Ecuaciones Diferenciales PEP 1

MaCatalán

Ecuaciones Diferenciales: Resumen PEP 1 1 Tipos de EDO de Primer Orden

Ecuación de Bernoulli

Variables Separables: Se realiza el cambio de variable: *

Solución constante. Se obtiene:

Homogénea de grado n

Se realiza el cambio de variable:

*Se transforma en una EDO de variables Separables.

*Se transforma en una EDO lineal.

Ecuación de Riccati Se realiza el cambio de variable:

Ecuaciones Exactas:

con

solución.

Se obtiene: Es una ecuación exacta si se cumple: *Se transforma en una EDO lineal

ó

Aplicaciones de las EDO de 1º Orden

Solución: Para calcular

Cantidad inicial en gramos. Número de gramos presentes en el instante t. Ritmo de crecimiento de x.

Factor Integrante

Se multiplica por un factor en una Ecuación Exacta:

a) Reacciones químicas de 1º orden y desintegración:

Ritmo de decrecimiento de x. Constante de proporcionalidad, para transformar la ecuación

b) Ley de Enfriamiento de Newton: “La velocidad con que se Para calcular a) Si depende de x:

enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire” : Temperatura de la sustancia en el instante t : Temperatura del medio en que se encuentra (aire)

b) Si depende de y:

*Se resuelve como una Ecuación Exacta

Ecuación Lineal

Si , entonces corresponde a una ecuación de variables separables. Solución:

Conocida como “Fórmula de Leibniz”

c) Problemas de Mezclas: Variación de sal en el tiempo

Cantidad de sal que ingresa

Cantidad de sal que sale

Capacidad recipiente. Velocidad Solución. Velocidad de Salida. Solución que Ingresa. Cantidad de sal por litro en el recipiente.

*Corresponde a una EDO lineal.

2

EDO lineal de 2º Orden No Homogénea

EDO de 2º Orden

Toda EDO del tipo se transforma en una EDO de 1º orden haciendo el cambio de variable:

EDO lineal de 2º Orden

Se resuelve la EDO Homogénea:

Solución general: *Solución Homogénea + Solución Particular.

Ecuación Normalizada:

a) Variación de Constantes:

EDO lineal Homogénea de 2º Orden

a) Si

1.

Resolver la EDO Homogénea .

y obtener

2.

Calcular el Wronskiano:

3.

Calcular constantes

4.

Calcular solución particular:

e

son soluciones de la ecuación:

b) Fórmula de Abel: con

y

conocido

Solución general: 5. Calcular solución general:

EDO Homogénea de Coeficientes Constantes

2º

con

orden

b) Coeficientes Indeterminados: con

constantes

Usamos la ecuación Característica con a)

con constantes

, polinomio de grado n ; r constante.

:

, 2 raíces reales y distintas: Con

La solución es:

contantes y

polinomios.

No es raíz de la ecuación característica

b)

, raíz real con multiplicidad 2

: 2.

Es raíz de multiplicidad α de la ecuación característica

Usando la fórmula de Abel, se obtiene la solución:

c)

, soluciones complejas: Forma de Constante

La solución es: Con

Ecuación de Euler con

Haciendo el cambio de variable

constantes

resulta: 5

*Se transforma en una EDO homogénea de 2º orden con coeficientes constantes.

Fuente: Ecuaciones Diferenciales G.Zill