ta funci6n es p a r lo t ant o D -   1) , lo c u a l p u e ~ verificarse f c ilm e n te , a p lic a n d o e l a n i q u i l a d o r a l a funci6 : >

X

A1) e 1

(D -

=

1

AX AX e 1 - A1e 1

1

=c

Finalmente, analizando e l caso de una comb-inJ i6 n l i n e a l de f "n" funciones como· l a s i g u i e n t e : q(x)

~

cleA1x

c2eA2x

•••

c n ~

n x

esta. corresponde a l a s ol uci 6n g e n e ra l de una kcuaci6n d i  fe re n c ia l l i n e a l homogenea de arden "n"; e l o p ~ r d o r a n i  qui l ador c o rre s p o n d ie n te es entonces, un o p e r ~ o r de arden "n ", e l c u a l usando l a r epr es ent aci 6n f a c t o r i z f d a es:

Los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s y o t r o s , se pr es ent n en l a t a b l a s i g u i e n t e , a f i n de que s i r v a n como a u x i l i a r e en l a determi naci6n del operador a n i q u i l a d o r .

 

1  .

.

53 q (x )

ANULADOR

k+1

k

D

eax

x k -1 eax co s bx X

k-1

X

ax co s bx

k-1 ax

e

k-1

en bx

x

k - 1 ax

e

D -

a)k

(02 + b z ) k

o z - 2aD +

eax s en bx

c o s bx

a)

02 + b2)

s en bx

c o s bx

D -

[oz

s e n bx

-

a2 + b2)

2aD + (a2 + b 2 ) ] k

Tabla I.l

Los ejemplos s i g u i e n t e s muestran e l metodo complete de ficientes indeterminados.

Ejemplo I . l O

Sea l a s i g u i e n t e ecuaci6n d i f e r e n c i a l : + 3y

y

+ 2y = e - x + e - z x

l a s 6 l u c i 6 n g e n e r a l de l a e c u a c i 6 n e s de l a forma:

= Yc

Y

Yp

l a s o l u c i 6 n d e l a e c u a c i 6 n homog6nea a ~ o c i a d a

Yc

=c

~ ~

-x

=

x

es:

+ Cze-zx

- zx

Dado q u e q ( x ) e + e e s s o lu c i6 n de una ecuaci6n d i f e r e n c i a l l i n e a l h o mo g 6 n ea de c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , e l operador a n i q u i l a d o r e x i s t e y se puede determinar: como q (x) e s t s e t . i e n e qu«;:

f o r m a d a c o n l a s r a i c e s A1 = -

P 1 D)

=

D + l ~ l

+ 2)

es e l aniquilador correspondiente.

A p l i c a n d o P 1 D) D

a la ecuaci6n diferencial: 1)

D

resolviendo esta dltima

2

D2

3D

2 y

=

e c u a c i 6 n h o mo g en ea:

0

1

A

2

= -

2

oe 

:W

 

54

como: y

s e obtiene·:

odonde c 3 y c 4 s on l o s c o e f t i c : i e n t e s a d e t t e r m i - i r . d: s iSguusitei tnutye e ni ddeon t ipd aen

e c ua c i 6n o r i g i n a l , s e + b t i e n e l a

e- x

e -z x

de donde:

-<

.y

1

por lo tanto:

e nt onc e s l a s oluciiSn g e n e ra l de l a e c ua c i 6n es:

riginal

y

Ejemplo En

I

ll

l a e c ua c i 6n d i f e r e n c i a l : y

2y

la anulaci6n del t ~ r m i n o x ope r a dor 0 2 a l a e c u a c i 6 n :

La f unc i 6n x ~ x

x 1,

es s o l u c i 6 n d e

1

xex

s e l o g r a a p l i c a do e l

(D - 1

2y

= 0,

d e homogenea, e qua u i lcai 6n d o rno x ~ x es ( D s-e 1t i2e•n e :Aplicando a l l aa nei c

.la s o l u c i 6 n d e e s t a e c ua c i 6n homoqenea e s :

l o que

r

-

1 2

 

