Ecuaciones Diferenciales. Unidad 2. Ecuaciones Diferenciales de Orden n - UNADM.

Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”

Ingeniería en Telemática

6° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Ecuaciones diferenciales

Unidad 2. Ecuaciones de orden “n”

Clave: 220920624 / 210920624

Universidad Abierta y a Distancia de México

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Índice Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n” .......................................................... 3 Presentación de la unidad ......................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ............................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................ 3 2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.................................................. 4 2.1.1. Teorema de existencia y unicidad ................................................................ 4 2.1.2. Problema de valor inicial .............................................................................. 6 Actividad 1. Teorema fundamental ............................................................................ 7 2.1.3. Principio de superposición ........................................................................... 8 2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano)..................................... 9 Actividad 2. Principios de superposición, dependencia e independencia lineal ....... 12 2.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n ........... 12 2.2.1. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos............................................................................................................. 12 2.2.2. Ecuación característica (Raíces reales y distintas, reales e iguales, raíces complejas conjugadas) ........................................................................................ 13 Actividad 3. Naturaleza de las raíces de una ecuación característica ......................... 17 2.3. Ecuaciones Diferenciales lineales no homogéneas ......................................... 18 Actividad 4. Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea................................................................................................................. 18 2.3.1. Definición ................................................................................................... 19 2.3.1. Método de coeficientes indeterminados ..................................................... 21 2.3.2. Método de la superposición ....................................................................... 23 2.3.3. Método del operador anulador .................................................................. 26 Autoevaluación ........................................................................................................ 31 Evidencia de aprendizaje. Graficación de ecuaciones diferenciales de grado dos... 31 Autorreflexión .......................................................................................................... 32 Para saber más ....................................................................................................... 32

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Cierre de la unidad .................................................................................................. 32 Fuentes de consulta ................................................................................................ 33

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n” Presentación de la unidad En esta unidad utilizaremos nuestros conocimientos adquiridos en la 1º unidad para resolver problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior. Se utilizarán los determinantes como herramienta para determinar la dependencia lineal de dos o más funciones y los Operadores Diferenciales para la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas.

Propósitos de la unidad

Con el estudio de esta unidad podrás: 

Identificar una ecuación diferencial lineal homogénea y no homogénea.



Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Y no homogéneas.

Competencia específica

Identificar las ecuaciones de orden n, para determinar sus soluciones generales y particulares así como interpretar sus resultados, utilizando los métodos de solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” 2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Iniciaremos esta unidad con el estudio de las ecuaciones diferenciales homogéneas y los métodos para resolverlas. Podemos representar una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea en su forma mas general de la siguiente forma:

dny d n1 y d n 2 y an  x  n  an1  x  n1  an2  x  n2  .....  a0  x  y  0 dx dx dx Donde los coeficientes

ak  x  para

(1)

k  1, 2,3,..n son funciones reales, con an  x   0

Mientras que:

dny d n1 y d n 2 y an  x  n  an1  x  n1  an2  x  n2  .....  a0  x  y  g  x  dx dx dx

(2)

Se le llama ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea porque g  x   0 . Nota: las funciones

g  x

y

an  x  se

suponen continuas en un intervalo

I   a, b dado.

Ejemplo 1: 3 y '' 2 y ' 4 y  0 Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea g  x   0 .

y ''' 2 y '' 4 y ' y  e2 x Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homogénea g  x   0 .

2.1.1. Teorema de existencia y unicidad Teorema 1 Sea la ecuación diferencial:

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” an  x 

dny d n1 y d n2 y  a x  a x  .....  a0  x  y  g  x      n 1 n2 dx n dx n1 dx n2

Y si además an  x  , an1  x  , an2  x  ,...., a0  x  y g  x  son funciones continuas en un intervalo I   a, b con

an  x   0

para todo

en este intervalo. Si x  x0 es cualquier

punto que pertenezca al intervalo I   a, b , entonces existe una solución única y  x  con valores iniciales en dicho intervalo. En los siguientes ejemplos veremos como se utiliza este teorema:

Ejemplo 2: Verificar si y  e2 x  3e2 x  3x

es una solución única de la siguiente ecuación con

valores iniciales:

d2y  4 y  12 x dx 2 y  0  4 y '  0  1

La ecuación diferencial

d2y  4 y  12 x es lineal, los coeficientes, así como dx 2

g  x   12 x son funciones continuas en cualquier intervalo que incluye x  0 . Podemos concluir por el teorema 1 que y  e

2 x

 3e2 x  3x es solución única.

