Ecuaciones Diferenciales - Murray R. Spiegel

terceraedicion

MURRAY R SPIEGEL

ecuacrones diferenciales, aplzcadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA

M. Sc., Ingeniería Industrial, University of Pittsburgh

PRENTICE-HALL IHISPANOAMERICANA, S.A. M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m Sydney l Toronto Nueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro

n

ecuaczones drjcerenciales~ aplicadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniería Industrial, University of Pittsburgh

PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Mbxico

n

Englewood Cliffs

Nueva Delhi

n

Tokio

n

n Londres l Sydney H Toronto H Singapur n Rio de Janeiro

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o rn&odo, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera edición en espafiol por: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.

Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500 NauCalPan de Juarez . Edo. de México. Miembro de la- Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524

Traducido de la tercera edición en ingl6s de APPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS Copyright ISBN

@

MCMLXXXI

by Prentice-Hall Inc.

O-13-234997-3

3456789012

E.C.-BE

Impreso en México

86123457gO Printed in Mexico u oc1

PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A. Calz. de Chabacano 65 Local A Col. Asturias Del. Cuauhtkmoc looo

q

L

1994

0

A mi madre

contenido

. . XIII

PREFACIO

parte Z ecuaciones diferenciales ordinarias

1

CAPITULO UNO ECUACIONES

+

DIFERENCIALES

EN

GENERAL

1.

Conceptos

1.1 1.2

Algunas definiciones y observaciones Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera

de

ecuaciones

generales

diferenciales

3

1.3

Soluciones

1 .4

2.

Soluciones singulares Observaciones adicionales

2.1

Observaciones

2.2

Campo de direcciones y el método de las isoclinas

sobre

y

2

3 7 15

particulares relacionadas

existencia

y

con

las

20 23

soluciones

23

unicidad

28

CAPITULO DOS ECUACIONES

DIFERENCIALES

DE

PRIMER

ORDEN

Y

ORDINARIAS

SIMPLES DE ALTO ORDEN 1. 2.

3 4

El m6todo de separación de variables El método de latransformación de variables

35 38 38 39

2 . 1 L a e c u a c i ó n homog6nea 2.2 Otras transformaciones especiales 3. 4.

La idea intuitiva de exactitud Ecuaciones diferenciales exactas

5. 5.1

Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran

41 43 48 una

variable

49

vii

5.2 5.3 6. 6.1 6.2 + 7 . 8.

La

ecuación

de

primer

orden

El método de inspección Ecuaciones de orden superior Ecuaciones Ecuaciones

53 56

lineal al

primero

que

se

resuelven

57 58

fácilmente

inmediatamente integrables con una variable ausente

La ecuacián

de Clairaut

Revisión

métodos

de

58 60 64

importantes

CAPITULO TRES APLICACIONES

DE

ECUACIONES

DIFERENCIALES

DE

PRIMER

ORDEN 70

Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 1. 1.1

Aplicaciones

a

la

1.2 2.

Aplicaciones a los circuitqs

2.1 2.2 2.3 3. 4. 5.

71 71

mecánica

Introducción Las leyes del movimiento de Newton

71 82

eléctricas

82 84

Introducción Unidades La ley de Kirchhoff

84

6.

Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionario Aplicaciones a problemas misceláneas de crecimiento

7.

El

8. 9.

Un viaje a la Luna Aplicaciones a‘cohetes

cable

120

ll. 12.

Problemas

misceláneas

13. 13.1

Aplicaciones Crecimiento

13.2

Un problema en epidemiología

13.3 14.

Absorción de drogas en órganos o células Aplicaciones a la economía

14.1

Oferta y demanda

14.2

Inventarios

deflección

física

116

de

que

involucran

en

geometría

vigas

137

a biología biológico

148

de

148 153 156 159 159 162

ECUACIONES

CUATRO

DIFERENCIALES

1. 2. 3. 3.1

La ecuación diferencial Ilneal general de orden n Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones

3.2 3.3

El caso de raíces repetidas El caso de raíces imaginarias

3.4 4.

Independencia lineal iCómo obtener una

4.1 4.3 4.4

iCómo obtener -Ia solución La ecuación auxiliar

Método

de

Juswicación Excepciones Casos

donde

123 132

geometria

CAPITULO

4.2

101 106

decaimiento

1 ll

Problemas La

y

colgante

10.

VIII

89 95

Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones Aplicaciones a la química y a las mezclas químicas

IOS

al en

167 171

lineales

173 173

complementaria?

175 178 181 192

y wronskianos solución particular?

coeficientes indeterminados método de coeficientes indeterminados. el

166

LINEALES

método

funciones

de

más

los

192 El

método

Aniquilador

coeficientes

complicadas

aparecen

en

el

lado

derecho

194 196 199

\

4.5 El m&odo

de variación de parámetros

202

4.6 Métodos abreviados involucrando operadores 5.

Observaciones

relacionadas

con

ecuaciones

-

con

207

coefici.entes

variables

.

las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes constantes: La ecuación de Euler

6.

