Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES 1. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de x= 0 a 2:

dy  yx 2  1.1y , donde y(0)=1. Grafique la solución. dx

2. Utilice el método de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso. 3. Emplee el método de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta que  s  1% 4. Use el método de RK clásico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1 5. Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x=0 a 1,

dy  1  2 x  y dx

, y  0  1

6. Utilice los métodos de a) Euler, b) Heun (sin iteración) para resolver:

d2 y  0.5t  y  0 dt 2

,donde y(0)=2 y ’ (0)=0

Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los métodos por medio de graficar las soluciones. 7. Resuelva el problema siguiente con el método de RK de cuarto orden:

d2 y dy  0.6  8 y  0 .Donde y(0) = 4 y y´(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5. 2 dx dx Grafique sus resultados. 8.

Resuelva la ecuación que se presenta a continuación, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los métodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden:

9.

Solucione numéricamente el problema de t = 0 a 3,

dy  ysen3  t  , y  0   1 dt

dy   y  t2 dt

y  0  1

Utilice el método RK de cuarto orden, con un tamaño de paso de 0.5 10. Use los métodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:

dy  2 y  4e  x dx dz yz 2  dx 3 En el rango de x= 0 a 1, con un tamaño de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4 11. Investigue sobre el enfoque de RK – Fehlberg para llevar a cabo el mismo cálculo del ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1. 12. Haga un programa amistoso para el usuario para el método de Heun con corrector iterativo. Pruébelo para el problema 8 METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS

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13. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el método clásico de RK de cuarto orden. Pruebe el problema 9. 14. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con el empleo del método RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10. 15. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura) esta descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

d 2x dx m 2  c  kx  0 dt dt

Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortiguación (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva. 16. Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

dy  k y dt

, donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del

área de la sección transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m. Resuelva con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa de computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos. 17. El siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial:

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d 2x dx  5 x   x  7  sen t   0   dt 2 dt Donde:

dx  0   1.5 dt Observe que

  1.

y

x  0  6

Descomponga la ecuación en dos ecuaciones diferenciales de

primer orden. Después de la descomposición. Resuelva el sistema de t = 0 a 15, y grafique sus resultados. 18. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial siguiente:

c dv  g  d v2 dt m Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleración de la gravedad (9.81m/s2), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m= masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine en que momento choca con el suelo. Obtenga la solución con a) el método de Euler, y b) el método de RK de cuarto orden. 19. Un tanque esférico tiene un orificio circular en el fondo a través del cual fluye líquido (véase la figura ). La tasa de flujo a través del agujero se calcula como:

Qsal  CA 2 gH Donde

Qsal = flujo de salida (m3/s), C = coeficiente obtenido en forma empírica, A = área

del orificio (m2), g = constante gravitacional (=9,81 m/s2) y H = profundidad del líquido dentro del tanque. Emplee alguno métodos numéricos a fin de determinar cuánto tiempo tomaría que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de diámetro con altura inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un diámetro de 3 cm y C= 0.55.

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20. Para simular una población se utiliza el modelo logístico:

dp  k gm 1  p / pmax  p dt Donde p= población, kgm = tasa máxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax es la capacidad de carga. Simule la población mundial entre 1950 y 2000, con el empleo de algún método numérico. 21. El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como:

d 2T  0.15T  0 dx 2 Investigue una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150 22. Use el enfoque de diferencias finitas con

x  1para resolver el problema 21

23. Emplee el método de diferencias finitas para resolver:

7

d2y dy  2  yx0 dx 2 dx

Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8,

x  2

24. Utilice el método de diferencias finitas para solucionar

d 2T 4  1x107 T  273  4 150  T   0 2 dx

…….. (*)

Obtenga una solución para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100

x  0.01 25. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan simplificar si se linealizan los términos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el término a la cuarta potencia de la ecuación (* , ejercicio 24), se puede usar una expansión en series de Taylor de primer orden; así:

1x107 T  273  1x107 Tb  273  4 x107 Tb  273 T  Tb  4

4

3

Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el término. Sustituya esta relación en la ecuación (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuación lineal resultante con el enfoque de diferencias finitas. Emplee

Tb  150 y x  0.01 para

obtener

su solución. 26. a) Use menores para expandir el determinante de:

2    8   10

8 4 5

10  5  7   

b) Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más alto y el vector propio correspondiente, para el inciso a) METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS

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27. Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más bajo y el vector propio correspondiente para el problema 26. 28. Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 24. 29. Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio más alto con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 26. 30. Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio más pequeño con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27 31. Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee

x  0.1 para obtener su solución. 32. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100

dy1  0.35 y1  1.6 y1 y2 dt

dy2  0.04 y1 y2  0.15 y2 dt

Donde y1 = 1 y y2 = 0.05 en t= 0. Desarrolle una gráfica de espacio estacionario (y1 versus y2) de sus resultados. 33. La ecuación diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibración de un amortiguador de un auto:

d2x dx 1.2(10 ) 2  107  1.5(109 ) x  0 dt dt 6

Transforme esta ecuación en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones, de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para determinar los valores y vectores propios para el sistema. 34. Use algún código de Matlab para integrar:

dx  ax  bxy dt a) dy  cy  dxy dt Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30

dx   x   y dt dy b)  rx  y  xz dt dz  bz  xy dt Donde   10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e integre de t = 0 a 20. METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS

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35. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera :

d 2u du 6 u  2 2 dx dx

Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados u versus x. Utilice x  0.1 36. Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del método de diferencias finitas, que describa la distribución de la temperatura en una barra circular con fuente interna de calor S.

d 2T 1 dT  S 0 dr 2 r dr En el rango 0< r < 1, con las condiciones de frontera

T  r  1  1

dT dr

r 0

0

Para S = 1, 10 y 20 k/m2. Grafique la temperatura versus el radio 37. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Escriba las tres ecuaciones diferenciales en forma matricial.

vector de aceleración  matriz k / mvector de desplazamiento  0 Observe que cada ecuación ha sido dividida entre la masa. Resuelva para los valores propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los resortes: k1 = k4 = 15N/m, k2 = k3 = 35 N/m, y m1 = m2 = m3 = 1.5 kg

38. Considere el sistema masa – resorte que se ilustra en la figura de la parte inferior. Las frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solución para los valores propios y con la aplicación de Mx  kx  0 , que da como resultado:

 m1 0 0 m 2   0 0

0   x1   2k   0   x2    k m3   x3   k

k 2k k

k   x1  0     k   x2   0 2k   x3  0

Al elegir x  x0em como solución se obtiene la matriz siguiente:

 2k  m1 2   k  k 

k 2k  m2 2 k

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  x01  k 0     m   k   x02  e  0 2 0  2k  m3   x03   

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39. Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parásita no lineal:

dy1  5  y1  t 2  dt Si la condición inicial es y1 (0)  0.08 , obtenga una solución de t=0 a t=5: a) Analítica b) Con RK-4 con tamaño de paso constante de 0.03125 c) Investigue el uso de la función ODE45 de Matlab y aplíquelo al problema 40. Un balance de masa para un producto químico completamente mezclado en un reactor se escribe así

V

dc  F  Qc  kVc 2 dt

Donde V = volumen (12m3), c = concentración (g/m3), F = tasa de alimentación (175 g/min), Q = tasa de flujo (1 m3/min), y k = tasa de reacción de segundo orden (0.15 m3/g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel estable. Use el método de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados. Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con las soluciones de estado estable.





41. Sí cen  cb 1  e0.12t ; calcule la concentración en el flujo de salida de una sustancia conservativa (no reactiva) para un reactor único mezclado completamente, como función del tiempo. Use el método de Heun (sin iteración) para efectuar el cálculo. Emplee valores de cb  40 mg / m3 , Q = 6 m3/min, V = 100 m3, y c0 = 20 mg/m3. Haga el cálculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada versus tiempo 42. Se bombea agua de mar con una concentración de 8000 g/m3 hacia un tanque bien mezclado, a una tasa de 0.6 m3/h. Debido al diseño defectuoso, el agua se evapora del tanque a una tasa de 0.025 m3/h. La solución salina abandona el tanque a una tasa de 0.6 m3/h. a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3 de la solución que entra, ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque? METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS

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b) Use métodos numéricos para determinar la concentración de sal en el tanque como función del tiempo. 43. Un cubo de hielo esférico (una “esfera de hielo”) que mide 6 cm de diámetro es retirada de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To = 20oC. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo como función del tiempo fuera del congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a través de la pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto tranquilo es alrededor de 3 W/(m2.K). El flujo calorífico de la esfera de hielo al aire está dado por:

Flujo 

q  h To  T  A

Donde q = calor y A = área superficial de la esfera. Use un método numérico para hacer el cálculo. Observe que el calor latente de la fusión es de 333 kJ/kg, y la densidad del hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m3. 44. Las ecuaciones siguientes definen la concentración de tres reactivos:

dca  10ca cc  cb dt dcb  10ca cc  cb dt dcc  10ca cc  cb  2cc dt Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s. 45. El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme se difunde. La ecuación que gobierna la difusión con la reacción es:

D

d2A  kA  0 dx 2

En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0.1 M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace que la concentración sea 0 M. Si D = 1.5x10-6 cm2/s y k=5x10-6s-1, ¿Cuál es la concentración de A como función de distancia en el tubo? 46. En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. Así, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y T a es la temperatura ambiente constante:

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dT  k T  Ta  dt Donde k>0 es una constante de proporcionalidad. Suponga que en el momento t = 0 se descubre un cuerpo y se mide su temperatura, To se supone que en el momento de la muerte, la temperatura del cuerpo Ta, era el valor normal de 37oC. Suponga que la temperatura del cuerpo al ser descubierto era de 29.5 oC, y que dos horas después era de 23.5oC. La temperatura ambiente es de 20oC. a) determine k y el tiempo de la muerte b) Resuelva la EDO en forma numérica y grafique los resultados. 47. La reacción A  B tiene lugar en dos reactores en serie. Los reactores están bien mezclados pero no en estado estable. El balance de masa de estado no estable para cada tanque de agitado de los reactores es el siguiente.

dCA1 1   CA0  CA1   kCA1 dt  dCB1 1  CB1  kCA1 dt  dCA2 1   CA1  CA2   kCA2 dt  dCB2 1   CB1  CB2   kCA2 dt  Donde CAo = concentración de A en la entrada del primer reactor, CA1 = concentración de A a la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CA2 = concentración de A en la salida del segundo reactor. CB1 = concentración de B en la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CB2 = concentración de B en el segundo reactor,

 = tiempo de residencia de cada reactor, y k = tasa constante para la reacción de A para producir B. Si CAo = 20, encuentre las concentraciones de A y B en ambos reactores durante sus primeros 10 minutos de operación. Utilice k = 0.12 /min y  = 5 min, y suponga que las condiciones iniciales de todas las variables dependientes son cero. 48. Un reactor de procesamiento por lotes no isotérmico esta descrito por las ecuaciones siguientes:

dC 10 / T  273   e C dt dT 10 / T  273   1000e C  10 T  20  dt Donde C es la concentración del reactante y T es la temperatura del reactor. Inicialmente, el reactor se encuentra a 15oC y tiene una concentración de reactante C de 1.0 g.mol/L. Encuentre la concentración y temperatura del reactor como función del tiempo.

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49. El sistema siguiente es un ejemplo clásico de EDO rígidas que ocurre en la solución de una reacción química cinética:

dc1  0.013c1  1000c1c3 dt dc2  2500c2 c3 dt dc3  0.013c1  1000c1c3  2500c2 c3 dt Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c1(0) = c2(0) = 1, y c3(0) = 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la función estándar (por ejemplo, ode 45) como la rígida (por ejemplo, ode 23s) para obtener sus soluciones. 50. Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemático Vito Volterra y del biólogo norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo más simple es el siguiente sistema EDO:

dx  ax  bxy dt dy  cy  dxy dt Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razón de crecimiento de la presa, c=razón de muerte del depredador, b y d= razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador presa sobre la muerte de la presa y el crecimiento del depredador , respectivamente. Los términos que se multiplican (es decir, los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales. Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el método de a) Euler , b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos use variables de precisión sencilla, tamaño de paso de 0.1, y simule de t = 0 a 20. Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8, d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=0 51. Un modelo sencillo basado en las dinámicas del fluido atmosférico son las ecuaciones de Lorenz:

dx   x   y dt dy  rx  y  xz dt dz  bz  xy dt Lorenz desarrolló estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de fluido atmosférico, x, con las variaciones de temperatura, “y” “z” en las direcciones

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horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con   10, b  2.6667, r  28 . Emplee como condiciones iniciales x  y  z  5 , en t=0 Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el método de a) Euler, b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos emplee variables de precisión sencilla y un tamaño de paso de 0.1 y simule de t = 0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado – espacio. 52. La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión de mástil de un bote sujeto a

d2y f 2  L  z 2 dz 2 EI

la fuerza del viento :

Donde f = fuerza del viento, E = módulo de elasticidad, L = longitud del mástil, e I = momento de inercia. Calcule la deflexión si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su cálculo utilice valores de parámetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 108, e I = 0.05. 53. Efectúe el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del viento constante, emplee una fuerza que varié con la altura de acuerdo con la ecuación

f  z 

200 z 2 z / 30 e 5 z

54. Un ingeniero ambiental está interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago estratificado y una bahía adyacente (véase la figura inferior). Un trazador conservativo se mezcla instantáneamente con el agua de la bahía y después se monitorea la concentración del trazador durante el periodo que se muestra a continuación en los tres segmentos. Los valores son: t

0

2

4

6

8

12

16

20

c1

0

15

11

7

6

3

2

1

c2

0

3

5

7

7

6

4

2

c3

100

48

26

16 10

4

3

2

Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO simultáneas siguientes:

dc1  Qc1  E12  c2  c1   Ei 3  c3  c1  dt dc V2 2  Ei 2  c1  c2  dt dc V3 3  Ei 3  c1  c3  dt V1

Donde V1 = volumen del segmento i, Q = flujo y Eij = la tasa de mezcla difusiva entre los segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1 = 1 x 107, V2 = 8 x 106, V3 = 5 x 106 y Q = 4 x 106. Para su análisis, emplee el método de Euler con tamaño de paso de 0.1.

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55. Las dinámicas del crecimiento de la población son importantes en varios estudios de planeación tales como el transporte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. Uno de los modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposición de que la tasa de cambio de la población p es proporcional a la que existe en cualquier momento r.

dp  Gp ……………….(55.1) dt Donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será el número de padres potenciales. Al tiempo t = 0, una isla tiene una población de 6000 personas. Si G = 0.075 por año, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de 0.5 años. Grafique p versus t, en papel estándar y semilogarítmico. Determine la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. Analice sus resultados. 56. Aunque el modelo del problema anterior funciona en forma adecuada cuando el crecimiento de la población es ilimitado, falla ante la existencia de factores tales como falta de comida, contaminación y falta de espacio, los cuales inhiben el crecimiento. En tales casos, la tasa de crecimiento se considera que es inversamente proporcional a la población. Un modelo de esta relación es:

G  G´ pmax  p  …………….(56.1) Donde G´ = tasa de crecimiento dependiente de la población (por persona-año) y pmax = población máxima sostenible. Así cuando la población es pequeña (p