Ecuaciones Diferenciales Orinarias y Aplicaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y APLICACIONES F. Bautista, M. Romero, J. Saavedra y R. Bazán Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión Facultad de Ciencias

Datos de catalogación bibliográfica

F. BAUTISTA, M. ROMERO, J. SAAVEDRA Y R. BAZÁN UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN ISBN: En consulta Formato: 210 x 297mm Páginas: 106

No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización escrita de la Editorial.

DERECHOS RESERVADOS c 2013 respecto a la primera edición en español por: UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Av. Mercedes Indacochea 609 Huacho (Perú)

ISBN: En consulta Depósito Legal: En consulta Última reimpresión, 2013

Edición en español: Editor: Diseño y Diagramación:

Este libro fue financiado con los recursos de FEDU.

AGRADECIMIENTO

Agradecemos en forma muy especial a cada una de nuestras familias, reconocen el esfuerzo en cada una de nuestras actividades académicas y que hacen de nuestro trabajo investigación sea el más valorable aporte a la Ciencia. También agradecemos a nuestros colegas del área de matemáticas autores de otros textos universitarios que nos han servido de consulta para el desarrollo y culminación de nuestro texto universitario.

LOS AUTORES

INDICE

Prólogo Capítulo I: Conceptos básicos

1

1.1. Introducción

1

1.2. Definiciones

1

1.2.1. Ecuación diferencial

1

1.2.2. Clasificación según su tipo

1

1.2.3. Clasificación según el orden

2

1.2.4. Clasificación según la linealidad

3

1.3. Propiedades de una ecuación diferencial

3

1.4. Solución de una ecuación diferencial

4

1.5. Solución explícita

5

1.6. Solución implícita

5

1.7. Solución general de una ecuación diferencial

5

1.8. Solución particular

6

1.9. Problemas de valor inicial

10

1.10. Unicidad y existencia de la solución

13

Capitulo II: Ecuaciones diferenciales de primer orden

16

2.1. Introducción

16

2.2. Ecuaciones diferenciales de Variable separable

16

2.3

26

Ecuaciones reducibles a Variable Separable

2.4. Funciones Homogéneas

30

2.5. Ecuaciones diferenciales Homogéneas

31

2.6. Ecuaciones reducibles a Homogéneas

37

2.7. Ecuaciones diferenciales Exactas

44

2.8. Ecuaciones reducibles a Exactas

53

2.9. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

60

2.10. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

65

Capítulo III: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

72

3.1.

Introducción

3.2.

Aplicaciones a problemas geométricos

72

3.3.

Aplicaciones al cambio de temperatura

74

3.4.

Descomposición y crecimiento poblacional

78

Capítulo IV: Ecuaciones diferenciales Lineales de Orden “n” 4.1.

Ecuaciones diferenciales Homogéneas con

83 83

coeficientes constantes 4.2.

Ecuaciones diferenciales Lineales No Homogéneas 91 con Coeficientes Constantes

Referencia bibliográfica

Apéndice

106

PROLOGO Este texto que presentamos está orientado básicamente para los estudiantes de Ciencias Matemáticas, Física e Ingeniería, teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales ordinarias es muy importante en la formación básica de los estudiantes de Ciencia e Ingeniería, debido a que con frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales. En este texto titulado Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y aplicaciones, hemos usado la experiencia adquirida en la larga carrera de la

docencia

universitaria, en el se presenta ejercicios resueltos y propuestos. La teoría se expone en forma precisa y necesaria para la solución de los diversos ejercicios y problemas presentados. Para entender este texto los estudiantes tienen que tener conocimiento del Cálculo Diferencial e Integral. Este texto contiene en el primer Capítulo los Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales, en el Capítulo II se estudia las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer Orden, en el Capítulo III se presenta algunas aplicaciones que son importantes y en el Capítulo IV se hace el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden ”n”, en el apéndice se presenta el desarrollo de ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas con Coeficientes Constantes.