Repaso

de

métodos

importantes

CAPITULO APLICACIONES

DE

Movimiento

vibratorio

El

resorte

vibrante.

1.2

El

resorte

vibrante

1.3

y críticamente amortiguado El resorte con fuerzas externas

1.4 2.

El

fenómeno

de

de

sistemas

Movimiento con

resonancia

3. 3.1

El

3.2

Oscilaciones

3.3 3.4

U n p r o b l e m a e n cardiografía Aplicación a la economía

DIFERENCIALES

LINEALES

223 224 224

mecánicos

armónico

amortiguamiento.

Problemas de circuitos Problemas misceláneas péndulo

CINCO

ECUACIONES

1. 1.1

215 218

simple Movimiento

sobre

amortiguado 232 240 243 246

mecánica

eléctricos

1

250 250

simple verticales

de

una

caja

flotando

en

un

252

líquido

253 255

CAPITULO SEIS SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR

260

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

261

1.

Introducción al método de las transformadas de Laplace

1.1

Motivación

1.2

Definición

1.3 1.4 1.5 1.6

Propiedades adicionales de las transformadas de Laplace La función Gamma Observaciones concernientes a la existencia de las transformadas d e La función salto unidad de Heaviside

2.

Funciones

3. 3.1

Aplicación de las transformadas de Laplace

3.2 3.3

Algunos métodos para hallar transformadas inversas d e

para y

las

ejemplos

impulso

Solución de d e Laplace

transformadas de

y la

ecuaciones

la

de

transformada

función

delta

diferenciales

261

Laplace

de

de

262

Laplace

265 266 Laplace

Dirac a ecuaciones diferenciales

sencillas.

Transformadas

267 269 273 278

inversas 278

Laplace

279

Observaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadas inversas de Laplace

287

4.

Aplicaciones a problemas físicos y biológicos

290

4.1 4.2

Aplicaciones a circuitos eléctricos Una aplicación a la biología

290

4.3 4.4

El problema tautócrono-Aplicación de una ecuación integral en mecánica

294

Aplicaciones involucrando la función delta U n a a p l i c a c i ó n a l a t e o r í a d e c o n t r o l a u t o m á t i c o y servorr,ecanismos

298

4.5

293

299

CAPITULO SIETE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES USANDO SERIES 1.

Introducción al uso de serles

1.1

Motivación

para

soluciones

con

series

304 305 305 iX

1.2 1.3 1.4 1.5 2. 2.1 2.2 3. 3.1 3.2 3.3

Uso de la notacibn sumatoria Algunas preguntas de rigor El m6todo de la serie de Taylor M é t o d o d e iteracih d e Picard El m&odo de Frobenius Motivación para el método de Frobenius Ejemplos usando el mkodo de Frobenius Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes La ecuación diferencial de Bessel Ecuación diferencial de Legendre Otras funciones especiales

307 311 317 319 322 322 326 338 338 348 350

CAPITULO OCHO + - 1. 1 .l - 1.2 - 1.3 - 2. -2.1 2.2 3. 3.1 3.2 3.3 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5. 5.1 5.2

FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

Funciones ortogonales Funciones como vectores Ortogonalidad Longitud o norma de un vector. Ortonormalidad Problemas de Sturm-Liouville Motivación para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores y Eigenfunciones Una aplicación al pandeo de vigas Ortogonalidad de las funciones de Bessel y Legendre Ortogonalidad de las funciones de Bessel Ortogonalidad de las funciones de Legendre Funciones ortogonales misceláneas Series ortogonales Introducción Series de Fourier Series de Bessel Series de Legendre Series ortogonales misceláneas Algunos tópicos especiales Ecuaciones diferenciales así mismo adjuntas El m&odo de ortonormalización de Gram-Schmidt

CAPITULO LA 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.

SOLUCION

NUMERICA

DE

353 354 354 356 357 361 361 368 371 371 376 378 380 380 385 403 408 411 414 414 417

NUEVE ECUACIONES

DIFERENCIALES

Solucibn numérica de y’=f(x. y) El método de pendiente constante o método de Euler El método de pendiente promedio o método modificado de Euler Diagramas de computador AnBlisis de errores Algunas guías prácticas para la solución numérica El método de Runge-Kutta

420 421 422 425 427 428 431 433

parte II sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias CAPITULO

\

DIEZ

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 3. 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 5. 6. 6.1 6.2 7. 7.1 7.2 7.3 8. 9. 9.1 9.2 9.3

Sistemas de ecuaciones diferenciales Motivación para los sistemas de ecuaciones diferenciales Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales El uso de operadores en la eliminación de incógnitas Métodos abreviados de operador Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden Aolicaciones a la mecánica El vuelo de un proyectil Una aplicación a astronomía El movimiento de satélites y mísiles El problema de las masas vibrantes Aplicaciones a las redes ekctricas Aplicaciones a la biología Concentración de una droga en un sistema de dos compartimientos El problema de epidemia con cuarentena El problema depredador-presa: Un problema en ecología Formulación matemática Investigación de una solución Algunas aplicaciones adicionales Solución de sistemas lineales por transformadas de Laplace Método de las soluciones complementaria y particular iCómo encontramos la solución complementaria? iCómo encontramos una solución particular? Resumen del procedimiento

