Ecuaciones Diferenciales Unidad 3

INTRODUCION 3.1 TEORIA PRELIMINAR 3.1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE 3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA TRANSFORMADAS DE LA PLECE 3.2 TRANSFORMADA DIRECTA 3.3 TRANSFORMADA INVERSA 3.4 PROPIEDADES 3.4.1 TRANSFORMADA DE LA PLECE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS 3.4.2 FUNCION ESCALON UNITARIO 3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE 3.4.4 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR t 3.4.5 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 3.4.6 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES 3.4.7 TEOREMA DE LA COMVOLACION 3.4.8 TRANSFORMADA DE LAPLECE DE UNA FUNCION PERIODICA 3.4.9 TRANSFORMADA DE LAPLECE DE UNA FUNCION DELTA 3.5 SOLUCION DE ECUACIONES

INTRODUCCION La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales. Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s. Las características fundamentales de la transformada de Laplace son: 

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.



Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.



Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.



Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

3.1 TEORIA PRELIMINAR La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Eulerhabía investigado un conjunto de integrales de la forma:

Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas. Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos. La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:

Donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:

. Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

3.1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LA PLECE La transformada de La place de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de La place, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de La place F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LA PLECE Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera: Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo Ser de orden exponencial

3.3 TRANSFORMADA INVERSA La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si

es que acaso Esta definición obliga a que se cumpla: y

PROPIEDADES En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Diferencial Equations with modelling applications Linealidad

Idea La transformada de Laplace y saca constantes que multiplican. Versión

se distribuye sobre

para

Primer

Teorema

las

sumas

o

restas

la

inversa:

de

Traslación

donde

Idea La transformada de Laplace una traslación en la variable s. Versión

Teorema

se convierte un

para

de

la

factor

exponencial

la

transformada

en

inversa:

de

la

derivada

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema

de

la

transformada

Teorema

de

la

integral

Siempre

y

de

de

cuando

la

la

integral

transformada

exista

Teorema

de

la

derivada

de

la

transformada

Transformada de la función escalón Si

representa

la función

Segundo

teorema

escalón

unitario entonces

de

Traslación )

Transformada de una función periódica Si f(t) es

una función

periódica con

período T:

3.4.1 TRANSFORMADA DE LA PLECE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS Decimos que una

función es continua a trozos si:

está definida y es continua en todo finito de puntos

, para

Para cada los límites :

, salvo en un número

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de

.

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de del tipo que aparecen en la figura

son discontinuidades de salto,

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontinuas. Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

3.4.2 FUNCION ESCALON UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bienactivo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario. La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 define como

se

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general

para

.

3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA PLECE (LINEALIDAD) Si

y

existen entonces:

para cualquier constante real. Demostración Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo Calcule

.

Solución

Como

por la propiedad de linealidad

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

3.4.4 TEOREMA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR Y DIVIDIDAS ENTRE t

Sea en

una función continua a trozos y de orden exponencial , entonces

Ejemplo Calcule

Solución Aplicando el teorema anterior para

, tenemos que

El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior. Ejemplo Calcule

Solución Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Por el teorema de multiplicación por

, tenemos que

De donde obtenemos que

y tomando

Teorema División por Sea en

una función continua a trozos y de orden exponencial tal que el límite

existe, entonces

Demostración Sea

Entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que

Integrando

Es decir,

Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que

.

El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema. Ejemplo Calcule

Solución Tenemos que

con lo cual

3.4.5 TRANSFORMADAS DE LAS DERIVADAS

Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo entonces:

Demostración Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

Ejemplo Use el resultado anterior para calcular

Solución Haciendo

, tenemos que

,

y de aquí concluimos que :

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.

3.4.6 TRANSFORMADAS DE LAS INTEGRALES La transformada integral

respecto el núcleo

función

se define de la forma

Donde

es la variable transformada.

El operador de transformación transformación inversa .

en el intervalo

de la

es lineal, así como el operación de

3.4.7 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto. DEFINICION La función

, donde

en el intervalo

es el conjunto de funciones continuas

dada por

se conoce como la convolución de

y

.

TEOREMA Sean

y

funciones continuas en el intervalo (ley conmutativa) (ley distributiva) (ley asociativa)

DEMOSTRACION

, entonces

La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.

3.4.9 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCION PERIODICA Si f(t) es continua por , de orden exponencial y periódica con periodo T,

tramos

en

(a) Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

(b) Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

Por es

consiguiente,

la

ecuación

(b)

Al se llega al resultado de la ecuación (a).

despejar

3.4.10 TRANSFORMADA DE LAPLECE DE UNA FUNCION DELTA Es evidente que, hasta el momento, la transformada de Laplace no es más que otra técnica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede ser sumamente "mal portado". En el caso de la ecuación (3), el término H(t) podría no ser una función continua (lo cual representa mejor a la realidad), con lo cual la función x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en algunos intervalos o instantes de tiempo predeterminados. La función más simple de este tipo es la función escalón o función de Heaviside. Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta función es la siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se define

A esta última función se la conoce como la función delta de Dirac. Llamamos función de impulso a cualquier función que se obtenga como una combinación lineal de deltas de Dirac. Las funciones descritas arriba se ilustran en la figura 1.

Figura 1: Aquí se ilustran las funciones y = ua(t), y = u.t,a(t) y äa(t). Intuitivamente, äa(t) es una función nula excepto en t = a, punto para el cual toma un valor "infinito". Podemos imaginar que esta función representa un shock o impulso en t = a, algo así como un martillazo, una descarga eléctrica o, porque no, una ganancia o pérdida inesperada de capital representada por un instante de inversión "infinita". A pesar de que parece absurdo, desde el punto de vista matemático, definir a la función de Dirac, la aplicación de la transformada de Laplace la convierte en una función manejable como vemos a continuación. Proposición 3.1 La transformada de Laplace de äa(t) está dada por

Demostración Dados a = 0 y .t > 0, calculemos primero L[u.t,a(t)](s) como sigue: