Ecuaciones Diferenciales Ordinarias-V.I.arnold

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capitulo 1. Nociones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ij 1 . Espacios de fases y flujos de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 2 . Campos vectoriales en una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ij 3 . Flujos de fases en una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ij 4 . Ejemplos de campos vectoriales y flujos de fases en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 5. Ecuaciones no autónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 56.Espaciotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Cupítulo 2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 . Campo vectorial próximo a un punto no singular . . . . . . . . . . 5 8. Aplicaciones para el caso no autónomo . . . . . . . . . . . . . . . . . Ij 9 . Aplicaciones a las ecuaciones de orden mayor que el primero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ij 10. Curvas fásicas de un sistema autónomo . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 1. Derivada según la dirección del campo vectorial y primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 12. Sistenia conservativo con un grado de libertad . . . . . . . . . . .

61 61 70

Capitulo 3. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 13. Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 14.Funciónexponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 5 . Propiedad del exponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 115 119 127

75 84

89 97

5 16. Determinante de un exponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5 17. Cálculo práctico de la matriz de un exponente. caso de valores propios reales y diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5 18. Complexificación y descomplexificación . . . . . . . . . . . . . . . 144

5 19. Ecuación lineal con espacio de las fases complejo . . . . . . . . 5 20 . Complexificación de una ecuación real lineal . . . . . . . . . . . . 5 2 1. Clasificación de los puntos singulares

148 154

de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5 22 . Clasificación topológica de los puntos singulares . . . . . . . . . 170 5 23 . Estabilidad de las posiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 183 5 24 . Caso de valores propios imaginarios puros . . . . . . . . . . . . . . 188 5 25 . Caso de los valores propios múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5 26 . Sobre los casi polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5 27 . Ecuaciones no autónomas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5 28 . Ecuaciones lineales con coeficientes periódicos . . . . . . . . . . 231 5 29 . Variación de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Capítulo 4. Demostraciones de teoremas fundamentales . . . . . . 244

5 30 . Aplicaciones contraídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5 3 1. Demostración de los teoremas de existencia y de dependencia continua respecto de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5 32 . Teorema de derivabilidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Capítulo 5. Ecuaciones diferenciales en variedades . . . . . . . . . . . 268

5 33 . Variedades derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 5 34 . Fibración tangente . Campos vectoreales en una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5 35 . Flujo de fases, dado por un campo vectorial

. . . . . . . . . . . . . 285

.j 36 . Indices de los puntos singulares de un campo vectorial . . . . 289

Índice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306