438

439 439 441

443 446 448

449 452 452 461 465 470 476 481 481

484 488 489 490

497 498 500 502 506 507

CAPITULO ONCE +

METODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS DE

ECUACIONES

DIFERENCIALES

1. El concepto de una matriz 1.1 Introducción 1.2 Algunas ideas simples 1 .3 Vectores fila y columna 1 .4 Operaciones con matrices 2. Ecuaciones diferenciales matriciales 3. La solución complementaria 3.1 Eigenvalores y eìgenvectores 3.2 El caso de eigenvalores reales distintos 3.3 El caso de eigenvalores repetidos 3.4 El caso de eigenvalores imaginarios 3.5 Un problema algo más complicado

LINEALES

51Q 511 511 511 5 12 514 521 522 523 524 526 527 529

Ki

3.6 4. 5. 6. 7. 7.1 7.2 7.3

Independencia lineal y La solución particular Resumen

del

532

wronskianos

533 534

procedimiento

535

Aplicaciones usando matrices Algunos tópicos especiales Ortogonalidad Longitud de un vector Eigenvalores y eigenvectores

539 539 541 matrices reales

de

simétricas

542

\

ecuaciones dijkrenciales parciales C A P I T U L O

D O C E

E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S PAFWALES

EN GENERAL

550

1. 1.1

El concepto de una ecuación diferencial parcial Introducción

551

1.2

de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas geométrico de las soluciones general y particular

551

1.3

Soluciones Significado

1.4

Ecuaciones

diferenciales

funciones

arbitrarias

2. 3. 3.1 3.2 3.3 3.4

parciales

que

surgen

físicos

Problemas Problemas

que que

la

eliminación

554

de 555

El método de separación de variables Algunas ecuaciones diferenciales parciales problemas

de

551

involucran involucran

560 importantes

que

surgen

vibraciones u oscilaciones. La cuerda conducción o difusión de calor.

de

vibrante

573

P r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n p o t e n c i a l elbctrico o g r a v i t a c i o n a l Observaciones

sobre

la

deducción

de

ecuaciones

569 569 577

diferenciales

parciales

578

CAPITULO TRECE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA USANDO 1. 1.1 , 1.2

de

valor

de

frontera

que

DE

FOURIER

involucran

conducción

581 de

calor

El problema de Fourier Problemas

que

582 582

involucran

fronteras

aisladas

588 590

1.3 1.4 2.

T e m p e r a t u r a d e e s t a d o e s t a c i o n a r i o e n u n a p l a c a semi-infinita Interpretación de difusión de la conducción de calor

2.1

El problema de la cuerda vibrante

597

2.2 2.3

La cuerda Vibraciones

6oF 603

3. 4.

P r o b l e m a s d e v a l o r d e f r o n t e r a q u e i n v o l u c r a n l a e c u a c i ó n d e Laplace Problemas misceláneas

607 615

4.1

La cuerda vibrante bajo la gravedad Conducción-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos

615 617

4.2

Xii

Problemas

SERIES

Problemas

de

valor

de

vibrante con de una viga

frontera

que

involucran

movimiento

vibratorio

amortiguamiento

593 59?

4.3 4.4

La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un

619 problema

que

involucra 620 625

series dobles de Fourier 4.5

Conducción

de

calor

con

radiación

CAPITULO CA TORCE 4

SOLUCIONES

DE

PROBLEMAS

DE

VALOR

USANDO FUNCIONES DE BESSEL 1.

valor

Y-2.1

El

en

- 2.2 - 2.3 - 2.4

Conducción

3.

- 3.1 - 3.2 - 3.3 4.

.

FRONTERA 632 633

Introducción Problemas de

2.

DE

Y DE LEGENDRE

Laplaciano de

de

frontera

coordenadas

calor

en

un

que

conducen

a

funciones

de

Bessel

cilindro

633 633

cilíndricas

634

circular

Conducción de calor en un cilindro radiante Vibraciones de una piel de tambor circular

637 638

Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Legendre El Laplaciano en coordenadas esféricas

646

Conducción de calor en una esfera Potencial

eléctrico

o

gravitacional

4.1

Problemas misceláneas El problema de la cadena

4.2

P o t e n c i a l ektrico

4.3

El

problema

de

la

debido

a

una

651

esfera

655 655

vibrante

debido a un alambre circular uniformemente cargado bomba

646 648

659 662

atómica

APENDICE DETERMINANTES RESPUESTAS TABLAS:

DE

A

LOS

TR A S FO R M A D A S .

A-l

EJERCICIOS

A-7

.;

T-l

DE

INTEGRALES.

BIBLIOGRAFIA MATEMATICOS

QUE

HICIERON

INDICE

B-l

APORTES.

.