Ejemplo 3: 2 Verificar si la función y  cx  x  3 es una solución del problema de valor inicial:

x2 y '' 2 xy ' 2 y  4 y  0  3 y '  0  1 2 Si bien la ecuación diferencial x y '' 2 xy ' 2 y  4 es lineal y los coeficientes y

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” g  x   4 son continuos para todo x el problema es que a2  x   x 2 es cero en x  0 por lo tanto y  cx 2  x  3 no es solución única.

2.1.2. Problema de valor inicial Se puede presentar el caso de resolver una ecuación diferencial de 2º orden o superior en la cual los valores iniciales variable dependiente y/o sus derivadas se especifican en dos puntos diferentes a y b . Es decir supongamos que tenemos la siguiente ecuación con valores iniciales dados:

a2  x 

d2y dy  a1  x   a0  x  y  g  x  2 dx dx y  a   y0 y  b   y1

Se dice se trata de un problema de valores de frontera de dos puntos o, simplemente, un problema de valores en la frontera. Aunque se cumplan las condiciones del teorema de unicidad, en un problema de frontera se pueden tener: a) Soluciones infinitas b) Solución única c) Que no exista solución En el siguiente ejemplo se proporciona la solución general de la Ecuación Diferencial, mas adelante se explicara como se obtiene.

Ejemplo 4: Se tiene la siguiente ecuación con valores en la frontera:

y '' 64 y  0

y  0  0   y   0 2 Donde y  c1 cos8x  c2 sen8x es la solución general (también recibe el nombre de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” solución paramétrica, en este caso tenemos dos parámetros c1 y c2 ). Si sustituimos la primera condición de frontera y  0   0 tenemos que:

0  c1 cos  0   c2 sen  0 

0  c1 1  c2  0 

c1  0     0 tenemos que: 2

Si sustituimos la segunda condición de frontera y 

    0  c1 cos  8*   c2 sen  8*   2  2

0  c1 cos  4   c2 sen  4  Como c1  0

0  c2 sen  4  Como sen  4   0 Tenemos que la igualdad se cumple para cualquier valor de c2 por lo tanto hay un número infinito de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y cuyas gráficas

   .  2

pasan por los puntos  0, 0  y  0,

Actividad 1. Teorema fundamental De acuerdo al teorema fundamental de la existencia y unicidad, construye un ejemplo con resultado único y otro con un conjunto de resultados. 1. Analiza los ejercicios y resultados que tu Facilitador(a) te presenta. 2. Entra al foro: Teorema fundamental, y responde a las siguientes preguntas:  

¿Cuáles son las aplicaciones de una ecuación diferencial homogénea? y, ¿Cuáles serían las condiciones iniciales? Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” 3. Revisa y comenta las participaciones de dos de tus compañeros. Aceptando o rechazando su respuesta *No olvides revisar la Rubrica general de participación de foros ubicada en la pestaña de material de apoyo.

2.1.3. Principio de superposición El siguiente teorema se conoce como principio de superposición y consiste en reunir las soluciones particulares de una ecuación diferencial lineal para formar una solución general.

Teorema: Si tenemos que y1 , y2 ,.. yk son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

an ( x)

dny d2y dy  ... a x  a1  x   a0  x  y  0 en un intervalo I. entonces la 2   n 2 dx dx dx

combinación lineal:

y  c1 y1  c2 y2  ....  ck yk En donde las c1 , c2 ,..ck son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo I.