Como l a s o l u c i n d e l a e c u a c i n homoge ne a ~ o c i a d a la original es:

a

entonces:

s u s t i t u y e n d o Yp e n l a e c u a c i 6 n o r i g i n a l :

p c

e x

2yp = x

c ~ x e x

c , . e x

1

X4x

x

2 c

e x

2 c

2 c ~ x ~ = x ~ 1

simplificando:

donde:

3 c ~

pqr

lo tanto

genea e s :

Y

1

1/2

0

1/3

1

1/4

1

-

1/9

l a s o l u c i n g e n e r a l d e l a e c u a c i 6 n no h o mo -

= Yc

Yp

Ejemplo 1.12 Se a l a e c u a c i 6 n :

y

2y

y

=

sen x

· E l operador a ni qui l a dor de l a funci6n sen x

es:

xex

 

56

2

0

•.

a la ecuaci6n d i f e r e n c i a l :

a p l i c ~ n d o l o

0

1) 20

3

2

1) y =

20

2D

2

20

l y

02

1) s e n

=

x

0

0

E s t a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l l i n e a l e s homogen a d e c u a r to orden y su s ol uc i 6n ge ne r a l e s :

•

a q u e l a s o l u c i 6 n d e l a e c u a c i 6 n homogenea a o c i a d a e s :

entonces:

Yp

= c 3c o s

x

c ~ s e n

x

donde c 3 y c , ·son c o e f i c i e n t e s a d e t e r m i n a r .

Sustituyendo yp en l a e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l n

r.ea:

homoge -

sen x de donde:

= entonces,

t

y

los c o e f i c i e ~ t e s

c,

por lo

0

=

0

son: y

l/2

c3

n t o ~

1/ 2 cos X

y

y l a s o l u c i 6 n g e n e r a l de

t

1

y

c1e

-x

J a ecuaci6n diferenci 1 es: -x

c 2 xe

- 21

cos

X

,

 

57

EL METODO DE VARIACION DE PARAMETROS

1.4.3

El metoda de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s es muy u t i l i z a c o en l a r e s o l u c i 6 n de e c u a c i o n e s a i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s e s un metoda g e n e r a l , ya que e x i s t e n muchas e c u a c i o n e s E st a l i m i t a c i ~ r a l a s c u a l e s e l metodo no es a p l i c a b l e . r a d i c a en e l problema de o b t e n e r e l o p e r a d o r a n i q u i l a d o r , p a r a c u a l q u i e r f u n c i 6 n q ( x ) , a s i como en e l t i p o de c o c f · -

c i e n t e s de l a

e c u a c i

n ~

Algunas e c u a c i o n e s p a r a l a s c u a l e s todo de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s,

guientes:

a)

yl

b)

yl

c)

yl

d)

Y1

X

1

=

2y

L-n

y

2x y 1

1

tan

= ;c r

y I

y

2yl

I

no e s a p l i c a b l e ·el n eson por ejemplo l a s s i

X

sen x

Un metodo g e n e r a l que tambien s i r v e p a r a r e s o l v e r a q u e l a s en donde e l metodo de c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n dos no es a p l i c a b l e e s e l de v a r i a c i d n de p a r i m e t r o s . st e metoda se d e s a r r o l l o p a r a d e t e r m i n a r l a s o l u c i 6 n de 1 e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l de p r i m e r o r d e n , en e l i n c i s e 1 . 2 . 3 a h a r a se g e n e r a l i z a r i p a r a l a e c u a c i 6 n de o r d e n n . e c ~ a c i o n e s

C o n si d e r e se l a s i g u i e n t e e c u a c i 6 n d i f e r e n c i a l l i n e a l : 59) l a s o l u c i 6 n g e n e r a l de

l a e c u a c i 6 n homogenea a s o c i a d a e s ~

TEORH1A I . 4 Si y

1

y y

2

son dos s o l u c i o n e s

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s de

l a e c u a c i 6 n homogenea a s o c i a d a a l a e c u a c i 6 n no homogenea: yl I

lyl

entonces la soluci6n p a r ~ i c u l a r es:

zy

de

q(x)

_

l a e c u a c i 6 n no homogenea (61))

donde l a p r i m e r a d e r i v a d a de u(x) rna de e c u a c i o n e s :

y v(x)

satisface

[; ::] [:: :::] [ ]

el siste

61)

, - t

-