M-l I-1

X,II

pre fado

El propósito de este libro es el de proporcionar una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas. Para alcanzar este propósito, el libro ha sido escrito con los siguientes objetivos: 1. Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas -en particular, mostrar al estudiante cómo (a) traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es, establecer la formulación matemática de problemas; (b) resolver la ecuación diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c) interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes e importantes se explican en relación a su formulación matemática, solución, e interpretación. Las aplicaciones están ordenadas de modo tal que los tópicos de mayor interés a los estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad. 2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de los tópicos y se desarrolle un interés. Esto se hace por medio de ayudas como ejemplos, preguntas y problemas para discusión. 3. Proporcionar relativamente pocos métodos de resolver ecuaciones diferenciales que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Se ha enfatizado en un número mínimo de métodos básicos que el estudiante encuentra normalmente en la práctica; otros métodos menos utilizados que sin embargo son de interés se pueden encontrar en los ejercicios. 4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas más avanzados, o problemas y técnicas más complicados una oportunidad para que lo haga. Esto se hace al ofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificultad. Los ejercicios tipo A son en su mayoría fáciles, requieren poca originalidad y están diseñados para propósitos de práctica. Los ejercicios tipo B envuelven computaciones algebraicas más complicadas o mayor originalidad que xv

la del grupo A. Los ejercicios tipo C están dirigidos principalmente a complementar el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y conocimiento, diseñados para desafiar al estudiante. 5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico, haciendo énfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados. Por ejemplo, después de introducir el muy simple método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducen los conceptos de transformación de variables y los de hacer una ecuación exacta al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usan luego en la solución de otros tipos de ecuaciones. 6. Separar la teoría de las ecuaciones diferenciales de sus aplicaciones para dar amplia atención a cada una. Esto se consigue presentando la teoría y aplicaciones en capítulos separados, particularmente en los primeros capítulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde un punto de vista pedagógíco, parece no aconsejable mezclar teoría y aplicaciones en las etapas iniciales puesto que el principiante generalmente encuentra difícil la formulación matemática de problemas aplicados; cuando él se ve forzado a hacerlo, además de aprender técnicas de solución, generalmente ningún tema se domina. Al tratar teoría sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las aplicaciones (al mismo tiempo que se revisa la teoría), el estudiante puede aprender mejor ambos tópicos puesto que la atención así se concentra en sólo un aspecto a la vez. Una segunda razón para separar teoría y aplicaciones es la de facultar a los profesores que deseen presentar un mínimo de aplicaciones de hacerlo tan fácilmente sin tener que estar en la difícil posición de tener que “saltar” capítulos. El libro está dividido en tres partes principales. Parte 1 trata de las OXUciones diferenciales ordinarias, Parte II con sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y Parte III con ecuaciones diferenciales parciales. ES útil discutir los capítulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferenciales ordinarias. El Capítulo uno da una presentación general a las ecuaciones diferenciales incluyendo la motivación por problemas de valor inicial y de frontera junto con tópicos relacionados. En el Capítulo dos se discuten métodos para resolver algunas ecuaciones de primer orden y simples de alto orden. Estos métodos se aplican en el Capítulo tres a campos tales como física (incluyendo mecánica, electricidad, flujo de calor, etc.), química, biología y economía. El Capítulo cuatro discute métodos basiCOS para resolver ecuaciones diferenciales lineales mientras que el Capít,ulo cinco usa estos métodos en problemas aplicados. En el Capítulo seis se presenta la transformada de Laplace y se hacen aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales. Entre los tópicos considerados están la función gamma, funciones de impulso y la función delta de Dirac, el problema tautócrono y servomecanismos, El Capítulo ocho, el cual es opcional, introduce la idea de funciones ortogonales y problemas de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir de vectores en dos y tres dimensiones. Algunos tópicos tratados en este capítulo son eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo series de Fourier y de Bessel. En el capítulo final de la Parte 1, Capítulo nueve, se presenta una introducción a varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. xvi