Ejemplo 5: Utilizar el principio de superposición si las funciones y1  x 2 y y2  x 2 ln x definidas en el intervalo  0,   satisfacen la Ecuación Diferencial Homogénea de tercer orden siguiente:

d3y d2y x  2x 2  4 y  0 dx3 dx 3

Por el principio de superposición, la combinación lineal:

y  c1 y1  c2 y2 y  c1 x2  c2 x 2 ln x Esta es la solución general de la Ecuación Diferencial en el intervalo  0,   . (Hay que Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” recordar que la función y  ln x esta definida en el intervalo  0,   ver figura 1)

Figura 1 gráfica de la función y  ln x

Ejemplo 6: Las funciones y1  e x , y2  e2 x , y3  e3 x definidas en el intervalo   x   son funciones que satisfacen la Ecuación Diferencial homogénea siguiente:

y ''' 6 y '' 11y ' 6 y  0 Por el principio de superposición, la solución general será la combinación lineal:

y  c1 y1  c2 y2  ....  ck yk y  c1e x  c2e2 x  c3e3 x

2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano) Se dice que es un conjunto de funciones f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x  son linealmente independientes si las únicas constantes para las cuales:

c1 f1  x   c2 f 2  x   c3 f3  x   ....  cn f n  x   0 Para toda x en un intervalo I, son c1  c2  ....cn .En otras palabras dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es ningún múltiplo constante de la otra en un intervalo I.

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Ejemplo 7: Las funciones f1  x   sen  2 x  y f 2  x   4senx cos x son linealmente dependientes en el intervalo   x   puesto que una función es un múltiplo de la otra (Ver figura 1): Demostración: Recuérdese la identidad trigonométrica sen2 x  2senx cos x Si multiplicamos por 2 ambos miembros de la ecuación tenemos que:

2sen2 x  2(2senx cos x) 2sen2x  4senx cos x Por lo tanto obtenemos que:

f 2  x   2 f1  x 

Figura 1 Grafica de dos funciones que son linealmente dependientes

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” El Wronskiano El siguiente teorema nos ayuda a determinar la dependencia lineal de n funciones en un intervalo dado I. Cada función se supone que es diferenciable por lo menos n  1 veces. Teorema Supóngase que las funciones f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x  tienen al menos

n  1 derivadas. Si el determinante w  f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x   (Wronskiano) no es cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones

f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x  son linealmente independientes en el intervalo I.





Si w f1  x  , f 2  x  , f 3  x  ,...., f n  x   0 Entonces las funciones f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x  son linealmente dependientes.





Si w f1  x  , f 2  x  , f 3  x  ,...., f n  x   0 Entonces las funciones f1  x  , f 2  x  , f3  x  ,...., f n  x  son linealmente independientes. El determinante (Wronskiano) se designa por:

f1  x 

f1 '  x 

W

f1

n 1

 x

f 2  x  ....

fn  x 

f 2 '  x  ....

fn '  x 

f 2

f n

n 1

....

n 1

Ejemplo 8: Utilizar el Wronskiano para determinar si las siguientes 6x x funciones f1  x   e f 2  x   e son linealmente independientes:

W (e x , e 6 x ) 

ex e

x

e6 x 6e

6x

 5e7 x  0

x 6x Para todo valor real de x por lo tanto f1  x   e y f 2  x   e son linealmente

x 6x independientes en cualquier intervalo del eje x porque W (e , e )  0 .

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Actividad 2. Principios de superposición, dependencia e independencia lineal Al finalizar esta actividad podrás resolver ejercicios de principio de superposición y un ejercicio de dependencia e independencia lineal. 1. Descarga el archivo “Principios de superposición, dependencia e independencia lineal” y haz lo que en él se solicita. 2. Resuelve los ejercicios que se te presentan, de acuerdo a las leyes de superposición. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura KEDF_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

*El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

2.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n de la forma:

an y ( n )  an1 y ( n1)  ...  a2 y  a1 y  a0 y  0 En donde los coeficientes an , an1 , an2 ,...., a0 son reales, podemos resolverla utilizando su ecuación característica, la cual se forma con los coeficientes an , an1 , an2 ,...., a0 de la siguiente manera:

an mn  an1mn1  ...  a2 m2  a1m  a0  0 Primero se analizarán las ecuaciones de 2º orden para pasar después a las de orden n.

