Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Teoria Preliminar Conceptos Una ecuacion diferencial lineal de n-esimo orden tiene la forma:

Si ademas g(x)=0, entonces sera homogenea, Si ademas los coeficientes aj(x) son constantes, se dice que la ED esde coeficientes constantes, si no es asi es de coeficientes variables. Valor inicial Un problema de valor inicial para una ecuacion diferencial lineal de orden n es: Resolver: Dados: En donde:

En el caso de una ED de segundo orden: Su solucion es una funcion definida en I que pase por (x0, y0) y que ademas la pendiente en ese punto sea y’0. Valores en la frontera Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuacion diferencial de orden dos en la cual la variable dependiente ‘y’ se especifica en dos puntos diferentes (fronteras):

Este se llama ‘problema de valores en la frontera Dependencia e independencia lineal Definicion: Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x) , … , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2,… , cn, no todas nulas, tales que:

El wronskiano. El wronskiano es un teorema que proporciona una condicion suficiente para la independencia lineal de ‘n’ funciones en un intervalo. Cada funcion se supone diferenciable por lo menos 1-n veces. El wronskiano debe su nombre al filosofo y matematico Jozef Maria Hoene Wronski (17781853), quien nacio en Polonia y entre sus aportaciones mas notables esta el wronskiano que se muestra enseguida. Teorema: Supongase que f1(x), f2(x), … , fn(x) tienen al menos n-1 derivadas y si el determinante

No es cero por lo menos en un punto del intervalo I, entonces las funciones f1(x), f2(x), … , fn(x) SERAN LINEALMENTE INDEPENDIENTES en el intervalo I. Principio de superposicion Sean y1, y2, …, yk soluciones de la ecuacion diferencial homogenea de orden ‘n’ en el intervalo I. Entonces la combinacion lineal: En donde ci, i=1,2,…,k son constantes arbitrarias, tambien es una solucion en el intervalo. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes: • Metodo de solucion para ED de segundo grado • Metodo de solucion para ED de grado superior ED lineales con coeficientes constantes Metodo de solucionRecordar que una ecuacion diferencial lineal de primer orden y decoeficientes constantes:

Tiene la siguiente solucion: Para -∞