En este capítulo se incluye una discusión de diagramas de computador y elementos de análisis de errores. Parte II, sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. ESta parte consiste de dos capítulos. El primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propósito de servir de introducción general y de ofrecer varios métodos pars resolver ecuaciones diferenciales simultáneas junto con aplicaciones tales como el movimiento planetario y de satélites, vibraciones, electricidad y biología. Incluídos en este capítulo están los principios elementales del análisis del plano de fase y estabilidad motivados por el problema del depredador-presa en ecología. El segundo capítulo, Capítulo once, el cual es otro capítulo opcional, discute métodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este capítulo muestra cómo conceptos teóricos importantes tales como eigenvalores y ortogonalidad surgen de manera natural en el proceso de solución. Parte III, ecuaciones diferenciales parciales. Esta parte está compuesta de tres capítulos. El primero de estosel Capítulo doce, intenta servir de una introducción general a algunas de las ideas concernientes a las ecuaciones diferenciales parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importantes que surgen en varios campos tales como conducción de calor, vibración y teoría de potencial. El segundo capítulo, Capítulo trece, presenta métodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Finalmente, el Capítulo catorce, el cual es opcional explora métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales usando funciones de Bessel y de Legendre. Un aspecto importante de este capítulo es el problema de la bomba atómica el cual se trata junto con otros tipos de problemas más convencionales y relat,ivamente inofensivos dados en los Capítulos doce y trece. Los capítulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un máximo de flexibilidad. Por ejemplo, los Capítulos seis y once se pueden omitir sin ninguna pérdida de continuidad si ell profesor decide no cubrir las transformadas de Laplace o métodos matriciales. Similarmente, en el Capítulo diez el método de la solución complementaria-particular para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras que en el Capítulo once se trata con matrices. Así, el profesor puede usar uno u otro o ambos para demostrar sus relaciones. Como otro ejemplo, en el Capítulo trece, el cual presenta métodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales, las series de Fourier se introducen en una manera histórica, esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como resultado, est,e capítulo es esencialmente independiente del Capítulo ocho, el cual trata con funciones y series ortogonales, proporcionándole al profesor la opcibn de omitir enteramente el Capítulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, los capítulos y secciones de capítulos han sido marcados con un diamante para indicar que son opcionales. Sin embargo, los capítulos y secciones que han sido marcados como opcionales (tales como los concernientes a las transforma- ‘. das de Laplace, métodos numéricos y aplicaciones particulares), no han sido marcados como tales debido a que el cubrimiento u omisión de los tópicos incluidos generalmente dependerán de la clase de curso que se ofrezca, Ios t.ópicos a considerar, etc. Debido al alto grado de flexibilidad, el libro se puede usar en una variedad de cursos empezando desde un curso de uno a dos semestres e incluyendo sólo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias

XVII

posibles de capítulos, puede ser útil al profesor en la planeación de un curso. Por ejemplo, en un curso semestral que cubra ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, una posible secuencia de capítulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13. Una doble flecha indica que los capítulos se pueden intercambiar. Así, por ejemplo, el Capítulo siete si se desea podría preceder al Capítulo seis. El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus agradecimientos a Esther y Meyer Scher por su continuado interés y estímulo; al grupo asesor de la Prentice Hall, especialmente a Leslie Nade11 y E3ob Sickles, por su excelente cooperación; y a los siguientes profesores de matemáticas quienes revisaron el manuscrito y proporcionaron muchas sugerencias útiles: Ebon E. Betz, United States Naval Academy; E. E. Burniston, North Carolina State University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State University; Ronald Hirschorn, Queen’s University; James Hurley, University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa; Anthony L. Peressini, University of Illinois; William L. Perry, Texas A & M University; Daniel Sweet, University of Maryland; Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology.

*

*

*

Fue un gran placer enterarme de la traducción al idioma Español de mi libro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edición. Espero que esto dará una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones diferenciales y sus numerosas aplicaciones. Murray R. Spiegel

XVIII

h ‘te--.- ^-

POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS 1. Ecuscionss diferenciales sn general

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden y amples de altoorden

3. Aphcacioner de ec”acio”** Diferencmlesde primer orden y emplesde orden supermr

c

1

9. La soluci6n “Um6rics de .cu.ciones diferenciala

l 6. Funcionesorto-

4

gonalss y problsmasde SturmL,O”“i,k

c

l

-

11. MOtodosde e,gwwaloresde matrices para Yr mrnas de ecuacicnerdifsrencialss lineales

13. Sotuciones de problemas de valor de frontera. uw”do series de Fourier

L

I t

l l

l I

14. Solucionesds problemas de valor de frontera umdo funaoneíds hsd Y Legendra

xix

diferenciales ordinarias

uno ecuaciones diferenciales en general

1.

CONCEPTOS

DE

ECUACIONES

1.1

Algunas

definiciones

1.2

Ejemplos

sencillos

de

y

DIFERENCIALES

observaciones problemas

de

valor

inicial

y de frontera

+ 2.

1.3

Soluciones

generales

1.4

Soluciones

singulares

OBSERVACIONES

y

ADICIONALES

particulares EN

RELACION

A

LAS

SOLUCIONES 2.1

Observaciones

sobre

existencia

y

unicidad

2 . 2 C a m p o d e d i r e c c i o n e s y e l m é t o d o d e l a s isoclinas

2

.

Conceptos de ecuaciones diferenciales 1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y OBSERVACIONES

El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el objeto de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones. Definición 1. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parciul.* L1.v 0 y’ =2x + y Ejemplo 1. La ecuación -=2x+> (1) dx en la cual y es una función desconocida de una sola variable x es una ecuación diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos a x la variable independiente, y y, la cual depende de x, la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivaspory’(x), y ” ( x ) , , osimplementey’,y”,. Ejemplo 2.

d2X L a e c u a c i ó n --2$--15x=0 dt2

(2)

en la cual x es una función desconocida en una sola variable t es una ecuación diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t), donde t es la variable independiente y x la variable dependiente. Por brevedad podemos denotar el valor de x en t por x(t), y también podemos denotar las derivadas por x’(t), x ” ( t ) , ., 0 s i m p l e m e n t e x ’ , x ” , 2