2.2.1. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos Si tenemos una ecuación de 2º orden:

a2 y  a1 y  a0 y  0 La ecuación característica correspondiente será: Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” a2 m2  a1m  a0  0 Una vez resuelta la ecuación característica podemos usar las raíces para obtener la solución general de la ecuación diferencial. Al resolver la ecuación característica se pueden presentar tres casos: a) Raíces reales y distintas b) Raíces reales iguales c) Raíces complejas conjugadas

2.2.2. Ecuación característica (Raíces reales y distintas, reales e iguales, raíces complejas conjugadas) Caso I. Si al resolver la ecuación característica:

an mn  an1mn1  ...  a2 m2  a1m  a0  0 Obtenemos que todas las raíces sean reales y distintas m1  m2  m3  .....  mn , entonces la solución general es:

y  c1em1x  c2em2 x  ...  cnemn x

Ejemplo 9: Resolver la siguiente Ecuación Diferencial de 2º orden:

y '' 9 y ' 8  0 La ecuación característica será:

m2  9m  8  0 Factorizando obtenemos:

 m  1 m  8  0 Las raíces son:

m1  1 m2  8 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” La solución general es:

y  c1e x  c2e8 x Caso II Si al resolver la ecuación característica:

an mn  an1mn1  ...  a2 m2  a1m  a0  0 Obtenemos que todas las raíces sean reales e iguales a m1 , entonces la solución general es:

y  c1em1x  c2 xem1x  c3 x 2em1x  ...  ck x k 1em1x

Ejemplo 10: Resolver la siguiente Ecuación Diferencial de 2º orden:

y '' 4 y ' 4  0 La ecuación característica será:

m2  4m  4  0 Factorizando obtenemos:

 m  2 m  2  0

 m  2

2

0

Las raíces serán:

m1  2

m2  2 La solución general será:

y  c1e2 x  c2 xe2 x Caso III. Si al resolver la ecuación característica:

a2 m2  a1m  a0  0 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Las raíces m1 y m2 son complejas, entonces pueden escribirse:

m1    i m2    i Donde i 2  1 La solución general será:

y  c1e i  c2e i En la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en vez de funciones exponenciales complejas. Para hacer la conversión utilizamos la formula de Euler:

ei  cos  isen

La solución general será:

y  e x  c1 cos  x  c2 sen x 

Ejemplo 11: Resolver la siguiente Ecuación Diferencial de 2º Orden:

y '' y ' 4  0 La ecuación característica será:

m2  m  4  0 Hallamos las raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

m

1  12  4 1 4  2 1

Las raíces serán:

m1 

1  15 1 15i   2 2 2

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” m

1  15 1 15i   2 2 2

La solución general será:

ye

1  x 2

 15 15  x  c2 sen x  c1 cos 2 2  

Ejemplo 12: Resolver la siguiente Ecuación Diferencial de 3º Orden:

3

d3y d2y dy  19  36  10 y  0 3 2 dx dx dx

La ecuación característica será:

3m3 19m2  36m 10  0 Recordemos que cuando se tiene un polinomio la obtención de las raíces incluye los divisores de 3 y10 así como el cociente de los divisores de 10 entre los divisores de 3:

2 5 1 10 m  1,3, 2,5,10, , , , 3 3 3 3 Al efectuar la división sintética entre cada uno de estos factores encontramos que la raíz es m1 

1 3

 

1 3

Si dividimos el polinomio entre  m1   obtenemos:

1  3m3  19m2  36m  10   m   (3m2  18m  30) 3  Simplificando y Factorizando obtenemos:

 3m  1  2 3m3  19m2  36m  10    3(m  6m  10) 3  

3m3  19m2  36m 10   3m  1 (m2  6m  10) Hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” ecuaciones de segundo grado:

m

  6  

 6   4 110  2 1 2

Las raíces serán:

m1 

1 3

m2 

6  4  3i 2

m3 

6  4  3i 2

Recordemos que i  1 La solución general será: x

y  c1e 3  e3 x c2 cos x  c3 senx 

Actividad 3. Naturaleza de las raíces de una ecuación característica

Al finalizar esta actividad podrás:  Analizar la naturaleza de las raíces de la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado n.  Resolver las ecuaciones diferenciales, resolviendo la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado n. Realiza lo siguiente: 1. Resuelve las ecuaciones diferenciales que te indicará tu Facilitador(a). 2. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura KEDF_U2_A3_XXYZ.