LOS AUTORES

RESUMEN En este texto se presenta el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y sus aplicaciones, donde se consideran los conceptos básicos como Ecuación Diferencial, clases de Ecuaciones Diferenciales, Orden, Grado y solución de una Ecuación Diferencial. También se estudian las Ecuaciones Diferenciales de Variable Separable y reducibles a Variables Separables. Las Ecuaciones Homogéneas y reducibles a Homogéneas. Las Ecuaciones diferenciales Exactas y reducibles a Exactas; las Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden y las Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli. En las aplicaciones se ha considerado la aplicación a problemas geométricos, al cambio de temperatura y a la descomposición y crecimiento poblacional. También se hace el estudio de como se resuelve una Ecuación Diferencial Lineal de Orden “n” Homogéneas y no Homogéneas de coeficientes Constantes y por último se presenta la forma como se halla la solución general de las ecuaciones diferenciales Lineales de orden “n” aplicando el método de Variación de parámetros.

Los autores

CAPITULO I:

CONCEPTOS BASICOS

1.1. INTRODUCCION Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuaciones que tengan derivadas así como al estudiar algebra y trigonometría se invierten bastante tiempo en resolver ecuaciones, como con la variables x. Nosotros resolveremos ecuaciones como para conocer la función desconocida

Pero antes de

conocer cualquier tema es necesario conocer las definiciones y sus terminologías.

1.2. DEFINICIONES

1.2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.

1.2.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU TIPO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA (EDO): Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas ordinarias de una o más

variables

dependientes

independiente.

1

con

respecto

a

una

sola

variable

Ecuación diferencial para circuitos

( )

eléctricos

Ecuación diferencial de caída libre

Ecuación diferencial de decaimiento radiactivo

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Son las ecuaciones que contienen derivadas parciales de una función de una o más variables independientes.

(

Ecuación diferencial de Poissón

)

Ecuación diferencial de Laplace

(

Ecuación diferencial del calor

)

Ecuación diferencial de la fusión nuclear

1.2.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN

Pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden, hasta de orden “n” El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada en la ecuación diferencial.

⏟

⏟

(

*

2

(

)

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

NOTA:

Una

ecuación

diferencial

ordinaria

(

( )

general

se

puede

representar por: )

Por notación suponemos que la derivada de orden máximo,

( )

de

una ecuación diferencial se puede despejar quedando la ecuación: ( )

(

(

)

)

1.2.4. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD

Se dice que una ecuación diferencial de la forma es lineal cuando

es una función lineal de

( ) (

(

( )

)

)

Esto significa que

una ecuación es lineal de orden “n”, si se puede escribir de la forma: ( )

( )

( )

( )

( )

1.3. PROPIEDADES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado es decir que la potencia de todo termino donde aparece y es de primer grado. Los coeficientes solo dependen de x, que es la variable independiente. ( )

Las funciones de y como ecuación lineal. 3

no pueden aparecer en una

Ejemplo de ecuaciones diferenciales lineales (

) primer orden

segundo orden

tercer orden

Ejemplo de ecuaciones diferenciales no lineales ( ⏟

)

⏟

primer orden

(

⏟

)

segundo orden

Cuarto orden

1.4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL Cuando una función

( ) definida en algún intervalo

se sustituye en una

ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Se dice que

( ) satisface la ecuación diferencial. El intervalo

puede ser

( ) es una función de valores

abierto, cerrado, infinito, etc. Supondremos que reales.

Por ejemplo:

SOLUCIÓN: (

4

)

(

)

(

)

1.5. SOLUCIÓN EXPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es una solución en la que la veriable dependiente se expresa tan solo en terminos de la variable independiente y constantes, es decir que una solución ( ) es la cual podemos manipular (evaluar y diferenciar)

explícita

1.6. SOLUCIÓN IMPLICITA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL (

Una solución implícita de una ecuación diferencial, es una relación

)

en un intervalo I , y define a una o mas soluciones implícitas en I .

Ejemplo: (

No se puede despejar

)

en términos de x luego se puede hallar la derivada

implícitamente. (

)

(

)(

* (

)(

)

(

)(

)

Luego, esto verifica que es una solución de la ecuación diferencial.

1.7. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL La solución general de una ecuación deferencial es una función de la de la forma ( )

que contiene constantes arbitrarias.

5

La ecuación diferencial de orden “n”,

(

( )

)

expresada en parámetros (n-parámetros) como la familia con valores adecuados para

(

en un intervalo I, (

)

) Tiene una solución general que es

una familia de soluciones. El nombre de soluciones generales, solo se aplica a ecuaciones diferenciales lineales.