Ejemplo 3. La ecuación

2

g+2+

(3)

en la cual V es una función desconocida en dos variables x y y es una ecuación diferencial parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son variables independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad\ podemos denotar el valor de V en x y y por V(x, y). *Excluimos de la clase de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales co1110

Ecuaciones

diferenciales

en genarel

3

1

Definición 2. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecljación. Ejemplo 4. La derivada más alta que aparece en la ecuación (1) es dy/ dx, la cual es de primer orden, esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación de orden 1, o una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Ejemplo 5. L a d e r i v a d a m á s a l t a q u e a p a r e c e e n e c u a c i ó n ( 2 ) e s dLx/ ’ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuación diferencial es por tanto de orden 2, o una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Ejemplo 6. La derivada más alta que aparece en ecuación (3) es îi2V/Ox2 0 i2Vliy2, a m b a s s o n d e s e g u n d o orden. Por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial ‘de segundo orden. O~semm¿h 1. Una ecuación diferencial ordinaria d e orden 11 puede expresarse como g(x, y, y,, J”‘, . . , 2.‘“‘) = 0

(4)

Si podemos resolver esta ecuación por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n tomanalo la siguiente forma: p) = F-(x, j’, y, . > 4”” - l))

\ Ejemplo

7. La ecuación de primer orden (y’)” + xy’ -y = 0

(5) (6)

es equivalente a las sigüientes dos ecuaciones de primer orden y’ = &p-Tq - XI),

2“ = -&/TT-q + s)

(7)

Observación 2. Adicionalmente a su orden, es útil clasificar una ecuación diferencial ordinaria como una (ecuación diferencial lineal o no-lineal de acuerdo a la siguiente. Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación Definición 3. que puede ser escrita -en la forma a,(x)y’“~ + a,(x)J’“- l’ + . . + an-,(X)J” + U,(X)J~ = F(s)

(8)

d o n d e F(x) y los coeficientes a , ( x ) , a, (x),. , a , ( x ) son funciones dadas de x y a,(x) no es idéntica a cero.* Una ecuación diferencial que no puede escribirse en la forma (8) se llama una ecuación diferencial no-lineal. Ejemplo 8. rias lineales.

Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordina-

Ejemplo 9. lineales.

La ecuación (6) o las dos ecuaciones equivalentes (7) son no-

*En álgebra OU + ¿IL’ donde a y b no dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una función lineal de u y U. La terminología linevzl cen la Definición 3 está inspirada en una generalización de esta idea debido a que el lado izquierdo de (8) es una función lineal de J’, y ‘, , J (“).

4

Capítula

uno

Las ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 también se pueden extender a las ecuaciones diferenciales parciales. Como tendremos ocasión de observar a lo largo de este libro, las ecuaciones diferenciales lineales son ‘en general más fáciles de manejar que las ecuaciones no lineales. Definición 4. Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. Ejemplo 10. Las funciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos soluciones de la ecuación (21, puesto que la sustitución de éstas conducen respectivamente a 25P - 2(5P) - 15f? = 0,

ge-31 - 2(-3r-3’) - 15p-3’ = 0

las cuales son identidades. Otra solución es x = 0, y pueden existir otras. IDe h e c h o x=c,e”‘+~,e-~’ d o n d e cl y cp son constantes arbitrarias es una solución. Ejemplo ll. La función definida por V= e”xsen 231 es unn solución de ((3) puesto que dV d.\- = 38’

¿F v

3lJ

sen 2y, a\-2 = 9~“” sen 2y, F = 2e3-’ cos s,

p ,,’

p = - 4e.j 1 sen 2y

de modo que al sustituir encontramos la identidad 9e3”sen2y + 2( -4e3’ sen2y) = e3xsen?4.. Observación 3. En los Ejemplos 10 y Il las soluciones se dieron sin restricciones sobre los valores-que asumen las variables independientes. Algunas veces, sin embargo, debemos restringir tales valores, como por ejemplo cuando queremos que los valores de la función sean reales o tengan otras propiedades. Por ejemplo, si f(x) = V9 - ~2, entonces para que f(x) sea real debemos tener - 3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el dominio de la función. Cuando no se especifica el dominio, como muchas veces ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos los valores para los cuales las operaciones indicadas producen resultados con sentido. Así, por ejemplo, si una función se define por f(x) = 1/(x - 3), entonces el dominio es el conjunto de todos los valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puesto que la división por cero carece de sentido. Ejemplo 12.