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” 2.3. Ecuaciones Diferenciales lineales no homogéneas Se estudiara ahora la forma de encontrar una solución general de una ecuación lineal no homogénea de la forma:

an  x 

dny d n1 y d n2 y  a x  a x  .....  a0  x  y  g  x  n 1   n2   dx n dx n1 dx n2

En donde g  x   0 Uno de los métodos que existen para determinar la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en utilizar una solución particular. Definiremos una solución particular y p como cualquier función que no contiene parámetros y que satisface a la Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea.

Ejemplo13: Verificar que y p  3 es una solución particular de la Ecuación Diferencial de 2º orden:

y '' 4 y  12 Solución: Derivando obtenemos: y p ''  0 Al sustituir en la ecuación se cumple la identidad:

0  4  3  12

12  12 Por lo tanto y p  3 es una solución particular.

Actividad 4. Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea Al finalizar esta actividad podrás:  

Resolver de manera gráficamente una ecuación diferencial. Interpretar gráficamente la solución de una ecuación diferencia lineal Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” homogénea. A continuación: 1. Resuelve los ejercicios que te platea tu Facilitador(a). Puedes auxiliarte de algún software matemático como el Wolfram|Alpha. Para eso te brindamos un manual en la pestaña material de apoyo. 2. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura KEDF_U2_A4_XXYZ.

2.3.1. Definición Si tenemos a y p como la solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea:

an  x 

dny d n1 y d n2 y  a x  a x  .....  a0  x  y  g  x      n 1 n2 dx n dx n1 dx n2

En un intervalo I y además tenemos que la función:

y  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)  ...  cn yn ( x) Es la solución general de la ecuación homogénea:

an  x 

dny d n1 y d n2 y  a x  a x  .....  a0  x  y  0     n 1 n2 dx n dx n1 dx n2

Asociada en el intervalo. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea en el intervalo I se define como:

y  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)  ...  cn yn ( x)  y p

y  yc  x   y p  x  Donde yc  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)  ...  cn yn ( x) recibe el nombre de función complementaria. La solución general es entonces: y=función complementaria + cualquier solución particular En el siguiente ejemplo determinaremos la solución general teniendo como dato la solución particular

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Ejemplo 14: Encontrar la solución general de la siguiente ecuación:

y  3 y  2 y  4 x2 Si y p  7  6 x  2 x 2 Para determinar la solución general se tiene que resolver la ecuación homogénea asociada:

y  3 y  2 y  0 La ecuación característica será:

m2  3m  2  0 Factorizando obtenemos:

 m  2 m  1  0 Las raíces son:

m1  2 m2  1 La función complementaria es:

yc  c1e2 x  c2e x La solución general será:

y  yc  x   y p  x 

y  c1e2 x  c2e x  7  6 x  2 x 2

En los siguientes temas nos concentraremos en los métodos que existen para la determinación de la solución particular.

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” 2.3.1. Método de coeficientes indeterminados Este método es para obtener la solución particular y solamente funciona para ecuaciones no homogéneas:

an  x 

dny d n1 y d n2 y  a x  a x  .....  a0  x  y  g  x  n 1   n2   dx n dx n1 dx n2

Donde los coeficientes ak  x  para k  1, 2,3,..n son constantes, además g  x  debe ser una función del tipo k , xn , senx,cos x, eax o sumas y productos de esas funciones.

1 x

Este método no es aplicable si g  x  es una función de la forma: ln x, , tan x, sen 1 x

Ejemplo 15: Resolver la siguiente ecuación por el método de los coeficientes indeterminados:

y  3 y  2 y  2 x2  3x  6 Paso 1: Se determina la función complementaria:

y  3 y  2 y  0 La ecuación característica será:

m2  3m  2  0 Factorizando obtenemos:

 m  2 m  1  0 Las raíces son:

m1  2

m2  1 La función complementaria es:

yc  c1e2 x  c2e x Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Paso 2: Como g  x  tiene la forma de un polinomio supondremos que la solución particular tendrá la misma forma. (Es una característica notable que al derivar una función del tipo k , xn , senx,cos x, eax la derivada tenga la misma forma que g  x  ) Por lo tanto y p tendrá la misma forma:

y p  Ax 2  Bx  C Derivando dos veces obtenemos que:

y ' p  2 Ax  B y '' p  2 A Si sustituimos en la ecuación original:

y  3 y  2 y  2 x2  3x  6 2 A  3(2 Ax  B)  2( Ax2  Bx  C )  2 x2  3x  6 2 A  6 Ax  3B  2 Ax2  2Bx  2C  2 x 2  3x  6 2 Ax2  2Bx  6 Ax  2 A  3B  2C  2 x2  3x  6 Factorizando la expresión del lado izquierdo:

2 Ax2  x(2B  6 A)  2 A  3B  2C  2 x 2  3x  6 Igualando ambos miembros de la igualdad tenemos las siguientes ecuaciones:

2 A  2 , 2B  6 A  3 , 2 A  3B  2C  6

A 1 2B  6 A  3 Sustituyendo el valor de A:

2B  6(1)  3

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” B

9 2

9 2(1)  3( )  2C  6 2 C

35 4

Sustituyendo en la ecuación.

y p  Ax 2  Bx  C 9 35 y p  x2  x  2 4 La solución general será:

y  yc  x   y p  x  9 35 y  c1e2 x  c2e x  x 2  x  2 4

2.3.2. Método de la superposición El método de superposición se utiliza cuando en una Ecuación no Homogénea la función g  x  es la suma de dos tipos de funciones:

g  x   g1  x   g2  x  Por lo tanto tendremos por superposición que la solución particular será:

y p  x   y p1  x   y p2  x 

Ejemplo 16 Resolver la siguiente ecuación diferencial no homogénea por superposición:

d2y dy  2  3 y  4 x  5  6 xe2 x 2 dx dx Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Paso 1: Se determina la función complementaria:

d2y dy  2  3y  0 2 dx dx La ecuación característica será:

m2  2m  3  0 Factorizando obtenemos:

 m  3 m  1  0 Las raíces son:

m1  3 m2  1 La función complementaria es:

yc  c1e3 x  c2e x Paso 2: Determinación de la solución particular: Como g  x  tiene la forma de un polinomio mas una exponencial y supondremos que la solución particular tendrá la misma forma. (Recordemos del tema anterior que al n ax derivar una función del tipo x , e la derivada tiene la misma forma que g  x  ).

En este caso:

g1  x   4 x  5 g2  x   6 xe2 x y p  x   y p1  x   y p2  x  y p1  x   Ax  B Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” y p2  x   Cxe2 x  De2 x Sustituyendo tenemos que la solución particular es:

y p  x   Ax  B  Cxe2 x  De2 x Sustituyendo en la ecuación original:

d 2 yp dx

2

2

dy p dx

 3 y p  4 x  5  6 xe2 x

(4Cxe2 x  2Ce2 x  2Ce2 x  4De2 x )  2( A  2Cxe2 x  Ce2 x  2De2 x )  3( Ax  B  Cxe2 x  De2 x )  4 x  5  6 xe2 x Simplificando y agrupando obtenemos que:

3 Ax  2 A  3B  3Cxe2 x  (2C  3E)e2 x  4 x  5  6 xe2 x Igualando ambos miembros de la igualdad tenemos las siguientes ecuaciones:

3 A  4 , 2 A  3B  5 , 3C  6 , 2C  3D  0 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que:

A

B

4 3

23 9

C  2

D

4 3

Sustituyendo en la ecuación:

y p  x   Ax  B  Cxe2 x  De2 x 4 23 4 y p  x    x   2 xe2 x  e2 x 3 9 3 La solución general será: Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” y  yc  x   y p  x  4 23 4 y  c1e3 x  c2e x  x   2 xe2 x  e2 x 3 9 3

2.3.3. Método del operador anulador Empezaremos este tema explicando el concepto de operador diferencial. El símbolo

D n se usa para designar la derivada enésima de una función, es decir:

Dn y 

dny dx n .

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:

an y ( n)  an1 y ( n1)  ...  a2 y  a1 y  a0 y  g ( x) Podemos escribirla utilizando operadores diferenciales de la siguiente manera:

an Dn y  an1D( n1) y  ...  a2 D2 y  a1Dy  a0 y  g ( x)

(an Dn  an1Dn1  ...  a2 D2  a1D  a0 ) y  g ( x)

.