1.8. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución particular es una solución donde se conocen los parámetros de una solución general, es decir no tiene constantes arbitrarias.

-

6

EJERCICIOS PROPUESTOS: En las siguientes ecuaciones, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación: (

) (

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

) (

*

(

)

( )

( )

√

(

( ) (

)

( ) )

7

En los problemas siguientes, compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. En algunos casos suponga un intervalo adecuado para que la solución sea valida.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Indican constantes.

(

√

)

(√

)

( )

( )

( )

( )

√| |

(

*

| |

8

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

∫ (

)

(

)

(

(

( )

| ( )

)

( ) (

( )

)

) | ( ) |

( )

( )|

( ( )) ( ) (

9

)

(

)

(

)

(

)

( )

1.9. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Resolver un problema de ecuaciones diferenciales sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones iníciales que se imponen a

( ) o a sus

derivadas, es hallar la solución de una ecuación en un intervalo que satisfaga en

las n condiciones iníciales.

Un problema con valor inicial se puede escribir de la siguiente manera:

(

(

)

( ) ( )

{ (

Donde

)

)(

)

son constantes reales especificadas arbitrariamente.

Si una ecuación diferencial es de primer orden se tendrá una sola condición inicial. (

)

( )

Si una ecuación diferencial es de segundo orden se tendrá dos condiciones iníciales (

)

10

{

( ) ( )

Para la solución de una ecuación diferencial de primer orden con la constante “C” se tiene una familia de soluciones de las cuales solo una de las curvas pasa le punto (

) donde

y esa es la solución particular. Soluciones De La Ecuación Diferencial

𝑦

Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 ) (𝑥 𝑦 )

𝑥

𝐼

Para la solución de una ecuación diferencial de segundo orden no sólo se pide que pase por (

) si no también que la pendiente en ese punto sea

segunda condición inicial( ( )

)

Soluciones De La Ecuación Diferencial 𝑦

Solución particular con la condición inicial 𝑦(𝑥 ) 𝑦 es decir (𝑥 𝑦 ) 𝑦 (𝑥 ) 𝑦 Es decir 𝑚 𝑦

(𝑥 𝑦 )

𝐼

11

𝑚

𝑦

𝑥

por la

La solución de una ecuación diferencial de orden n tiene una familia n paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n constantes especificadas de tal manera que la solución se ajuste a la n condiciones iníciales.

Ejemplo Resolver los siguientes problemas con valor inicial.

(01)

( )

Muestre que

( )

es una solución del problema con

valores iníciales. ( )

( )

Solución: ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Al verificar las condiciones iníciales tenemos: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Cumple los requisitos, por tanto y es una solución del problema con condiciones iníciales.

(02)

Determine una solución del problema con valor inicial, si es una solución biparamétrica de soluciones de

12

. / . /

{ . /

. / ⏟

⏟

⏟

Primero derivamos:

. /

⏟

. /

⏟

⏟

Por lo tanto:

1.10.

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN

Al resolver un problema con condiciones iníciales surgen dos asuntos fundamentales: ¿El problema tiene solución? Si tiene, ¿es única?

TEOREMA 1.1

Existencia y unicidad

Dado el problema con valor inicial (

)

( )

Supóngase que: (

) *(

)|

+ 13

Que contiene al punto ( solución única donde

) Entonces el problema con valor inicial tiene una

( ) en algún intervalo

〈

〉

es un número entero positivo. 𝑦 𝑑

(𝑥 𝑦 ) 𝑐 𝑎 𝑥

𝛿

𝐼

𝑥

𝛿

𝑏 𝑥

REGIÓN RECTANGULAR

Ejemplo 01

Problema con valor inicial ( )

Examinar la función según el teorema 1.1 (

)

que contenga al punto (

) el problema con valor inicial tiene una solución única

según el teorema 1.1.

Ejemplo 02

Problema con valor inicial ( )

Examinar la función según el teorema 1.1 (

)

14

Rectángulo que contenga al punto (

) el problema con valor inicial no tiene una

solución única según el teorema 1.1.

EJERCICIOS PROPUESTOS En los problemas siguientes determine una región del plano

para que la

ecuación diferencial dada tenga solución única que pase por el punto (

) en la

región.

) )

Rpta. Semiplanos definidos por y >0 o por y0 o por x2 , y