La función definida por y = fl- es una solución de y’= -5. Y

puesto que

(10)

y al sustituir en la ecuación diferencial (9) se obtiene una identidad

Sin embargo, es claro que si deseamos que la función sea real y la derivada (10) exista debemos restringir x al dominio -3< x-

(151

La pregunta de si (12) realmente sí define a y como una función de x requiere mayor investigación, pero hasta que tal decisión se obtenga ella se puede referiir como a una solución formal.. . 6

Capítulo uno

’

1.2 EJEMPLOS SENCILLOS DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA

Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer. Como un ejemplo sencillo, considere el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION

Una partícula P se mueve a lo largo del eje x (Figura 1.1) de tal manera que su aceleración en cualquier tiempo t 2 0 está dado por a = 16- 24t. (a) Encuentre la posición x de la partícula medida del origen 0 a cualquier tiempo t > 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) está localizada en x = 2 y está viajando a una velocidad u = - 5. (b) Trabaje parte (a) si solamente se sabe que la partícula está localizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1

+X P

0 Figura 1.1

Para formular matemáticamente este problema, recordemos primero del cálculo que la velocidad y aceleración de una partícula que sè mueve a lo largo del eje x están dadas respectivamente por dx v=z

Y

d*x a=Jp

Entonces de la primera frase del enunciado del problema se tiene d*x _ = 16 - 24t dt*

(17)

la cual es la ecuación diferencial requerida para el movimiento. Solución a la Parte (a) Las condiciones sobre la función x dadas en parte

(a) son x = 2,

v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x’(0) = - 5

(18)

Se debería notar que el significado del signo menos en u = - 5 es de que la partícula está viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17) una vez, encontramos dx - = 16t - 12t2 + c1 (19) dt

donde c1 es una constante arbitraria. Esta constante puede determinarse de la segunda condición en (18) con t = 0 en (19). Encontramos - 5 = 0 + cr , esto es, c1 = - 5, de modo que dx - = 16t - 12t* - 5 (20) dt

La integración de (20) da x = 8t2 - 4t3 - 5t + c2 (21) donde c2 es otra constante arbitraria que puede determinarse de la primera condición en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO = 2. Así x = Sr2 -- 4t3 - 5t + 2 Ecuaciones

diferenciales

(2.2) en

general

7

L

la cual es la ley requerida de movimiento permitiéndonos determinar la posición en cualquier tiempo r > 0; por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiempo t = 2, x = -8, etc. Solución a la Parte (b) En esta parte todavía tenemos la misma ecuación diferencial (17) para el movimiento, pero las condiciones han cambiado a s=2ent=O,

x=7ent= 1

0 x(0) = 2,

x(l) = 7

(23)

En este caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sin embargo, puesto que no tenemos una condición para dx/dt, no podemos todavía determinar c , , y por tanto debemos integrar (19) para obtener x = 8t2 - 4t3 + c,t + c2 (24) Podemos ahora usar las dos condiciones en (23) para hallar las dos constantes arbitrarias en (24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 - 4(l)” + c, + c2 0 c, =l, cz =2 x = 8r2 - 4t3 + t + 2 (25) de modo que Las formulaciones matemáticas de las partes (a) y (b) en el problema anterior son, respectivamente,

(al (b)

$= 16-24t,

(F-C

dtz= 16-24t,

X(0) = 2, s’(0) = - 5 x(0)=2,x(l)= 7

Una diferencia importante entre ellas es que en (a) las condiciones sobre la función desconocida x y sus derivadas x’ o dx/dt están especificadas en un ualor de la variable independiente (en este caso t = 0), mientras que en (b) las condiciones sobre la función desconocida x se especifican en dos valores de la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1). Los dos tipos de problemas presentados en (a) y (b), respectivamente, se llaman problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera. Debemos así hacer las siguientes- definiciones. Definición 5. Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Definición 6. Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Considere el siguiente ejemplo ilustrando las observaciones anteriores, EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5).

8

Capítulo uno

Figura 1.2

Solución Puesto que la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de ella está dada por dy/dx, del enunciado del problema se tiene (28) una ecuación diferencial de primer orden. Puesto que la curva debe pasar por el punto (2, 5), y=5 cuando x=2 estoes, y(Z)=5 (29) El problema de resolver (28) sujeta a (29) es un problema de valor inicial. La integración de (28) da y = x2 + c

(30)

donde c es una constante arbitraria. Usando la condición (29) en (30) se obtiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. Así la curva requerida está dada por y=x”+l (31) Gráficamente, (30) representa una familia de euruas en el plano zy, cada miembro de ella está asociado con un valor particular de c. En la Figura 1.2 se muestran algunos de estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c puede variar, frecuentemente se llama un parámetro para distinguirlo de las variables principales x y y. La ecuación diferencial (28) que es satisfecha por todos los miembros de la familia frecuentemente se llama la ecuación. diferencial de la familia. Observación 5. La misma terminología usada en este ejemplo puede también usarse en el problema de la página 7. Así, (24) representa una familia de curvas en el plano tx, cada miembro de la cual está asociado con valores particulares de los dos parámetros c 1 y cq , mientras que (17) es la ecuación diferencial de la familia. Para especificar el número de parámetros involucrados, algunas veces hablamos de una familia de curvas de un par-ámetro, una familia de curvas de dos parámetros, etc. Las soluciones cerresEcuaciones

diferenciales

en general

9

pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces referirse como la solución con un parámetro (o la familia de soluciones con un parámetro), la solución con dos parámetros (o lla familia de soluciones con dos parámetros), etc. También podemos referirnos a estas curvas como curvas solución. En el proceso de la formulación matemática de problemas aplicados, pueden surgir muchas clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en futuros capítulos. En la siguiente lista vemos una pequeña muestra de ellas. d2x -= -kx (32) dt2 d2y dy xlix’+~+xy=o