La expresión:

an Dn  an1Dn1  ...  a2 D2  a1D  a0 Recibe el nombre de Operador Diferencial lineal de orden n y a menudo se abrevia como P(D). Los Operadores Diferenciales de pueden factorizar como si fueran polinomios ordinarios:

Ejemplo 17: Factorizar los siguientes operadores:

D2  D  D( D  1)

D2  4  ( D  2)( D  2) D2  4D  3D  ( D  3)( D 1)

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Operador anulador Sea f  x  una función que tiene al menos n derivadas, si

(an Dn  an1Dn1  ...  a1D  a0 ) f ( x)  0 Por ejemplo si f  x   8 f '  x   0 en este caso el operador anulador es la primer derivada porque al multiplicarla por f  x  la anula. Si f  x   x f ''  x   0 en este caso el operador anulador es la segunda derivada porque al multiplicarla por f  x  la anula. Si f  x   x 2 f '''  x   0 en este caso el operador anulador es la tercer derivada porque al multiplicarla por f  x  la anula. Podemos concluir que el operador diferencial D

n

2 n 1 anula a cada una de las funciones 1, x, x ,..., x .

Un polinomio c0  c1 x  ...  cn1 x n1 puede ser anulado fácilmente encontrando un operador que anule a la mayor potencia de x.

Ejemplo 18: Hallar un operador que anule a 1  7 x2  9 x3 . Solución. Se sabe que D4 x3  0 y por lo tanto se tiene que el operador anulador será:

D4 (1  5x2  8x3 )  0 El operador diferencial ( D   )

n

anula a cada una de las funciones:

e x , xe x , x2e x ,..., xn1e x .

Ejemplo 19: 8x 5x Hallar un operador anulador para (a)e ,(b)6 xe .

Solución 8x a) Eligiendo   8 y n  1 se obtiene que ( D  8)e  0 2 5x b) Eligiendo   5 y n  2 se obtiene que ( D  5) 6 xe  0

Ejemplo 20: Obtener un operador diferencial que anule a e3 x  xe x Se tiene que Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” ( D  3)e3 x  0 ( D  1)2 xe x  0 . El producto de los 2 operadores ( D  3) ( D  1)2 anulará la combinación lineal dada. n

En general operador diferencial  D2  2 D  ( 2   2 )  anula a cada una de las funciones:

e x cos  x, xe x cos  x, x 2e x cos  x,..., x n 1e x cos  x e x sen x, xe x sen x, x 2e x sen x,..., x n 1e x sen x

Ejemplo 21: Obtener un operador diferencial que anule a e x cos 2 x y e x sen2 x 1

 D2  2 D  ( 2   2 )  anula a e x cos  x, e x sen x Eligiendo   1,   2 y n  1 se obtiene

( D2  2D  5)e x cos 2 x  0 y ( D2  2D  5)e x sen2 x  0 .

Ejemplo 22: Si se elige   0,   1

y n  2 el operador diferencial ( D2  1)2 anulará cos x ,

x cos x , senx , xsenx Además ( D2  1)2 anulará cualquier combinación lineal de esas funciones.

Ejemplo 23: Obtener un operador diferencial que anule a la siguiente función:

1  x  6sen2 x . 1

 D2  2 D  ( 2   2 )  Anulará e x sen x Eligiendo   0,   2 y n  1 se obtiene:

D2 (1  x)  0 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” ( D2  4)sen2 x  0 . Por lo tanto, el operador D2 ( D2  4) anulará a la combinación lineal dada. Ya vimos que para obtener la solución general de una ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes deben realizarse dos pasos: 1º paso: Hallar la función complementaria yc 2º paso: Obtener cualquier solución particular y p de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es la suma yc  y p . Si P  D  representa el operador diferencial, entonces una ecuación diferencial lineal, no homogénea con coeficientes constantes la ecuación puede escribirse simplemente:

P  D y  g  x Si P1 ( D) es el operador anulador y multiplicamos ambos miembros de la ecuación obtenemos que:

P1 ( D) P( D) y  P1 ( D) g ( x)  0 . Resolviendo la ecuación homogénea es posible descubrir una solución particular y p de la ecuación no homogénea.

Ejemplo 24: Resolver

y '' 3 y ' 2 y  8x 2

Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea

y '' 3 y ' 2 y  0 2 De la ecuación característica m  3m  2  (m  1)(m  2)  0 se obtiene de la función

complementaria:

yc  c1e x  c2e2 x .

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Paso 2. Multiplicamos ambos miembros de la ecuación ( D2  3D  2) y  0 por el operador anulador (recordemos que en el operador diferencial D exponente mayor del polinomio menos uno).

n

el valor de n es el

D3 ( D2  3D  2)  0 D3  4 x 2   4 D3 x 2  0

D3 ( D2  3D  2) y  4D3 x2  0 Al multiplicar obtenemos la siguiente ecuación:

m3 (m2  3m  2)  0 Factorizando obtenemos:

m3 (m  1)(m  2)  0 Como el operador diferencial D

n

2 n 1 anula a cada una de las funciones 1, x, x ,..., x .

La solución general debe ser:

y  c1e x  c2e2 x  c3  c4 x  c5 x 2 Donde y p  c3  c4 x  c5 x 2 es un polinomio de 2º grado por que el Operador Anulador es de un grado superior esto significa que la ecuación y '' 3 y ' 2 y  8x 2 tuvo que derivarse tres veces para anular la función g ( x)

y p  c3  c4 x  c5 x 2 Las constantes c3 , c4 , c5 se sustituyen por A, B, C :

y p  A  Bx  Cx 2 Sustituyendo y p en y '' 3 y ' 2 y  8x

2

y p '' 3 y p ' 2 y p  8x2

2C  3( B  2Cx)  2( A  Bx  Cx 2 )  8x 2 Factorizando obtenemos: Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” 2 A  3B  2C  (2B  6C ) x  2Cx 2  8x 2 Igualando coeficientes en la igualdad, se obtiene el sistema de ecuaciones

2 A  3B  2C  0

2B  6C  0 2C  8 Resolviendo resulta:

A  14 B  12 C  4 En consecuencia tenemos que:

y p  A  Bx  Cx 2 y p  14  12 x  4 x 2 Paso 3. La solución general es finalmente:

y  c1e x  c2e2 x  14  12 x  4 x 2

Autoevaluación ¡Muy bien! Haz llegado al final de la unidad. Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean. La calificación obtenida quedará registrada en el portafolio de evidencias. Para ingresar a la autoevaluación: Verifica el enlistado de las actividades y da clic en Autoevaluación.

Evidencia de aprendizaje. Graficación de ecuaciones diferenciales de grado dos Al finalizar serás capaz de utilizar ecuaciones lineales homogéneas para resolver ejercicios de ecuaciones diferenciales, así como su respectiva grafica, mediante el Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Ingeniería en Telemática

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” álgebra elemental y matricial, así como los teoremas del cálculo, para ello: 1. Sigue con atención las indicaciones de tu Facilitador(a). 2. Resuelve la EDO de segundo orden y’’ = g, obtén la solución general y la solución particular (2, 1) con derivada 1 en 2. 3. Determina la grafica correspondiente Es decir,

= 2,

y

= 2,

=1

1. Guarda tu gráfica en un archivo con la siguiente nomenclatura: KEDF_U2_EA_XXYZ. 2. Envíalo y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y renvía la nueva versión de tu evidencia. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexión Para propiciar tu autoaprendizaje, es conveniente que respondas y realices lo que te solicite tu Facilitador(a).

Para saber más Las aplicaciones más interesantes de las ecuaciones diferenciales requiere el dominio de otras ciencias como la Física, Química, Termodinámica, etc. Sin embargo en este curso se dan las bases para el planteamiento de problemas ve este video para saber más. Tareasplus. (2011). Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en dinámica. www.youtube.com/watch?v=KdkSiGp2oqs

Cierre de la unidad Esta fue muy extensa debido a que se necesitan bases solidas para comprender los temas que se abordaran en la unidad III y en cursos avanzados de Ecuaciones Diferenciales. Es todo un reto el poder entender todos los métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales la única opción que se tiene es el practicar mucho hasta poder dominar los temas. Te invito a que pongas todo tu interés en el estudio y que siempre tengas tu ánimo en alto.

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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n” Fuentes de consulta    

Boyce, W. E., y Diprima, R. C. (1978). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores a la frontera.(3º ed.). México: Limusa. Campbell, S. L., y Haberman, R. (1997). Introducción a las Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera. México: McGraw-Hill. Simmons, G. F., y Robertson, J. S. (1993). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. (2º ed.). México:.Mc Graw Hill.

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