(33)

dv VfM-=v2

(34)

Ely”“’ = w(x)

(35)

dM

sen 20t y” = ; JW

(37)

a2v d2V a2v Jjp+&-T+s=

(38)

g=k[$-$+$;

(39)

S2Y

a2Y

it2

2x2

-= al-..-

a4cp

(36)

a”q5

+ * = F(x, y) r:x4+2sx2cy2 cy

(4)

(41)

La ecuación (32) es famosa en el campo de la mecánica en conexión con el movimiento armónico simple, como en las oscilaciones pequeñas de un péndulo simple. Elia podría, sin embargo surgir en muchas otras conexiones. La ecuación (33) surge en mecánica, calor, electricidad, aerodinámica, análisis de esfuerzos y en muchos otros campos. La ecuación (34) surgió en un problema de vuelo de cohete. La ecuación (35) es una ecuación impcrtante en ingeniería civil en la teoría de deflexión o doblamiento de vigas. La ecuación (36) puede surgir en la determinación de la corriente I como una función del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero también podría surgir en mecánica, biología, y economía. La ecuación (37) surge en conexión con un problema de suspensión de cables. La ecuación (38) podría-surgir en problemas de electricidad, calor, aerodinámica, teoría de potenciales, y èn muchos otros campos. 10

Cbpítulo uno

l

La ecuación (39) surge en la teoría de conducción de calor, como también en la difusión de neutrones en una pila atómica para la producción de energía nuclear. También surge en la teoría de movimiento browniano. La ecuación (40) surge en conexión con la vibración de cuerdas, como también en la propagación de señales eléctricas. La ecuación (41) es famosa en la teoría de análisis de esfuerzos. Estas son solo una pequeña parte de las muchas ecuaciones que podrían surgir en algunos de los campos de los cuales están tomadas. Exámenes de ecuaciones tales como éstas por matemáticos puros, matemáticos aplicados, físicos teóricos y aplicados, químicos, ingenieros, y otros científicos a través de los años han conducido a la conclusión de que existen ciertos métodos definidos por medio de los cuales muchas de estas ecuaciones pueden resolverse. Tales ecuaciones y métodos junto con los nombres de las personas asociadas con ellas se darán a lo largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce, sin embargo, muchas ecuaciones permanecen sin solución, algunas de ellas de gran importancia. Gigantescas máquinas modernas de cálculo actualmente están siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones vitaecoles para la investigación relacionada con seguridad nacional, planeación nómica, e ingeniería aeroespacial así como también en muchos otros campos. Uno de los objetivos de este libro es ofrecer una introducción a algunos de los problemas importantes que surgen en la ciencia y la ingeniería con los cuales la mayoría de científicos deberían estar familiarizados. Para conseguir este objetivo, será necesario demostrar cómo uno resuelve las ecuaciones que surgen como resultado de las formulaciones matemáticas de estos problemas. El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas en la solución teórica de problemas científicos. 1. Formulación rrktemática del problema científico. Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, están traducidas en ecuaciones matemáticas. En muchos casos un modelo matenático se usa para aproximarse a la realidad física. Así, per ejemplo, al tratar con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededor del Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partículas (o puntos de masa). Sin embargo, en un estudio de la rotación de la tierra sobre sus ejes, tal modelo es claramente inapropiado, de tal modo que podemos considerar a la tierra como una esfera o aún más precisamente como un esferoide ovalado. 2. Solución de las ecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa 1 necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, para determinar la incógnita, o incógnitas, involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente, para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de calculadoras. El proceso de obtener soluciones frecuentemente conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que algunas veces tienen mayor interés que el problema científico original. De hecho, muchos de los avances en las matemáticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos de resolver problemas en la ciencia y la ingeniería. *En la contraportada del frente del texto se da una lista de referencias de algunos de los contribuidores importantes a la teoría y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones

diferenciales

en

general

11

L

3. Interpretación científica de la solución. Con el uso de las soluciones conocidas, el científico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer gráficas o tablas y comparar Ia teoría con los experimentos. Puede incluso basar investigación posterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no están de acuerdo con la teoría, debe revisar el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consiga un acuerdo razonable. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado y, por esta razón, enfatizaremos todas las tres etapas en este libro. Puesto que, como uno podría esperar, las ecuaciones diferenciales parciales son mucho más complicadas que las ecuaciones diferenciales ordinarias, la mayor parte de este libro, esto es, los once capítulos en las Partes I y II, se dedican a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales parciales se tratan en los tres capítulos de la Parte III. Así, a menos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a una ecuación diferencial implicaremos una ecuación diferencial ordinaria. EJERCICIOS A

1. Complete la siguiente tabla.

y” - 4y’ - 5y =

(W

e3x

au a2u au -=4=+ay

(4 ( d )

(+$;+&$-3t

te) d2x

p-

3x = sen y I

I

-

(h)

(2x + y)dx + (x - 3y)dy = 0

6)

y” + xy = sen y”

(3

a27d2T